2011年高考数学广东卷试题和答卷分析

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2011年广东省高考数学试卷(理科)答案与解析

2011年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•广东）设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】我们可以利用待定系数法求出Z，我们设Z=x+yi，结合已知中（1+i）Z=2，结合复数相等的充要条件，我们易构造出一个关于x，y的方程组，解方程组即可求出满足条件的复数Z的值．【解答】解：设Z=x+yi则（1+i）Z=（1+i）（x+yi）=x﹣y+（x+y）i=2即解得x=1，y=﹣1故Z=1﹣i故选B【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，其中利用复数相等的充要条件，构造出一个关于x，y的方程组，是解答本题的关键．2．（5分）（2011•广东）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】据观察发现，两集合都表示的是点集，所以求两集合交集即为两函数的交点，则把两集合中的函数关系式联立求出两函数的交点坐标，交点有几个，两集合交集的元素就有几个．【解答】解：联立两集合中的函数解析式得：，把②代入①得：2x2=1，解得x=±，分别把x=±代入②，解得y=±，所以两函数图象的交点有两个，坐标分别为（，）和（﹣，﹣），则A∩B的元素个数为2个．故选C【点评】此题考查学生理解两个点集的交集即为两函数图象的交点个数，是一道基础题．3．（5分）（2011•广东）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线的充要条件将用表示；垂直的充要条件得到；将的值代入，利用向量的分配律求出值．【解答】解：∵∴存在λ使∵∴=0∴=2=0故选D【点评】本题考查向量垂直的充要条件|考查向量共线的充要条件、考查向量满足的运算律．4．（5分）（2011•广东）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g （x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定故选A【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，其中根据已知确定|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，是解答本题的关键．5．（5分）（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．【解答】解：如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z 最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故选：C．【点评】本题考查线形规划问题，考查数形结合解题．6．（5分）（2011•广东）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．【解答】解：甲要获得冠军共分为两个情况一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×=则甲获得冠军的概率为【点评】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．7．（5分）（2011•广东）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6 B．9C．12D．18【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以正视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为3，底边上的高为：=，故底面积S=3×=3，又因为棱柱的高为3，故V=3×3=9，故选B．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何体的形状及相应底面面积和高是解答本题的关键．8．（5分）（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T，V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可．【解答】解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确．【点评】此题考查学生理解新定义的能力，会判断元素与集合的关系，是一道比较难的题型．二、填空题（共7小题，每小题5分，其中14、15只能选做一题。

2011年高考广东数学试卷评析

2011年高考广东数学试卷评析2011年广东高考数学试卷分文、理两卷，试题整体稳定、难易适中，贴近考生，有利于素质教育和高校选拔新生；充分体现了考基础、考能力、考素质、考潜能和以考生发展为本的考试目标，对今后中学数学教育改革有良好的推动与导向作用.针对这套试卷让我们一起来看下述三个问题.一、试题特点（1）基础题以小综合的形式出现统观全卷，基础题分值约占72分（选择题与填空题的最后一题未列入其中，而解答题的第一题属于基础题），这些基础题无一例外的都是涉及多个知识点的小型综合题，有的是本题所在章节知识范围内的综合如：第1、3、4、6、7、10、11、16；有的是与章节外的知识的综合如：第2题（圆与集合）、第5题（线性规划与平面向量），由于基础试题的综合性，使考查的力度明显加大.请看：（理第5题）已知平面直角坐标系xOy上的区域D 由不等式组0≤x≤■,y≤2,x≤■y给定.若M(x，y)为D上动点，点A的坐标为(■，1)．则z=■?■的最大值为（）A. 4■B. 3■C. 4D. 3简解:如图，区域D为四边形OABC及其内部区域，z=（x,y）?（■,1）=■x+y,即z为直线则y=-■x+z的纵截距，显然当直线y=-■x+z经过点Ｂ（■，２）时，z取到最大值，从而zmax=（■）２＋２＝４，故选Ｃ.这是一道位于试卷第5的试题，应该说是一道简单题，但做起来并非十分简单.首先要会计算z=■?■，然后，再回归线性规划问题.此题能保证百分这八十的考生都能做对吗？我看很难.（2）部分试题背景新颖、思路灵活高考的公平性原则对命题人设计试题的背景提出了较高的要求.本次考试，有些试题的设计确实让你不得不佩服得五体投地，请看：第13题“某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm.”解析：根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的对应数据可列表如下：■=173,■=176,∴b=■=■＝１,a=■-b■=176-173=1, ∴所以回归直线方程为y=x+3，从而可预测也他孙子的身高为１８２＋３＝１８５cm.对于此题本人在高二的两个班中进行课前小测让学生用八分钟的时间完成，结果一个班中50名同学只有11人做对，另一个班50名同学中只有10 人做对.高考的结果也可想而知了.为什么会这样呢？试题背景新、灵活性自然增大，在本题中其实有四代人，其中三个父亲、三个儿子，认清这一点后x,y的变量的关系式也就产生了，否则，结论永远无法产生.（3）加强思想、方法的考查数学思想是数学的精髓，对数学解题具有指导作用；本卷中主要考查的数学思想有：①特殊化思想：第3题：若向量■,■,■满足■//■,且■⊥■,则■?（■＋２■）＝（）A．4B．3C．2D．0解：由■//■，令■=（1,0）,■=（2,0），又■⊥■，令■=（0,1），则立得答案D.第4题：设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+g（x）是偶函数B. f（x）-g（x）是奇函数C．f（x）＋g（x）是偶函数D．f（x）-g（x）是奇函数解：设f（x）=x2，g（x）=x，则立得答案A.②数形结合思想，如第19题：设圆C与两圆（x+■）2+y2=4,（x-■）2+y2=4中的一个内切，另一个外切.（1）求C的圆心轨迹L的方程.（2）已知点M（■,■）,F（■,0）且P为L上动点，求MP-FP的最大值及此时点P的坐标.我们看：解：（１）设Ｆ′（－■,0）,Ｆ（■,0）,并设圆Ｃ的半径为r，则CF ′-CF=（２＋r）-（r-2）=4,又４■，∴P点的横坐标应取■＝■，代入得其纵坐标为－■，综上所述，MP-FP的最大值为２，此时点Ｐ的坐标为（－■，■）.本题的两问中，集中体现的是数形结合思想.第一问通过画出图形，结合图形产生了“CF ′－CF＝４”，进一步产生结论，第二问的求解中，我们不仅能够从“MP-FP”中窥视到三点共线时产生最值，还能够从中找出哪一点是取得最值的点.数形结合，不仅便于直观求解，更重要的是它产生结论的方法，几乎是唯一方法.③归纳、猜想、证明.第20题“设b>0,数列an满足a1=b,an=■（n≥2）,（1）求数列{an}的通项公式”解：当b=2时，■=■+■,此时，■=■,从而an=2.当b≠2时，a1=b，a2=■=■,a3=■=■,猜想an=■，下面用数学归纳法证明：①当n=1时，猜想显然成立；②假设当n=k时，ak=■，则ak+1=■=■=■，所以当n=k+1时，猜想成立，由①②知，?坌n∈N*，an=■．很早以前，高考特别重视对这一思想方法的考查.时至今日，它又卷土重来，重新让我们走这条路.想一想，不奇怪.新课标教材对考生观察、分析、推理、论证的能力有特殊要求，为此还在教材中专门设立一章“推理与证明”，显然，这就非常正常了.另有方程思想、函数思想、分类讨论思想等都溶解试题的求解过程之中.数学思想、方法的合理选择，可以看出考生思维的灵活性，把数学思想方法置于数学试题之中可以很快的抓住问题的本质，准确的将问题转化，从而顺利地进行求解.（4）精巧试题层出不穷，亮点随处可见理科第6、7、8、13、20、21题，文科第2、6、7、9、10、12、13、18、19、21题等都是非常漂亮的精巧试题，欣赏一下理科的第8题：设S是整数集Z的非空子集，如果?坌a,b∈S,有ab∈S,则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z且?坌a,b,c∈T，有abc∈T,?坌x,y,z∈V有xyz∈V．则下列结论恒成立的是（）A．T,V中至少有一个关于乘法是封闭B．T,V中至多有一个关于乘法是封闭C．T,V中有且只有一个关于乘法是封闭D．T,V中每一个关于乘法是封闭分析：若C正确，则T,V中有且只有一个关于乘法是封闭，此时A一定正确；于是C一定不正确；同理若D正确，则A也一定正确；于是正确答案就在A、B之中.又当Ｔ＝奇数，Ｖ＝偶数时，T,V显然关于乘法都是封闭的，故选A.（5）注重知识的交汇性关注知识的内在联系和综合，在知识网络的交汇点处设计试题，是高考命题改革与发展的基本要求；本套试卷较准确地突出了这一要求；第16题文理试题几乎相同，本题考查了三角函数、诱导公式、特殊角的三角函数值、两角和与差的三角函数等，将三角的知识与技能融为一体进行了较综合的考查，但试题难很小，属于广大考生普遍能得分之题.第17题文、理都是概率统计题考到的基础知识有：抽样方法、标准差、统计表、古典概型、分布列与数学均值等.立体几何主要考查线面位置关系，文理试题的难度都不大，但求解此题应用立几中的所有的基础知识与基本技能，可以说是立几范围内质量较好的综合性试题.注：理科题还可以建立空间直角坐标系进行求解，只是要找好三条两两垂直的直线.最具代表性的试题是理科第20题的第二问，让我们一起来欣赏一下：当b=2时，an=2,■+1=2,∴an=■+1,从而原不等式成立;当b≠2时，要证an≤■+1,只需证■≤■+1,即证■≤■＋■,即证■≤■＋■,即证n≤■+■+■+…+■+■+■+■+…+■+■，而上式左边=（■+■）＋（■+■）+…+（■+■）＋（■+■）≥２■＋２■＋…＋２■＋２■=n.∴当b≠2时，原不等式也成立，从而原不等式成立.本题与不等式的交汇达到了近乎完美的程度，既相当隐含又非常灵活.（6）加强对算运算的合理性与科学性的考查2011年高考考纲明确指出，运算能力包括分析运算条件，探究运算方向，选择运算公式，确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.下面我们一起来欣赏理科压轴题，看看在这一题中是如何体现考纲的要求.在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线Ｌ:y＝■x2.实数p,q满足p2-4q≥0,x1,x2是方程x2-px+q=0的两根，记??I（p,q）=max{x1,x2}.（１）过点A（p0,■p02）（p0≠0）作Ｌ的切线交y轴于点Ｂ.证明：对线段ＡＢ上的任一点Ｑ（p,q）,有??I（p,q）=■;（2）设M（a,b）是定点，其中a,b满足a2-4b>0,a≠0.过M（a,b）作L的两条切线l1,l2，切点分别为E（p1,■p12），E′（p2,■p22）,l1,l2与y分别交于F,F′.线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M（a,b）∈X?圳p1>p2?圳??I（a,b）=■；（3）设D=（x,y）y≤x-1,y≥■（x+1）2-■，当点（p,q）取遍D时，求?渍（p,q）的最小值（记为?渍min）和最大值记为（记为?渍max）.解：（１）显然A（p0,■p02）在抛物线L上，∴过点Ａ的抛物线Ｌ的切线方程为：y-■p02=■p0（x-p0），即y=■p0x-■p02，若p0>0，则线段AB的方程为y=■p0x-■p02（0≤x ≤po）；若p00时，0≤p≤p0，则??I（p,q）=max{x1,x2}=■=■=■；当p00,b=（a-p1）2（a>p1或ap1时，?渍（a,b）＝■=a-■≠■（∵a≠p1）；当a0（如下图），∴b=（a-p1）2（p1p2，∴p1>p2，同理，当p1>0时，由Ｍ（a,b）∈X，可得p1>p2，综上所述Ｍ（a,b）∈X?圳p1>p2 ?圳?渍（a,b）＝■.（３）如下图，Ｄ表示直线y=x-1下方及抛物线y=■（x+1）2-■上方的区域（含边界），易知Ａ（0,-1）,B（2,1），当点（p,q）∈D时，■（p+1）2-■≤q≤p-1，从而（p-2）2≤p2-4q≤4-2p （0≤p≤2），■≤?渍（p,q）=■≤■，∴?渍（p,q）≥■=1，即?渍min=1，设■=t∈[0,2],则■＝■=■=■≤■，∴?渍max=■，综上所述，?渍min=1，?渍max=■.很多考生反映本题的难度大，读一遍都十分吃力.首先本题的新定义“??I（p,q）=max{x1，x2}”让一少考生无法认识.其次，在第一问的证明上条件“对线段ＡＢ上的任一点Ｑ（p,q）”的利用，也让不少考生难以下手，这些都增大试题的难度.其实第一问还算常规建立在分类的基础上，利用上Ｑ（p,q）在线段AB上，不难产生结论.第二问难度较大，应该说是四个命题的合成，首先可以充分利用第一问的结论，说明“若Ｍ（a,b）∈X，则?渍（a,b）＝■”及“当Ｍ（a,b）?埸X时，?渍（a,b）≠■”，显然这里既证明了原命题也证明了否命题，合在一起正好证明了一个充要条件.再结合方程说明“Ｍ（a,b）∈X?圳p1>p2”，也就完成了第二问的证明.可见对运算的合理与科学性的要求有多高？第三问其实是一个独立的内容，首先求得p的范围，进一步转化为求闭区间上函数的最值，应该说，这一问的难度是不太大的，若不是被前两问吓蒙了的话，完成这一问的求解是完全有可能的.（7）热点、重点内容的考查当向量、导数、概率与统计进入中学教材以来，始终是倍受关注的热点.人们普遍认为：高考一定会考.理由很简单，因它是新增的，要借助高考的“指挥大棒”来召示中学师生：这些内容很重要.理科卷，仅上述三个内容试题分值已超过35分（即第3、6、13、17、21题）；文科卷，仅上述三个内容试题分值已达35分（即第3、13、17、19题）.可见，热点果然有内容.另一个古老的热点问题：应用性问题.考试说明对应用意识要求较高，它指出：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.本次试卷中，理科考了三题，涉及分数约23分，文科考了两题涉及分数约18分.与去年相比有较大的减少.二、试卷的布局理科卷中选择题与填空题共14道，有两题（第8题与第13题）属于难题.第6题、第10题与第13题皆属于概率与统计试题，第6题的隐含条件隐的“太深”，轻易发现不了，当发现后就不难了.但第8题与第13题就不同，它真的很难.六个解答题第16题、第17题、第18题属于基础题与中档题，只要练习到位还是很容易得分的，值得一提的是，只要你在高考前认真的阅读过《高中》关于高考的预测的几篇文章，完成这几题也不成问题，因为它都在哪几篇文章的预测之中.后三题都有难度，尤其是最后两题，对于很多考生几乎都成了废题，中山市广一模的数学冠军说：最后一题连读三遍，不明其意，只得放弃.可以看出难题的分布欠佳，第8题、第13题及最后两题，它使整个分数下了几个档次.虽然我们也曾指导学生，当遇到不会做的题时，要学会跳过去；但由于心理因素，“量尺”度量的准确性是会打折扣的.但难题多的时候，都跳过去吗？显然，这也或多或少的影响分数的信度.三、2012年高考复习建议看看2011，想想2012；有几点应该引起我们的关注：（1）基础知识、基本技能、基本方法始终是高考试题考查的重点，且从近年的高考试题看，对基础知识的要求更高、灵活性更大了，只有基础扎实的考生才能正确地作出判断.（2）结合具体问题加强数学思想方法的训练，注意通性、通法，淡化特殊技巧；（3）以逻辑思维能力为核心，抓住运算能力是思维能力与运算技巧结合的特点强化运算能力，同时兼顾算理及逻辑推理能力；（4）从对空间图形的观察、分析、变换、抽象入手，培养空间想象能力；（5）新增内容是高考试题新的滋生点，面对新增内容要注意深度与广度，既要抓住它与其它知识的交汇题，更要注意新情境下，设计的新问题；（6）应用性问题每年都会考，新的课标把中学生的建模能力、解决实际问题的能力，提出的很响亮，用什么方式引起中学师生的关注呢？谁都会用考试的指挥棒.（作者单位：中山市第一中学）责任编校徐国坚“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”。

2011年全国高考数学试题(理)(广东卷)

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工类）（广东卷）注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则()nna b a b -=-12(n n aa b --++…21n n ab b --+）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i - 2．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ∙+=Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是Ａ．()()f x g x +是偶函数Ｂ．()()f x g x -是奇函数Ｃ．()()f x g x +是偶函数Ｄ．()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

2011年高考试题数学理(广东卷)解析版

绝密★启用前试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．线性回归方程y bx a =+中系数计算公式121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 表示样本均值．n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i - 1．（B ）．22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++- 2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．32．（C ）．A B ⋂的元素个数等价于圆221x y +=与直线y x =的交点个数，显然有2个交点 3．若向量,,a b c 满足a ∥b 且⊥a c ，则(2)⋅+=c a bA ．4B ．3C ．2D ．0正视图图1侧视图图2俯视图图34．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()()f x g x +是偶函数 B ．()()f x g x -是奇函数 C ．()()f x g x +是偶函数 D ．()()f x g x -是奇函数4．（A ）．由()f x 是偶函数、()g x 是奇函数，得()f x 和()g x 都是偶函数，所以()()f x g x +与()()f x g x -都是偶函数，()()f x g x +与()()fx g x -的奇偶性不能确定5．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为A． B ． C ．4D ．3 5．（C ）．zy =+，即y z=+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线yz =+经过点2)时，z 取得最大值，max 24z ==6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12 B ．35 C ．23 D ．346．（D ）．乙获得冠军的概率为111224⨯=，则甲队获得冠军的概率为13144-=7．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．7．（B ）．该几何体是一个底面为平行四边形，高为3则33V Sh ===8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z ⋃=，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 8．（A ）．若T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、C若T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，排除D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9．不等式13x x +--≥0的解集是． 9．[1,)+∞．13x x +--≥0 ⇒1x +≥3x -⇒2(1)x +≥2(3)x -⇒x ≥110．72()x x x-的展开式中，4x 的系数是（用数字作答） 10．84．72()x x x -的通项7821772()(2)r r r rr r r T xC x C x x--+=-=-，由824r -=得2r =，则227(2)84C -=11．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k = ． 11．10．方法1：由94S S =得93646d d +=+，求得16d =-，则4111(1)()13()066k a a k +=+-⨯-++⨯-=，解得10k =方法2：由94S S =得567890a a a a a ++++=，即750a =，70a =，即104720a a a +==，即10k = 12．函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值． 12．2．2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或2x =，显然当0x <时()0f x '>；当02x <<时()0f x '<；当2x >时()0f x '>，函数32()31f x x x =-+在2x =处取得极小值13．某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm ． 13．185．设父亲的身高为x cm ，儿子的身高为y cm ，则根据上述数据可得到如下表格：上表中的最后一组(182,?)是预测数据，173,176x y ==12221()()00361033()niii nii x x y y b xx ==--++⨯===++-∑∑，3a y bx =-=线性回归方程3y x =+，所以当182x =时，185y =，即他孙子的预测身高为185 cm ．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为sin x yθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩(t ∈)R ，它们的交点坐标为___________．14．(1,)5． sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(01)x y <≤≤≤，254x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x = 22221(01)5450145x y x y x x x y x ⎧+=<≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩或5x =-（舍去），又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为图4COPBA15．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于,A B ，且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，BAC APB ∠=∠，则AB =___________．15由弦切角定理得PAB ACB ∠=∠，又BAC APB ∠=∠，则△PAB ∽△ACB ，则PB AB AB BC=，235AB PB BC =⋅=，即AB =三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求5()4f π的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值．16．解：（1）515()2sin()2sin 43464f ππππ=⨯-==（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α=16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12cos 13α==，4sin 5β== ∴1235416cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=17．（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥且75y ≥时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．17．解：（1）设乙厂生产的产品数量为a 件，则98145a =，解得35a = 所以乙厂生产的产品数量为35件（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有2件是优等品由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为235145⨯=（件）（3）ξ可能的取值为0，1，223253(0),10C P C ξ=== 1123256(1),10C C P C ξ=== 22251(2),10C P C ξ===∴ξ的分布列为：∴3614012.1010105E ξ=⨯+⨯+⨯=图5CDPBAEFCDPAE FH 18．（本小题满分13分）如图5，在锥体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的菱形，且60DAB ∠=，PA PD ==2PB =，,E F分别是BC ,PC 的中点．（1）证明：AD ⊥平面DEF ；（2）求二面角P AD B --的余弦值．18．（1）证明：取AD 的中点H ，连接,,PH BH BD∵PA PD =，∴AD PH ⊥∵在边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠= ∴△ABD 是等边三角形∴AD HB ⊥，PH HB H = ∴AD ⊥平面PHB ∴AD PB ⊥∵,E F 分别是BC ,PC 的中点 ∴EF ∥PB ，HB ∥DE∴AD DE ⊥，AD EF ⊥，DEEF E =∴AD ⊥平面DEF（2）解：由（1）知PH AD ⊥，HB AD ⊥ ∴PHB ∠是二面角P AD B --的平面角易求得22PH BH ==∴2227334cos 27PH HB PB PHB PH HB+--+-∠====-⋅ ∴二面角P AD B --的余弦值为7-设圆C与两圆22(4x y +=，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点M，F ，且P 为L 上动点，求MP FP - 的最大值及此时点P 的坐标．19．解：（1）设(F F '，圆C 的半径为r ，则(2)(2)4CF CF r r '-=+--=< ∴C 的圆心轨迹L 是以,F F '为焦点的双曲线，2a =，c =1b =∴C 的圆心轨迹L 的方程为2214x y -= （2）2MP FP MF -≤== ∴MP FP - 如图所示，P 必在L 直线MF 的斜率2k =-:2MF y x =-+22142x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩215280x -+= 6)0--=12155x x == ∵P x ，∴P x =，P y =∴MP FP - 的最大值为2，此时P 为设0b >，数列{}n a 满足1a b =，1122n n n nba a a n --=+-(2)n ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．20．（1）解：∵1122n n n nba a a n --=+-∴1122n n n a ba n a n --=+- ∴1211n n n n a b a b--=⋅+ ① 当2b =时，1112n n n n a a ---=，则{}n n a 是以12为首项，12为公差的等差数列 ∴11(1)22n n n a =+-⨯，即2n a = ② 当0b >且2b ≠时，11211()22n n n n a b b a b--+=+-- 当1n =时，122(2)n n a b b b +=-- ∴1{}2n n a b +-是以2(2)b b -为首项，2b为公比的等比数列 ∴112()22n n n a b b b+=⋅-- ∴212(2)2(2)n n n n nn n b a b b b b b-=-=--- ∴(2)2nn n nn b b a b-=- 综上所述(2),02222nn n n n b b b b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩　且，（2）方法一：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，12212(2)(222)nnn n n n b b b b b -----=-++++1221222nnnn n n n nnn ba b b b ----⋅=≤=++++111211112222222n n n n n n n n b b b b+++---++=====<=⋅1112n n b +++∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．方法二：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，要证1112n n n b a ++≤+，只需证11(2)122n n n n n nb b b b ++-≤+-，即证1(2)122n n n nn b b b b+-≤+- 即证1221112222n n n n n n n b b b b b ----+≤+++++ 即证122111()(222)2n n n n n n b b b b n b----++++++≥即证2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b n b b b b---+-+++++++++≥ ∵2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b b bb b---+-+++++++++2121232111222()()()()2222n n n n n n n n b b b b b b b b----+=++++++++122n nb n -≥+=，∴原不等式成立 ∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：214y x =．实数,p q 满足24p q -≥0，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记12(,)max{,}p q x x ϕ=．（1）过点2001(,)4A p p 0(0)p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0(,)2p p q ϕ=；（2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240a b ->，0a ≠．过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为2111(,)4E p p ，2221(,)4E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '．线段EF 上异于两端点的点集记为X ．证明：112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）设{(,)|D x y y =≤1x -，y ≥215(1)}44x +-．当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值（记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）21．解：（1）2001(,)4A p p 是抛物线L 上的点，12y x '=，则切线的斜率012k p = 过点A 的抛物线L 的切线方程为AB ：200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =- ∵(,)Q p q 在线段AB 上，∴2001124q p p p =-， ∴22220001144()()24p q p p p p p p -=--=-≥0不妨设方程20x px q -+=的两根为1x =2x = 则012p p p x --=，022p p p x +-=① 当00p >时，00p p ≤≤，001222p p p x p -==-，022p x = ∵00122p p x -<≤，∴12x x ≤，∴122(,)max{,}p q x x x ϕ==02p = ② 当00p <时，00p p ≤≤，012p x =，002222p p p x p -==- ∵00222p p x ≤<-，∴12x x ≥，∴121(,)max{,}p q x x x ϕ==02p = 综上所述，对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0(,)2p p q ϕ=（2）由（1）知抛物线L 在2001(,)4p p 处的切线方程为2001124y p x p =-，即200240p p x y -+= ∵切线恒过点(,)M a b ，则200240p ap b -+=，∴21,24p a a b =-① 当0a >时，(,)M a b X ∈⇔10a p <<⇔214p a a b =-，224p a a b =-⇔12p p > ② 当0a <时，(,)M a b X ∈⇔10p a <<⇔214p a a b =-，224p a a b =-⇔12p p > 综合①②可得(,)M a b X ∈⇔12p p >∵由（1）可知，若2111(,)4E p p ，点(,)M a b 在线段EF 上，有1(,)2p a b ϕ=∴(,)M a b X ∈⇒1(,)2p a b ϕ=③ 由（1）可知，方程20x ax b -+=的两根11,22p x =或12p a -，21,22p x =或22p a - 若1(,)2p a b ϕ=，即112max{,}2p x x = 则1122p a p -≥、 2122p p ≥、 2122p a p -≥ ∴12p p > ∴1(,)2p a b ϕ=⇒12||||p p >⇒(,)M a b X ∈ ④ 综合③④可得(,)M a b X ∈⇔1(,)2p a b ϕ= 综上所述112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）由2115(1)44y x y x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩，求得两个交点(0,1),(2,1)- 则02p ≤≤，过点(,)G p q 作抛物线L 的切线，设切点为N 2001(,)4x x ，切线与y 轴的交点为H 由（2）知200240x px q -+=，解得204x p p q =-① 若0x p =+(,)G p q 在线段NH 上由1y x ≤-，得1q p ≤-，∴022x p p p p =+≥=+-=， ∴0m min in )12(x ϕ==．由215(1)44y x ≥+-，得221511(1)14442q p p p ≥+-=+- ∴2442p q p -≤-，∴0x p p =+≤+t =，则2122p t =-+，02t ≤≤ ∴22011552(1)2222x t t t ≤-++=--+≤ ∴0max max 5)24(x ϕ==② 若0x p =(,)G p q 在线段NH 的延长线上方程20x px q -+=的两根为012p p x x --=，022p p x x +-= 即01,22x x =或02x p - ∵0x p ≤ ∴00012(,)max{,}max{,}222x x x p q x x p p ϕ==-=-p ==51(,)4p q ϕ≤≤ 综上所述min 1ϕ=，max 54ϕ=。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(广东.文)含详解

绝密★启用前试卷类型：B2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑ ， ay bx =- ，样本数据12,,,n x x x 的标准差，222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x ，y 表示样本均值．n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ ．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足1iz =，其中i 为虚数单位，则z =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且1}x y +=，则A B ⋂的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 3．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ=A ．14 B ．12C ．1D ．2 4．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-⋃+∞ D ．(,)-∞+∞5．不等式2210x x -->的解集是A ．1(,1)2-B ．(1,)+∞C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为(2,1)，则z OM OA=⋅的最大值为A ．3B ．4C ．32D ．4223正视图图1侧视图图22 俯视图 2图37．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有A ．20B ．15C ．12D ．10 8．设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，则C 的圆心轨迹为A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆 9．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A ．43 B ．4 C ．23 D ．210．设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()f g ()x 和()f g ()x ：对任意x ∈R ，()f g ()x =(())f g x ；()f g ()x =()()f x g x ，则下列等式恒成立的是A ．(()f g h )()x =(()f h ()g h )()xB ．(()f g h )()x =(()f h ()g h )()xC ．(()f g h )()x =(()f g ()g h )()xD ．(()f g h )()x =(()f g()g h )()x二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（9 ~ 13题）11．已知{}n a 是递增的等比数列，若22a =，434a a -=，则此数列的公比q = ．12．设函数3()cos 1f x x x =+．若()11f a =，则()f a -= ．13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x （单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：图4BAC DEF时间x 1 2 3 4 5 命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩(t ∈)R ，它们的交点坐标为___________．15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，4AB =，2CD =，,E F 分别为,AD BC 上的点，且3EF =， EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求(0)f 的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值．17．（本小题满分13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为n (1,2,,6)n = 的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5 成绩n x7076727072（1）求第6位同学的成绩6x ，及这6位同学成绩的标准差s ；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．18．（本小题满分13分）图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右BAB 'A 'CC 'DD 'EE 'G H '1O2O1O '2O '图5水平平移后得到的．,,,A A B B ''分别为 CD , C D '', DE , D E ''的中点，1122,,,O O O O ''分别为CD ,C D '', DE ,D E ''的中点．（1）证明：12,,,O A O B ''四点共面；（2）设G 为AA '中点，延长1A O ''到H '，使得11O H A O ''''=．证明：2BO '⊥平面H B G ''．19．（本小题满分14分）设0a >，讨论函数2()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性． 20．（本小题满分14分）设0b >，数列{}n a 满足1a b =，111n n n nba a a n --=+-(n ≥2)．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，2n a ≤11n b ++．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，直线l ：2x =-交x 轴于点A ．设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足MPO AOP ∠=∠．（1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知(1,1)T -，设H 是E 上动点，求HO HT +的最小值，并给出此时点H 的坐标；（3）过点(1,1)T -且不平行于y 轴的直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k 的取值范围．1．（A ）．1()iz i i i i -===-⨯- 2．（C ）．A B ⋂的元素个数等价于圆221x y +=与直线1x y +=的交点个数，显然有2个交点 3．（B ）．(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=124．（C ）．10110x x x -≠⎧⇒>-⎨+>⎩且1x ≠，则()f x 的定义域是(1,1)(1,)-⋃+∞5．（D ）．21210(1)(21)02x x x x x -->⇒-+>⇒<-或1x >，则不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞6．（B ）．2z x y =+，即2y x z =-+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线2y x z =-+经过点(2,2)时，z 取得最大值，max 2224z =⨯+=7．（D ）．正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有5210⨯=条8．（A ）．依题意得，C 的圆心到点(0,3)的距离与它到直线1y =-的距离相等，则C 的圆心轨迹为抛物线 9．（C ）．该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积1223232S =⨯⨯=，四棱锥的高为3，则该几何体的体积112332333V Sh ==⨯⨯= 10．（B ）．11．2． 2243224422402(2)(1)0a a a q a q q q q q -=⇒-=⇒--=⇒-+=2q ⇒=或1q =-∵{}n a 是递增的等比数列，∴2q =12．9-3()cos 111f a a a =+=，即3()cos 10f a a a ==，则33()()cos()1cos 11019f a a a a a -=--+=-+=-+=- 13．0.5；0.53小李这5天的平均投篮命中率1(0.40.50.60.60.4)0.55y =++++= 3x =，1222221()()0.2000.1(0.2)0.01(2)(1)012()niii ni i x x y y bx x ==--++++-===-+-+++-∑∑ ， 0.47a y bx =-=∴线性回归方程 0.010.47y x =+，则当6x =时，0.53y = ∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.5314．25(1,)5．5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(5501)x y -<≤≤≤且，254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =,22221(5501)5450145x y x y x x x y x ⎧+=-<≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩且或5x =-（舍去），又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为25(1,)515．75如图，延长,AD BC ，AD BC P =∵23CD EF =，∴49PCD PEF S S ∆∆= ∵24CD AB =，∴416PCD PEF S S ∆∆= ∴75ABEF EFCDS S =梯形梯形16．解：（1）(0)2sin()16f π=-=-（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α= 16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴212cos 1sin 13αα=-=，24sin 1cos 5ββ=-= ∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=17．解：（1）61(7076727072)756x +++++=，解得690x = PBAC DEFxy O2x =-AP l MM标准差22222222212611[()()()](5135315)766s x x x x x x =-+-++-=+++++= （2）前5位同学中随机选出的2位同学记为(,)a b ，,{1,2,3,4,5}a b ∈且a b ≠则基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中设A 表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中” 则A 中的基本事件有(1,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)共4种，则42()105P A == 18．证明：（1）连接2,BO 22,O O '依题意得1122,,,O O O O ''是圆柱底面圆的圆心∴,,,CD C D DE D E ''''是圆柱底面圆的直径∵,,A B B ''分别为 C D '', DE , D E ''的中点∴1290A O D B O D ''''''∠=∠=∴1A O ''∥2BO '∵BB '//22O O '，四边形22O O B B ''是平行四边形∴2BO ∥2BO ' ∴1A O ''∥2BO ∴12,,,O A O B ''四点共面（2）延长1A O '到H ，使得11O H AO ''=，连接1,,HH HO HB '' ∵11O H A O ''''=∴1O H ''//2O B ''，四边形12O O B H ''''是平行四边形 ∴12O O ''∥H B ''∵1222O O O O '''⊥，122O O B O ''''⊥，2222O O B O O ''''= ∴12O O ''⊥面22O O B B ''∴H B ''⊥面22O O B B ''，2BO '⊂面22O O B B '' ∴2BO H B '''⊥易知四边形AA H H ''是正方形，且边长2AA '=∵11tan 2HH HO H O H '''∠==''，1tan 2A G A H G A H '''∠==''∴1tan tan 1HO H A H G ''''∠⋅∠=∴190HO H A H G ''''∠+∠= ∴1HO H G ''⊥易知12O O ''//HB ，四边形12O O BH ''是平行四边形∴2BO '∥1HO '∴2BO H G ''⊥，H G H B H ''''= ∴2BO '⊥平面H B G ''21．解：（1）如图所示，连接OM ，则PM OM =∵MPO AOP ∠=∠，∴动点M 满足MP l ⊥或M 在x 的负半轴上，设(,)M x yxy O 2x =-TN l HNH∙H xy O TA 1l 1l1l① 当MP l ⊥时，2MP x =+，22OM x y =+222x x y +=+，化简得244y x =+(1)x ≥-② 当M 在x 的负半轴上时，0y =(1)x <-综上所述，点M 的轨迹E 的方程为244y x =+(1)x ≥-或0y =(1)x <-（2）由（1）知M 的轨迹是顶点为(1,0)-，焦点为原点的抛物线和x 的负半轴0y =(1)x <- ① 若H 是抛物线上的动点，过H 作HN l ⊥于N由于l 是抛物线的准线，根据抛物线的定义有HO HN = 则HO HT HN HT +=+当,,N H T 三点共线时，HN HT +有最小值3TN =求得此时H 的坐标为3(,1)4--② 若H 是x 的负半轴0y =(1)x <-上的动点显然有3HO HT +>综上所述，HO HT +的最小值为3，此时点H 的坐标为3(,1)4-- （3）如图，设抛物线顶点(1,0)A -，则直线AT 的斜率12AT k =-∵点(1,1)T -在抛物线内部，∴过点T 且不平行于,x y 轴的直线1l 必与抛物线有两个交点则直线1l 与轨迹E 的交点个数分以下四种情况讨论： ① 当12k ≤-时，直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点 ② 当102k -<<时，直线1l 与轨迹E 有且只有三个不同的交点 ③ 当0k =时，直线1l 与轨迹E 有且只有一个交点 ④ 当0k >时，直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点综上所述，直线1l 的斜率k 的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞。

2011年高考广东卷文科数学试题与答案

2011年高考广东卷文科数学试题与答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足1iz =，其中i 为虚数单位，则z =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 1．（A ）．1()i z i i i i -===-⨯-2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且1}x y +=，则A B⋂的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．12．（C ）．A B ⋂的元素个数等价于圆221x y +=与直线1x y +=的交点个数，显然有2个交点 3．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ= A ．14B ．12C ．1D ．23．（B ）．(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=124．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)(1,)-⋃+∞D ．(,)-∞+∞4．（C ）．10110x x x -≠⎧⇒>-⎨+>⎩且1x ≠，则()f x 的定义域是(1,1)(1,)-⋃+∞5．不等式2210x x -->的解集是 A ．1(,1)2-B ．(1,)+∞C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞5．（D ）．21210(1)(21)02x x x x x -->⇒-+>⇒<-或1x >，则不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞6．已知平面直角坐标系xO y 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为(2,1)，则z O M O A=⋅的最大值为A ．3B ．4C ．32D ．4223正视图图1 侧视图图22 俯视图 2图36．（B ）．2z x y =+，即2y x z =-+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线2y x z =-+经过点(2,2)时，z 取得最大值，m ax 2224z =⨯+=7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有A ．20B ．15C ．12D ．10 7．（D ）．正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有5210⨯=条 8．设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，则C 的圆心轨迹为 A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆8．（A ）．依题意得，C 的圆心到点(0,3)的距离与它到直线1y =-的距离相等，则C 的圆心轨迹为抛物线 9．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A ．43 B ．4C ．23D ．29．（C ）．该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积 1223232S =⨯⨯=，四棱锥的高为3，则该几何体的体积112332333V S h ==⨯⨯=10．设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()f g ()x 和()f g ()x ：对任意x ∈R，()f g ()x =(())f g x ；()f g ()x =()()f x g x ，则下列等式恒成立的是A ．(()f g 　h )()x =(()f h ()g h )()x B ．(()f g h )()x =(()f h ()g h )()x C ．(()f g h )()x =(()f g ()g h )()x D ．(()f g h )()x =(()f g ()g h )()x 10．（B ）．对A 选项 (()f g 　h )()x =()f g ()()x h x (())()f g x h x = (()f h ()g h )()x =()f h (()()g h x )=()f h ((()()g x h x ) (()())(()())f g x h x h g x h x = ，故排除A对B 选项 (()f g h )()x =()(())f g h x = (())(())f h x g h x (()f h 　()g h )()x =()()()()f h x g h x (())(())f h x g h x =，故选B对C 选项 (()f g h )()x =()(())f g h x ((()))f g h x =(()f g ()g h )()x =()(()())()((()))f g g h x f g g h x = (((())))f g g h x =，故排除C对D 选项 (()f g h )()x =()()()()()()f g x h x f x g x h x =(()f g 　()g h )()x =()()()()()()()()f g x g h x f x g x g x h x = ，故排除D二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（9 ~ 13题）11．已知{}n a 是递增的等比数列，若22a =，434a a -=，则此数列的公比q = ． 11．2．2243224422402(2)(1)0a a a q a q q q q q -=⇒-=⇒--=⇒-+=2q ⇒=或1q =-∵{}n a 是递增的等比数列，∴2q =12．设函数3()cos 1f x x x =+．若()11f a =，则()f a -= ． 12．9-3()cos 111f a a a =+=，即3()cos 10f a a a ==，则33()()cos()1cos 11019f a a a a a -=--+=-+=-+=-13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x （单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：时间x 1 2 3 4 5 命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为． 13．0.5；0.53小李这5天的平均投篮命中率1(0.40.50.60.60.4)0.55y =++++=3x =，1222221()()0.2000.1(0.2)0.01(2)(1)012()nii i ni i xx y y bx x ==--++++-===-+-+++-∑∑， 0.47ay b x =-= ∴线性回归方程0.010.47y x =+，则当6x =时，0.53y = ∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53图4BAC DEF（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5c o s sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩(t ∈)R ，它们的交点坐标为___________．14．25(1,)5．5c o s sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(5501)x y -<≤≤≤且，254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x = 22221(5501)5450145x y x y x x x y x ⎧+=-<≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩且或5x =-（舍去），又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为25(1,)515．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形A B C D 中，A B ∥C D ，4A B =，2C D =，,E F 分别为,A D B C 上的点，且3E F =， E F ∥A B ，则梯形A B F E 与梯形E F C D 的面积比为________．15．75如图，延长,A D B C ，A D B C P =∵23C D E F =，∴49P C D P E F S S ∆∆=∵24C D A B=，∴416P C D P E FS S ∆∆=∴75A B E F E F C DS S =梯形梯形PBAC DEF三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin ()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求(0)f 的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值．16．解：（1）(0)2sin ()16f π=-=- （2）110(3)2sin [(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α=16(32)2sin [(32)]2sin ()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3co s 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴212co s 1sin 13αα=-=，24sin 1co s 5ββ=-=∴5312463sin ()sin co s co s sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=17．（本小题满分13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为n (1,2,,6)n = 的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5 成绩n x7076727072（1）求第6位同学的成绩6x ，及这6位同学成绩的标准差s ；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率． 17．解：（1）61(7076727072)756x +++++=，解得690x =标准差22222222212611[()()()](5135315)766s x x x x x x =-+-++-=+++++=（2）前5位同学中随机选出的2位同学记为(,)a b ，,{1,2,3,4,5}a b ∈且a b ≠则基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中设A 表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中”则A 中的基本事件有(1,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)共4种，则42()105P A ==BAB 'A 'CC 'DD 'EE 'GH '1O2O1O ' 2O '图5BAB 'A 'CC 'DD 'EE 'GH '1O2O1O ' 2O 'H18．（本小题满分13分）图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．,,,A A B B ''分别为 C D , C D '', D E , D E ''的中点，1122,,,O O O O ''分别为C D ,C D '', D E ,D E ''的中点．（1）证明：12,,,O A O B ''四点共面；（2）设G 为A A '中点，延长1A O ''到H '，使得11O H A O ''''=．证明：2B O '⊥平面H B G ''．18．证明：（1）连接2,B O 22,O O '依题意得1122,,,O O O O ''是圆柱底面圆的圆心 ∴,,,C D C D D E D E ''''是圆柱底面圆的直径∵,,A B B ''分别为 CD '', DE , D E ''的中点 ∴1290A O D B O D ''''''∠=∠=∴1A O ''∥2B O '∵B B '//22O O '，四边形22O O B B ''是平行四边形 ∴2B O ∥2B O '，1A O ''∥2B O ∴12,,,O A O B ''四点共面（2）延长1A O '到H ，使得11O H A O ''=，连接1,,H H H O H B '' ∵11O H A O ''''=∴1O H ''//2O B ''，四边形12O O B H ''''是平行四边形，∴12O O ''∥H B '' ∵1222O O O O '''⊥，122O O B O ''''⊥，2222O O B O O ''''= ∴12O O ''⊥面22O O B B ''∴H B ''⊥面22O O B B ''，2B O '⊂面22O O B B '' ∴2B O H B '''⊥易知四边形A A H H ''是正方形，且边长2A A '= ∵11tan 2H H H O H O H '''∠==''，1tan 2A G A H G A H '''∠==''，1tan tan 1H O H A H G ''''∠⋅∠=∴190H O H A H G ''''∠+∠=，即1H O H G ''⊥易知12O O ''//H B ，四边形12O O B H ''是平行四边形 ∴2B O '∥1H O '∴2B O H G ''⊥，H G H B H ''''= ∴2B O '⊥平面H B G ''． 19．（本小题满分14分）设0a >，讨论函数2()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性． 19．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞212(1)2(1)1()2(1)2(1)a a x a x f x a a x a xx---+'=+---=令2()2(1)2(1)1g x a a x a x =---+224(1)8(1)121644(31)(1)a a a a a a a ∆=---=-+=--① 当103a <<时，0∆>，令()0f x '=，解得1(31)(1)2(1)a a a x a a -±--=-则当1(31)(1)02(1)a a a x a a ----<<-或1(31)(1)2(1)a a a x a a -+-->-时，()0f x '>当1(31)(1)1(31)(1)2(1)2(1)a a a a a a x a a a a -----+--<<--时，()0f x '<则()f x 在1(31)(1)(0,)2(1)a a a a a -----，1(31)(1)(,)2(1)a a a a a -+--+∞-上单调递增，在1(31)(1)1(31)(1)(,)2(1)2(1)a a a a a a a a a a -----+----上单调递减② 当113a ≤≤时，0∆≤，()0f x '≥，则()f x 在(0,)+∞上单调递增③ 当1a >时，0∆>，令()0f x '=，解得1(31)(1)2(1)a a a x a a -±--=-∵0x >，∴1(31)(1)2(1)a a a x a a ----=-则当1(31)(1)02(1)a a a x a a ----<<-时，()0f x '>当1(31)(1)2(1)a a a x a a ---->-时，()0f x '<则()f x 在1(31)(1)(0,)2(1)a a a a a -----上单调递增，在1(31)(1)(,)2(1)a a a a a ----+∞-上单调递减20．（本小题满分14分）设0b >，数列{}n a 满足1a b =，111n n n n b a a a n --=+-(n ≥2)．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，2n a ≤11n b ++．20．（1）解：∵111n n n n b a a a n --=+-∴111n n n a b a n a n --=+-∴1111nn n n a b a b--=⋅+ ① 当1b =时，111nn n n a a ---=，则{}nn a 是以1为首项，1为公差的等差数列∴1(1)1nn n n a =+-⨯=，即1n a =② 当0b >且1b ≠时，11111()11nn n n a b b a b--+=+-- 当1n =时，111(1)nn a bb b +=--∴1{}1nn a b +-是以1(1)b b -为首项，1b为公比的等比数列∴111()11nnn a bb b+=⋅-- ∴111(1)1(1)n nnnn ba b bbb b-=-=---∴(1)1nn nn b b a b-=-综上所述(1),01111nn n n b bb b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩　且，（2）证明：① 当1b =时，1212n n a b+=+=；② 当0b >且1b ≠时，211(1)(1)nn n b b b bb---=-++++要证121n n a b +≤+，只需证12(1)11nn nn b b bb+-≤+-，即证2(1)11nnn b b bb-≤+-即证21211n n nnb b bbb--≤+++++即证211()(1)2n n nb b bbn b--+++++≥ 即证21121111()()2n nnn b b b b n bbbb --+++++++++≥∵21121111()()n nnn b b bb bbbb--+++++++++21211111()()()()n nn nb b bb bbbb--=++++++++2121111122222n n n nb b bb n bbbb--≥⋅+⋅++⋅+⋅= ，∴原不等式成立∴对于一切正整数n ，2n a ≤11n b++．xy O 2x =-APlMMxyO 2x =-TNl HNH∙Hxy O TA 1l1l1l21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xO y 上，直线l ：2x =-交x 轴于点A ．设P 是l 上一点，M 是线段O P 的垂直平分线上一点，且满足M P O A O P ∠=∠．（1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知(1,1)T -，设H 是E 上动点，求H O H T +的最小值，并给出此时点H 的坐标；（3）过点(1,1)T -且不平行于y 轴的直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k 的取值范围．21．解：（1）如图所示，连接O M ，则P M O M =∵M P O A O P ∠=∠，∴动点M 满足M P l ⊥或M 在x 的负半轴上，设(,)M x y ① 当M P l ⊥时，2M P x =+，22O M x y=+222x x y+=+，化简得244y x =+(1)x ≥-② 当M 在x 的负半轴上时，0y =(1)x <-综上所述，点M 的轨迹E 的方程为244y x =+(1)x ≥-或0y =(1)x <-（2）由（1）知M 的轨迹是顶点为(1,0)-，焦点为原点的抛物线和x 的负半轴0y =(1)x <- ① 若H 是抛物线上的动点，过H 作H N l ⊥于N由于l 是抛物线的准线，根据抛物线的定义有H O H N = 则H O H T H N H T +=+当,,N H T 三点共线时，H N H T +有最小值3T N = 求得此时H 的坐标为3(,1)4--② 若H 是x 的负半轴0y =(1)x <-上的动点显然有3H O H T +>综上所述，H O H T +的最小值为3，此时点H 的坐标为3(,1)4--（3）如图，设抛物线顶点(1,0)A -，则直线A T 的斜率12A T k =-∵点(1,1)T -在抛物线内部，数学（文科）试题B 第 11 页（共 11 页）∴过点T 且不平行于,x y 轴的直线1l 必与抛物线有两个交点则直线1l 与轨迹E 的交点个数分以下四种情况讨论：① 当12k ≤-时，直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点 ② 当102k -<<时，直线1l 与轨迹E 有且只有三个不同的交点③ 当0k =时，直线1l 与轨迹E 有且只有一个交点④ 当0k >时，直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点综上所述，直线1l 的斜率k 的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞。

2011年广东省高考数学试卷(理科)答案与解析

2011年广东高考数学理科试题及答案详解(含有所有题目及详解)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

不按以上要求做大的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.线性回归方程y bx a =+中系数计算公式121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑,a y bx =-.其中,x y 表示样本均值.n 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i -.,1)1()1()12(12z :B i i i i i 故选解析-=-+-=+=【解析】B ;依题意得211z i i==-+，故选B .2．已知集合{(,)|A x y =,x y 为实数,且}221x y +=,{(,)|B x y =,x y 为实数,且}y x =,则A B 的元素个数为xyO 2 2 AA ．0B ．1C ．2D ．33. 若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则⋅(2)=c a +bA ．4B ．3C ．2D ．0【解析】D;因为a ∥b 且a ⊥c ,所以b ⊥c ，从而⋅⋅⋅(2)=20c a +b c a +c b =，故选D .4. 设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()()f x g x +是偶函数 B ．()()f x g x -是奇函数C ．()()f x g x +是偶函数D ．()()f x g x -是奇函数【解析】A;依题意()(),()()f x f x g x g x -=-=-,故()|()|()|()|f x g x f x g x -+-=+,从而()|()|f x g x + 是偶函数，故选A .5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM OA =⋅的最大值为 A ．42 B ．32 C ．4 D ．3【解析】C;目标函数即2z x y =+,画出可行域如图所示，代入端点比较之，易得当2,2x y ==时z 取得最大值4,故选C ．6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12B ．35C ．23D ．34【解析】D;设甲队获得冠军为事件A ,则A 包含两种情况:(1)第一局胜;(2)第一局负但第二局胜;故所求概率1113()2224P A =+⨯=,从而选D ．7. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为C.,O(0,0),,x y ;1A :22故选故直线与圆有两个交点由于直线经过圆内的点组成的集体上的所有点表示直线集合上的所有点组成的集合表示由圆集合解析==+B y xA ．63B ．93C ．123D ．183【解析】B ;该几何体是以正视图所在的平行四边形为底面，高为3的四棱柱，又平行四边形的底边长为3,高为3,所以面积 33S =,从而所求几何体的体积93V Sh ==,故选B ．8.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T ,V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z =且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B . ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C . ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D . ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的【解析】A;因为T V Z =,故必有．．1∈T 或1∈V ,不妨设1∈T ,则令1c =,依题意对,a b T ∀∈,有ab T ∈,从而T 关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选A 了,但为了严谨,我们往下证明可以有一个不封闭以及可以两个都封闭),取T N =,则V 为所有负整数组成的集合,显然T 封闭,但V 显然是不封闭的,如(1)(2)2V -⨯-=∉;同理,若{T =奇数}，{V =偶数}，显然两者都封闭，从而选A ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2011年高考数学广东卷(文)全解析版

2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式V =13sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高．线性回归方程y bx a =+中系数计算公式x b y a x xy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==,)())((211样本数据12,,...n x x x 的标准差()()()[]222211x x x x x x ns n -++-+-=，其中y x ,表示样本均值，n 是正整数，则))((1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设复数z 满足1=iz ，其中i 为虚数单位，则z =( ) A ．i - B ．i C ．1- D ．12．已知集合{}22(,)|,1A x y x y x y =+=为实数,且，{}(,)|,1B x y x y x y =+=为实数,且，则A B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，//a b c λ+，则λ=( )A ．41 B ．21C ．1D ．2 4．函数)1lg(11)(x xx f ++-=的定义域是( ) A ．()1,-∞- B ．),1(+∞ C ．),1()1,1(+∞- D ．),(+∞-∞ 5．不等式0122>--x x 的解集是( ) A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21 B ．),1(+∞ C ．),2()1,(+∞-∞ D ．),1(21,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2220给定。

若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为)，则z ∙=的最大值为( )A ．3B ．4C ．23D ．2427．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A ．20B ．15C ．12D ．108．设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆9．如图1～3，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则几何体体积为( )A ．34B ．4C ．32D ．210．设()f x ，()g x ，()h x 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()()fg x 和()()f g x ∙：对任意x R ∈，()()(())f g x f g x =；()()f g x ∙=()()f x g x ，则下列等式恒成立的是( )A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙∙=∙B ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙=∙C ．()()()()()())(x h g h f x h g f =D ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙∙∙=∙∙ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

2011广东高考文科数学试卷及答案

绝密★启用前试卷类型：B2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式121()()()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑ ， ay b x =- ，样本数据12,,,n x x x 的标准差，222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x ，y 表示样本均值． n 是正整数，则1221()()nnn n n n a b a b aab abb-----=-++++ ．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足1iz =，其中i 为虚数单位，则z =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【解析】A.由题得1()i z i i i i -===-⨯-所以选A.2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且1}x y +=，则A B ⋂的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】C.方法一：由题得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+=+10011122y x y x y x y x 或，)}1,0(),0,1(|),{(y x B A = ，所以选C.方法二：直接作出单位圆221x y +=和直线1=+y x ，观察得两曲线有两个交点，所以选C. 3．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ=A ．14B ．12C ．1D ．2【解析】B.)2,1()0,()2,1(λλλ+=+=+b a ，()//a b c λ+210324)1(=∴=⨯-⨯+∴λλ所以选B. 4．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)(1,)-⋃+∞D ．(,)-∞+∞【解析】C.由题得），，（）函数的定义域为（且∞+∴≠->∴⎩⎨⎧>+≠-11,1-110101 x x x x 所以选C.5．不等式2210x x -->的解集是A ．1(,1)2-B ．(1,)+∞C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞【解析】D 由题得21210(1)(21)02x x x x x -->⇒-+>⇒<-或1x >，则不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM OA=⋅的最大值为A ．3B ．4C ．32D ．42 【解析】B由题知不等式组表示的平面区域D是如图中的梯形OABC,||||cos 3||cos 3||z O M O A O M O A AO M O M AO M O N =⋅=⋅∠=∠=，所以就是求||ON 的最大值，||ON 表示方向上的投影，在OA OM 数形结合观察得当点M 在点B 的地方时，23正视图图1侧视图图22 俯视图 2图3 ||ON 才最大。

2011年广东省高考数学试卷(理科)及答案

2011年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i2．（5分）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y 为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）A．4 B．3 C．2 D．04．（5分）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数5．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．36．（5分）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12D．188．（5分）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c ∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的二、填空题（共7小题，每小题5分，其中14、15只能选做一题。

满分30分）9．（5分）不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥0的解集是．10．（5分）x（x﹣）7的展开式中，x4的系数是．11．（5分）等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和．若a1=1，a k+a4=0，则k=．12．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2+1在x=处取得极小值．13．（5分）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm．14．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为．15．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=．三、解答题（共1小题，满分12分）16．（12分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求f（）的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．17．（13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数．（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量．（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．18．（13分）如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．19．（14分）设圆C与两圆（x+）2+y2=4，（x﹣）2+y2=4中的一个内切，另一个外切．（1）求C的圆心轨迹L的方程；（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标．20．（14分）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，a n≤+1．21．（14分）在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=x2．实数p，q满足p2﹣4q≥0，x1，x2是方程x2﹣px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}．（1）过点，A（p0，p02）（p0≠0），作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有φ（p，q）=；（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2﹣4b＞0，a≠0．过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，），E′（p2，p22），l1，l2与y轴分别交于F，F′．线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a，b）∈X⇔|P1|＜|P2|⇔φ（a，b）=．（3）设D={（x，y）|y≤x﹣1，y≥（x+1）2﹣}．当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值（记为φmin）和最大值（记为φmax）2011年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•广东）设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i【分析】我们可以利用待定系数法求出Z，我们设Z=x+yi，结合已知中（1+i）Z=2，结合复数相等的充要条件，我们易构造出一个关于x，y的方程组，解方程组即可求出满足条件的复数Z的值．【解答】解：设Z=x+yi则（1+i）Z=（1+i）（x+yi）=x﹣y+（x+y）i=2即解得x=1，y=﹣1故Z=1﹣i故选B2．（5分）（2011•广东）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】据观察发现，两集合都表示的是点集，所以求两集合交集即为两函数的交点，则把两集合中的函数关系式联立求出两函数的交点坐标，交点有几个，两集合交集的元素就有几个．【解答】解：联立两集合中的函数解析式得：，把②代入①得：2x2=1，解得x=±，分别把x=±代入②，解得y=±，所以两函数图象的交点有两个，坐标分别为（，）和（﹣，﹣），则A∩B的元素个数为2个．故选C3．（5分）（2011•广东）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0【分析】利用向量共线的充要条件将用表示；垂直的充要条件得到；将的值代入，利用向量的分配律求出值．【解答】解：∵∴存在λ使∵∴=0∴=2=0故选D4．（5分）（2011•广东）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数【分析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定故选A5．（5分）（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．3【分析】首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．【解答】解：如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故选：C．6．（5分）（2011•广东）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．【解答】解：甲要获得冠军共分为两个情况一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×=则甲获得冠军的概率为故选D7．（5分）（2011•广东）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12D．18【分析】由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以正视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为3，底边上的高为：=，故底面积S=3×=3，又因为棱柱的高为3，故V=3×3=9，故选B．8．（5分）（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的【分析】本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T，V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可．【解答】解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确．故选A．二、填空题（共7小题，每小题5分，其中14、15只能选做一题。

2011年高考数学广东卷(文科)(含答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设复数z 满足1=iz ，其中i 为虚数单位，则z =( ) A ．i - B ．i C ．1- D ．12．已知集合{}22(,)|,1A x y x y x y =+=为实数,且，{}(,)|,1B x y x y x y =+=为实数,且，则A B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．已知向量(1,2)a = ，(1,0)b = ，(3,4)c =，若λ为实数，//a b c λ+ ，则λ=( )A ．41 B ．21C ．1D ．2 4．函数)1lg(11)(x xx f ++-=的定义域是( ) A ．()1,-∞- B ．),1(+∞ C ．),1()1,1(+∞- D ．),(+∞-∞ 5．不等式0122>--x x 的解集是( ) A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21 B ．),1(+∞ C ．),2()1,(+∞-∞ D ．),1(21,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2220给定。

2011年高考数学广东卷(文)全解析版

2011年全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式V =13sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高．线性回归方程y bx a =+中系数计算公式x b y a x xy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==,)())((211样本数据12,,...n x x x 的标准差()()()[]222211xx xxxx ns n -++-+-=，其中y x ,表示样本均值，n 是正整数，则))((1221----++++-=-n n n n nnb abb aa b a b a一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设复数z 满足1=iz ，其中i 为虚数单位，则z =( ) A ．i - B ．i C ．1- D ．12．已知集合{}22(,)|,1A x y x y x y =+=为实数,且，{}(,)|,1B x y x y x y =+=为实数,且，则A B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．已知向量(1,2)a = ，(1,0)b = ，(3,4)c =，若λ为实数，//a b c λ+ ，则λ=( )A ．41 B ．21 C ．1 D ．24．函数)1lg(11)(x xx f ++-=的定义域是( )A ．()1,-∞-B ．),1(+∞C ．),1()1,1(+∞-D ．),(+∞-∞ 5．不等式0122>--x x 的解集是( ) A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21B ．),1(+∞C ．),2()1,(+∞-∞D ．),1(21,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞- 6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2220给定。

若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为)，则OA OM z ∙=的最大值为( )A ．3B ．4C ．23D ．247．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A ．20B ．15C ．12D ．108．设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆9．如图1～3，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则几何体体积为( )A ．34B ．4C ．32D ．210．设()f x ，()g x ，()h x 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()()f g x 和()()f g x ∙：对任意x R ∈，()()(())f g x f g x = ；()()f g x ∙=()()f x g x ，则下列等式恒成立的是( ) A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙∙=∙ B ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙=∙ C ．()()()()()())(x h g h fx h g f =D ．()()()()()())(x h g h fx h g f ∙∙∙=∙∙二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

2011年广东省高考数学试卷(理科)含详解

xy 12-1-2-312-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12O A B C试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。

满分40分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足(1+i)z=2，其中i 为虚数单位，则Z=A ．1+iB ．1-iC ．2+2iD ．2-2i .,1)1()1()12(12z :B i i i i i 故选解析-=-+-=+=2．已知集合A={ (x ，y)|x ，y 为实数，且122=+y x }，B={(x ，y) |x ，y 为实数，且y=x}，则A ∩ B 的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3C.,O(0,0),,x y ;1A :22故选故直线与圆有两个交点由于直线经过圆内的点组成的集体上的所有点表示直线集合上的所有点组成的集合表示由圆集合解析==+B y x3．若向量=+⋅⊥)2(,c ,b //,,b a c a a c b a 则且满足 A ．4 B ．3 C ．2 D ．0.,00022)2(:D b c a c b c a c b a c 故选解析=+=⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅4．设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()f x +|g(x)|是偶函数 B ．()f x -|g(x)|是奇函数 C ．|()f x | +g(x)是偶函数 D ．|()f x |- g(x)是奇函数解析:因为 g(x )是R 上的奇函数,所以|g(x)|是R 上的偶函数,从而()f x +|g(x)|是偶函数,故选A.5.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定.若M(x ，y)为D 上动点，点A 的坐标为(2，1)．则z OM OA =⋅u u u u r u u u r的最大值为A.42B.32C.4D.3 解:如图,区域D 为四边形OABC 及其内部区域,.,42)2(z,z,)2,2(2y,2yz,2)1,2(),(2maxCBzxzxyxyxz故选从而取到最大值时经过点显然当直线的纵截距为直线则即=+=+-=+-=+=⋅=6甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A.12B.35C.23D.34.,43212121)()A()(,AB,B;i,1,2)i(A:211211iDAAPPBPAA故选则事件表示甲队获得冠军局获胜甲在第表示继续比赛时设解析=⨯+=+=∴+==7如图l—3．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A.63B.93C.123D.183解析:由该几何体的三视图可各该几何体是一个平行六面体,底面是以3为边长的正方形,该六面体的高.,3933,31222B故选该几何体的体积为=⨯∴=-闭中每一个关于乘法是封法是封闭中有且只有一个关于乘是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中至少有一个关于乘法则下列结论恒成立的是有有且集的两个不相交的非空子是若关于数的乘法是封闭的则称有如果的非空子集是整数集设VD.T,VT,C.VB.T,VT,A.:.,,,,,,,.,,.,,,,.8VxyzVzyxTabcTcbaZVTZVTSSabSbaZS∈∈∀∈∈∀=∈∈∀YA..CB,,VT,,}{V},{T;D,V,T,}{V},{T,;T,,1,1,,,,T,1,VT,1Z,VT:从而本题就选不对故的显然关于乘法都是封闭时偶数奇数当不对故关于乘法不封闭关于乘法封闭时负整数非负整数当另一方面对乘法封闭从而即则由于则不妨设两个集合中的一个中一定在故整数由于解析====∈∈⋅⋅∈∈∀∈=TabTbaTbaTbaY二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题．每小题5分．满分30分.(一)必做题(9—13题)9.不等式130x x+--≥的解集是______.22:130(1)(3),[1,).x x x x+--≥⇔+≥-∴+∞解析原不等式的解集为10.72()x xx-的展开式中，4x的系数是______ (用数字作答).47377172422177722:()()(2)(2),7232,(2)84.r r r r r r r x x x x x xT C x x C x r r x C ---+--=-=--==∴-=解析所求的系数即展开式中项的系数,展开式的通项为由得的系数是 11.等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = ..10,02,0,0,:10.k :0)61(31)1(611,61d 3d),2(24d)9(1),(29,24)(29)(,:710479876549415419149=∴==+=∴=++++∴===-⋅++---=∴+=++=∴+=+=k a a a a a a a a a S S k a a a a a a a S S 从而解法二得由即即解法一 12.函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值..2)(),2,0(),,2(),0,(:)(),2(363x (x)':2处取得极小值在递减区间为的单调递增区间为解析=∴+∞-∞∴-=-=x x f x f x x x f13.某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm. :,:数据可列表如下可知父亲与儿子的对应根据题中所提供的信息解析185(cm).31823,y ,1173176,13)3(63)())((,176,1732231231=++=∴=-=-==+-⨯=---=∴==∑∑==身高为从而可预测也他孙子的所以回归直线方程为x x b y a x x y y x xb y x i i i i i（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩≤＜和25()4x t t R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为. 2224222(0):1(01,5sin 554,10,,0),41655541,(1,4455x x y y x y x t y t t t t t y t x t θθπθ⎧=⎪+=≤≤≠⎨=⎪⎩==+-==∴==≥==⋅=∴Q 解析:将≤＜化为普通方程得将代入得:解得交点坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于,A B ,且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，则AB = .2:,,,,,7535,35.PA BAP BCA BAC APB AB PBBAP BCA CB ABAB PB CB AB ∴∠=∠∠=∠∴∆∆=∴=⋅=⨯=∴=解析是圆的切线又与相似从而三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）1()2sin(),36f x x x R π=-∈已知函数5(1)()4f π求的值;106(2),0,,(3),(32),cos()22135f f ππαβαβπαβ⎡⎤∈+=+=+⎢⎥⎣⎦设求的值..651654135531312sin sin cos cos )cos(.54sin ],2[0,,53cos ,56cos 2)2sin(2)23(;1312cos ],2[0,,135sin ,1310sin 2)23()2(.24sin 2)6125sin(2)45()1(:=⋅-⋅=-=+∴=∴∈=∴==+=+=∴∈=∴==+==-=βαβαβαβπβββπβπβαπαααπαππππΘΘf f f 解17.（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）.编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81H:,101)2P(,106)1P(,103)0P(, 0,1,2:)3(;143552:,2,5,5)2(;3551498:)1(:25222513122523其分布列为故可以取值优等品的数量为故可估计出乙厂生产的的产品是优等品编号为件产品中从乙厂抽取的乙厂的产品数量为解ξξξξξ==========⨯=⨯C C C C C C C ξ0 1 2P103 106 101.5102101100)E(=⨯+⨯+⨯=∴ξξ的数学期望为18. （本小题满分13分）如图5，在椎体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的棱形，且060DAB ∠=,2PA PD ==2,PB =,E F 分别是,BC PC 的中点，（1）证明：AD DEF ⊥平面; （2）求二面角P AD B --的余弦值..,,//,,,,//,//,//,//,,,,,,,,23,60,1,21,,,,,:)1(:2220DEF AD PHB AD PHB DEF E EF DE DEF EF DE PHB DE DE BH PHB EF PB EF BC BC F E PHB AD HB AD HB AH AB BH AH BH DAB AB AH AD PH PD PA BH PH H AD 平面平面平面平面平面又平面又显然平面的中点分别是又平面即从而可得出连接中点为设证明解⊥∴⊥∴=⊂∴∴∴⊥∴⊥⊥∴=+==∠==⊥∴=ΘI Θ.721,7212132212323272443472cos ,2,23,27)21()2(,,,,,,)1()2(22222----=-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠∴===-=--∠∴⊂⊂⊥⊥的余弦值为即二面角的平面角就是二面角面面且知由B AD P BH PH PB BH PH PHB PB BH PH B AD P PHB BAD BH PAD PH AD BH AD PH注: 本题也可以5,,,=PC AP AB AD 先算出为一组向量,继而可证明第(1)问,并可进一步得到AD,DE,DF 两两垂直,从而建立空间直角坐标系,再解决第(2)问.总的说来,本题用传统方法,还更简单.19. （本小题满分14分）设圆C 与两圆222254,54x y x y +=-+=（+）（）中的一个内切，另一个外切. （1）求C 的圆心轨迹L 的方程. （2）已知点35455M F ，，（，0），且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标..14x :1,b ,5,2,,',524,4|)2()2(|||||'||r,),0,5(),0,5(')1(:22=-∴===∴<=--+=--y L C c a F F C r r CF CF C F F 的方程为的圆心轨迹从而且为焦点的双曲线的圆心轨迹是以又则的半径为并设圆设解).56,52(2,||||||,,552,55656,5314531856,5314,0)65)(145(3 :,052y 2x :MF ,MF P ,2|||||||,)2(21---=∴>====--=-+=≤-的坐标为此时点的最大值为综上所述代入得其纵坐标为点的横坐标应取方程中并整理得将直线方程代入双曲线的方程为直线处取得的延长线上的那个交点位于线段与双曲线的为直线等号当且仅当如图P FP MP P x x x x MF MF FP MPxy 1234-1-2-3-412345-1-2-3-4-5-6-7-8-9O MFPP20.（本小题满分12分）设0,b >数列{}n a 满足111=,(2)22n n n nba a b a n a n --=≥+-, (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,1112n n n b a ++≤+.1111111211,22111112,,{},,, 2.222212112(),2211122{},,22(2)12n n n n n n n n n n n n n n nba n n a a n a b a bn n n n n b a a a a a a n n b a b b a bn a b a b b b bn a b ------==⋅++--==+=∴==-≠+=+--++=---∴+-解:(1)由可得当时则数列是以为首项为公差的等差数列从而当时,则数列是以为首项为公比的等比数列12212(2)()(),,(2)222,(2).(2)(0,2)2n n n n n n nn n n nb b a b b b b b b b a nb b b b b--=⋅=⋅∴=---=⎧⎪=⎨->≠⎪-⎩ 综上1111111111232211123122,2,22(2)(2),,22222,22222222n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n b b a a b nb b b n b b a b b bn b b b b b b b b b +++++++++-----+-----==∴=--≠≤≤≤--≤+++++≤++++L L (2)当b=2时,+1+1,从而原不等式成立;1当b 2时,要证+1,只需证+1即证+1即证+即证n 21223112121123221,22222221)()()()2222,,.n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b bb b b b n-+---+-++++++++++++++≥+=∴≠L L L 而上式左边=(当b 2时原不等式也成立从而原不等式成立;2||),(),,Q(AB :B.y )0)(41,()1(|}.||,max{|),(,0,0,4,.41:L ,)14.(21002002122122p q p q p L p p p A x x q p q px x x x q p q p x y xOy =≠==+-≥-=ϕϕ有上的作一点对线段证明轴于点的切线交作过点记的两根是方程满足实数给定抛物线上在平面直角坐标系分本小题满分（2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240a b a -＞0，≠.过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),'(,)44E p p E P P ，12,l l 与y 分别交于,'F F .线段EF上异于两端点的点集记为X .证明：112||(,)(,)2P M a b X P P a b φ∈⇔>⇔=； 2min max 15(,)1,(1),,44,).D x y y x y x p q p q ϕϕϕ⎧⎫=≤-≥+-⎨⎬⎩⎭(3)设当点（）取遍D 时，求（）的最小值(记为)和最大值(记为 ;2||22|}||,max{|q)(p,,p 0,0,2||,)(4,4121q ,AB q)Q(p,,240,04).0(4121y AB ,0);0(4121y AB ,0,4121y ),(2141:,21,21y',)41,()1(:000210002,1202200222020000200020000200200p p p p p x x p p p p p x p p q p p p p qp p q px x q p x p p x p p p x p x p p p x p p x p p y L A p x L p p A ==-+==≤≤>-±=∴-=--=-±=+-≥-≤≤-=<≤≤-=>-=-=-∴=ϕ则时当从而则上在线段若的两根为则方程又若的方程为则线段若的方程为则线段若即的切线方程为的抛物线过点故切线斜率为上在抛物线显然解.2|||}||,max{|q)(p,q),p,(.2||2|)(|2|||||}||,max{|q)(p,,0p ,00210002100p x x Q AB p p p p p p p x x p p ===--=--==≤≤<ϕϕ上的任一点故对线段则时当（2）由（1）知抛物线L 在2001(,)4p p 处的切线方程为2001124y p x p =-，即200240p p x y -+= ∵切线恒过点(,)M a b ，则200240p ap b -+=，∴21,24p a a b =±-① 当0a >时，(,)M a b X ∈⇔10a p <<⇔214p a a b =-，224p a a b =-⇔12p p >② 当0a <时，(,)M a b X ∈⇔10p a <<⇔214p a a b =-，224p a a b =-⇔12p p >综合①②可得(,)M a b X ∈⇔12p p >∵由（1）可知，若2111(,)4E p p ，点(,)M a b 在线段EF 上，有1(,)2p a b ϕ= ∴(,)M a b X ∈⇒1(,)2p a b ϕ= ③由（1）可知，方程20x ax b -+=的两根11,22p x =或12p a -，21,22p x =或22p a - 若1(,)2p a b ϕ=，即112max{,}2p x x = 则1122p a p -≥、 2122p p ≥、 2122p a p -≥ ∴12p p > ∴1(,)2p a b ϕ=⇒12||||p p >⇒(,)M a b X ∈ ④ 综合③④可得(,)M a b X ∈⇔1(,)2p a b ϕ=综上所述112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）由2115(1)44y x y x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩，求得两个交点(0,1),(2,1)- 则02p ≤≤，过点(,)G p q 作抛物线L 的切线，设切点为N 2001(,)4x x ，切线与y 轴的交点为H 由（2）知200240x px q -+=，解得204x p p q =-① 若204x p p q =+-(,)G p q 在线段NH 上由1y x ≤-，得1q p ≤-，∴022x p p p p =+≥=+-=，∴0m min in )12(x ϕ==．由215(1)44y x ≥+-，得221511(1)14442q p p p ≥+-=+-∴2442p q p -≤-，∴0x p p =+≤+t =，则2122p t =-+，02t ≤≤ ∴22011552(1)2222x t t t ≤-++=--+≤ ∴0max max 5)24(x ϕ==② 若0x p =(,)G p q 在线段NH 的延长线上方程20x px q -+=的两根为012p p x x --=，022p p x x +-=即01,22x x =或02x p - ∵0x p ≤∴00012(,)max{,}max{,}222x x xp q x x p p ϕ==-=-p ==51(,)4p q ϕ≤≤ 综上所述min 1ϕ=，max 54ϕ=。

2011高考题广东卷及解析

④2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式121()()()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑ ， ay b x =- ，其中x ，y 表示样本均值． n 是正整数，则1221()()nnn n n n a b a b aab abb-----=-++++ ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i - 1．（B ）．22(1)11(1)(1)iz i i i i -===-++- 2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．32．（C ）．A B ⋂的元素个数等价于圆221x y +=与直线y x =的交点个数，显然有2个交点 3．若向量,,a b c 满足a ∥b 且⊥a c ，则(2)⋅+=c a bA ．4B ．3C ．2D ．0 3．（D ）．依题意得⊥c a ，⊥c b ，则(2)20⋅+=⋅+⋅=c a b c a c b4．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()()f x g x +是偶函数 B ．()()f x g x -是奇函数 C ．()()f x g x +是偶函数 D ．()()f x g x -是奇函数4．（A ）．由()f x 是偶函数、()g x 是奇函数，得()f x 和()g x 都是偶函数，所以()()f xg x +与()()f x g x -都是偶函数，()()f x g x +与()()f x g x -的奇偶性不能确定正视图图1 侧视图图2俯视图图35．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组2xyx⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤给定．若(,)M x y为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA=⋅的最大值为A．．．4 D．35．（C）．zy=+，即y z=+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线yz=+经过点2)时，z取得最大值，max24z=+=6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A．12B．35C．23D．346．（D）．乙获得冠军的概率为111224⨯=，则甲队获得冠军的概率为13144-=7．如图 1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图的体积为A．．．．7．（B）．该几何体是一个底面为平行四边形，高为3的四棱柱，，则33V Sh==⨯=8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z的两个不相交的非空子集，T V Z ⋃=，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的8．（A ）．若T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、C若T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，排除D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9．不等式13x x +--≥0的解集是． 9．[1,)+∞．13x x +--≥0 ⇒1x +≥3x -⇒2(1)x +≥2(3)x -⇒x ≥110．72()x x x -的展开式中，4x 的系数是（用数字作答）10．84．72()x x x-的通项7821772()(2)r rr r r rr T x C x C xx--+=-=-，由824r -=得2r =，则227(2)84C -=11．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k = ．11．10．方法1：由94S S =得93646d d+=+，求得16d =-，则4111(1)()13()066k a a k +=+-⨯-++⨯-=，解得10k =方法2：由94S S =得567890a a a a a ++++=，即750a =，70a =，即104720a a a +==，即10k =12．函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值． 12．2．2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或2x =，显然当0x <时()0f x '>；当02x <<时()0f x '<；当2x >时()0f x '>，函数32()31f x x x =-+在2x =处取得极小值13．某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm ． 13．185．设父亲的身高为x cm ，儿子的身高为y cm ，则根据上述数据可得到如下表格：上表中的最后一组(182,?)是预测数据，173,176x y ==12221()()00361033()nii i ni i xx y y bx x ==--++⨯===++-∑∑， 3ay b x =-= 线性回归方程 3y x =+，所以当182x =时， 185y =，即他孙子的预测身高为185 cm ．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x ty t ⎧=⎪⎨⎪=⎩(t ∈)R ，它们的交点坐标为___________． 14．5．图4COPBAsin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215xy +=(01)x y ≤≤≤，254x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x=22221(01)5450145x y x y x x x y x ⎧+=≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩或5x =-（舍去），又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为(1,515．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于,A B ，且7P B =，C 是圆上一点使得5B C =，BAC APB ∠=∠，则A B =___________．15．由弦切角定理得P A B A C B ∠=∠，又B A C A P B ∠=∠，则△P A B ∽△AC B ，则P B A B A BB C=，235AB PB BC =⋅=，即AB =三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求5()4f π的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值．16．解：（1）515()2sin()2sin 43464f ππππ=⨯-==（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α= 16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12cos 13α==，4sin 5β==∴1235416cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=17．（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥且75y ≥时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．17．解：（1）设乙厂生产的产品数量为a 件，则98145a =，解得35a =所以乙厂生产的产品数量为35件（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有2件是图5CDPBAEFCDPBAE FH优等品由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为235145⨯=（件）（3）ξ可能的取值为0，1，223253(0),10C P C ξ===1123256(1),10C C P C ξ===22251(2),10C P C ξ===∴ξ的分布列为：∴3614012.1010105E ξ=⨯+⨯+⨯=18．（本小题满分13分）如图5，在锥体P A B C D -中，A B C D 是边长为1的菱形，且60DAB ∠=，PA PD ==2PB =，,E F分别是B C ,PC 的中点．（1）证明：AD ⊥平面D E F ；（2）求二面角P AD B --的余弦值．18．（1）证明：取A D 的中点H ，连接,,PH BH BD∵PA PD =，∴AD PH ⊥∵在边长为1的菱形A B C D 中，60DAB ∠=∴△ABD 是等边三角形∴AD H B ⊥，PH HB H = ∴AD ⊥平面PH B ∴AD PB ⊥∵,E F 分别是B C ,PC 的中点∴E F ∥P B ，H B ∥D E∴AD D E ⊥，AD EF ⊥，DE EF E = ∴AD ⊥平面D E F（2）解：由（1）知PH AD ⊥，H B AD ⊥ ∴P H B ∠是二面角P AD B --的平面角易求得,22PH BH ==∴2227334cos 27222PH H B PBPH B PH H B+--+-∠====-⋅∴二面角P AD B --的余弦值为7-19．（本小题满分14分）设圆C与两圆22(4x y ++=，22(4x y -+=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点55M，0)F ，且P 为L 上动点，求M P FP - 的最大值及此时点P 的坐标．19．解：（1）设(0),0)F F '，圆C 的半径为r ，则(2)(2)4CF CF r r '-=+--=< ∴C 的圆心轨迹L 是以,F F '为焦点的双曲线，2a =，c =，1b =∴C 的圆心轨迹L 的方程为2214xy -=（2）2 M P FP M F-≤== ∴M P FP-如图所示，P必在L直线M F的斜率2k=-:2M F y x=-+22142xyy x⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩215280x-+=6)0--=12155x x==∵Px>5Px=5Py=-∴M P FP- 的最大值为2，此时P为()55-20．（本小题满分14分）设0b>，数列{}na满足1a b=，1122nnnnbaaa n--=+-(2)n≥．（1）求数列{}na的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，1112nn nba++≤+．20．（1）解：∵1122nnnnbaaa n--=+-∴1122n nna ban a n--=+-∴1211nn n n a b a b--=⋅+ ① 当2b =时，1112nn n n a a ---=，则{}nn a 是以12为首项，12为公差的等差数列∴11(1)22nn n a =+-⨯，即2n a =② 当0b >且2b ≠时，11211()22nn n n a b b a b--+=+-- 当1n =时，122(2)nn a bb b +=--∴1{}2nn a b +-是以2(2)b b -为首项，2b为公比的等比数列∴112()22nn n a bb b+=⋅-- ∴212(2)2(2)nnn nnnn ba b bbb b-=-=---∴(2)2nn nnn b b a b-=-综上所述(2),02222nn n n n b b b b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩　且，（2）方法一：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，12212(2)(222)n n n n n n b b b bb -----=-++++1221222nnnn n n n n n ba b bb----⋅=≤=++++11121111222222222n nn n n n n n bb b b+++---++=====<=⋅1112n n b +++∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．方法二：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，要证1112n n n b a ++≤+，只需证11(2)122nn nnn nb b b b++-≤+-，即证1(2)122nnn nn b b b b+-≤+-即证1221112222n n n n n nnb b b bb----+≤+++++即证122111()(222)2n n n n n nb b bbn b----++++++≥即证2112231122221()()2222n nn n nn nn b b bb n bbbb---+-+++++++++≥∵2112231122221()()2222n nn n nn nn b b bb bbbb---+-+++++++++2121232111222()()()()2222n n nn nn n nb b bb bbbb----+=++++++++n ≥+= ，∴原不等式成立∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：214y x =．实数,p q 满足24p q -≥0，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记12(,)max{,}p q x x ϕ=．（1）过点2001(,)4A p p 0(0)p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段A B 上的任一点(,)Q p q ，有0(,)2p p q ϕ=；（2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240a b ->，0a ≠．过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为2111(,)4E p p ，2221(,)4E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '．线段E F上异于两端点的点集记为X．证明：112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）设{(,)|D x y y =≤1x -，y ≥215(1)}44x +-．当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值（记为m in ϕ）和最大值（记为max ϕ）21．解：（1）2001(,)4A p p 是抛物线L 上的点，12y x '=，则切线的斜率012k p = 过点A 的抛物线L 的切线方程为A B ：200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =-∵(,)Q p q 在线段A B 上，∴2001124q p p p =-，∴22220001144()()24p q p p p p p p -=--=-≥0不妨设方程20x px q -+=的两根为12x =22x =则012p p p x --=，022p p p x +-=① 当00p >时，00p p ≤≤，001222p p p x p -==-，022p x =∵00122p p x -<≤，∴12x x ≤，∴122(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =② 当00p <时，00p p ≤≤，012p x =，002222p p p x p -==-∵00222p p x ≤<-，∴12x x ≥，∴121(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =综上所述，对线段A B 上的任一点(,)Q p q ，有0(,)2p p q ϕ=（2）由（1）知抛物线L 在2001(,)4p p 处的切线方程为2001124y p x p =-，即200240p p x y -+=∵切线恒过点(,)M a b ，则200240p ap b -+=，∴1,2p a =±① 当0a >时，(,)M a b X ∈⇔10a p <<⇔1p a =+，2p a =-⇔12p p >② 当0a <时，(,)M a b X ∈⇔10p a <<⇔1p a =-，2p a =+⇔12p p >综合①②可得(,)M a b X ∈⇔12p p >∵由（1）可知，若2111(,)4E p p ，点(,)M a b 在线段E F 上，有1(,)2p a b ϕ=∴(,)M a b X ∈⇒1(,)2p a b ϕ= ③由（1）可知，方程20x a x b -+=的两根11,22p x =或12p a -，21,22p x =或22p a -若1(,)2p a b ϕ=，即112max{,}2p x x = 则1122p a p -≥、2122p p ≥、 2122p a p -≥∴12p p > ∴1(,)2p a b ϕ=⇒12||||p p >⇒(,)M a b X ∈ ④综合③④可得(,)M a b X ∈⇔1(,)2p a b ϕ=综上所述112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）由2115(1)44y x y x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩，求得两个交点(0,1),(2,1)- 则02p ≤≤，过点(,)G p q 作抛物线L 的切线，设切点为N 2001(,)4x x ，切线与y 轴的交点为H由（2）知200240x px q -+=，解得0x p =±，①若0x p =+(,)G p q 在线段N H 上由1y x ≤-，得1q p ≤-，∴022x p p p p =+≥+=+-=，∴0m min in )12(x ϕ==．由215(1)44y x ≥+-，得221511(1)14442q p p p ≥+-=+-∴2442p q p -≤-，∴0x p p =+≤+令t =，则2122p t =-+，02t ≤≤∴22011552(1)2222x t t t ≤-++=--+≤∴0max max 5)24(x ϕ==②若0x p =-(,)G p q 在线段N H 的延长线上方程20x px q -+=的两根为012p p x x --=，022p p x x +-=即01,22x x =或02x p -∵0x p ≤∴00012(,)max{,}max{,}222x x x p q x x p p ϕ==-=-2p -==，同理可得51(,)4p q ϕ≤≤综上所述m in 1ϕ=，m ax 54ϕ=全卷分析:【试卷亮点】今年的理科数学试题依然保持总体平稳，局部稍有变化，将学生的“知识、能力、素质为一体”，内容上体现了“考查学生对基础知识、基本技能的掌握程度”和“考查学生对数学思想方法和数学本质的的理解水平”。

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思考的问题：
仅有三组量，能否就得到线性回归方程，其中的参数是什么？残差是否异常？线性回归方程检验是否显著？
2011年理数列题
在第一问中，采用数学归纳法解决是一个比较自然的想法。
在第二问中，采用数学归纳法证明却不是件容易的事情。
2008陕理22题
题目
文18 理18 文20 理20
与 x, y, z V ,有 xyz V .矛盾！另证：若 x0 1且x0 1 ，取 x0 , x0 , x0 T ，由条件③可知 x0 x0 x0 T ，又 x0 0 ，所以 x03 x0 ，解得 x0 1，或 x0 1 ，矛盾）. 显然 T 满足条件③；关于V ，我们分以下两种情况讨论：若 x0 =1，此时，V 满足条件③.（否则， xyz V ，即 xyz=0或1，由于 x, y, z V ，显然不可能乘积为 0；若乘积为 1，则 x, y, z 至少有一个必须是 1，矛盾于
学业评价的本质在于能真实反映出考生的数学
素养与创新意识。在大多考生采用“题海战术” 的情况下，如何才能有效地考查考生的数学素养与创新意识是一件困难的事情。以高等数学为背景命题或许是一条较佳的途径之一，这也是当前全国高考题的热点之一，例如2010年广东理21题、 2010年北京文20题。
2011年试题中文10、理8都是基于高等数学背景来命题，主要考查考生对于新定义的理解，包括对于一些比较陌生的数学术语诸如“封闭”的理解。通过引入新知识，能有效地考查考生的数学学习能力与真实的数学素养，也能考查到考生的创新意识。如此，一方面为高等学校选拔出优秀的考生，一方面为考生未来学习高等数学开启了一扇门。当然，怎样的具有高数背景的试题才能有效地做到这一点，值得思考。
0分卷（份） 3分以下卷（份）
59125 11720 98231 77479
95171 37701 164655 119899
理20题给分分布
在此题中，若考生一上来就考虑建系，则需要先作一番证明，找到三条互相垂直的直线，这对于熟悉了用向量法的学生来说相当困难；若考生利用传统方法来做，在第二问时则需找到二面角的平面角，这个知识点在教材中仅有几行字的说明，似乎显得要求过高。二面角的平面角不好找。
四、对高考命题和中学数学教学的建议
1、对高考命题的建议命题是一门遗憾的艺术，结合2011年试题，从更
高的标准与社会的期望出发，提出以下建议，仅供参考。 1．1进一步拉大文、理科试题的差距实际上，广东省文、理科考生的差距比较大。例如，在2011年试题中，文、理第一道大题所考查的知识点和能力大体相当，满分均为12分，但实际得分却有较大差异。文科得分为7.47分，理科为 10.22分。
2011年试题突出考查了推理论证能力与运算求解能力，应该引起重视。
二、2011年试题相关数据
数据分析是评价试题的重要依据之一。根据相关的数据，我们可以获得一些启示。
从表2、表3分析，2011年文、理试题难度均有所提高，符合选拔性考试的要求。从大题的难度来看，文、理科试题的梯度可以更加合理一些，以更好地区分不同层次的学生。
与2010年试题相比，2011年试题在命题思想、命题思路与风格都有一定的差异。有的差
异应该引起我们的反思，有的差异给了我们新的启示。因此，2011年试题值得深入研究。
一、试卷的考点分布和特点分析
与2010年试题相比，2011年试题在考点分布上有较大差异，加大了对传统知识内容几何、函数和数列的考查。近三年的考点分布如下表：
理科试题中几何知识所占分值表面上看降低了，实际上并非如此，压轴题理21是通过平面解析几何中抛物线的知识引出，考查
了考生对抛物线相关知识的理解。因此， 2011年试题突出考查了中学数学的主干知识，做到了“重点内容重点考”。
2．2 回归根本，重视数学定义的作用
2011年试题重视利用数学定义解决问题，很好地发挥了高考指挥棒的引导作用。文科第8题考查了抛物线的定义，文科第21题的第一小问事实上也可以利用抛物线的定义来解题；理科第19题考查了双曲线的定义。此外，文科第10题、理科第8题和理科21题都考查了考生利用新定义解决问题的能力。
（1）若 T 只有一个元素，即 T =0 ，此时由条件①②，V =¢ / 0 . 显然 T ,V 满足条件③。
此时， T 是乘法封闭的，且V 也必是乘法封闭的。否则，若存在 x、y V ，使得 xy V . 令 z=1 ，则有 xyz=xy V ，与假设矛盾。
（ 2 ）若 T 有两个的元素，即 T =0，x0 ，则 x0 =1或x0 = 1 . 否则，若 x0 1且x0 1 , 则V =¢ / 0，x0 ，当 x=-x0, y 1, z 1,有 xyz=x0 V ，
文科第10题新定义了复合函数和函数的乘积；理科第8题新定义了数集运算的封闭性。
(( f og)• h)(x) f (g(x))h(x) (( f • h)o(g • h))(x) ( f (x)h(x))o(g(x)h(x)) f (g(x)h(x))h(g(x)h(x))
分析：此题考查的知识点是复合函数与函
综上，满足条件①②③的整数集 ¢ 的分解T ,V 中至少有一个关于乘法是封闭的。
另解
从选项进行分析，我们知道，A选项包含了 D选项，即如果D选项正确，那么A选项也应该是正确的。如果从这个方面来思考，那么D选项就是首先应该淘汰的。再结合某个例子就可以确定正确答案了。
2．3回归本质，重视考生数学素养与创新意识的评价

通过分析上表可发现，函数的分值有所增
加。文科卷中函数（包括三角函数、数列）所占分值是60分，理科卷中函数（包括三角函数、数列）所占分值是55分）。在文科卷中，几何（包括解几和立几）所占的分值是42分，较2010广东卷增加了13分。在总分不变的情况下，新增知识所占的分值必有所减少。 2011年广东卷新增知识（向量、概率统计和线性规划）所占的分值是33分，比例为22%。
要拉大文、理科试题的差距，不仅体现在考查的内容上，还要体现在考查知识的能力要求方面，例如，文科试题对数和式子的运算复杂程度要较理科试题低。此外，考查的知识和内容应符合文科生的特点，也应符合文科生的未来大学生活的专业需求。例如，对于数列的要求，应仅限于掌握等差数列和等比数列的通项公式和前项和；对于立体几何的要求，应多考查与几何直观有关的知识如三视图；对于概率统计的要求，应多考查与调查研究相关的知识如分层抽样等。
数的乘积，主要考查考生对新定义的理解与创新思维能力，有较大难度。
首先，题干设计三个已知条件: ① T ,V 是 ¢ 的两个不相交的非空子集;条件② T UV ? ; ③ a,b, c T , 有 abc T ； x, y, z V , 有 xyz V 。
先考虑 0，由条件①和②可知 0T 或者 0 V .不妨假设 0 T ，以下以 T 的元素个数来讨论 T ,V 的性质：
题号 16 17 18 19 20 21
理科0分卷数与满分卷数
0分卷数
满分卷数
12555
195204
10434
62732
26274
26728
80021
778
145402
26
204319
1
题号 16 17 18 19 20 21
文科0分卷数与满分卷数
0分卷数
满分卷数
51224
125821
15029
2．4以能力立意，全面考查考生的数学能力
以能力立意是广东卷的命题原则。2011年试题很好地做到了这一点，对考生的能力考查全面，有效地发挥了考试的选拔性功能。例如，文17、理17题很好地考查了考生的数据处理能力；文18、理18题很好地考查了考生的推理论证能力与空间想象能力；理13题、理21题有效地考查了考生的抽象概括能力；文19、文20题和理19、理20题能有效地考查考生对于数与式的运算求解能力。因此，2011年试题能全面考查到考生的数学能力，为高校选拔出优秀的人才提供了保证。
2009、2010、2011试题考点分布表
知识点
集向函三数解几立概排线复不研选
合量数角列（不几率列性数等究做
函
含选
统组规
式性题
数
做题）计合划
题
文 2009 5 科年
8 25 14 16 19 23 23
5 2 55
2010 5 5 24 19 5 10 19 22
回归传统回归根本
-----2011年高考数学广东卷试题
和答卷分析
华南师范大学数学科学学院
汇报的主要内容
一、试卷的考点分布与特点分析二、2011年试题相关数据三、学生答卷的主要错误分析四、对高考命题和教学的建议五、11年高考数学试题动向
引言
2011年高考数学广东卷（简称广东卷）在 2010年试题的基础上适当加大了难度，突出了高考选拔性功能。通过对2011年广东卷试题（简称2011年试题）的命题思想、特点分析和考生答卷的分析，希望对广大中学教师在教学、备考方面有新的启发。
（3）若有三个的元素，则必为T =0，1 ，1 ，V =¢ / 0，1 ，1 ，此时，T,V 满足
条件③。经检验，T ,V 是关于乘法封闭的。
（4）若T 中的元素大于 3，不妨设为T =0，1 1 x，0 x0 0,1，，-1.（四个元素中
必须含有 1，-1，否则会出现类似（2）的情况。），此时，取 x0, x0, x0 T ，则 x0x0x0 T ，与条件③矛盾！故不存在这样的分解，使得T 中的元素大于 3 且满足条件①②③。
136909
105906
801
95771
46
185712 255855