2011年高考数学广东卷试题和答卷分析

（1）若 T 只有一个元素，即 T =0 ，此时由条 件①②，V =¢ / 0 . 显然 T ,V 满足条件③。
此时， T 是乘法封闭的，且V 也必是乘法封闭 的。否则，若存在 x、y V ，使得 xy V . 令 z=1 ，则有 xyz=xy V ，与假设矛盾。
（ 2 ） 若 T 有 两 个 的 元 素 ， 即 T =0，x0 ， 则 x0 =1或x0 = 1 . 否 则 ， 若 x0 1且x0 1 , 则V =¢ / 0，x0 ，当 x=-x0, y 1, z 1,有 xyz=x0 V ，
2009、2010、2011试题考点分布表
知识点
集 向 函 三 数 解几 立 概 排 线 复 不 研 选
合 量 数 角 列 （不 几 率 列 性 数 等 究 做
函
含选
统 组规
式 性题
数
做题） 计 合 划
题
文 2009 5 科年
8 25 14 16 19 23 23
5 2 55
2010 5 5 24 19 5 10 19 22
2．4以能力立意，全面考查考生的数学能力
以能力立意是广东卷的命题原则。2011年试题很好地做 到了这一点，对考生的能力考查全面，有效地发挥了考试 的选拔性功能。例如，文17、理17题很好地考查了考生的 数据处理能力；文18、理18题很好地考查了考生的推理论 证能力与空间想象能力；理13题、理21题有效地考查了考 生的抽象概括能力；文19、文20题和理19、理20题能有效 地考查考生对于数与式的运算求解能力。因此，2011年试 题能全面考查到考生的数学能力，为高校选拔出优秀的人 才提供了保证。
１．2应逐步加强运算求解能力的考查
新课程标准对于运算求解能力的要求较传 统课程的要求大为降低，这在教学实践中 也产生了一定的负面影响。在教学实践中， 数学教师尤其是初中数学教师对运算的要 求降低，学生的运算能力也有一定程度的 下降。针对这一教学薄弱点，2011年试题 加大了对运算求解能力的考查，有利于发 挥积极的引导作用。
每年的试题都有各自不同的特点，通过分析，归 纳2011年试题的特点如下：
2．1回归传统，对函数、几何知识的考查的力度 有所加大
2011年理科试题对函数的考查力度不大，因此， 教师们都普遍预期2011年试题对函数知识的考查 力度将加大。确实如此，从表1的数据可知，文、 理科试题中函数所占的分值都有所增加，其中， 理科试题增加了16分，增加的幅度为41%。文科加 大了对几何知识的考查力度，2011年试题所占分 值增加了13分，增加的幅度约为45%。
V =¢ / 0，1 ！）
以下检验V 是否关于乘法是封闭。取 x 1, y 1, x, y V ，但 xy=1V 。于是V
关于乘法是不封闭的。即T =0，1 ，V =¢ / 0，1
时， T 是关于乘法封闭的，而V 关于乘法是不
封闭的。
同理，我们可以得到， x0 =-1，T 是关于乘 法封闭的，而V 关于乘法是不封闭的。
（3）若有三个的元素，则必为T =0，1 ，1 ，V =¢ / 0，1 ，1 ，此时，T,V 满足
条件③。经检验，T ,V 是关于乘法封闭的。
（4）若T 中的元素大于 3，不妨设为T =0，1 1 x，0 x0 0,1，，-1.（四个元素中
必须含有 1，-1，否则会出现类似（2）的情况。），此时，取 x0, x0, x0 T ，则 x0x0x0 T ， 与条件③矛盾！故不存在这样的分解，使得T 中的元素大于 3 且满足条件①②③。
文科第10题新定义了复合函数和函数的乘 积 ；理科第8题新定义了数集运算的封闭性。
(( f og)• h)(x) f (g(x))h(x) (( f • h)o(g • h))(x) ( f (x)h(x))o(g(x)h(x)) f (g(x)h(x))h(g(x)h(x))
分析：此题考查的知识点是复合函数与函
四、对高考命题和中学数学教学的 建议
1、对高考命题的建议 命题是一门遗憾的艺术，结合2011年试题，从更
高的标准与社会的期望出发，提出以下建议，仅 供参考。 1．1进一步拉大文、理科试题的差距 实际上，广东省文、理科考生的差距比较大。例 如，在2011年试题中，文、理第一道大题所考查 的知识点和能力大体相当，满分均为12分，但实 际得分却有较大差异。文科得分为7.47分，理科为 10.22分。
与 x, y, z V ,有 xyz V .矛盾！另证：若 x0 1且x0 1 ，取 x0 , x0 , x0 T ， 由条件③可知 x0 x0 x0 T ，又 x0 0 ，所以 x03 x0 ，解得 x0 1，或 x0 1 ， 矛盾）. 显然 T 满足条件③；关于V ，我们分以下两种情况讨论：若 x0 =1， 此时，V 满足条件③.（否则， xyz V ，即 xyz=0或1，由于 x, y, z V ，显 然不可能乘积为 0；若乘积为 1，则 x, y, z 至少有一个必须是 1，矛盾于
不少考生纠结于用什么方法来解，耗费了 大量的时间。
文பைடு நூலகம்的立几题似乎也遇到了同样的问题。
该题涉及的字母符号多，有陌生的名字， 不熟悉的题目设问。这些都给文科生带来 了很大的障碍。
思考一个问题：
应该如何恰当地评价某道数学试题？
应该说，当前，对于如何评价某道数学试 题，大家尚未有统一的标准与框架 。是否 能归纳出一个较为合理的框架，值得深入 研究。
数的乘积，主要考查考生对新定义的理解 与创新思维能力，有较大难度。
首先，题干设计三个已知条件: ① T ,V 是 ¢ 的两个不相交的非空子集;条件② T UV ? ; ③ a,b, c T , 有 abc T ； x, y, z V , 有 xyz V 。
先考虑 0，由条件①和②可知 0T 或者 0 V .不妨假设 0 T ，以下以 T 的元素个数来 讨论 T ,V 的性质：
0分卷（份） 3分以下卷 （份）
59125 11720 98231 77479
95171 37701 164655 119899
理20题给分分布
在此题中，若考生一上来就考虑建系，则 需要先作一番证明，找到三条互相垂直的 直线，这对于熟悉了用向量法的学生来说 相当困难；若考生利用传统方法来做，在 第二问时则需找到二面角的平面角，这个 知识点在教材中仅有几行字的说明，似乎 显得要求过高。二面角的平面角不好找。
通过分析上表可发现，函数的分值有所增
加。文科卷中函数（包括三角函数、数列） 所占分值是60分，理科卷中函数（包括三角 函数、数列）所占分值是55分）。在文科卷 中，几何（包括解几和立几）所占的分值 是42分，较2010广东卷增加了13分。在总分 不变的情况下，新增知识所占的分值必有 所减少。 2011年广东卷新增知识（向量、 概率统计和线性规划）所占的分值是33分， 比例为22%。
136909
105906
801
95771
46
185712 255855
0（最高分为7） 0（最高分为8）
三、考生的典型错误分析
典型错误：因为儿子的身高x与父亲的身高y相关
这个问题考查学生运用线性回归分析的方法 解决实际问题的能力，，也就是学生要找到两 个变量之间的关系，不能搞反了。
题号 16 17 18 19 20 21
理科0分卷数与满分卷数
0分卷数
满分卷数
12555
195204
10434
62732
26274
26728
80021
778
145402
26
204319
1
题号 16 17 18 19 20 21
文科0分卷数与满分卷数
0分卷数
满分卷数
51224
125821
15029
学业评价的本质在于能真实反映出考生的数学
素养与创新意识。在大多考生采用“题海战术” 的情况下，如何才能有效地考查考生的数学素养 与创新意识是一件困难的事情。以高等数学为背 景命题或许是一条较佳的途径之一，这也是当前 全国高考题的热点之一，例如2010年广东理21题、 2010年北京文20题。
2011年试题中文10、理8都是基于高等数学 背景来命题，主要考查考生对于新定义的 理解，包括对于一些比较陌生的数学术语 诸如“封闭”的理解。通过引入新知识， 能有效地考查考生的数学学习能力与真实 的数学素养，也能考查到考生的创新意识。 如此，一方面为高等学校选拔出优秀的考 生，一方面为考生未来学习高等数学开启 了一扇门。当然，怎样的具有高数背景的 试题才能有效地做到这一点，值得思考。
综上，满足条件①②③的整数集 ¢ 的分解T ,V 中至少有一个关于乘法是封闭的。
另解
从选项进行分析，我们知道，A选项包含了 D选项，即如果D选项正确，那么A选项也 应该是正确的。如果从这个方面来思考， 那么D选项就是首先应该淘汰的。再结合某 个例子就可以确定正确答案了。
2．3回归本质，重视考生数学素养与创新意识的 评价
回归传统 回归根本
-----2011年高考数学广东卷试题
和答卷分析
华南师范大学数学科学学院
汇报的主要内容
一、试卷的考点分布与特点分析 二、2011年试题相关数据 三、学生答卷的主要错误分析 四、对高考命题和教学的建议 五、11年高考数学试题动向
引言
2011年高考数学广东卷（简称广东卷）在 2010年试题的基础上适当加大了难度，突出 了高考选拔性功能。通过对2011年广东卷试 题（简称2011年试题）的命题思想、特点分 析和考生答卷的分析，希望对广大中学教 师在教学、备考方面有新的启发。
12
19 5 5
年
2011 5 5 29 12 19 19 23 18
55 5
5
理 2009 5 13 19 9 5 24 19 22 5 科年
5 5 5 10
2010 5 5 15 19 5 19 19 22 5 12 5 14
5
年
2011 5 5 24 12 19 14 18 23 5 5 5 5 5 5 年
与2010年试题相比，2011年试题在命题思想、 命题思路与风格都有一定的差异。有的差
异应该引起我们的反思，有的差异给了我 们新的启示。因此，2011年试题值得深入研 究。
一、试卷的考点分布和特点分析
与2010年试题相比，2011年试题在考点分 布上有较大差异，加大了对传统知识内容 几何、函数和数列的考查。近三年的考点 分布如下表：
思考的问题：
仅有三组量，能否就得到线性回归方程，其 中的参数是什么？残差是否异常？线性回归 方程检验是否显著？
2011年理数列题
在第一问中，采用数学归纳法解决是一个 比较自然的想法。
在第二问中，采用数学归纳法证明却不是 件容易的事情。
2008陕理22题
题目
文18 理18 文20 理20
要拉大文、理科试题的差距，不仅体现在考查的 内容上，还要体现在考查知识的能力要求方面， 例如，文科试题对数和式子的运算复杂程度要较 理科试题低。此外，考查的知识和内容应符合文 科生的特点，也应符合文科生的未来大学生活的 专业需求。例如，对于数列的要求，应仅限于掌 握等差数列和等比数列的通项公式和前项和；对 于立体几何的要求，应多考查与几何直观有关的 知识如三视图；对于概率统计的要求，应多考查 与调查研究相关的知识如分层抽样等。
2011年试题突出考查了推理论证能力与运算求解能力， 应该引起重视。
二、2011年试题相关数据
数据分析是评价试题的重要依据之一。根 据相关的数据，我们可以获得一些启示。
从表2、表3分析，2011年文、理试题难度均 有所提高，符合选拔性考试的要求。从大 题的难度来看，文、理科试题的梯度可以 更加合理一些，以更好地区分不同层次的 学生。
理科试题中几何知识所占分值表面上看降 低了，实际上并非如此，压轴题理21是通过 平面解析几何中抛物线的知识引出，考查
了考生对抛物线相关知识的理解。因此， 2011年试题突出考查了中学数学的主干知识， 做到了“重点内容重点考”。
2．2 回归根本，重视数学定义的作用
2011年试题重视利用数学定义解决问题，很 好地发挥了高考指挥棒的引导作用。文科 第8题考查了抛物线的定义，文科第21题的 第一小问事实上也可以利用抛物线的定义 来解题；理科第19题考查了双曲线的定义。 此外，文科第10题、理科第8题和理科21题 都考查了考生利用新定义解决问题的能力。