中国石油大学计算方法模拟试题

1.计算方法实际计算时，由于受计算机字长限制而导致的误差称为 舍入误差 。

2.x *

=1.1021是经过四舍五入得到的近似数，有 5 位有效数字，相对误差限为 0.5*10-4

。

3.利用二分法求方程1-x-sinx=0在[0,1]内的根要二分 15 次。（ε≤0.5*10-4

） 4.写出用Newton 法建立求b 的迭代公式 x k+1=(x k 2

+b)/2x k 。

5.使用矩阵分解法求解线性方程组时，平方根法适用于 系数矩阵为对称正定矩阵的方程组 ，追赶法适用于 系数矩阵为三对角阵的方程组 。

6.设线性方程组Ax=b ，为⎩⎨

⎧=+=+7

.0751

1072121x x x x ，则||A||2= 14.933 ,Cond ∞(A)为

289 ，若右端向量有扰动δb=(0.01,-0.01)T

，则解的相对误差限为 2.89 。

7.求解数值积分的Simpson 公式的代数精度为： 3 ，若将积分区间n 等分，步长为h, 则复化Simpson 公式的截断误差为h 的几阶无穷小,即 O(h ？

4 )

8.应用龙贝格求积公式求积分，其整个计算过程的特点是：将积分区间逐次分半，并将每一公式先后两次的计算结果按一定线性组合构成新的精度较高近似值。

9.常微分方程初值问题的数值解法分为单步和多步，显式和隐式，下列方法属于哪一类？龙格-库塔法： 单步、显式 ，阿当姆斯内插公式： 多步、隐式 。

10.若s(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++≤≤+)

21(12)

10(2323x cx bx x x x x ，是以0,1,2为节点的三次样条函数，则b=

-2 ，c= 3 。

二、解答题（24分，每题6分）

1.看书上或课件定义

2.对于方程组

-1 4 2 2 -3 10 5 2 1

x1 x2 x3

5 9 8

试构造一收敛的高斯-赛德尔迭代格式，并说明收敛理由。 解：将方程组变换为：

系数矩阵为严格对角占优阵，则方程组存在收敛的高斯-赛德尔迭代格式。把方程组等价

变形为：

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨

⎧++-=+-=+--=10921031513453211412583512521x x x x x x x x x 收敛的高斯-赛德尔迭代格式为：

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧++-=+-=+--=++++++1092103151345

3211412

583512521)1()1()

1()()1()1()()()1(k k k k k k k k k x x x x x x x x x 3.以线性拟合为例简述最小二乘原理。 答：设近似函数为y=a+bx ，R=

∑=-+n

i i i

y bx

a 1

2)(。根据极值理论，要使R 达到最小，必有：

0)(21

=-+=∂∂∑=n

i i i y bx a a R

， 0)(21

=-+=∂∂∑=i n

i i i x y bx a b R

由方程组可以解出a ，b 的值，从而得到拟和曲线的表达式。

4.确定下列求积公式的常数a ，使其代数精度尽量高，并判定其具有的代数精度。

5 2 1

-1 4 2 2 -3 10

x1 x2 x3

8 5 9

⎰-++≈h

h f f ah h f f h

dx x f 0

2)](')0('[)]()0([2

)( 解：当f(x)=1时：⎰+==h h

h dx 0]11[21

当f(x)=x 时：]0[2]11[]0[2212

02h h ah h h h xdx h +=-++==⎰

当f(x)=x 2时：]20[]0[2312

0232h ah h h h dx x h -++==⎰，解得：a=1/12

当f(x)=x 3时：]30[121]0[2412203

43h h h h h dx x h -++==⎰

当f(x)=x 4时：]40[12

1]0[2513204

54h h h h h dx x h -++≠=⎰

说明所求求积公式具有三次代数精度。

三、证明题（16分，每题8分）

1.若f(x)=(x-x 0)(x-x 1)...

(x-x n )，x i 互异，证明当k=n+1时f[x 0,x 1,...,x k ]=1。 证明：由差商性质：

∑

=+-----=k

i k i i i i i i i x x x x x x x x x f 0

110)

)...()()...(()

(x k]x 1,...,f[x 0,

当k<=n 时

)

)...()()...(()

(110k i i i i i i i x x x x x x x x x f ----+-

=

0)

)...()()...(()

)...()()()...((110110=---------+-+-k i i i i i i k i i i i i i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x x 当k=n+1时

∑

+=++-----=1

1110)

)...()()...(()

(x k]x 1,...,f[x 0,n i n i i i i i i x x x x x x x x xi f

= 0 + 1)

)...(()

)...((101101=----++++n n n n n n x x x x x x x x

2.证明对于牛顿-科特斯求积公式的科特斯系数有

10

)(=∑=n

k n k

C

。