工程制图(换面法)
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土木工程制图第五章,投影变换-换面法
H
3、一般位置直线变成投影面垂直线
• 先将一般位置直线变成 投影面平行线； • 再将投影面平行线变成 X 投影面垂直线。 1 X 2 X • 注意：什么是二次变换？
b a'
2 2
土木工程制图
a' b'
a
b a'
1
b'
1
土木工程制图 4、一般位置平面变成投影面垂直面 • 在一般面上作一投影面平行线，例作一水 平线；
第5章 投影变换—换面法
土木工程制图
教学提示：画法几何中有关点、直线和平面的问 题，一般可以归纳为定位和度量问题。 当几何元素处于一般位置时，为了求 解方便，常采用换面法改变其中的某 些元素与投影面的相对位置，成为有 利于解题的特殊位置。 学习要求：通过本章学习，学生应掌握换面法的 一般概念及特点，能够使用换面法解 决有关点、直线和平面等几何元素之 间的定位和度量问题。
分析：在投影图中直接反映两平面夹角的特殊 情况，只要将这两个相邻平面用换面法变成同 时垂直于同一投影面，也就是将这两个平面的 交线变换成投影面垂直线，即可求得夹角θ。
土木工程制图
a' f'c' e'd' 1.在适当的位置作O1X1∥cd1，将CD变换为H、 V1新投影面体系中的V1面平行线。
X
V H
土木工程制图
3）求平面的实形： 将平面变成投影面平行面。 4）求平面的倾角、点到平面的距离、两平行面距离、直线 与平面交点和两平面交线等： 将一般面变成投影面垂直面。
二、换面法基本方法
土木工程制图
1、基本原则： 1）新投影面必须设立在使空间元素处 在有利于解题的位置； 2）新投影面必须垂直于原有投影体系 中的一个投影面。 2、基本概念：
土木工程制图讲义换面法篇
b 影m1n1=MN, 且m1n1⊥c1d1。
d b
.
H X1V1
A
d1 ●
a1≡b●1≡m1
M CN
BD a1●m1b
.
●n1
c1 V1
n1
1
d1
c1●
m1n1⊥c1d1
小结
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。
二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投影面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析：如 的垂果直把两线平平，面面那内垂么的直该一需平条满面直足则线什变变么换换条成成件新新？投投影影面面
的垂直面。
作图方法：
一在般平位面置内直取线一变条换成投影面垂直线c， 需经几V1 次变换？
能投否影只面进平行一线次，变经换一？ V
次换面后变换成新投
d
空间及投影分析 交叉二直线间的距离即是它们之间公 垂线的实长。若两交叉直线之一变换成新 投影面垂直线时，公垂线必为该投影面的 平行线，反映实长，且与另一直线投影垂 直，据此可确定公垂线位置。
例5: 求交叉二直线AB、CD 之间的距离及公垂线的投影。
m b
a
d n
X
V H
c m
b
ac
nd
B M
A m1 b1 H1 a1
如何求出两平行直线间距离？ 4.逆变换返回，求出公垂线
的投影；
例6：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN，且AB 为水平线，求CD及MN的投影。 M N
作图：
n● c●
工程制图6(平面上的特殊线及换面法)
3.平面上的特殊直线 3.平面上的特殊直线
（1）平面上的投影面平行线 ） （2）平面上的最大斜度线 ）
A C
a2 Dd Bb a1
a c
平面上的投影面平行线
1.符合投影面平行线的投影特性; 1.符合投影面平行线的投影特性; 符合投影面平行线的投影特性 2.满足直线在平面上的几何条件。 2.满足直线在平面上的几何条件。 满足直线在平面上的几何条件
直线和平面在换面法中的六种基本情况1一般位置线投影面的平行线1次换面2投影面平行线投影面垂直线1次换面3一般位置线投影面垂直线2次换面4一般位置平面投影面垂直面1次换面5投影面垂直面投影面平行面1次换面6一般位置平面投影面平行面2次换面1一般位置线投影面的平行线1次换面b1a1a1b1a1b13一般位置线投影面垂直线2次换面a1b1a2b24一般位置平面投影面垂直面1次换面c1a1d1b15投影面垂直面投影面平行面1次换面a1b1c16一般位置平面投影面平行面2次换面c1a1d1b1b2a2c2应用换面法可解决以下作图问题
直线和平面在换面法中的六种基本情况
投影面的平行线（ 次换面） 1）一般位置线—投影面的平行线（1次换面） 一般位置线 投影面的平行线 投影面垂直线（ 次换面） 2）投影面平行线—投影面垂直线（1次换面） 投影面平行线 投影面垂直线 3）一般位置线—投影面垂直线（2次换面） 投影面垂直线（ 次换面） 一般位置线 投影面垂直线 投影面垂直面（ 次换面） 4）一般位置平面—投影面垂直面（1次换面） 一般位置平面 投影面垂直面 投影面平行面（ 次换面） 5）投影面垂直面—投影面平行面（1次换面） 投影面垂直面 投影面平行面 投影面平行面（ 次换面） 6）一般位置平面—投影面平行面（2次换面） 一般位置平面 投影面平行面
（1）平面上的投影面平行线 ） （2）平面上的最大斜度线 ）
A C
a2 Dd Bb a1
a c
平面上的投影面平行线
1.符合投影面平行线的投影特性; 1.符合投影面平行线的投影特性; 符合投影面平行线的投影特性 2.满足直线在平面上的几何条件。 2.满足直线在平面上的几何条件。 满足直线在平面上的几何条件
直线和平面在换面法中的六种基本情况1一般位置线投影面的平行线1次换面2投影面平行线投影面垂直线1次换面3一般位置线投影面垂直线2次换面4一般位置平面投影面垂直面1次换面5投影面垂直面投影面平行面1次换面6一般位置平面投影面平行面2次换面1一般位置线投影面的平行线1次换面b1a1a1b1a1b13一般位置线投影面垂直线2次换面a1b1a2b24一般位置平面投影面垂直面1次换面c1a1d1b15投影面垂直面投影面平行面1次换面a1b1c16一般位置平面投影面平行面2次换面c1a1d1b1b2a2c2应用换面法可解决以下作图问题
直线和平面在换面法中的六种基本情况
投影面的平行线（ 次换面） 1）一般位置线—投影面的平行线（1次换面） 一般位置线 投影面的平行线 投影面垂直线（ 次换面） 2）投影面平行线—投影面垂直线（1次换面） 投影面平行线 投影面垂直线 3）一般位置线—投影面垂直线（2次换面） 投影面垂直线（ 次换面） 一般位置线 投影面垂直线 投影面垂直面（ 次换面） 4）一般位置平面—投影面垂直面（1次换面） 一般位置平面 投影面垂直面 投影面平行面（ 次换面） 5）投影面垂直面—投影面平行面（1次换面） 投影面垂直面 投影面平行面 投影面平行面（ 次换面） 6）一般位置平面—投影面平行面（2次换面） 一般位置平面 投影面平行面
工程制图换面法课件
零件图
通过换面法，可以将复杂的零件 图进行简化，使得绘图更加方便 快捷。
装配图
在绘制装配图时，换面法可以帮 助确定各个零部件的位置关系， 提高绘图效率。
在建筑工程制图中的应用
平面图
在绘制建筑平面图时，利用换面法可 以将复杂的建筑结构进行简化，便于 绘图。
立面图
在绘制建筑立面图时，通过换面法可 以更好地表现建筑的外观和结构。
在水利工程制图中的应用
流域图
在绘制水利工程流域图时，利用换面法可以 将复杂的流域地形进行简化，便于绘图。
水工建筑物图
在绘制水工建筑物图时，换面法可以帮助确 定水工建筑物的位置和结构，提高绘图效率 。
THANKS
感谢观看
它是一种有效的解决复杂工程问题的 手段，通过换面法可以简化复杂结构 的分析、设计和绘图过程。
原理
换面法的原理基于投影几何和三维几何的基本原理，通过改 变观察者和物体的相对位置，使得新的投影面上的投影更加 简单，易于分析和处理。
在实际应用中，换面法的原理可以通过各种计算和绘图软件 来实现，这些软件可以根据用户的需求自动进行换面操作， 并生成相应的工程图纸。
的三维空间关系。
灵活性
换面法可以根据需要选择不同 的投影面，以便更好地展示物 体的某些特征。
易于掌握
换面法的操作相对简单，不需 要复杂的数学计算，易于学习 和掌握。
广泛应用
换面法在工程、机械、建筑等 领域都有广泛应用，是工程技 术人员必须掌握的基本技能之
一。
缺点
计算量大
在某些情况下，换面法需要进行大量的计算 和作图，增加了工作量。
02
换面法的分类
平行投影面的换面法
01
02
画法几何及工程制图第3章投影变换
a
X
V H
a
b1 a1e1
b
β1
e
c
b e
c1
V面倾角
c
变换H面（求β1）
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-垂直面变换为平行面
5. 将投影面垂直面变换成投影面平行面
a
X
V H
a
a1
b c
Why X1轴这么选？
b
c
c1
实形
b1
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为平行面
目标：将一般位置的直线和平面转换为特殊位
置的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有 利于求解的特殊位置。
1. 将投影面倾斜线变换成投影面平行线
2. 将投影面平行线变换成投影面垂直线
3. 将投影面倾斜线变换成投影面垂直线
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
5. 将投影面垂直面变换成投影面平行面
6. 将投影面倾斜面变换成投影面平行面
m1
m2 a2 b2
d2
Why？
械20§工20程/310学./22院4 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例4]求变形接头两侧面ABCD和ABFE之间的夹角。
分析
当两平面的交线垂直于投影面时，两平面 在该投影面上的投影为两相交直线，它们的夹 角即反映两平面间的夹角。
械20§工20程/310学./22院4 变换投影面法-六个基本问题-例子
线）和度量问题（实长、实形和倾角）。
实形
a c
c
实长
k
l
b
e a
a X
a
c
b k
工程制图7,8(实形及换面法习题课)
c’ c a
b
习题24-6.作一等腰三角形ABC，其底边BC在正平线EF上 习题24-6.作一等腰三角形ABC，其底边BC在正平线EF上，底边 24 作一等腰三角形ABC BC在正平线EF 中点为D 顶点A在直线GH上 并已知AB=AC=25mm。 中点为D，顶点A在直线GH上，并已知AB=AC=25mm。 GH AB=AC=25mm
a’ c’ V H a b b’m’ c m
习题23-6.已知直线AB为某平面对V面最大斜度线， 习题23-6.已知直线AB为某平面对V面最大斜度线， 23 已知直线AB为某平面对 并知该平面与V面夹角=30° 求作该平面。 并知该平面与V面夹角=30°，求作该平面。 =30
B0
a’
30°
V H
b’
m’ n’ a’ X m a n b k mx b’
k’
习题20-8.直线段AB是等腰△ABC底边BC上的高， 习题20-8.直线段AB是等腰△ABC底边BC上的高， 20 直线段AB是等腰 底边BC上的高 B在H面上，点C在V面上，求作△ABC的投影。 面上， 面上，求作△ABC的投影。 的投影
V H a bc a b
n’ b
c’
n
c
习题19-2.过点M作一长度为20mm的侧平线MN与 习题19-2.过点M作一长度为20mm的侧平线MN与 19 过点 20mm的侧平线MN AB相交。 AB相交。 相交
ห้องสมุดไป่ตู้
m’ a’ n’ X a o n b m b’a”
m” o” b” n”
习题20-6.过点K作一直线MN与正平线AB垂直相交。 习题20-6.过点K作一直线MN与正平线AB垂直相交。 20 过点 MN与正平线AB垂直相交
土木工程制图第5章投影变换换面法
5.2
图5-9 一般位置直线变换成垂直线
5.2
4.将一般位置平面变换成垂直面
如图5-10所示，△ABC为一个一般位置平面，如果要将其 变换为正垂面，
(1)在△ABC上作水平线AD，其投影为a′d′和ad (2)作X1轴⊥ad (3)作△ABC在V1面的投影a1′b1′c1′，a1′b1′c1′ 积聚为一条直线，它与X1轴的夹角即反映△ABC对H面的 倾角α
5.2
图5-6 一般位置直线变换成平行线(求α角)
5.2
2.
如图5-8所示，AB为 一条正平线，要变换成垂 直线。根据垂直线的投影 特性，反映实长的投影必 定为不变投影，只要变换 水平投影，即作新投影面 H1垂直于直线AB，作图时 作X1⊥a′b′，则直线AB 在H1面上的投影积聚为一 a1(b1)
(2)过a点作新投影轴X1的垂线，得交点aX1 (3)在垂线aaX1上截取a1′aX1= a′aX，即得A点在V1面 上的新投影a1′。
5.2
图5-3 点的一次变换(变换V面)
5.2
(1)不论在新的或原来的(被代替的)投影面体 系中，点的两面投影的连线垂直于相应的投影轴。
(2)点的新投影到新投影轴的距离等于原来的 投影到原来投影轴的距离。
5.2
图5-16 求侧平线与倾斜面的交点
5.2
【例5-3】
求两条交叉直线AB、CD间的距离，如图5-17(a)
【解】分析：两条交叉直线间的距离即为它们之间公垂线的
长度。如图5-17(a)所示，若将两条交叉直线中的一条(
AB )
MK
并在该投影面上的投影反映实长，而且与另一条直线在新投
影面上的投影互相垂直。
5.2
图5-18 求两平面间的夹角
工程制图习题集答案附页2
d’
a1 c1
d
返回
2.求出平面ABCD的实形。
b1 e’ d1 c2 c1 a1
e
TS
b2
d2 a2
返回
3.已知正方形ABCD的=45°，C在B的前 上方，补全其两面投影。
c1(d1) 习题分析
(a1)b1
d’ c’
已知正方形ABCD的=45°，则 应当使用换面法，而AB是一条 正平线，符合平面换面法的要求。 正方形ABCD在1号面上的投影 积聚为一直线，其长度等于正 方形边长，a’b’为正方形边AB的 TL；同时已知C在B的前上方， =45°。 正方形BC边和AD边在1号面上 的投影为TL，则V面投影b’c’和 a’d’应平行于X1投影轴。
b1
d1 a1
返回
6.在AB上定一点K使∠CKD=90°，求K点的 两面投影，共有几个解？
k’
k
k1
c1(b1) b2
a1
d1 在AB上定点K，只有一c2
返回
返回
d
c
返回
4.已知一平面图形的两面投影，根据其水 平投影和反映真形的１面投影，补出其Ｖ 面投影。
c’ b’ a’ d’ e’
a1 b1 c1 e1
d1
返回
5.管道ABC的B角用R16的弯管连接，求弯 管的中心角α和管道的两面投影（用单线表 示）。
d’ h ’ g’ f’ e’ 解题步骤 1.作ABC的真形图。 2.作R16圆弧与a1b1 和b1c1相切，画出管 道真形，并求出中心 角α。 c1 e1 α f1 g1 h1 3.运用换面法求管道 的两面投影。
附页2：换面法（二）
第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题
工程制图第二章习题答案
15
16 第二章点、直线、平面的投影———直线的实长班级学号姓名
17 第二章点、直线、平面的投影——-直线的实长班级学号姓名
19
20
21
22
23
26
27 第二章点、直线、平面的投影——平面的投影班级学号姓名
28
29
第二章点、直线、平面的投影——平面的投影班级学号姓名
2-56 完成下列平面的两面投影.2—57判断四点A、B、C、D是否属于同一平面。
（否)
（1）包含直线AB作等边三角形（2）包含直线AB作正方形
ABC∥V面。
ABCD⊥H面.（原图标号有误）
2-58 已知直线MN在△ABC上，求直线MN的H投影。
2-59 判断三条平行直线是否属于同一平面。
(否）
30
第二章点、直线、平面的投影-—平面的投影班级学号姓名
2—60已知平面ABCD的AD边平行于V面,试补全ABCD的水平投影。
2-61在△ABC上过点A作正平线，在△EFG上作距H面20mm的水平线。
2-62 在平面ABCD上找一点K使其距离V、H面的距离均为20mm。
2—63过直线作出用积聚投影表示的平面.
(1）作投影面的平行面Q （2)作正垂面P,使α＝60°
31
33 第二章点、直线、平面的投影——直线与平面平面与平面的相对位置班级学号姓名
34
35 第二章点、直线、平面的投影——直线、平面的垂直问题班级学号姓名
36
37
38
39
40
41
42
43
44。
工程制图全册复习要点
点和直线§1-1投影知识1, 中心投影法1、平行投影法（正投影法斜投影法）§1-2点的投影一个形体是由多个侧面所围成，各侧面又相交于多条侧棱，各侧棱又相交于多各顶点，则只要把这些点的投影画出来，再连成线就可作出一个形体的投影。
所以，点是形体的最基本元素。
且点的投影规律是线, 面, 体的投影基础。
一, 点在三投影面体系中的投影1, 点的直角坐标及三面投影的关系”’到W面的距离’”到V面的距离’”到H面的距离2, 三投影面体系中点的投影规律（1）a’a在同一条投影连线上，垂直于X轴。
这两个投影都反映A点的X 坐标。
a’a⊥X轴（2）a’a”在同一条投影连线上，垂直于Z轴。
这两个投影都反映A点的Z 坐标。
a’a”⊥Z轴（3）点的水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离。
这两个投影都反映A点的Y坐标。
”二, 两点的相对位置1、对于两个点在空间就有相对位置的问题了。
（1）对V面投影时，靠近V面的为后，远离V面的为前。
H, W面投影可反映出其前后关系。
（2）对H面投影时，靠近H面的为下，远离H面的为上。
V, W面投影可反映出其上下关系。
（3）对W面投影时，靠近W面的为右，远离W面的为左。
V, H面投影可反映出其左右关系。
三, 重影点当空间两点处于特别位置，即两点恰好在同一条投影线上，此时两点在同一投影面上的投影重合，这时称两点为该投影面的重影点。
四, 投影轴和投影面上点的投影小结：1, 作空间一个点的投影①利用坐标值②利用点到投影面的距离③利用两点间的相对位置。
2, 点的投影方向：自上向下, 自前向后, 自左向右3, 推断重影点的可见性：前遮后, 上遮下, 左遮右§1-2直线的投影一, 直线的投影图从几何学知道，直线是无限长的。
直线的空间位置可由线上随意两点的位置确定，即两点定一线，在次要作直线投影只要作两个点的投影即可。
二, 各类直线的投影特性1, 投影面平行线特点：平行某一投影面，倾斜其他投影面。
5章-换面法
对平面：若求角，则将平面上的水平线换成垂直线 （即换V面，新轴垂直于水平线的H投影）； 若求β角，则将平面上的正平线换成垂直线 （即换H面，新轴垂直于正平线的V投影）。
[例1] 求点A到直线BC的距离和垂足的投影。 §6-3 十换二面五法规的划应教用材 例 1 ： 求 点 到 一 般 线 距 离
a'
O
X
a
绕铅垂轴旋转
b 轴线通过A点 d1
d' 绕正垂轴旋转
轴线通过C点
c' O
c
d
例
旋转法 (绕投影面垂直线旋转）
[例] 求铅垂面ABC的实形。
b1'
b'
十二五规划教材
垂 直 面 转 为 平 行 面
c1'
实形
c'
X
c1
b1
a' a
b
O
绕铅垂轴旋转 轴线通过A点
c
旋转法 (绕投影面垂直线旋转）
[例] 求一般面ABC的实形。
c f (h) n
点）、棱面CDHG的
V投影不可见；
e
m
b h1 (d) (d1)
§6-3 十换二面五法规的划应教用材例 7 ： 作 四 棱 柱 及 表 面 上 的 点 的 V 投 影
g1 (c1)
a
e1
f1 (b1)
(a1)
小结
十二五规划教材
小 结 — 求 线 面 与 投 影 面 的 倾 角
具体解题时,应将某个一般位置的直线或平面变换为特殊状态:
[例] 求线段的实长及倾角 。 （设立平面V1平行于线段AB，则新轴O1X1∥ab）
b1'
V
V1
工程制图第3章答案
3．两直线交叉
交叉两直线各组同面投影不会都平行，特殊情况下可能有一两组 平行；其各组同面投影交点的连线与相应的投影轴不垂直，即不符合 点的投影规律。
重影点 反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不 符合相交两直线的投影特性，则该两直线空间为交叉两直线。
4．两直线垂直
一般情况下，在投影图中不能确定空间两直线是否垂直， 但当直线处于特殊位置时可以直接从投影图中判断：
三、正投影的基本性质
1. 实形性
2．积聚性
∟
三、正投影的基本性质
3.类似性
4．平行性
三、正投影的基本性质
5．定比性
6．从属性
3-2 三视图的形成及其投影关系
一、 三视图的形成
1. 三投影面体系的建立
物体的一个投影不能确定空间物体的形状。
怎吗办？
建立三面投影体系
2．三视图的形成
主视图
左 视图
[例3-4] 已知点A(15,10,12)，求作点A的三面投影图。
作图步骤如下：
1.自原点O沿OX轴向左量取x=15,得点 ax 2.过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向下量取y=10,得点A的水平投影a 向上量取z=12,得点A的正面投影a
3.根据点的投影规律，可由点的两个投影作出第三投影 a 。
★ 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
[例3-11] 求一般位置直线MN与铅垂面ABC的交点 分析： 作图：
判可见性：
[例3-12] 求铅垂线MN与一般位置平面△ABC的交点 分析： 作图：
判可见性：
⒉ 两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共 有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。
工程制图(换面法)
H
O1
a
c
X
V
H
b
b
a
c
把一般位置平面变换成投影面的垂直面
V
H
X
c
b
a
b
C
A
c
B
a
d
d
D
X1
H1
a1
c1
b1
d1
d
X1
H1
V
d
b1
a1
c1
d1
X
V
H
A
B
b
a
b
C
a
c
实形
V
c1
b1
a1
5.把投影面的垂直面变换成投影面的平行面
V
H
X
O
a
b
c
b
a
(c)
b
c
a
V1
O1
X1
1
b
a
b
d
c
a
X
V
H
d
c
2
1
12
22
例题4： 求两直线AB与CD的公垂线 。
H2
a
a
X
b
b
c
d
c
d
题5： 如何求两直线AB与CD间的距离？
X
H1
V1
a
a
X
V
H
b
b
a2 b2
X
H
V1
a1
b1
V
提示
b
a
a
b
c
d
●
c
例6：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 且AB为水平线，求CD及MN的投影。
O1
a
c
X
V
H
b
b
a
c
把一般位置平面变换成投影面的垂直面
V
H
X
c
b
a
b
C
A
c
B
a
d
d
D
X1
H1
a1
c1
b1
d1
d
X1
H1
V
d
b1
a1
c1
d1
X
V
H
A
B
b
a
b
C
a
c
实形
V
c1
b1
a1
5.把投影面的垂直面变换成投影面的平行面
V
H
X
O
a
b
c
b
a
(c)
b
c
a
V1
O1
X1
1
b
a
b
d
c
a
X
V
H
d
c
2
1
12
22
例题4： 求两直线AB与CD的公垂线 。
H2
a
a
X
b
b
c
d
c
d
题5： 如何求两直线AB与CD间的距离？
X
H1
V1
a
a
X
V
H
b
b
a2 b2
X
H
V1
a1
b1
V
提示
b
a
a
b
c
d
●
c
例6：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 且AB为水平线，求CD及MN的投影。
土木工程制图2
土木工程制图-1
换面法 (1)
点的投影选择 【1】一般线->平行线: 在保留的面上画//轴 【2】平行线->垂直线: 垂直于实形投影 【3】一般线->垂直线: 【1】+【2】
换面法 (2)
【4】一般面->垂直面: 平行线->垂直线=【2】 【5】垂直面->平行面: 平行于积聚投影 【6】一般面->平行面: 【4】+【5】 一、平行于投影 二、垂直于实形投影
定位类问题解法
表5-1: 12种状况 公垂线：方法【3】
度量类问题解法
实长和倾角（直线）： 方法【1】（平行）
实形和倾角（平面）： 倾角：方法【4】（垂直实形投影） 实形：方法【5】（//积聚投影）
解题思路-坐标轴选择
平行线：表3.2 垂直线：表3.3 垂直面：表4.1 平行面：表4.2 定位类：表5.1
换面法 (1)
点的投影选择 【1】一般线->平行线: 在保留的面上画//轴 【2】平行线->垂直线: 垂直于实形投影 【3】一般线->垂直线: 【1】+【2】
换面法 (2)
【4】一般面->垂直面: 平行线->垂直线=【2】 【5】垂直面->平行面: 平行于积聚投影 【6】一般面->平行面: 【4】+【5】 一、平行于投影 二、垂直于实形投影
定位类问题解法
表5-1: 12种状况 公垂线：方法【3】
度量类问题解法
实长和倾角（直线）： 方法【1】（平行）
实形和倾角（平面）： 倾角：方法【4】（垂直实形投影） 实形：方法【5】（//积聚投影）
解题思路-坐标轴选择
平行线：表3.2 垂直线：表3.3 垂直面：表4.1 平行面：表4.2 定位类：表5.1
工程制图(直角三角形法)
一、直角三角形法
▪小结
1)实长、坐标差、投影长、倾角为直角三角形的四要素。
注意：
直线的坐标差、投影长、倾角是对同一投影面而言。
TL
Z
(实长)
坐
α
标
差
水平投影
TL
Y
(实长)
坐
β
标
差
正面投影
TL
X
(实长)
坐
γ
标
差
侧面投影
§3-3 求一般位置线段的实长
一、直角三角形法
▪ 小结
2)只要已知其中任两个，即可通过直角三角形求得另两个。 因此直角三角形法的题型衍生为多种形式。
一、直角三角形法
例1 求线段AB 的实长及α。
V
b'
Z
b'
实长
B
a'
zb’-za’
a'
zb’-za’
α
X
α B0 O
X
A
b
o b
a
方法2
Y
aα
1.以zb’- za’ 为一直角边； 2.取ab 为另一直角边;
实长
所得直角三角形的斜边即实长AB 。AB 与ab 的夹角为α。
§3-3 求一般位置线段的实长
例3 已知EF =30 ，试完成e’ f ’ 。
方法1
1.以ef 为一直角边；
2.以R30 为半径画弧，在另
e'
一直角边上截得zf ’ -ze’ ;
X
3.在f f ’ 投影连线上定f ’ 点，
完成 e’f’ 。
e
解题完毕
§3-3 求一般位置线段的实长
f' zf’-ze’
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b d X V H a a d c O b O1
H X1 a1 d (c ) 1 1 V1 X2 c2 H2 a2
c
b1 O2
b2 实形
例题1：
求K点到直线AB之 距及两面投影。
距离 K
k a
t
b
V
X H O1 A T k1 a1 a t O
k
b
t1
b1 O2
H
空间分析： 两平面垂直需满足什么条件？ 如果把平面内的一条直线变换成新投影面 的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面 。 作图方法：
在平面内取 一般位置直线 V 一条投影面平行线， 变换成投影面垂直线， 经一次换面后变换成 需经几次变换？ 新投影面的垂直线， 能否只进行一次变换？ a 则该平面变成新投影 面的垂直面。 X 思考： 若变换H面，需在面内 取什么位置直线？ c
H X1 V1
c2
d
A
c2
H2
a2
d2
例3：
求交叉两直线AB和CD间的距离。
C b g B k d O d O1 k1 c1 a1 g1 b2
H X1V1 a1 d (c ) 1 1
b1
把一般位置平面变换成投影面的垂直面
b V a b
d
c
B
b1
a
c b d c
D X
A
b C
V X d1H1 H a1 a c1
a
d
c
H
5.把投影面的垂直面变换成投影面的平行面
V
a V
A c1
a1
实形 V b1 X
a b c
点在V/H1体系中 a XV H
求新投影的作图方法
更换V面
a
更换H面
a
XV H
X1 P 1 H
.
a1
ax1
V X H
ax
.
ax1
H P1 X1
●
a ’1
ax
a
a
作图规律：
由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂 线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投 影到原投影轴的距离。
第四章
换面法
第一节
第二节
概述
投影变换
第一节
特殊位置的直线：
a X a b O
概述
可直接反映实长、倾角问题
a(b) X
b O
实长 b
实长 a
特殊位置的平面：
可直接反映实形、倾角问题
c a X a c b 实形 b X O b c b
c O
a
正平面
正垂面
特殊位置的几何元素： 可直接反映度量、定位问题
a
b O
O1
H
a
O1
X1
b
H X1V1 a1 (b1)
3.
把一般位置直线变换成投影面垂直线
b a
a2 b2
B
b1 V1 a1 A
b a H X1
3.
把一般位置直线变换成投影面垂直线
一次换面把直线变成投影面平行线； 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2
空间分析：
作图：
b
V1 X
V H
V
b H2
a2 b2
ax
2
a
b
B A
b ’1
a b a
.
a ’1
X
a H
H1 X1 V1a’● 1 X1
●
b ’1 a 2 b2
X2轴的位置？
与a’1b’1垂直
把一般位置直线变为投影面垂直线
a
X V H b a a2 b2 b
4.把一般位置平面变换成投影面的垂直面
c C b a X
O
a (c) b H X1 b V1 a c
O1
B b H
把投影面的垂直面变换成投影面的平行面
b c X V H a c b a
a V c C A c1 a1 V b1
O
O1 c1
X
b
a
b
B H
H X1 V1 a1
实形 b1
6.把一般位置平面变换成投影面的平行面
C
V1
c ’1 a ’1 d ’1 b ’1
X1
d b
A B D
c d
a
正平线！
b H
把一般位置平面变换成投影面的垂直面
水平线 d b a d c c O
b B V
c O C d D a A b d c a
b1
V1 d1(c1) a1 X1
X
V H
a
b
O1
X
H
a e b d m e a(b) 距离 f c(d) c f a c b m c
b
a
点到直线的距离
一、基本概念
改变空间几何元素与投影面的相对 位置，使它们相互之间处于某一特殊位置 的情况，从而使问题简化、得到解决——
投影变换。
二、投影变换的方法
1. 辅助投影面法（换面法）
2. 旋转法
V1 X 1
H2
k2
B a2(b2) (t2)
V1
X2 H 2 距离
k2
a2(b2) (t ) 2
例题2：
求具有公共边BC的△ABC 和△BCD的夹角。
C
d a
c b X V H O a b D B (b2) d2 a2 O1 c2 (b2) O2 d2 H2 a2 X2 V1 b2 c
⒉点的两次变换
新投影体系的建立
V
H2 X2
a2
ax2
按次序更换 V1
a
ax
X
A
a 1
a
H
ax1 X1
V1 X1 — H
1 X 2 V— H2
先把V面换成平面V1， V1H，得到中间新投影体系:
再把H面换成平面H2， H2 V1，得到新投影体系:
点的两次变换
a V1 XV H
第二节
一、 概念：
变换投影面
V a b X a (c) b H X1 b V1 c c
a V
A c1
a1 V
实形
c C b a X
b1
O O1
B b H
a
换面法：空间几何元素不动，
改变投影面的位置使其有利于解题。
二、基本条件
建立新投影面的条件：
a V c C b a X b B H A c1 a1 V b1 实形
a
a2 a1 A a1 X1 a a a2
四、基本作图
1、把一般位置直线变换成投影面的平行线
b X V H a O
b1 b a
X O O1
V1
B
a1 A
X1
b
a X1 V1 a1
O1
b
a H
H
b1 实长
2.把投影面的平行线变换成投影面的垂直线
V1
V a a X b H b O a1 (b1) X V
（1）新投影面要⊥原 来一个投影面。
（2）新投影面要处于
最有利解题位置。
讲解：点 线 面
三、基本原理
1. 点的一次变换：
V H
V1
H
a
V X
a
ax a
A O H O1
a1
V1
V X H
X1 H a
ax
O O1 ax1
ax1
变换规律：
X1 V1 a1
1). 点的新投影到新轴之距=旧投影到原轴之距； 2). 点的新投影与被保留投影的连线⊥新轴O1X1。
H X1 a1 d (c ) 1 1 V1 X2 c2 H2 a2
c
b1 O2
b2 实形
例题1：
求K点到直线AB之 距及两面投影。
距离 K
k a
t
b
V
X H O1 A T k1 a1 a t O
k
b
t1
b1 O2
H
空间分析： 两平面垂直需满足什么条件？ 如果把平面内的一条直线变换成新投影面 的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面 。 作图方法：
在平面内取 一般位置直线 V 一条投影面平行线， 变换成投影面垂直线， 经一次换面后变换成 需经几次变换？ 新投影面的垂直线， 能否只进行一次变换？ a 则该平面变成新投影 面的垂直面。 X 思考： 若变换H面，需在面内 取什么位置直线？ c
H X1 V1
c2
d
A
c2
H2
a2
d2
例3：
求交叉两直线AB和CD间的距离。
C b g B k d O d O1 k1 c1 a1 g1 b2
H X1V1 a1 d (c ) 1 1
b1
把一般位置平面变换成投影面的垂直面
b V a b
d
c
B
b1
a
c b d c
D X
A
b C
V X d1H1 H a1 a c1
a
d
c
H
5.把投影面的垂直面变换成投影面的平行面
V
a V
A c1
a1
实形 V b1 X
a b c
点在V/H1体系中 a XV H
求新投影的作图方法
更换V面
a
更换H面
a
XV H
X1 P 1 H
.
a1
ax1
V X H
ax
.
ax1
H P1 X1
●
a ’1
ax
a
a
作图规律：
由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂 线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投 影到原投影轴的距离。
第四章
换面法
第一节
第二节
概述
投影变换
第一节
特殊位置的直线：
a X a b O
概述
可直接反映实长、倾角问题
a(b) X
b O
实长 b
实长 a
特殊位置的平面：
可直接反映实形、倾角问题
c a X a c b 实形 b X O b c b
c O
a
正平面
正垂面
特殊位置的几何元素： 可直接反映度量、定位问题
a
b O
O1
H
a
O1
X1
b
H X1V1 a1 (b1)
3.
把一般位置直线变换成投影面垂直线
b a
a2 b2
B
b1 V1 a1 A
b a H X1
3.
把一般位置直线变换成投影面垂直线
一次换面把直线变成投影面平行线； 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2
空间分析：
作图：
b
V1 X
V H
V
b H2
a2 b2
ax
2
a
b
B A
b ’1
a b a
.
a ’1
X
a H
H1 X1 V1a’● 1 X1
●
b ’1 a 2 b2
X2轴的位置？
与a’1b’1垂直
把一般位置直线变为投影面垂直线
a
X V H b a a2 b2 b
4.把一般位置平面变换成投影面的垂直面
c C b a X
O
a (c) b H X1 b V1 a c
O1
B b H
把投影面的垂直面变换成投影面的平行面
b c X V H a c b a
a V c C A c1 a1 V b1
O
O1 c1
X
b
a
b
B H
H X1 V1 a1
实形 b1
6.把一般位置平面变换成投影面的平行面
C
V1
c ’1 a ’1 d ’1 b ’1
X1
d b
A B D
c d
a
正平线！
b H
把一般位置平面变换成投影面的垂直面
水平线 d b a d c c O
b B V
c O C d D a A b d c a
b1
V1 d1(c1) a1 X1
X
V H
a
b
O1
X
H
a e b d m e a(b) 距离 f c(d) c f a c b m c
b
a
点到直线的距离
一、基本概念
改变空间几何元素与投影面的相对 位置，使它们相互之间处于某一特殊位置 的情况，从而使问题简化、得到解决——
投影变换。
二、投影变换的方法
1. 辅助投影面法（换面法）
2. 旋转法
V1 X 1
H2
k2
B a2(b2) (t2)
V1
X2 H 2 距离
k2
a2(b2) (t ) 2
例题2：
求具有公共边BC的△ABC 和△BCD的夹角。
C
d a
c b X V H O a b D B (b2) d2 a2 O1 c2 (b2) O2 d2 H2 a2 X2 V1 b2 c
⒉点的两次变换
新投影体系的建立
V
H2 X2
a2
ax2
按次序更换 V1
a
ax
X
A
a 1
a
H
ax1 X1
V1 X1 — H
1 X 2 V— H2
先把V面换成平面V1， V1H，得到中间新投影体系:
再把H面换成平面H2， H2 V1，得到新投影体系:
点的两次变换
a V1 XV H
第二节
一、 概念：
变换投影面
V a b X a (c) b H X1 b V1 c c
a V
A c1
a1 V
实形
c C b a X
b1
O O1
B b H
a
换面法：空间几何元素不动，
改变投影面的位置使其有利于解题。
二、基本条件
建立新投影面的条件：
a V c C b a X b B H A c1 a1 V b1 实形
a
a2 a1 A a1 X1 a a a2
四、基本作图
1、把一般位置直线变换成投影面的平行线
b X V H a O
b1 b a
X O O1
V1
B
a1 A
X1
b
a X1 V1 a1
O1
b
a H
H
b1 实长
2.把投影面的平行线变换成投影面的垂直线
V1
V a a X b H b O a1 (b1) X V
（1）新投影面要⊥原 来一个投影面。
（2）新投影面要处于
最有利解题位置。
讲解：点 线 面
三、基本原理
1. 点的一次变换：
V H
V1
H
a
V X
a
ax a
A O H O1
a1
V1
V X H
X1 H a
ax
O O1 ax1
ax1
变换规律：
X1 V1 a1
1). 点的新投影到新轴之距=旧投影到原轴之距； 2). 点的新投影与被保留投影的连线⊥新轴O1X1。