换面法
工程制图换面法课件
零件图
通过换面法，可以将复杂的零件 图进行简化，使得绘图更加方便 快捷。
装配图
在绘制装配图时，换面法可以帮 助确定各个零部件的位置关系， 提高绘图效率。
在建筑工程制图中的应用
平面图
在绘制建筑平面图时，利用换面法可 以将复杂的建筑结构进行简化，便于 绘图。
立面图
在绘制建筑立面图时，通过换面法可 以更好地表现建筑的外观和结构。
在水利工程制图中的应用
流域图
在绘制水利工程流域图时，利用换面法可以 将复杂的流域地形进行简化，便于绘图。
水工建筑物图
在绘制水工建筑物图时，换面法可以帮助确 定水工建筑物的位置和结构，提高绘图效率 。
THANKS
感谢观看
它是一种有效的解决复杂工程问题的 手段，通过换面法可以简化复杂结构 的分析、设计和绘图过程。
原理
换面法的原理基于投影几何和三维几何的基本原理，通过改 变观察者和物体的相对位置，使得新的投影面上的投影更加 简单，易于分析和处理。
在实际应用中，换面法的原理可以通过各种计算和绘图软件 来实现，这些软件可以根据用户的需求自动进行换面操作， 并生成相应的工程图纸。
的三维空间关系。
灵活性
换面法可以根据需要选择不同 的投影面，以便更好地展示物 体的某些特征。
易于掌握
换面法的操作相对简单，不需 要复杂的数学计算，易于学习 和掌握。
广泛应用
换面法在工程、机械、建筑等 领域都有广泛应用，是工程技 术人员必须掌握的基本技能之
一。
缺点
计算量大
在某些情况下，换面法需要进行大量的计算 和作图，增加了工作量。
02
换面法的分类
平行投影面的换面法
01
02
画法几何换面法ppt课件
前一例的作图已将平面变 换为投影面垂直面，现只需 接着作后一次变换。
3、将一般位置平面变换为投影面平行面
作图步骤如下： 前一例的作图已将 平面变换为投影面 垂直面，现只需接 着作后一次变换。
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
的原则和变换的规律与一次变换方法完全相同。 不过在作二次变换时要正确判断出不变投影、被替换的
投影、新轴和旧轴，准确定出点的新投影的位置。
图中先变换的是V1面，接着作第 二次变换。此时的H1面与V1面垂直， 被 替 换 是 H 面 ， 而 V1 面 为 不 变 投 影 面。O2X2为新的投影轴，O1X1则成 了旧投影轴。
作图分析：由于△ABC平面为一 铅垂面 ，则O1X1轴应平行于平面的 积聚性投影。
作 图 过 程 如 图 所 示：
2、将一般位置平面变换为投影面垂直面 作图分析：
在作图时首先要考虑的是如何确定新投影面的位置。
将一般位置平面变换为投影面垂直面的作图步骤如下：
在空间平面内作一投影面平行线（下图中作了一条水
作图步骤：
1、点的一次变换 例：已知A点的两面投影a'、a，试作出给定位置的A点新 投影。又：作出A点在H1面上的投影。 作图分析： 变换H1面与变换V1面的作图分析和作图步骤相同。
本题的投影变换作图为 点A的两个一次变换。
2、点的二次变换 在用投影变换的方法求解一些实际问题时，需要变换两
次投影面，这样的变换方法称为二次变换。 二次变换实际上就是连续作出的两个一次变换。其变换
1、将一般位置直线变换为投影面平行线 通过一次变换可将一般位置直线变换为投影面平行线， 求得直线的实际长度以及直线对投影面的夹角。 为求得AB线的实长，所设置的新投影面V1应与AB平行。 从直观图上可看出，体现新面位置的新轴就应平行于AB 线的水平投影 ab。
§2-6换面法
X一、换面法的基本概念•从前面已经知道：投影面的平行线在该投影面上的投影能直接反映真长和对另一投影面的倾角；投影面的平行面在该投影面上的投影反映真形。
•由此可以得到启示：当几何形体在两个互相垂直的投影面体系中对某一投影面处于特殊位置时，可直接利用一些投影特性求解画法几何的图示和图解问题，使作图简化。
•当几何形体在两投影面体系中不处于这样的特殊位置，则可以创造新投影面体系使之处于这样的特殊位置。
投影变换的基本作图法•方法是：保留一个投影面，用垂直于被保留的投影面的新投影面更换另一投影面，组成一个新的两投影面体系，使几何形体在新投影面体系中对新投影面处于便利解题的特殊位置，在新投影面体系中作图求解，这种方法称为变换投影面法。
简称换面法。
新投影面的选择原则1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。
2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
二、直线在换面法中的基本情况•投影变换的基本作图法X1。
变换为新投影面的平行线XX2。
投影面的平行线变换为新投影面的垂直线•投影变换的基本作图法3。
两次换面可将一般位置直线变换成投影面垂直线再将投影面平行线变换成投影面垂直线[例2-9]如图所示，过A点作直线BC的垂线AD及其垂足D，并求作点A与直线BC之间的真实距离．Array•从前面已经知道：一边平行于某一投影面的直角，在该投影面上的投影仍是直角。
先将直线BC变换成投影面平行线再将直线BC变换成投影面垂直线亦是垂线AD变换成投影面平行线三、平面在换面法中的基本情况•1。
将一般位置平面变换为新投影面的垂直平面X先在△ABC上作出投影面H的平行线AD1垂直于AD2。
将投影面垂直平面变换为新投影面的平行平面3。
两次换面可将一般位置平面变换为新投影面的平行平面。
X[例2-29]如图所示．过点A作△BCD的垂线AK、垂足K以及点A与CD之间的真实距离．。
换面法
实形
保持空间几何元素位置不动，通过变换投影面，使几何元素 在新投影面体系中处于对解题有利的位置，这种方法叫做变换投影 面方法，简称换面法。
二、点的换面投影规律
★
1.点的新投影与不变投影之间的连线垂直于新投影轴；
不变投影 新投影
原投影
2.点的新投影到新投影轴之间的距离等于原投影到原投影轴之间的
距离。
解题步骤：
1.将交线AB 变换为新投 影面的垂直线 2.两平面 随之变换 3.角 即为所求
例7 求直线AB 与平面DEF 之间的夹角θ
—— 应用换面法解题：
例8 平行四边形ABCD 给定一平面，试求点S 至该平面的距离 空间分析：
—— 应用换面法解题：
. 距离
解题步骤：
1.将平面ABCD 变换为新投 影面的垂直面 2.点S 随之变换 3.过S 作ABCD 的垂线,s1’k1’ 即为所求
.
Hale Waihona Puke 例5 求两交叉直线AB 和CD 的公垂线，并求两者之间的最短距离
—— 应用换面法解题：
解题步骤：
1.将两已知直线之一CD 变 换为投影面垂直线,直线 AB 随之变换 2.在投影面H2 中作公垂线 ST 的投影s2t2 3.将s2t2返回原体系
距离实长
例6 求△ABC 与△ABD 之间的夹角
—— 应用换面法解题：
.
.
例2 试过定点A 作直线与已知直线EF 正交
—— 应用换面法解题
解题步骤：
1.将直线EF 变换 为新投影面的 平行线 2.点A 随之变换 3.过a1’作e1’f1’的 垂线,得k1’
4.将k1’a1’返回原 体系
例3 过点K 作直线与平面△CDE 平行，并与直线AB 相交
换面法
解题步骤： 1.将两已知平行 直线构成的平面 经两次变换，变 变换，变成投影 面平行面 2.求作EF 的实长
实长
例: 平行四边形ABCD 给定一平面，试求点S 至该平面的距离 空间分析：
. 距离
解题步骤：
1.将平面ABCD 变换为新投 影面的垂直面 2.点S 随之变换 3.过S 作ABCD 的垂线,s1’k1’ 即为所求
解题步骤：
1.将直线EF 变换 为新投影面的 平行线 2.点A 随之变换 3.过a1’作e1’f1’的 垂线,得k1’ 4.将k1’a1’返回原 体系
例：试求某炼油厂的球罐A到输油管BC的最短净距离（5-9）
a2
b’
b’ c’
L
c2 (b2)
a’
X
b a
V O H
a’ c’ a1’ b a
b1 ’
保留投影面
保留投影
.
v1
新投影
作图步骤： 1)画X1 轴； 2)过a’ 作X1 轴的垂线； 3)在垂线上截取 新投影面
a1aX1 = aaX 。
2）点在V/H1体系中的投影 （用Ｈ1面代替Ｈ面，求点的新投影）
H1ห้องสมุดไป่ตู้
保留投影 新投影
旧投影
新投影面的设立原则：
１．新投影面必须设立在使空间元素处在有利于解题的位置 ． ２．新投影面必须垂直于原有投影面体系中的一个投影面．
∥
∥
∧
二、例题
例：求图中所示下料漏斗两相邻斗壁的夹角θ（例5-8）
(a’) f’ (d’)
(b’) (c’) e’
a b e f d
d1 a1 f1 c1 e1 b1 d’2 (c’2 ) θ a’2
换面法
一、换面法的基本概念如图所示：直线AB在V/H体系中是一般位置直线，在V和H投影面上均不反映实长，为使直线反映实长，取一个平行于直线且垂直于H的平面V1来代替V面，则新的V1 面和不变的H构成一个新的两面体系V1/H。
直线在新的体系中反映实长。
再以V1面和H面的交线X1为轴，使V1面旋转至和H面重合，就得出新体系的投影图。
这样的方法就称为换面法。
显然，新投影面是不能任意选择的，首先要使空间几何元素在新的投影面上的投影能够帮助我们更方便地解决问题。
而且新投影面必须要和不变的H面构成一个直角两面体系，这样才能应用过去所研究的正投影原理作出新的投影图来。
因而新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：1.新投影面必须和空间几何元素处于有利于解题的位置；2.新投影面必须垂直于一个不变的投影面。
二、点的投影变换规律（一）点的一次变换点是一切几何形体的基本元素，因此，必须首先在更换投影面时了解点的投影的变换规律。
如下图，表示点A在V/H体系中，正面投影为a'，水平投影为a。
现令H面不变，取一铅垂面V 1 (V 1 ⊥ H) 来代替正立面 V ，使形成新投影面体系 V 1 /H 。
需要注意，投影面更换时，投影线的方向也要随之变化，本来投影线是垂直于 V 面的，现在则使他们垂直于 V 1 面。
过点 A 向 V 1 作垂线，得到新投影面上的投影 a 1 ' ，这样，点 A 在新，旧体系中的投影 (a,a 1 ') 和 (a,a') 都为已知。
其中 a 1 ' 为新投影， a' 为旧投影，而 a 为新旧体系中共有的不变投影。
他们之间有下列关系：1.由于这两个体系具有公共的水平面 H ，因此点 A 到 H 面的距离（即 Z 坐标），在新旧体系中都是相同的，即 a'a x =Aa=a 1 'a x1 。
2.当 V 1 面绕 X 1 轴重合到 H 面上时，根据点的投影规律可知 aa 1 ' 必定垂直于 X 1 轴。
换面法
换面法一、 换面法概述当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。
当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述特性。
换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。
1．换面法的基本概念换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。
然后找出其在新投影面上的投影。
2．新投影面的选择原则（1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置；（2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面；（3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。
二、 点的换面点是一切几何元素的基本元素。
因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。
1．点的一次换面（1）换V 面图2-25（a ）表示点A 在原投影体系V/H 中，其投影为a 和a '现令H 面不动，用新投影面V 1来代替V 面，V 1面必须垂直于不动的H 面，这样便形成新的投影体系V 1/H ，O 1X 1是新投影轴。
过点A 向V 1面作垂线，得到V 1面上的新投影1a '，点1a '是新投影，点a '是旧投影，点a 是新、旧投影体系中的共有的不变投影。
a 和1a '是新的投影体系中的两个投影，将V 1面绕O 1X 1轴旋转到与H 面重合的位置时，就得到图2-25（b ）所示的投影图。
由于在（a）（b）（c）图2-25点的一次变换（换V面）新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影体系和V1/H体系中，具有公共的H面，所以点a到H面的距离（Z坐标）在两个题词体系中是相等的。
所以有如下关系：1a'a⊥O1X1轴；1a'1xa=a'xa=A a，即：换V面时Z坐标不变。
由此得出点的投影变换规律是：①点的新投影和不便投影的连线，必垂直于新投影轴；②点的新投影到新投影轴（O1X1）的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴（OX）的距离，也即换V面时高度坐标不变。
换面法知识点总结
换面法知识点总结一、换面法的起源与流传换面法最早起源于四川川剧，据传说是由川剧名家李白演艺家刘三半创造的。
刘三半擅长化妆，他将自己的变脸绝技传给了曲艺表演界李白，李白经过多年的练习和创新，终于形成了独具特色的换面艺术。
后来，换面法被广泛传播，成为了川剧艺术中的一种特色表演形式。
换面法也因其神秘奇特的艺术效果而在全国各地得到了广泛流传，如今已经成为中国戏曲艺术的瑰宝之一，备受人们的热爱。
二、换面法的表演形式1. 变脸的姿势和手法变脸是换面法的核心，它通常是指演员在舞台上迅速地更换多个面具，每个面具代表不同的情绪或性格。
变脸的姿势和手法非常考究，需要演员有高超的技艺和精湛的表演功底。
演员要能在不引人注目的情况下迅速换上新的面具，而且要保持神似的表情和情绪，这需要丰富的表演经验和敏捷的动作。
2. 面具的设计与制作换面法的面具设计与制作是非常重要的。
每个面具都是特别定制的，根据不同的角色或情绪进行设计。
面具的制作需要经验丰富的工匠和细致入微的工艺，以确保面具的质量和逼真度。
面具上的色彩、线条和表情都需要精心设计，以配合演员的表演，呈现出最佳的效果。
3. 舞台布景与灯光效果在进行换面法表演时，舞台布景和灯光效果也起着至关重要的作用。
舞台布景需要根据剧情和角色的需要进行设计，以营造出恰如其分的氛围和情感。
而灯光效果则要配合演员的动作和面具的变化，以突出表演的高潮和情感。
三、换面法的表演特点和技巧1. 独特的表演形式换面法是中国传统戏曲艺术中的独特表演形式，它突出了川剧的表演特点和舞台效果。
在换面法的表演中，演员可以通过迅速更换面具，展现出多重的角色和情感，给观众留下难以忘怀的印象。
这种独特的表演形式非常能够吸引观众的注意力，让人目不暇接，享受到表演艺术的魅力。
2. 高超的技艺和表演功底换面法要求演员有高超的技艺和表演功底，需要他们能够熟练掌握面具的变化和角色的表达，以达到最佳的表演效果。
演员需要在短时间内做出多次变脸的动作，要求他们有快速、准确的动作以及丰富的表演经验。
换面法
§5.2 换面法1．基本概念在V/H 投影体系中，三角形ABC是铅垂面，若欲得出三角形ABC的实际形状可以建立一个新的投影体系V1/H。
在建立新的体系V1/H时，使V1∥△ABC。
换面法：在上述实例中，原投影体系中的V为旧投影面，H为保留（不变）投影面。
V1为新建投影面。
新投影面的选择应符合如下条件：1) 新建投影面与保留投影面垂直,形成一个新的两面体系。
2) 新建投影面在处于有利解题的位置，使问题简化。
图5-12．点的换面旧的两面体系V/H，保留H面，新建V1垂直H，形成新的二面体系V1/H。
点A向V1做投影a1'。
在图5-2中，a1'到ox1轴的距离反映了空间点A到H面的距离，在投影变换中，A到H 的距离没有发生变化。
而在旧的体系V/H中，A点的V面投影a'到ox轴的距离=A到H面距离。
因此,投影图 5-3中，a1'a x1=a'a x图5-2 图5-3换H面（图5-4）-（图5-5）体现做图过程：无论变换点的正面投影还是水平投影，点在新，旧两投影体系中的投影之间，如下投影规律:1)新投影与不变投影之间的连线垂直于新投影轴2)新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离图5-4 图5-5点的换面规律（1）点的新图影和保留图影的连线垂直于新的图影轴；（2）点的新图影到保留图影的距离等于被替换的图影到旧图影轴的距离。
3．直线的换面3.1将一般位置直线变换为投影面平行线例5-1如图5-6，在V/H体系中有一般位置直线AB，求AB的实长和α角。
图5-6 图5-7分析：我们知道，当直线平行于某个投影面时，直线在该投影面的投影反映直线的实长并且投影与投影轴的夹角反映直线对相应投影面的倾角，所以，欲求AB的实长和α角，可以①建立一个新的投影面V1，使AB与之平行；②保留H面，去掉V面，即使新的投影轴OX1‖ab（使图中红色部分出现）做图步骤：1）做OX1‖ab2) 按点的换面规律，求出a1',b1'3) 连接a1'b'其即为AB的实长，且a1'b'与OX1夹角=α（在H/V1 二面体系中，AB 是V1面的平行线）若欲求AB的实长和AB对V面的倾角β则可以保留V面，去掉H面，建立一个新的投影面H1，使AB平行于H1，如图5-7,a1b1=AB实长，a1b1与OX1夹角=β3.2 将投影面平行线变换为新投影面的垂直线例5-2如图5-8,在V/H体系中有一正平线AB。
第三讲 换面法 课件(共20张PPT)《 土木工程制图》同步教学(哈工大版)
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
换面法的应用举例（二）
➢ 总结
① 求线段实长、平面实形 ② 求空间两平行线间距离 ③ 求交叉二直线距离 ④ 求点到直线距离 ⑤ 求点到平面距离
⑥ 求线面交点、面面交线 ⑦ 求两平行平面间距离 ⑧ 求平面对投影面倾角 ⑨ 求二面角
换面法— 空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替 原来的投影面，使空间几何元素对新投影面处于有利解题的位置。
换面法概述
➢ 换面规则
V
X H
V1 X1
V
H1
V1
X
H
X1
一次换面
两次换面
换面法的基本原则： 1、新投影面必须垂直于一个原投影体系中不变的投影面。 2、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的特殊位置。
第三讲 换面法
汇报人姓名
汇报日期
➢ 换面法的内容
换面法概述
1 掌握换面法的基本原理和换面法作图方法和投影 变换规律。
2 掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对 投影面的倾角基本作图方法。
3 掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和 度量问题。
换面法概述
➢ 换面法的基本概念 ′
′
′
′
′
′
V/H 体系变为V1/H 体系
XVH
点的换面
a a1
ax1 ax2
a1′
点的两次换面作图——换V面和H面（交替换面）
直线的换面
➢ 把一般位置直线变为投影面平行线
b1′
α a1′
A a
V b′
作图过程：
b′
B a′
b1′
机械制图 第2版 第3章 换面法
第三章 换面法
一、点的一次换面 1.更换V面
V a'
V1 A a1'
a'
X
a
X
a
X1
H
H
换面规律:
X1 V1
a1'
1) 新投影和不变投影的连线垂直于新轴;
2)新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离
2.更换H面
第三章 换面法
X1
V a'
A
a1 H1
X1 H1
a1
V
a'
X
a H
X
a
第三章 换面法
b'
c'
a' X
b
d'
O d
a
c
d'1
H V1 a'1
X1
b'1(c’1)
所求夹角
B
C b(c)
D
d A a
P
分析:
△ABC与△ABD的交线 AB→垂直线
第三章 换面法
本次作业共1页
第三章 换面法
本章学习目标：
熟悉换面法的基本原理，掌握用一次换面法求一般位置直线实长、 投影面垂直面实形&倾角的方法 。
主要内容：
支撑知识点
换面法的基本知识 点的一次换面 直线的一次换面 平面的一次换面
扩展知识点
1.换面法概念 2.换面原则 1.更换V面 2.更换H面 1.一般直线→新投影面平行线 2.投影面平行线→新投影面垂直线
投影面垂直面→新投影面平行面
第三章 换面法 换面法的基本知识
V b'
X
a'
A
a1' V1
换面法
1-5-1 概述 1-5-2 点的投影变换规律 1-5-3 四个基本作图问题 1-5-4 解题举例
1-5-1 概述
当空间的直线和平面平行于投影面时， 当空间的直线和平面平行于投影面时，它们的投影反映线段的 实长和平面的实形；当平面或两平面的交线垂直于投影面时， 实长和平面的实形；当平面或两平面的交线垂直于投影面时，它们 的相对位置关系、交点和交线在投影图上都能得到直接反映。 的相对位置关系、交点和交线在投影图上都能得到直接反映。
形的两面投影。 b’ a’ X A b a V b’ B a’ c’ C
1-5-3 四个基本作图问题
三、将一般位置平面变为投影面垂直面
[例] 将一般位置平面△ABC 变为新投影面 1 的垂直面。 例 将一般位置平面△ 变为新投影面H 的垂直面。
1-5-3 四个基本作图问题
四、将投影面垂直面变为投影面平行面
[例] 将铅垂面△ABC 变为新投影面 1 的平行面。 例 将铅垂面△ 变为新投影面V 的平行面。
d' e'
n
d
二、将投影面垂直面变换为投影面平行面
c’ c1 ’
V1
a’ b1’
b’ b c
c1 ’ a1 ’ a1 ’ X1
b1’
a c1 ’ a1’
例题1 例题
求一般位置平面△ＡＢＣ的实形。 求一般位置平面△ＡＢＣ的实形。 的实形
a2' 作 图 b2' d1' d' c2'
(１) 将△ＡＢＣ变换 １ ＡＢＣ变换 求出ａ 成铅垂面 , 求出ａ1、ｂ1 、ｃ1 、d1 ; (２) 将△ＡＢＣ变换 ２ ＡＢＣ变换 成正平面 ;
点是最基本的几何元素，要学会运用换面法解决问题， 点是最基本的几何元素，要学会运用换面法解决问题，必须掌握点的投影变换 规律。 规律。
【机械制图】第2章 换面法
三、换面法的六个基本问题
6. 把一般位置平面变换为投影面平行面 作两次变换：
（1）将一般位置平面变换为投影面垂直面； （2）将投影面垂直面变换为投影面平行面。
三、换面法的六个基本问题
6.把一般位置平面变
换为投影面平行面 R2 d'
c'
X
V H
d
c
①求α角和平面的实形
换面顺序：
1.替换V面，V/H→V1/H 2.替换H面，V1/H→V1/H2
V
X1
a'
X aX
A
aX1
a1
H1
a
H
V
X1
a'
aX1
H1
X V aX
a1
H
a
作图方法
H 1. 作新轴X1 2. 作a’a1⊥X1 3. 量取a1ax1 = aax
二、点的投影换面
2. 点的两次换面
在点的一次换面的基础上再进行一次换面。
作H2 面⊥V1 面，构成新的两面投影体系V1 / H2
注意：投影面要交替变换，
b'
X
V H
a'
变换顺序：
1.替换V面
V/H→V1/H
2.替换H面
a
O V1/H→V1/H2
b1'
b
X
a
B
H
b
X1
b1'
a1'
作V1面∥AB，且⊥H面 作H2面⊥AB，且⊥V1面
X2 V1 H2
b2(a2)
三、换面法的六个基本问题
3. 把一般位置直线变换为投影面垂直线
作两次变换：（1）将一般位置直线变换为投影面平行线； （2）将投影面平行线变换为投影面垂直线。
工程制图(换面法)
2
旋转法
3
二、投影变换的方法
一、基本概念
第二节 变换投影面
X
V
H
A
B
b
a
b
C
a
c
一、 概念：
换面法：空间几何元素不动，改变投影面的位置使其有利于解题。
实形
V
c1
b1
a1
V
H
X
O
a
b
c
b
a
(c)
b
c
a
V1
O1
X1
二、基本条件
X
V
H
A
B
b
a
b
C
a
c
实形
V
c1
b1
a1
建立新投影面的条件： （1）新投影面要⊥原来一个投影面。 （2）新投影面要处于最有利解题位置。
讲解：点 线 面
三、基本原理
a1
H
V1
X1
O1
ax1
V1
1. 点的一次变换：
变换规律： 1). 点的新投影到新轴之距=旧投影到原轴之距； 2). 点的新投影与被保留投影的连线⊥新轴O1X1。
a
a
A
ax
ax1
O1
X1
V
O
X
H
a
X
O
V
H
a
ax
a1
V
H
H
V1
点在V/H1体系中的投影
P1
A
C
D
N
M
c1
d1
a1m1b1
n1
B
作图：
请注意各点的投影如何返回？
求m点是难点。
换面法
换面法一、 换面法概述当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。
当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述特性。
换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。
1．换面法的基本概念换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。
然后找出其在新投影面上的投影。
2．新投影面的选择原则（1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置；（2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面；（3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。
二、 点的换面点是一切几何元素的基本元素。
因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。
1．点的一次换面（1）换V 面图2-25（a ）表示点A 在原投影体系V/H 中，其投影为a 和a '现令H 面不动，用新投影面V 1来代替V 面，V 1面必须垂直于不动的H 面，这样便形成新的投影体系V 1/H ，O 1X 1是新投影轴。
过点A 向V 1面作垂线，得到V 1面上的新投影1a '，点1a '是新投影，点a '是旧投影，点a 是新、旧投影体系中的共有的不变投影。
a 和1a '是新的投影体系中的两个投影，将V 1面绕O 1X 1轴旋转到与H 面重合的位置时，就得到图2-25（b ）所示的投影图。
由于在（a）（b）（c）图2-25点的一次变换（换V面）新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影体系和V1/H体系中，具有公共的H面，所以点a到H面的距离（Z坐标）在两个题词体系中是相等的。
所以有如下关系：1a'a⊥O1X1轴；1a'1xa=a'xa=A a，即：换V面时Z坐标不变。
由此得出点的投影变换规律是：①点的新投影和不便投影的连线，必垂直于新投影轴；②点的新投影到新投影轴（O1X1）的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴（OX）的距离，也即换V面时高度坐标不变。
第五章换面法
10
把一般位置直线变为投影面平行线 （一） 把一般位置直线变为投影面平行线
b′ B a′ V a′ b′ b1′
b1′
α
a1′ A b a H
α
X a1′
α
X
V H b
a
11
投影面平行线变为 变为投影面垂直线 （二）1. 把投影面平行线变为投影面垂直线
V b′ a′ X A a b H a b
12
a2b2
b′
b1′
α
a1′ V X H
a′
b
a
14
思考题1 如何求点 到直线AB的距离？ 如何求点C到直线 的距离 到直线 的距离？
b′ b′ a′ c′ V H c b b c a c1 ′ a c2 a2 b2
实长
a′
c′
X
X
思考题2
如何求两直线间的距离？ 如何求两直线间的距离？
15
例题1 求两直线AB与CD的公垂线 。
b′ k′ a′ e′ d′ c′
n
b a k d c n
19
投影面垂直面变为 变为投影面平行面 （四）1. 把投影面垂直面变为投影面平行面
V c′ c1 ′ V1 a1′
C
a′ b′ X
b1′
A
B
X1
H
20
c′ c1 ′ b1′ X a1′ bc V a′ a b′ X bc a H
21
a′ b′ c′
§ 5-4 换面法
作用 投影变换方法： 换面法 投影变换方法： 旋转法
b′ a′ a′ b′ a′ b′ c′ c a b a b a b
1
实形 a′
b′
AB
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先把V面换成平面P1， P1H，得到中间投影体系 再把H面换成平面P2， P2P1，得到新投影体系
《机械制图》 第4讲 换面法
2 点的二次换面作图
a’
X
V H a2
a
H X 1 P1
a1
P2 P1 X 2
作图规则：
a2a1 X2 轴，a2ax2 = aax1
《机械制图》 第4讲 换面法
3 求新投影的作图方法
由点的不变投影向新投 影轴作垂线，并在垂线上量 取一段距离，使这段距离等 于被代替的投影到原投影轴 的距离。
《机械制图》 第4讲 换面法
X
V H
H
P1 X1
6
4.1.4 点的二次换面 1 新投影体系的建立
V P2
a2
X2
ax2
P1
A
a’ ax
a1
X
a
ax1
H
X1 P1 — H P1 — P2
思维训练 如何确定换面目标：空间分析！
如何 求？
•点到点的距离 •点到线的距离
•点到面的距离 •线到线的距离 •线与线的夹角 •线与面的夹角 •面与面的夹角
《机械制图》 第4讲 换面法
17
建立解题的空间模型
要点小结
• 四个基本问题－-熟练掌握
• 确定换面目标－-解题关键
方法：空间分析投影作图
《机械制图》 第4讲 换面法
V
a’
A
a1
P1
X
ax ax1
V
H
X
a
P1 H X1
H
X1
旧投影体系
V — H
A点的两个投影：a，a’
《机械制图》 第4讲 换面法
P1 — 新投影体系 H A点的两个投影：a，a1
5
2 新旧投影之间的关系
aa1 X1
a’ax = a1ax1
一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线垂直于新投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投 影轴的距离。
O2
l2k2 为距离实长。
H X1 P1
c1
a1
b .2 d1 c2,d k2 2l2 a2
继续，返回到原投影！
《机械制图》 第4讲 换面法
1 分析： l1 • 点A 的旋转轨迹 为垂直于o’o’ 的圆 o1≡o1 a1 • 该圆的正面投影 k1 积聚为与o’o’垂直 f1 的直线 • 该圆的水平投影 为椭圆，无法直 接画出
g
思考题2：试检查空间点 A绕O-O轴(正平线)旋转 时会不会与平面 BCDE 相碰撞（作图说明）。
g’
• 若点A与平面相碰， 则轨迹圆与已知 平面有交线， 且交线的正面投影必在该 面上，而且在与o’o’ 垂直 的直线上。
V X H
f’ f
O
步骤： • 作交线FG • 换面
g
《机械制图》 第4讲 换面法
c1
a1d1
d1
《机械制图》 第4讲 换面法
13
4.2.4 把一般位置平面变成投影面平行面
空间分析：变换一次投影面，把一般位置平面变成辅助投影
面P1的垂直面；选取辅助投影面P2进行二次换面，使一般位 置平面平行于辅助投影面P2。 例：在平面ABC中，过C点作直线CD与AB成60º角。
c’ a2
a’
8
4.2
4.2.1
换面法的四个基本问题
把一般位置直线变成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角
空间分析：用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。 思 考：换H面行否？
b’ a’ V H b a H X1 P1
a’
P1
A B a
a1 b1
V
X
b’
a1
b1
H
b
X1
9
《机械制图》 第4讲 换面法
4.2.2 把一般位置直线变成投影面垂直线
空间分析：一次换面把直线变成投影面平行线，二次换面
把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2 V
a’ b’ a2b2
P2
B A
b1
P1
a1
X
a
H
X1
10
《机械制图》 第4讲 换面法
例：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。
空间分析：求C点到直线AB的距离，就是要求垂线CD的实长。
清华大学国家级精品课程
第 4讲
换面法
内容
4.1
换面法的基本概念
4.2
换面法的四个基本问题
《机械制图》 第4讲 换面法
2
4.1
换面法的基本概念
4.1.1问题的提出
如何求一般位置直线的实长？ 如何求平面的真实大小？
解决方法： 平行于新的投影面 垂直于新的投影面
更换投影面
换面法： 更换投影面，使几何元素相对新的投影面处于特殊位置， 使解题简化。
平面变成投影面垂直面，因此在平面内作一条投影面平行线， 经一次换面后，变成投影面垂直线，平面变成投影面垂直面。
c’ V C b’ A X B D c d b H
《机械制图》 第4讲 换面法
P1 c1
a’
a1d1 b1
a
X1
12
例：把三角形ABC变成投影面垂直面
b’ a’ c’
V X H a
b c H X1 P1
当直线AB垂直投影面时，CD平行投影面，反映实长。
c’ A D X a’ c a H d a1
b’ d’ b
V H
C
B
d1
b1
a2b2d2
abd
P c
X1 P 1
c1
P1
P2 X2
c2
《机械制图》 第4讲 换面法
11
4.2.3 把一般位置平面变成投影面垂直面
空间分析：如果把平面内的一条直线变成投影面垂直线，则
18
作业
P13 —— 1, 2, 3, 4, 5, 6 *
P14 —— 7，8，9
P16 —— 1，2，3
《机械制图》 第4讲 换面法
19
《机械制图》 第4讲 换面法
20
X V H
d’b’ d2 c2 Nhomakorabeaa d c H P1 X1
《机械制图》 第4讲 换面法
b
a1b1
b2
c1 P 1
P2
X1
14
思考题1：求两异面直线的距离。 分析： 只需将其中的一条 直线变换为投影面 垂直线即可。 V
a'
d' c'
b' O b d O1 c k1 l1 b1
X
H a
l1 的位置？ KL为何种位置线？ KL为P2的平行线！ k1 l1 // O2X2 轴。
《机械制图》 第4讲 换面法
3
4.1.2 选择新投影面的原则
a’
P1
A B a b
a1
V
b’
b1
平行于新的投影面 垂直于新的投影面
H
1. 新投影面必须对空间的几何元素处于最有利的解题位置 2. 新投影面必须垂直于一个原投影面(应用正投影理论)
《机械制图》 第4讲 换面法
4
4.1.3 点的一次换面 1 新投影体系的建立