投影变换法

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土木工程制图第五章,投影变换-换面法

H
3、一般位置直线变成投影面垂直线
• 先将一般位置直线变成投影面平行线； • 再将投影面平行线变成 X 投影面垂直线。 1 X 2 X • 注意：什么是二次变换？
b a'
2 2
土木工程制图
a' b'
a
b a'
1
b'
1
土木工程制图 4、一般位置平面变成投影面垂直面 • 在一般面上作一投影面平行线，例作一水平线；
第5章投影变换—换面法
土木工程制图
教学提示：画法几何中有关点、直线和平面的问题，一般可以归纳为定位和度量问题。当几何元素处于一般位置时，为了求解方便，常采用换面法改变其中的某些元素与投影面的相对位置，成为有利于解题的特殊位置。学习要求：通过本章学习，学生应掌握换面法的一般概念及特点，能够使用换面法解决有关点、直线和平面等几何元素之间的定位和度量问题。
分析：在投影图中直接反映两平面夹角的特殊情况，只要将这两个相邻平面用换面法变成同时垂直于同一投影面，也就是将这两个平面的交线变换成投影面垂直线，即可求得夹角θ。
土木工程制图
a' f'c' e'd' 1.在适当的位置作O1X1∥cd1，将CD变换为H、 V1新投影面体系中的V1面平行线。
X
V H
土木工程制图
3）求平面的实形：将平面变成投影面平行面。 4）求平面的倾角、点到平面的距离、两平行面距离、直线与平面交点和两平面交线等：将一般面变成投影面垂直面。
二、换面法基本方法
土木工程制图
1、基本原则： 1）新投影面必须设立在使空间元素处在有利于解题的位置； 2）新投影面必须垂直于原有投影体系中的一个投影面。 2、基本概念：

第3章变换投影面法

第3章　变换投影面法我们知道，当空间的直线和平面对投影面处于一般位置时，它们的投影都不能直接反映真实大小、度量和定位关系，也不具有积聚性；但当它们和投影面处于特殊位置时，则它们的投影有的可直接真实地反映度量关系和定位关系或具有积聚性，如图３－１所示。

由此可知，若能把几何元素由一般位置改变成特殊位置，有些问题就容易解决，而变换投影面法就是解决这一问题常用的一种图解方法。

图３－１　特殊位置几何元素的投影图直接反映真实大小和度量示例图３－２　V H 体系变换为V １H体系§３－１　变换投影面法的基本概念在两投影面体系中，空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替某一旧的投影面，保留原有的另一投影面，新投影面垂直于保留的投影面，使空间几何元素对新投影面的相对位置变成有利于解题的特殊位置，然后作出几何元素在新投影面上的投影。

在新投影面与保留的原有投影面组成的新的两投影面体系中解题，必要时还可将解题结果返回到原有的两投影面体系中去。

这种方法称为变换投影面法，简称换面法。

如图３－２所示，△ABC 平面为一铅垂面，该面在V 、H 两投影面体系即V H体系中的两个投影都不反映真形。

取一个平行于△ABC 且垂直于H 面的V １面来代替V 面，则新的V １面和保留的H 面相交成新的投影轴X １，构成一个新的两投影面体系即V １H 。

△ABC 平面在V １H 体系中V １面上的投影△a ′１b ′１c ′１就反映了△ABC 平面的真形。

再将V １面绕新投影轴X １旋转展开到与H 面成一个平面，从而得出V １H体系的投影图。

显然新投影面V １是不能任意选择的，首先要使空间几何元素在新的投影面上的投影能够有利于解题，并且新投影面V １和保留的H 面仍要构成一个由两个互相垂直的投影面组成的两投影面体系，这样才能应用前面所讲述的正投影原理作图。

因此，用换面法时，新投影面的选择必须符合下面两个基本条件：（１）新投影面必须垂直于保留的投影面，以构成新的两投影面体系。

空间几何中的投影变换

在空间几何中，投影变换是一种常见的变换，它具有广泛的应用。

投影变换可以用来描述物体在特定的空间中的位置和形状。

通过投影变换，我们可以将三维物体映射到二维平面上，从而方便地进行分析和计算。

投影变换的基本概念是将三维空间中的一个点映射到二维平面上的一个点。

在这个过程中，因为从三维到二维的映射是一种减维的过程，所以必然会有信息的丢失。

这种丢失可以从几何和图形的角度进行理解。

在几何上，投影变换可以分为正交投影和透视投影。

正交投影是指从一个点到另一个平面的投影，这个投影是垂直于平面的。

透视投影则不同，它是通过将一个点投影到另一个平面来实现的，但是这个投影并不垂直于平面。

在图形学中，投影变换是非常重要的。

它可以用来创建逼真的三维图像，同时也是计算机图形学的基础。

通过投影变换，我们可以实现三维场景的渲染和显示，从而创造出令人惊叹的视觉效果。

在实际应用中，投影变换有许多实际的应用。

例如，在建筑设计中，设计师可以使用投影变换来可视化建筑物的外观和结构。

在工程和制造领域，投影变换可以用来帮助工程师和设计师更好地理解产品的几何形状和物理属性。

此外，在计算机科学领域，投影变换也是一项重要的技术。

在图像处理和计算机视觉中，我们经常需要将三维图像或场景转换为二维图像进行分析和处理。

投影变换提供了一种有效的方法来实现这个转换，从而使得计算机能够理解和处理图像。

投影变换也被广泛应用于虚拟现实和增强现实技术中。

通过投影变换，我们可以将虚拟对象或信息叠加在真实世界的图像上，从而创造出逼真的虚拟体验。

这种技术已经应用于游戏、娱乐和教育等多个领域。

总之，空间几何中的投影变换是一种重要的几何转换方法。

通过投影变换，我们可以将三维空间中的物体和场景映射到二维平面上，从而方便地进行分析和计算。

它在建筑设计、工程和制造、计算机图形学以及虚拟现实等领域有着广泛的应用。

投影变换的理论和实践为我们理解和处理三维世界提供了重要的工具和技术。

计算机图形学13投影变换

将x轴反向与U轴保持一致；
将坐标原点平移到点(a,b)。
01
平行投影
02
俯投影视图将立体向xoy面作正投影，此时Z坐标取0;
03
投影变换平行投影
使水平投影面绕X轴旋转-90，使与正投影面处于同一平面；最后让图形沿Z轴平移dx=tx , dy=ty; 将x轴、y轴反向以与U、V两坐标轴方向一致；将坐标原点平移至点O
不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点(Vanishing Point)。坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。
湖北大学数计学院
1
讨论(续)：
2
类似，若主灭点在 Y 轴或 X 轴上，变换矩阵可分别写为：
二点透视投影的变换矩阵
湖北大学数计学院
在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换。假定p!=0, r!=0, q=0; 将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影斜平行投影求法
知投影方向矢量为（xp,yp,zp）
设形体被投影到XOY平面上
形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys)
∵投影方向矢量为(xp,yp,zp)
∴投影线的参数方程为：
01
03
02
04
05
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影斜平行投影求法因为所以若令
则矩阵式为：

投影变换法求实形原理

投影变换法求实形原理
投影变换法求实形原理主要是通过将三维物体转换为二维平面图形来实现。

具体来说，它是通过投影变换矩阵将场景世界中的3D物体转换为2D平面图形的过程。

转换后的二维平面图形相对于原来的三维物体降了一维。

在计算机图形学中，投影变换主要有两种形式：透射变换和仿射变换。

透射变换是将图像投影到一个新的视平面，可以看作是将三维物体通过某种方式投影到二维平面上。

而仿射变换则是一种特殊的透射变换，变换后图像的形状仍然维持原状。

在投影变换过程中，需要计算投影变换矩阵和投影变换参数，然后将这些参数映射到物体上，最终得到降维后的二维平面图形。

这个过程可以通过计算机图形学中的各种算法和工具来实现。

另外，在计算机图形学中，还可以使用一些特殊的装置来实现投影变换。

例如，可以使用类似于德国画家丢勒绘画时使用的装置，通过固定线和物体表面的点，记录线穿过木框的位置，并在画纸关闭时标记到画纸上，不断变动线末端物体上的点，最终可以得到准确的物体画像。

这个过程其实也是一种投影变换，通过这种方式可以绘制出真实立体感的图形。

总的来说，投影变换法求实形原理是一种将三维物体转换为二维平面图形的方法，它涉及到一系列的数学和几何学原理。

在计算机图形学中，这种方法被广泛应用于各种场景的建模、渲染和可视化中。

投影变换(换面法)

⒈ 一次换面 ⑵ 新旧投影之间的关系(即变换规律)

a ax
.
V
a

A
a' 1 v1
V X H

a1'
ax
X

ax1 a
H X1
ax1
H v1 X1
a

点的新投影与保留投影的连线，必垂直于新轴。 aa1 X1
点的新投影到新轴的距离，等于旧投影到旧轴的距离。 a1ax1 = aax
二、变换原理：点的投影变换规律
⒈ 一次换面 ⑶ 求新投影的作图方法更换V面更换H面
X1 H 1 V
. ● a1
a
V
a1
ax1
a
XV H
X
ax
ax1
.
H
ax

H
a
作图规律：
v1 X1
a
由点的保留投影向新轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于替换(旧)投影到旧轴的距离。
新投影反映实形
3、辅助投影面、辅助投影、辅助投影轴（辅助轴）新投影面
新投影
新投影轴(新轴)
§5-2 辅助投影面法(换面法)
一、新投影面的选择原则
v1
a
V
A B a
H
a1 '
b
b1'
平行于新的投影面垂直于新的投影面
b
1. 新投影面必须与空间几何元素处于有利的解题位置。
2. 新投影面必须垂直于原投影面之一。以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
§5-2 辅助投影面法(换面法)
指的是换“投影面”
物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题

土木工程制图第5章投影变换换面法

5.2
图5-9 一般位置直线变换成垂直线
5.2
4.将一般位置平面变换成垂直面
如图5-10所示，△ABC为一个一般位置平面，如果要将其变换为正垂面，
(1)在△ABC上作水平线AD，其投影为a′d′和ad (2)作X1轴⊥ad (3)作△ABC在V1面的投影a1′b1′c1′，a1′b1′c1′ 积聚为一条直线，它与X1轴的夹角即反映△ABC对H面的倾角α
5.2
图5-6 一般位置直线变换成平行线(求α角)
5.2
2.
如图5-8所示，AB为一条正平线，要变换成垂直线。根据垂直线的投影特性，反映实长的投影必定为不变投影，只要变换水平投影，即作新投影面 H1垂直于直线AB，作图时作X1⊥a′b′，则直线AB 在H1面上的投影积聚为一 a1(b1)
(2)过a点作新投影轴X1的垂线，得交点aX1 (3)在垂线aaX1上截取a1′aX1= a′aX，即得A点在V1面上的新投影a1′。
5.2
图5-3 点的一次变换(变换V面)
5.2
(1)不论在新的或原来的(被代替的)投影面体系中，点的两面投影的连线垂直于相应的投影轴。
(2)点的新投影到新投影轴的距离等于原来的投影到原来投影轴的距离。
5.2
图5-16 求侧平线与倾斜面的交点
5.2
【例5-3】
求两条交叉直线AB、CD间的距离，如图5-17(a)
【解】分析：两条交叉直线间的距离即为它们之间公垂线的
长度。如图5-17(a)所示，若将两条交叉直线中的一条(
AB )
MK
并在该投影面上的投影反映实长，而且与另一条直线在新投
影面上的投影互相垂直。
5.2
图5-18 求两平面间的夹角

大学画法几何5投影变换

（一）把一般位置直线变为投影面平行线
b1
a1
b1
a1
求对哪个投影面的倾角就平行那个投影作图
练习：4－2 用换面法求线段CD的实长和对V面的倾角β
CD实长
d1
求对哪个投影面的倾角就平行那个投影作图
c1
d'
c'
X
V H
d
c
（二）把投影面平行线变为投影面垂直线
a1 b1
b
a1 b1
b
（三）把一般位置直线变为投影面垂直线
d
b
a
a’1 ●
d● ’1
X
V H
c ac●’1●b’1 Nhomakorabeaθ
.
dc
.
b
a2≡ b2 ● θ ●d2
c2●
（三）综合问题
主要是实形（含角度）和距离问题的逆向应用：
✓[例8] 求平面ABC与直线DE的交点将其中一个面转换成投 [例9] 求平面ABC与平面DEF的交线影面的垂直面换面1次
[例10] E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e [例16]
投影变换
a2 b2
b1
V1
a1
X1
第4章投影变换
§4-1 概述
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与投影面的倾角。
当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影面就不具备上述特性。
投影变换就是讲直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的度量和定位问题。
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2

投影变换

改变空间几何元素和投影面的相对位置，除了用换面法外，还可应用旋转法。旋转法就是让投影面不动，而使空间几何元素绕着某一固定轴线旋转，旋转到与投影面处于有利解题的特殊位置。
a' o' a' V AO
旋转轴旋转中心旋转半径轨迹圆
o'
b1' X
o1'
b' O
b1'
o1' b' O1 a b1 b
B1 X
3. 将一般位置平面变为投影面的垂直面
分析：若△ABC中包含某投影面的垂直线，则此平面一定与该投影面垂直，因此只要将平面内的一条直线变换为投影面的垂直线即可。由前所知，投影面平行线变换为垂直线只需一次换面，因此，在△ABC内可作一平行线，将其变换为垂直线，则平面就可变垂直面。
a) 直观图
o' ( ) b1' a' o'
b'
X
a o b
O
分析： AB为一条水平线，利用旋转法将其变换为正垂线。由于正垂线的水平投影⊥X轴，必须改变 AB对V面的倾角，所以旋转轴应为铅垂线，因此可过点A作一旋转轴O，以o为圆心，ab为半径画弧，使ab1⊥X轴，则AB1为旋转后的正垂线。同理，也可将一条正平线变换为铅垂线。
B 旋转点
b1
a
b
图4-14 直线AB绕OO轴旋转
4.2.2 点的旋转变换
V m 1' m'
m1'
M O O
m' o'(o')
o'(o')
X M1
X
o m
m1
图4-15 点绕正垂线旋转

03-画法几何及工程制图-第3章-投影变换

a1
a
c1
k1 b1
k'
c
b
XV
H
a
b'2 k'2 a'2
c'2
距离
kb c
Why？
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例]求D点到平面ABC直线的距离。
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例3]求交叉两直线AB、CD间的距离。
d
X
V H
d
b m
k c
a
kc b
m
a
d1 a1
c2 k2
➢新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到原投影轴的距离。坐标值不变
•点的一次变换（变换V面）－Z坐标值不变
a
a
V
A
aX
X
a
a1 V1
aX1
X
V H
aX
X1
a
a1
aX1
§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换
•点的一次变换（变换H面）－Y坐标值不变
V b
bX1
B
b1
b
bX1 b1
bX
a
b
a1
X
V H
a
b1
b
a2 b2
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
b
d
a
X
V H
b d
a
c
Why X1轴这么选？
c
H面倾角
α1
b1
a1 c1 d 1
变换V面（求α1）
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面

第三章投影变换换面法

c'
b'
XV
Hc a
a' e
a1'
b
e1´
b1'
c1'
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
功用：可求解平面与投影面的倾角，点与平面的距离，两平行面间的距离等。
问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析：
空间及投影分析：
作图:
求C点到直线AB的距离， c
b
就是求垂线CD的实长。
如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平
XV H
行于投影面，其投影反映 c
a d
b
距离
实长。
AD
C
B
abd
P
c
ad
.
H X1 P1
a1 d. 1
b 1. a2b2d2
c 1
P1 P2
c 2
X2
过c1作线平行于x2轴。
m1n1⊥c1d1。
A
M CN
d1 ●
D B a1m1b1
a1≡b●1≡m1
.
●n1 c● 1
c1
P1
n1
d1
圆半径=MN
例6：求平面ABC和ABD的夹角。
空间及投影分析：
垂所时直求所在于。由得投该几两影投何交图影定线中面理之,，知间两它：的平们两夹面的面角的投角。交影为线积两垂聚平直成面于直同投线时影，与面直第时线三，间平则的面两夹垂平角直面为相交
四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。

4、投影变换(换面法)

b' a'
X
• i' a c i • b
H X1 V1
c'
•c ' 1
V O H O2 O1
•
c2
• a1' (i1')
•i 2
• a2
实形
• b1'
V1 H2
• b2
是以其中一直线为依据来选择，即将其中一条直线（一般线）更换成平行线，投射线，其它元素跟着过来。另一种是以其中一个平面为依据来选择新轴。即将一般面改换成投射面、平行面。其它元素跟变换过来。
不动，设立新的投影面代替原有的投影面中的一个，使新
投影面与几何元素处于有利于解题的位置。
一、换面法的投影规律：
如图4-2中，先只看A点的投影。如图4-3 （a)所示。
a' V
A
a'1 x1
o
x ax a
V1
ax1 H a'1 V1
o1
图4-3 （a)
新的投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面。如 V1H ，这样 V1 与H才能构成一个新的两投影面体系。 a' a x Aa a1' a x1 展开时V不动， V1 摊平到与H在由图可知同一面上，然后H面连同 V1 一齐绕OX轴旋转到与V在同一平面上。画投影图时，为表示清楚，在OX以上标V，OX下标H，在的一方标H，另一方标
工程上要解决的问题：（一）定位问题：包括线面交点、两面交线、截交线、相贯线
(二）度量问题：包括求直线实长、平面实形、点线距、点面距离、平行线间距、两交叉线距离、平行面距离、直线及平面对投影面倾角、两面夹角、线面夹角等。一、投影变换的目的：将原来处于一般位置的空间几何元素，变换为有利于解题的位置。

变换投影面法

X
V H
ax
⑶在aax1的延长线沿V1的一侧，
截取一段距离a1'ax1，使其等于
a
被更换的投影a’至旧投影轴OX
的距离a'ax，即a1'ax1＝a'ax，求出a1＇。
H X1 V1
o o1
ax1
a1＇
6
二、点的二次变换 1）V面和H面交替变换； 2）每后一次变换把前次变换的结果作为旧体系。
7
第三节直线的投影变换一、把一般位置直线变换为投影面平行线二、将投影面平行线变为投影面垂直线三、把一般位置直线变换成投影面垂直线
V X
X2
a2 (b2)
b H2
ax2
V1
a bX
b1
B A
a1
aX
bX1
b
aX1
a
H
X1
b
a
XV H
aX
bX b
a
H
aX1
X1
V1
●
a1
bX1
●.
b1
作图 X1轴与ab垂直 X2轴与a1 b1 垂直
a2 (b2)
11
第四节平面的投影变换一、把一般位置平面变换为投影面垂直面二、把投影面垂直面变为投影面平行面三. 把一般位置平面变换成投影面平行面
8
一、把一般位置直线变换为投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，必须
满足二个条件：
1）V1⊥H
b
2）AB// V1。
a
a
V
b
A
V1a1
b1
B

投影变换的使用方法

投影变换的使用方法
投影变换是一种图形变换方法，用于将一个三维空间中的物体投影到二维平面上。

在将三维物体表示为二维图形时，可以使用不同的投影方法，例如平行投影和透视投影。

以下是使用投影变换的一般步骤：
1. 确定投影类型：平行投影或透视投影。

平行投影是指从无穷远处的光源发射平行光线，透视投影是指根据观察者的位置和视线方向来进行投影。

2. 确定观察者的位置和视线方向：观察者的位置和视线方向将决定投影的结果。

3. 确定投影平面：投影平面是二维平面，物体将被投影到该平面上。

4. 确定投影方式和参数：根据投影类型和投影平面，确定投影方式和参数。

例如，对于平行投影，可以选择正交投影或斜投影，对于透视投影，可以设置透视中心和透视系数等参数。

5. 计算投影矩阵：根据投影方式和参数，计算投影矩阵。

投影矩阵是一个变换矩阵，用于将物体的三维坐标变换到二维平面上。

6. 对物体进行投影变换：将物体的三维坐标通过投影矩阵进行变换，得到二维平面上的投影结果。

7. 可选：对投影结果进行后处理，如裁剪、平移、缩放等。

需要注意的是，投影变换只是将三维物体投影到二维平面上，不会改变物体在三维空间中的形状和大小。

不同的投影方式和
参数会产生不同的投影效果，可以根据具体需求选择适合的投影方法。

投影变换的三种方法

投影变换的三种方法投影变换是图形学中常用的一种技术，它可以将一个物体或图像投影到一个新的坐标系中，从而改变其形状、位置和大小。

在计算机图形学、计算机视觉以及计算机辅助设计等领域都有广泛的应用。

本文将介绍投影变换的三种常用方法：平行投影、透视投影和仿射投影。

一、平行投影平行投影是一种简单而常用的投影变换方法，它将物体或图像的每个点沿着平行于观察方向的直线投影到投影平面上。

由于平行投影不考虑观察点与投影平面的距离，因此投影结果不会产生透视效果，物体的形状和大小在投影过程中保持不变。

平行投影可以简化计算过程，适用于一些不需要透视效果的场景，如平面图的绘制和建筑物的俯视图等。

二、透视投影透视投影是一种模拟真实世界中的投影效果的方法，它考虑了观察点与投影平面的距离，使得物体在投影过程中产生透视效果。

透视投影根据物体与观察点的距离和角度的不同，可以产生近大远小的效果，使得投影图像更加真实。

透视投影广泛应用于计算机游戏、虚拟现实和电影等领域，使得场景更加逼真，增强了用户的沉浸感。

三、仿射投影仿射投影是一种综合了平行投影和透视投影的投影变换方法，它可以保持物体的平行性和直线性，同时又能产生透视效果。

仿射投影通过对物体的位置、大小、形状和角度进行变换，将物体投影到一个新的坐标系中。

仿射投影在计算机图形学中具有广泛的应用，如图像矫正、图像处理和计算机辅助设计等领域。

总结：本文介绍了投影变换的三种常用方法：平行投影、透视投影和仿射投影。

平行投影适用于不需要透视效果的场景，透视投影模拟了真实世界中的投影效果，而仿射投影综合了平行投影和透视投影的优点。

这三种方法在计算机图形学、计算机视觉以及计算机辅助设计等领域都有广泛的应用。

通过合理选择和使用这些方法，可以实现对物体或图像的形状、位置和大小的变换，从而满足不同应用需求。

测绘技术中的投影变换方法介绍

测绘技术中的投影变换方法介绍引言：测绘技术在现代社会中扮演着非常重要的角色。

无论是城市规划、国土管理还是地质勘测，测绘技术都是必不可少的工具。

而在测绘过程中，投影变换方法是其中不可或缺的一环。

本文将介绍投影变换方法的原理与应用，为读者提供一定的了解。

一、投影变换方法的基本原理在测绘过程中，为了将三维世界转换到二维平面上，我们需要采用投影变换方法。

投影变换方法可以将地球上的曲面投影到一个平面上，从而实现在地图上的展示。

在投影变换中，常见的方法包括等角投影、等距投影和等积投影。

等角投影是指保持地球上各点之间的角度关系不变。

这种投影方法常用于制作地球的表面图，可以准确地展示各个地区之间的位置关系。

常见的等角投影方法有兰勃托投影和麦卡托投影。

等距投影是指保持地球上各点之间的距离关系不变。

这种投影方法常用于绘制航海图和航空图，能够准确地显示各个地区之间的距离。

常见的等距投影方法有斯蒂芬森投影和极射赤面投影。

等积投影是指保持地球上各个区域的面积比例不变。

这种投影方法常用于制作分布图和统计图，可以准确地表示各个地区的面积关系。

常见的等积投影方法有兰勃托等积投影和矩形方位投影。

二、投影变换方法的应用在现实生活中，投影变换方法有广泛的应用。

以下是其中的几个典型应用案例。

1. 城市规划城市规划过程中，测绘技术发挥着重要作用。

通过投影变换方法，可以将三维城市景观转换成二维平面图，帮助城市规划者更好地分析和设计城市布局。

例如，通过等角投影方法，可以将地形、道路和建筑物等要素展示在地图上，为城市规划者提供参考。

2. 土地管理土地管理是一个复杂而庞大的系统工程，需要准确地记录和管理土地信息。

通过投影变换方法，可以将不同地区的土地信息统一转换到相同的投影坐标系下，实现信息的一致性和可比性。

投影变换方法在土地勘测、执法查界、土地评估等方面都有广泛应用。

3. 灾害监测与预防投影变换方法在灾害监测与预防方面也有重要的应用。

例如，地震灾害的发生和预测需要准确的地震波传播路径，通过等距投影方法可以更好地绘制地震带图，帮助科研人员分析地震活动的规律和趋势。

第六章投影变换

c
先换V面再换H面
X
a
V H
b
b2●
●
●
a2
a b c
.
●
.
a1 （b1）
H V 1 X1
c2
c1
●
［例1］试求平面△ＡＢＣ的实形和角
先换H面再换V面
b
d a b2 d2 c2 a2
实形
c
b
X V H
a
d c
例2
已知一般位置平面ABC的V、H投影，
●
b1
换H面行吗？不行！
新投影轴的位置？
与ab平行。
［例2］已知：直线AB的两投影ａｂ、ａ′ｂ′，试求：直线AB的实长和对V面的夹角。
2.把投影面平行线变换为新投影面的垂直线
把投影面平行线变换为投影面垂直线，是为了使直线投影成为一个点，从而解决与直线有关的度量问题(如求两直线间的距离)和定位问题(如求线面交点)。
4）返回求得内切圆中心的投影G、G。
本
章
结
束
(2)换H面
X1 H 1 V
.
a1
a XV H ax a
ax1
O1
O
求新投影的作图方法更换V面更换H面
a
X1 H 1 V
.
a1
V X H
ax
ax1
.
●
a 1
XV H
a
ax a
ax1
H
V1
X1
a
作图规律：由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。
5）ａ2即为变换后的新投影。
a 2 a ax1 H X1 V1

工程制图 2.6投影变换方法

2、
1）保留有积聚性的投影 2）新轴平行于保留的投影，然后根据点的换面规律得到新投影
换面法的应用举例
例求C点到直线AB的距离，并画出距离的投影。
c'
b'
分析
C
A K B
a' X V H
b
c
a c H2
(k) a (b)
c' k′ a' V X H k
b'
b
CK=c2k2
a
c k 1′ a1′ c1 ′ b1′
一、点的换面点的换面所遵循的规律：
若平面外的一直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
1.
1）新轴与保留投影平行，然后根据点的换面规律得到新投影 2）新投影与新轴的夹角反映了直线与保留投影面的倾角
2.
1）新轴与保留投影相垂直，然后根据点的换面规律得到新投影
1. 1）作平面上的保留投影面平行线 2）新轴垂直于该平行线，然后根据点的换面规律得到新投影
a2 ( b2Βιβλιοθήκη (k2)c2例求平面P的实形
11
31
51
21 1′
41
X
X
3 5
1
2
4