第三章 投影变换——换面法

旋转正平线成铅垂线
4. 涉及直线与平面垂直、两平面垂直问题，不要求掌握，可
以自学。
看书：P41~P47 作业：3－4、8、9、10、11、12
旋转法
3.3.1 问题的提 出 3.3.2 旋转法 的概念
3.3.3
绕垂直轴 旋转 3.3.4
3.3 旋转法
3.3.1 问题的提出
a’ o’
实形
O A
b’ c’
铅垂面ABC在V/H 投影面上均不反映 实形，如何求 ABC实形？
3.3.5 绕垂直轴 二次旋转
结束 返回
3.3.2 旋转法的概念
旋转法是保持投影面 不动，将几何元素绕某一 轴旋转，使它对投影面处 于有利于解题的位置。
O R
O1 P
旋转法五要素：
A
旋转轴OO、
旋转平面P、
旋转中心O1
旋转半径R、
O 旋转点A
旋转法
3.3.1 问题的提 出 3.3.2 旋转法 的概念
XV H
行于投影面，其投影反映 c
a d
b
距离
实长。
AD
C
B
abd
P
c
ad
.
H X1 V1
a1' d. 1'
b1'. a2b2d2
如何确定d1 点的位置？
c1'
V1 H2
c2
X2
过c1作线平行于x2轴。
例2. 求两直线AB与CD的公垂线 。
b' 1'
2'
1
X2
V1 H2 c2
第三章 投影变换——换面法
一、投影变换及换面法的基本概念 二、点的换面作图规则 三、换面法的四个基本作图 四、应用及举例
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求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析
b’ a’
a
b
两点之间距离
c’ b’
a’
a
c
b
三角形实形
c’ a’
d’ dc a
两平面夹角
c’
d’ b’ a’
b’
a
cd
b
b
直线 与平面的交点
B
a
d
b
H
思考：
若变换H面，需在面内取 什么位置直线？正平线！
P1 C c1
a1 d1
c
b1
X1
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b
a
d
作 图 过 程：
★ 在平面内取一条水平
c
XV H
线AD。
a
b
★ 将AD变换成新投影
d.
面的垂直线。
c
H
●α
●
●
反映平面对哪
X1 P1 c1 a1 d1 b1 个投影面的夹角？
三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
换面法的四个基本问题：
1. 把一般位置直线变成投影面平行线 变换一次投影面
2. 把一般位置直线变成投影面垂直线 变换两次投影面
3. 把一般位置平面变成投影面垂直面 变换一次投影面 需先在面内作一条投影面平行线
4. 把一般位置平面变成投影面平行面 变换两次投影面
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第一节 概述
特殊位置的直线：可直接反映实长、倾角问题
a
b
a(b)
X
OX
O
a
b 实长
实长
b
a
特殊位置的平面：可直接反映实形、倾角问题
c 实形
a
b
X
O
a
cb
正平面
c b
X
O
b
a
c 正垂面
特殊位置的几何元素：可直接反映度量、定位问题
a
c
b m c
e
f
b d
e
a(b)
f
c(d)
m b
a c
距离
a
点到直线的距离
一、基本概念
改变空间几何元素与投影面的相对位 置，使它们相互之间处于某一特殊位置的 情况，从而使问题简化、得到解决——投 影变换。
二、投影变换的方法 1. 辅助投影面法（换面法） 2. 旋转法
一. 换面法的基本概念
旧面
新面 c1'
V1
c1 ' b1'
b
.
b2●d●2 60°
.
a'1●b'1
D点的投影 如何返回？ ● c2
如何解？
思考：
HX1V1
●
c1'
H2 V1 X2
解法相同！
已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，
求等边三角形的投影。（用基本法和换面法分别求解）
例4 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。
15 b2
例5：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M N
作图：
n● c●
a ●m
XVH
a
●m
●
n
c
请注意各点的投 影如何返回？
●d b
d b
.
HX1P1
空间及投影分析：
当直线AB垂直于投影
面时，MN平行于投影面，
这时它的投影m1n1=MN,且
作图分析：由于△ABC平面为一 铅垂面 ，则O1X1轴应平行于平面的 积聚性投影。
作 图 过 程 如 图 所 示：
例 3 已知直线AB与CDE平面平行，且相距20mm，
求直线AB的 水平投影。
b1 a1
c1
c'
e1 d1
a'
e' XHV d' c
b'
e
da b
例4：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。
X2
a' 旧
水平书写好
不变 X2
新V1 H2 a2
旧
新 不变
新与旧是相对的
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三、换面法的四个基本作图 1. 把一般位置直线变为投影面平行线 2. 把一般位置直线变为投影面垂直线 3. 把一般位置平面变为投影面垂直面 4. 把一般位置平面变为投影面平行面
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1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
作图方法：
在平面内取一条 投影面平行线，经一 次换面后变换成新投 影面的垂直线，则该 平面变成新投影面的 垂直面。 一般位置直线变换成 投影面垂直线，需经 几次变换？能否只进 行一次变换？
c V
d
a b
A
D
X
m1n1⊥c1d1。
A
M CN
d1 ●
D B a1m1b1
a1≡b●1≡m1
.
●n1 c●1
c1
P1
n1
d1
圆半径=MN
例6：求平面ABC和ABD的夹角。
空间及投影分析：
垂所时直求所在于。由得投该几两影投何交图影定线中面理之,，知间两它：的平们两夹面的面角的投角。交影为线积两垂聚平直成面于直同投线时影，与面直第时线三，间平则的面两夹垂平角直面为相交
空间及投影分析：
作图:
求C点到直线AB的距离， c
b
就是求垂线CD的实长。
如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平
XV H
行于投影面，其投影反映 c
a d
b
距离
实长。
AD
C
B
abd
P
c
ad
.
H X1 P1
a1 d. 1
b 1. a2b2d2
c1
P1 P2
c2
X2
过c1作线平行于x2轴。
当一平面图形绕 正垂轴旋转时，其正 面投影的大小和形状 保持不变，该平面对 V面的倾角的大小不 变。
旋转法
3.3.1 问题的提 出 3.3.2 旋转法 的概念
3.3.3
绕垂直轴 旋转
3.3.4
绕垂直轴 一次旋转 可解决四 种作图问 题
3.3.5 绕垂直轴 二次旋转
结束 返回
3.3.4 绕垂直轴一次旋转可解决 四种作图问题
四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体 与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几 何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新 投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行）， 据此选择正确的解题思路与方法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变 换前后的关系， 既要在新投影体系中正确无误地 求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。
3.3.4
绕垂直轴 一次旋转 可解决四 种作图问 题
3.3.5 绕垂直轴 二次旋转
结束 返回
点A绕正垂轴旋转
投影规律：点的一个投影在 垂直于旋转轴的投影面上作圆 周运动，在另一投影面上的投 影作与投影轴平行的直线运动。
旋转法
3.3.1 问题的提 出 3.3.2 旋转法 的概念
3.3.3
绕垂直轴 旋转
3.3.4
绕垂直轴 一次旋转 可解决四 种作图问 题
3.3.5 绕垂直轴 二次旋转
结束 返回
2、直线的旋转规律：
R
0
0
R
直线绕某轴旋转一角度时， 只要使该直线上的两个点绕同一 轴，沿相同方向，旋转同一角度， 然后把旋转后的两个点连接起来， 即为该直线的新投影。
当一直线绕铅垂轴旋转时， 其水平投影长度保持不变。直线 对H面的倾角不变。
4. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析：
一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。
作 图： c
AB是水平 线
a
b
●a2
XV
Ha
b2● b . a1 b1.
●
c
●
c2 平面的实形
HX1P1
c●1
X2轴的位置？ 与其平行
例：用换面法求出△ABC平面的实际形状。
d
b
a
a1 ●
●d1
X
V H
c a
●c1
●b1
θ
.
dc
.
b
a2≡ b2 ● θ ●d2
c2●
例7:求两交叉直线的公垂线.
四、换面法的应用
例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。
空间及投影分析：
作图:
求C点到直线AB的距离， c
b
就是求垂线CD的实长。
如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平
新轴 a1'
b1'
旧轴a1'
不变面
X1
X1
V/H 体系变为V1/H 体系
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面 来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利 解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
返回
二、点的换面及规律
1. 点的一次变换
V1
a1 '
X1
返回
2. 点的两次变换
a2
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
V X
X2
a2b2 b P2
ax2
P1
a
b1
B A
a1
作图：
wk.baidu.comb
a
XV
H
b
a
b
H1
a
X1 P1a1●
●.
b1
a2b2
H
X1 X2轴的位置？
与a1 b1 垂直
例1 已知等腰三角
形ABC的底边 为AB，试用 换面法求出等 腰三角形ABC 的正面投影。
当一直线绕正垂轴旋转时， 其正面投影长度保持不变。直线 对V面的倾角不变。
旋转法
3.3.1 问题的提 出 3.3.2 旋转法 的概念
3.3.3
绕垂直轴 旋转
3.3.4
绕垂直轴 一次旋转 可解决四 种作图问 题
3.3.5 绕垂直轴 二次旋转
结束 返回
3、平面的旋转规律：
当一平面图形 绕铅垂轴旋转时， 其水平投影的大小 和形状保持不变， 该平面对H面的倾角 的大小不变。
a2 e2
e1
d2
c2
e d
ed
小结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。
二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。
2
22
12
d2
c1'
21' d1'
a2b2
11'
返回
例3: 过C点作直线CD与AB相交成60º角。
空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影
的夹角才反映实大（60°），因此需将AB与C点所确定的 平面变换成投影面平行面。
作 图： c●
几个解？
a
d b
两个解！
●a2
X
V H
a
●
c
d ●
1、将一般位置直线旋转成投影面平行线；
(a)旋转成正平线 选铅垂线为旋转轴
(b)旋转成水平线 选正垂线为旋转轴
旋转法
3.3.1 问题的提 出 3.3.2 旋转法 的概念
3.3.3
绕垂直轴 旋转
3.3.4
绕垂直轴 一次旋转 可解决四 种作图问 题
3.3.5 绕垂直轴 二次旋转
结束 返回
2、将投影面平行线旋转成 投影面垂直线
c'
b'
XV
Hc a
a' e
a1'
b
e1´
b1'
c1'
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
功用：可求解平面与投影面的倾角， 点与平面的距离， 两平行面间的距离等。
问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新 轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析：
绕垂直轴 一次旋转 可解决四 种作图问 题
3.3.5
绕垂直轴 二次旋转
c1’ o’
C1
B C
c1
O
a
(b)
c
使ABC绕轴旋转
到与V面平行的位 置，则ABC1在V 面的投影反映实
形。
结束 返回
旋转法
3.3.1 问题的提 出 3.3.2 旋转法 的概念
3.3.3
绕垂直轴 旋转
3.3.4
绕垂直轴 一次旋转 可解决四 种作图问 题
3.3.3
绕垂直轴 旋转
3.3.4
绕垂直轴 一次旋转 可解决四 种作图问 题
3.3.5 绕垂直轴 二次旋转
结束 返回
3.3.3 绕垂直轴旋转
1、点的旋转规律：点A绕铅垂轴旋转；
a’
a1’ a o a1
o’
a’
a1’
a
o
a1
旋转法
3.3.1 问题的提 出 3.3.2 旋转法 的概念
3.3.3
绕垂直轴 旋转
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。
a
V
b
A
P1a1
b1
B
作图：
a
XV H
b b
a
Hb
换H面行吗？ 不行！
a
.
H
X1 P1
a●1
b●1
新投影轴的位置？
与ab平行。
2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线；