第三章 投影变换——换面法

3.3.5 绕垂直轴 二次旋转
结束 返回
3.3.2 旋转法的概念
旋转法是保持投影面 不动，将几何元素绕某一 轴旋转，使它对投影面处 于有利于解题的位置。
O R
O1 P
旋转法五要素：
A
旋转轴OO、
旋转平面P、
旋转中心O1
旋转半径R、
O 旋转点A
旋转法
3.3.1 问题的提 出 3.3.2 旋转法 的概念
例5：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M N
作图：
n● c●
a ●m
XVH
a
●m
●
n
c
请注意各点的投 影如何返回？
●d b
d b
.
HX1P1
空间及投影分析：
当直线AB垂直于投影
面时，MN平行于投影面，
这时它的投影m1n1=MN,且
新轴 a1'
b1'
旧轴a1'
不变面
X1
X1
V/H 体系变为V1/H 体系
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面 来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利 解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
返回
二、点的换面及规律
1. 点的一次变换
V1
a1 '
X1
返回
2. 点的两次变换
a2
作图分析：由于△ABC平面为一 铅垂面 ，则O1X1轴应平行于平面的 积聚性投影。
作 图 过 程 如 图 所 示：
例 3 已知直线AB与CDE平面平行，且相距20mm，
求直线AB的 水平投影。
b1 a1
c1
c'
e1 d1
a'
e' XHV d' c
b'
e
da b
例4：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。
4. 涉及直线与平面垂直、两平面垂直问题，不要求掌握，可
以自学。
看书：P41~P47 作业：3－4、8、9、10、11、12
旋转法
3.3.1 问题的提 出 3.3.2 旋转法 的概念
3.3.3
绕垂直轴 旋转 3.3.4
3.3 旋转法
3.3.1 问题的提出
a’ o’
实形
O A
b’ c’
铅垂面ABC在V/H 投影面上均不反映 实形，如何求 ABC实形？
c'
b'
XV
Hc a
a' e
a1'
b
e1´
b1'
c1'
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
功用：可求解平面与投影面的倾角， 点与平面的距离， 两平行面间的距离等。
问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新 轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析：
第三章 投影变换——换面法
一、投影变换及换面法的基本概念 二、点的换面作图规则 三、换面法的四个基本作图 四、应用及举例
返回
求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析
b’ a’
a
b
两点之间距离
c’ b’
a’
a
c
b
三角形实形
c’ a’
d’ dc a
两平面夹角
c’
d’ b’ a’
b’
a
cd
b
b
直线 与平面的交点
d
b
a
a1 ●
●d1
X
V H
c a
●c1
●b1
θ
.
dc
.
b
a2≡ b2 ● θ ●d2
c2●
例7:求两交叉直线的公垂线.
四、换面法的应用
例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。
空间及投影分析：
作图:
求C点到直线AB的距离， c
b
就是求垂线CD的实长。
如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平
四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体 与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几 何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新 投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行）， 据此选择正确的解题思路与方法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变 换前后的关系， 既要在新投影体系中正确无误地 求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。
空间及投影分析：
作图:
求C点到直线AB的距离， c
b
就是求垂线CD的实长。
如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平
XV H
行于投影面，其投影反映 c
a d
b
距离
实长。
AD
C
B
abd
P
c
ad
.
H X1 P1
a1 d. 1
b 1. a2b2d2
c1
P1 P2
c2
X2
过c1作线平行于x2轴。
如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
作图方法：
在平面内取一条 投影面平行线，经一 次换面后变换成新投 影面的垂直线，则该 平面变成新投影面的 垂直面。 一般位置直线变换成 投影面垂直线，需经 几次变换？能否只进 行一次变换？
c V
d
a b
A
D
X
B
a
d
b
H
思考：
若变换H面，需在面内取 什么位置直线？正平线！
P1 C c1
a1 d1
c
b1
X1
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b
a
d
作 图 过 程：
★ 在平面内取一条水平
c
XV H
线AD。
a
b
★ 将AD变换成新投影
d.
面的垂直线。
c
H
●α
●
●
反映平面对哪
X1 P1 c1 a1 d1 b1 个投影面的夹角？
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。
a
V
b
A
P1a1
b1
B
作图：
a
XV H
b b
a
Hb
换H面行吗？ 不行！
a
.
H
X1 P1
a●1
b●1
新投影轴的位置？
与ab平行。
2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线；
绕垂直轴 一次旋转 可解决四 种作图问 题
3.3.5
绕垂直轴 二次旋转
c1’ o’
C1
B C
c1
O
a
(b)
c
使ABC绕轴旋转
到与V面平行的位 置，则ABC1在V 面的投影反映实
形。
结束 返回
旋转法
3.3.1 问题的提 出 3.3.2 旋转法 的概念
3.3.3
绕垂直轴 旋转
3.3.4
绕垂直轴 一次旋转 可解决四 种作图问 题
m1n1⊥c1d1。
A
M CN
d1 ●
D B a1m1b1
a1≡b●1≡m1
.
●n1 c●1
c1
P1
n1
d1
圆半径=MN
例6：求平面ABC和ABD的夹角。
空间及投影分析：
垂所时直求所在于。由得投该几两影投何交图影定线中面理之,，知间两它：的平们两夹面的面角的投角。交影为线积两垂聚平直成面于直同投线时影，与面直第时线三，间平则的面两夹垂平角直面为相交
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
V X
X2
a2b2 b P2
ax2
P1
a
b1
B A
a1
作图：
b
a
XV
H
b
a
b
H1
a
X1 P1a1●
●.
b1
a2b2
H
X1 X2轴的位置？
与a1 b1 垂直
例1 已知等腰三角
形ABC的底边 为AB，试用 换面法求出等 腰三角形ABC 的正面投影。
3.3.3
绕垂直轴 旋转
3.3.4
绕垂直轴 一次旋转 可解决四 种作图问 题
3.3.5 绕垂直轴 二次旋转
结束 返回
3.3.3 绕垂直轴旋转
1、点的旋转规律：点A绕铅垂轴旋转；
a’
a1’ a o a1
o’
a’
a1’
a
o
a1
旋转法
3.3.1 问题的提 出 3.3.2 旋转法 的概念
3.3.3
绕垂直轴 旋转
e
a(b)
f
c(d)
m b
a c
距离
a
点到直线的距离
一、基本概念
改变空间几何元素与投影面的相对位 置，使它们相互之间处于某一特殊位置的 情况，从而使问题简化、得到解决——投 影变换。
二、投影变换的方法 1. 辅助投影面法（换面法） 2. 旋转法
一. 换面法的基本概念
旧面
新面 c1'
V1
c1 ' b1'
4. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析：
一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。
作 图： c
AB是水平 线
a