画法几何 第三章 平面投影

§1-2 点在三投影面体系中的投影
三、点的三面投影
给出空间点的三个坐标，就 可按前述点的投影规律画出点的 三面投影图；反之，由点的三面 投影图应能想象出点的空间的位 置。 点在三投影面体系中的位置 有：在各卦角间、在各投影面内 和在各投影轴上等情况，它们都 遵守相同的投影规律。
§1-2 点在三投影面体系中的投影 四、由点的两个投影求作第三投影
分析点A的三个投影 a (xA,yA)、
a„ (xA,zA)、a“(yA,zA)可知，三
个投影中的任意两个，都包含有
确定该点空间位置所必需的x、y、
z 三个坐标，因此，由点的两个
投影可以作出第三投影。
§1-2 点在三投影面体系中的投影
例1-3 如图所示，已知点A的两个投影a 及a′，求作a″。 已知
a1'
§1-4 点的辅助投影
如果设置辅助投影面H1 垂直于V 面，则辅助投影面H1与V面构成 新的两投影面体系(V/H1)，新旧两体系共有投影面V。这时作点 的辅助投影，仍要遵循前面所表述的作图规律。
§1-4 点的辅助投影
二、点的复辅助投影
在基本的(V/H)体系中设置辅助投影面V1后，再在(V1/H)体系 中设置第二个辅助投影面H2 垂直于V1 ，H2 称之为复辅助投影面。
zA 。
§1-1 点在两投影面体系中的投影
例1-1 点A 的坐标xA、yA、zA 分别为5、3、4个单位，试画
出点A的两面投影图。 解：
§1-1 点在两投影面体系中的投影
例1-2
试画出例1-1中点 A 的立体示意图。
§1-2 点在三投影面体系中的投影
确定点在空间的位置，如前所述，有两个投影就够了。
§1-1 点在两投影面体系中的投影 三、点的两面投影及其投影图画法
画投影图时，需要把 互相垂直的两个投影面展
开成一个平面。画法几何
规定两面体系的展开方法是：
V 面不动，H 面绕OX 轴向下
旋转90°角。
§1-1 点在两投影面体系中的投影
投影面展开后，点A 的两投影a 和a′处于同一条垂直于OX 轴的直 线上，此线称为投影连线，即
同名坐标值的代数差Δx、Δy、Δz。
§1-3 两点的相对位置和无轴投影图 一、两点的相对位置
例1-4 已知两点的投影，试判断两点的相对位置。
解： 选定A (a, a′, a″)为 基准点，B 为比较点，则有： Δx为正值，点B 在点A 之左； Δy为负值，点B 在点A 之后； Δz为正值，点B 在点A 之上。
下两个方向的尺度。
§1-2 点在三投影面体系中的投影
二、八个卦角
在扩展H、V 面的基础上，
再扩展W 面，得到V 面后的
W 面的扩展部分W0，从而把
空间分成八个卦角（也称卦 限）。W、W0 面的左方为第
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 卦角，右 方为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ 卦角，
投影轴的指向即坐标轴的正
方向。
§1-2 点在三投影面体系中的投影
在辨认两点的相对位置时，起重要作用的是两点同面投影
的坐标差，而与投影轴的位置无关。因此，对于不涉及点到投影
面距离的作图问题，便可不画出投影轴。这种图就称为无轴投影 图。
§1-3 两点的相对位置和无轴投影图
例1-5 已知点A 的三个投影，如图所示，有一点B 在其右 3、其前3、其下2个单位处，试画出点B 的三个投影。 解：Δx =-3, Δy =3, Δz =-2,…
用三个投影表达点A 的位置时， 可写成A（a ，a′，a″）。
§1-2 点在三投影面体系中的投影
三、点的三面投影
与两面体系一样，实际画
投影图时需要把三个投影面展开 成一个平面。V 面不动，H 面绕
OX 轴向下旋转90°角，W 面绕
OZ 轴向右旋转90°角。此时OY
轴被“一分为二”，随H 面的轴记
为OYH ，随 W 面的轴记为OYW 。
目录 §1-1 §1-2 §1-3 §1-4 点在两投影面体系中的投影 点在三投影面体系中的投影 两点的相对位置和无轴投影图 点的辅助投影
§1-1 点在两投影面体系中的投影
从本章起，如不特别声明，讲到“投影”，一律是指正投影。
一、点的投影
空间点在投影面上的投影仍是点。在正投影中只有点的一个 投影不能确定该点在空间的位置。 规定：表示空间的点用大写字 母标记，如A；表示点的投影用相 应的小写字母标记，如a 。
§1-1 点在两投影面体系中的投影 二、两投影面体系及空间直角坐标系
多面正投影法中， 至少要用两个互相垂 直的投影面，构建两 投影面体系，作出点 的两个投影，来确定 该点在空间的位置。
§1-1 点在两投影面体系中的投影 二、两投影面体系及空间直角坐标系
水平放置的投影面称为水平 投影面，常标以“H”。 竖直放置的与H 面垂直的投 影面称为正立投影面，常标以 “V ”。
Δ
Δ
Δ的形体常需设置侧立 投影面W，画出形体在W 面上的投影， 以便更充分、准确地表明形体的形 状。
用H、V 和W 各面投影仍不足以 准确表明形体的形状时，可以设置 只与已知两投影面体系中的一个投 影面相垂直的辅助投影面，作出形 体在辅助投影面上的投影，称之为 辅助投影。
在投影图中需要判断并标 明重影的可见性，即标明沿投 射方向“看”去，哪个点的投 影是可见的，哪个点的投影是 被遮挡而不可见的。 重影a、b的可见性是从V 面（或W 面）上的投影判断出 来的：a'高于b'，所以a 可见， b不可见。通常在不可见的投 影标记上加上括号。
§1-3 两点的相对位置和无轴投影图 三、无轴投影图
§1-1 点在两投影面体系中的投影 三、点的两面投影及其投影图画法
将点A 放在第Ⅰ分角中进行投 射，向H 面投射得a，称为点A 的 水平投影或H 面投影。将点A向V 面投射得a′，称为点A 的正面投 影或V 面投影。
§1-1 点在两投影面体系中的投影 三、点的两面投影及其投影图画法
画法几何中规定：标记V 面投 影，要在小写字母的右上角加一撇， 如a′；H面投影则不加一撇，如a 。 点A在空间的位置被其两个投影 a 和 a′唯一确定，因为两个投影 反映了三个方向的坐标(xA，yA，zA)。 点A可表述为A(a，a′)。
§1-4 点的辅助投影 根据点的原有投影作出其辅助投影的方法，可以表述 如下：
自辅助投影面所垂直的原投影面 上的投影，向辅助投影轴作垂线，与 辅助投影轴交于一点，自交点起在垂 线上截量一段距离，使等于原有的另 一投影到原有投影轴的距离，即得点 的辅助投影。这个关系习惯上简单说 成是新投影到新轴的距离等于老投影 到老轴的距离。
§1-3 两点的相对位置和无轴投影图 二、点的重影及其可见性判断
当空间两点处在对某一投 影面的同一条投射线上时，它 们在该投影面上的投影便重合 在一起。空间的这些点，称为 对该投影面的重影点，重合在 一起的投影称为重影。右图中， 点A、B 是对H 面的重影点，a、 b 则是它们的重影。
§1-3 两点的相对位置和无轴投影图 二、点的重影及其可见性判断
辅助投影面
§1-4 点的辅助投影
一、点的辅助投影
在基本的 两投影面体系V/H中，
有一个点A(a,a') 。设置一个与H 投影面垂直的辅助投影面 V1。V1
面与H面交于O1X1。O1X1 称为辅助
投影轴。V1面和H面也构成一个两 投影面体系。 将A点向V1 面作正 投影，得V1面上的投影a'1，a'1 是A点的辅助投影。
§1-4 点的辅助投影
把A点正投射到H2面上，就得到了A点的复辅助投影a2。在(V1/H2) 体系中根据( a, a'1 )作 a2 时仍然要遵循前面所表述的 作辅助投影的规律。
§1-4 点的辅助投影
当然也可以先设置辅助投影面H1垂直于V，构成投影面
体系(V/H1)，然后设置复辅助投影面V2 ⊥ H1，求复辅助投
a a′⊥ OX。
由于投影面是无限大的，在投 影图中毋须画出其边界线 。
§1-1 点在两投影面体系中的投影
点的两面投影规律 ： (1)两投影的连线垂直于投影轴，即a a′⊥ OX 。 (2)空间点的某一投影到投影轴的距离，等于该点到另 投影面的距离,即 aaX = A a′= yA，a′aX = A a =
但对于一些较复杂的形体，只有两个投影往往不能确定其形 状。解决的办法是设置第三个投影面，构建三投影面体系， 作出形体的第三个投影。
§1-2 点在三投影面体系中的投影
一、三投影面体系的建立
在两面体系的基础上，包含OY 轴和OZ 轴作出
第三个投影面—侧立投影面（简称侧面），又称
W 面。W 面与H、V 面相互垂直并一起构成三投 影面体系，简称三面体系。W 面能反映前后、上
影的方法与前述类似。
直线由两个点确定，平面由不在一直线上的三个点确定，
求直线、平面的辅助投影和复辅助投影都可以归结为求点的 辅助投影或复辅助投影。因此应透彻理解求点的辅助投影和 复辅助投影的原理和熟练掌握其作图方法。
求解—利用圆规画弧 求解—利用分规量距离
§1-2 点在三投影面体系中的投影
例1-3 如图所示，已知点A的两个投影a 及a′，求作a″。 求解—利用45°分角线或45°上斜线作图
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§1-3 两点的相对位置和无轴投影图
一、两点的相对位置
通常判别两个点在空间的相对位置，是将其中一点作为基 准点，判断另一点（即比较点）在基准点之左（或右）、之 前（或后）、之上（或下）多少距离。反映在投影图中，是 在确定了基准点的前提下，找出两点在同一投影面上投影的
§1-4 点的辅助投影
一、点的辅助投影 有两个两投影面体系，一个是原
有的体系(V/H )，其投影轴是OX; 另
一个是新设置的体系(V1/H), 其投影轴 是辅助投影轴O1X1，它们共有投影面H。