画法几何点、直线与平面的投影

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画法几何及机械制图第二章点直线和平面的投影1

距离
例已知长方形ABCD中边BC的两投影和边AB的正面投影（a'b'//OX)，求作长方形的两投影。
d c 分析： D
a
C
X
a
b
O A B
因为ABBC,且 ABH 根据直角投影定理有ab bc
b d c
空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。
c
a
c
L
ZAB
b0
c0
AB
两直线的相对位置
两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉。
1.平行两直线
当两直线平行则两直线同面投影均相互平行；
反之，若两直线同面投影平行，则该两直线平行。
直线 AB∥CD
注意：若要判断两直线是否平行，对于一般位置直线，只需看其两组投影即可，而对于特殊位置直线，则要看其三组投影
YH Z
b
a X O
YW
1)在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点； 2)另两个投影显实长，且分别垂直于相应的投影轴。
YH
投影面上的直线的投影
直线的投影——投影特性
一般位置直线：与任何基本投影面都不平行也不垂直 z b' a'

b' B b" a'
a"
b"
x
A a b b a" aO NhomakorabeayW
yH
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
试判断图中CD与 AB是否平行？
AB 与 CD 不平行
虽然ab∥cd，并且a’b’∥c’d’，但侧面投影a”b” 与c”d ”相交。作出第三面投影来判断。

画法几何-投影法

a' Ⅲ
X
Ⅱ
O
b
Ⅰ D
d
Ⅳ Ac
3(4 )a
b’
（2’） 1‘
3’
c’
d’
4’ a’
X
O
b
2
Yd
1
c 3（4） a
交叉两直线可能有一组或两组同面投影平行，但两直线的其余同面投影必定不平行；交叉二直线也可能在3个投影面的同面投影都相交，但交点必定不符合一个点的投影规律，其投影的交点是两直线对不同投影面的重影点
b’
k'
a’
b' k' B
C a'
d’ X
O
d' X
K
b
D d
k
O c
A
a
b
d Y
k
c a
3、两直线交叉
既不相交也不平行的两直线称为交叉两直线。如果两直线的投影既不符合
两平行直线的投影特性，又不符合两相交直线的投影特性，则可断定这两条直线为空间交叉两直线。
V
c' Z
b'
(2’ ) 1‘
C
d' B
三、平行投影法的基本特征
• a实形性 • b积聚性 • c平行性 • d类似性 • e定比性 • f从属性
一、投影法的基本知识
物体在阳光的照射下，就会在墙上或地面上投下影子，这就是投影现象。投影法是将这一现象加以科学抽象和思维而产生的。投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称为投影法。
一般位置直线的投影
z
V b’
X
a’ A a”
b’
βγ
α
B O

画法几何与阴影透视例题精讲与解题方法全解

2、完成已知平面上的点和直线的投影；
3、完成多边形的投影。
一、平面上取任意直线
二、平面上取点
三、属于特殊位置平面的点和直线
2024/7/18
土建2004-1~2
34
1．取属于平面的直线
F E D
e'
f'
d'
d
f
e
取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该202平4/7/1面8 的一已知点，且平行于土建属2004于-1~2该平面的一已知直线。 35
影。
a
a
9
8
5
a
2024/7/18
土建2004-1~2
4
直线的投影
直线的两投点影决仍定为一直条线直，线特。殊情况下为一点。a’ Z a”
分别将两点的同名（同面）投影 b’
用直线连接，就得到直线的投影。 X
O
a
b”
YW
a
b
b
直线对投影面的Y倾H 角：
对c(水d)平投影面的倾角——
对正立投影面的倾角——
是什么位置的平面？ a
b
b
类似性
c c a
积聚性
βc
b
γ
a
铅垂面
投影面垂直面的投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该
直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。 2024/7/18
土建2004-1~2
31
1．水平面
a' A
a
b' c' B
b
点、直线、平面的投影
➢直线的投影 ➢直角三角形法求线段实长及倾角 ➢直线上的点 ➢两直线的相对位置关系

画法几何：第二讲__点、直线、平面的投影

例7：已知线段DE、FG的两个投影d’e’//f’g’， de//fg，判断空间两线段是否平行。
Z
d'
d''
f'
f''
e'
e''
g'
X O
d g
g'' YW
f e
结论：空间两直线不平行。
YH
判断两直线是否平行：
对于一般位置直线，若两直线的两个同面投影互相平行，即可判定该两直线在空间必定相互平行。
b
ac
H
例6：已知直线AB和点K的投影，判断点K是否属于线段AB
解法1 a' k'
Z a'' k''
b' X
O
a
k b
H
b'' YW
结论：K AB
解法2
X
a' k'
b' O
a k0
k
b0
b
结论：K AB
三、两直线的相对位置
平行二直线相交二直线交叉二直线（异面）
1. 平行二直线
A
C
空间两直线
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
例1：已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
3. 点的投影与坐标
Z a’
V a'
aZ
y
zA
a''
、X
aX
xO W
ya

12 画法几何总复习

AD
30°
高AD的Z差
b′ d′
CDorDB
e′ c′
cd
f′
X
e c
d b
a
f
三、平面的投影
（习题集P14-16）
1、平面的表示法（几何元素表示、迹线表示） 2、各种位置平面（投影特性、判断）（垂直面：垂直一个投影面，倾斜两个投影面）（平行面：平行一个投影面，垂直两个投影面）（一般面：与三个投影面都倾斜） 3、平面上的直线和点 4、平面的最大斜度线（角度线）
直角三角形的四要素：实长、倾角、投影长、坐标差。四个要素中只要知道任意两个要素，均可求得另外两个要素，但须清楚诸要素之间的关系。注意投影长、坐标差、倾角均对同一投影面
坐标差 △X 坐标差 △Y 坐标差 △Z
实长
倾角倾角倾角
投影 W面投影 a〝b〝投影 V面投影 a′b′ 投影 H面投影 a b
b.完成已知平面上的点和直线的投影； c.完成多边形的投影。
（2）属于垂直面（几何元素表示法）的点和直线
e k a
b f c 1 g
2 m n 3
b a k
e
f
EF属于ABC
c 1
2
3 n
g
m
K属于ABC
G不属于ⅠⅡⅢ
MN不属于ⅠⅡⅢ
关键是看点和直线的投影是否在平面的积聚投影上
反之，若两直线同一投影面上的投影均平行，则此二直线平行。平行两线段之比等于其同面投影之比。
（2）相交的两直线
d
d
k
b
B K D X
k a
b
a
X
c
c k d
c
C Ac a
b

《画法几何》第2章点、直线、平面的投影

相交（或交叉）成直角的两直线，只要其中有一条直线平行于某投影面，则它们在该投影面上的投影仍反映直角
水平线
Ｂ
b a
ＡＣ
c
反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直
[例2-7]已知过点A作线AB平行于EF，问AB与CD是否相交(习题P25-4)
Ⅰ∈AB Ⅱ∈CD
Ⅲ∈AB Ⅳ∈CD
3 4）（
1
b
判断重影点重合投影的可见性时，要在其他投影中比较它们坐标的大小。
直角投影定理
当两直线都平行于某投影面对，其夹角在该投影面上的投影反映实形。
当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影一般不反映实形。
a b
a c b
c
b0
c
b
d
[例2-11]作一直线与AB和CD相交，并与它们垂直（即求两直线的公垂线），并标明其真实距离
c´ b´
f´
a´
e´
d´ c (d) e
a
真ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ距离
f
b
点的投影
直线的投影
两直线的相对位置
平面的投影（自学）
平面的投影
平面的投影
平面的投影性质
P
A D C B
q p H d
根据一般位置直线的投影求其实长和倾角（直角三角形法）
b´
m
V
a´
α
b´
B
C
X
a´
1、过A点作 AC//ab 2、过b点作 O bb ⊥ab,且 0 bb0=BC
A b
a
α

画法几何与机械制图-第1章-投影法和点、线、面的投影-1.1 投影的基本知识&1.2 点的投影

a
Y
点A在点B的：左边、前边、上边。
X坐标大的在左边；Y坐标大的在前边；Z坐坐标大的在左边；坐标大的在前边；标大的在上边。标大的在上边。
Z V
a' A a' a" B b a H a XA- XB b' O Y b Y ZA- ZB b" Z a'' b" YA- YB
X
O b'
W
X
Y
a′● ′ ax a●
az
●
a″ ″
点的投影到投影轴的距离，点的投影到投影轴的距离，等于点的相应坐标
Z V
Bb' b" b'
Z b''
X
b
c'
D d，d'
O
d" c"
W
X
b c'
d' d c
O d"
c" YW
H
Cc
YH
Y
面上，点在面上，点在点在H面上点在OX轴上轴上。 Β点在V面上， C点在面上， D点在轴上。点在面上
一、点在一个投影面上的投影
过空间点A 作投影面P 过空间点A，作投影面P的正投射线与投影面P交于a 点,a’即投射线与投影面P交于a’点,a 即为点A 面上的投影。为点A在P面上的投影。点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。间位置。
解决办法？解决办法？
A
●
P
●
a′ ′
P B1 B2
●
B3
●
●
b′ ′
●
采用多面投影。

《画法几何》课件——5.直线与平面平行投影

b′ f′
c
f
a
b
e
33
平面与平面垂直
直线与平面及两平面的相对关系
主讲人：
二面角
Q
β
B
A
l
P
α
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱。
• 这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB,面分别为α,β 的二面角记作二面角α-AB-β。
• 有时为了方便,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q。
PV
M
QV
Q
P
m′
QV
n′
PH
QH
N
m(n)
PH
QH
25
平面与平面相交
无积聚性时求交
由于相交的两元素均无积聚性，故不能直接利用积聚性进行求解。解决这类问题，通常可借助设置特殊辅助平面进行求解。
基本作图
两一般位置平面相交
Q
C
A M KF
N
E B
M
B
KA
F
L
N
C
平面与平面相交
案例3 两一般位置平面相交。
c
e
20
平面与平面相交
直线与平面及两平面的相对关系
主讲人：
平面与平面相交
直线与平面、平面与平面相交
几何条件
两平面相交于一直线，交线是两平面的共有线。
1、利用积聚性求交
2、无积聚性时求交
平面与平面相交
利用积聚性求交
两相交元素中若有一个元素具有积聚性，则可利用其积聚性来求交点或交线。
M
B
P
KA
F

第三章点、直线、平面的投影

侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）
V
Z a b ab B W O a Ha X O YW a b Z a(b)
A X
b YH
b
Y
侧面投影积聚为一点；水平投影及正面投影平行于OX轴，且反映实长。
投影面垂直线的投影特性
投影面垂直线的投影特性可概括如下：
（1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；
c'
c
例3：已知C点在直线AB上，求作C点的水平投影。
1、用等比分割作图 2、利用侧面投影作图
a" c" b"
c c
例4：根据投影图判断C点是否在直线AB上。
求解一般位置直线的实长及倾角
根据一般位置直线的投影求解其实长及倾角是画法几何综合习题中的常遇见的基本问题之一，也是工程实际中经常需要解决的问题。而用直角三角形法求解实长及倾角最为简便、快捷。
一、直线投影的形成
连两影一况即个，直下可点只线仍由。的需，为于投作故直直影出要线线，已获，的再知得且投将直直两影它线线点一们上的决般相的投定情
V
a'
b'
B
X
A
O b a H
直线的分类
投影面垂直线特殊位置直线
直线
投影面平行线一般位置直线
二、特殊位置直线
水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离（宽相等）。
a
ay YH
可得出点的投影特性如下：（1）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。
（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。
【例3-1】已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其侧面投影a″ 解: 作图步骤如下

画法几何及机械制图第二章点、直线和平面的投影

a
定比作图方法
c
b
§2－2 直线的投影
例2 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
b Z
b
V
b
c a C B
X
A
O
a
X
a
a
O
a
c YW
a
c Hb
c b
YH
§2－2 直线的投影
例3. 在直线AB上取一点C, 使AC = L，求点C的两投影。
b c
a
L
b c
a
a
X
a
b
L
c
ZAB
O
b
c
ZAB
b0
L
c0
平面对投影面的倾角、、
二、各种位置平面的投影特性
§2－3 平面的投影
投影面垂直面：垂直于一个、倾斜于另两个投影面的平面
V面—正垂面 H面—铅垂面 W面—侧垂面
特殊位置平面
投影面平行面：平行于一个、同时垂直于另两个投影面的平面
V面—正平面 H面—水平面 W面—侧平面
投影面倾斜面：对三个投影面都倾斜的平面
c b
X
b O c
YW
当两直线均为
b
一般位置直线时， c
若有两个同面投影满足上述条件，则空间两直线相交。
d
a
YH
§2－2 直线的投影
3. 交叉两直线
既不平行又不相交的两直线
b
1(2 )
d
c
a
Ⅱ
2 Ⅰd
c
b
a1
b d
1(2 )
c
X a
O
d
c
a

土木工程制图-第二章点、直线、平面的投影

二、两平行直线
平行直线的投影
例题
33
1.平行二直线的投影
34
[例题7] 给出平行四边形ABDC的两条边AB、AC的H、V投影，试完成ABDC的投影。 d d'
三、两交叉直线
交叉直线的投影
交叉二直线重影点投影的可见性判断
例题
36
1.交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。
一、点的投影
a
a (b)
(1) 点的正投影是点，在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处； (2) 如果两点位于某一投影面的同一投射线上，则此两点在该投影面上的投影必定重合。
3
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影点的三面投影规律三面投影的投影关系点的坐标例题
1.点的三面投影
O
a'
a
a"
e"(f")
c'(d')
15
2.2 直线的投影
3
例题
2
1
直线的投影
直线的投影特性
16
一、直线的投影
a
c
b
(a)
(b)
B
a(c)(b)
(c)
c
a
b
17
一般位置直线
01
投影面的平行线投影面的垂直线例题
01
直线的投影特性
01
1、一般位置直线的投影特性
b
b'
a"
b"
a
a'
A
B
YW
19
2、投影面平行线的投影特性
1
2
d
d'

《画法几何与阴影透视》第2章点、直线、平面的投影复习思考题答案

第2章点、直线、平面的投影复习思考题答案复习思考题：2.1 简述为什么不能用单一的投影面来确定空间点的位置？答：因为投影不具有可逆性。

从投影不能确定点的空间位置。

2.2 为什么根据点的两个投影便能作出其第三投影？具体作图方法是怎样的？答：因为点的任意两个投影的坐标已经标识了空间坐标情况，故可以通过点的两个投影作出第三个投影。

作图方法是：（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴（a′a丄OX）,即长对正；（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（a′a"丄OZ），即高平齐；（3）点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离（a" az =a ax ），即宽相等。

2.3如何判断重影点在投影中的可见性？怎么标记？答：重影点在投影中的可见性根据点的坐标值大小来判断。

坐标值大者可见，反之不可见。

不可见点加（）标识。

2.4空间直线有哪些基本位置？答：空间直线与投影面的位置关系有倾斜、垂直、平行。

2.5如何检查投影图上点是否属于直线？答：检查投影图上点是否属于直线可以采用定比法或者第三面投影法。

2.6什么是直线的迹点？在投影图中如何求直线的迹点？答：空间直线与投影面的交点称为迹点。

在投影图中利用迹点是属于投影面上的点的特征及属于直线上的点的投影特征（从属性）求解。

2.7试叙述直角三角形法的原理，即直线的倾角、线段的实长、与其直线的投影之间的关系。

答：以线段在某个投影面上的投影为一直角边，以线段的两端点到这个投影面的距离差为另一直角边，作一个直角三角形，此直角三角形的斜边就是所求线段的实长，而且此斜边和投影的夹角，就等于线段对该投影面的倾角。

2.8两直线的相对位置有几种？它们的投影各有什么特点？答：两直线的相对位置关系有平行、相交、交叉。

两直线在空间相互平行，则它们的同面投影也相互平行。

两直线在空间相交，则它们的同面投影也相交，而且交点符合空间点的投影特性。

两直线在空间交叉，则它们的同面投影可以平行或相交，而且交点不符合空间点的投影特性。

画法几何制图-平面的投影及相对位置

分析：线线//，则线面//；过A点做直线AD//BC。
f’
f
可过A点任意作直线AF
例2：过M点作直线MN平行于平面ABC。
n
a
c
b
m
a
b
c
m
n
有无数解
分析:过M点作一条//平面内的任意直线的直线,即得.
正平线
c
●
b
a
m
a
b
c
m
n
唯一解
n
分析:在平面ABC内作一条正平线,MN//此正平线,即得.
例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
2.另两个投影面上的投影有类似性。
γ
β
是什么位置的平面？
投影特征：一斜两类似
2）投影面平行面的投影
V
W
H
水平面
投影特性： 1.abc//OX、 abc//OYW，分别积聚为直线; 2 .水平投影abc反映 ABC实形。
C
A
B
a
b
c
b
a
c
a
b
c
c
a
b
b
b
a
a
椭圆的画法
一节到此
椭圆的近似画法(四心法)：
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
1.CF=CE=OA-OC
O
2.作AF的中垂线,与两轴交得1.2两点，取对称点3.4。
3.分别以1.2.3.4点为圆心，1为半径作弧，拼成近似椭圆。
四、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。
⒈ 直线与平面平行

画法几何及机械制图课件第三章点直线平面的投影

1.一般位置平面
一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行，与三个投影面都倾斜，所以，如用平面形(例如三角形)表示一般位置平面，则它的三个投影均不是实形，但具有类似形。
2.投影面垂直面
只垂直于一个投影面的平面，称为投影面垂直面
根据其所垂直的投影面不同，可以分为三种： 1)铅垂面——垂直于H面； 2)正垂面——垂直于V面； 3)侧垂面——垂直于W面。
在右图中，虽然ab∩cｄ＝k，a′b′∩c′ｄ′＝k′，且k′k⊥OX，但因AB是侧平线，察看侧面投影，a″b″和c″ ｄ″虽然相交，但该交点与 k′的连线与Z轴不垂直，故此两直线不相交。
若只凭V、H两投影来判断，则需看简单比(abk)与 (a′b′k′)是否相等，若相等则相交，不相等则不相交。
3.交叉两直线
若两直线既不平行又不相交，则它们是交叉直线
同面投影可能相交，但交点不符合空间一个点的投影规律。交点是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。
两种特殊情况
1.当两直线有两个投影均互相平行，且又同时平行于第三个投影面时，一般应观察该两直线所平行的那个投影面上的投影来判断两直线是否平行。
（1）X坐标大，在左面, XA<XB,,A在右，B在左；
（2）Y坐标大，在前面， YA>YB,,A在前，B在后；
（3）Z坐标大，在上面， ZA<ZB,,A在上，B在下。
2. 重影点和可见性
当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点
点A、B在对H面的同一条投射线上，它们在H面的投影重合，称为对H面的重影点。而点C、D则称为对V面的重影点。
二、平面对投影面的相对位置及其投影特性