画法几何点、直线与平面的投影

两条直线相交 同名投影相交
交点的投影符合点的投影规律
c
b
a
k
d
c' a'
c a
b' d'
b
d
例题3-11：过点A，作直
线AB，与已知直线CD相
交。
d
'
a '
c'
例题3-12：过点A，作水平线 AB，与已知直线CD相交。
d '
a '
c'
c a
无数解
c
a
d
唯一解
d
例题3-13：过线外一点A，作正平线与CD相交
Z
a ' b' a"
b"
X
O
YW
a

实长
b YH
（2）正平线
Z b'
a'
X
O
a
b
YH
b"
a" YW
（3）侧平线
a' Z a"
X
b' a

b"
O
YW
b
YH
（水平4线）的、投平影行特征线：的投影特征：
（1）在与其平行的投影面上的投影反映实长； （2）该投影与相应投影轴之间的夹角反映直线与另 外两个投影面的倾角； （3）其余的两个投影平行于投影轴，但不反映实 长。
实长且垂直于相应的投影轴。
b
b
a
b
a
a b a b a
a β γ b
a
a
b
b
●
a(b) 小结
二、直线上的点
⒈ 从属性：点的投影在直线的同名投影上。
⒉ 定比性：点分线段之比在投影中不变。 AB:CB=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”
c
b
a
b
c
a
b
cb
ac
c
a
25
b'

a'
X
b
O
a
例题3-7 已知直线AB的水平投影ab，和正面投影a’, 例并题知4 AB对H面的倾角为30°，求AB的正面投影及实 长
b'
a' X
b1'
O
b
a
30º
二、直线上的点
点在直线上，点的投影必在直线的同名投影上
定比性：AC：CB=a 'c ':c 'b '=ac:cb=a"c" :c "b "
d' b' c' e' a'
X
O
d'
D
a
e
cd
d
b
例题5 例题3-8: 在直线AB上找一点K,AK:KB=3:2。
b'
3
2
k' a'
X
O
a
k b
例题3-9: 判定点K是否在直线AB上。
例题6
a'
Z a"
k'
b'
X
a
k
k"
a'
b"
k'
O
YW
b' X
a
b
k
YH
b
例例题题7 3-10: 已知点C在直线AB上，且AC=20, 求C 点的投影。
b
c a
三、两直线的相对位置
a
⒈ 平行
a
同面投影互相平行(注意投影面平行线)。
b
d
c
c bd
c k b
a
d
⒉ 相交
同面投影相交，交点是两直线的 共有点，且符合点的投影特性。
⒊ 交叉
同面投影可能相交，但“交点” 不符合点的投影特性。所谓“交点” 是两直线上一对重影点的投影。
a
d
ck b
ac
b
YH
正平面
V
b
a
b
b
B
b
c
W
A a
c
C
c
a
a
c
c H
b
a
c
ba
投影特性：
1.abc//OX 、 abc //OZ，分别积聚为直线； 2 .正面投影abc反映 ABC实形。
（3）、侧平面
a'
b' c' x a c
b
z a"
b"
c"
o
Yw
YH
侧平面
V
c
b
B
b
a
b
W
a
c
A
a
a
a
bC
c
b
b a
c
Hc
c
投影特性：
1.abc//OYY、 abc //OZ，分别积聚为直线； 2.侧平面投影abc 反映 ABC实形。
平行面的投影特性
Z
f' f"
a'
c' a" c "
b'
b"
X
g'
b
d'
d
e' f
d" 45°
e" g"
45°
YW
a
c
e
g
辅助线
YH
三、两点的相对位置
1.相对位置的判定
a' Z a"
b'
b"
X
O
YW
a
b
YH
2.重影点及其投影的可见性
a' Z a"
b'
b"
c'(d')
X
a(b) O
d
c
YH
d" c" YW 不可见者用括号表示
（3）侧垂面
c'
X
c
Z
a' a"
b'
b"

c"
YW O
a
b
YH
侧垂面
V
S B
b
SW
b
W a
b c β c
α a
c
C
a
A
H
b c
投影特性：
a
1、 abc积聚为一条线， 与OYW 、 OZ 的夹角反映α、β角；
2 、 abc、 abc为 ABC的类似形。
垂直面的投影特性
2.垂直面
（1）正垂面
Z
a'
b'
c'

a" b"
c"
X
O
Y
a
c b
YH
Pv
Pw
Ph
正垂面
V
b
QV
a
A
c
b
c
W B
a
α
b c
a
Q C
H
c a
投影特性：
b
1. abc 积聚为一条线，与OX、 OZ的夹角反映α、 角；
2.abc、abc为 ABC的类似形。
2.垂直面
a"（Y，Z）
X
ax X
（X，Y）a
Z
O
aYw
点的三面投影规律：
YW
a 'a " OZ
Y
aYH
aYHO = aYwO
YH 3.点的投影与坐标的关系
aa ' OX
例题3-2：画出点（15，5，10）的三面投影及空间位置
a'
X a
Z
V
a"
O
YW
YH
a’ A
45°
a"
a
例3-3：根据点的两面投影求第三投影
（2）铅垂面
b'
Z
b"
a' a"
c' c"
X
O
YW
a

b
c
YH
V P
A
投影面垂直面的投影
铅垂面
c
B
a
W
b
a b
H
C PH c
a c
b 投影特性：
1. abc积聚为一条线， 与OX、 OYH的夹角反映、角； 2 .abc、 abc为ABC的类似形；
c a
b
2.垂直面
一、平行
不共面：交叉(垂直）
两条直线平行同名投影平行
b' d'
a' c'
b d
a c
例一：
平行
a' c'
a" c"
b' d' d"
b"
ad
例二：
b
c
a' b'
a"
b"
c'
d'
a c
db
c"
d" ❖当两条直线为某一
投影面的平行线时，
必须在该投影面内判
断两条直线是否平行
二、相交
b'
c' k'
d'
a'
X
O
YW
ab YH
（4）、垂直线的投影特征：
（1）直线在与其垂直的投影面上的投影积聚 为一点； （2）其余的两个投影垂直于相应的投影轴，且 反映实长。
例例题题32 -5 根据投影图判断下列直线的空间位置
a'
Z
Z
a"
a'
b' a"
b"
b'
X
O
a（b）
a'
YZH a"
b" YWX a
a'
O
b b'YZH
⒈ 一般位置直线（三斜无实长）三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线（一斜两平行）水平线、正平线、侧平线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的
夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。
⒊ 投影面垂直线（一点两垂直）铅垂线、正垂线、侧垂线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映
第三章 点、线、平面的投影
§3-1 点
一、点的两面投影
a'
V
a'
证明
X
ax
投影规律：
aa ' OX
a
aax=Aa ' a 'ax=Aa
O X
A
ax
AA12
O
a
点的投影
例题3-1：根据投影图判断点在空间的位置
b'
V
B
X
a'
b
c' c
O
C
a A
二、点的三面投影
1.三面投影体系
2.点的三面投影 Z
（X，Z） a '
1 在与平面垂直的投影面上，其投影积聚成一条直线。该
直线与投影轴的夹角，反映平面与另两个投影面的夹角。
2 在与倾斜的投影面上的投影为类似形。
Z
a' b' c'
a" b"
c"
X
aO
c b
YH
正垂面
b'
Z b"
a'
a"
c' c"
XYW
a
O
b
c
YH
铅垂面
Z
a'
a"
b' b"
c'
c"
X YW
a'
c'
d'
b'
c
b a
c b
a
相交垂直
d
交叉垂直
d
判断垂直
b' c'
a' d'
c b
a d
c'
a'
b'
d' c
a
b
d
例题3-17：求两直线AB与CD之间的距离。
公垂线
b'
c'
e'
f'
a'
d'
X
ຫໍສະໝຸດ Baidu
O
b e
(f) （d） c a
例题3-18：已知矩形ABCD的一边AB 平 行于H面，完成该矩形的两面投影。
。
d'
a'
c' d
a c
例题3-14：从F点作直线，使其与AB、CD均相交
f' a'
b' k'
c'(d') (e')
a f
d e
k
b
c
例题3-15：已知两平行线AB、CD，求作于其相交 的水平线MN，使其距H面的距离为15。
m' a'
b' c'
d' n'
15
a m
c b
n d
一、各种位置直线的投影特性(三大类七种位置直线)
20
b'
c' a'
X
O
a c b
课后思考题
1、判断AB线的空间位置
Z
Z
a'
a"
b' b"
X
(a')b' a " O
b" YW
X
a
bO
YW
a
b
YH
YH
课后思考题
2、请指出立体上棱线的空间位置，并画出相应的 投影。
B
F J M
C A
N E
I L
D
H K O
思考练习题
请指出立体棱线的空间位置,并找出其相应的投影
证明：
ABBC, BCBb BC 平面ABab
bc//BC
bc 平面ABab
bcab₾
b' c'
d'
a'
c b a
d
逆定理也成立：如果两直线在某一投影面上的投影 互相垂直，而其中有一条直线平行于该投影面，那 么这两条直线在空间一定垂直。
垂直的两种情况：
b' c'
d'
a'
a
O
b
c
YH
侧垂面
类似性
b
b
类似性
是什么位置
的平面？
a
积聚性
γ
a
c c
βc b
a
铅垂面
投影特性：
1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影 轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 2.另两个投影面上的投影有类似性。
投影特征：一斜两类似
3、平行面
（1）水平面
z a' b' c' b" a" c"
x
Y
b
0
a c
YH
投影面平行面的投影
水平面
V
a
a
b c
b
AB
a
cW
C
b
a
a
b c
b
c H
投影特性：
c
1.abc//OX、 abc//OYW，分别积聚为直线;
2 .水平投影abc反映 ABC实形。
b a c
（2）正平面
a'
c' x
z b'
o
a"
b" c"
Yw
b' a' (c') d' b"(c") a"(d")
i'(j') f' e'
jf b a
e i
(h') k' j"(f") e"(h") i("k")
o'
(o")
c
d h
k(o)
B
F J M
C
A G N
E I
L
D
HK O
§3-3 两条直线的相对位置关系
两条直线的相对位置 共面: 平行、相交（垂直）
§3-2直线的投影
a' Z a"
b'
b"
X
O
YW
a
b
YH 直线的投影可由直线上任意两点的投影决定
一、各种位置直线的投影
1. 直线的倾角： 对水平投影面的夹角—— 对正投影面的夹角—— 对侧投影面的夹角——
1 投影面的平行线
2 投影面的垂直线
3 一般位置线
1、 投影面的平行线
（1）水平线
b'
c'
X
aO
b
c YH
a' Z a"
b'
c'
X
aO
b
c" b"
YW
c YH
c" b"
YW
a' Z a"
b'
c'
X
aO
b
c YH
c" b"
YW
a' Z a"
b'
c'
X
aO
c" b"
YW
b
c YH
b
c YH
2 迹线表示法 迹线——平面与投影面的交线
Pv Pw
PH
二、各种位置平面
1平面的倾角
与H面夹角—— 与V面夹角—— 与W面夹角——
例题1 例题3-4：过点A向右上方作一正平线AB,使其 实长为25，与H面的倾角=30°。
Z
b'
b"
a' 30°
a"
X
O
YW
b a
YH
2、投影面的垂直线
(1)铅垂线
a'
Z
b'
X
O
a （b） YH
a"
b" YW
(2)正垂线
a' （b'）Z b"
a"
X b
O
YW
a
YH
(3)侧垂线 Z
a' b'
a"（b"）
b c 1 3(4)
2
d
a
X
4
b
c
3
a
1(2)
d
三、交叉
交叉直线的特征: •即不平行也不相交
d' b' e'
a'
f'
c'
c
b
e(f)
a
d
判定可见性
例题3-16：判定重影点的可见性。
c'
g' f '(e')
b'
h'
a' d'
c
e
b
a
f g(h)
d

四、垂直
定理：互相垂直的两直线，当其中有一条直线平行 于投影面时，两直线在该投影面上的投影反映直角。
a' Z a"
b'
b"
X
O
YW
a
b
YH
求直线对投影面的倾角及线段的实长
实长
a' Z

by'
实长
a"

x
b"
X
O
YW
a

b
z
实长
YH
直角三角形法： 两直角边、斜边、锐角
Za- Zb
A0
例例题题3 3-6 已知直线AB的正面投影和点A的水平投影a, 并知AB=25,求AB 的水平投影ab及AB对V面的倾角 。
d' c'
a'
b'
a
c
b
d
§3-4 平面的投影
B
F J M
C A
N E
I L
D
H K O
一、平面表示法
1、几何元素表示法
a'
不在同一直线上的三个点， 唯一地确定了一个平面
Z
a"
b'
c'
X
O
a
c" b"
YW
b
c YH
几何元素表示平面的方法
a' Z a"
a' Z a"
b'
c'
X
aO
c" b"
YW
YW a"（b"）
X
b' a
O
b
YH
b" YW
X
O
YW
ab YH
讨论
1、在垂直线投影图上能否量得 、和 ？
2、既然垂直线也平行于投影面，能否称它 为平行线呢？
a'
Z
Z
a"
a'
b' a"
b"
b' X
b"
O
YWX
a
O
YW
a（b）
b
YH
YH
3 一般位置线
3、一般位置线的投影特征：
（1）三个投影均不反映实长； （2）三个投影均不反映直线与投影面的倾角。