第3章 工程制图点、直线、平面的投影

⒊ 两直线交叉
a c'
1(2
)
3 ●
●
●4
c a
2
●
●
●
1
3(4 )
d
两投为直影什线么特相？交性吗：？
b ★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间
b 一个点的投影规律。
d ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影，
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， 用其可帮助判断两直线 Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。 的空间位置。
例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
①
b
k●
c
②
b d
●k
c
a x
a
●
k
b
c
利用平面的积聚性求解
x a' a
b d
●k
c 通过在面内作辅助线求解
例：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。
解法一
b
解法二 b
a
k
c a
c
x
d
d
x d
d
a
k
ca
X
O
d
a
e
b
c
例题3.例4题.4四：过点C作一平面平行于直线AB。
b'
c'
a'
X
O
a
c b 平行于一条直线的平面可以有无数个
二. 直线与平面相交、平面与平面相交
（一） 直线与平面相交
1、共有点：既 属于直线又属 于平面
2、可见性： 重影点
例 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
⑴ 平面为特殊位置
第3章 点、直线、平面的投影 概述
§3.1 点的投影
一、点的两面投影
a'
V
a'
证明
X
ax
投影规律：
aa ' OX
a
aax=Aa ' a 'ax=Aa
OX
A
ax
AA12 O
a
点的投影
例题3-1：根据投影图判断点在空间的位置
b'
V
B
X
a'
b
c' c
O
C
a A
二、点的三面投影
1.三面投影体系
2.点的三面投影
例：判断图中两条直线是否平行。
① b
d
对于一般位置直
a c
x
线，只要有两个同名 投影互相平行，空间
a
c
两直线就平行。
bd
AB//CD
例：判断图中两条直线是否平行。
②
c
a d
b
c a 对于特殊位置直线， 只有两个同名投影互
b d 相平行，空间直线不
c b
一定平行。
da
求出侧面投影后可知：
方法一：利用积聚性求交点
c 'b '
e'
k' d'
X
a'
O
d
ek (a) b
c 当相交的两个元素中有一个是特殊位 置时，从有积聚性的投影下手解题
(3)直线为特殊位置
b m
空间及投影分析 直线MN为铅垂线，其
k●
水平投影积聚成一个点，
c
b
b
3.4 直线与平面及平面与平面的位置关系
一、 直线与平面、平面与平面平行
1. 直线与平面相互平行
如果一条直线 平行于平面内 的任意一条直 线，则该直线 与该平面互相 平行。
1 、直线与平面平行
几何条件：一直线只须平行 于平面上一直线，直线则平
P
行于该平面。
2 、两平面相互平行
几何条件：一平面内的两相交
例题：在平面内画出水平线、正平线和侧平线
c' a'
b' b
a
c
在平面上可以画出许多条正平线，但方向是一致的。
一般位置平面内平行线的空间 形态
一般位置平面内 投影面的平行线 的空间形态
例：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平 面内任作一条直线。
根据方法一
根据方法二
解法一
解法二
d
b
b
m
n c
Z （X，Z） a '
a（" Y，Z）
X
ax X
a
(X, Y)
Z
O
aYw
点的三面投影规律：
YW
a 'a " OZ
Y
aYH
aYHO = aYwO
YH 3.点的投影与坐标的关系
aa ' OX
例题3-2：画出点（15，5，10）的三面投影及空间位置
a'
X a
Z
V
a"
O
YW
a’ A
45°
a"
a
YH
例3-3：根据点的两面投影求第三投影
返1回7
三、直线上的点
◆ 若点在直线上, 则点 V
的投影必在直线的同名投 影上。并将线段的同名投 a 影分割成与空间相同的比 X 例。即：
AC/CB=ac/cb= ac / cb
◆若点的投影有一个不 在直线的同名投影上， 则 该点必不在此直线上。
b
c
B
C A
ac
o
b H
定比定理
例题
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
⑵ 投影面垂直线
铅垂线
a
a
正垂线
c(d) d c ●
b
b
d
●
a(b)
c
侧垂线
e f e(f) ●
ef
投影特性:
① 在其垂直的投影面上， 投影有积聚性。
② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直于相 应的投影轴。
二、 一般位置直线的实长及对投影面的倾角
c
x a
a
ox
o
mb a
b d
a
nc
c
有有无多少数解解？。
例：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距 离为10mm。
10
a
m
x b
b m a
有多少解？
n
c 唯一解！
o
c n
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作 为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
Z
f' f"
a'
c' a" c "
b'
b"
X
g'
b
d'
d
e' f
d" 45°
e" g"
45°
YW
a
c
e
g
辅助线
YH
三、两点的相对位置
1.相对位置的判定
a' Z a"
b'
b"
X
O
YW
a
b
YH
2.重影点及其投影的可见性
a' Z a"
b'
b"
c'(d')
X
a(b) O
d
c
YH
d" c" YW 不可见者用括号表示
B
A b
a
b a
证明：设因直角边BC//H面
C
BC⊥AB
BC⊥Bb BC∥bc
所以 BC⊥ABba平面
c
H
故 bc ⊥ABba平面
c
因此 bc⊥ab
即 ∠abc为直角
.b
a
c
直线在H面上的 投影互相垂直
交叉垂直的两直线的投影
AB垂直于MN,且AB平行于H面,则有ab mn
例 过点A作EF线段的垂线AB b′ f′
c a c b
a
实形性
c
水平面
b
投影特性：
在平面所平行的投影面上的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 投影轴平行的直线段。
三、 平面上的直线和点
（一） 平面上的点和直线
判断直线在平面 内的方法
判断方法一： 若一直线过平面上 的两点，则此直线
必在该平面内。
判断方法二：
若一直线过平面上的一 点，且平行于该平面上 的另一直线，则此直线 在该平面内。
例题：已知平面ABC内的点D的正面投影， 求其水平投影。
c' a'
d'
b' b
d
c
a
例题：判定点K、E点是否在平面ABC内。
c'
a'
不在！
e'
k' b'
b
k
e
a
c 在！
平面是可以无限延伸的
例题： 完成平面ABCD的投影。
a' d'
c' b'
d
a
o
c
b
（二） 平面上的投影面平行线
特点：
1 在平面上 2 具有平行线的 投影特征
●
x o
●
d
a●
c a●
●
● b x ● b o a●
c
●
● b ●b
o
●c
● c
● c
●c
●c
不在同一 直线及 两平行直 两相交 平面
直线上的 线外一 线
直线
图形
三个点 点
2、 迹线表示法
指平面与投影面的交线
PV
P
PH QV
Q QH
PV
PH QV
QH
33
二、 各种位置的平面
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面

ab
b′ AB
| ZA-B |

ab o
b | ZA-B |
AB
15
求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
V
b′
B
AB b′
a′

x B1 A
| YA-B | a
o b
AB a' b'
| YA-B |
a′
x
o
a' b'

b
AB a | YA-B |
| YA-B |
返1回6
求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
ab=ABcosα
一、 各种位置的直线
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线
侧平线（平行于Ｗ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
水平线（平行于Ｈ面）
统称特殊位置直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
上，直线的投影平行于平面 的积聚性投影。
2. 平面与平面平行 在平面所垂直的投影面
上，两平面的积聚性投 影相 互平行。
A M Na
m(n)
C DF
cd
E
B fe
b
直线与平面平行
C
A
D
F
H
cd
E
ah
B fe
b
平面与平面平行
例题3.4.3：判定直线AB源自文库与平面ECD是否平 行。
例题三
b'
d'
a'
c'
e'
① a
x
a
判断点C是否在线段AB上。
b c
② a
c●
b
c
bo
x
ac
o
b
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
例题 判断点K是否在线段AB上。
a
a
k● b
x
a k●
●k b
因k不在ab上， 故点K不在AB上。
b
另一判断法? 应用定比定理
四、 两直线间的相对位置关系
空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉
直线分别与另一平面内的两相 P
T
交 直线平行。
例题3.4.1：过点A作一水平线AB,使其与平面 ECD例平题行一。
c'
a'
b 'e '
d'
X
O
c
a
be
d
例题3.4.2：判定直线AB与平面ECD是否平 行。例题二
b' c'
a'
e'
d'
X
O
d
e
a
c
b
特殊情况----平行
1.直线与平面平行 在平面所垂直的投影面
b
n
空间及投影分析 平面ABC是一铅垂面，
k
a
1(2) ●
●
x m
其水平投影积聚成一条直 线，该直线与mn的交点即 c 为K点的水平投影。
作图
m ●2
① 求交点 c ② 判别可见性
●
a
●
1
b
k
由水平投影可知，KN n 段在平面前，故正面投
影上kn为可见。
还可通过重影点判别可见性。
⑵ 直线为特殊位置
b m
空间及投影分析 直线MN为铅垂线，其
k●
水平投影积聚成一个点，
a
c ●1(2)
故交点K的水平投影也积聚
n
在该点上。
x b
作图
a
mk(●●n2) ● 1
① 求交点
用面上取点法
c
② 判别可见性
点Ⅰ位于平面上，在
前；点Ⅱ位于MN上，在
后。故k 2为不可见。
⑵ 直线为特殊位置
e′
x
e
b
a′ o
a f
例 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。
b′
f′
e′
c′
x eb
a′ d′
o ad
f c
§3.3 平 面 的 投 影
一、 平面的表示方法
1、几何元素表示法：
c
●
c
●
a●
a●
a●
x
●b x ●b x
●b o
●b o
a●
a●
a●
c
●
● b ●b
d a●
与三个投影面都倾斜的直线
⑴ 投影面平行线
水平线
正平线
a b a b 实长 a
a
b α γ
b
侧平线
a
a 实长
β
b
α b
a β γ
b
实长
a
ba
b
与H面的夹角:α 与V面的角:β 与W面的夹角: γ
投 影 特 性：
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
并反映直线与另两投影面倾角的实形。
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
正垂面
投影面垂直面 侧垂面
铅垂面
特殊位置平面
正平面
投影面平行面 侧平面
水平面
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
1、 一般位置面
在三个投影面上的投影都是类似形，不直接反映与 投影面的夹角。
Z
a'
a"
b'
c'
X
O
a
b
c YH
c" b"
Y
2 投影面垂直面
类为似什么性？
如何判断？
求出侧面投影 AB与CD不平行。
例：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c●
k
d
a
x
o
a
d
k c●
b
先作正面投影
思考：如果给出CD的长度，解题 过程有何变化？
4. 两直线垂直（直角投影定理）
定理：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投 影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。
是什么位置
的平面？ a
b
b
类似性
c c
a
积聚性
βc
b
aγ
投影特性：
铅垂面
在平面垂直的投影面上的投影积聚成
直线段。该直线段与投影轴的夹角反映空 间平面与另外两投影面夹角的大小实形。
另外两个投影面上的投影是类似形。
铅垂面迹线表示法
P PH

PH

37
3. 投影面平行面
积聚性
a b
积聚性
§3.2 直线的投影
确定：将两点的同面投影用直线连
接，就得到直线的同名投影。
X
直线与投影面的相对位置
a●
Z ●a
b
●
● b
O
Yw
a● b● YH
A●
M● B●
●
a≡b≡m
B
●
A●
●b a●
●B
α A●
●b a●
直线垂直于投影面 直线平行于投影面
投影重合为一点 投影反映线段实长
积聚性
ab=AB
换面法：
原则： 1 有利于解题 2 新投影面垂 直与原有的一 个投影面
旋转法：
V
a'
ax
b'
b1 '
k 'B
a1 '
V1
c’ K
bx A
c1 '
C bx1
ax1 cx1
b
X
k
Ha
c
求直线的实长及对水平投影面的夹角角
V
a' x
b′ B
| ZA-B | a'
A1 o
A
b
a
x a
AB | ZA-B |
⒈ 两直线平行
b a
A
V d
B c
C
D
a c
b
dH
投影特性：
空间两直线平 行，则其各同名投 影必相互平行，反 之亦然。
⒉ 两直线相交
V c
a A a
b k
C d
B
KD
d
交点是两直 线的共有点
b c k
a
d
k c
判别方法：
b H
a
d
ck
b
若空间两直线相交，则其同名投影必
相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。