第二章 点直线平面的投影(换面法)

.
a1 ′
X
a H
H ● X1 V1 a1 ′ X1
●
b1 ′ a2≡b2
X2轴的位置？ 轴的位置？
与a1 ′ b1 ′垂直
11
例1 已知等腰三角 形ABC的底边 的底边 为AB，试用 ， 换面法求出等 腰三角形ABC 腰三角形 的正面投影。 的正面投影。
c'
b'
V X H
a'
c
e e1´
b
b1'
AD C B a≡b≡d ≡ ≡ P X V H
b′ ′
a′ ′
d′ ′ b 距离 b1 ′. a2≡b2≡d2 c2
c a
.
d
. a1 ′ d1 ′
H X1 V 1
c
如何确定d 如何确定 1 c1 ′ 点的位置？ 点的位置？ 过c1 ′作线平行于x2轴。
V1 H2 X2
21
例5：已知两交叉直线 和CD的公垂线的长度 为MN， ：已知两交叉直线AB和 的公垂线的长度 ， N 为水平线， 的投影。 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M 为水平线 及 的投影
3
三、点的投影变换规律 ⒈ 更换一次投影面 ⑴ 新投影体系的建立
V
a′ ′
V X H
a′ ′
A
a 1′
V1
ax
.
a1 ′ ax1
V1 H X1
ax
X
ax1 a
H X1
a
V X— 旧投影体系 H A点的两个投影：a， a′ 点的两个投影： ， 点的两个投影
V1 新投影体系 X1 — H A点的两个投影：a，a1 ′ 点的两个投影： ， 点的两个投影
7
⑵ 求新投影的作图方法
a′ ′
作图规律
ax
V X H
a2a1 ′ ⊥ X2 轴 a2ax2 = aax1
a2
a ax1 H X1 V1
.
ax2 . a1 ′ H2 V1 X 2
8
四、换面法的六个基本问题 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
的实长及与H面的夹角 例：求直线AB的实长及与 面的夹角。 求直线 的实长及与 面的夹角。
投影体系中， 用 面代替V面 投影体系中 空间分析： V1面代替 面，在V1/H投影体系中，AB//V1。 b′ ′ 作图： 作图： a′′ V1 a′ ′ a1 ′
V
b′ ′ a
A
X
V
B
b1
H
b a
X1 H V1
.
H
b
a1 ′
●
α
b1 ′
●
换H面行吗？ 不行！ 面行吗？ 不行！ 面行吗
新投影轴的位置？ 新投影轴的位置？
V c' b1' b' C B b a H c
16
A
c1' X1
展开图
6. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析： 空间分析：
需经几次变换？ 需经几次变换？ 一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 一次换面 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。 二次换面，再变换成新投影面的平行面。 AB是水平 是水平 c′ ′ 作 图： 线 a2 ● a′ ′ b′ ′
13
两平面垂直需满足什么条件？ 两平面垂直需满足什么条件？ 空间分析： 空间分析： 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 一般位置直线变换成投影 面垂直线，需经几次变换？ 面垂直线，需经几次变换？ 能否只进行一次变换？ 能否只进行一次变换？ V a′ ′
4
⑵
新旧投影之间的关系
a′ ′ ax a1 ′
V X H
a′ ′ a1 ′
.
V
A
V1
ax ax1
V1 H X1
ax1 a
H X1
a
X
一般规律： 一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线， 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴。 于新投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。 到原投影轴的距离。
5
aa1 ′ ⊥ X1 a1 ′ ax1 = a′ax ′
⑶ 求新投影的作图方法
更换V面 更换 面
a′ ′ V X H a ax ax1
. ●
更换H面 更换 面
a1 ′ XV H a a′ ′
X1H 1 V
.
a1 ax1
ax
H
V1
X1
作图规律： 作图规律： 由点的不变投影向新投影轴作垂线 垂线， 由点的不变投影向新投影轴作垂线， 并在垂线上量取一段距离， 并在垂线上量取一段距离，使这段距离等 于被代替的投影到原投影轴的距离。 于被代替的投影到原投影轴的距离。
1
被替换 的投影
被替换 的投影面
新投影
V
老轴
a' B
b1'
新投影面
b' X
老投影体系 被保留 V/H 的投影
b A H
被保留 的投影面
V1
a1'
a
新轴
α X1
新投影体系 V1/H
2
二、新投影面的选择原则
a′ ′
V V1
A B a
H
a1 b1
b′ ′
平行于新的投影面 垂直于新的投影面
b
1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解 新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。 题位置。 2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面， 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面， 垂直于某一保留的原投影面 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
一般位置直线变换为垂直线
3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线； 空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线；
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2
作图： 作图：
b′ ′
X V H
V
b′ H2 ′ a′ ′
a2≡b2 B A b
ax2 b1 ′
V1
a′ ′ b a
19
（2） 点与平面之间 ） 将平面变换成投影面垂直面。 将平面变换成投影面垂直面。 （3） 两平行线之间 ） 将两直线变换成投影面垂直线。 将两直线变换成投影面垂直线。 （4） 两平行平面之间 ） 将两平面变换成投影面垂直面。 将两平面变换成投影面垂直面。 5 、求夹角 （1）两直线之间 ） 将两直线组成的平面变换成投影面平行面。 将两直线组成的平面变换成投影面平行面。 （2） 两平面之间 ） 将两平面变换成投影面的垂直面， 将两平面变换成投影面的垂直面，即应将 两平面的交线变换成投影面的垂直线。 两平面的交线变换成投影面的垂直线。 20
点直线平面的投影（换面法） 第二章 点直线平面的投影（换面法） 一、问题的提出
如何求一般位置直线的实长？ ★ 如何求一般位置直线的实长？ 如何求一般位置平面的真实大小？ ★ 如何求一般位置平面的真实大小？ 解决方法：更换投影面。 解决方法：更换投影面。 换 面 法： 物体本身在空间的位置不动， 物体本身在空间的位置不动，而用某 一新投影面（辅助投影面） 一新投影面（辅助投影面）代替原有投影 面，使物体相对新的投影面处于解题所需 要的有利位置， 要的有利位置，然后将物体向新投影面进 行投射。 行投射。
作图： 作图：
● c′ ′
n′ ′ ●
●
●
d′ ′
空间及投影分析： 空间及投影分析：
当直线AB垂直于投影 当直线 垂直于投影 面时， 平行于投影面， 面时，MN平行于投影面， 平行于投影面 这时它的投影m1n1=MN,且 这时它的投影 且 m1n1⊥c1d1。 A
C N M D
a′ ′ XV H a c
X V H
a
●
d● c
b
b2●
. .
d2
●
60° °
●
D点的投影 点的投影 如何返回？ 如何返回？ c2 如何解？ 如何解？
a1≡b1
● ●
解法相同！ 解法相同！ 思考： 思考： 已知点C是等边三角形的顶点 另两个顶点在直线AB上 是等边三角形的顶点， 已知点 是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线 上， 23 求等边三角形的投影。 求等边三角形的投影。
都平行于投影面时， 空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影 与 都平行于投影面时 的夹角才反映实角（ °），因此需将 因此需将AB与 点所确定的 的夹角才反映实角（60°），因此需将 与C点所确定的 平面变换成投影面平行面。 平面变换成投影面平行面。 ′ ● 作 图： c′ 几个解？ 几个解？ 两个解！ 两个解！ a ● 2 a′ ′ ′ d′ b′ ′
到直线AB的距离 例4：求点 到直线 的距离，并求垂足 。 ：求点C到直线 的距离，并求垂足D。 空间及投影分析： 空间及投影分析： 作图: 作图
点到直线AB的距离 求C点到直线 的距离， c′ 点到直线 的距离， ′ 就是求垂线CD的实长 的实长。 就是求垂线 的实长。 如下图：当直线 如下图：当直线AB 垂直于投影面时， 平 垂直于投影面时，CD平 行于投影面， 行于投影面，其投影反映 实长。 实长。
e1 d1 e' V XH e d' c
c' a' b' a d
18
b
五、换面法的应用
1 、求直线实长和与投影面的倾角 将直线变换成投影面的平行线。 将直线变换成投影面的平行线。 2 、求平面实形和形心 将平面变换成投影面的平行面。 将平面变换成投影面的平行面。 3、 求平面与投影面的倾角 、 将平面变换成投影面的垂直面。 将平面变换成投影面的垂直面。 4、 求距离 、 （1）点与直线之间 ） a 将直线变换成投影面垂直线。 将直线变换成投影面垂直线。 b 将点与直线组成的平面变换成投影 面的 平行面。 平行面。
● ●
α c1 ′
●
反映平面对哪 个投影面的夹角？ 个投影面的夹角？
15
5 . 将投影面的垂直面变成投影面的平行面 功用： 功用： 一次换面后可求解 平面实形、形心、 平面实形、形心、 a1' V1 a' 两直线交角等 问题的关 键： 新投影轴 必须平行于 必须平行于 该平面的积 聚性投影。 聚性投影。
6
⒉ 更换两次投影面
⑴ 新投影体系的建立
X2
V
H2
a2 A
按次序更换 V1
ax2
a′ ′ ax
a1 ′ ax1
X
a
H
X1
V X1 —1 先把V面换成平面 面换成平面V 先把 面换成平面 1， V1⊥H，得到中间新投影体系 ，得到中间新投影体系: H V1 X2 — 再把H面换成平面 面换成平面H 得到新投影体系: 再把 面换成平面 2， H2⊥ V1，得到新投影体系 H2
正平线！ 正平线！
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例2：把三角形 ： 三角形ABC变换成投影面垂直面。 变 成投影面垂直面。
a′ ′
V X H a b c H X1 V1 d
.
b′ ′
d′
c′ ′
作 图 过 程： ★ 在平面内取一条水平 线AD。 。 ★ 将AD变换成新投影 变换成新投影 面的垂直线。 面的垂直线。
a1 ′ ≡d1 ′ b1 ′
A X B
c′ ′
C
V1 c1 ′ a1 ′ ≡d1 ′ b1 ′
X1
作图方法： 作图方法：
在平面内取一条投 在平面内取一条投 影面平行线， 影面平行线，经一次换 面后变换成新投影面的 垂直线， 垂直线，则该平面变成 新投影面的垂直面。 新投影面的垂直面。
d′ ′ bΧ Χ
D
c d
a
b H
思考：若变换 面 思考：若变换H面，需 在面内取什么位置直线？ 在面内取什么位置直线？
m′ ′
b′ ′
● ●
m
n
dHale Waihona Puke Baidub
d1 ′
.
a1 ′ ≡b1 ′ ≡m1 ′ ●
●
●
V1
c1 ′
B a1 ′ m1 ′ b1 ′ n1 ′
d1 ′
.
n1 ′
请注意各点的投 H V 1 影如何返回？ 影如何返回？ X1 求m点是难点。 点是难点。 点是难点
c1 ′
●
圆半径=MN 圆半径
22
点作直线CD与 相交成 相交成60º角 例6: 过C点作直线 与AB相交成 角。 点作直线
平行。 与ab平行。
9
2 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线 功用:一次换面后可用于求点与直线 一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距 功用 一次换面后可用于求点与直线 两直线间的距 问题的关键： 离等。 离等。问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个 投影。 投影。 a1 ( b1) X1 H1 V b' b' a1 • (b1) a' a' B V X X A b H a b H a 10
a
a1' c1'
12
4. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
功用：可求解平面与投影面的倾角， 功用：可求解平面与投影面的倾角， 点与平面的距离， 点与平面的距离， 两平行面间的距离等。 两平行面间的距离等。 问题的关键：在平面上作一条投影面平行线， 问题的关键：在平面上作一条投影面平行线， 平行线 新轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。 必须垂直与该平行线反映实长的那个投影 新轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。
X V H
a c
b2● b .a1 ′ ≡b1. ′
●
●
c2
平面的实形
H V1 X1
c1 ′
●
X2轴的位置？ 与其平行 的位置？
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已知直线AB与 平面平行， 例 3 已知直线 与∆CDE平面平行，且相距 平面平行 且相距20mm， ， a1 求直线AB的 求直线 的 b1 水平投影。 水平投影。 c1