投影变换

这两件生活中事例，实质反映了平面上 的点在某一直线上的投影，
设l是平面上的一条直线，对平面上的 任意一点Ｐ，过Ｐ作ＰＰ’垂直于直线
l，与 l相交于Ｐ’，则Ｐ’称为Ｐ 在l上的投影
Baidu Nhomakorabea
平面上每个点Ｐ变到它在L上的投影的 变换称为平面到直线L上的投影变换.
方案1:以直线为x轴,建立直角坐标系,
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则投 影后的点坐标为(x,0).
（3）正方形 OABC,其中 O(0,0),A(2,1),C(-1,2)
用两种方法解决。
从刚例题可以看出我们不能逆求，为什么 不能逆求呢？从图上可以看出有很多点投
影到直线 l 后为 P ' 也就是 P ' 是很多点的像，当然就无法逆回
去了，它根本不知道是谁的像。这种变换 也是没有逆变换的，我们把这种变换叫不 可逆变换，所以不是每个变换都有逆变换 的.
相应的变换称做投影变换
设 平 面 上 的 任 一 点 的 坐 标 为 (x,y), 则 投 影 后 的 点 坐 标 为 (0,y). 故 所 求 矩 阵 为 ______________________
当直线 l 为直线 Ax By 0 时，求此时
投影到 Ax By 0 的变换矩阵，
0
2
d

，
且
c 2
c 2
2 ad bc 2
0

b d

1 2
2b d 0 a 1
（Ⅰ）求实数 a,b, c, d 的值；（Ⅱ）求直线 y 3x 在
矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程。
例：抛物线 y x2 到直线 x＝1 上的投影
练习：（1）圆 x2 y2 1在 y 轴上的投影为
（2）直线
x+y=5
在矩阵
1 2
1 2
对应的变换作用下
变成了什么图形？
（3）直线 x+y=5 在矩阵 1

2 1
2
1 对应的变换作用下变
2 1

2
成了什么图形？
作业：（1）直线
x+2y=5
在矩阵
问题 1.中午，你手上拿上一棍子，棍子在 地面的投影可能是什么东西？
问题 2.如图 l' 在 l 上的投影是什么图形？
图2垃圾推到边界线 图1树在正午的阳光下形成影子
生活感知
中午的太阳光下,一排排的树木的影子会投影到 各自的树根.
排球中场休息时,工作人员用平地拖把拖 扫比赛场地.要求同时同向推动拖把,把 垃圾推到边界线停止.
要是平面上的变换 T 有逆变换，必须满足 两个条件：
（1）平面上不同的点被 T 变到不同的点 （2） T 将平面变到整个平面。也就说， 平面上的每一个点 Q 都是平面上某一点 P 的像。
10 年福建高考题
已知矩阵
M=
1

b
MN


2 2
0 0

，
a
1

，
c
N


能写出矩阵吗？
y P(x,y)
关于x轴投影变换矩阵
1 0
o
0 0
P/(x,0) x
方案2:以直线为y轴,建立直角坐标系,
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则投 影后的点坐标为(0,y).
y
故所求矩阵为
0 0
0 1
P(x,y) P/(0, y)
ox
像以上这类将平面内图形投影到某条直线上 的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,
投影到 Ax By 0 的变换矩阵为

B2
M＝

A2

B2

AB
A2 B2
AB
A2

B2

A2

A2 B2
例：变换 T 把平面上所有点到直线 y＝x 上 的投影。求下列图形在变换 T 作用下的像。
(1)直线 l1 ：y＝2x，（2）直线 l2 ：y＝－x，
1 3
1 3
对应的变换
作用下变成了什么图形？
1
（3）直线 x－y=5 在矩阵
2

1 2
作用下变成了什么图形？

1 2

对应的变换
1
2
为______________，
怎么判定一个变换矩阵是可逆的？
a b

c
d

中
ad-bc=0
则为不可逆的。
1 0 1 0
0 0 1 1
1 21
1 2 1

2 2
例：直线
x－y=3
在矩阵
0 1
0 1
对应的变
换作用下变成了什么图形？
1
直线 y=－ x+2 呢？
2
例.直线
x+y=5
在矩阵
1 0
1 0
对应的变换
作用下变成了什么图形？
如果 x+y=8 答案又是什么呢
总结： 1.当直接是说关于某条直线投影变换时我们可以直 接用观察法求其变换后图像， 2.当只给我们矩阵时，我们就只能用坐标关系式来 求了。用关系式求时右边化为同一个 x 或 y 求 x’,y’关系式.