投影变换
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画法几何及工程制图第3章投影变换
a
X
V H
a
b1 a1e1
b
β1
e
c
b e
c1
V面倾角
c
变换H面（求β1）
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-垂直面变换为平行面
5. 将投影面垂直面变换成投影面平行面
a
X
V H
a
a1
b c
Why X1轴这么选？
b
c
c1
实形
b1
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为平行面
目标：将一般位置的直线和平面转换为特殊位
置的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有 利于求解的特殊位置。
1. 将投影面倾斜线变换成投影面平行线
2. 将投影面平行线变换成投影面垂直线
3. 将投影面倾斜线变换成投影面垂直线
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
5. 将投影面垂直面变换成投影面平行面
6. 将投影面倾斜面变换成投影面平行面
m1
m2 a2 b2
d2
Why？
械20§工20程/310学./22院4 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例4]求变形接头两侧面ABCD和ABFE之间的夹角。
分析
当两平面的交线垂直于投影面时，两平面 在该投影面上的投影为两相交直线，它们的夹 角即反映两平面间的夹角。
械20§工20程/310学./22院4 变换投影面法-六个基本问题-例子
线）和度量问题（实长、实形和倾角）。
实形
a c
c
实长
k
l
b
e a
a X
a
c
b k
投影变换
投影变换投影变换就是要确定一个取景体积，其作用有两个：1). 确定物体投影到屏幕的方式，即是透视投影还是正交投影。
2). 确定从图象上裁剪掉哪些物体或物体的某些部分。
投影变换包括透视投影和正交投影（平行投影）。
●透视投影透视投影的示意图如下，其取景体积是一个截头锥体，在这个体积内的物体投影到锥的顶点，用glFrustum()函数定义这个截头锥体，这个取景体积可以是不对称的，计算透视投影矩阵M，并乘以当前矩阵C，使C=CM。
void glFrustum(GLdouble left,GLdouble right,GLdouble bottom,GLdouble top,GLdouble near,GLdouble far);该函数以透视矩阵乘当前矩阵left, right 指定左右垂直裁剪面的坐标。
bottom,top 指定底和顶水平裁剪面的坐标。
near,far 指定近和远深度裁剪面的距离，两个距离一定是正的。
程序函数gluPerspective()可以创建一个与调用glFrustum()所得到的同样形状的视图体，它创建的是一个沿视线关于x和y轴均对称的平截台体，在很多实际应用中都采用函数gluPerspective()。
void gluPerspective(GLdouble fovy,GLdouble aspect, GLdouble zNear,GLdouble zFar)；fovy是在x-z平面内视区的角度，其值必须在区间【0.0，180.0】内。
Aspect为长宽比，是平截台体的宽度与高度之比。
zNear和zFar的值是视点（沿z轴负向）与两个裁剪平面的距离。
参数恒为正。
图1透视投影示意图●正交投影正交投影的示意图见下：其取景体积是一个各面均为矩形的六面体，用glOrtho()函数创建正交平行的取景体积，计算正交平行取景体积矩阵M，并乘以当前矩阵C，使C=CM。
void glOrtho(Gldouble left,Gldouble right,Gldouble bottom,Gldouble top,Gldoublenear,Gldouble far);该函数以正交投影矩阵乘当前矩阵。
投影变换
V1
a1
b
X1
a
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替 旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后 找出其在新投影面上的投影。
二、新投影面的选择原则
（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 1．新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2．新投影面必须垂直于一个不变投影面。
第3章 投影变换
§1 概 述
a' V b' a
A a1
V1 b1 B b H X1
§2 换面法
X
§1 概 述
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置时，其投影可能 反映线段的实长、平面的实形以及相应的倾角。而直线或平面 处于一般位置时，其投影就没有这些特性。 为了较容易地解决有关的作图问题，将几何元素与投影面 的相对位置变换成处于有利解题位置的方法称为投影变换。 投影变换有两种形式： （1）变换投影面法（换面法）——几何元素保持不动， 改变投影面的位置，使其处于有利解题的位置。 （2）旋转法——投影面保持不动，将几何元素旋转到有 利解题的位置。
a2 b2 d2 d c2 实形
d
[例题6] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 a2
15
b2 d2 e1
e2 c2
e
d
e
d
休息会！ 迎接下个开心课程！
东华大学机械工程学院
a2 b2
[例题2]
求点C到直线AB的距离
提示
作图过程
作图
a1
c1 k1 b1 k'
b'2 k'2
a'2 c'2
距离
k
计算机图形学13投影变换
将x轴反向与U轴保持一致；
将坐标原点平移到点(a,b)。
01
平行投影
02
俯投影视图 将立体向xoy面作正投影，此时Z坐标取0;
03
投影变换 平行投影
使水平投影面绕X轴旋转-90，使与正投影面处于同一平面； 最后让图形沿Z轴平移dx=tx , dy=ty; 将x轴、y轴反向以与U、V两坐标轴方向一致； 将坐标原点平移至点O
不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点(Vanishing Point)。 坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。 一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。 两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。 三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。
湖北大学 数计学院
1
讨论(续)：
2
类似，若主灭点在 Y 轴或 X 轴上，变换矩阵可分别写为：
二点透视投影的变换矩阵
湖北大学 数计学院
在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用 当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换。假定p!=0, r!=0, q=0; 将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法
知投影方向矢量为（xp,yp,zp）
设形体被投影到XOY平面上
形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys)
∵投影方向矢量为(xp,yp,zp)
∴投影线的参数方程为：
01
03
02
04
05
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法 因为 所以 若令
则矩阵式为：
将坐标原点平移到点(a,b)。
01
平行投影
02
俯投影视图 将立体向xoy面作正投影，此时Z坐标取0;
03
投影变换 平行投影
使水平投影面绕X轴旋转-90，使与正投影面处于同一平面； 最后让图形沿Z轴平移dx=tx , dy=ty; 将x轴、y轴反向以与U、V两坐标轴方向一致； 将坐标原点平移至点O
不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点(Vanishing Point)。 坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。 一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。 两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。 三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。
湖北大学 数计学院
1
讨论(续)：
2
类似，若主灭点在 Y 轴或 X 轴上，变换矩阵可分别写为：
二点透视投影的变换矩阵
湖北大学 数计学院
在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用 当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换。假定p!=0, r!=0, q=0; 将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法
知投影方向矢量为（xp,yp,zp）
设形体被投影到XOY平面上
形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys)
∵投影方向矢量为(xp,yp,zp)
∴投影线的参数方程为：
01
03
02
04
05
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法 因为 所以 若令
则矩阵式为：
投影变换-高中数学知识点讲解
投影变换
1．投影变换
【知识点的知识】
将平面上每个点P 对应到它在直线l 上的投影P′（即垂足），这个变换称为关于直线l 的投影变换．变换的坐标公式和二阶矩阵为：
【解题方法点拨】
1．几种常见的线性变换
（1）恒等变换矩阵M＝；
（2）旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝；
1/ 2
（3）反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M1＝；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M2＝；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝；
（4）伸压变换对应的二阶矩阵M＝，表示将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2 倍，
k1，k2 均为非零常数；
（5）投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M＝；
（6）切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝，若沿y 轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝．（其中k 为非零常数）．
2．线性变换的基本性质
设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝；设向量α＝，β＝，规定向量α与β的和α+β＝．
（1）设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M（λα）＝λMα，②M
（α+β）＝Mα+Mβ．
（2）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．
2/ 2。
投 影 变 换
的.根据投影方向与投影平面之间的关系，平行投 影又可以分为正投影与斜投影
透视投影
平行投影
1.1透视
在坐标系 oxyz 中来讨论投影，假定投影平面是z 0 , 设视点为
C (xc , yc , zc ) ，空间中任一点 Q (x, y, z) 在 z 0 平面上的投影为
P(xp , yp , 0) 。设 P，Q ，C 在 oxz 平面上的正投影分别为
x0 xr d xn
xn2
y
2 n
z
2 n
y0 yr d yn
xn2
y n2
z
2 n
(4.19)
z0 zr d zn
xn2
y
2 n
z
2 n
oz 轴和N方向一致，故有
(a31, a32 , a33 ) (xn , yn , zn )
xn2
yn2
z
2 n
(4.20)
计算x0, y0, z0和aij(i, j =1, 2, 3)的方法
P，Q ， C 则
xp xc x xc
zc
zc z
图示
透视投影的计算公式
整理后便有
同理可得
xp
xc
(x
xc )
zc zc
z
(4.13)
yp
yc
(y
yc )
zc zc
z
(4.14)
这两式便是透视投影的计算公式。把空间任一点 (x, y, z)
的坐标代入式（4.13）和式（4.14）便可求出在平面 z 0
ox 轴和向量U×N方向一致，设
i jk
U N x y z bi bj b k
u
u
u
透视投影
平行投影
1.1透视
在坐标系 oxyz 中来讨论投影，假定投影平面是z 0 , 设视点为
C (xc , yc , zc ) ，空间中任一点 Q (x, y, z) 在 z 0 平面上的投影为
P(xp , yp , 0) 。设 P，Q ，C 在 oxz 平面上的正投影分别为
x0 xr d xn
xn2
y
2 n
z
2 n
y0 yr d yn
xn2
y n2
z
2 n
(4.19)
z0 zr d zn
xn2
y
2 n
z
2 n
oz 轴和N方向一致，故有
(a31, a32 , a33 ) (xn , yn , zn )
xn2
yn2
z
2 n
(4.20)
计算x0, y0, z0和aij(i, j =1, 2, 3)的方法
P，Q ， C 则
xp xc x xc
zc
zc z
图示
透视投影的计算公式
整理后便有
同理可得
xp
xc
(x
xc )
zc zc
z
(4.13)
yp
yc
(y
yc )
zc zc
z
(4.14)
这两式便是透视投影的计算公式。把空间任一点 (x, y, z)
的坐标代入式（4.13）和式（4.14）便可求出在平面 z 0
ox 轴和向量U×N方向一致，设
i jk
U N x y z bi bj b k
u
u
u
投影变换
C N M D B a′1m′1b′1 V1
n′ ●
●
a′
m′
b′
XV H a c m ●
●
n
d b
d′1
.
a′1≡b●1≡m′1 ′
●
●
c′1
n′1
d′1
.
n′1
请注意各点的投 H V 1 影如何返回？ X1 求m点是难点。
圆半径=MN
c′1
●
例题4] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 a′2
d
平面换面法小结
一 次 换 面 1．把一般位置平面变换为投影面垂直面
条件：需先在平面内作一条投影面的平行线
作图时：新的投影轴与该投影面平行线反映 实长的投影相互垂直
2．把投影面垂直面变换为投影面平行面 两 次 换 面
构造新的投影面与平面平行 作图时：新的投影轴与保留的平面具有积聚性 的投影相互垂直
§1 概述 §1 概述 §2 变换投影面法 §2 变换投影面法
§1 概 述
当空间几何元素对投影面处于特殊位置 时，则其投影或反映其真实形状，或具有积聚 性。 当我们图示、图解一般位置的空间几何元 素及其相互间的定位和度量问题时，如能把它 改变成特殊位置，则问题就可能比较容易地获 得解决 。 本章引入投影变换的方法来达到上述目的。
X1 H 1 V
.
aH
V1 X1
作图规律： 由点的不变投影向新投影轴作垂线， 并在垂线上量取一段距离，使这段距离等 于旧投影到旧轴的距离。
2.2.2 点的二次换面 ⑴ 新投影体系的建立
X2
V
H2
a2
按次序更换 V1
∇
ax2
a′ A ax
n′ ●
●
a′
m′
b′
XV H a c m ●
●
n
d b
d′1
.
a′1≡b●1≡m′1 ′
●
●
c′1
n′1
d′1
.
n′1
请注意各点的投 H V 1 影如何返回？ X1 求m点是难点。
圆半径=MN
c′1
●
例题4] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 a′2
d
平面换面法小结
一 次 换 面 1．把一般位置平面变换为投影面垂直面
条件：需先在平面内作一条投影面的平行线
作图时：新的投影轴与该投影面平行线反映 实长的投影相互垂直
2．把投影面垂直面变换为投影面平行面 两 次 换 面
构造新的投影面与平面平行 作图时：新的投影轴与保留的平面具有积聚性 的投影相互垂直
§1 概述 §1 概述 §2 变换投影面法 §2 变换投影面法
§1 概 述
当空间几何元素对投影面处于特殊位置 时，则其投影或反映其真实形状，或具有积聚 性。 当我们图示、图解一般位置的空间几何元 素及其相互间的定位和度量问题时，如能把它 改变成特殊位置，则问题就可能比较容易地获 得解决 。 本章引入投影变换的方法来达到上述目的。
X1 H 1 V
.
aH
V1 X1
作图规律： 由点的不变投影向新投影轴作垂线， 并在垂线上量取一段距离，使这段距离等 于旧投影到旧轴的距离。
2.2.2 点的二次换面 ⑴ 新投影体系的建立
X2
V
H2
a2
按次序更换 V1
∇
ax2
a′ A ax
第6章 投影变换
AD C B a≡b≡d ≡ ≡ P X V H
b′ ′
a′ ′
d′ ′ b 距离 b’1. a2≡b2≡d2 c2
c a
.
d
. a’1 d’1
H X1 V 1
c
如何确定d 如何确定 1 c’1 点的位置？ 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
V1 H2 X2
例：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 已知两交叉直线 和 的公垂线的长度 ， N 为水平线， 的投影。 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M 为水平线 及 的投影
●
a′ ′ XV H a c
m′ ′
b′ ′
● ●
m
n
d b
d’1
.
●
a1≡b1≡m1
●
c1
n1
.
d1
n’1 圆半径=MN 圆半径
请注意各点的投 H V 1 影如何返回？ 影如何返回？ X1 求m点是难点。 点是难点。 点是难点
c’1
●
点作直线CD与 相交成 相交成60º角 例: 过C点作直线 与AB相交成 角。 点作直线
的实长及与H面的夹角 例：求直线AB的实长及与 面的夹角。 求直线 的实长及与 面的夹角。
面代替V面 投影体系中， 用 面代替 投影体系中 。 空间分析： V1面代替 面，在V1/H投影体系中，AB//V1。 b′ ′ 作图： 作图： a′′ V1 a′ ′ a’1
V
b′ ′ a
A
X
V
B
b’1
H
b a
4
6.2.1基本条件 基本条件
a'1 V1
6.2 换面法
X1
α
α b'1 O1
b′ ′
a′ ′
d′ ′ b 距离 b’1. a2≡b2≡d2 c2
c a
.
d
. a’1 d’1
H X1 V 1
c
如何确定d 如何确定 1 c’1 点的位置？ 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
V1 H2 X2
例：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 已知两交叉直线 和 的公垂线的长度 ， N 为水平线， 的投影。 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M 为水平线 及 的投影
●
a′ ′ XV H a c
m′ ′
b′ ′
● ●
m
n
d b
d’1
.
●
a1≡b1≡m1
●
c1
n1
.
d1
n’1 圆半径=MN 圆半径
请注意各点的投 H V 1 影如何返回？ 影如何返回？ X1 求m点是难点。 点是难点。 点是难点
c’1
●
点作直线CD与 相交成 相交成60º角 例: 过C点作直线 与AB相交成 角。 点作直线
的实长及与H面的夹角 例：求直线AB的实长及与 面的夹角。 求直线 的实长及与 面的夹角。
面代替V面 投影体系中， 用 面代替 投影体系中 。 空间分析： V1面代替 面，在V1/H投影体系中，AB//V1。 b′ ′ 作图： 作图： a′′ V1 a′ ′ a’1
V
b′ ′ a
A
X
V
B
b’1
H
b a
4
6.2.1基本条件 基本条件
a'1 V1
6.2 换面法
X1
α
α b'1 O1
第3部分投影变换
4
在变换两个或两个以上的投影面时，点的新 投影的求法和原理与更换一个投影面时完全相 同。但必须指出，v面和H面必须交替变换。 如右图所示。
点的二次变换
5
➢3.2.2 换面法中六个基本问题
➢1.将一般位置直线变换成新投影面 平行线
若求直线的实长及其与投影面的倾 角时，可用变换一次投影面来解决。
6
例1：求直线AB的实长及与H面的夹角。
3 0 ax1
连a1b1,a1b2，即为实长；
O1
4）过b作直线垂直于OX轴，
X
V H
并量取
b1 H1 X1 V
bx1
b
a
ax
b
x
O b1
b1bx=b1bx1,b2bx=b2bx1， 连ab1、ab2,即为所求。 （该题有两解）。
a
b2
15
➢4.将一般位置平面变换成投影面垂直面
将一般位置平面变换成投影面垂直面时， 新投影面既要垂直于一般位置平面，又要垂直 于基本投影面，为此只要将一般位置平面内一 条投影面的平行线变成投影面的垂直线即可。
分析:
由于一次换 面可将一般位置 直线变换成投影 面平行线，利用 已知直线AB=30， 先求出新投影 a1b1，然后再返 回求旧投影ab。
14
作图步骤：
b2
1）在V面适当位置作
3
O1X1∥ab；
0
2）求得点A的H1投影a1；
3）以a1为圆心，以30mm为半 a1 径画圆弧，与过b垂直于O1X1 的直线交于两点b1、 b2 ，
17
倾斜面变换成垂直面(求1角)
如果要求△ABC对v面的倾角β1，可在此平 面上取一水平线AE，作H1面垂直AE，则 △ABC在H1面上的投影为一直线，它与X1轴 的夹角反映该平面对V面的倾角β1。具体 作图如右图所示。
在变换两个或两个以上的投影面时，点的新 投影的求法和原理与更换一个投影面时完全相 同。但必须指出，v面和H面必须交替变换。 如右图所示。
点的二次变换
5
➢3.2.2 换面法中六个基本问题
➢1.将一般位置直线变换成新投影面 平行线
若求直线的实长及其与投影面的倾 角时，可用变换一次投影面来解决。
6
例1：求直线AB的实长及与H面的夹角。
3 0 ax1
连a1b1,a1b2，即为实长；
O1
4）过b作直线垂直于OX轴，
X
V H
并量取
b1 H1 X1 V
bx1
b
a
ax
b
x
O b1
b1bx=b1bx1,b2bx=b2bx1， 连ab1、ab2,即为所求。 （该题有两解）。
a
b2
15
➢4.将一般位置平面变换成投影面垂直面
将一般位置平面变换成投影面垂直面时， 新投影面既要垂直于一般位置平面，又要垂直 于基本投影面，为此只要将一般位置平面内一 条投影面的平行线变成投影面的垂直线即可。
分析:
由于一次换 面可将一般位置 直线变换成投影 面平行线，利用 已知直线AB=30， 先求出新投影 a1b1，然后再返 回求旧投影ab。
14
作图步骤：
b2
1）在V面适当位置作
3
O1X1∥ab；
0
2）求得点A的H1投影a1；
3）以a1为圆心，以30mm为半 a1 径画圆弧，与过b垂直于O1X1 的直线交于两点b1、 b2 ，
17
倾斜面变换成垂直面(求1角)
如果要求△ABC对v面的倾角β1，可在此平 面上取一水平线AE，作H1面垂直AE，则 △ABC在H1面上的投影为一直线，它与X1轴 的夹角反映该平面对V面的倾角β1。具体 作图如右图所示。
画法几何与土木建筑制图 第6章 投影变换
b d c
b d c
b1
a1(d1)
c1
4、 投影面垂直面变换为投影面平行面
换H面
正垂面
“水平面”（实形）
换V面
b
铅垂面
“正平面”（实形）
V V1
a1
X1
b1
c1
A a
b
a
B
V X
a
H
c
C
X
a
b(c)
H
c
b(c) c1
b1
a1
实形
5、 一般位置线变换为投影面垂直线:二次换面
b a
a2 (b2) H2
（2）轨迹圆在旋转轴所平行面上的投影，为平行于投影轴的直线。
三、 换面法的投影规律
1. 换面法的投影规律（1）以点的一次变换为例-替换V面
替换投影面
V a
新投影面
V a 替换投影
A
a1 V1
X ax
新投影
旧轴
X ax
新投影
a1
a
ax1
X1 H
a
ax1
保留投影面
H
保留投影
新轴
X1
新投影到不变投影连线垂直于新投影轴:a1a ⊥ X1
新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距
V1称为新投影面；V称为被更换的投影面；H称为被保留的 投影面。 X1称为新投影轴；X称为被更换的投影轴。
二、 新投影面的选择原则
V1
a1
X1
b1
c1
A a
V
b
B
a
c
C
b(c) H
V1∥ABC
V1┴H
新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： (1) 新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置(平行或垂直) (2) 新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个被保留的投影面。
大学画法几何5投影变换
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线
b1
a1
b1
a1
求对哪个投影面的倾角 就平行那个投影作图
练习：4－2 用换面法求线段CD的实长和对V面的倾角β
CD实长
d1
求对哪个投影面的倾角 就平行那个投影作图
c1
d'
c'
X
V H
d
c
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线
a1 b1
b
a1 b1
b
（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线
d
b
a
a’1 ●
d● ’1
X
V H
c ac●’1●b’1 Nhomakorabeaθ
.
dc
.
b
a2≡ b2 ● θ ●d2
c2●
（三）综合问题
主要是实形（含角度）和距离问题的逆向应用：
✓[例8] 求平面ABC与直线DE的交点 将其中一个面转换成投 [例9] 求平面ABC与平面DEF的交线 影面的垂直面换面1次
[例10] E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e [例16]
投影变换
a2 b2
b1
V1
a1
X1
第4章 投影变换
§4-1 概 述
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行 或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实 形及其与投影面的倾角。
当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们 的投影面就不具备上述特性。
投影变换就是讲直线或平面从一般位置变换为和投 影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的度量和 定位问题。
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2
投影变换
改变空间几何元素和投影面的相对位置，除了用换面法外，还 可应用旋转法。旋转法就是让投影面不动，而使空间几何元素绕着 某一固定轴线旋转，旋转到与投影面处于有利解题的特殊位置。
a' o' a' V AO
旋转轴 旋转中心 旋转半径 轨迹圆
o'
b1' X
o1'
b' O
b1'
o1' b' O1 a b1 b
B1 X
3. 将一般位置平面变为投影面的垂直面
分析 ： 若△ABC中包含某投影面的垂直线，则此平面一定与该投影面垂直，因 此只要将平面内的一条直线变换为投影面的垂直线即可。由前所知，投影面 平行线变换为垂直线只需一次换面，因此，在△ABC内可作一平行线，将其 变换为垂直线，则平面就可变垂直面。
a) 直观图
o' ( ) b1' a' o'
b'
X
a o b
O
分析： AB为一条水平线，利用旋转 法将其变换为正垂线。由于正垂 线的水平投影⊥X轴，必须改变 AB对V面的倾角，所以旋转轴应 为铅垂线，因此可过点A作一旋 转轴O，以o为圆心，ab为半径画 弧，使ab1⊥X轴，则AB1为旋转后 的正垂线。同理，也可将一条正 平线变换为铅垂线。
B 旋转点
b1
a
b
图4-14 直线AB绕OO轴旋转
4.2.2 点的旋转变换
V m 1' m'
m1'
M O O
m' o'(o')
o'(o')
X M1
X
o m
m1
图4-15 点绕正垂线旋转
a' o' a' V AO
旋转轴 旋转中心 旋转半径 轨迹圆
o'
b1' X
o1'
b' O
b1'
o1' b' O1 a b1 b
B1 X
3. 将一般位置平面变为投影面的垂直面
分析 ： 若△ABC中包含某投影面的垂直线，则此平面一定与该投影面垂直，因 此只要将平面内的一条直线变换为投影面的垂直线即可。由前所知，投影面 平行线变换为垂直线只需一次换面，因此，在△ABC内可作一平行线，将其 变换为垂直线，则平面就可变垂直面。
a) 直观图
o' ( ) b1' a' o'
b'
X
a o b
O
分析： AB为一条水平线，利用旋转 法将其变换为正垂线。由于正垂 线的水平投影⊥X轴，必须改变 AB对V面的倾角，所以旋转轴应 为铅垂线，因此可过点A作一旋 转轴O，以o为圆心，ab为半径画 弧，使ab1⊥X轴，则AB1为旋转后 的正垂线。同理，也可将一条正 平线变换为铅垂线。
B 旋转点
b1
a
b
图4-14 直线AB绕OO轴旋转
4.2.2 点的旋转变换
V m 1' m'
m1'
M O O
m' o'(o')
o'(o')
X M1
X
o m
m1
图4-15 点绕正垂线旋转
4、投影变换(换面法)
b' a'
X
• i' a c i • b
H X1 V1
c'
•c ' 1
V O H O2 O1
•
c2
• a1' (i1')
•i 2
• a2
实形
• b1'
V1 H2
• b2
是以其中一直线为依据来选择，即将其中一条直线（一般 线）更换成平行线，投射线，其它元素跟着过来。另一种 是以其中一个平面为依据来选择新轴。即将一般面改换成 投射面、平行面。其它元素跟变换过来。
不动，设立新的投影面代替原有的投影面中的一个，使新
投影面与几何元素处于有利于解题的位置。
一、换面法的投影规律：
如图4-2中，先只看A点的投影。如图4-3 （a)所示。
a' V
A
a'1 x1
o
x ax a
V1
ax1 H a'1 V1
o1
图4-3 （a)
新的投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面。 如 V1H ，这样 V1 与H才能构成一个新的两投影面体系。 a' a x Aa a1' a x1 展开时V不动， V1 摊平到与H在 由图可知 同一面上，然后H面连同 V1 一齐绕OX轴旋转到与V在同一 平面上。 画投影图时，为表示清楚，在OX以上标V，OX下标H，在 的一方标H，另一方标
工程上要解决的问题： （一） 定位问题：包括线面交点、两面交线、截交线、相 贯线
(二） 度量问题：包括求直线实长、平面实形、点线距、 点面距离、平行线间距、两交叉线距离、平行面距离、直 线及平面对投影面倾角、两面夹角、线面夹角等。 一、投影变换的目的：将原来处于一般位置的空间几何元 素，变换为有利于解题的位置。
投影变换
第三章 投影变换 3.1 投影变换的方法 3.2 变换投影面法
1
1. 投影变换的方法 1.1 变换投影面法（换面法） 变换投影面法（换面法）
几何元素保持不动，而改变投影面的位置， 几何元素保持不动，而改变投影面的位置， 使新的投影面与几何元素处于有利于解题 的位置。 的位置。 新投影面的选择应符合以下两条件： 新投影面的选择应符合以下两条件： （1）新投影面投影面必须处于有利于解题 ） 的位面必须垂直于原来投影面体系中 ） 的一个投影面。组成一个新的两投影面体系。 的一个投影面。组成一个新的两投影面体系。 1.2 旋转法 投影面保持不动， 投影面保持不动，而将几何元素绕某一轴 旋转到相对于 投影面处于有利于解题的位置。 投影面处于有利于解题的位置。
投影变换的方法
3
1
1. 投影变换的方法 1.1 变换投影面法（换面法） 变换投影面法（换面法）
几何元素保持不动，而改变投影面的位置， 几何元素保持不动，而改变投影面的位置， 使新的投影面与几何元素处于有利于解题 的位置。 的位置。 新投影面的选择应符合以下两条件： 新投影面的选择应符合以下两条件： （1）新投影面投影面必须处于有利于解题 ） 的位面必须垂直于原来投影面体系中 ） 的一个投影面。组成一个新的两投影面体系。 的一个投影面。组成一个新的两投影面体系。 1.2 旋转法 投影面保持不动， 投影面保持不动，而将几何元素绕某一轴 旋转到相对于 投影面处于有利于解题的位置。 投影面处于有利于解题的位置。
投影变换的方法
3
工程制图 第四章 投影变换
例1 求两平行直线AB 和CD 之间的距离
—— 在V/H 投影体系中直接解题： 解题步骤： 1.过一条直线AB 上任一点E 作另 一条直线CD 的 垂面 2.求直线CD 与所 作垂面的交点F 3.连e’f’、ef即为 所求距离的投影
4.求作EF 的实长
实长
例1 求两平行直线AB 和CD 之间的距离
更换水平投影面
把一般位置线变为投影面垂直线
.
把一般位置平面变为投影面垂直面
正平线 垂直
把一般位置平面变为投影面平行面
1.两平行直线之间的距离
例1
求两平行直线AB 和CD 之间的距离 在V/H 投影体系中直接解题 应用换面法在H/V1体系或V1/H2体系中解题 应用换面法在V1/H2体系中解题
例
1. 把一般位置平面变为投影面垂直面 2. 把一般位置平面变为投影面平行面 3. 综合问题举例
点的一次变换
点在V1/H 体系中的投影
旧投影面 旧投影
不变投影面
不变投影 .
新投影
新投影面
点的一次变换
点在V/H1体系中的投影
不变投影
新投影
旧投影
点的二次变换
.
.
把一般位置直线变为投影面平行线
更换水平投影面
例2 求两交叉直线AB 和CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置 —— 在V/H 投影体系中直接解题：
解题步骤： 1.过直线CD上任一点C 作直 线CG 平行于AB,连DG
2.过直线AB 上任一点M 作平 面CDG 的垂线,N 为垂足
3.过垂足N 作直线EF 平行于 直线AB,交CD 于点S
4.过点S 作直线MN 的平行线, 交直线AB 于点T,ST 即为 所求
投影变换的三种方法
投影变换的三种方法投影变换是图形学中常用的一种技术，它可以将一个物体或图像投影到一个新的坐标系中，从而改变其形状、位置和大小。
在计算机图形学、计算机视觉以及计算机辅助设计等领域都有广泛的应用。
本文将介绍投影变换的三种常用方法：平行投影、透视投影和仿射投影。
一、平行投影平行投影是一种简单而常用的投影变换方法，它将物体或图像的每个点沿着平行于观察方向的直线投影到投影平面上。
由于平行投影不考虑观察点与投影平面的距离，因此投影结果不会产生透视效果，物体的形状和大小在投影过程中保持不变。
平行投影可以简化计算过程，适用于一些不需要透视效果的场景，如平面图的绘制和建筑物的俯视图等。
二、透视投影透视投影是一种模拟真实世界中的投影效果的方法，它考虑了观察点与投影平面的距离，使得物体在投影过程中产生透视效果。
透视投影根据物体与观察点的距离和角度的不同，可以产生近大远小的效果，使得投影图像更加真实。
透视投影广泛应用于计算机游戏、虚拟现实和电影等领域，使得场景更加逼真，增强了用户的沉浸感。
三、仿射投影仿射投影是一种综合了平行投影和透视投影的投影变换方法，它可以保持物体的平行性和直线性，同时又能产生透视效果。
仿射投影通过对物体的位置、大小、形状和角度进行变换，将物体投影到一个新的坐标系中。
仿射投影在计算机图形学中具有广泛的应用，如图像矫正、图像处理和计算机辅助设计等领域。
总结：本文介绍了投影变换的三种常用方法：平行投影、透视投影和仿射投影。
平行投影适用于不需要透视效果的场景，透视投影模拟了真实世界中的投影效果，而仿射投影综合了平行投影和透视投影的优点。
这三种方法在计算机图形学、计算机视觉以及计算机辅助设计等领域都有广泛的应用。
通过合理选择和使用这些方法，可以实现对物体或图像的形状、位置和大小的变换，从而满足不同应用需求。
投影变换
以新的投影面置 换某一旧的投影 面，建立起一个 新的二面体系， 使某一直线或平 面由一般位置变 换为特殊位置。
旧的 V面
新的 V面
二.换面法
1)直线的一次换面
新投影与保
留投影的连线
a
垂直于新投影
b
轴；
V
XH
a
新投影到新
投影轴的距离
等于旧投影到
旧投影轴的距
b
a
离。
b1
直线的换面
a1
二.换面法
1)直线的一次换面 2)直线的二次换面
k'
a'
X HV a
k
c'
e' b' b
e
c X1
b1' L a'1
k1'
c1'
15
2020年4月5日星期日
第三章 投影变换
一.投影变换的目的与方法 二.换面法 三.例题
a
a
a
一.投影变换的目的与方法
1）投影变换的目的是将原 体系中的某一个处于一般位 置下的几何元素，改造为特 殊位置的元素，以利于图解。
2）投影变换所采用的方法: 置换投影面法（换面法） 旋转几何元素法（旋转法）
换面法 旋转法
二.换面法
一般位置
直线经过一次
b
变换可变为平 V
行线；
XH
一般位置直
线需先变换成
平行线后才能
再变换为垂直
b
线。
a a
a b1
直线的换面
b2(a2)
a1
二.换面法
平面的换面
1)平面的一次换面
注意：必 需先在该面上 取一条投影面 的平行线作为 变换依据。
旧的 V面
新的 V面
二.换面法
1)直线的一次换面
新投影与保
留投影的连线
a
垂直于新投影
b
轴；
V
XH
a
新投影到新
投影轴的距离
等于旧投影到
旧投影轴的距
b
a
离。
b1
直线的换面
a1
二.换面法
1)直线的一次换面 2)直线的二次换面
k'
a'
X HV a
k
c'
e' b' b
e
c X1
b1' L a'1
k1'
c1'
15
2020年4月5日星期日
第三章 投影变换
一.投影变换的目的与方法 二.换面法 三.例题
a
a
a
一.投影变换的目的与方法
1）投影变换的目的是将原 体系中的某一个处于一般位 置下的几何元素，改造为特 殊位置的元素，以利于图解。
2）投影变换所采用的方法: 置换投影面法（换面法） 旋转几何元素法（旋转法）
换面法 旋转法
二.换面法
一般位置
直线经过一次
b
变换可变为平 V
行线；
XH
一般位置直
线需先变换成
平行线后才能
再变换为垂直
b
线。
a a
a b1
直线的换面
b2(a2)
a1
二.换面法
平面的换面
1)平面的一次换面
注意：必 需先在该面上 取一条投影面 的平行线作为 变换依据。
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为______________，
怎么判定一个变换矩阵是可逆的？
a b
c
d
中
ad-bc=0
则为不可逆的。
1 0 1 0
0 0 1 1
1 21
1 2 1
2 2
例：直线
x－y=3
在矩阵
0 1
0 1
对应的变
换作用下变成了什么图形？
投影到 Ax By 0 的变换矩阵为
B2
M＝
A2
B2
AB
A2 B2
AB
A2
B2
A2
A2 B2
例：变换 T 把平面上所有点到直线 y＝x 上 的投影。求下列图形在变换 T 作用下的像。
(1)直线 l1 ：y＝2x，（2）直线 l2 ：y＝－x，
问题 1.中午，你手上拿上一棍子，棍子在 地面的投影可能是什么东西？
问题 2.如图 l' 在 l 上的投影是什么图形？
图2垃圾推到边界线 图1树在正午的阳光下形成影子
生活感知
中午的太阳光下,一排排的树木的影子会投影到 各自的树根.
排球中场休息时,工作人员用平地拖把拖 扫比赛场地.要求同时同向推动拖把,把 垃圾推到边界线停止.
（3）正方形 OABC,其中 O(0,0),A(2,1),C(-1,2)
用两种方法解决。
从刚例题可以看出我们不能逆求，为什么 不能逆求呢？从图上可以看出有很多点投
影到直线 l 后为 P ' 也就是 P ' 是很多点的像，当然就无法逆回
去了，它根本不知道是谁的像。这种变换 也是没有逆变换的，我们把这种变换叫不 可逆变换，所以不是每个变换都有逆变换 的.
1
直线 y=－ x+2 呢？
2
例.直线
x+y=5
在矩阵
1 0
1 0
对应的变换
作用下变成了什么图形？
如果 x+y=8 答案又是什么呢
总结： 1.当直接是说关于某条直线投影变换时我们可以直 接用观察法求其变换后图像， 2.当只给我们矩阵时，我们就只能用坐标关系式来 求了。用关系式求时右边化为同一个 x 或 y 求 x’,y’关系式.
要是平面上的变换 T 有逆变换，必须满足 两个条件：
（1）平面上不同的点被 T 变到不同的点 （2） T 将平面变到整个平面。也就说， 平面上的每一个点 Q 都是平面上某一点 P 的像。
10 年福建高考题
已知矩阵
M=
1
b
MN
2 2
0 0
，
a
1
，
c
N
相应的变换称做投影变换
设 平 面 上 的 任 一 点 的 坐 标 为 (x,y), 则 投 影 后 的 点 坐 标 为 (0,y). 故 所 求 矩 阵 为 ______________________
当直线 l 为直线 Ax By 0 时，求此时
投影到 Ax By 0 的变换矩阵，
这两件生活中事例，实质反映了平面上 的点在某一直线上的投影，
设l是平面上的一条直线，对平面上的 任意一点Ｐ，过Ｐ作ＰＰ’垂直于直线
l，与 l相交于Ｐ’，则Ｐ’称为Ｐ 在l上的投影
平面上每个点Ｐ变到它在L上的投影的 变换称为平面到直线L上的投影变换.
方案1:以直线为x轴,建立直角坐标系,
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则投 影后的点坐标为(x,0).
练习：（1）圆 x2 y2 1在 y 轴上的投影为
（2）直线
x+y=5
在矩阵
1 2
1 2
对应的变换作用下
变成了什么图形？
（3）直线 x+y=5 在矩阵 1
2 1
2
1 对应的变换作用下变
2 1
2
成了什么图形？
作业：（1）直线
x+2y=5
在矩阵
1 3
1 3
对应的变换
作用下变成了什么图形？
1
（3）直线 x－y=5 在矩阵
2
1 2
作用下变成了什么图形？
1 2
对应的变换
1
2
能写出矩阵吗？
y P(x,y)
关于x轴投影变换矩阵
1 0
o
0 0
P/(x,0) x
方案2:以直线为y轴,建立直角坐标系,
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则投 影后的点坐标为(0,y).
y
故所求矩阵为
0 0
0 1
P(x,y)形投影到某条直线上 的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,
0
2
d
，
且
c 2
c 2
2 ad bc 2
0
b d
1 2
2b d 0 a 1
（Ⅰ）求实数 a,b, c, d 的值；（Ⅱ）求直线 y 3x 在
矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程。
例：抛物线 y x2 到直线 x＝1 上的投影
怎么判定一个变换矩阵是可逆的？
a b
c
d
中
ad-bc=0
则为不可逆的。
1 0 1 0
0 0 1 1
1 21
1 2 1
2 2
例：直线
x－y=3
在矩阵
0 1
0 1
对应的变
换作用下变成了什么图形？
投影到 Ax By 0 的变换矩阵为
B2
M＝
A2
B2
AB
A2 B2
AB
A2
B2
A2
A2 B2
例：变换 T 把平面上所有点到直线 y＝x 上 的投影。求下列图形在变换 T 作用下的像。
(1)直线 l1 ：y＝2x，（2）直线 l2 ：y＝－x，
问题 1.中午，你手上拿上一棍子，棍子在 地面的投影可能是什么东西？
问题 2.如图 l' 在 l 上的投影是什么图形？
图2垃圾推到边界线 图1树在正午的阳光下形成影子
生活感知
中午的太阳光下,一排排的树木的影子会投影到 各自的树根.
排球中场休息时,工作人员用平地拖把拖 扫比赛场地.要求同时同向推动拖把,把 垃圾推到边界线停止.
（3）正方形 OABC,其中 O(0,0),A(2,1),C(-1,2)
用两种方法解决。
从刚例题可以看出我们不能逆求，为什么 不能逆求呢？从图上可以看出有很多点投
影到直线 l 后为 P ' 也就是 P ' 是很多点的像，当然就无法逆回
去了，它根本不知道是谁的像。这种变换 也是没有逆变换的，我们把这种变换叫不 可逆变换，所以不是每个变换都有逆变换 的.
1
直线 y=－ x+2 呢？
2
例.直线
x+y=5
在矩阵
1 0
1 0
对应的变换
作用下变成了什么图形？
如果 x+y=8 答案又是什么呢
总结： 1.当直接是说关于某条直线投影变换时我们可以直 接用观察法求其变换后图像， 2.当只给我们矩阵时，我们就只能用坐标关系式来 求了。用关系式求时右边化为同一个 x 或 y 求 x’,y’关系式.
要是平面上的变换 T 有逆变换，必须满足 两个条件：
（1）平面上不同的点被 T 变到不同的点 （2） T 将平面变到整个平面。也就说， 平面上的每一个点 Q 都是平面上某一点 P 的像。
10 年福建高考题
已知矩阵
M=
1
b
MN
2 2
0 0
，
a
1
，
c
N
相应的变换称做投影变换
设 平 面 上 的 任 一 点 的 坐 标 为 (x,y), 则 投 影 后 的 点 坐 标 为 (0,y). 故 所 求 矩 阵 为 ______________________
当直线 l 为直线 Ax By 0 时，求此时
投影到 Ax By 0 的变换矩阵，
这两件生活中事例，实质反映了平面上 的点在某一直线上的投影，
设l是平面上的一条直线，对平面上的 任意一点Ｐ，过Ｐ作ＰＰ’垂直于直线
l，与 l相交于Ｐ’，则Ｐ’称为Ｐ 在l上的投影
平面上每个点Ｐ变到它在L上的投影的 变换称为平面到直线L上的投影变换.
方案1:以直线为x轴,建立直角坐标系,
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则投 影后的点坐标为(x,0).
练习：（1）圆 x2 y2 1在 y 轴上的投影为
（2）直线
x+y=5
在矩阵
1 2
1 2
对应的变换作用下
变成了什么图形？
（3）直线 x+y=5 在矩阵 1
2 1
2
1 对应的变换作用下变
2 1
2
成了什么图形？
作业：（1）直线
x+2y=5
在矩阵
1 3
1 3
对应的变换
作用下变成了什么图形？
1
（3）直线 x－y=5 在矩阵
2
1 2
作用下变成了什么图形？
1 2
对应的变换
1
2
能写出矩阵吗？
y P(x,y)
关于x轴投影变换矩阵
1 0
o
0 0
P/(x,0) x
方案2:以直线为y轴,建立直角坐标系,
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则投 影后的点坐标为(0,y).
y
故所求矩阵为
0 0
0 1
P(x,y)形投影到某条直线上 的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,
0
2
d
，
且
c 2
c 2
2 ad bc 2
0
b d
1 2
2b d 0 a 1
（Ⅰ）求实数 a,b, c, d 的值；（Ⅱ）求直线 y 3x 在
矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程。
例：抛物线 y x2 到直线 x＝1 上的投影