投影变换——换面法

旧
新 不变
新与旧是相对的
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三、换面法的四个基本作图 1. 把一般位置直线变为投影面平行线 2. 把一般位置直线变为投影面垂直线 3. 把一般位置平面变为投影面垂直面 4. 把一般位置平面变为投影面平行面
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1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。
a
V
b
A
P1a1
b1
B
作图：
a
XV H
b b
a
Hb
换H面行吗？ 不行！
a
.
H
X1 P1
a●1
b●1
新投影轴的位置？
与ab平行。
2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线；
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
V X
X2
a2b2 b P2
ax2
P1
a
b1
B A
X1
X1
V/H 体系变为V1/H 体系
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面 来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利 解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
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二、点的换面及规律
1. 点的一次变换
V1
a1 '
X1
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2. 点的两次变换
a2
X2
a' 旧
水平书写好
不变 X2
新V1 H2 a2
4. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析：
一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。
作 图： c
AB是水平 线
a
b
●a2
XV
Ha
b2● b . a1 b1.
●
c
●
c2 平面的实形
HX1P1
c●1
X2轴的位置？ 与其平行
例：用换面法求出△ABC平面的实际形状。
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第一节 概述
特殊位置的直线：可直接反映实长、倾角问题
a
b
a(b)
X
OX
O
a
b 实长
实长
b
a
特殊位置的平面：可直接反映实形、倾角问题
c 实形
a
b
X
O
a
cb
正平面
c b
XBiblioteka Baidu
O
b
a
c 正垂面
特殊位置的几何元素：可直接反映度量、定位问题
a
c
b m c
e
f
b d
e
a(b)
f
c(d)
m b
a c
距离
a1' d. 1'
b1'. a2b2d2
如何确定d1 点的位置？
c1'
V1 H2
例6：求平面ABC和ABD的夹角。
空间及投影分析：
垂所时直求所在于。由得投该几两影投何交图影定线中面理之,，知间两它：的平们两夹面的面角的投角。交影为线积两垂聚平直成面于直同投线时影，与面直第时线三，间平则的面两夹垂平角直面为相交
d
b
a
a1 ●
●d1
X
V H
c a
●c1
●b1
θ
.
dc
.
b
a2≡ b2 ● θ ●d2
问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新 轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析：
如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
作图方法：
在平面内取一条 投影面平行线，经一 次换面后变换成新投 影面的垂直线，则该 平面变成新投影面的 垂直面。 一般位置直线变换成 投影面垂直线，需经 几次变换？能否只进 行一次变换？
作图：
n● c●
a ●m
XVH
a
●m
●
n
c
请注意各点的投 影如何返回？
●d b
d b
.
HX1P1
空间及投影分析：
当直线AB垂直于投影
面时，MN平行于投影面，
这时它的投影m1n1=MN,且
m1n1⊥c1d1。
A
M CN
d1 ●
D B a1m1b1
a1≡b●1≡m1
.
●n1 c●1
c1
P1
n1
d1
圆半径=MN
空间及投影分析：
作图:
求C点到直线AB的距离， c
b
就是求垂线CD的实长。
如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平
XV H
行于投影面，其投影反映 c
a d
b
距离
实长。
AD
C
B
abd
P
c
ad
.
H X1 P1
a1 d. 1
b 1. a2b2d2
c1
P1 P2
c2
X2
过c1作线平行于x2轴。
例5：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M N
a
点到直线的距离
一、基本概念
改变空间几何元素与投影面的相对位 置，使它们相互之间处于某一特殊位置的 情况，从而使问题简化、得到解决——投 影变换。
二、投影变换的方法 1. 辅助投影面法（换面法） 2. 旋转法
一. 换面法的基本概念
旧面
新面 c1'
V1
c1 ' b1'
新轴 a1'
b1'
旧轴a1'
不变面
a1
作图：
b
a
XV
H
b
a
b
H1
a
X1 P1a1●
●.
b1
a2b2
H
X1 X2轴的位置？
与a1 b1 垂直
例1 已知等腰三角
形ABC的底边 为AB，试用 换面法求出等 腰三角形ABC 的正面投影。
c'
b'
XV
Hc a
a' e
a1'
b
e1´
b1'
c1'
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
功用：可求解平面与投影面的倾角， 点与平面的距离， 两平行面间的距离等。
第三章 投影变换——换面法
一、投影变换及换面法的基本概念 二、点的换面作图规则 三、换面法的四个基本作图 四、应用及举例
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求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析
b’ a’
a
b
两点之间距离
c’ b’
a’
a
c
b
三角形实形
c’ a’
d’ dc a
两平面夹角
c’
d’ b’ a’
b’
a
cd
b
b
直线 与平面的交点
作图分析：由于△ABC平面为一 铅垂面 ，则O1X1轴应平行于平面的 积聚性投影。
作 图 过 程 如 图 所 示：
例 3 已知直线AB与CDE平面平行，且相距20mm，
求直线AB的 水平投影。
b1 a1
c1
c'
e1 d1
a'
e' XHV d' c
b'
e
da b
例4：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。
c V
d
a b
A
D
X
B
a
d
b
H
思考：
若变换H面，需在面内取 什么位置直线？正平线！
P1 C c1
a1 d1
c
b1
X1
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b
a
d
作 图 过 程：
★ 在平面内取一条水平
c
XV H
线AD。
a
b
★ 将AD变换成新投影
d.
面的垂直线。
c
H
●α
●
●
反映平面对哪
X1 P1 c1 a1 d1 b1 个投影面的夹角？
c2●
例7:求两交叉直线的公垂线.
四、换面法的应用
例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。
空间及投影分析：
作图:
求C点到直线AB的距离， c
b
就是求垂线CD的实长。
如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平
XV H
行于投影面，其投影反映 c
a d
b
距离
实长。
AD
C
B
abd
P
c
ad
.
H X1 V1