投影变换——换面法
合集下载
换面法
换面法一、 换面法概述当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。
当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述特性。
换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。
1．换面法的基本概念换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。
然后找出其在新投影面上的投影。
2．新投影面的选择原则（1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置；（2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面；（3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。
二、 点的换面点是一切几何元素的基本元素。
因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。
1．点的一次换面（1）换V 面图2-25（a ）表示点A 在原投影体系V/H 中，其投影为a 和a '现令H 面不动，用新投影面V 1来代替V 面，V 1面必须垂直于不动的H 面，这样便形成新的投影体系V 1/H ，O 1X 1是新投影轴。
过点A 向V 1面作垂线，得到V 1面上的新投影1a '，点1a '是新投影，点a '是旧投影，点a 是新、旧投影体系中的共有的不变投影。
a 和1a '是新的投影体系中的两个投影，将V 1面绕O 1X 1轴旋转到与H 面重合的位置时，就得到图2-25（b ）所示的投影图。
由于在（a）（b）（c）图2-25点的一次变换（换V面）新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影体系和V1/H体系中，具有公共的H面，所以点a到H面的距离（Z坐标）在两个题词体系中是相等的。
所以有如下关系：1a'a⊥O1X1轴；1a'1xa=a'xa=A a，即：换V面时Z坐标不变。
由此得出点的投影变换规律是：①点的新投影和不便投影的连线，必垂直于新投影轴；②点的新投影到新投影轴（O1X1）的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴（OX）的距离，也即换V面时高度坐标不变。
土木工程制图第五章,投影变换-换面法
H
3、一般位置直线变成投影面垂直线
• 先将一般位置直线变成 投影面平行线； • 再将投影面平行线变成 X 投影面垂直线。 1 X 2 X • 注意：什么是二次变换？
b a'
2 2
土木工程制图
a' b'
a
b a'
1
b'
1
土木工程制图 4、一般位置平面变成投影面垂直面 • 在一般面上作一投影面平行线，例作一水 平线；
第5章 投影变换—换面法
土木工程制图
教学提示：画法几何中有关点、直线和平面的问 题，一般可以归纳为定位和度量问题。 当几何元素处于一般位置时，为了求 解方便，常采用换面法改变其中的某 些元素与投影面的相对位置，成为有 利于解题的特殊位置。 学习要求：通过本章学习，学生应掌握换面法的 一般概念及特点，能够使用换面法解 决有关点、直线和平面等几何元素之 间的定位和度量问题。
分析：在投影图中直接反映两平面夹角的特殊 情况，只要将这两个相邻平面用换面法变成同 时垂直于同一投影面，也就是将这两个平面的 交线变换成投影面垂直线，即可求得夹角θ。
土木工程制图
a' f'c' e'd' 1.在适当的位置作O1X1∥cd1，将CD变换为H、 V1新投影面体系中的V1面平行线。
X
V H
土木工程制图
3）求平面的实形： 将平面变成投影面平行面。 4）求平面的倾角、点到平面的距离、两平行面距离、直线 与平面交点和两平面交线等： 将一般面变成投影面垂直面。
二、换面法基本方法
土木工程制图
1、基本原则： 1）新投影面必须设立在使空间元素处 在有利于解题的位置； 2）新投影面必须垂直于原有投影体系 中的一个投影面。 2、基本概念：
制图—03换面法
概述
★ 如何求一般位置直线的实长？ ★ 如何求一般位置平面的真实大小？
解决方法：更换投影面。
换 面 法： 物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影 面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新 的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体 向新投影面进行投射。
被替换 的投影面
被替换 的投影
V
b' B b1'
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用V1面代替V面，在V1 /H投影体系中，AB// V1 。
a
V
b
A
V1a1
b1
B
作图：a
XV H
b b
a Hb
a .
H
X新1V1投影a●1轴 的位b●1置？
换H面行吗？ 不行！
与ab平行。
将投影面的平行线变换为投影面的垂直线？
功用:一次换面后可用于求点与直线、两直线间的距离等。 问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。
二次换面，再变换成新投影面的平行面。
作 图： c
AB是水平 线
a
b
●a2
X
V H
a
b2● b . a1b1.
●
c
●
c2 平面的实形
HV X1
1
●c1
X2轴的位置？ 与其平行
b1 a1
c1
c'
e1 d1
a'
例 3 已知直 线AB与 CDE平面
平行，且相 距20mm，
e' XHV d' c
b'
求直线AB的 水平投影。
ax1
.
H V1 X1
更换H面
X1H V
★ 如何求一般位置直线的实长？ ★ 如何求一般位置平面的真实大小？
解决方法：更换投影面。
换 面 法： 物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影 面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新 的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体 向新投影面进行投射。
被替换 的投影面
被替换 的投影
V
b' B b1'
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用V1面代替V面，在V1 /H投影体系中，AB// V1 。
a
V
b
A
V1a1
b1
B
作图：a
XV H
b b
a Hb
a .
H
X新1V1投影a●1轴 的位b●1置？
换H面行吗？ 不行！
与ab平行。
将投影面的平行线变换为投影面的垂直线？
功用:一次换面后可用于求点与直线、两直线间的距离等。 问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。
二次换面，再变换成新投影面的平行面。
作 图： c
AB是水平 线
a
b
●a2
X
V H
a
b2● b . a1b1.
●
c
●
c2 平面的实形
HV X1
1
●c1
X2轴的位置？ 与其平行
b1 a1
c1
c'
e1 d1
a'
例 3 已知直 线AB与 CDE平面
平行，且相 距20mm，
e' XHV d' c
b'
求直线AB的 水平投影。
ax1
.
H V1 X1
更换H面
X1H V
第5章 投影变换——换面法
5.2 换面法
图5-17 求两条交叉直线间的距离
5.2 换面法
【例5-4】
求两平面ABC和ABDE之间的夹角，如图5-18(a)所示。 【解】分析：当两个平面的交线垂直于投影面时，则这两个平面 在该投影面上的投影为两条相交直线，它们之间的夹角即反映两 个平面间的夹角。 作图步骤如图5-18(b)所示。 (1)将平面ABC和ABDE的交线AB经二次变换成为垂直于H2面的 直线。(2)平面ABC和ABDE在H2面上的投影分别积聚为直线 c2a2(b2)和a2e2(b2d2)。 (3)∠c2a2e2即反映两个平面间的夹角θ。
第5章 投影变换——换面法
知识目标
掌握换面法的一般概念及特点。 能够使用换面法解决有关点、直线与平面等 几何元素之间的定位和度量问题。
5.1 投影变换概述
在图5-1所示的直线与平面中，图(a)和图(b) 投影反映实长、倾角和实形，图(c)投影反映点到 直线的距离，图(d)投影反映直线与平面的交点， 这时称这些几何元素处于有利于解题的位置。当 直线或平面处于不利于解题的位置时，通常可采 用下列方法进行解题：
5.2 换面法
图5-10 一般位置平面变换成垂直面(求α角)
5.2 换面法
5.将垂直面变换成平行面
如图5-13所示，△ABC是一个铅垂面，要求将其变换
成平行面。根据平行面的投影特性，积聚为一条直线的投
影必定为不变投影，因此必须变换V面，使新投影面V1平
行于△ABC。作图时取X1轴∥abc
ABC在V1面上的
5.2 换面法
图5-18 求两平面间的夹角
思考题
(1)投影变换的目的是什么？一般有几种方法？ (2)什么叫换面法？新投影面如何选择？换面后 的新两面体系和原来的两面体系有什么关系？ (3)试述用换面法把一般位置直线变为投影面平 行线和投影面垂直线的步骤。
工程制图(换面法)
b
b H X1V1
O O1
a1 (b1)
3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
b a
a2 b2 B
A b
a H
精品课件
b1
V1
a1
X1
3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线； 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2
V
a2b2 b H2
a
BA
ax
2 V1
第四章 换面法 第一节 概述 第二节 投影变换
精品课件
第一节 概述
特殊位置的直线： 可直接反映实长、倾角问题
a
b
a(b)
X
O
X
O
a
实长
b
b 实长
a
精品课件
特殊位置的平面： 可直接反映实形、倾角问题
c 实形
a
b
X
O
a
cb
a c
b
X
O
b
a
类似形 c
正平面
精品课件
正垂面
特殊位置的几何元素： 可直接反映度量、定位问题
c2 d2
精品课件
例3： 求交叉两直线AB和CD间的距离。
C
b
T
S
g
B
a
X
V H
a
k d
t2
a2 D H2
c g
c
b
O d O1
k k1
d1
b2
O2 c2
(k2)(d2)
距离
a2
g2
C2(s2) (d2)
H X1
V1
c1 a1
换面法
换面法一、 换面法概述当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。
当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述特性。
换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。
1．换面法的基本概念换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。
然后找出其在新投影面上的投影。
2．新投影面的选择原则（1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置；（2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面；（3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。
二、 点的换面点是一切几何元素的基本元素。
因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。
1．点的一次换面（1）换V 面图2-25（a ）表示点A 在原投影体系V/H 中，其投影为a 和a '现令H 面不动，用新投影面V 1来代替V 面，V 1面必须垂直于不动的H 面，这样便形成新的投影体系V 1/H ，O 1X 1是新投影轴。
过点A 向V 1面作垂线，得到V 1面上的新投影1a '，点1a '是新投影，点a '是旧投影，点a 是新、旧投影体系中的共有的不变投影。
a 和1a '是新的投影体系中的两个投影，将V 1面绕O 1X 1轴旋转到与H 面重合的位置时，就得到图2-25（b ）所示的投影图。
由于在（a）（b）（c）图2-25点的一次变换（换V面）新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影体系和V1/H体系中，具有公共的H面，所以点a到H面的距离（Z坐标）在两个题词体系中是相等的。
所以有如下关系：1a'a⊥O1X1轴；1a'1xa=a'xa=A a，即：换V面时Z坐标不变。
由此得出点的投影变换规律是：①点的新投影和不便投影的连线，必垂直于新投影轴；②点的新投影到新投影轴（O1X1）的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴（OX）的距离，也即换V面时高度坐标不变。
第三章投影变换换面法
c'
b'
XV
Hc a
a' e
a1'
b
e1´
b1'
c1'
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
功用：可求解平面与投影面的倾角， 点与平面的距离， 两平行面间的距离等。
问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新 轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析：
空间及投影分析：
作图:
求C点到直线AB的距离， c
b
就是求垂线CD的实长。
如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平
XV H
行于投影面，其投影反映 c
a d
b
距离
实长。
AD
C
B
abd
P
c
ad
.
H X1 P1
a1 d. 1
b 1. a2b2d2
c 1
P1 P2
c 2
X2
过c1作线平行于x2轴。
m1n1⊥c1d1。
A
M CN
d1 ●
D B a1m1b1
a1≡b●1≡m1
.
●n1 c● 1
c1
P1
n1
d1
圆半径=MN
例6：求平面ABC和ABD的夹角。
空间及投影分析：
垂所时直求所在于。由得投该几两影投何交图影定线中面理之,，知间两它：的平们两夹面的面角的投角。交影为线积两垂聚平直成面于直同投线时影，与面直第时线三，间平则的面两夹垂平角直面为相交
四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体 与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几 何元素（点、线、面等）。
4、投影变换(换面法)
b' a'
X
• i' a c i • b
H X1 V1
c'
•c ' 1
V O H O2 O1
•
c2
• a1' (i1')
•i 2
• a2
实形
• b1'
V1 H2
• b2
是以其中一直线为依据来选择，即将其中一条直线（一般 线）更换成平行线，投射线，其它元素跟着过来。另一种 是以其中一个平面为依据来选择新轴。即将一般面改换成 投射面、平行面。其它元素跟变换过来。
不动，设立新的投影面代替原有的投影面中的一个，使新
投影面与几何元素处于有利于解题的位置。
一、换面法的投影规律：
如图4-2中，先只看A点的投影。如图4-3 （a)所示。
a' V
A
a'1 x1
o
x ax a
V1
ax1 H a'1 V1
o1
图4-3 （a)
新的投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面。 如 V1H ，这样 V1 与H才能构成一个新的两投影面体系。 a' a x Aa a1' a x1 展开时V不动， V1 摊平到与H在 由图可知 同一面上，然后H面连同 V1 一齐绕OX轴旋转到与V在同一 平面上。 画投影图时，为表示清楚，在OX以上标V，OX下标H，在 的一方标H，另一方标
工程上要解决的问题： （一） 定位问题：包括线面交点、两面交线、截交线、相 贯线
(二） 度量问题：包括求直线实长、平面实形、点线距、 点面距离、平行线间距、两交叉线距离、平行面距离、直 线及平面对投影面倾角、两面夹角、线面夹角等。 一、投影变换的目的：将原来处于一般位置的空间几何元 素，变换为有利于解题的位置。
投影变换(新)
平面的投影变换
1.一般位置平面变换为投影面垂直面
2.投影面垂直面变换为投影面平行面
3.一般位置平面变换为投影面平行面
平面的投影变换
1.一般位置平面变换为投影面垂直面
(单击play按钮)
只要将该一般位置平面上的任一直线变换成投影面的垂直线， 则此一般位置平面就成为该投影面的垂直面。
一般位置平面变换为投影面垂直面—求α角
基本条件
a '1 V1
X1 α
α
b '1 O1
1、新投影面对几何元素必须处于有利于图示和图解的位置， 如平行或垂直等。 2、新投影面必须垂直于一个已有的投影面，以便利用以前 在两个互相垂直的投影面上的投影规律。
点的投影变换
1.点的一次变换——点在H/V1体系中的投影
(单击play按钮)
点的投影变换
b’1
一般位 置平面
X V H
a’
c’
d’
b’
O
X1轴垂直于ad
c
a d
X2轴平行于b1’c1’
a 1 ’ d1’
投影面 垂直面
b
b 1’
c1’ c2
投影面 平行面
b2
a2
实形
【例6-6】 求M点到△ABC的距离及投影
作图步骤：
(1)在△ABC中作水平线BD； (2)将BD直线变换为V1面的垂直线， 则平面△ABC成为V1面的垂直面；
d’ c’
X V H
a’
n’ b’
m’
O
(3)过m1’作a1’b1’c1’的垂线，交于n1’，
m1 ’ n1’即为M点到△ABC之距；
b n a
(4)过n1’作O1X1的垂线，与过m所作
投影变换换面与旋转
Ｖ/Ｈ→Ｖ/Ｈ1→Ｖ2/Ｈ1
例2 已知直线AB与平面CDE平行，试求它们之间的距离。 空间及投影分析：
将平面CDE变换为投影面垂直面，则BK变换为投影面平行线。
1）把CDE平面变换为 H/V1 体 系 中 的 投 影 面 垂 直 面 ， 求 得 d1’c1’e1’ （积聚为直线）； 2）求出a1’b1’； 3）求 距 离（ ＢＫ ）： 作ｂ1’k1’⊥ c1’d1’e1’则 ｂ1’k1’反映实长。 4）求BK的原投影 ｂｋ、 ｂ′ｋ′。
2．把投影面平行线变换为投影面垂直线 把投影面平行线变换为投影面垂直 线，是为了使直线投影成为一个点，从 而解决与直线有关的度量问题(如求两直 线间的距离)和定位问题(如求线面交点)。
［例2］已知正平线AB的两投影， 试把它变为投影面垂直线。
分析：直线AB为正平线，
应将AB变换为新投影面Ｈ1 的垂直线 ,因ＡＢ∥Ｖ，而 新投影面要垂直AB又必须 垂直一个投影面，所以只能 设置新投影面Ｈ1⊥Ｖ，且 Ｈ1⊥ＡＢ，即建立新投影 体系Ｖ/Ｈ1。
由上可知点的旋转规律：当点绕垂直轴旋转时，点在与 旋转轴垂直的那个投影面上的投影作圆周运动，而另一投影 则沿与旋转轴垂直的直线移动。
3.2
直线的旋转
直线的旋转，仅 需使属于该直线的任 意两点遵循绕同一轴、 沿相同方向、转同一 角度的规则作旋转， 然后，把旋转后的两 个点连接起来。
直线旋转的基本性质
1）直线AB经过两次投影变换， 变成Ｖ1/Ｈ2体系中的投影面 垂直线ａ2、ｂ2。 2）求距离MN的实长。 由点ａ2（ｂ2）向ｃ2ｄ2作垂 线ｎ2ｍ2，ｍ2ｎ2反映AB、CD 两直线间距离的实长， ｍ1’ｎ1’∥Ｏ2Ｘ2。 3）求MN的原投影ｍｎ和 ｍ′ｎ′。
例4：求平面ABC和ABD的夹角。
第3章 投影变换---换面法
广东技术师范学院天河学院教案2012 年月日第周单元教案首页第三章投影变换——换面法第一节换面法的基本概念一、换面法的基本概念空间几何元素的位置保持不变，用新的投影面来代替旧的投影面，使空间几何元素对新的投影面的相对位置变成有利于解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
这种方法称为换面法。
用换面解题时应遵循下列两原则:⒈选择新投影面时,应使几何元素处于有利于解题的位置；⒉新投影面必须垂直于原投影面体系中不被变换的投影面，并与它组成新投影面体系，必要时可连续变换。
(a) (b)图3.1 将一般位置直线变换成投影面平行线如图3.1,新投影面必须垂直于不变换的投影面，即V1⊥H，X1为新投影轴。
这时，不变换投影面上的投影a、b与V1面上的新投影a1＇、b1＇的投影连线a a1＇⊥X1、b b1＇⊥X1。
并且a1＇、b1＇到X1的距离等于被代替的投影a＇、b＇到被代替的投影轴的距离，即a1＇a X1＝a＇a X＝A a＝Z A, b1＇b X1＝b＇b X＝B b＝Z B。
第二节点的换面二、点的投影变换规律（一）点的一次变换点是一切几何形体的基本元素。
因此，必须首先掌握点的投影变换规律。
现在来研究更换正立投影面时，点的投影变换规律。
图3表示点A在V/H 体系中，正面投影为a′，水平投影为a。
现在令H面不变，取一铅垂面V1（V1⊥H）来代替正立投影面V，形成新投影面体系V1/H。
将点A向V1投影面投射，得到新投影面上的投影a′1。
这样，点A在新、旧两体系中的投影（a，a′1）和(a，a′)都为已知。
其中a′1为新投影，a′为旧投影，而a为新、旧体系中共有的不变投影。
它们之间有下列关系：1. 由于这两个体系具有公共的水平面H，因此点A到H面的距离（即z坐标），在新旧体系中都是相同的，即a′ax=Aa=a′1ax1。
2. 当V1面绕X1轴重合到H面时，根据点的投影规律可知aa′1必定垂直于X1轴。
这和aa′⊥X轴的性质是一样的。
【机械制图】第2章 换面法
②求正垂面的实形
三、换面法的六个基本问题
6. 把一般位置平面变换为投影面平行面 作两次变换：
（1）将一般位置平面变换为投影面垂直面； （2）将投影面垂直面变换为投影面平行面。
三、换面法的六个基本问题
6.把一般位置平面变
换为投影面平行面 R2 d'
c'
X
V H
d
c
①求α角和平面的实形
换面顺序：
1.替换V面，V/H→V1/H 2.替换H面，V1/H→V1/H2
V
X1
a'
X aX
A
aX1
a1
H1
a
H
V
X1
a'
aX1
H1
X V aX
a1
H
a
作图方法
H 1. 作新轴X1 2. 作a’a1⊥X1 3. 量取a1ax1 = aax
二、点的投影换面
2. 点的两次换面
在点的一次换面的基础上再进行一次换面。
作H2 面⊥V1 面，构成新的两面投影体系V1 / H2
注意：投影面要交替变换，
b'
X
V H
a'
变换顺序：
1.替换V面
V/H→V1/H
2.替换H面
a
O V1/H→V1/H2
b1'
b
X
a
B
H
b
X1
b1'
a1'
作V1面∥AB，且⊥H面 作H2面⊥AB，且⊥V1面
X2 V1 H2
b2(a2)
三、换面法的六个基本问题
3. 把一般位置直线变换为投影面垂直线
作两次变换：（1）将一般位置直线变换为投影面平行线； （2）将投影面平行线变换为投影面垂直线。
三、换面法的六个基本问题
6. 把一般位置平面变换为投影面平行面 作两次变换：
（1）将一般位置平面变换为投影面垂直面； （2）将投影面垂直面变换为投影面平行面。
三、换面法的六个基本问题
6.把一般位置平面变
换为投影面平行面 R2 d'
c'
X
V H
d
c
①求α角和平面的实形
换面顺序：
1.替换V面，V/H→V1/H 2.替换H面，V1/H→V1/H2
V
X1
a'
X aX
A
aX1
a1
H1
a
H
V
X1
a'
aX1
H1
X V aX
a1
H
a
作图方法
H 1. 作新轴X1 2. 作a’a1⊥X1 3. 量取a1ax1 = aax
二、点的投影换面
2. 点的两次换面
在点的一次换面的基础上再进行一次换面。
作H2 面⊥V1 面，构成新的两面投影体系V1 / H2
注意：投影面要交替变换，
b'
X
V H
a'
变换顺序：
1.替换V面
V/H→V1/H
2.替换H面
a
O V1/H→V1/H2
b1'
b
X
a
B
H
b
X1
b1'
a1'
作V1面∥AB，且⊥H面 作H2面⊥AB，且⊥V1面
X2 V1 H2
b2(a2)
三、换面法的六个基本问题
3. 把一般位置直线变换为投影面垂直线
作两次变换：（1）将一般位置直线变换为投影面平行线； （2）将投影面平行线变换为投影面垂直线。
一、换面法的基本概念.
§2 - 7
四、直线的投影变换
变换投影面
直线的变换主要解决以下两个方面问题：
求直线的实际长度或倾角 求直线的积聚性投影
变换直线可归结于变换 直线上的两端点的作图。只 是要根据解决的实际问题确 定变换的新投影面的位置。
1、将一般位置直线变换为投影面平行线 通过一次变换可将一般位置直线变换为投影面平行线， 求得直线的实际长度以及直线对投影面的夹角。 为求得AB线的实长，所设置的新投影面V1应与AB平行。 从直观图上可看出，体现新面位置的新轴就应平行于AB 线的水平投影 ab。
例：试将AB直线变换为一投影面垂直线。
作图分析： 第一次设置一与 AB平行 的V1面，将AB直线变换为投 影面平行线。再设置垂直于 AB线的H1面，则AB的新投影 积聚为一点。
3、将一般位置直线变换为投影面垂直线 作图过程如图示： 1）作新轴O1平行于ab(a′b′也 可)，作出第一次变换的新投影 a1′b1′； 2）作新轴O2垂直于a1′b1′，按 投影规律作出第二次变换的新 投影a2b2。
图中先变换的是 V1 面，接着作第 二次变换。此时的 H1 面与 V1 面垂直， 被替换是 H 面，而 V1 面为不变投影 面。O2X2为新的投影轴，O1X1则成 了旧投影轴。
点击演示动画
例：如右图，作出 A 点的二 次变换投影图。 作图分析：两次变换的规律是 一样的，要注意的是在作第二次 变换时，定准点的新投影的位置。 作图过程如图所示。
换面法的投影面转换过程如图所示。
点击演示动画
§2 - 7
三、点的投影变换
变换投影面
1、点的一次变换 V、H两投影面体系中有一A点，现在适当位置设一V1面， V1和H面构成新的两投影面体系。 A点在V1面上的正投影记做 a1'。a1'与a的连线和O1X1轴的 交点记做ax1。 将V1与H面展开。 点击演示动画
换面法
解题举例
解题举例
[例4] 已知线段 A B 和线外一点 C 的两个投影，试求点 C 至线段 A B 的距离，并作出过点 C 对 A B 的垂线的投影。
解题举例
解题举例
解题举例
直线与平面相交 • 两平 面相交
三、利用辅助投影求交点和交线
一般位置平面与一般位置平面相交
b’ 例5、求两个一般位置平面相交的交线 。 作图步骤
k1
分 作
析 图
S１
K’
(1) 将△ＡＢＣ变换成 铅垂面 , 求出ａ1、ｂ1、 ｃ1 、ｓ1 ; (2) 求出k1 ； (3) 求出s’k’和sk ；
K
例题2
已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e’。
d' e'
n
d
二、将投影面垂直面变换为投影面平行面
c
’
c1 ’
V1
a
’
b1 ’ c a
e1 ’
例题6：求交叉两直线AB和CD的公垂线MN。
b’ d’ a’
c’ b d
a
c
b’
分 d’ 析 A B b d N
a’
c’
K A
D E
a
c B N
M
C
C
M D
n a
b
m c( d )
例题7：求三角形ABC及BCD两平面之间的夹角。
C
b’ c’ B
A
X a’ a c d d’
θ
D
b
b’
c’
1、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2、新投影面必须垂直于一个不变投影面。
返回
(一) 点的投影变换规律
1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。
投影变换
以新的投影面置 换某一旧的投影 面，建立起一个 新的二面体系， 使某一直线或平 面由一般位置变 换为特殊位置。
旧的 V面
新的 V面
二.换面法
1)直线的一次换面
新投影与保
留投影的连线
a
垂直于新投影
b
轴；
V
XH
a
新投影到新
投影轴的距离
等于旧投影到
旧投影轴的距
b
a
离。
b1
直线的换面
a1
二.换面法
1)直线的一次换面 2)直线的二次换面
k'
a'
X HV a
k
c'
e' b' b
e
c X1
b1' L a'1
k1'
c1'
15
2020年4月5日星期日
第三章 投影变换
一.投影变换的目的与方法 二.换面法 三.例题
a
a
a
一.投影变换的目的与方法
1）投影变换的目的是将原 体系中的某一个处于一般位 置下的几何元素，改造为特 殊位置的元素，以利于图解。
2）投影变换所采用的方法: 置换投影面法（换面法） 旋转几何元素法（旋转法）
换面法 旋转法
二.换面法
一般位置
直线经过一次
b
变换可变为平 V
行线；
XH
一般位置直
线需先变换成
平行线后才能
再变换为垂直
b
线。
a a
a b1
直线的换面
b2(a2)
a1
二.换面法
平面的换面
1)平面的一次换面
注意：必 需先在该面上 取一条投影面 的平行线作为 变换依据。
旧的 V面
新的 V面
二.换面法
1)直线的一次换面
新投影与保
留投影的连线
a
垂直于新投影
b
轴；
V
XH
a
新投影到新
投影轴的距离
等于旧投影到
旧投影轴的距
b
a
离。
b1
直线的换面
a1
二.换面法
1)直线的一次换面 2)直线的二次换面
k'
a'
X HV a
k
c'
e' b' b
e
c X1
b1' L a'1
k1'
c1'
15
2020年4月5日星期日
第三章 投影变换
一.投影变换的目的与方法 二.换面法 三.例题
a
a
a
一.投影变换的目的与方法
1）投影变换的目的是将原 体系中的某一个处于一般位 置下的几何元素，改造为特 殊位置的元素，以利于图解。
2）投影变换所采用的方法: 置换投影面法（换面法） 旋转几何元素法（旋转法）
换面法 旋转法
二.换面法
一般位置
直线经过一次
b
变换可变为平 V
行线；
XH
一般位置直
线需先变换成
平行线后才能
再变换为垂直
b
线。
a a
a b1
直线的换面
b2(a2)
a1
二.换面法
平面的换面
1)平面的一次换面
注意：必 需先在该面上 取一条投影面 的平行线作为 变换依据。
一换面法的基本概念-26页精品文档
五、平面的投影变换 1、将投影面垂直面变换为投影面平行面 作图分析：
新投影面应平行于空间 平面，所以新投影轴就应 平行于空间平面的积聚性 投影。即O1X1∥abc。
投影面的空间转换关系 如图所示。
例：用换面法求出△ABC平面的实际形状。
作图分析：由于△ABC平面为一 铅垂面 ，则O1X1轴应平行于平面的 积聚性投影。
例：将△ABC平面变换为投影面垂直面。 作图步骤如图示：
3、将一般位置平面变换为投影面平行面 作图分析： 将一般位置平面变换成投影面平行面要作 两次变换。即先变换成投影面垂直面，使平面的新投影 产生积聚，再将其变换为投影面平行面。 上述的分析步骤实际上就是将前面所介绍的两种变 换平面的方法综合加以应用。
§2 - 7 变换投影面
一、换面法的基本概念 变换投影面即“换面法”。根据正投影的“真实性” ，
当空间的直线或平面与投影面平行时，其投影能够反映 直线的实长和平面的真实的形状。根据正投影的“积聚 性” ，当空间的直线或平面与投影面垂直时，其投影积 聚成点或直线。
变换投影面的基本原理是：设置新的投影面来代替原 来的某一投影面，并使新投影面与空间几何元素处于平 行或垂直的特殊位置。且使新投影面与原未被替换的投 影面垂直。
换面法应用二：
图 中 △ ABC 平 面 为 一 铅垂面，其水平投影积 聚为一直线，正面投影 为缩小的类似形。
为 求 得 △ ABC 平 面 的 真实形状，可设一新投 影 面 V1 ， V1 面 与 ABC 平 面平行并垂直于H投影 面。
§2 - 7 变换投影面
二、换面法的术语：
1、旧投影面：指图中的V、 H面；
本题的投影变换作图为 点A的两个一次变换。
2、点的二次变换 在用投影变换的方法求解一些实际问题时，需要变换两
新投影面应平行于空间 平面，所以新投影轴就应 平行于空间平面的积聚性 投影。即O1X1∥abc。
投影面的空间转换关系 如图所示。
例：用换面法求出△ABC平面的实际形状。
作图分析：由于△ABC平面为一 铅垂面 ，则O1X1轴应平行于平面的 积聚性投影。
例：将△ABC平面变换为投影面垂直面。 作图步骤如图示：
3、将一般位置平面变换为投影面平行面 作图分析： 将一般位置平面变换成投影面平行面要作 两次变换。即先变换成投影面垂直面，使平面的新投影 产生积聚，再将其变换为投影面平行面。 上述的分析步骤实际上就是将前面所介绍的两种变 换平面的方法综合加以应用。
§2 - 7 变换投影面
一、换面法的基本概念 变换投影面即“换面法”。根据正投影的“真实性” ，
当空间的直线或平面与投影面平行时，其投影能够反映 直线的实长和平面的真实的形状。根据正投影的“积聚 性” ，当空间的直线或平面与投影面垂直时，其投影积 聚成点或直线。
变换投影面的基本原理是：设置新的投影面来代替原 来的某一投影面，并使新投影面与空间几何元素处于平 行或垂直的特殊位置。且使新投影面与原未被替换的投 影面垂直。
换面法应用二：
图 中 △ ABC 平 面 为 一 铅垂面，其水平投影积 聚为一直线，正面投影 为缩小的类似形。
为 求 得 △ ABC 平 面 的 真实形状，可设一新投 影 面 V1 ， V1 面 与 ABC 平 面平行并垂直于H投影 面。
§2 - 7 变换投影面
二、换面法的术语：
1、旧投影面：指图中的V、 H面；
本题的投影变换作图为 点A的两个一次变换。
2、点的二次变换 在用投影变换的方法求解一些实际问题时，需要变换两
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
旧
新 不变
新与旧是相对的
返回
三、换面法的四个基本作图 1. 把一般位置直线变为投影面平行线 2. 把一般位置直线变为投影面垂直线 3. 把一般位置平面变为投影面垂直面 4. 把一般位置平面变为投影面平行面
返回
1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。
问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新 轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析：
如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
作图方法：
在平面内取一条 投影面平行线，经一 次换面后变换成新投 影面的垂直线，则该 平面变成新投影面的 垂直面。 一般位置直线变换成 投影面垂直线，需经 几次变换？能否只进 行一次变换？
a
点到直线的距离
一、基本概念
改变空间几何元素与投影面的相对位 置，使它们相互之间处于某一特殊位置的 情况，从而使问题简化、得到解决——投 影变换。
二、投影变换的方法 1. 辅助投影面法（换面法） 2. 旋转法
一. 换面法的基本概念
旧面
新面 c1'
V1
c1 ' b1'
新轴 a1'
b1'
旧轴a1'
不变面
第三章 投影变换——换面法
一、投影变换及换面法的基本概念 二、点的换面作图规则 三、换面法的四个基本作图 四、应用及举例
返回
求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析
b’ a’
a
b
两点之间距离
c’ b’
a’
a
c
b
三角形实形
c’ a’
d’ dc a
两平面夹角
c’
d’ b’ a’
b’
a
cd
b
b
直线 与平面的交点
作图：
n● c●
a ●m
XVH
a
●m
●
n
c
请注意各点的投 影如何返回？
●d b
d b
.
HX1P1
空间及投影分析：
当直线AB垂直于投影
面时，MN平行于投影面，
这时它的投影m1n1=MN,且
m1n1⊥c1d1。
A
M CN
d1 ●
D B a1m1b1
a1≡b●1≡m1
.
●n1 c●1
c1
P1
n1
d1
圆半径=MN
X1
X1
V/H 体系变为V1/H 体系
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面 来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利 解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
返回
二、点的换面及规律
1. 点的一次变换
V1
a1 '
X1
返回
2. 点的两次变换
a2
X2
a' 旧
水平书写好
不变 X2
新V1 H2 a2
a
V
b
A
P1a1
b1
B
作图：
a
XV H
b b
a
Hb
换H面行吗？ 不行！
a
.
H
X1 P1
a●1
b●1
新投影轴的位置？
与ab平行。
2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线；
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
V X
X2
a2b2 b P2
ax2
P1
a
b1
B A
例6：求平面ABC和ABD的夹角。
空间及投影分析：
垂所时直求所在于。由得投该几两影投何交图影定线中面理之,，知间两它：的平们两夹面的面角的投角。交影为线积两垂聚平直成面于直同投线时影，与面直第时线三，间平则的面两夹垂平角直面为相交
d
b
a
a1 ●
●d1
X
V H
c a
●c1
●b1
θ
.
dc
.
b
a2≡ b2 ● θ ●d2
c2●
例7:求两交叉直线的公垂线.
四、换面法的应用
例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。
空间及投影分析：
作图:
求C点到直线AB的距离， c
b
就是求垂线CD的实长。
如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平
XV H
行于投影面，其投影反映 c
a d
b
距离
实长。
AD
C
B
abd
P
c
ad
.
H X1 V1
空间及投影分析：
作图:
求C点到直线AB的距离， c
b
就是求垂线CD的实长。
如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平
XV H
行于投影面，其投影反映 c
a d
b
距离
实长。
AD
C
B
abd
P
c
ad
.
H X1 P1
a1 d. 1
b 1. a2b2d2
c1
P1 P2
c2
X2
过c1作线平行于x2轴。
例5：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M N
a1
作图：
b
a
XV
H
b
a
b
H1
a
X1 P1a1●
●.
b1
a2b2
H
X1 X2轴的位置？
与a1 b1 垂直
例1 已知等腰三角
形ABC的底边 为AB，试用 换面法求出等 腰三角形ABC 的正面投影。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc'
b'
XV
Hc a
a' e
a1'
b
e1´
b1'
c1'
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
功用：可求解平面与投影面的倾角， 点与平面的距离， 两平行面间的距离等。
a1' d. 1'
b1'. a2b2d2
如何确定d1 点的位置？
c1'
V1 H2
c V
d
a b
A
D
X
B
a
d
b
H
思考：
若变换H面，需在面内取 什么位置直线？正平线！
P1 C c1
a1 d1
c
b1
X1
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b
a
d
作 图 过 程：
★ 在平面内取一条水平
c
XV H
线AD。
a
b
★ 将AD变换成新投影
d.
面的垂直线。
c
H
●α
●
●
反映平面对哪
X1 P1 c1 a1 d1 b1 个投影面的夹角？
返回
第一节 概述
特殊位置的直线：可直接反映实长、倾角问题
a
b
a(b)
X
OX
O
a
b 实长
实长
b
a
特殊位置的平面：可直接反映实形、倾角问题
c 实形
a
b
X
O
a
cb
正平面
c b
X
O
b
a
c 正垂面
特殊位置的几何元素：可直接反映度量、定位问题
a
c
b m c
e
f
b d
e
a(b)
f
c(d)
m b
a c
距离
作图分析：由于△ABC平面为一 铅垂面 ，则O1X1轴应平行于平面的 积聚性投影。
作 图 过 程 如 图 所 示：
例 3 已知直线AB与CDE平面平行，且相距20mm，
求直线AB的 水平投影。
b1 a1
c1
c'
e1 d1
a'
e' XHV d' c
b'
e
da b
例4：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。
4. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析：
一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。
作 图： c
AB是水平 线
a
b
●a2
XV
Ha
b2● b . a1 b1.
●
c
●
c2 平面的实形
HX1P1
c●1
X2轴的位置？ 与其平行
例：用换面法求出△ABC平面的实际形状。
新 不变
新与旧是相对的
返回
三、换面法的四个基本作图 1. 把一般位置直线变为投影面平行线 2. 把一般位置直线变为投影面垂直线 3. 把一般位置平面变为投影面垂直面 4. 把一般位置平面变为投影面平行面
返回
1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。
问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新 轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析：
如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
作图方法：
在平面内取一条 投影面平行线，经一 次换面后变换成新投 影面的垂直线，则该 平面变成新投影面的 垂直面。 一般位置直线变换成 投影面垂直线，需经 几次变换？能否只进 行一次变换？
a
点到直线的距离
一、基本概念
改变空间几何元素与投影面的相对位 置，使它们相互之间处于某一特殊位置的 情况，从而使问题简化、得到解决——投 影变换。
二、投影变换的方法 1. 辅助投影面法（换面法） 2. 旋转法
一. 换面法的基本概念
旧面
新面 c1'
V1
c1 ' b1'
新轴 a1'
b1'
旧轴a1'
不变面
第三章 投影变换——换面法
一、投影变换及换面法的基本概念 二、点的换面作图规则 三、换面法的四个基本作图 四、应用及举例
返回
求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析
b’ a’
a
b
两点之间距离
c’ b’
a’
a
c
b
三角形实形
c’ a’
d’ dc a
两平面夹角
c’
d’ b’ a’
b’
a
cd
b
b
直线 与平面的交点
作图：
n● c●
a ●m
XVH
a
●m
●
n
c
请注意各点的投 影如何返回？
●d b
d b
.
HX1P1
空间及投影分析：
当直线AB垂直于投影
面时，MN平行于投影面，
这时它的投影m1n1=MN,且
m1n1⊥c1d1。
A
M CN
d1 ●
D B a1m1b1
a1≡b●1≡m1
.
●n1 c●1
c1
P1
n1
d1
圆半径=MN
X1
X1
V/H 体系变为V1/H 体系
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面 来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利 解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
返回
二、点的换面及规律
1. 点的一次变换
V1
a1 '
X1
返回
2. 点的两次变换
a2
X2
a' 旧
水平书写好
不变 X2
新V1 H2 a2
a
V
b
A
P1a1
b1
B
作图：
a
XV H
b b
a
Hb
换H面行吗？ 不行！
a
.
H
X1 P1
a●1
b●1
新投影轴的位置？
与ab平行。
2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线；
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
V X
X2
a2b2 b P2
ax2
P1
a
b1
B A
例6：求平面ABC和ABD的夹角。
空间及投影分析：
垂所时直求所在于。由得投该几两影投何交图影定线中面理之,，知间两它：的平们两夹面的面角的投角。交影为线积两垂聚平直成面于直同投线时影，与面直第时线三，间平则的面两夹垂平角直面为相交
d
b
a
a1 ●
●d1
X
V H
c a
●c1
●b1
θ
.
dc
.
b
a2≡ b2 ● θ ●d2
c2●
例7:求两交叉直线的公垂线.
四、换面法的应用
例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。
空间及投影分析：
作图:
求C点到直线AB的距离， c
b
就是求垂线CD的实长。
如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平
XV H
行于投影面，其投影反映 c
a d
b
距离
实长。
AD
C
B
abd
P
c
ad
.
H X1 V1
空间及投影分析：
作图:
求C点到直线AB的距离， c
b
就是求垂线CD的实长。
如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平
XV H
行于投影面，其投影反映 c
a d
b
距离
实长。
AD
C
B
abd
P
c
ad
.
H X1 P1
a1 d. 1
b 1. a2b2d2
c1
P1 P2
c2
X2
过c1作线平行于x2轴。
例5：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M N
a1
作图：
b
a
XV
H
b
a
b
H1
a
X1 P1a1●
●.
b1
a2b2
H
X1 X2轴的位置？
与a1 b1 垂直
例1 已知等腰三角
形ABC的底边 为AB，试用 换面法求出等 腰三角形ABC 的正面投影。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc'
b'
XV
Hc a
a' e
a1'
b
e1´
b1'
c1'
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
功用：可求解平面与投影面的倾角， 点与平面的距离， 两平行面间的距离等。
a1' d. 1'
b1'. a2b2d2
如何确定d1 点的位置？
c1'
V1 H2
c V
d
a b
A
D
X
B
a
d
b
H
思考：
若变换H面，需在面内取 什么位置直线？正平线！
P1 C c1
a1 d1
c
b1
X1
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b
a
d
作 图 过 程：
★ 在平面内取一条水平
c
XV H
线AD。
a
b
★ 将AD变换成新投影
d.
面的垂直线。
c
H
●α
●
●
反映平面对哪
X1 P1 c1 a1 d1 b1 个投影面的夹角？
返回
第一节 概述
特殊位置的直线：可直接反映实长、倾角问题
a
b
a(b)
X
OX
O
a
b 实长
实长
b
a
特殊位置的平面：可直接反映实形、倾角问题
c 实形
a
b
X
O
a
cb
正平面
c b
X
O
b
a
c 正垂面
特殊位置的几何元素：可直接反映度量、定位问题
a
c
b m c
e
f
b d
e
a(b)
f
c(d)
m b
a c
距离
作图分析：由于△ABC平面为一 铅垂面 ，则O1X1轴应平行于平面的 积聚性投影。
作 图 过 程 如 图 所 示：
例 3 已知直线AB与CDE平面平行，且相距20mm，
求直线AB的 水平投影。
b1 a1
c1
c'
e1 d1
a'
e' XHV d' c
b'
e
da b
例4：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。
4. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析：
一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。
作 图： c
AB是水平 线
a
b
●a2
XV
Ha
b2● b . a1 b1.
●
c
●
c2 平面的实形
HX1P1
c●1
X2轴的位置？ 与其平行
例：用换面法求出△ABC平面的实际形状。