《工程制图》换面法.解析
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土木工程制图第五章,投影变换-换面法
H
3、一般位置直线变成投影面垂直线
• 先将一般位置直线变成 投影面平行线； • 再将投影面平行线变成 X 投影面垂直线。 1 X 2 X • 注意：什么是二次变换？
b a'
2 2
土木工程制图
a' b'
a
b a'
1
b'
1
土木工程制图 4、一般位置平面变成投影面垂直面 • 在一般面上作一投影面平行线，例作一水 平线；
第5章 投影变换—换面法
土木工程制图
教学提示：画法几何中有关点、直线和平面的问 题，一般可以归纳为定位和度量问题。 当几何元素处于一般位置时，为了求 解方便，常采用换面法改变其中的某 些元素与投影面的相对位置，成为有 利于解题的特殊位置。 学习要求：通过本章学习，学生应掌握换面法的 一般概念及特点，能够使用换面法解 决有关点、直线和平面等几何元素之 间的定位和度量问题。
分析：在投影图中直接反映两平面夹角的特殊 情况，只要将这两个相邻平面用换面法变成同 时垂直于同一投影面，也就是将这两个平面的 交线变换成投影面垂直线，即可求得夹角θ。
土木工程制图
a' f'c' e'd' 1.在适当的位置作O1X1∥cd1，将CD变换为H、 V1新投影面体系中的V1面平行线。
X
V H
土木工程制图
3）求平面的实形： 将平面变成投影面平行面。 4）求平面的倾角、点到平面的距离、两平行面距离、直线 与平面交点和两平面交线等： 将一般面变成投影面垂直面。
二、换面法基本方法
土木工程制图
1、基本原则： 1）新投影面必须设立在使空间元素处 在有利于解题的位置； 2）新投影面必须垂直于原有投影体系 中的一个投影面。 2、基本概念：
土木工程制图讲义换面法篇
b 影m1n1=MN, 且m1n1⊥c1d1。
d b
.
H X1V1
A
d1 ●
a1≡b●1≡m1
M CN
BD a1●m1b
.
●n1
c1 V1
n1
1
d1
c1●
m1n1⊥c1d1
小结
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。
二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投影面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析：如 的垂果直把两线平平，面面那内垂么的直该一需平条满面直足则线什变变么换换条成成件新新？投投影影面面
的垂直面。
作图方法：
一在般平位面置内直取线一变条换成投影面垂直线c， 需经几V1 次变换？
能投否影只面进平行一线次，变经换一？ V
次换面后变换成新投
d
空间及投影分析 交叉二直线间的距离即是它们之间公 垂线的实长。若两交叉直线之一变换成新 投影面垂直线时，公垂线必为该投影面的 平行线，反映实长，且与另一直线投影垂 直，据此可确定公垂线位置。
例5: 求交叉二直线AB、CD 之间的距离及公垂线的投影。
m b
a
d n
X
V H
c m
b
ac
nd
B M
A m1 b1 H1 a1
如何求出两平行直线间距离？ 4.逆变换返回，求出公垂线
的投影；
例6：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN，且AB 为水平线，求CD及MN的投影。 M N
作图：
n● c●
工程制图换面法课件
零件图
通过换面法，可以将复杂的零件 图进行简化，使得绘图更加方便 快捷。
装配图
在绘制装配图时，换面法可以帮 助确定各个零部件的位置关系， 提高绘图效率。
在建筑工程制图中的应用
平面图
在绘制建筑平面图时，利用换面法可 以将复杂的建筑结构进行简化，便于 绘图。
立面图
在绘制建筑立面图时，通过换面法可 以更好地表现建筑的外观和结构。
在水利工程制图中的应用
流域图
在绘制水利工程流域图时，利用换面法可以 将复杂的流域地形进行简化，便于绘图。
水工建筑物图
在绘制水工建筑物图时，换面法可以帮助确 定水工建筑物的位置和结构，提高绘图效率 。
THANKS
感谢观看
它是一种有效的解决复杂工程问题的 手段，通过换面法可以简化复杂结构 的分析、设计和绘图过程。
原理
换面法的原理基于投影几何和三维几何的基本原理，通过改 变观察者和物体的相对位置，使得新的投影面上的投影更加 简单，易于分析和处理。
在实际应用中，换面法的原理可以通过各种计算和绘图软件 来实现，这些软件可以根据用户的需求自动进行换面操作， 并生成相应的工程图纸。
的三维空间关系。
灵活性
换面法可以根据需要选择不同 的投影面，以便更好地展示物 体的某些特征。
易于掌握
换面法的操作相对简单，不需 要复杂的数学计算，易于学习 和掌握。
广泛应用
换面法在工程、机械、建筑等 领域都有广泛应用，是工程技 术人员必须掌握的基本技能之
一。
缺点
计算量大
在某些情况下，换面法需要进行大量的计算 和作图，增加了工作量。
02
换面法的分类
平行投影面的换面法
01
02
建筑制图--_换面法详解
投影面的垂直线
Байду номын сангаас
正平线 变换哪一个投影面？
二、一般位置直线的两次变换
将一般位置直线变为投影面的垂直线，需经过两次换面
6.4 平面的换面
一、平面的一次换面
1. 一般位置平面可以变为投影面的垂直面 作图要点：新投影 轴垂直于平面内的 正平线。
一、平面的一次换面
2. 投影面垂直面可变为投影面平行面
铅垂面 变换V面 (1) 在适当的位置画出新轴X1平行于 abc (2) 求出ΔABC各点的新投影并连线
c
d a
b
X
O
b
d
c a
直线与平面的
交点
换面法的基本概念
如能将与投影面处于一般位置的几何元素变为与投影
面处于特殊位置，则一些问题的求解就会变得容易。
可选取新投影面V1代替V面 让空间几何元素的位置保持不动，用一个新的投影面
体系替换原来的投影面体系
使空间几何元素对新
投影面体系处于有利
于解题的特殊位置的
实长
6.2 点的换面
一、点的一次变换 1.变换V面
在V/新H称投为影旧面投体新影系投面中影体，到系V新1，面轴V垂的1/直H距于称离H为等面新于，投旧a影1投’a面影垂体到直系旧于即轴Xa11的轴’a距x1=离a’，ax
一、点的一次变换 2.变换H面
1. 作出新轴X1 2. 过b’ 作b’b1垂直于X1轴 3. 量取b1bx1=bbx，b1
为所求
二、点的两次变换
(1) 通过一次变换求得a1 ‘
(2) 在适当的位置画出第二
次换面的新轴X2 (3) 过a1’作a1’a2垂直于X2 轴,量取a2ax2=aax1,得a2
工程制图(换面法)
b d X V H a a d c O b O1
H X1 a1 d (c ) 1 1 V1 X2 c2 H2 a2
c
b1 O2
b2 实形
例题1：
求K点到直线AB之 距及两面投影。
距离 K
k a
t
b
V
X H O1 A T k1 a1 a t O
k
b
t1
b1 O2
H
空间分析： 两平面垂直需满足什么条件？ 如果把平面内的一条直线变换成新投影面 的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面 。 作图方法：
在平面内取 一般位置直线 V 一条投影面平行线， 变换成投影面垂直线， 经一次换面后变换成 需经几次变换？ 新投影面的垂直线， 能否只进行一次变换？ a 则该平面变成新投影 面的垂直面。 X 思考： 若变换H面，需在面内 取什么位置直线？ c
H X1 V1
c2
d
A
c2
H2
a2
d2
例3：
求交叉两直线AB和CD间的距离。
C b g B k d O d O1 k1 c1 a1 g1 b2
H X1V1 a1 d (c ) 1 1
b1
把一般位置平面变换成投影面的垂直面
b V a b
d
c
B
b1
a
c b d c
D X
A
b C
V X d1H1 H a1 a c1
a
d
c
H
5.把投影面的垂直面变换成投影面的平行面
V
a V
A c1
a1
实形 V b1 X
a b c
点在V/H1体系中 a XV H
求新投影的作图方法
更换V面
H X1 a1 d (c ) 1 1 V1 X2 c2 H2 a2
c
b1 O2
b2 实形
例题1：
求K点到直线AB之 距及两面投影。
距离 K
k a
t
b
V
X H O1 A T k1 a1 a t O
k
b
t1
b1 O2
H
空间分析： 两平面垂直需满足什么条件？ 如果把平面内的一条直线变换成新投影面 的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面 。 作图方法：
在平面内取 一般位置直线 V 一条投影面平行线， 变换成投影面垂直线， 经一次换面后变换成 需经几次变换？ 新投影面的垂直线， 能否只进行一次变换？ a 则该平面变成新投影 面的垂直面。 X 思考： 若变换H面，需在面内 取什么位置直线？ c
H X1 V1
c2
d
A
c2
H2
a2
d2
例3：
求交叉两直线AB和CD间的距离。
C b g B k d O d O1 k1 c1 a1 g1 b2
H X1V1 a1 d (c ) 1 1
b1
把一般位置平面变换成投影面的垂直面
b V a b
d
c
B
b1
a
c b d c
D X
A
b C
V X d1H1 H a1 a c1
a
d
c
H
5.把投影面的垂直面变换成投影面的平行面
V
a V
A c1
a1
实形 V b1 X
a b c
点在V/H1体系中 a XV H
求新投影的作图方法
更换V面
土木工程制图第5章投影变换换面法
5.2
图5-9 一般位置直线变换成垂直线
5.2
4.将一般位置平面变换成垂直面
如图5-10所示，△ABC为一个一般位置平面，如果要将其 变换为正垂面，
(1)在△ABC上作水平线AD，其投影为a′d′和ad (2)作X1轴⊥ad (3)作△ABC在V1面的投影a1′b1′c1′，a1′b1′c1′ 积聚为一条直线，它与X1轴的夹角即反映△ABC对H面的 倾角α
5.2
图5-6 一般位置直线变换成平行线(求α角)
5.2
2.
如图5-8所示，AB为 一条正平线，要变换成垂 直线。根据垂直线的投影 特性，反映实长的投影必 定为不变投影，只要变换 水平投影，即作新投影面 H1垂直于直线AB，作图时 作X1⊥a′b′，则直线AB 在H1面上的投影积聚为一 a1(b1)
(2)过a点作新投影轴X1的垂线，得交点aX1 (3)在垂线aaX1上截取a1′aX1= a′aX，即得A点在V1面 上的新投影a1′。
5.2
图5-3 点的一次变换(变换V面)
5.2
(1)不论在新的或原来的(被代替的)投影面体 系中，点的两面投影的连线垂直于相应的投影轴。
(2)点的新投影到新投影轴的距离等于原来的 投影到原来投影轴的距离。
5.2
图5-16 求侧平线与倾斜面的交点
5.2
【例5-3】
求两条交叉直线AB、CD间的距离，如图5-17(a)
【解】分析：两条交叉直线间的距离即为它们之间公垂线的
长度。如图5-17(a)所示，若将两条交叉直线中的一条(
AB )
MK
并在该投影面上的投影反映实长，而且与另一条直线在新投
影面上的投影互相垂直。
5.2
图5-18 求两平面间的夹角
工程制图习题集答案附页2
d’
a1 c1
d
返回
2.求出平面ABCD的实形。
b1 e’ d1 c2 c1 a1
e
TS
b2
d2 a2
返回
3.已知正方形ABCD的=45°，C在B的前 上方，补全其两面投影。
c1(d1) 习题分析
(a1)b1
d’ c’
已知正方形ABCD的=45°，则 应当使用换面法，而AB是一条 正平线，符合平面换面法的要求。 正方形ABCD在1号面上的投影 积聚为一直线，其长度等于正 方形边长，a’b’为正方形边AB的 TL；同时已知C在B的前上方， =45°。 正方形BC边和AD边在1号面上 的投影为TL，则V面投影b’c’和 a’d’应平行于X1投影轴。
b1
d1 a1
返回
6.在AB上定一点K使∠CKD=90°，求K点的 两面投影，共有几个解？
k’
k
k1
c1(b1) b2
a1
d1 在AB上定点K，只有一c2
返回
返回
d
c
返回
4.已知一平面图形的两面投影，根据其水 平投影和反映真形的１面投影，补出其Ｖ 面投影。
c’ b’ a’ d’ e’
a1 b1 c1 e1
d1
返回
5.管道ABC的B角用R16的弯管连接，求弯 管的中心角α和管道的两面投影（用单线表 示）。
d’ h ’ g’ f’ e’ 解题步骤 1.作ABC的真形图。 2.作R16圆弧与a1b1 和b1c1相切，画出管 道真形，并求出中心 角α。 c1 e1 α f1 g1 h1 3.运用换面法求管道 的两面投影。
附页2：换面法（二）
第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题
5章-换面法
对平面：若求角，则将平面上的水平线换成垂直线 （即换V面，新轴垂直于水平线的H投影）； 若求β角，则将平面上的正平线换成垂直线 （即换H面，新轴垂直于正平线的V投影）。
[例1] 求点A到直线BC的距离和垂足的投影。 §6-3 十换二面五法规的划应教用材 例 1 ： 求 点 到 一 般 线 距 离
a'
O
X
a
绕铅垂轴旋转
b 轴线通过A点 d1
d' 绕正垂轴旋转
轴线通过C点
c' O
c
d
例
旋转法 (绕投影面垂直线旋转）
[例] 求铅垂面ABC的实形。
b1'
b'
十二五规划教材
垂 直 面 转 为 平 行 面
c1'
实形
c'
X
c1
b1
a' a
b
O
绕铅垂轴旋转 轴线通过A点
c
旋转法 (绕投影面垂直线旋转）
[例] 求一般面ABC的实形。
c f (h) n
点）、棱面CDHG的
V投影不可见；
e
m
b h1 (d) (d1)
§6-3 十换二面五法规的划应教用材例 7 ： 作 四 棱 柱 及 表 面 上 的 点 的 V 投 影
g1 (c1)
a
e1
f1 (b1)
(a1)
小结
十二五规划教材
小 结 — 求 线 面 与 投 影 面 的 倾 角
具体解题时,应将某个一般位置的直线或平面变换为特殊状态:
[例] 求线段的实长及倾角 。 （设立平面V1平行于线段AB，则新轴O1X1∥ab）
b1'
V
V1
工程制图 第3章习题及答案
3-1换面法
①X1∥de →②求出d1→③d1为圆心，40为半径做圆弧，交得e1→④返回，求得e’
思路：将△ABC变换为投影面的垂直面。
求点D到△ABC的距离也就是过点D 作△ABC 的垂线DK，
若△ABC⊥V
1面，则DK∥V
1
面。
作图步骤：
1.在△ABC内作水平线CN（作c’n’∥X ）；
2.作X1⊥cn；
3.投影变换，得a1、b1、c1、d1；
4.作d1 k1⊥a1 b1 c1（d1 k1即为所求）。
5.也可继续将K点返回：
∵△AB C⊥V
1，而DK⊥△AB C, ∴DK∥V
1
, ∴做dk∥X1, 得k；
∵点K∈△ABC，∴连接ak延长交bc于m；投影得m’，连接a’m’，投影得k’。
3-2换面法
思路：将△ABC变换为投影面的垂直面，直接得出交点K。
再判断可见性。
作图步骤：
1.在△ABC内作水平线AM（作a’m’∥X ）；
2.作X1⊥am；
3.投影变换，得a1、b1、c1、e1、f1；e1f1与a1b1c1交于k1；
4.返回求得k和k’；
5.判别可见性。
3-3换面法
思路：通过两次换面，求出△ABC的实形，即得AB和AC的夹角。
作图步骤：
1.∵BA∥H，∴作X1⊥ba；
2. 投影变换，得a1、b1、c1；
3. 作X2∥a1b1c1；
4. 投影变换，得a2、b2、c2；。
5. △a2b2c2=△ABC，θ即为AB和AC的夹角。
3-4换面法
3-5换面法
3-6换面法
3-7换面法。
清华大学工程制图换面法
２、 把投影面垂直面变为投影面平行面
c1 V1 a1
b1
2013-2-3
X1
16
c1 b1
例5 求铅垂面 ABC的实形。 o
a1
作图要点： 新投影轴平行 于平面的积聚性投 影线。
2013-2-3 17
３、把一般位置平面变为投影面平行面
a2 b2 d2 d c2
实形
o
d
d
30
小结——本讲基本要求
重点：换面法的原理及作图方法。
2013-2-3
31
a1
o
b1
2013-2-3
10
2、把投影面平行线变为投影面垂直线
a1 b1 b
a1 b1
o
b
2013-2-3 11
３、把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
b1 V1 a1
X1
2013-2-3
12
３、把一般位置直线变为投影面垂直线
o
a2 b2
2013-2-3
13
三、平面的投影变换
１、把一般位置平面变为投影面垂直面 例3 将一般位置平面ABC变换为投影面 的垂直面，并求其正面倾角 。
被更换的投影面V
建立新投影 面的原则？
新的投影面V1 新投影面的选择原则： 1、新投影面必须与空间几 何元素处于有利于解 题的位置； 2、新投影面必须垂直于原 有的一个投影面。
5
不变的投影面H V/H 体系变为V1/H 体系
2013-2-3
一、点的投影变换
1.点的一次变换
V1 a1
点的投影变换规律：
例10 已知点M到平面 ABC的距离为30，求m’。
b’
土木工程制图-换面法篇教学提纲
a1
ax2 .
a'1
H1 V1 X2
四、换面法的四个基本作图问题
1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB//V1。
作图：
b
a V
b
V1
A
a'1
b'1 B
a
a
XV H
b
a.
H
X1 V1
●
●
a'1
b'1
Hb
X1
新投影轴的位置？
⒉ 更换两次投影面
新投影体系的建立
先把V→V1，
V1H，得到中间新投影体系:
X1 V—1 H
再把H→H1， H1 V1，得到新投影体系: X2 —VH11
V a
ax
X
X2
a1
H1
ax2
V1
O
A
a'1
a ax1
H
X1
按次序更换
作图方法
a
X
V H
ax
a ax1 .
H X1 V1
作图规律
a1a'1 X2 轴 a1ax2 = aax1
b
c
d.
b
H X1
V1
b'● 1
α a'1●d'1c● '1
4. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析：
一次变换能否实现？
一次换面,
把一般位置平面变换成投影面垂直面； 为什么？
二次换面，把投影面垂直面变换成投影面平行面。
作图方法：
工程制图 第四章 投影变换
例1 求两平行直线AB 和CD 之间的距离
—— 在V/H 投影体系中直接解题： 解题步骤： 1.过一条直线AB 上任一点E 作另 一条直线CD 的 垂面 2.求直线CD 与所 作垂面的交点F 3.连e’f’、ef即为 所求距离的投影
4.求作EF 的实长
实长
例1 求两平行直线AB 和CD 之间的距离
更换水平投影面
把一般位置线变为投影面垂直线
.
把一般位置平面变为投影面垂直面
正平线 垂直
把一般位置平面变为投影面平行面
1.两平行直线之间的距离
例1
求两平行直线AB 和CD 之间的距离 在V/H 投影体系中直接解题 应用换面法在H/V1体系或V1/H2体系中解题 应用换面法在V1/H2体系中解题
例
1. 把一般位置平面变为投影面垂直面 2. 把一般位置平面变为投影面平行面 3. 综合问题举例
点的一次变换
点在V1/H 体系中的投影
旧投影面 旧投影
不变投影面
不变投影 .
新投影
新投影面
点的一次变换
点在V/H1体系中的投影
不变投影
新投影
旧投影
点的二次变换
.
.
把一般位置直线变为投影面平行线
更换水平投影面
例2 求两交叉直线AB 和CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置 —— 在V/H 投影体系中直接解题：
解题步骤： 1.过直线CD上任一点C 作直 线CG 平行于AB,连DG
2.过直线AB 上任一点M 作平 面CDG 的垂线,N 为垂足
3.过垂足N 作直线EF 平行于 直线AB,交CD 于点S
4.过点S 作直线MN 的平行线, 交直线AB 于点T,ST 即为 所求
工程制图(换面法)
a
V1
X
V H
a2
a
a1
a
A
a2
X1 a
精选ppt
a1
15
精选ppt
16
四、基本作图
1、把一般位置直线变换成投影面的平行线
b
b a
X
b1 V1
O O1
B
a1
bA
X1
aH
V a
X
O
H
b O1
a
H
b1
X1 V1 a1
实长
精选ppt
17
2.把投影面的平行线变换成投影面的垂直线
V b a
V1
O a1 (b1) O1
第四章 换面法 第一节 概述 第二节 投影变换
精选ppt
1
第一节 概述
特殊位置的直线： 可直接反映实长、倾角问题
a
b
a(b)
X
O
X
O
a
实长
b
b 实长
a
精选ppt
2
特殊位置的平面： 可直接反映实形、倾角问题
c 实形
a
b
X
O
a
cb
a c
b
X
O
b
a
类似形 c
正平面
精选ppt
正垂面
3
特殊位置的几何元素： 可直接反映度量、定位问题
23
4.把一般位置平面变换成投影面的垂直面
空间分析： 如果两把平平面面垂内直的需一满足条什直么线条变件换？成新投影面
的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面
。 作图方法：
在平面内取 一条投影一面般平位行置线直，线 V 变经换一成次投换影面面后垂变直换线成， 需新则能经投该否几影平只次面面进变的变行换垂成一？直新次线投变，影换？ a
V1
X
V H
a2
a
a1
a
A
a2
X1 a
精选ppt
a1
15
精选ppt
16
四、基本作图
1、把一般位置直线变换成投影面的平行线
b
b a
X
b1 V1
O O1
B
a1
bA
X1
aH
V a
X
O
H
b O1
a
H
b1
X1 V1 a1
实长
精选ppt
17
2.把投影面的平行线变换成投影面的垂直线
V b a
V1
O a1 (b1) O1
第四章 换面法 第一节 概述 第二节 投影变换
精选ppt
1
第一节 概述
特殊位置的直线： 可直接反映实长、倾角问题
a
b
a(b)
X
O
X
O
a
实长
b
b 实长
a
精选ppt
2
特殊位置的平面： 可直接反映实形、倾角问题
c 实形
a
b
X
O
a
cb
a c
b
X
O
b
a
类似形 c
正平面
精选ppt
正垂面
3
特殊位置的几何元素： 可直接反映度量、定位问题
23
4.把一般位置平面变换成投影面的垂直面
空间分析： 如果两把平平面面垂内直的需一满足条什直么线条变件换？成新投影面
的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面
。 作图方法：
在平面内取 一条投影一面般平位行置线直，线 V 变经换一成次投换影面面后垂变直换线成， 需新则能经投该否几影平只次面面进变的变行换垂成一？直新次线投变，影换？ a
工程制图(换面法)讲解学习
把一般位置平面变换成投影面的垂直面
b
V
a
X
b d B
c
A b
a
b1
D C
a
V
X
d1H1 H
a1
a
c1
d
c
H
c
b d c
5.把投影面的垂直面变换成投影面的平行面
a A
V c C
b a
X
实形 a1
V c1
b1
B bH
V
a
b X
b H
X1
c O
a (c) O1
c
b
a
V1
把投影面的垂直面变换成投影面的平行面
⒉点的两次变换
新投影体系的建立
X2
V a
ax X
H2
a2
ax2 V1
A
a1
a ax1
H
X1
按次序更换
先把V面换成平面V1， V1H，得到中间新投影体系: X1 —VH1 再把H面换成平面H2， H2 V1，得到新投影体系: X2 VH—12
点的两次变换
a
V1
X
V H
a2
a
a1
a
A
a2
a1
X1 a
a ● m
X
V H
a
●m
●
n
c
请注意各点的投 影如何返回？ 求m点是难点。
●d
空间及投影分析：
当直线AB垂直于
投影面时，MN平行于投影
b
d b
. a’1≡b●’1≡m’1
面，这时它的投影
m’1n’1=MN,且m’1n’1⊥A c’1d’1。
M CN
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2.6.2 换面法
一、换面法的基本概念 二、新投影面的选择原则 三、点的投影变换规律 四、六个基本问题
一、换面法的基本概念
c
V1
a1
c1 b1
c1
a
b1
b
X
a1
bc
X1
X1
a
V/H 体系变为V1/H 体系
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替 旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后 找出其在新投影面上的投影。
c1
V1
a1 b1
X1
作图过程
c1 b1
a1
[例题6] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2
e d
ed
（六） 把一般位置平面变为投影面平行面
a2
b2
实形
d2
c2
d
d
（1） 点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。
（2） 点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的 距离。
点在V/H1体系中的投影 a1
a1
3． 点的两次变换
a2 a2
四、六个基本问题
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线 例题1
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线 （三） 把一般位置直线变为投影面垂直线
2
1
2
c2
22
12
c'1
2'1
d'1
d2
a2b2
1'1
（四） 把一般位置平面变为投影面垂直面
b
a
d
b1
c
V
D
X
d1H1 H
a1
a
b d
c1
c
d c
[例题4] 求点S到平面ABC的距离
k1 s1
距离
[例题5] 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
d
N
e
d
（五） 把投影面垂直面变为投影面平行面
二、新投影面的选择原则
（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 1．新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2．新投影面必须垂直于一个不变投影面。
三、点的投影变换规律
1．点的一次变换 2．点的投影变换规律 3．点的两次变换
1．点的一次变换
V1 a1
X1
V1 a1 a1
2． 点的投影变换规律
a1 b1
b
a1 b1
b
（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
b1
V1
a1
X1
作图过程
把一般位置直线变为投影面垂直线 a2 b2
[例题2] 求点C到直线AB的距离
提示
作图过程
作图
a1 c1
k1 ห้องสมุดไป่ตู้1
k'
b'2 k'2
a'2
c'2
距离
k
[例题3] 求两直线AB与CD的公垂线 。
b 1
例题2 例题3 （四） 把一般位置平面变为投影面垂直面
例题4 例题5 （五） 把投影面垂直面变为投影面平行面 （六） 把一般位置平面变为投影面平行面
例题6
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线
b1
a1
b1
a1
[例题1] 把一般位置直线变为H1投影面平行线
a1
b1
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线
一、换面法的基本概念 二、新投影面的选择原则 三、点的投影变换规律 四、六个基本问题
一、换面法的基本概念
c
V1
a1
c1 b1
c1
a
b1
b
X
a1
bc
X1
X1
a
V/H 体系变为V1/H 体系
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替 旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后 找出其在新投影面上的投影。
c1
V1
a1 b1
X1
作图过程
c1 b1
a1
[例题6] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2
e d
ed
（六） 把一般位置平面变为投影面平行面
a2
b2
实形
d2
c2
d
d
（1） 点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。
（2） 点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的 距离。
点在V/H1体系中的投影 a1
a1
3． 点的两次变换
a2 a2
四、六个基本问题
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线 例题1
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线 （三） 把一般位置直线变为投影面垂直线
2
1
2
c2
22
12
c'1
2'1
d'1
d2
a2b2
1'1
（四） 把一般位置平面变为投影面垂直面
b
a
d
b1
c
V
D
X
d1H1 H
a1
a
b d
c1
c
d c
[例题4] 求点S到平面ABC的距离
k1 s1
距离
[例题5] 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
d
N
e
d
（五） 把投影面垂直面变为投影面平行面
二、新投影面的选择原则
（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 1．新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2．新投影面必须垂直于一个不变投影面。
三、点的投影变换规律
1．点的一次变换 2．点的投影变换规律 3．点的两次变换
1．点的一次变换
V1 a1
X1
V1 a1 a1
2． 点的投影变换规律
a1 b1
b
a1 b1
b
（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
b1
V1
a1
X1
作图过程
把一般位置直线变为投影面垂直线 a2 b2
[例题2] 求点C到直线AB的距离
提示
作图过程
作图
a1 c1
k1 ห้องสมุดไป่ตู้1
k'
b'2 k'2
a'2
c'2
距离
k
[例题3] 求两直线AB与CD的公垂线 。
b 1
例题2 例题3 （四） 把一般位置平面变为投影面垂直面
例题4 例题5 （五） 把投影面垂直面变为投影面平行面 （六） 把一般位置平面变为投影面平行面
例题6
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线
b1
a1
b1
a1
[例题1] 把一般位置直线变为H1投影面平行线
a1
b1
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线