运筹学对偶问题

min W YB s .t. （B） YA C T Y 0
其中： C c 1 c 2 c n
Y y 1 y 2 y m
b 1
B
b2
b m
a11
A
a21
an1
a12 a22
a 精m品2 课件
a1n a2n amn
x 1
X
x2
x n
可以将以上关系列成以下对偶表：
4x1 3x2 10
xx11
x2 x2
5 5
x1x25
设x2 x3 x4, x3 0, x4 0
精品课件
则，原问题变为
（A）
max Z 4 x 1 5 x 2 s .t .
3 x1 2 x 2 20 4 x1 3 x 2 10 x1 x2 5 x 1 0 , x 2 为自由变量
以上我们介绍的对偶问题是严格定义的对偶问题，也 成为对称对偶问题 。
它满足两个条件： 精品课件
两个条件：
1、所有变量非负：即X>0，Y>0 2、约束条件均为同向不等式。若原问题约束条件均 为“≤”，则它的对偶问题的约束条件都是“≥”。
当原问题的约束条件的符号不完全相同时，也存在 对偶问题，这种对偶问题称为非对称对偶问题。
（A‘）
（B‘）
max Z ' 4 x 1 5 x 3 5 x 4 s .t. 3 x 1 2 x 3 2 x 4 20 4 x 1 3 x 3 3 x 4 10 x1 x3 x4 5 x1 x3 x4 5 x1 0, x3 0, x4 0
min W ' 20 y1 '10 y 2 '5 y 3 '5 y 4 ' s.t. 3 y1 '4 y 2 ' y 3 ' y 4 ' 4 2 y1 '3 y 2 ' y 3 ' y 4 ' 5 2 y1 '3 y 2 ' y 3 ' y 4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0
a 12 y 1 a 22 y 2 a m 2 y m c 2
a 1 n y 1 a 2 n y 2 a mn y m c n y1 0, y2 0, ym 0
称为原问题（A）的对偶线性规划问题，
或称A、B互为对偶问题。
精品课件
如果采用向量、矩阵来表示
max F CX s .t . （A） AX B X 0
精品课件
例
max Z 4 x 1 5 x 2 s .t . 3 x 1 2 x 2 20 4 x 1 3 x 2 10 x1 x 2 5 x 1 0 , x 2 为自由变量
分析：
为求对偶问题，可先做过渡，将问题对称化：
精品课件
对称化
max Z 4 x 1 5 x 2 s .t . 3 x1 2 x 2 20 4 x1 3 x 2 10 x1 x2 5 x 1 0 , x 2 为自由变量
精品课件
比较
max F 6 x1 14 x2 13 x3 s.t. x1 4 x2 2 x3 48 x1 2 x2 4 x3 60 x1 0, x2 0, x3 0
min W 48 y 1 60 y 2 s .t. y1 y2 6 4 y 1 2 y 2 14 2 y 1 4 y 2 13 y1 0, y2 0
第四章 对偶问题
对偶问题的一般形式 对偶问题的经济意义 对偶性质 对偶单纯形法 对偶单纯形法的解题原理
精品课件
一、对偶问题的一般形式
若设一线性规划问题如下 ：
（A）
max F c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n
s .t .
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1
精品课件
解：
可以将原问题的有关参数列成下表
max
min
x1
x2
x3
b
y1
1
4
2
≤
48
y2
1
2
4
≤
60
≥
≥
≥
c
6
14
13
精品课件
∴ 对偶规划问题为
min W 48 y 1 60 y 2 s .t. y1 y2 6 4 y 1 2 y 2 14 2 y 1 4 y 2 13 y1 0, y2 0
a 21 x1 a 22 x 2 a 2n x n b 2
a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n b m x1 0, x2 0, xn 0
精品课件
则以下线性规划问题：
（B）
min W b1 y 1 b 2 y 2 b m y m
s .t .
a 11 y 1 a 21 y 2 a m 1 y m c1
精品课件
对比结果
以上对偶问题（B‘）并非原问题（A）的对偶问题 ，它是线性规划问题（A’）的对偶问题。
（A）
（B‘）
max Z 4 x 1 5 x 2 s .t .
3 x1 2 x 2 20 4 x1 3 x 2 10 x1 x2 5 x 1 0 , x 2 为自由变量
min W ' 20 y1 '10 y 2 '5 y 3 '5 y 4 ' s.t. 3 y1 '4 y 2 ' y3 ' y 4 ' 4 2 y1 '3 y 2 ' y3 ' y 4 ' 5 2 y1 '3 y 2 ' y3 ' y 4 ' 5 y ' 精品课件 1 0, y 2 ' 0, y 3 ' 0, y 4 ' 0
max Z ' 4 x 1 5 x 3 5 x 4 s .t. （A‘） 3 x 1 2 x 3 2 x 4 20 4 x 1 3 x 3 3 x 4 10 x1 x3 x4 5 x1 x3 x4 5 x1 0, x3 0, x4 0
精品课件
则（A’）的对偶问题如下：
max min
x1
x2
…
xn
b
y1
a11
a12
…
a1n
≤
b1
y2
a21
a22
…
≤
b2
…
………………
ym
am1
am2
…
amn
≤
bm
≥≥…≥
c
c1
c2
…
cn
Hale Waihona Puke Baidu精品课件
例
写出下列线性规划问题的对偶问题
max F 6 x1 14 x 2 13 x3 s.t. x1 4 x 2 2 x3 48 x1 2 x 2 4 x3 60 x1 0, x2 0, x3 0