中考数学四边形专题
中考数学四边形专题训练50题含答案
中考数学四边形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．若一个多边形的内角和是720︒，则该多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形2．下列哪个度数可能成为某个多边形的内角和()A．240°B．600°C．1980°D．21800°3．下列说法中错误．．的是（）A．平行四边形的对边相等B．正方形的对角线互相垂直平分且相等C．菱形的对角线互相垂直平分D．矩形的对角线互相垂直且相等4．有两张宽为3，长为9的矩形纸片如图所示叠放在一起，使重叠的部分构成一个四边形，则四边形的最大面积是A．27B．12C．15D．185．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．AO＝CO B．AD∥BC C．AD＝BC D．∥DAC＝∥ACD6．每一个外角都等于36︒，这样的正多边形边数是()A．9B．10C．11D．127．如图，点O是ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F．下列结论成立的是（ ）A ．OE OF =B ．AE BF =C ．DOC OCD ∠=∠ D ．CFE DEF ∠=∠8．对角线互相平分且相等的四边形一定是（ ）A ．等腰梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 9．如图，在平行四边形ABCD 中，∥B ＝70°，AE 平分∥BAD 交BC 于点E ，CF ∥AE 交AE 于点F ，则∥1＝（ ）A ．45°B ．55°C ．50°D ．60° 10．下列说法正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线相等的平行四边形是正方形D ．对角线相等的菱形是正方形 11．如图，ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，ABC ∠的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，ACB ∠的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若10BC =，则PQ 的长为（ ）A ．32B ．52C ．3D ．412．有一边长为2的正方形纸片ABCD ，先将正方形ABCD 对折，设折痕为EF （如图∥）；再沿过点D 的折痕将角A 翻折，使得点A 落在EF 的H 上（如图∥），折痕交AE 于点G ，则EG 的长度为（ ）A ．6 B ．3 C ．8﹣D ．4﹣13．下列说法错误的是（ ）A ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形B ．四条边都相等的四边形是菱形C ．四个角都相等的四边形是矩形D ．一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形14．已知：如图，四边形ABCD 中，90,60A B C ∠=∠=︒∠=︒，2,3CD AD AB ==．在AB 边上求作点P ，则PC PD +的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10 15．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，602AOD AD ∠==°，，则AB 的长是（ ）A ．2B ．4C ．D ．16．如图，菱形ABCD 的对角线12AC =，面积为24，∥ABE 是等边三角形，若点P 在对角线AC 上移动，则PD PE +的最小值为（ ）A．4 B ．C ． D ．617．如图，ABC 的内切圆O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且8AB =，17BC =，15CA =，则阴影部分（即四边形AEOF ）的面积是（ ）A ．4B ．6.25C ．7.5D ．9 18．如图，点E 在边长为5的正方形ABCD 的边CD 上，将ADE 绕点A 顺时针旋转90︒到ABF 的位置，连接EF ，过点A 作FE 的垂线，垂足为点H ，与BC 交于点.G 若2CG =，则CE 的长为（ ）A ．54B ．154C ．4D ．9219．如图，菱形ABCD 的对角线AC =12，面积为24，∥ABE 是等边三角形，若点P 在对角线AC 上移动，则PD +PE 的最小值为（ ）A ．4B ．C ．D ．6 20．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．将矩形沿AC 折叠，CD ′与AB 交于点F ，则AF ：BF 的值为（ ）A．2B．53C．54D二、填空题21．如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A，B两点的点O处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得50mMN=，则池塘的宽度AB为______m．22．如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的动点，E、F分别是P A、PR 的中点．如果DR＝5，AD＝12，则EF的长为_____．23．如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点则四边形EFGH的周长等于___cm．24．如图，已知矩形ABCD中，8AB=，5πBC=．分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧分别交对角线BD于点E，F，则图中阴影部分的面积为________（用含π的式子表示）25．如图，四边形ABCD的对角线AC BD=，E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形是___________（平行四边形，矩形，菱形，正方形中选择一个）26．如图，在△ABC 中，4BC =，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，G ，H 分别是AD ，AE 的中点，则GH ＝______．27．已知O 是平行四边形ABCD 两条对角线的交点，24AB =，36AD =，则OBC △的周长比AOB 的周长大___________．28．平行四边形ABCD 中，∥A 比∥B 小20°，那么∥C ＝_____．29．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BC =6，AC +BD =14，那么∥BOC 的周长是_____．30．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点A ，C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB ，CD 于点E ，F ．若BD ＝6，∥CAB ＝30°，则图中阴影部分的面积为 _____．（结果保留π）31．如图，ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是(0,1)，(2,2)--，(2,2)-，则顶点D 的坐标是_________．32．判断题，对的画“√”错的画“×”(1)对角线互相垂直的四边形是菱形( )(2)一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形( )(3)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形( )(4)对角线相等的四边形是菱形( )33．如图，在菱形ABCD 中，2A B ∠=∠，2AB =，点E 和点F 分别在边AB 和边BC 上运动，且满足AE CF =，则DF CE +的最小值为_______．34．如果一个梯形的上底长为2cm ，中位线长是5cm ，那么这个梯形下底长为__________cm ．35．如图，正方形ABCD 的边长是3cm ，在AD 的延长线上有一点E ，当BE 时，DE 的长是_____cm ．36．如图，在菱形ABCD 中，∥BAD ＝110°，AB 的垂直平分线交AC 于点N ，点M 为垂足，连接DN ，则∥CDN 的大小是______．37．如图，在▱ABCD 中，BM 是∥ABC 的平分线，交CD 于点M ，且DM =2，平行四边形ABCD 的周长是16，则AB 的长等于______．38．已知：如图，正方形ABCD 中，点E 、M 、N 分别在AB 、BC 、AD 边上，CE ＝MN ，∥MCE ＝35°，∥ANM 的度数______．39．如图，在边长为8的正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点，且EF ＝6，M 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则CP +PM 的最小值是_____．40．如图，在ABC 中，M 是BC 边上的中点，AP 是BAC ∠的平分线，BP AP ⊥于点P ，已知16AB =，24AC =，那么PM 的长为________．三、解答题41．如图，在ABCD 中，AE CF =．求证：ABE CDF ∠=∠．42．已知，如图长方形ABCD 中，3cm AB =，9cm AD =，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求EF 的长．43．如图，在平面直角坐标系内，ABC 的顶点坐标分别为(4,4)A -，(2,5)B -，(2,1)C -．(1)平移ABC ，使点C 移到点1(2,2)C ，画出平移后的111A B C △；(2)将ABC 绕点(0,0)旋转180︒，得到222A B C △，画出旋转后的222A B C △；(3)连接12A C ，21A C ，求四边形1221A C A C 的面积．44．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为()6,4，E 为AB 的中点，过点()8,0D 和点E 的直线分别与BC 、y 轴交于点F ，G ．（1）求直线DE 的函数关系式；（2）函数2y mx =-的图象经过点F 且与x 轴交于点H ，求出点F 的坐标和m 值； （3）在（2）的条件下，求出四边形OHFG 的面积．45．如图，AMN 是边长为2的等边三角形，以AN ，AM 所在直线为边的平行四边形ABCD 交MN 于点E 、F ，且30EAF ∠=︒．(1)当F 、M 重合时，求AD 的长；(2)当NE 、FM )NE FM EF +=； (3)在（2）的条件下，求证：四边形ABCD 是菱形． 46．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，线段AB 为边向外作等边ABD △，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ． （1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）若4AB =，求平行四边形BCFD 的面积．47．阅读下面材料，并回答下列问题：小明遇到这样一个问题，如图，在ABC ∆中，//DE BC 分别交AB 于点D ，交AC 于点E .已知,3,5CD BE CD BE ⊥==，求BC DE +的值. 小明发现，过点E 作//EF DC ，交BC 的延长线于点F ，构造∆BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）请你回答：（1）证明：DE CF =；（2）求出BC DE +的值；（3）参考小明思考问题的方法，解决问题；如图，已知ABCD 和矩形,ABEF AC 与DF 交于点,G AC BF DF ==.求AGF ∠的度数.48．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，现同时将A ，B 两点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD .(1)求点C ，D 的坐标；(2)若点P 在直线BD 上运动，连接PC ，PO .∥若点P 在线段BD 上(不与B ，D 重合)时，求S △CDP ＋S △BOP 的取值范围；∥若点P 在直线BD 上运动，试探索∥CPO ，∥DCP ，∥BOP 的关系，并证明你的结论．49．Rt∥ABC 中，∥BAC ＝90°，（1）如图1，分别以AB 、AC 、BC 为边向外作正方形ABFG 、ACPE 、BCDE ，其面积分别记为S 1，S 2，S 3，∥若AB ＝5，AC ＝12，则S 3＝ ；∥如图2，将正方形BCDE 沿C 折，点D 、E 的对应点分别记为M 、M ，若点从M 、N 分别在直线FG 和PH 上，且点M 是GO 中点时，求S 1∥S 2∥S 3；∥如图3，无论Rt∥ABC 三边长度如何变化，点M 必定落在直线FG 上吗？ 请说明理由；（2）如图4，分别以AB ，AC ，BC 为边向外作正三角形ABD ，ACF ，BCE ，再将三角形BCE沿BC翻折，点E的对应点记为P，若AB＝保持不变，随着AC的长度变化，点P也随之运动，试探究AP的值是否变化，若不变，直接写出AP的值；若改变，直接写出AP的最小值．50．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）∥请直接写出图1中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系；∥将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断∥中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4～6），且，试判断（1）∥中得到的结论哪个成立，哪个不成立？（写出你的判断，不必证明.）（3）在图5中，连结DG、BE，且，则.参考答案：1．C【分析】根据多边形内角和定理进行求解即可．【详解】解；设这个多边形的边数为n ，由题意得；()1802720n ︒⋅-=︒，解得6n =，∥这个多边形是六边形，故选C ．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，熟知对于n 边形其内角和为()1802n ︒⋅-是解题的关键．2．C【分析】本题可根据多边形的内角和为（n ﹣2）×180°来确定解决本题的方法，即判断哪个度数可能是多边形的内角和，就看它是否能被180°整除，从而根据这一方法解决问题．【详解】判断哪个度数可能是多边形的内角和，我们主要看它是否能被180°整除． ∥只有1980°能被180°整除．故选C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和的计算公式．熟练掌握多边形内角和公式是解答本题的关键．3．D【分析】根据平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质对每个选项进行分析，即可得出答案．【详解】解：∥平行四边形的对边相等，∥选项A 不符合题意；∥正方形的对角线互相垂直平分且相等，∥选项B 不符合题意；∥菱形的对角线互相垂直平分，∥选项C 不符合题意；∥矩形的对角线相等但不一定互相垂直，∥选项D 符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质是解决问题的关键．4．C【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断出四边形的形状；当两张纸条如图所示放置时，菱形面积最大，然后根据勾股定理求出菱形的边长，然后根据菱形的面积公式计算即可．【详解】解：重叠的四边形的两组对边分别平行，那么可得是平行四边形，再根据宽度相等，利用面积的不同求法可得一组邻边相等，那么重叠的四边形应为菱形；如图，此时菱形ABCD的面积最大．设AB=x，EB=9-x，AE=3，则由勾股定理得到：32+（9-x）2=x2，解得x=5，S最大=5×3=15．故选C．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，解题的关键是怎样放置纸条使得到的菱形的面积最大和最小，然后根据图形列方程．5．D【分析】根据平行四边形的性质解答．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，故A正确；∥，故B正确；∴AD BC∴AD＝BC，故C正确；故选：D．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．6．B【分析】根据多边形外角和为360°，然后除以36°即可得到正多边形的边数.【详解】每一个外角都等于36︒，这样的正多边形边数为360°÷36°=10，故选B【点睛】本题考查有关于多边形外角和的计算，记住多边形的外角和是360°是解题关键. 7．A【分析】首先可根据平行四边形的性质推出△AEO∥∥CFO，从而进行分析即可．【详解】∥点O是ABCD对角线的交点，∥OA=OC，∥EAO=∥CFO，∥∥AOE=∥COF，∥△AEO∥∥CFO（ASA），∥OE=OF，A选项成立；∥AE=CF，但不一定得出BF=CF，则AE不一定等于BF，B选项不一定成立；∠=∠，则DO=DC，若DOC OCD由题意无法明确推出此结论，C选项不一定成立；由△AEO∥∥CFO得∥CFE=∥AEF，但不一定得出∥AEF=∥DEF，则∥CFE不一定等于∥DEF，D选项不一定成立；故选：A．【点睛】本题考查平行四边形的性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键．8．B【详解】分析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形,判断即可.详解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形,故选B.点睛：考查矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形.9．B【分析】根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义，以及平行线的性质求∥1的度数即可．【详解】：解：∥AD∥BC，∥B=70°，∥∥BAD=180°-∥B=110°．∥AE平分∥BAD∥∥DAE=12∥BAD=55°． ∥∥AEB=∥DAE=55°∥CF∥AE∥∥1=∥AEB=55°．故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 10．D【分析】根据矩形、正方形、菱形的判定即可判断出正确答案.【详解】A 、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故本选项错误；B 、对角线相互垂直的四边形有可能是等腰梯形或者是针形；故本选项错误；C 、对角线相等且垂直且相互平分的四边形是正方形，故本选项错误；D 、对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确.故选D【点睛】本题考查了矩形、正方形、菱形的判定，熟记和掌握矩形、正方形、菱形的判定是解题关键.11．C【分析】首先判断BAE 、CAD 是等腰三角形，从而得出BA BE =，CA CD =，由ABC 的周长为26，及10BC =，可得6DE =，利用中位线定理可求出PQ ．【详解】解：由题意得：BQ AE ⊥，BQ 平分ABE ∠，∥ABQ EBQ ∠=∠，90AQB BQE ∠=∠=︒，又∥BQ BQ =，∥()ASA ABQ EBQ ≌，∥,AB BE AQ QE ==，∥BAE 是等腰三角形，Q 为AE 的中点，同法可得：CA CD =，CAD 是等腰三角形，P 为AD 的中点，∥ABC 的周长2026AB BC AC BE BC CD BC BC DE DE =++=++=++=+=， ∥6DE =， ∥132PQ DE ==； 故选C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及三角形的中位线定理．根据已知条件，证明三角形全等，是解题的关键．12．B【分析】由于正方形纸片ABCD的边长为2，所以将正方形ABCD对折后AE=DF=1，由翻折不变性的原则可知AD=DH=2，AG=GH，在Rt△DFH中利用勾股定理可求出HF的长，进而求出EH的长，再设EG=x，在Rt△EGH中，利用勾股定理即可求解．【详解】∥正方形纸片ABCD的边长为2，∥将正方形ABCD对折后AE=DF=1，∥∥GDH是△GDA沿直线DG翻折而成，∥AD=DH=2，AG=GH，在Rt△DFH中，HF==在Rt△EGH中，设EG=x，则GH=AG=1-x，∥GH2=EH2+EG2，即（1-x）2=（2+x2，解得．故选B.【点睛】考查的是图形翻折变换的性质，解答此类题目最常用的方法是设所求线段的长为x，再根据勾股定理列方程求解．13．A【分析】根据正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定定理对各选项逐一判断即可得答案.【详解】A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项说法错误，符合题意，B.四条边都相等的四边形是菱形，故该选项说法正确，不符合题意，C.四个角都相等的四边形是矩形，故该选项说法正确，不符合题意，D.一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形，故该选项说法正确，不符合题意，故选A.【点睛】本题考查了正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定，注意正方形是特殊的菱形或者矩形．熟练掌握各特殊四边形的判定定理是解题关键.14．B【分析】作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小；再作D'E∥BC于E，则EB=D'A=AD，先根据等边对等角得出∥DCD'=∥DD'C，然后根据平行线的性质得出∥D'CE=∥DD'C，从而求得∥D'CE=∥DCD'，得出∥D'CE=30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D'C=2D'E=2AB，即可求得PC+PD 的最小值．【详解】作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，P即为所求，此时PC+PD=PC+PD'=CD'，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．作D'E∥BC于E，则EB=D'A=AD．∥CD=2AD，∥DD'=CD，∥∥DCD'=∥DD'C．∥∥DAB=∥ABC=90°，∥四边形ABED'是矩形，∥DD'∥EC，D'E=AB=3，∥∥D'CE=∥DD'C，∥∥D'CE=∥DCD'．∥∥DCB=60°，∥∥D'CE=30°，∥D'C=2D'E=2AB=2×3=6，∥PC+PD的最小值为6．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，30°角的直角三角形的性质等，确定出P点是解答本题的关键．15．C【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD，然后判断出△AOD是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出OD=AD，然后求出BD，再利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】在矩形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∥OA=OB=OD，∥∥AOD=60°，∥∥AOD是等边三角形，∥OD=AD=2，∥BD=2OD=4，由勾股定理得，AB=．故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记性质并判断出△AOD是等边三角形是解题的关键．16．C【分析】如图，连接BD交AC于O，连接PB．因为AC与BD互相垂直平分，推出PD=PB，推出PE+PD=PE+PB，因为PE+PB≥BE，推出当E、P、B共线时，PE+PD的值最小，最小值为BE的长，求出BE即可解决问题；【详解】解：如图，连接BD交AC于O，连接PB．∥S菱形ABCD=12•AC•BD，∥24=12×12×BD，∥BD=4，∥OA=12AC=6，OB=12BD=2，AC∥BD，∥AB=∥AC 与BD 互相垂直平分，∥PD =PB ，∥PE +PD =PE +PB ，∥PE +PB ≥BE ，∥当E 、P 、B 共线时，PE +PD 的值最小，最小值为BE 的长，∥∥ABE 是等边三角形，∥BE =AB∥PD +PE 的最小值为故选：C ．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的判定和性质、菱形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．17．D【分析】先根据勾股定理的逆定理判定ABC 是直角三角形，再利用正方形的判定确定四边形OFAE 是正方形，进而利用圆的切线性质可知线段的关系，进而求出阴影部分的面积．【详解】解：∥8AB =，17BC =，15CA =，∥222AB CA BC +=，∥ABC 为直角三角形，90A ∠=︒，∥O 与AB AC ，分别相切于点F 、E ，∥OF AB ⊥ ，OE AC ⊥，OF OE =，∥四边形OFAE 是正方形，设OE r =，则AE AF r ==，∥ABC 的内切圆O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，∥8BD BF r ==-，15CD CE r ==-，∥81517r r -+-=， ∥8151732r +-==， ∥阴影部分的面积是：239=，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心到顶点的连线平分这个内角；勾股定理的逆定理和切线性质等相关知识点．熟练运用知识点是解决问题的关键．18．B【分析】连接EG ，根据AG 垂直平分EF ，即可得出EG FG =，设CE x =，则5DE x BF =-=，8FG EG x ==-，再根据Rt CEG △中，222CE CG EG +=，即可得到CE 的长．【详解】解：如图所示，连接EG ，由旋转可得，ADE ∥ABF △，AE AF ∴=，DE BF =，又AG EF ⊥，H ∴为EF 的中点，AG ∴垂直平分EF ，EG FG ∴=，设CE x =，则5DE x BF =-=，8FG x =-，8EG x ∴=-，90C ∠=︒，Rt CEG ∴中，222CE CG EG +=，即2222(8)x x +=-， 解得154x =， CE ∴的长为154， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．19．C【分析】如图，连接BD交AC于O，连接PB，由菱形的性质可得AC与BD互相垂直平分，可得PD＝PB，于是PE+PD＝PE+PB，因为PE+PB≥BE，故当E、P、B共线时，PE+PD的值最小，最小值为BE的长，所以求出BE即可解决问题，而根据菱形的面积、菱形的性质和勾股定理即可求出AB的长，再根据等边三角形的性质即得答案．【详解】解：如图，连接BD交AC于O，连接PB．∥S菱形ABCD＝12•AC•BD，∥24＝12×12×BD，∥BD＝4，∥四边形ABCD是菱形，∥OA＝12AC＝6，OB＝12BD＝2，AC∥BD，∥AB=∥AC与BD互相垂直平分，∥PD＝PB，∥PE+PD＝PE+PB，∥PE+PB≥BE，∥当E、P、B共线时，PE+PD的值最小，最小值为BE的长，∥∥ABE是等边三角形，∥BE＝AB＝∥PD+PE的最小值为故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质、菱形的面积公式、等边三角形的性质、勾股定理以及轴对称﹣最短问题，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．20．B【分析】由折叠的性质可得∥DCA＝∥ACF，由平行线的性质可得∥DCA＝∥CAB＝∥ACF，可得FA＝FC，设BF＝x，在Rt∥BCF中，根据CF2＝BC2+BF2，可得方程（8﹣x）2＝x2+42，可求BF＝3，AF＝5，即可求解．【详解】解：设BF＝x，∥将矩形沿AC折叠，∥∥DCA＝∥ACF，∥四边形ABCD是矩形，∥CD∥AB，∥∥DCA＝∥CAB＝∥ACF，∥FA＝FC＝8﹣x，在Rt∥BCF中，∥CF2＝BC2+BF2，∥（8﹣x）2＝x2+42，∥x＝3，∥BF＝3，∥AF＝5，∥AF：BF的值为53，故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．100【分析】根据三角形中位线的性质定理解答即可．【详解】解：∥点M、N是OA、OB的中点，∥MN是∥ABO的中位线，∥AB=2MN．又∥MN=50m，∥AB=100m．故答案是：100．【点睛】此题考查了三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．22．6.5【分析】根据题意，连接AR，在直角∥ADR中，DR＝5，AD＝12，根据勾股定理可得AR.AR=13，又因为E、F分别是PA、PR的中点，即为∥PAR的中位线，故EF＝12【详解】∥∥D＝90°，DR＝5，AD＝12，∥AR，∥E、F分别是PA、PR的中点，AR＝6.5，∥EF＝12故答案为6.5．【点睛】本题考查了三角形中位线长度的求取，本题的解题关键是不要因为动点问题的包装而把题目想的复杂，根据中位线的性质解题即可.23．16．【分析】连接AC、BD，根据三角形的中位线求出HG、GF、EF、EH的长，再求出四边形EFGH的周长即可．【详解】如图，连接AC、BD，∥四边形ABCD是矩形，∥AC=BD=8cm，∥E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC=4cm，∥HG=EF=12BD=4cm，EH=FG=12∥四边形EFGH的周长=HG+EF+EH+FG=4cm+4cm+4cm+4cm=16cm，故答案为：16．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，解题的关键是能求出四边形的各个边的长．矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．24．4π【分析】根据阴影面积=三角形面积-2个扇形的面积即可求解．【详解】∥S △ABD =5π×8÷2=20π；设ABD n ∠=︒,S 扇形BAE =64360n π⨯；S 扇形DFM =()9064360n π-⨯； ∥阴影面积=20π-()649064360n n ππ⨯+-⨯=20π-16π=4π．故答案为：4π▱ 【点睛】本题主要是利用扇形面积和三角形面积公式计算阴影部分的面积解题关键是找到所求的量的等量关系．25．菱形 【分析】根据三角形中位线定理可得1122EH BD EH BD FG BD FG BD ==∥∥，，，，进一步可得EH FG EH FG =∥，，同理可得EF HG EF HG =∥，，又根据AC BD =即可得EF HG ==EH FG =，进一步即可得证．【详解】解：∥E ，F ，G ，H 分别是各边的中点， ∥1122EH BD EH BD FG BD FG BD ==∥∥，，，， ∥EH FG EH FG =∥，，同理可证EF HG EF HG =∥，，又∥AC BD =，∥EF HG ==EH FG =，∥四边形EFGH 是菱形．故答案为：菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．26．1【分析】利用三角形中位线定理求得GH =12DE ，DE =12BC ．【详解】解：∥D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∥DE 是△ABC 的中位线，∥DE= 12BC=12×4=2，∥G，H分别是AD，AE的中点，∥GH是△ADE的中位线，∥GH=12DE=12×2=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形的中位线，熟记三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．27．12【分析】根据平行四边形的性质可以得到OA＝OC，BC＝AD，然后根据AB＝24，AD＝36，即可计算出∥OBC的周长与∥AOB的周长之差．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD＝BC，∵AB＝24，AD＝36，∴BC＝36，∴C△OBC﹣C△AOB＝（OB+OC+BC）﹣（OB+OA+AB）＝OB+OC+BC﹣OB﹣OA﹣AB＝BC﹣AB＝36﹣24＝12，故答案为：12．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是明确△OBC的周长与△AOB的差就是BC与AB的差．28．80°【分析】根据平行四边形的性质分别求出∥A和∥B的度数，然后根据平行四边形对角相等的性质可得∥C=∥A，即可求解．【详解】∥四边形ABCD为平行四边形，∥18020A BB A∠∠∠∠+=︒⎧⎨-=︒⎩，解得：80100AB∠∠=︒⎧⎨=︒⎩，∥∥C=∥A=80°．故答案为80°．【点睛】本题考查了平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．29．13 【分析】先根据平行四边形的性质可得11,22OC AC OB BD ==，从而可得7OB OC +=，再根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，11,22OC AC OB BD ∴==， 14AC BD +=，()172OB OC BD AC ∴+=+=， 又6BC =， BOC ∴的周长为7613OB OC BC ++=+=，故答案为：13．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．30．32π 【分析】利用矩形的性质求得OA =OC =OB =OD =3，再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∥矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且BD =6，∥AC=BD ＝6，∥OA =OC =OB =OD =3， ∥22303236032AOE S S ππ⨯⨯===阴影扇形， 故答案为：32π． 【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．31．()41，【分析】首先根据B 、C 两点的坐标确定线段BC 的长，然后根据A 点向右平移线段BC 的长度得到D 点，即可由A 点坐标求得点D 的坐标．【详解】解：∥B ，C 的坐标分别是（−2，−2），（2，−2），∥BC＝2−（−2）＝2＋2＝4，∥四边形ABCD是平行四边形，∥AD＝BC＝4，∥点A的坐标为（0，1），∥点D的坐标为（4，1）．故答案为：（4，1）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及坐标与图形性质的知识，解题的关键是求得线段BC的长，难度不大．32．××√×【分析】根据菱形的判定定理即可解答.【详解】(1)错误，对角线相互垂直且平分的四边形是菱形.(2)错误，对角线相互垂直且平分的四边形是菱形.(3)正确，对角线相互垂直且平分的四边形是菱形.(4)错误，对角线相互垂直且平分的四边形是菱形.【点睛】本题考查菱形的判定定理，熟悉掌握是解题关键.33．4【分析】由“SAS”可证∥ABF∥∥CBE，可得AF＝CE，则DF＋CE＝DF＋AF＝DF＋FH，即当点F，点D，点H三点共线时，DF＋CE的最小值为DH的长，由勾股定理可求解．【详解】解：连接AC，作点A关于BC的对称点H，连接AH，交BC于N，连接FH，如图所示：∥四边形ABCD为菱形，∥，∥AB=BC=CD=AD=2，AD BC∥180BAD ABC ∠+∠=︒，∥∥BAD ＝2∥B ，∥∥B ＝60°，∥∥ABC 是等边三角形，∥点A ，点H 关于BC 对称，∥AH ∥BC ，AN ＝NH ，∥FH ＝AF ，又∥∥ABC 是等边三角形，∥BN ＝NC ＝112BC =，AN ∥AH ＝2AN＝∥AE ＝CF ，AB =BC ，∥BE ＝BF ，∥在∥ABF 和∥CBE 中AB BC B B BF BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∥∥ABF ∥∥CBE （SAS ），∥AF ＝CE ，∥DF ＋CE ＝DF ＋AF ＝DF ＋FH ，∥当点F ，点D ，点H 三点共线时，DF ＋CE 的最小值为DH 的长，∥AH ∥BC ，∥90HNC ∠=︒，∥AD BC ∥，∥90HAD HNC ∠=∠=︒，∥4DH ==， 即DF CE +的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，证明三角形全等是解题的关键．34．8。
中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《四边形》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 平行四边形的判定与计算【命题规律】1.考查内容：①平行四边形的性质及其相关计算；②平行四边形的判定.2.考查形式：①根据平行四边形的性质考查结论判断；②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积；③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型：性质在选择和填空题中考查居多，判定题近年来多在解答题中考查，有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题．【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一，性质与判定常常考查，是近年命题的重点． 1. 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是( )A . OE ＝12DC B . OA ＝OC C . ∠BOE ＝∠OBA D . ∠OBE ＝∠OCE1. D第1题图 第2题图2. 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC ＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A . 1B . 2C . 3D . 42. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABM ＝∠CMB ，∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CBM ＝∠CMB ，∴CB ＝MC ＝2，∴AD ＝BC ＝2，∵▱ABCD 的周长是14，∴AB ＝CD ＝5，∴DM ＝DC －MC ＝3.3. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形． 3. AD ∥BC (答案不唯一)第3题图 第4题图 第5题图 4. 如图，▱ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，AD ＝a ，则a 的取值范围是________．4. 1＜a ＜7 【解析】如解图，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA ＝12AC ＝4，OD ＝12BD ＝3，在△OAD中，OA －OD ＜AD ＜OA ＋OD ，即1＜a ＜7.5. 如图所示，在▱ABCD 中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________． 5. 50°6. 如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连接CE ，F 是BC 边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形； (2)若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．6. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DE ∥FC.∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝12BC ＝12AD ，∵DE ＝12AD ，∴FC ＝DE ，∴四边形CEDF 是平行四边形． (2)解：如解图，过点D 作DH ⊥BC 于点H. 由(1)知四边形DECF 是平行四边形，∴DF ＝CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝4， ∴BC ＝4，CD ＝3，∠BCD ＝60°， 在Rt △DHC 中，HC ＝DC·cos ∠HCD ＝32，DH ＝DC ·sin ∠HCD ＝332，∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝2，∴FH ＝FC －HC ＝2－32＝12，在Rt △DFH 中，由勾股定理得DF ＝DH 2＋FH 2＝（332）2＋（12）2＝7，∴CE ＝7.命题点2 矩形的判定与计算【命题规律】考查形式：①利用矩形性质，结合勾股定理求线段长或面积；②矩形的判定，一般在解答题中考查，也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题；③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6：图形折叠的相关计算)．【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查，是全国命题趋势之一． 7. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )A . △AFD ≌△DCEB . AF ＝12AD C . AB ＝AF D . BE ＝AD －DF7. B 【解析】逐项分析如下表：选项逐项分析正误A∵四边形ABCD 是矩形，AF ⊥DE ，∴∠C ＝90°＝∠AFD ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CED ，∵AD ＝DE ，∴△AFD ≌△DCE (AAS)√B只有当∠ADF ＝30°时，才有AF ＝12AD 成立×C由△AFD ≌△DCE 可知，AF ＝DC ，∵矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∴AB ＝AF√D∵△AFD ≌△DCE ，∴DF ＝CE ，∴BE ＝BC －CE ＝AD －DF √8. 已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ，若AO ＝1，那么BD ＝________． 8. 2第7题图 第8题图 第9题图 9. 如图，矩形ABCD 的面积是15，边AB 的长比AD 的长大2，则AD 的长是________．9. 3 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3. 10. 如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线AF 交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF. (1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．10. (1)证明：∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∠FAE ＝∠CDE ， ∴△EAF ≌△EDC(AAS )， ∴AF ＝DC. ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ，即D 是BC 的中点．(2)解：四边形AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形．∵AB ＝AC ，又由(1)可知D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴四边形AFBD 是矩形．11. 如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H. (1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．11. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ， ∴四边形PFCH 是矩形， ∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ， ∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ， AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形， ∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .命题点3 菱形的判定与计算【命题规律】1.考查内容和形式：①根据菱形性质判断结论正误；②菱形的判定；③根据菱形的性质求角度、周长和面积；④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现．【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容，是中考常考知识，对菱形的性质与判定应做到牢固掌握．12. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BD C . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC12. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．第12题图 第13题图13. 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A . (0，0)B . (1，12) C . (65，35) D . (107，57)13. D 【解析】如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥OA ，交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，OE ＝OB 2＝25，∴OF ＝OE 2CO ＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎨⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．14. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长为________． 14. 16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.第14题图 第15题图15. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，则菱形的面积是________．15. 24 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD＝12×8×6＝24. 16. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．16. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在△ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在△DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.17. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF∥BC，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC. 求证：四边形ADCF 是菱形．17. 证明：∵∠B ＝90°，AC ＝2AB ， ∴sin ∠ACB ＝12，∴∠ACB ＝30°， ∴∠CAB ＝60°， ∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB ＝30°，∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ， ∵AF ∥CD ，∴∠DCE ＝∠FAE ，∠AFE ＝∠CDE ， 又∵AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS )， ∴AF ＝CD ， 又AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形， 又AD ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形．命题点4 正方形的判定与计算【命题规律】正方形的考查相对比较综合，难度较大，常在选择或填空的压轴题位置出现，考查知识点综合性强，涉及到正方形面积、边长和周长的计算．【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质，因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性，倍受命题人青睐，考生应加以关注．18. 如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A . 2B . 2 2C . 2＋1D . 22＋118. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边的中点，∴CE ＝CF ＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2. 19. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形． 19. ∠BAD ＝90°(答案不唯一)20. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQS 正方形AEFG的值等于________．20. 89【解析】设BD ＝3a ，∠CDB ＝∠CBD ＝45°，且四边形PQMN 为正方形，∴DQ ＝PQ ＝QM ＝NM＝MB ，∴正方形MNPQ 的边长为a ，正方形AEFG 的对角线AF ＝12BD ＝32a ，∵正方形对角线互相垂直，∴S 正方形AEFG ＝12×32a ×32a ＝98a 2，∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG ＝a 298a 2＝89.第20题图 第21题图21. 如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM⊥BE 于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为________． 21.55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE ＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO ，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD 的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM1＝15，∴FM ＝55.22. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一条直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连接AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H. (1)求sin ∠EAC 的值； (2)求线段AH 的长．22.解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10，如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.(2)在△GDC 与△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA(SAS )，∴∠GCD ＝∠EAD ， 又∵∠HEC ＝∠DEA ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，∵S △AGC ＝12×AG ×DC ＝12×GC ×AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ， ∴AH ＝6510.命题点5 多边形及其性质【命题规律】1.考查内容：①多边形的内外角和公式；②正多边形的有关计算.2.考查形式：①已知正多边形一个内角或外角的度数或内角之间的关系求边数；②已知正多边形的边数求内角度数；③求多边形的内外角和．【命题预测】多边形是三角形和四边形的延伸拓展，也是中考命题不容忽视的知识点． 23. 六边形的内角和是( )A . 540°B . 720°C . 900°D . 1080°23. B24. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或924. D 【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.25. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．25. 6 【解析】设这个多边形的边数为n ，则内角和为(n －2)·180°，外角和为360°，则根据题意有：(n －2)·180°＝2×360°，解得n ＝6. 26. 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．26. 8 【解析】由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是360°45°＝8.方法指导设正多边形的边数为n ，正多边形的外角和为360°，内角和为(n －2)×180°，每个内角的度数为180°×（n －2）n.命题点6 图形折叠的相关证明与计算【命题规律】考查内容和形式：图形折叠计算以矩形折叠考查居多，常考查：①图形的折叠计算角度；②图形的折叠计算线段长或边长；③图形折叠的证明和计算结合；④图形折叠的操作探究．【命题预测】图形折叠将原有图形变得可操作化，且又很好地引入了对称知识，使问题升华，有效地考查学生的知识迁移能力和掌握程度，是全国命题的主流趋势之一，值得每位考生关注．27. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是( )A ．∠DAB ′＝∠CAB′ B ．∠ACD ＝∠B′CDC ．AD ＝AE D ．AE ＝CE27. D28. 如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A . 2B . 3C . 2D . 128. B第28题图 第29题图29. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( )A . 115°B . 120°C . 130°D . 140°29. A 【解析】由折叠的性质知∠EA ′B ′＝∠A ＝90°，∵∠2＝40°，∴∠B ′A ′C ＝50°，∴∠EA ′D ＝40°，∠DEA ′＝50°，∴∠AEA ′＝130°，∴∠AEF ＝∠FEA ′＝12∠AEA ′＝65°，∵AD ∥BC ，∴∠1＝180°－65°＝115°.30. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°30. C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.第30题图 第31题图 第32题图31. 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠，使点C 与点A 重合，已知AB ＝7，BC ＝6，则△BCD 的周长为________． 31. 13 【解析】由折叠的性质可得：CD ＝AD ，∴△BCD 的周长＝BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋AD ＋BD ＝BC ＋BA ＝6＋7＝13.32. 如图，在▱ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，A D′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．32. 36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.33.如图，将矩形纸片ABCD(AD ＞AB)折叠，使点C 刚好落在线段AD 上，且折痕分别与边BC ，AD 相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．33. 解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠GEF，∴GF＝GE，∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，∴GE＝EC＝GF＝FC，∴四边形CEGF为菱形．(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，此时CE最小，且CE＝CD＝3；如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝5，所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.34.如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．34. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，由折叠性质可知，∠D＝∠AD′E＝60°，∴∠AD′E＝∠B＝60°，∴ED′∥BC，又∵EC∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形，∴ED′＝BC＝AD＝1，∴DE＝ED′＝1，又DC＝AB＝2，∴EC ＝1， ∴EC ＝ED′，∴四边形BCED′是菱形． (2)解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD ，BD 之长即为所求， 作DG ⊥BA 的延长线于点G ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAG ＝60°， ∵∠G ＝90°， ∴∠ADG ＝30°，在Rt △ADG 中，AD ＝1， ∴AG ＝12，DG ＝32，∵AB ＝2， ∴BG ＝52，在Rt △BDG 中，由勾股定理得：BD 2＝BG 2＋DG 2＝7， ∴BD ＝7，即PD′＋PB 的最小值为7.方法指导“将军饮马”模型：直线同侧两定点，在直线上确定一点使该点到两定点的距离和最小．作法：作其中一点关于直线的对称点，连接另一点和对称点的线段即是最短距离和；最短距离计算方法：构造以最短距离线段为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解．中考冲刺集训一、选择题1.关于▱ABCD 的叙述，正确的是( )A . 若A B⊥BC，则▱ABCD 是菱形B . 若AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形C . 若AC ＝BD ，则▱ABCD 是矩形 D . 若AB ＝AD ，则▱ABCD 是正方形2.设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是( )A . a ＞bB . a ＝bC . a ＜bD . b ＝a ＋180°3.如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b ，m)，(c ，m)．则点E 的坐标是( )A . (2，－3)B . (2，3)C . (3，2)D . (3，－2)第3题图 第4题图4.如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝16，CD ＝6，则△ABO 的周长是( )A . 10B . 14C . 20D . 225.菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为( )A . 2 2B . 4 2C . 6 2D . 8 2第5题图 第6题图 第7题图6.如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( )A . 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 8 cm7.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ，若BE∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是( )A . 3B . 4C . 5D . 68.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G 、F2H 为CG 的中点，连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题9.如图，在▱ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．10.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，则菱形ABCD 的高DH ＝________．第9题图 第10题图 第11题图11.如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度. 12.如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是________．第12题图 第13题图 第14题图 13.如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10＝________°.14.如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2，则菱形的边长为________cm . 15.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论： ①∠EBG ＝45°；②△DEF∽△ABG；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG.其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)第15题图 第16题图16.如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，则AM 的长等于________cm . 三、解答题17.如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF 、CE. 求证：AF∥CE.18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．19.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．20.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.(1)求证：AP＝BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长．22.已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．23.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD 、CE 交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．24.如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG. (1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．答案与解析：1. C2. B3. C4. B5. A 【解析】∵E ，F 分别是 AD ，CD 边上的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴AC ＝2EF ＝22，则菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×22×2＝2 2.6. B 【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.7. B 【解析】设CH ＝x ，∵BE ∶EC ＝2∶1，BC ＝9，∴EC ＝3，由折叠可知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理得：(9－x )2＝32＋x 2，解得：x ＝4.8. D 【解析】逐项分析如下表：序号逐项分析正误难点突破对于多选项判断正误性的题目，几乎每个选项之间都是紧密联系的，单独判断其中每个的正误或跳跃式判断往往使题目变得复杂而无法求解，本题目难点在于④中，需将S △FDH 与已知条件AE AB ＝23联系起来，并用含相同未知数的代数式分别表示出S △EDH 和S △DHC ，继而求解．9. 110° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，∴∠ABE ＝90°，∴∠2＝∠CAB ＋∠ABE ＝20°＋90°＝110°.10. 4.8 【解析】∵S ＝1AC·BD ＝2AB·DH ，∴AC ·BD ＝2AB·DH.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝4，BO ＝12BD ＝3，∴在Rt △AOB 中，AB ＝42＋32＝5，∴DH ＝8×62×5＝4.8.第11题解图11. 15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB＝15°.第12题解图12. (3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．13. 75 【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.第14题解图14. 13 【解析】如解图，连接AC 、BD 交于O ，则有12AC·BD ＝120，∴AC ·BD ＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA ·2OB ＝240，∴ OA ·OB ＝60，∵AE 2＝50, OA 2＋OE 2＝ AE 2，OA ＝OE ，∴OA ＝5，∴OB ＝12，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝122＋52＝13.15. ①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠ABAG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.第16题解图16.233或33【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝NG AE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233 cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm . 17. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，第17题解图∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠1＝∠2， 又∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ， 即DF ＝BE.∴△ADF ≌△CBE(SAS )． ∴∠AFD ＝∠CEB ，∴AF ∥CE.18. (1)【思路分析】根据四边形ABCD 是菱形，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，可求出∠DBC 的度数，其正切值可求出．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°， 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan 30°＝33. (2)【思路分析】由BE ∥AC ，CE ∥BD 可知四边形BOCE 是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°， ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，且∠BOC ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．19. (1)证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴AM ∥CN ，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴MC ∥AN ，∴四边形CMAN 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ADE ＝∠CBF ，AD ＝CB ， 又∵∠AED ＝∠CFB ＝90°， ∴△AED ≌△CFB(AAS )， ∴DE ＝BF ＝4，∴在Rt △BFN 中，BN ＝32＋42＝5.20. (1)【思路分析】要证∠CEB ＝∠CBE ，结合CE ∥DB ，可得到∠CEB ＝∠DBE ，从而只需证明∠CBE ＝∠DBE ，结合△ABC ≌△ABD 即可得证．证明：∵△ABC ≌△ABD ， ∴∠ABC ＝∠ABD ， ∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠DBE ，∴∠CEB ＝∠CBE.(2)证明：∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD ， 由(1)得∠CEB ＝∠CBE ， ∴CE ＝CB ， ∴CE ＝BD ， ∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形， ∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．21. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD, ∠BAQ ＋∠DAP ＝90°＝∠DAB ， ∵DP ⊥AQ ，∴∠DAP ＋∠ADP ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠ADP.在△DAP 和△ABQ 中， ⎨⎪⎧∠APD ＝∠AQB ＝90°∠ADP ＝∠BAQ ，∴△DAP ≌△ABQ(AAS )，∴AP ＝BQ.(2)解：①AQ 和AP ；②DP 和AP ；③AQ 和BQ ；④DP 和BQ.【解法提示】①由题图直接得：AQ －AP ＝PQ ；②∵△ABQ ≌△DAP ，∴AQ ＝DP ，∴DP －AP ＝ AQ －AP ＝PQ ；③∵△ABQ ≌△DAP ，∴BQ ＝AP ，∴AQ －BQ ＝AQ －AP ＝PQ ；④∵△ABQ ≌△DAP ，∴DP ＝AQ ，BQ ＝AP ，∴DP －BQ ＝AQ －AP ＝PQ.22. (1)证明：在△ADF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABE ＝∠ADF ＝90°EB ＝FD， ∴△ADF ≌△ABE(SAS )．(2)解：∵AB ＝3，BE ＝1，∴AE ＝10，EC ＝4，∴ED ＝CD 2＋EC 2＝5，设AH ＝x ，EH ＝y ，在Rt △AHE 和Rt △AHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10x 2＋（5－y ）2＝9， 解得，x ＝1.8，y ＝2.6，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝x y ＝1.82.6＝913. 23. (1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ AE ∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC， ∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.24. (1)【思路分析】根据折叠的性质，易得DF ＝EF ，DG ＝EG ，∠AFD ＝∠AFE ，再由EG ∥DC ，可得∠EGF ＝∠AFD ，从而得出EG ＝EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证；证明：由折叠的性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，第24题解图∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD.∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形．(2)【思路分析】由(1)可知EG ＝EF ，连接DE ，则DE 与GF 相互垂直平分，证得Rt △FHE ∽Rt △FEA ，列比例式，结合FH ＝12GF 得到EG 、GF 、AF 的关系； 解：如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE ＝90°－∠EFA ，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF，即EF 2＝FH·AF ， ∴EG 2＝12GF·AF. (3)【思路分析】把AG ，EG 代入(2)中的关系式，求得GF ，AF 的值，根据勾股定理求得AD ，DE ，再证Rt △ADF ∽Rt △DCE ，可求出EC ，从而可求出BE 的值．解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12GF·AF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)·GF ，∴GF ＝4， ∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810， ∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝AD －EC ＝45－855＝1255.。
中考数学黄金知识点系列专题26四边形26--(附解析答案)
专题26 四边形聚焦考点☆温习理解一、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于•-)2(n 180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
二、平行四边形 1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形三、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形四、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半五、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2022年中考数学专题复习：四边形
板块八【四边形中考】2022年长沙中考板块精炼【高频考点】1.多边形的内角和与外角和的关系与计算；2.特殊四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及综合应用；【真题训练】一、选择题1.（2021常德）一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为（）A．9B．10C．11D．122.（2021株洲）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝（）A．38°B．48°C．58°D．66°3. （2021北京）下列多边形中，内角和最大的是（）A．B．C．D．4.（2021株洲）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠F AI＝（）A．10°B．12°C．14°D．15°5.（2021娄底）如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6. （2021福建）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（）A．108°B．120°C．126°D．132°7.（2021湘西）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CD，交AD于点F，如果EF＝5.5，那么菱形ABCD的周长是（）A．11B．22C．33D．448. （2021安徽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A．3B．2+23C．3D．1+239.（2021常德）如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于P．则下列结论成立的是（）A．BE＝12AE B．PC＝PD C．∠EAF+∠AFD＝90°D．PE＝EC10.（2021怀化）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数33yx（x＞0）的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为（）A．ME＝53B．ME＝43C．ME＝1D．ME＝2311.（2021郴州）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．12.（2021衡阳）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③二、填空题13.（2021益阳）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是（限填序号）．14.（2021长沙）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为.15. （2021邵阳）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE＝45，AD＝4，则AB的长为．16.（2021衡阳）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O—A—D —O，点Q的运动路线为O—C—B—O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A—D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米．17.（2021张家界）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，若DE＝DP＝1，PC＝6．下列结论：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点C到直线DE的距离为6；④S正方形ABCD＝5+22，其中正确结论的序号为．18.（2021北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．19.（2021湘潭）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是边AB 的中点．已知BC ＝10，则OE ＝ ．20.（2021兰州）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3．①以点A 为圆心，以不大于AB 长为半径作弧，分别交边AD ，AB 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，以大于12EF 长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 分别交BD ，BC 于点O ，Q ；②分别以点C ，Q 为圆心，以大于12CQ 长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 交AP 于点G ，则OG 长为 ．三、解答题21.（2021长沙）如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△OAB 是等边三角形，AB ＝4.(1)求证：□ABCD 是矩形； (2)求AD 的长.O QP E D22.（2021怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．求证：（1）△ADE≌△CBF；（2）ED∥BF．23. （2021湘潭）如图，矩形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折后，点B 恰好落在对角线AC的中点F上．（1）证明：△AEF≌△CEF；（2）若AB＝3，求折痕AE的长度．23.（2021株洲）如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2．（1）求证：四边形BFED是平行四边形；（2）若tan∠ABD＝23，求线段BG的长度．24.（2021郴州）如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF．证明：四边形ABCD是平行四边形．25. （2021衡阳）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．26.（2021邵阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．（1）证明：△ADE≌△CBF．（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．27.（2021岳阳）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是；（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．28.（2021张家界）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α ＜120°），所得的直线l分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当旋转角α为多少度时，四边形AFCE为菱形？试说明理由．29.（2020长沙）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F.(1)求证：△ABF∽△FCE；(2)若AB＝23，AD＝4，求EC的长；(3)若AE－DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠F AE＝β.求tanα＋tanβ的值．板块八【四边形中考】2022年长沙中考板块精炼【答案或简析】【高频考点】1.多边形的内角和与外角和的关系与计算；2.特殊四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及综合应用；【真题训练】一、选择题1.（2021常德）一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为（）A．9B．10C．11D．12【答案或简析】D.2.（2021株洲）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝（）A．38°B．48°C．58°D．66°【答案或简析】B.3. （2021北京）下列多边形中，内角和最大的是（）A．B．C．D．【答案或简析】D.4.（2021株洲）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠F AI＝（）A．10°B．12°C．14°D．15°【答案或简析】B.5.（2021娄底）如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案或简析】A.6. （2021福建）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（）A．108°B．120°C．126°D．132°【答案或简析】C.7.（2021湘西）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CD，交AD于点F，如果EF＝5.5，那么菱形ABCD的周长是（）A．11B．22C．33D．44【答案或简析】D.8. （2021安徽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A．3+3B．2+23C．2+3D．1+23【答案或简析】B.9.（2021常德）如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于P．则下列结论成立的是（）A．BE＝12AE B．PC＝PD C．∠EAF+∠AFD＝90°D．PE＝EC【答案或简析】C.10.（2021怀化）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数33yx（x＞0）的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为（）A．ME＝53B．ME＝43C．ME＝1D．ME＝23【答案或简析】D.解：过N作y轴和x轴的垂线NG，NH，设N（b，a），∵反比例函数y＝33x（x＞0）的图象经过点N，∴ab 3，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，DO＝12BD＝2，∵NH⊥x轴，NG⊥y轴，∴四边形NGOH是矩形，∴NG∥x轴，NH∥y轴，∵N为CD的中点，∴DO•CO＝2a•2b＝4ab43∴CO23∴tan∠CDO＝33 OCDO．∴∠CDO＝30°，∴∠DCO＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝∠ABC＝2∠CDO＝60°，∠ACB＝∠DCO＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AE⊥BC，BO⊥AC，∴AE＝BO＝2，∠BAE＝30°＝∠ABO，∴AM＝BM，∴OM＝EM，∵∠MBE＝30°，∴BM＝2EM＝2OM，∴3EM＝OB＝2，∴ME＝23，故选：D．11.（2021郴州）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．【答案或简析】A.12.（2021衡阳）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【答案或简析】C.二、填空题13.（2021益阳）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是（限填序号）．【答案或简析】①.14.（2021长沙）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为.【答案或简析】12.15. （2021邵阳）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE＝45，AD＝4，则AB的长为．【答案或简析】3.16.（2021衡阳）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O—A—D —O，点Q的运动路线为O—C—B—O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A—D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米．【答案或简析】23317.（2021张家界）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，若DE＝DP＝1，PC＝6．下列结论：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点C到直线DE的距离为6；④S正方形ABCD＝5+22，其中正确结论的序号为．【答案或简析】B.18.（2021北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．【答案或简析】例如AE=EC.19.（2021湘潭）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知BC＝10，则OE＝．【答案或简析】5.20.（2021兰州）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于12EF 长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于12CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为．【答案或简析】524三、解答题21.（2021长沙）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4.(1)求证：□ABCD是矩形；(2)求AD的长.【答案或简析】（1）证明：∵△AOB为等边三角形，OQPE D∴∠BAO ＝∠AOB ＝60°，OA ＝OB ， ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴OB ＝OD ＝12BD ，OA ＝OC ＝12AC ， ∴BD ＝AC ，∴▱ABCD 是矩形；（2）解：∵▱ABCD 是矩形， ∴∠BAD ＝90°， ∵∠ABO ＝60°，∴∠ADB ＝90°﹣60°＝30°， ∴AD ＝3AB ＝43．22. （2021怀化）已知：如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 、A 、C 、F 在同一直线上，AE ＝CF ．求证：（1）△ADE ≌△CBF ；（2）ED ∥BF ．【答案或简析】证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴DA ＝BC ，DA ∥BC ， ∴∠DAC ＝∠BCA ，∵∠DAC +∠EAD ＝180°，∠BCA +∠FCB ＝180°， ∴∠EAD ＝∠FCB ， 在△ADE 和△CBF 中，,,,AE CF EAD FCB AD CB ， ∴△ADE ≌△CBF （SAS ）；（2）由（1）知，△ADE ≌△CBF ， ∴∠E ＝∠F ， ∴ED ∥BF ．23. （2021湘潭）如图，矩形ABCD 中，E 为边BC 上一点，将△ABE 沿AE 翻折后，点B恰好落在对角线AC 的中点F 上． （1）证明：△AEF ≌△CEF ；（2）若AB ＝3，求折痕AE 的长度． 【答案或简析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，∵将△ABE 沿AE 翻折后，点B 恰好落在对角线AC 的中点F 上，∴∠AFE ＝∠B ＝90°，AF ＝CF ， ∵∠AFE +∠CFE ＝180°，∴∠CFE ＝180°﹣∠AFE ＝90°， 在△AEF 和△CEF 中，,,,AF CF AFE CFE EF EF ∠∠， ∴△AEF ≌△CEF （SAS ）．（2）解：由（1）知，△AEF ≌△CEF ， ∴∠EAF ＝∠ECF ，由折叠性质得，∠BAE ＝∠EAF ， ∴∠BAE ＝∠EAF ＝∠ECF ， ∵∠B ＝90°，∴∠BAC +∠BCA ＝90°， ∴3∠BAE ＝90°， ∴∠BAE ＝30°，在Rt △ABE 中，AB ＝3，∠B ＝90°，∴AE ＝32cos3032AB ．23.（2021株洲）如图所示，在矩形ABCD 中，点E 在线段CD 上，点F 在线段AB 的延长线上，连接EF 交线段BC 于点G ，连接BD ，若DE ＝BF ＝2． （1）求证：四边形BFED 是平行四边形； （2）若tan ∠ABD ＝23，求线段BG 的长度．【答案或简析】证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴DC ∥AB ， 又∵DE ＝BF ，∴四边形DEFB 是平行四边形； （2）∵四边形DEFB 是平行四边形， ∴DB ∥EF ， ∴∠ABD ＝∠F ，∴tan ∠ABD ＝tan F ＝23， ∴23BG BF ， 又∵BF ＝2， ∴BG ＝43．24.（2021郴州）如图，四边形ABCD 中，AB ＝DC ，将对角线AC 向两端分别延长至点E ，F ，使AE ＝CF ．连接BE ，DF ，若BE ＝DF ．证明：四边形ABCD 是平行四边形．【答案或简析】证明：在△BEA 和△DFC 中，,,,AB DC AE CF BE DF ∴△BEA ≌△DFC （SSS ）， ∴∠EAB ＝∠FCD ， ∴∠BAC ＝∠DCA ， ∴AB ∥DC ， ∵AB ＝DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．25. （2021衡阳）如图，点E 为正方形ABCD 外一点，∠AEB ＝90°，将Rt △ABE 绕A 点逆时针方向旋转90°得到△ADF ，DF 的延长线交BE 于H 点． （1）试判定四边形AFHE 的形状，并说明理由； （2）已知BH ＝7，BC ＝13，求DH 的长．【答案或简析】（1）四边形AFHE 是正方形，理由如下：由旋转得∠AEB =∠AED =90°，AE =AF ,∠DAF =∠EAB. ∴∠AFH =90°.∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAB =90°，∴∠F AE =∠F AB +∠BAE =∠F AB +∠DAF =∠DAB =90°， ∴∠AEB =∠AFB =∠F AE =90°，∴四边形AFHE 是矩形. 又∵AE =AF ，∴四边形AFHE 是正方形. （2）连接BD ，由题意得，BC =CD =13, ∴在Rt △BCD 中，BD =22132CD CB .∵四边形AFHE 是正方形， ∴∠EHD =90°，∴∠DHB =90°， 在Rt △DHB 中，DH =22,BD BH又∵BH =7,∴DH =17.26.（2021邵阳）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE ＝CF ．连接DE ，DF ，BE ，BF ． （1）证明：△ADE ≌△CBF ． （2）若AB ＝4，AE ＝2，求四边形BEDF 的周长．【答案或简析】（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE ＝∠BCF ＝45°， 在△ADE 和△CBF 中，,,,AD BC DAE BCF AE CF ∠∠ ∴△ADE ≌△CBF （SAS ）． （2）解：∵AB ＝AD ＝42， ∴BD ＝228AB AD ，由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC ＝BD ＝8，DO ＝BO ＝4，OA ＝OC ＝4， 又AE ＝CF ＝2，∴OA ﹣AE ＝OC ﹣CF ， 即OE ＝OF ＝4﹣2＝2， 故四边形BEDF 为菱形． ∵∠DOE ＝90°， ∴DE ＝22224225DO EO ．∴4DE ＝85，故四边形BEDF 的周长为85．27.（2021岳阳）如图，在四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为点E ，F ． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF 为平行四边形，你添加的条件是 ；（2）添加了条件后，证明四边形AECF 为平行四边形．【答案或简析】解：（1）添加条件为：AE ＝CF ， 故答案为：AE ＝CF ；（2）证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴AE ∥CF ， ∵AE ＝CF ，∴四边形AECF 为平行四边形．28.（2021张家界）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠AOB ＝60°，对角线AC 所在的直线绕点O 顺时针旋转角α（0°＜ α ＜120°），所得的直线l 分别交AD ，BC 于点E ，F ． （1）求证：△AOE ≌△COF ；（2）当旋转角α为多少度时，四边形AFCE 为菱形？试说明理由．【答案或简析】 证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，AO ＝CO ， ∴∠AEO ＝∠CFO ， 在△AOE 和△COF 中，,,,AEO CFO AOE COF AO CO ∠∠∠∠， ∴△AOE ≌△COF （AAS ）；（2）当α＝90°时，四边形AFCE 为菱形， 理由：∵△AOE ≌△COF ， ∴OE ＝OF ， 又∵AO ＝CO ，∴四边形AFCE 为平行四边形， 又∵∠AOE ＝90°，∴四边形AFCE 为菱形．29.（2020长沙）在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把△ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F . (1)求证：△ABF ∽△FCE ；(2)若AB ＝23，AD ＝4，求EC 的长；(3)若AE －DE ＝2EC ，记∠BAF ＝α，∠F AE ＝β.求tan α＋tan β的值．【答案或简析】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠CEF ＋∠EFC ＝90°， ∵△AEF 由△AED 翻折得到， ∴∠AFE ＝∠D ＝90°， ∴∠AFB ＋∠EFC ＝90°， ∴∠CEF ＝∠AFB ， ∴△ABF ∽△FCE ； (2)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ＝23，AD ＝BC ＝4，设CE ＝x ，则DE ＝23－x ， ∵△AEF 由△AED 翻折得到， ∴AD ＝AF ＝4，DE ＝EF ＝23－x ，在Rt △ABF 中，BF ＝AF 2－AB 2＝42－（23）2＝2， ∴CF ＝BC －BF ＝4－2＝2，在Rt △CEF 中，EF 2＝CE 2＋CF 2，即(23－x )2＝x 2＋22， 解得x ＝233，即EC ＝233；(3)如解图，设EC ＝x ，DE ＝a ，则易得EF ＝a ，AB ＝a ＋x ， ∵AE －DE ＝2EC ，∴AE －a ＝2x ，即AE ＝2x ＋a ，由勾股定理得：AF ＝AE 2－EF 2＝（2x ＋a ）2－a 2＝4ax ＋4x 2， CF ＝EF 2－CE 2＝a 2－x 2，由(1)知∠CEF ＝∠AFB ，∴∠BAF ＝∠CFE ＝α，∴cos ∠BAF ＝AB AF ＝a ＋x 4ax ＋4x 2，cos ∠CFE ＝CFEF ＝a 2－x 2a ，∴a ＋x 4ax ＋4x2＝a 2－x 2a ， a ＋x4x （a ＋x ）＝（a ＋x ）（a －x ）a，a (a ＋x )＝(a ＋x )4x （a －x ）， a ＝4ax －4x 2， 整理得(a －2x )2＝0， ∴a ＝2x ，∴sin ∠CFE ＝CE EF ＝x a ＝x 2x ＝12，即∠CFE ＝∠BAF ＝α＝30°，∴∠DAF ＝60°， ∴∠EAF ＝β＝30°.∴tan α＋tan β＝tan 30°＋tan 30°＝233.。
中考数学复习 四边形专题训练
中考数学复习四边形专题训练一、选择题（每小题3分，共24分）1．在下列命题中，正确的是（）（A）一组对边平行的四边形是平行四边形．（B）有一个角是直角的四边形是矩形．（C）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（D）对角线互相垂直平分的四边形是正方形．2．如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB＜AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）（A）4cm．（B）6cm．（C）8cm．（D）10cm．（第2题）（第3题）（第4题）3．如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E 处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（）（A）43（B）33（C）42（D）8．4．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（）（A）3对．（B）4对．（C）5对．（D）6对．5．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝5cm，BD＝12cm，则梯形中位线的长等于（）（A）．（B）7cm．（C）．（D）6cm．6．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应分别为（ ）（A ）10x =，14y =． （B ）14x =，10y =． （C ）12x =，15y =． （D ）15x =，12y =．（第6题） （第7题） （第8题）7．2002年8月在召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较大直角边为a ，较短直角边为b ，则34a b +的值为（ ）（A ）35． （B ）43． （C ）89． （D ）97． 8．如图，矩形ABCG （AB ＜BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是（ ） （A ）0． （B ）1． （C ）2． （D ）3． 二、填空题（每小题3分，共18分）9．阳光广告公司为某种商品设计的商标图案如图所示，图中阴影部分为红色．若每个小长方形的面积都1，则红色的面积是___．（第9题） （第10题） （第11题）10．如图，梯形纸片ABCD ，已知AB ∥CD ，AD ＝BC ，AB ＝6，CD ＝3．将该梯形纸片沿对角线AC 折叠，点D 恰与AB 边上的E 点重合，则∠B ＝____________．11．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是____________． 12．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，如果AD ＝4，BC ＝8，∠B ＝60o ，那么这个等腰梯形的周长等于_____________．13．现有一X 长为40cm ，宽为20cm 的长方形纸片，要从中剪出长为18cm ，宽为12cm 的长方形纸片，则最多能剪出____________X ．14．在学习“四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴上墨水（如图所示），看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了文字应是______________． 三、解答题（每小题5分，共20分）15．如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 边于点E ．求证：BE ＝CD ．16．如图，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60o ），菱形ABCD的边长为2，E 是AD 的中点，沿CE 将菱形ABCD 剪成①、②两部分，用这两部分分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上，在下面的菱形斜网格中画出示意图．ABCDE（直角三角形）（等腰梯形）（矩形）17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45o，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE．（1）求证：AE∥BC；（2）若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积．18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAD的平分线AE交BC 于E，F，G分别是AB，AD的中点．（1）求证：EF＝EG；（2）当AB与EC满足怎样的数量关系时，EG∥CD？并说明理由．四、解答题（每小题6分，共24分）19．如图，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE＝BF．请你以F 为一个端点，和图中已标有字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须研究一组线段相等即可）．20．如图，矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P点，将一个直角三角形的直角顶点放在P点处，并使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E点，写出图中与P A相等的线段，并说明理由．21．用长为12m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C＝∠D＝∠E．设CD＝DE＝x m，五边形ABCDE的面积为S m2．问当x取什么值时，S最大？并求出S的最大值．22．如图①，在四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形．（1）当点P与点B重合时，图①变为图②，若∠ABD＝90o，求证：△ABR≌△CRD；（2）对于图①，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？图①图②五、解答题（每小题7分，共14分）23．如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD 边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．（1）当DG＝2时，求△FCG的面积；（2）设DG＝x，用含x的代数式表示△FCG的面积；（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．24．如图，等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30o．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD上运动．（1）设ND的长为x，用x表示点N到AB的距离，并写出x的取值X围；（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．参考答案一、选择题1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．D 二、填空题9．5 10．60o 11．AD ＝BC 12．20 13．3 14．菱形 三、解答题15．略． 16．略． 17．（1）略；（2）6． 18．（1）略；（2）AB ＝2EC ． 四、解答题19．FC ＝AE ，证明略． 20．PE ＝P A ，证明略． 21．4x =，max S = 22．（1）略；（2）BC ∥AD ． 五、解答题23．（1）4；（2）作FM ⊥DC ，连结GE ，S ＝6x -；（3）若S ＝1，则5x =，HG AE 6=>，点E 不在边AB 上，故不可能等于1．24．（1）()1202x -，015x ≤≤； （2）10x =时，五边形的面积最小，此时三角形为等腰三角形．。
九年级数学中考复习专题：四边形综合(考察全等证明、长度与面积计算等)
九年级数学中考复习专题：四边形综合（考察全等证明、长度与面积计算等）（一）1．综合与实践问题情境在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图①，已知正方形ABCD，点E是边上一点，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG．数学思考（1）连接GD，求证：△ABE≌△ADG；（2）连接FC，求∠FCD的度数；实践探究（3）如图②，当点E在BC的延长线上时，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG，连接FC，若正方形ABCD的边长为4，CE＝2，则CF的长是．2．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，最终到达点D，若点Q运动时间为x秒．（1）当x＝1时，S△AQE＝平方厘米；当x＝时，S△AQE＝平方厘米．（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求x的取值范围．（3）若△AQE的面积为平方厘米，直接写出x值．3．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交C于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）求证：四边形ECFG是菱形；（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．4．如图1，正方形ABCD沿GF折叠，使B落在CD边上点E处，连接BE，BH．（1）求∠HBE的度數；（2）若BH与GF交于点O，连接OE，判断△BOE的形状，说明理由；（3）在（2）的条件下，作EQ⊥AB于点Q，连接OQ，若AG＝2，CE＝3，求△OQR 的面积．5．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．（1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．6．如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分∠ACD交BD于点M，MN⊥CM，交AB于点N，（1）求∠BMN的度数；（2）求BN的长．7．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC，BC于点E、D，且D点坐标是（，6）．（1）求F点的坐标；（2）如图2，P点在第二象限，且△PDE≌△CED，求P点的坐标；（3）若M点为x轴上一动点，N点为直线DE上一动点，△FMN为以FN为底边的等腰直角三角形，求N点的坐标．8．已知，在平行四边形ABCD中，点F是AB上一点，连接DF交对角线AC于E，连接BE．（1）如图1，若∠EBC＝∠EFA，EC平分∠DEB，求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）如图2，对角线AC与BD相交于点O，当点F是AB的中点时，直接写出与△ADF 面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）．9．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点H为边AB的中点，点E在CH的延长线上，且AE⊥BE．点F在线段AE上，且BF⊥CE，垂足为G．（1）若BF＝AF，且EF＝3，BE＝4，求AD的长；（2）求证：BF+2EH＝CE．10．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，则线段AE与DF的关系是；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图2，连接AC，当△ACE为等腰三角形时，请你求出CE：CD的值．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS）；（2）解：如图①，过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠BAE，又∵AE＝EF，∠EHF＝∠ABE＝90°，∴△EHF≌△ABE（SAS），∴FH＝EB，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE，∴CH＝FH，∴∠FCH＝45°，∴∠FCD＝45°；（3）解：过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图②，由（2）知△EHF≌△ABE，∴EH＝AB，FH＝BE，∵AB＝BC＝4，CE＝2，∴BE＝FH＝6，CH＝CE+EH＝6，∴CF＝＝6．故答案为：6．2．解：（1）①∵E为CD的中点，∴DE＝1，∵动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，∴当x＝1时，AQ＝1，∴S△AQE＝×AQ×AD＝×1×2＝1，②∵AQ＝，∴点Q在AB上，∴S△AQE＝×AQ×AD＝；故答案为：①1；②．（2）根据题意，得，解得：．∴x的取值范围是．（3）①当点Q在AB上，∵S△AQE＝×x×2＝，∴x＝，②当点Q在BC上时，∵S△AQE＝S梯形ABCE﹣S△ABQ﹣S△CQE＝×2×（x﹣2）﹣×1×（4﹣x）＝．∴x＝，③当点Q在CD上时，∵S△AQE＝，∴x＝．综合以上可得x＝或或．3．证明：（1）∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）△BDG是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°，由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝10，AD＝24，∴BD＝＝＝26，∴DM＝BD＝13．4．解：（1）如图1中，过点E作EN⊥AB于N，过点B作BM⊥EA′于M．由翻折可知，∠ABF＝∠FEA′＝90°，FB＝FE，∴∠FBE＝∠FEB，∴∠EBN＝∠BEM，∵∠ENB＝∠BME＝90°，BE＝EB，∴△ENB≌△BME（AAS），∴EN＝BM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠NBC＝∠C＝∠A＝∠ENB＝90°，AB＝BC，∴AB＝BM＝BC，∵BH＝BH，BE＝BE，∴Rt△BAH≌Rt△BMH（HL），Rt△BME≌Rt△BCE，∴∠ABH＝∠MBH，∠EBM＝∠EBC，∴∠HBE＝∠MBH+∠EBM＝∠ABC＝45°．（2）结论：△BOE是等腰直角三角形．理由：如图2中，由翻折的旋转可知，FG垂直平分线段BE，∴∠OBE＝∠OEB＝45°，∴OB＝OE，∠BOE＝90°，∴△BOE是等腰直角三角形．（3）如图3中，过点O作OM⊥EQ于M，ON⊥AB于N，过点G作GJ⊥BC于J．∵∠A＝∠ABJ＝∠BJG＝90°，∴四边形ABJG是矩形，∴AG＝BJ＝2，AB＝GJ＝BC，∵FG⊥BE，∴∠EBC+∠BFG＝90°，∠BFG+∠JGF＝90°，∴∠CBE＝∠JGF，∵∠C＝∠GJF＝90°，BC＝GJ，∴△GJF≌△BCE（AAS），∴FJ＝CE＝3，∴BF＝EF＝5，CF＝＝4，∴BC＝BF+CF＝9，∴BE＝＝＝3，∴OB＝OE＝3，∵EQ⊥AB，∴∠ONB＝∠OME＝∠OMQ＝∠MQN＝90°，∴四边形MQNO是矩形，∴∠MON＝∠BOE＝90°，∴∠BON＝∠EOM，∴△ONB≌△OME（AAS），∴ON＝OM，∴四边形MQNO是正方形，设OM＝OM＝NQ＝MQ＝x，∵∠C＝∠CBQ＝∠BQE＝90°，∴四边形BCEQ是矩形，∴BQ＝EC＝3，EQ＝BC＝9，在Rt△BON中，则有x2+（x+3）2＝（3）2，解得x＝3或﹣6（舍弃），∴OM＝QM＝3，EM＝BN＝6，∵∠BQR＝∠OMR＝90°，∠BRQ＝∠ORM，BQ＝OM＝3，∴△BQR≌△OMR（AAS），∴QR＝MR＝∴S△OQR＝•QR•OM＝××3＝．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，∴AE＝AD，CF＝CB，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF即BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∴BD、EF互相平分；（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，∴△ADE是等边三角形，∵AD＝4，∴DE＝AE＝4，∵AE＝2EB，∴BE＝GE＝2，∴BG＝4，过D点作DG⊥AB于点G，在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，∴DG＝AD cos∠A＝4×＝2，∴BD＝＝＝2．6．解：（1）∵正方形ABCD的面积是8，∴BC＝CD＝＝2，∴BD＝×2＝4．∵四边形ABCD为正方形，∴∠DCO＝∠BCO＝∠CDO＝∠MBN＝45°，∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠MCO＝22.5°，∴∠BMC＝∠CDO+∠DCM＝45°+22.5°＝67.5°．∵MN⊥CM，∴∠CMN＝90°，∴∠BMN＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠BMN的度数为22..5°．（2）∵∠MCO＝22.5°，∠BCO＝45°，∴∠BCM＝∠BCO+∠MCO＝67.5°，又∵∠BMC＝67.5°，∴∠BCM＝∠BMC，∴BM＝BC＝CD＝2，∴DM＝BD﹣BM＝4﹣2．∵∠DCM＝22.5°，∠BMN＝22.5°，∴∠DCM＝∠BMN．∴在△DCM和△BMN中，，∴△DCM≌△BMN（ASA），∴BN＝DM＝4﹣2，∴BN的长为4﹣2．7．解：（1）∵点D坐标是（，6），B点的坐标是（4，6），四边形OABC为矩形，∴BC＝AO＝4，OC＝AB＝6，CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵将矩形沿直线DE折叠，∴DF＝CD＝，∴BF＝＝＝2，∴AF＝6﹣2＝4，∴点F（4，4）．（2）如图2中，连接PF交DE于J．当四边形EFDP是矩形时，△PDE≌△FED≌△CED，∵C（0，6），F（4，4），∴直线CF的解析式为y＝﹣x+6，∵DE垂直平分线段CF，∴直线DE的解析式为y＝2x+1，∴E（0，1），D（，6），∵DJ＝JE，∴J（，），∵PJ＝JF，∴P（﹣，3）．（3）如图3中，连接FN，以FN为对角线构造正方形NMFM′，连接MM′交FN于K．设N（m，2m+1），则K（，），M（，），M′（，），当点M落在x轴上时，＝0，解得m＝﹣，当点M′落在X轴上时，＝0，解得m＝﹣9，∴满足条件的点N的坐标为（﹣，）或（﹣9，﹣17）．8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC＝∠EFA，∵∠EBC＝∠EFA，∴∠EBC＝∠EDC，∵EC平分∠DEB，∴∠DCE＝∠BCE，在△CED和△CEB中，，∴△CED≌△CEB（AAS），∴CD＝CB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD为菱形；（2）解：与△ADF面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）为△AOB、△BOC、△COD、△DFB；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OB，OC＝OD，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△ABD的面积，∵点F是AB的中点，∴△ADF的面积＝△DFB的面积＝△ABD的面积，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△DFB的面积＝△ADF的面积．9．解：（1）∵AE⊥BE．EF＝3，BE＝4，∴BF＝，∵BF＝AF，∴AF＝5，∴AE＝3+5＝8，∴AB，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4；（2）在CH上截取HM＝HE，连接BM和AM，如图，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵点H为边AB的中点，∴EH＝AH＝BH＝MH，∴四边形AEBM是矩形，∴∠EAM＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAM，∵BF⊥CE，∴∠EGB＝90°，∴∠EBG+∠BEG＝90°，∵∠EBG+∠BFE＝90°，∴∠BEG＝∠BFE，∵矩形AEBM中，BE∥AM，∴∠BEG＝∠AMH，∴∠BFE＝∠AMH，∴∠AFB＝∠AMC，∵AB＝AC，∴△ABF≌△ACM（AAS），∴BF＝CM，∵CM+EM＝CE，EM＝EH+MH＝2EH，∴BF+2EH＝CE．10．解：（1）结论：AE＝DF，AE⊥DF，理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，∵∠ADE＝90°，∴∠ADP+∠CDF＝90°，∴∠ADP+∠DAE＝90°，∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥DF；故答案为：AE＝DF，AE⊥DF．（2）成立．理由如下：如图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠DCF＝90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，由于∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∴AE⊥DF．（3）有两种情况：①如图3﹣1中，当AC＝CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝CE＝＝a，则CE：CD＝a：a＝．②如图3﹣2中，当AE＝AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝AE＝＝a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，即AD⊥CE，∴DE＝CD＝a，∴CE：CD＝2a：a＝2，即CE：CD＝或2．。
九年级中考数学平行四边形专题复习（含答案）
九年级中考数学平行四边形专题复习一、选择题:1.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ） A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④2.如图,把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠,设重叠部分为△EBD,那么下列说法错误的是（ ）A．△EBD是等腰三角形，EB=ED B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等C.折叠后得到的图形是轴对称图形 D．△EBA和△EDC一定是全等三角形3.有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形(边数为n)的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成(n－2)个三角形；④半圆是扇形．其中正确的结论有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4.如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为( )95°D D．85°105°C C．95°A．115°115°B B．105°5.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为（ ）A．1.8B．2.4C．3.2D．3.66.现有纸片：4张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，8张宽为a、长为b的长方形，用这15张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形的长为( )A．2a＋3b B．2a＋b C．a＋3b D．无法确定7.如图，菱形ABCD的对角线AC=3cm，把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形 ENCM 的面积之比为( )A．9:4 B．12:5 C．3:1 D．5:28.如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）A． B．2 C． +1 D．2+19.如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．410.如图,已知矩形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此矩形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△ABE的面积为（ ）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2二、填空题：11.如图，矩形ABCD中，点E在线段AD延长线上，AD=DE，连接BE与DC相交于点F，连接AF，请从图中找出一个等腰三角形______．12.如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥BC于点E，ED平分∠CDA，若BE：EC=1：2，则∠BCD度数为 ．13.如图，为一块面积为1.5m2的直角三角形模板，其中∠B=90°，AB=1.5m，现要把它加工成正方形DEFG 木板（EF在AC上，点D和点G分别在AB和BC上），则该正方形木板的边长为______m．14.如图，正方形ABCD的长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH，则四边形EFGH面积的最小值是 cm2．15.在中，，其面积为，则的最大值是．16.已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+0.5m-0.25=0的两个实数根．当m= 时，四边形ABCD是菱形．三、解答题：17.如图,在平行四边形ABCD中,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,E在AD上，BE=12cm,CE=5cm.求平行四边形ABCD的周长．18.如图,已知在□ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与BE交于G.求证：GF＝GC．19.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上， 顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．20.如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的九分之一？（2）是否存在时刻t，使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．21.下列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形.(1)根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长为 ；（2）在图中画出两条裁剪线，并画出将此六边形剪拼成的正方形.22.如图，在正方形ABCD中，E为直线AB上的动点（不与A，B重合），作射线DE并绕点D逆时针旋转45°，交直线BC边于点F，连结EF．探究：当点E在边AB上，求证：EF=AE+CF．应用：（1）当点E在边AB上，且AD=2时，则△BEF的周长是 ．（2）当点E不在边AB上时，EF，AE，CF三者的数量关系是 ．参考答案1.B2.B3.B4.C5.D6.A7.D8.B9.C10.A11.答案为：△AFE（答案不唯一）．12.答案为：120°．13.答案为：．14.答案为：32．15.答案为：16.答案为：1．17.解：在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABE=∠EBC，∠BCE=∠ECD．，∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠BEC=90°， ∴BC22=BE22+CE22=1222+522=1322∴BC=13cm，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，同理CD=ED，∵AB=CD，∴AB=AE=CD=ED=0.5BC=6.5cm，∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（6.5+13）=39cm18.提示：取BE的中点P，证明四边形EFPC是平行四边形．19.（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC．（2）解：如图设AD与EH交于点M．∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．20.21.答案为：（1）；（2）如图：22.探究：证明：如图，延长BA到G，使AG=CF，连接DG，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA=DC ，∠DAG=∠DCF=90°， ∴△DAG ≌△DCF （SAS ），∴∠1=∠3，DG=DF ，∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，∴∠EDG=∠1+∠2=∠3+∠2=45°2=45°==∠EDF ， ∵DE=DE ，∴△GDE ≌△FDE （SAS ），∴EF=EG=AE+AG=AE+CF ； 应用：解：（1）△BEF 的周长=BE+BF+EF ，由探究得：EF=AE+CF ， ∴△BEF 的周长=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4，故答案为：4； （2）当点E 不在边AB 上时，分两种情况：①点E 在BA 的延长线上时，如图2，EF=CF ﹣AE ，理由是：在CB 上取CG=AE ，连接DG ， ∵∠DAE=∠DCG=90°，AD=DC ，∴△DAE ≌△DCG （SAS ）∴DE=DG ，∠EDA=∠GDC ∵∠ADC=90°，∴∠EDG=90°∴∠EDF+∠FDG=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDG=90°﹣45°45°=45°=45°，∴∠EDF=∠FDG=45°， 在△EDF 和△GDF 中，∵，∴△EDF ≌△GDF （SAS ），∴EF=FG ，∴EF=CF ﹣CG=CF ﹣AE ；②当点E 在AB 的延长线上时，如图3，EF=AE ﹣CF ，理由是：把△DAE 绕点D 逆时针旋转90°至△DCG ，可使AD 与DC 重合，连接DG ， 由旋转得：DE=DG ，∠EDG=90°，AE=CG ，∵∠EDF=45°，∴∠GDF=90°﹣45°45°=45°=45°，∴∠EDF=∠GDF ， ∵DF=DF ，∴△EDF ≌△GDF ，∴EF=GF ，∴EF=CG ﹣CF=AE ﹣CF ；综上所述，当点E 不在边AB 上时，EF ，AE ，CF 三者的数量关系是：EF=CF ﹣AE 或EF=AE ﹣CF ；故答案为：EF=CF ﹣AE 或EF=AE ﹣CF ．。
中考数学四边形专题训练50题含参考答案
中考数学四边形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图，已知1234290∠+∠+∠+∠=︒，那么5∠的大小是（ ）A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒ 2．在▱ABCD 中，∠A ，∠B 的度数之比为4∠5，则∠C 的度数为( )A ．60°B ．80°C ．100°D ．120° 3．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，O 为对角线BD 的中点，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，则BE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．如图，四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形，点B 在EF 边上，若1AB =，2AC =，则矩形AEFC 的面积为（ ）A ．2 BC ．D ．32 5．已知∠ABCD 相邻两个内角的比为2：3，则其中较大的内角是（ ） A ．60° B ．72° C ．120°D ．108°6．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则重叠部分（即BDE △）的面积为（ ）A ．6B ．7.5C ．10D ．207．如图，在矩形ABCD 中，6cm,8cm AB BC ==，点E 是BC 的中点，点F 是边CD 上一动点，当AEF △的周长最小时，则DF 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在四边形ABCD 中，110C ∠=︒，与BAD ∠，ABC ∠相邻的外角都是120°，则α∠的值为（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65° 9．如图，点E 为正方形ABCD 外一点，且ED CD =，连接AE ，交BD 于点F ．若38CDE ∠=︒，则BFC ∠的度数为( )A ．71︒B ．72︒C ．81︒D ．82︒ 10．在平行四边形ABCD 中，点E 在DC 边上，连接AE ，交BD 于点F ，若DE ∠EC =3：2，则∠DEF 的面积与∠BAF 的面积之比为（ ）A．3：5B．9：4C．9：25D．3：211．如图，四边形ABCD是正方形，直线a、b、c分别经过A、D、C三点，且a b c∥∥．若a与b之间的距离是2，b与c之间的距离是3，则正方形ABCD的面积是（）A．12B．13C．14D．1512．如图，在∠ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∠AC，DF∠AB，分别交AB，AC于E，F两点．则下列说法不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．若∠B+∠C＝90°，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若BD＝AD＝DC，则四边形AEDF是矩形13．小明在计算某多边形的内角和时，由于马虎漏掉了一个角，结果得到970°，则原多边形是一个（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，点E是AD边的中点，连接OE，则OE的长为（）A．10B．52C．5D．415．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（）∠平行四边形；∠菱形；∠任意四边形；∠对角线互相垂直的四边形A．∠∠B．∠∠C．∠∠D．∠∠16．如图，已知点O为∠ABC的AC边上的中点，连接BO并延长到D，使得OD＝OB，要使四边形ABCD为矩形，∠ABC中需添加的条件是（）A．AB＝BC B．∠ABC＝90°C．∠BAC＝45°D．∠BCA＝45°17．如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，点M，N分别在AD，BC上，且=，3AM BN=，E为BC边上一动点，连接DE，将DCEAD AM∆沿DE所在直线折叠得到∠DC E'，当C'点恰好落在线段MN上时，NE的长为()A．B．5C．3D．18．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO上一动点，F是射线DC上一动点，若∠AEF＝120°，则线段EF的长度的整数值的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．如图，正方形ABCD边长为4，E，F分别为线段AD，BC上一点，且1AE=，CF=，AC与DF相交于H，I为线段AH上一点（不与端点重合），J为线段DH上1+的最小值为（）一点（不与端点重合），则EI IJA B C D二、填空题20．如图，已知点A的坐标是(-2)，点B的坐标是(1-，，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则点D的坐标是______．21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA∠CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则OAAE的值为__________．22．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠E＝20°，则∠ADB＝______．23．如图，□ABCD的对角线交于点O，且AB=4，∠OCD的周长为13，则□ABCD的两条对角线长度之和为________．24．一个多边形的内角和等于它外角和的7倍，则这个多边形的边数为_________． 25．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，7BC =，点E 为BC 上一动点，把ABE 沿AE 折叠，当点B 的对应点B '落在ADC ∠或DAB ∠的角平分线上时，则点B '到BC 的距离为______________．26．如图，在平行四边形ABDC 中，点M 是CD 的中点，AM 与BC 相交于点N ，那么:ACN S △S 四边形BDMN 等于_______．27．如图，在周长为16，面积为6的矩形纸片ABCD 中，E 是AD 的中点．F 是AB 上一动点，将AEF ∆沿直线EF 折叠，点A 落在点'A 处．在EF 上任取一点G ，连接'GA ，GC ，则'A G GC +的最小值为___________．28．如图，∠ABC 中∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝4，若正方形DEFG 的顶点D 在AB 上，顶点F 、G 都在AC 上，射线AE 交BC 边于点H ，则CH 长为___．29．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，H 是CD 边上一点，现将BCH ∆沿BH 折叠，点C 的对应点C '正好落在AD 边上，点E 、F 分别是AD 、BH 边上的动点，再将四边形ABHD 沿EF 折叠，若点A 的对应点A '正好落在线段BH 上，且4BA HA ''=，则线段AE 的长为______．30．如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，BC =，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 移动，若出发t 秒后，2PA PC =，则t =_________秒．31．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC=2，∠BAD=60°，BD 边上有2013个不同的点122013,,,p p p ⋯，过(1,2,,2013)i p i =⋯作i i PE AB ⊥于i E ，i i PFAD ⊥于i F ，111122222013201320132013PE PF P E P F P E P F ++++⋯++的值为_______________32．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”，图∠是由边长10cm 的正方形薄板分成7块制作成的“七巧板”图∠是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为_______cm (结果保留根号).33．在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ，若AB ＝5，BC ＝6，则CE +CF 的值为_________________． 34．在菱形ABCD 的纸板中画O ，随意向其投掷一枚飞镖.若4AB =，60A ∠=，则飞镖落在O 中的概率的最大值为______．35．如图，在ABC ∆中，D 为BC 边中点，P 为AC 边中点，E 为BC 上一点且27BE CE =，连接AE ，取中点Q 并连接QD ，取QD 中点G ，延长PG 与BC 边交于点H ，若9BC =，则HE =_________．36．如图所示，AE 是▱ABCD 的∠DAB 的平分线，且交BC 于点E ，EF ∠AB 交AD 于点F ，则四边形ABEF 一定是____________．37．如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把∠BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF ∠EC ，垂足为F ，若2CD =，4CF =，则线段AE 的长为______．38．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且3.5BE a =连接AE ，将ABE 沿AE 折叠，若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则a 的值为______ ．39．如图，Rt∠ABC ，AB ＝3，AC ＝4，点D 在以C 为圆心3为半径的圆上，F 是BD 的中点，则线段AF 的最大值是_____．三、解答题40．如图，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在线段OA ，OC 上，且OB OD =，12∠=∠，AE=CF ．(1)证明；BEO DFO ≌；(2)证明：四边形ABCD 是平行四边形．41． 如图．在Rt ∠ABC 中，∠B =90°，AC =60cm ，∠A =60°，点D 从点A 出发沿AC 方向以4cm ∕秒的速度向点C 匀速运动，同时点E 从点B 出发沿BA 方向以2cm ∕秒的速度向点A 匀速运动，设点D 、E 运动的时间是t 秒（0＜t ＜15），过点D 作DF ∠BC 于点F ，连接DE 、EF ．（1）求证：四边形AEFD 是平行四边形；（2）当t 为何值时，动点D 恰好在AF 的垂直平分线上；（3）点D 、F 在运动过程中是否存在t 的值，使∠DEF 是直角三角形，若存在求出t 的值，若不存在，说明理由．42．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接CD ，过点E 作EF ∥CD ，交BC 的延长线于点F ．(1)求证：四边形DCFE 是平行四边形；(2)若四边形DCFE 的周长是18，AC 的长为6，求线段AB 、 BC 的长．43．知：如图，n 边形12345n A A A A A A .(1)求证：n 边形12345n A A A A A A 的内角和等于()2180n -⋅︒；(2)在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°，求这个多边形的内角和；(3)粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为1180°，这个多加的外角度数为 ，多边形的边数为 .44．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是AD 上任意一点，连接EO 并延长，交BC 于点F ，连接AF ，CE .（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）若60DAC ︒∠=，15ADB ∠=°，4AC =.∠直接写出ABCD 的边BC 上的高h 的值；∠当点E 从点D 向点A 运动的过程中，下面关于四边形AFCE 的形状的变化的说法中，正确的是A ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B ．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C ．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形D ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形45．如图，在∠ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 中点．四边形ABDE 是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形46．已知正方形OABC 在直角坐标系中（如图），A （1，﹣3），求点B 、C 的坐标．47．如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．(正方形四条边都相等，四个角都是直角)1.我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：(1)猜想图1中线段BG 和线段DE 的长度和位置关系：______________．(2)将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度a ，得到如图2.如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断上述猜想是否仍然成立：_______（成立、不成立）若成立，请你选取图2或图3中的一种情况说明你的判断．48．在矩形ABCD 中，点P 是射线BC 上一动点，点B 关于直线AP 的对称点为E ，直线PE 与直线CD 交于点F ．(1)如图1，当A ，C ，E 共线时，若30ACB ∠=︒，判断∠ACF 的形状，并证明；(2)若当点P 在线段BC 上的某个位置时（不与B ，C 重合），有45PAF ∠=︒，求证：当点P 在BC 延长线上任意位置时，都有45PAF ∠=︒．49．【教材呈现】下图是华师版数学教材的部分内容探索如图24.2.1，画Rt ABC ，并画出斜边AB 上的中线CD ，量一量，看看CD 与AB 有什么关系．相信你与你的伙伴一定会发现：CD 恰好是AB 的一半，下面让我们演绎推理证明这一猜想．已知：如图24.2.2，在Rt ABC ，90ACB ∠=，CD 是斜边AB 上的中线．求证：12CD AB =．【证明】请根据教材图24.2.2的提示，完成直角三角形的性质“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的证明【延伸】如图∠，在四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，AB AC =，点E 、F 分别为AC ，BC 的中点，连结EF 、DE ，则线段DE 与EF 的数量关系是___________．【应用】（1）如图∠，在【延伸】的条件下，当AC 平分BAD ∠，90DEF ∠=时，则BAD ∠的大小为______．（2）如图∠，在【延伸】的条件下，当2AB =，四边形CDEF 是菱形时，直接写出四边形ABCD 的面积．参考答案：1．B【分析】根据多边形外角和为360︒度进行求解即可．【详解】解：∠1234290∠+∠+∠+∠=︒，12345360∠+∠+∠+∠+∠=︒，∠()5360123470=︒-∠+∠+∠+∠=︒∠，故选B ．【点睛】本题主要考查了多边形外角和，熟知多边形外角和为360︒是解题的关键． 2．B【分析】根据平行四边形邻角互补,即可将角A 和角B 的度数求出,再利用对角相等即可求出角C.【详解】∠四边形ABCD 为平行四边形,∠∠A+∠B=180°,∠∠A ，∠B 的度数之比为4∠5 ∠∠A=180°49⨯=80°, 即∠C=80°,故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,属于简单题,熟悉平行四边形的性质是解题关键. 3．A【分析】先求出OB 的长和∠BOE 的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出BE 的值．【详解】解：在菱形ABCD 中，AB =AD ，60A ∠=︒，ABD ∴是等边三角形，4BD AB ∴==，O 为BD 的中点，122OB BD ∴==， 60OE AB ABD ⊥∠=︒，，30BOE ∴∠=︒，112BE OB ∴==． 故选A ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．4．B【分析】根据勾股定理可求出BC 的长度，再求解∠ACB 的度数，进而求出CF 的长度，最后用矩形面积公式求解即可．【详解】∠四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形，∠∠ABC =90°，在Rt ∠ABC 中，由勾股定理可得：BC连接BD 交AC 于点O ，∠四边形AEFC 是矩形，∠BD =AC =2，∠CO =DO =12BD =1， ∠CD =1，∠∠CDO 为等边三角形，∠∠ACD =60°，∠∠ACB =30°，∠四边形AEFC 是矩形，∠AC EF ∥，∠∠CBF =∠ACB =30°，∠CF =12BC∠矩形AEFC 的面积=AC ×CF故选：B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，含有30°角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练地掌握相关内容是解题的关键．5．D【分析】根据平行四边形邻角互补的性质及题意，可得出较大内角的度数.【详解】解：∠平行四边形ABCD∠相邻内角和为108o∠相邻内角的比为2:3∠较大内角度数是：3180=1085o o ⨯ 故答案是：D.【点睛】本题主要考查平行四边形邻角互补，准确应用平行四边形的性质是解题的关键. 6．C【分析】由折叠结合矩形的性质先证明,BE DE =设,BE DE x == 则8,AE x =- 再利用勾股定理求解,x 从而可得BDE △的面积． 【详解】解： 长方形ABCD ，8,4,AD AB ==//,AD BC ∴,ADB CBD ∴∠=∠由对折可得：,CBD C BD '∠=∠,ADB C BD '∴∠=∠,BE DE ∴=设,BE DE x == 则8,AE x =-由222,BE AB AE =+()22248,x x ∴=+-1680,x ∴=5,x ∴= 5,DE BE ∴==115410.22BDE S DE AB ∴==⨯⨯=故选：.C【点睛】本题考查的是矩形与折叠问题，勾股定理的应用，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．7．D【分析】作点E 关于直线CD 的对称点E'，连接AE'交CD 于点F ，再根据CE F BE A ∽即可求出CF 的长，进而得出DF 的长．【详解】解：如图所示：作点E 关于直线CD 的对称点E'，连接AE'交CD 于点F ，此时，∠AEF 的周长最小， ∠在矩形ABCD 中，AB =6，BC = 8，点E 是BC 中点，∠'4BE CE CE ，∠CF AB ∥，∠CE F BE A ''∽， ∠CE CF BE AB ='' ，即4846CF ， 解得：2CF =， ∠624DF CD CF ；故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出E 点关于直线CD 的对称点E'，再根据轴对称的性质求出CE'的长，利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论，熟练应用轴对称和相似的判定与性质相关知识解决问题是解题的关键．8．A【分析】先求出∠ABC =∠BAD =60°，再根据四边形的内角和等于360°，可得∠ADC =130°，即可求解．【详解】解：∠与BAD ∠，ABC ∠相邻的外角都是120°， ∠∠ABC =∠BAD =60°，∠∠ADC =360°-∠ABC -∠BAD -∠BCD =130°，∠18050ADC ∠=︒-∠=︒α．故选：A.【点睛】本题主要考查了四边形的内角和定理、邻补角，熟练掌握四边形的内角和等于360°是解题的关键．9．A【分析】根据正方形的性质，得AD CD =，90ADC ∠=︒，得45ADB CDB ∠=∠=︒；根据ED CD =，得AD DE =；根据等边对等角，38CDE ∠=︒，可求出DAE ∠；根据三角形的内角和，得AFD ∠；根据ADF △和CDF 全等，得AFD CFD ∠=∠，即可求出BFC ∠的角度．【详解】∠四边形ABCD 正方形∠AD CD =，90ADC ∠=︒∠45ADB CDB ∠=∠=︒∠ED CD =∠AD DE =∠DAE DEA ∠=∠∠38CDE ∠=︒∠9038128ADE ∠=︒+︒=︒∠26DAE DEA ∠=∠=︒∠在ADF △中，180DAF AFD ADF ∠+∠+∠=︒∠2645180AFD ︒+∠+︒=︒∠109AFD ∠=︒∠在ADF △和CDF 中AD CD ADF CDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ADF CDF ≅∠109AFD CFD ∠=∠=︒∠180180109BFC AFD ∠=︒-∠=︒-︒故选：A．【点睛】本题考查正方形和三角形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角．10．C【分析】先判断∠DEF∠∠BAF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：∠四边形ABCD是平行四边形，∠DC∠AB，DC=AB，∠∠DEF∠∠BAF，∠2DEFBAFS DES AB⎛⎫= ⎪⎝⎭．又∠DE：EC＝3：2，∠3==5 DE DE DEAB DC DE EC=+，∠2239==525 DEFBAFS DES AB⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△．故选C．【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．11．B【分析】先作辅助线AE∠直线b于点E，CF∠直线b于点F，然后根据题目中的条件，可以证明△AED和△DFC全等，即可得到DF＝AE，然后根据勾股定理，即可得到CD的长，从而可以得到正方形ABCD的面积．【详解】解：作AE∠直线b于点E，作CF∠直线b于点F，则AE＝2，CF＝3，∠四边形ABCD是正方形，∠AD ＝DC ，∠ADC ＝90°，∠∠ADE +∠CDF ＝90°，∠AE ∠直线b ，CF ∠直线b ，∠∠AED ＝∠DFC ＝90°，∠∠ADE +∠DAE ＝90°，∠∠DAE ＝∠CDF ，在△AED 和△DFC 中，AED DFC DAE CDF AD DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠AED ∠∠DFC (AAS )，∠AE ＝DF ，∠AE ＝2，CF ＝3，∠CFD ＝90°，∠DF ＝2，∠CD∠正方形ABCD13，故选：B ．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，平行线之间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．C【分析】根据平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：∠DE ∠AC ，DF ∠AB ，∠四边形AEDF 是平行四边形，故A 选项正确；∠四边形AEDF 是平行四边形，∠B +∠C =90°，∠∠BAC =90°，∠四边形AEDF 是矩形，故B 选项正确；若BD =CD ，则四边形AEDF 是平行四边形，不一定是菱形，故C 选项错误；∠BD ＝AD ＝DC ，∠∠DBA =∠DAB ，∠DAC =∠DCA ，∠∠DAB +∠DAC =90°，即∠BAC =90°，∠四边形AEDF 是矩形，故选C ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形及菱形的判定方法，难度不大．13．B【分析】根据n 边形的内角和是（n -2）•180°，少计算了一个内角，结果得970度．则内角和（n -2）•180°与970°的差大于0度，且（n -2）•180°小于970°+180°．因而可以解不等式()9702180970180n <-⨯<+，多边形的边数n 一定是最小的整数值即可．【详解】解：设多边形的边数是n ，依题意有：()9702180970180n <-⨯<+ 解得：77781818n <<， ∠则多边形的边数n =8；故选B ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键． 14．B【分析】根据菱形的性质得到OA ＝12AC ＝3，OD ＝12BD ＝4，AC ∠BD ，利用勾股定理求出AD ，再根据直角三角形斜边中线的性质求出OE 即可．【详解】∠四边形ABCD 为菱形，∠OA ＝12AC ＝3，OD ＝12BD ＝4，AC ∠BD ，∠AD 5，∠点E 是边AD 的中点，∠OE ＝12AD =52， 故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟记菱形的性质是解题的关键．15．D【分析】根据中点四边形为平行四边形，当四边形的对角线互相垂直时则平行四边形为矩形，即可得到答案．【详解】解：顺次连接一个四边形的各边中点，得到的四边形是平行四边形，若四边形的对角线互相垂直，则所得平行四边形为矩形，则满足条件的是∠∠， 故选：D ．【点睛】此题考查中点四边形的判定，矩形的判定，熟记判定定理是解题的关键． 16．B【分析】由题意可证四边形ABCD 是平行四边形，由矩形的判定可求解．【详解】解：∠点O 为∠ABC 的AC 边上的中点，∠AO ＝CO ，且OD ＝OB ，∠四边形ABCD 是平行四边形，∠有一个角为直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，∠添加条件为∠ABC ＝90°，故选B ．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定是本题的关键．17．A【分析】设CE =x ，则C ′E =x ，证明四边形MNCD 是矩形，由矩形的性质得出∠DMN =∠MNC =90°，MN =CD =10，由折叠的性质得出C ′D =CD =10，求出6MC '=，则4NC '=,在Rt NEC '中，由勾股定理得出222(8)4x x --=，解方程可得出答案．【详解】解：设CE =x ，则C ′E =x ，∠矩形ABCD 中，AB =10，∠CD =AB =10，AD =BC =12，AD∥BC ，∠点M ，N 分别在AD ，BC 上，且3AM =AD ，BN =AM ，∠DM =CN =8，∠四边形CDMN 为平行四边形，∠∠NCD =90°，∠四边形MNCD 是矩形，∠∠DMN =∠MNC =90°，MN =CD =10，由折叠知，C ′D =CD ,10，∠6MC '==，∠1064CN '=-=，∠EN =CN -CE =8-x ，∠C ′E 2-NE 2=C ′N 2，∠222(8)4x x --=，解得，5x =，即853NE CN CE =-=-=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，一元一次方程的应用，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．18．C【分析】连结CE ，根据菱形的性质和全等三角形的判定可得∠ABE ∠∠CBE ，根据全等三角形的性质可得AE ＝CE ，设∠OCE ＝a ，∠OAE ＝a ，∠AEO ＝90°﹣a ，可得∠ECF ＝∠EFC ，根据等角对等边可得CE ＝EF ，从而得到AE ＝EF ，在Rt∠ABO 中，根据含30°的直角三角形的性质得到AO ＝2，可得2≤AE ≤4，从而得到EF 的长的整数值可能是2，3，4．【详解】解：如图，连结CE，∠在菱形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ＝30°，BE ＝BE ，∠∠ABE ∠∠CBE ，∠AE ＝CE ，设∠OCE ＝a ，∠OAE ＝a ，∠AEO ＝90°﹣a ，∠∠DEF ＝120°﹣（90°﹣a ）＝30°+a ，∠∠EFC ＝∠CDE +∠DEF ＝30°+30°+a ＝60°+a ，∠∠ECF＝∠DCO+∠OCE＝60°+a，∠∠ECF＝∠EFC，∠CE＝EF，∠AE＝EF，∠AB＝4，∠ABE＝30°，∠在Rt∠ABO中，AO＝2，∠OA≤AE≤AB，∠2≤AE≤4，∠AE的长的整数值可能是2，3，4，即EF的长的整数值可能是2，3，4．故选C．【点睛】考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，根据含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，证明∠ABE∠∠CBE．19．C有最小值，如下【分析】作点E关于AC的对称点K，EI+IJ=KI+KJ，当EJ∠DF时EI IJ图所示，延长KJ交DC于N点，过N作NM∠AD，得到∠KMN∠∠FCD，再由∠DJ0N∠∠DCF求出J0N，最后KN减去J0N即为所求.【详解】解：如图，作点E关于AC的对称点K，当EJ∠DF时EI+IJ有最小值为KJ0，此时设KN与DF、CD的交点分别为J0和N点，过N点作MN∠AD交AB于点M.∠∠KND+∠FDC=90°，∠DFC+∠FDC=90°∠∠KND=∠DFC又∠AB∠CD∠∠MKN=∠KND=∠DFC在∠MKN 和∠CFD 中90∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩MKN CFD KMN FCD MN DC ，∠∠MKN∠∠CFD(AAS)∠1,112=====+=KM CF KN DF DN AM ,又∠DJ 0N∠∠DCF ∠0=J N DN CF DF，代入数据：01J N，得0J∠00=-==KJ KN J N 故答案为：C.【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质和判定、线段最值问题等，两条折线段的最值问题一般通过平移、对称等转移到一条线段上去，然后再根据两点之间线段最短或点到直线的距离垂线段最短求解即可.20．(1【分析】根据菱形具有的平行四边形基本性质，对角线互相平分，且交点为坐标原点，则B ，D 关于原点对称， 因此在直角坐标系中两点的坐标关于原点对称，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数便可得.【详解】∠四边形ABCD 是菱形，对角线相交于坐标原点O∠根据平行四边形对角线互相平分的性质，A 和C ； B 和D 均关于原点O 对称 根据直角坐标系上一点(),x y 关于原点对称的点为()--x,y 可得已知点B的坐标是(-1, ，则点D的坐标是( .故答案为：(.【点睛】本题旨在考查菱形的基本性质及直角坐标系中关于原点对称点的坐标的知识点，熟练理解掌握该知识点为解题的关键.21．724 【分析】过点A 作AH BD ⊥于点H ，分别利用勾股定理和等面积法求出AH 和OH 的长度，从而可结合正切函数求出tan AOE ∠，进而结合题意可得出AE AO，即可得出结论．【详解】解：在Rt ABC 中，∠3,4AB BC ==，∠5AC =， ∠115222AO AC BD ===， 如解图，过点A 作AH BD ⊥于点H ， ∠1122ABD S BD AH AB AD =⋅=⋅， ∠534AH =⨯， ∠125AH =，∠在Rt AOH 中，710OH ==， ∠tan 247AH OH AOE ==∠， 又∠EA CA ⊥，∠在Rt EAO △中，tan 247AE AO AOE ==∠， ∠724AO AE =， 故答案为：724．【点睛】本题考查矩形的性质，正切函数的定义等，理解矩形的基本性质，掌握正切函数的定义是解题关键．22．40°【分析】连接AC ，由矩形性质可得∠E ＝∠DAE 、BD ＝AC ＝CE ，知∠E ＝∠CAE ，而∠E ＝20°，可得∠ADB 度数．【详解】解：连接AC ，∠四边形ABCD是矩形，∠AD∠BE，AC＝BD，且∠E＝20°，∠∠E＝∠DAE，又∠BD＝CE，∠CE＝CA，∠∠E＝∠CAE，∠∠ADB＝∠CAD＝∠CAE+∠DAE＝2∠E＝40°，故答案为：40°．【点睛】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．23．18【详解】由平行四边形的性质和已知条件计算即可，解题注意求平行四边形ABCD的两条对角线的和时要把两条对角线看作一个整体.解：∠四边形ABCD是平行四边形，∠AB=CD=4，∠∠OCD的周长是13，∠OD+OC=13-4=9，∠BD=2DO，AC=2OC，∠平行四边形的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=18故选A.“点睛”本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题.平行四边形的基本性质：∠平行四边形两组对边分别平行；∠平行四边形两组对边分别相等；∠平行四边形的两种对角分别相等；∠平行四边形的对角线互相平分.24．16【详解】设多边形的边数为n，依题意，得：(n−2)⋅180°=7×360°，解得n=16，故答案为16.25．2或1或52- 【分析】过点B '作B M AD '⊥于M ，延长MB '交BC 于点H ，则MH BC ⊥于点H ，则MH BC ⊥，5MH AB ==，分点B 的对应点B '落在ADC ∠的角平分线上和点B 的对应点B '落在DAB ∠的角平分线两种情况，利用勾股定理列方程，即可求得答案． 【详解】解：四边形ABCD 是矩形，5,7,90,AB CD AD BC ADC AD BC ∥，过点B '作B M AD '⊥于M ，延长MB '交BC 于点H ，则MH BC ⊥于点H ，则MH BC ⊥，5MH AB ==，∠当点B 的对应点B '落在ADC ∠的角平分线上时，连接B D '，45,ADB MB D,DM B M∠设DM B M x '==，则7AM x =-，又由折叠的性质知5AB AB '==，∠在直角AMB '△中，由勾股定理得到：222AM AB B M ，即()22275x x -=-， 解得：1234，x x ==，则点B '到BC 的距离为532MH B M '-=-=或541MH B M '-=-=．∠当点B 的对应点B '落在DAB ∠的角平分线上时，45,B AMMB A ,AM B M∠设AM m B M '==，又由折叠的性质知5AB AB '==，∠在直角AMB '△中，由勾股定理得到：222AB AM B M ，即2225m m =+，解得：12m m ==（不合题意，舍去），则点B '到BC 的距离为5MH B M '-=-故答案为：2或1或5- 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、勾股定理、矩形的性质、解一元二次方程等知识点，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．26．2：5【详解】试题分析：根据平行四边形的性质可得∠ABN∠∠MCN ，再结合点M 是CD 的中点，根据相似三角形的性质及三角形的面积公式求解即可.∠平行四边形ABDC∠∠ABN∠∠MCN∠点M 是CD 的中点∠AN=2MN∠∠CAN 的面积是∠MCN 的面积的2倍，∠BCD 的面积是∠MCN 的面积的6倍 ∠四边形BDMN 是∠MCN 的面积的5倍∠:ACN BDMN S S ∆四边形=2：5．考点：平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式点评：平行四边形的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握.27．【分析】连接AC 交EF 于H ，连接A ′H ，当点G 与点H 重合时，此时A 'G +GC 的值最小，由勾股定理求出AC 的长，则可得出答案．【详解】解：连接AC 交EF 于H ，连接A ′H ，当点G 与点H 重合时，此时A 'G +GC 的值最小，设AB =x ，BC =y ，∠矩形ABCD 的周长为16，面积为6，∠2()166x y xy +=⎧⎨=⎩， ∠22x y +52=，∠AC ==∠A 'G +GC 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．28．43【分析】根据题意可知1tan =2BC DG BAC AC AG ==∠，tan =EF CH HAC AF AC=∠再利用正方形的性质求解即可.【详解】解：∠四边形DEFG 是正方形，∠DG=G F =EF ，∠DGF =∠EF A =90°，∠∠DGA =90°， ∠tan =DG BAC AG ∠，tan =EF HAC AF ∠ ∠∠ACB =90°，BC =2，AC =4， ∠1tan ==2BC BAC AC ∠，tan =CH HAC AC ∠ ∠1tan =2BC DG BAC AC AG==∠， ∠2AG DG =,∠3=3AF DG EF = ∠1tan =3EF CH HAC AF AC ==∠， ∠433AC CH ==, 故答案为：43【点睛】本题主要考查了正方形的性质和解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握解直角三角形的相关知识.29．16936【分析】过点A 作MN ∠BC ，分别交BC 于M ，交AD 于N ，则四边形ABMN 是矩形，AM =AN ，MN =AB =6，然后证明A MB HCB '△∽△，得到485AN BM BC ===，45A M HC '=，再由折叠的性质可得10BC BC '==，AE A E '=，CH C H '=，则可由勾股定理得到8AC '=，则2C D AD AC ''=-=，从而可以求得103CH =，得到8=3A M '，则10=3A N MN A M ''=-，设=AE A E y '=，则8EN y =-，由222A E A N EN ''=+，得到()2221083y y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解方程即可． 【详解】解：如图所示，过点A 作MN ∠BC ，分别交BC 于M ，交AD 于N ，∠四边形ABCD 是矩形，∠=90A ABM BMN C ∠=∠=∠=︒∠ ，CD ∠BC ，∠四边形ABMN 是矩形，∠AM =AN ，∠A M BC '⊥，CD BC ⊥，∠A M CH '∥，∠A MB HCB '△∽△， ∠BA BM A M BH BC HC''==， ∠4BA HA ''=，∠5BH HA '=， ∠4=5BA BM A M BH BC HC ''==，∠485AN BM BC ===，45A M HC '=， 由折叠的性质可得10BC BC '==，AE A E '=，CH C H '=，∠8AC '=，∠2C D AD AC ''=-=，设C H CH x '==，则6DH x =-，∠222C H DH C D ''=+，∠()2264x x =-+， 解得103x =， ∠103CH =， ∠8=3A M '， ∠10=3A N MN A M ''=-， 设=AE A E y '=，则8EN y =-，∠222A E A N EN ''=+， ∠()2221083y y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 解得16936y =， ∠16936AE =, 故答案为：16936．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质与判定．30．【分析】根据矩形的性质和勾股定理，用含t 的代数式表示出P A ，PC ，再列出方程，即可求解．【详解】解：∠在矩形ABCD 中，6cm AB =，BC =，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 移动，∠P A =2t ，PC ∠2PA PC =，∠2t =t 1t 2， 故答案是：【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次根式，一元二次方程，用用含t 的代数式表示出P A ，PC ，是解题的关键．31．2013【详解】试题分析：在菱形ABCD 中，BD∠AC ，BD 与AC 互相平分，因为∠BAD=60°，所以∠BAC=30°，又因为AC=2，设BD 的一半为x ，则AB=2x ，根据勾股定理，得1AP ,因为i i PE AB ⊥于i E ，i i PF AD ⊥于i F ，利用等面积法，得12·AD·1P F +12·AB·1P E =12·BD·12AC 1P F +1P E ）1P F +1P E =1,同理可得，111122222013201320132013PE PF P E P F P E P F ++++⋯++=2013×1=2013.考点：菱形的相关性质和等面积法的应用点评：该题主要考查学生对菱形性质的理解和掌握程度，同时要求学生提高对题目的观察能力，找出其中的规律．32．2【分析】由题目中第一个图可到小正方形的边长与小等腰三角形的直角边相等，与平行四边形的短边相等，所以大正方形的对角线长度为4倍小正方形边长，设出小正方形边长，利用大正方形面积列出方程，解出方程即可【详解】设小正方形边长为a ，由题目中第一个图可到小正方形的边长与小等腰三角形的直角边相等，与平行四边形的短边相等， 所以大正方形对角线长4a ，S 大正方形=442a a ⨯。
【精编版】数学中考专题训练——四边形的综合
中考专题训练——四边形的综合1．四边形ABCD为平行四边形，点P为平面内一点（1）若AP＝BC，连AP、DP；①如图1，点P在边BC上，求证：PD平分∠APC；②如图2，过P作PD的垂线交DC的延长线于点F，FP交AB于点E，求证：DF＝2AE．（2）如图3，∠ABC＝60°，点P在对角线DB上，点M在边AD上，MP＝CD且∠AMP ＝∠ABD，AB＝5，BP＝3，直接写出平行四边形ABCD的面积．2．在正方形ABCD中，AB＝6，E为直线AB上一点，EF⊥AB交对角线AC于F，点G为AF中点，连接CE，点M为CE中点，连接BM并延长交直线AC于点O．（1）如图1，E在边AB上时，＝，∠GBM＝；（2）将（1）中△AEF绕A逆时针旋转任意一锐角，其他条件不变，如图2，（1）中结论是否仍然成立？请加以证明．（3）若BE＝2，则CO长为．3．平面直角坐标系中，菱形ABCD．（1）若点A坐标是（0，2），点B坐标（﹣2，0），求∠ABC及菱形边长：（2）在（1）的条件下，连接OD，过C点向OD作垂线，垂足为E，求CE；（3）如图3所示，∠ABO＝60°，在y轴负半轴上取一点P，使得∠BPO＝15°，延长BD至Q，使得DQ＝CD，连接AQ，若AP＝BQ＝a，求线段AQ的长（用含a的式子表示）．4．矩形ACBD对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上的一个动点（不与B，D 重合），∠AOB＝α，过P点作PF∥AC，交AB于F，连接AP．将AP绕P点逆时针旋转α得到EP，连接BE．（1）若点P在BD上，∠AOB＝50°①求证：AF＝BE；②求∠ABE＝．（2）若点P在OD上，求∠ABE（用α表示）；（3）若BC＝8，将A绕点P顺时针方向旋转（180°﹣α）得到EP，连接DE，当DP＝3OP时，DE＝．5．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N，连接CN．（1）如图1，求证：E，N、C三点在同一直线上；（2）如图1，若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．（3）如图2，已知点P、Q、T分别是CM、CN、MN上的动点，若AN＝3，BM＝1，试直接写出PT+QT的最小值．6．已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．（1）如图①，若tan∠ADM＝，MN＝3，求BC的长；（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿A→C→B的方向向终点B运动（点P不与△ABC的顶点重合）．点P 关于点C的对称点为点D，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PD、PQ为边作▱PDEQ．设▱PDEQ与△ABC．重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t（s）（1）当点P在AC上运动时，用含t的代数式表示PD的长；（2）当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；（3）当▱PDEQ与△ABC重叠部分的图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式．8．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°（1）如图1，P是边BD延长线上一点，以AP为边向右作等边△APE，连接BE、CE．①求证：CE⊥AD；②若AB＝，BE＝，求AE的长；（2）如图2，P是边CD上一点，点D关于AP的对称点为E，连接BE并延长交AP的延长线于点F，连接DE、DF．若BE＝11，DE＝5，求△ADF的面积．9．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，将AC绕着点A顺时针旋转60°得AE，连接BE，CE．（1）求证：△ADC≌△ABE；（2）求证：AC2＝DC2+BC2；（3）若AB＝2，点Q在四边形ABCD内部运动，且满足AQ2＝BQ2+DQ2，求点Q运动路径的长度．10．【阅读】如图1，四边形OABC中，OA＝a，OC＝8，BC＝6，∠AOC＝∠BCO＝90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC 的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．【理解】若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，8]；【尝试】（1）若点D与OA的中点重合，则这个操作过程为FZ[，]；（2）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ的值；【应用】经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，直线l 与AB相交于点F，试画出图形并解决下列问题：①求出a的值；②若P为边OA上一动点，连接PE、PF，请直接写出PE+PF的最小值．（备注：等腰直角三角形的三边关系满足1：1：或：：2）11．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（0，m）两点，且线段AB＝2，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．（1）求点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点Q，使△QAB是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果在坐标平面内有一点P（a，3），使得△ABP的面积与正方形ABCD的面积相等，求a的值．13．如图，矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，点P是对角线BD上的一个动点（点P不与B、D重合），连接AP并延长交射线BC于点Q，（1）当AP⊥BD时，求△ABQ的面积（用含a、b的代数式表示）；（2）若点M为AD边的中点，连接MP交射线BC于点N，证明：点N也为线段BQ的中点；（3）如图，当为何值时，△ADP与△BPQ的面积之和最小．14．如图1，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）（1）延长ED交CH于点F，求证F A平分∠CFE；（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明；（3）如图3，作▱ABGE，连接DG，点N为DG的中点，连接EN．若AC＝EN＝3，直接写出四边形ADGE的面积．15．【操作】如图①，在矩形ABCD中，E为对角线AC上一点（不与点A重合）．将△ADE 沿射线AB方向平移到△BCF的位置，E的对应点为点F，易知△ADE≌△BCF（不需要证明）【探究】过图①的点E作BG∥BC交FB延长线于点G，连接AG，其它条件不变，如图②．求证：△EGA≌△BCF【拓展】将图②中的△BCF沿BC翻折得到△BCF′，连接GF′，其它条件不变，如图③当GF′最短时，若AB＝4，BC＝2，直接写出FF′的长和此时四边形BFCF′的周长．16．如1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E为AD上一点且AE＝6，连接BE．（1）将△ABE绕点B逆时针旋转90°至△ABF（如图2），且A、B、C三点共线，再将△ABF沿射线BC方向平移，平移速度为每秒1个单位长度，平移时间为t（s）（t≥0），当点A与点C重合时运动停止．①在平移过程中，当点F与点E重合时，t＝（s）．②在平移过程中，△ABF与四边形BCDE重叠部分面积记为S，求s与t的关系式．（2）如图3，点M为直线BE上一点，直线BC上有一个动点P，连接DM、PM、DP，且EM＝5，试问：是否存在点P，使得△DMP为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段BP的长；若不存在，请说明理由．17．如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，BC＝a，CD＝b（a＞b）．（1）当B、C、D共线时，BA、DE交于点M，①判断四边形ACEM的形状，并说明理由．②a、b为方程x2﹣（m﹣1）x+m2﹣2m﹣8＝0的两根，F为AE的中点，求CF的长．（2）将△CDE绕点C旋转（如图3所示），点E在△ABC内部，连接AE，∠BEC＝105°，若＝n，直接写出n的最小值．18．如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分∠DCB，且AD＝AB，CD＜CB （1）求证：∠B+∠D＝180°；（2）如图2，在AC上取一点E，使得BE∥CD，且BE＝CE，点F在线段BC上，连接AF，且AB＝AF，求证：AE＝CF；（3）如图3，在（2）的条件下，若BE与AF交于点G，BF：AB＝2：7，求tan∠BGF 的值．19．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AC平分∠BAD，∠ACD＝30°（1）如图1，求证：△ABC是等边三角形；（2）如图2，点E在边BA的延长线上，在边BC上取一点F，连接EC、EF且EC＝EF，求证：BF＝AE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AF，取AF的中点G，连接BG并延长交线段EC 于M，交线段AD于R，过点A作AN∥EC交线段BR于N，若GN＝2，EM＝5，求CM 的长．20．阅读材料题：浙教版九上作业本①第18页有这样一个题目：已知，如图一，P是正方形ABDC内一点，连接P A、PB、PC，若PC＝2，P A＝4，∠APC＝135°，求PB的长．小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将△P AC绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本题．请根据数学老师的提示帮小明求出图一中线段PB的长为．【方法迁移】：已知：如图二，△ABC为正三角形，P为△ABC内部一点，若PC＝1，P A＝2，PB＝，求∠APB的大小．【能力拓展】：已知：如图三，等腰三角形ABC中∠ACB＝120°，D、E是底边AB上两点且∠DCE＝60°，若AD＝2，BE＝3，求DE的长．21．问题发现：（1）如图①，四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，CB＝CD，对角线AC的长为6，则四边形ABCD的面积为．问题探究：（2）如图②，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝5，AB＝12，点D和E都是边BC上的动点，且满足CD＝BE，连接AD、AE．求AD+AE的最小值；问题解决：（3）某校准备组织八年级同学开展一次去大明宫遗址公园的考古研学活动．小凯和小鹏在去之前先做了一个模拟“藏宝图”的游戏，为了使宝物隐藏得更神秘，小凯利用学过的数学知识，设计了如下方案，让小鹏破解．如图③，点B在点A的正东方向12m处，点P和Q都为平面内的动点，且满足P A＝8m，PB＝BQ，∠PBQ＝90°，当线段AQ长度最大时，点Q的位置即为藏宝地．请你帮助小鹏破解，藏宝地在点A的什么方向？距离点A多远？22．已知：如图，正方形ABCD，点E是DC边上的一动点，过点C作AE的垂线交AE延长线于点F，过D作DH⊥CF，垂足为H，点O是AC中点，连HO．（1）如图1，当∠CAE＝∠DAE时，证明：AE＝2CF；（2）如图2，当点E在DC上运动时，线段AF与线段HO之间是否存在确定的数量关系？若存在，证明你发现的结论：若不存在，请说明理由；（3）当E为DC中点时，AC＝2，直接写出AF的长．23．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C在坐标轴上，B（18，6），将矩形沿EF折叠，使点A与点C重合．（1）求点E的坐标；（2）点P从O出发，沿折线O﹣A﹣E方向以每秒2个单位的速度匀速运动，到达终点E时停止运动，设P的运动时间为t，△PCE的面积为S，求S与t的关系式，直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P A＝PE时，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使得以点P、E、G、Q为顶点的四边形为平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点Q的坐标．24．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F．（1）如图①，证明：BE＝BF．（2）如图②，若∠ADC＝90°，O为AC的中点，G为EF的中点，试探究OG与AC的位置关系，并说明理由．（3）如图③，若∠ADC＝60°，过点E作DC的平行线，并在其上取一点K（与点F位于直线BC的同侧），使EK＝BF，连接CK，H为CK的中点，试探究线段OH与HA 之间的数量关系，并对结论给予证明．参考答案与试题解析1．四边形ABCD为平行四边形，点P为平面内一点（1）若AP＝BC，连AP、DP；①如图1，点P在边BC上，求证：PD平分∠APC；②如图2，过P作PD的垂线交DC的延长线于点F，FP交AB于点E，求证：DF＝2AE．（2）如图3，∠ABC＝60°，点P在对角线DB上，点M在边AD上，MP＝CD且∠AMP ＝∠ABD，AB＝5，BP＝3，直接写出平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）①如图1中，由AP＝AD，推出∠ADP＝∠APD，再证明∠ADP＝∠DPC 即可解决问题．②如图2中，取DF的中点M，连接MA、MP．想办法证明四边形AEFM是平行四边形即可解决问题．（2）在BD上取点K，使AB＝AK，作DF⊥BA交BA的延长线于F．证明△ADK≌△PDM （AAS），推出DP＝DA，设DP＝DA＝x，则AF＝AD＝x．DF＝AF＝x，在Rt△BDF中，根据BD2＝BF2+DF2，构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∵AP＝BC，∴AP＝AD，∴∠APD＝∠ADP∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴PD平分∠APC．②如图2中，取DF的中点M，连接MA、MP．∵PD⊥PF，∴∠DPF＝90°，∴PM＝DM＝MF，∵AP＝AD，∴AM为线段PD的垂直平分线，∴AM∥EF，∵EF⊥PD，∵AE∥FM，∴四边形AEFM为平行四边形，∴AE＝MF，∴DF＝2AE．（3）在BD上取点K，使AB＝AK，作DF⊥BA交BA的延长线于F．∵AB＝AK，∵∠AMP＝∠ABD，∴∠AMP＝∠AKB，∴∠DMP＝∠DKA，∵∠ADK＝∠PDM，PM＝CD＝AB＝AK，∴△ADK≌△PDM（AAS），∴DP＝DA，设DP＝DA＝x，∵AD∥BC，∴∠F AD＝∠ABC＝60°，∴AF＝AD＝x．DF＝AF＝x，在Rt△BDF中，∵BD2＝BF2+DF2，∴（3+x）2＝（5+x）2+（x）2，解得x＝16，∴S平行四边形ABCD＝AB•DF＝5××16＝．2．在正方形ABCD中，AB＝6，E为直线AB上一点，EF⊥AB交对角线AC于F，点G为AF中点，连接CE，点M为CE中点，连接BM并延长交直线AC于点O．（1）如图1，E在边AB上时，＝，∠GBM＝45°；（2）将（1）中△AEF绕A逆时针旋转任意一锐角，其他条件不变，如图2，（1）中结论是否仍然成立？请加以证明．（3）若BE＝2，则CO长为或3．【分析】（1）连接EG、GM．想办法证明△GBM是等腰直角三角形即可解决问题．（2）成立．延长GM到H，使得MH＝GM，连接BH，HC，延长HC交AF的延长线于I，设AI交CD于J．利用全等三角形的性质证明△GBM是等腰直角三角形即可解决问题．（3）分两种情形①点E在线段AB上．②点E在AB的延长线上，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）连接EG、GM．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，∵EF⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠EAF＝∠EF A＝45°，∵AG＝GF，∴EG⊥AF，∴∠EGC＝90°∵EM＝MC，∴GM＝BM＝CE，∴∠MCG＝∠MGC，∠MBC＝∠MCB，∴∠BMG＝∠BME+∠GME＝2∠BMC+2∠GCM＝2∠ACB＝90°．故△GMB为等腰直角三角形．∴＝．故答案为，45°．（2）成立．理由：延长GM到H，使得MH＝GM，连接BH，HC，延长HC交AF的延长线于I，设AI交CD于J．∵EM＝MC，GM＝MH，∠EMG＝∠HMC，∴△EMG≌△CMH（SAS），∴EG＝CH，∠EGM＝∠MHC，∴EC∥CH，∴∠AGE＝∠AIH＝90°，∵AG＝EG，∴AG＝CH，∵∠D＝∠I＝90°，∠AJD＝∠CJI，∴∠ICD＝∠IAD，∵∠BAG+∠IAD＝90°，∠BCH+∠ICF＝90°∴∠BCH＝∠BAG，∵BA＝BC∴△BAG≌△BCH（SAS），∴BG＝DH，∠ABG＝∠CBH，∴∠∠GBH＝∠ABC＝90°故△GBH是等腰直角三角形，∴＝，∠GBM＝45°．（3）当E在B上方时，如图3﹣1中，延长BO交CD于T．∴BE∥CT，∴∠MEB＝∠MCT，∵∠EMB＝∠CMT，EM＝CM，∴△EMB≌△CMT（ASA），∴BE＝CT＝2，∵CT∥AB，∴＝＝，∵AC＝6，∴OC＝×6∴CO＝当E在B下方时同法可得CO＝．综上所述，OC的长为或3．故答案为或3．3．平面直角坐标系中，菱形ABCD．（1）若点A坐标是（0，2），点B坐标（﹣2，0），求∠ABC及菱形边长：（2）在（1）的条件下，连接OD，过C点向OD作垂线，垂足为E，求CE；（3）如图3所示，∠ABO＝60°，在y轴负半轴上取一点P，使得∠BPO＝15°，延长BD至Q，使得DQ＝CD，连接AQ，若AP＝BQ＝a，求线段AQ的长（用含a的式子表示）．【分析】（1）在Rt△AOB中，解直角三角形求出AB，∠ABO即可．（2）根据S△ODC＝•OD•CE＝•OC•OA求解即可．（3）设菱形ABCD的边长为2x，过Q点作QM⊥AD交AD的延长线于M，过DN⊥x轴于N，根据AP＝BQ＝a，构建方程求解即可．【解答】解：（1）如图1中，∵A（0，2），B（﹣2，0），∴OA＝2，OB＝2，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABC＝60°，∴∠OAB＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2OB＝4，∴菱形的边长为4．（2）如图2中，∵四边形ABCD是菱形，AB＝AD＝CD＝BC＝4，∴C（2，0），D（4，2），∴OD＝＝2，∵CE⊥OD，∴S△ODC＝•OD•CE＝•OC•OA，∴EC＝＝．（3）设菱形ABCD的边长为2x，过Q点作QM⊥AD交AD的延长线于M，过DN⊥x 轴于N，在△QDM中，∠QDM＝30°，DQ＝2x，∴QM＝DQ＝x，DM＝x，AM＝2x+x＝（2+）x，又QM⊥AM，利用勾股定理可求AQ＝（+）x，BD＝2x，∵AP＝BQ＝a，∴2x+2x＝a，得x＝，继而得AQ＝（+）x＝a．4．矩形ACBD对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上的一个动点（不与B，D 重合），∠AOB＝α，过P点作PF∥AC，交AB于F，连接AP．将AP绕P点逆时针旋转α得到EP，连接BE．（1）若点P在BD上，∠AOB＝50°①求证：AF＝BE；②求∠ABE＝50°．（2）若点P在OD上，求∠ABE（用α表示）；（3）若BC＝8，将A绕点P顺时针方向旋转（180°﹣α）得到EP，连接DE，当DP＝3OP时，DE＝2或4．【分析】（1）①证明△APF≌△EPB（SAS）可得结论．②利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可．（2）如图2中，证明△FP A≌△BPE（SAS），推出∠F AP＝∠PEB，由∠F AP+∠P AB＝180°，推出∠P AB+∠PEB＝180°，推出∠ABE+∠APE＝180°可得结论．（3）分两种情形：如图3中，当点P在OD上时，如图3所示，过点P作PF∥OA，交AD于点F，如图4所示，当点P在OB上时，过点P作PF∥OA，交DA的延长线于点F，分别求解即可解决问题．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵PF∥OA，∴＝，∠FPB＝∠AOB＝α，∴PF＝PB，∠EPB＝∠FPB﹣∠FPE＝α﹣∠FPE，∵AP＝EP，∠APE＝α，∴∠APF＝α﹣∠FPE，∴∠APF＝∠EPB，∴△APF≌△EPB（SAS），∴AF＝BE．②∵△APF≌△EPB，∴∠AFP＝∠EBP，∵∠AFP＝∠FPB+∠OBA，∠EBP＝∠ABE+∠OBA，∴∠ABE＝∠FPB，∴∠ABE＝α＝50°．故答案为50°．（2）如图2中，∵P A＝PE，∠APE＝α，同法可证PF＝PB，∠FPB＝α，∴∠FPB＝∠APE，∴∠FP A＝∠BPE，∴△FP A≌△BPE（SAS），∴∠F AP＝∠PEB，∵∠F AP+∠P AB＝180°，∴∠P AB+∠PEB＝180°，∴∠ABE+∠APE＝180°，∴∠ABE＝180°﹣α．（3）如图3中，当点P在OD上时，如图3所示，过点P作PF∥OA，交AD于点F，∵DP＝3OP，即OD＝4OP，∴＝＝＝，∴AF＝AD＝BC＝2．类比（1）①得：△APF≌△EPD，∴DE＝AF＝2．如图4所示，当点P在OB上时，过点P作PF∥OA，交DA的延长线于点F，∵DP＝3OP，即OD＝2OP，∴＝＝＝，∴AF＝AD＝BC＝4．类比（1）①得：△APF≌△EPD，∴DE＝AF＝4．综上所述，DE的长为2或4．故答案为2或4．5．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N，连接CN．（1）如图1，求证：E，N、C三点在同一直线上；（2）如图1，若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．（3）如图2，已知点P、Q、T分别是CM、CN、MN上的动点，若AN＝3，BM＝1，试直接写出PT+QT的最小值2．【分析】（1）证明∠ENM+∠CNM＝∠DNM+∠ANM＝180°，可得结论．（2）如图1中，首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得MC＝3ND＝3HC，然后设DN＝x，由勾股定理，可求得MN的长，继而求得答案，（3）如图2中，由（1）得出△CMN是等腰三角形，而TQ+TA最小就是点T到等腰三角形的两腰的距离之和最小就是等腰三角形腰上的高．【解答】（1）证明：如图1中，由折叠的性质可得：∠ENM＝∠DNM，即∠ENM＝∠ENA+∠ANM，∠DNM＝∠DNC+∠CNM，∵∠ENA＝∠DNC，∴∠ANM＝∠CNM，∴∠ENM+∠CNM＝∠DNM+∠ANM＝180°，∴E，N、C三点在同一直线上．（2）解：如图1中，过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，∴HC＝DN，NH＝DC，∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，∴＝＝＝3，∴MC＝3ND＝3HC，∴MH＝2HC，设DN＝x，则HC＝x，MH＝2x，∴CM＝3x＝CN，在Rt△CDN中，DC＝＝2x，∴HN＝2x，在Rt△MNH中，MN＝＝2x，∴＝＝2．（3）如图2中，∵CM＝CN∴△CMN是等腰三角形，要使PT+QT的最小值，也就是等腰三角形的底边上一点到两腰上距离之和最短，即：TQ⊥CN，TP⊥CM，而等腰三角形的底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高，过点N作NH⊥BC，∴PT+QT的最小值就是NH＝AB，由折叠得，AM＝CM＝AN＝3，∴BM＝AN＝1在Rt△ABM中，根据勾股定理得，AB＝＝2．∴NH＝2，即：PT+QT的最小值为2．故答案为2．6．已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．（1）如图①，若tan∠ADM＝，MN＝3，求BC的长；（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．【分析】（1）如图①中，设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，由△ADM∽△NDA，可得AD2＝DM•AN，由此构建方程即可解决问题．（2）如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．证明△ADK≌△CBH （SAS），推出AK＝CH，再证明Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），推出MK＝HN即可解决问题．【解答】（1）解：如图①中，∵AM⊥DN，∴∠AMD＝90°，∵tan∠ADM＝＝，∴可以假设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，∵AD⊥AN，∴∠DAN＝90°＝∠AMD，∵∠ADM＝∠ADN，∴△ADM∽△NDA，∴AD2＝DM•AN，∴（5k）2＝4k（4k+3），解得k＝，∴AD＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝．（2）证明：如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADK＝∠BNQ，∵BH∥DQ，∴∠CBH＝∠BNQ，∴∠ADK＝∠CBH，∵DK＝BH，DA＝BC，∴△ADK≌△CBH（SAS），∴AK＝CH，∵AM⊥DQ，AN⊥AD，AD∥BC，∴AN⊥BC，∴∠AMK＝∠CNH＝90°，∵AM＝CN，∴Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），∴MK＝NH，∴DM＝DK+MK＝BH+HN．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿A→C→B的方向向终点B运动（点P不与△ABC的顶点重合）．点P 关于点C的对称点为点D，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PD、PQ为边作▱PDEQ．设▱PDEQ与△ABC．重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t（s）（1）当点P在AC上运动时，用含t的代数式表示PD的长；（2）当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；（3）当▱PDEQ与△ABC重叠部分的图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式．【分析】（1）由题意，可先写出AP的长，再写出CP的长，由对称的性质即可写出PD 的长；（2）①如图2﹣1，当点E落在BC边上时，过点Q作QH⊥AD于H，证明CE＝HQ＝AP＝CD，即可列出关于t方程，求出t的值；②如图2﹣2，当点E落在AC边上时，过点Q作QG⊥BC于G，证明CE＝GQ＝BP＝CD，即可列出关于t的方程，求出t的值即可；（3）如图3﹣1，当0＜t≤时，求出梯形PQMC的面积即可；如图3﹣2，当≤t≤2时，求出梯形PQCN的面积即可．【解答】解：（1）由题意，得AP＝2t，CP＝2﹣2t，∴PD＝2CP＝4﹣4t；（2）①如图2﹣1，当点E落在BC边上时，过点Q作QH⊥AD于H，由题意知，△AQP和△CED为等腰直角三角形，∴CE＝HQ＝AP，CE＝CD，∵HQ＝AP＝t，CD＝PC＝2﹣2t，∴t＝2﹣2t，∴t＝；②如图2﹣2，当点E落在AC边上时，过点Q作QG⊥BC于G，由题意知，△BQP和△CED为等腰直角三角形，∴CE＝GQ＝BP，CE＝CD，∵GQ＝BP＝（4﹣2t）＝2﹣t，CD＝PC＝2t﹣2，∴2﹣t＝2t﹣2，∴t＝，综上所述，点E落在△ABC的直角边上时，t的值为或；（3）如图3﹣1，当0＜t≤时，S＝S梯形PQMC＝t（2﹣2t+2﹣t）＝﹣t2+2t；如图3﹣2，当≤t≤2时，S＝S梯形PQNC＝（2﹣t）（2t﹣2+t）＝﹣t2+4t﹣2，综上所述，S＝．8．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°（1）如图1，P是边BD延长线上一点，以AP为边向右作等边△APE，连接BE、CE．①求证：CE⊥AD；②若AB＝，BE＝，求AE的长；（2）如图2，P是边CD上一点，点D关于AP的对称点为E，连接BE并延长交AP的延长线于点F，连接DE、DF．若BE＝11，DE＝5，求△ADF的面积．【分析】（1）①证△ADC和△ABC是等边三角形，再证△BAP≌△CAE，推出∠ACE＝30°，由∠ACE+∠CAD＝90°即可证明结论；②如图1，设AC与BD交于点O，证∠BCE＝90°，由勾股定理求出CE，BP的长，由锐角三角函数等分别求出OA，OP的长，由勾股定理即可求出AP的长，即AE的长；（2）如图2，连接AE，过点A作AH⊥BF于点H，证∠HAF＝∠BAD＝60°，再证△DEF为等边三角形，即可求出HF，AH的长，进一步求出△AEF的面积，证△ADF≌△AEF即可．【解答】（1）①证明：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝60°，且AB＝BC＝DA＝DC，∴△ADC和△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠CAD＝60°，又∵△APE是等边三角形，∴AE＝AP，∠EAP＝60°，∴∠BAC+∠CAP＝∠P AE+∠CAP，即∠BAP＝∠CAE，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABP＝∠ABC＝30°，∵∠CAD＝60°，∴∠ACE+∠CAD＝90°，∴CE⊥AD；②解：如图1，设AC与BD交于点O，由①知，∠ACE＝30°，且∠ACB＝60°，∴∠ACE+∠ACB＝∠BCE＝90°，∵在Rt△BCE中，BC＝AB＝，BE＝，∴CE＝＝4，由①知，△BAP≌△CAE，∴BP＝CE＝4，在Rt△BOC中，∠ACB＝60°，∴BO＝BC＝，CO＝AO＝BC＝，∴OP＝BP﹣BO＝，∴在Rt△AOP中，AP＝＝＝，∴AE＝AP＝；（2）解：如图2，连接AE，过点A作AH⊥BF于点H，∵点D关于AP的对称点为E，∴AP垂直平分DE，∴AD＝AE，FD＝FE，∴∠EAF＝∠DAF＝∠EAD，∠DF A＝∠EF A＝∠DFE，又∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴AB＝AE，∴AH垂直平分BE，∴EH＝BH＝BE＝，∠BAH＝∠EAH＝∠BAE，∴∠HAF＝∠EAH+∠EAF＝∠BAD，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠HAF＝60°，∴∠AFH＝90°﹣∠HAF＝30°，∴∠DFE＝60°，∴△DEF为等边三角形，∴EF＝DE＝5，∴HF＝HE+EF＝+5＝，在Rt△AHF中，∠AFH＝30°，∴AH＝HF＝，∴S△AEF＝EF•AH＝×5×＝，∵AD＝AE，FD＝FE，AF＝AF，∴△ADF≌△AEF（SSS），∴△ADF的面积为．9．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，将AC绕着点A顺时针旋转60°得AE，连接BE，CE．（1）求证：△ADC≌△ABE；（2）求证：AC2＝DC2+BC2；（3）若AB＝2，点Q在四边形ABCD内部运动，且满足AQ2＝BQ2+DQ2，求点Q运动路径的长度．【分析】（1）推出∠DAC＝∠BAE，则可直接由SAS证明△ADC≌△ABE；（2）证明△BCE是直角三角形，再证DC＝BE，AC＝CE即可推出结论；（3）如图2，设Q为满足条件的点，将AQ绕着点A顺时针旋转60度得AF，连接QF，BF，QB，DQ，AF，证△ADQ≌△ABF，由勾股定理的逆定理证∠FBQ＝90°，求出∠DQB＝150°，确定点Q的路径为过B，D，C三点的圆上，求出的长即可．【解答】（1）证明：∵∠CAE＝∠DAB＝60°，∴∠CAE﹣∠CAB＝∠DAB﹣∠CAB，∴∠DAC＝∠BAE，又∵AD＝AB，AC＝AE，∴△ADC≌△ABE（SAS）；（2）证明：在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC＝360°﹣∠DAB﹣∠DCB＝270°，∵△ADC≌△ABE，∴∠ADC＝∠ABE，CD＝BE，∴∠ABC+ABE＝∠ABC+∠ADC＝270°，∴∠CBE＝360°﹣（∠ABC+ABE）＝90°，∴CE2＝BE2+BC2，又∵AC＝AE，∠CAE＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴CE＝AC＝AE，∴AC2＝DC2+BC2；（3）解：如图2，设Q为满足条件的点，将AQ绕着点A顺时针旋转60度得AF，连接QF，BF，QB，DQ，AF，则∠DAQ＝∠BAF，AQ＝QF，△AQF为等边三角形，又∵AD＝AB，∴△ADQ≌△ABF（SAS），∴AQ＝FQ，BF＝DQ，∵AQ2＝BQ2+DQ2，∴FQ2＝BQ2+BF2，∴∠FBQ＝90°，∴∠AFB+∠AQB＝360°﹣（∠QAF+∠FBQ）＝210°，∴∠AQD+∠AQB＝210°，∴∠DQB＝360°﹣（∠AQD+∠AQB）＝150°，∴点Q的路径为过B，D，C三点的圆上，如图2，设圆心为O，则∠BOD＝2∠DCB＝60°，连接DB，则△ODB与△ADB为等边三角形，∴DO＝DB＝AB＝2，∴点Q运动的路径长为：＝π．10．【阅读】如图1，四边形OABC中，OA＝a，OC＝8，BC＝6，∠AOC＝∠BCO＝90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC 的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．【理解】若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，8]；【尝试】（1）若点D与OA的中点重合，则这个操作过程为FZ[45°，16]；（2）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ的值；【应用】经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，直线l 与AB相交于点F，试画出图形并解决下列问题：①求出a的值；②若P为边OA上一动点，连接PE、PF，请直接写出PE+PF的最小值．（备注：等腰直角三角形的三边关系满足1：1：或：：2）【分析】【尝试】（1）如图1所示，若点D恰为AO的中点，证明Rt△OCP≌Rt△ODP，进而得到OD＝OC＝AD＝8，a＝16，可得结论；则θ＝30°；（2）如图2所示，若点D恰为AB的中点，作辅助线，证明△BDM≌△ADN（ASA），得DM＝DN，根据线段垂直平分线的性质可得OM＝ON，根据等腰三角形的性质可得∠MOD＝∠NOD，所以∠MOD＝∠MOC＝θ，可得结论；【应用】①如图3，作辅助线，根据点B与点E关于直线l对称，知∠OF A＝∠OFB＝90°，证明四边形BCOH是平行四边形，得BH＝CO＝8，OH＝CB＝6，可得OA的值，即a的值；②作辅助线，如图4，则有∠QAO＝∠F AO＝45°，QA＝F A，从而可得∠QAF＝90°．然后根据勾股定理可求出AB、AF、AQ、OF、OB、BF，由折叠可求出EF，从而可求出AE长，在Rt△QAE中，运用勾股定理可求出EQ2长，然后根据两点之间线段最短可得：当点E、P、Q三点共线时，PE+PF＝PE+PQ最短，最小值为线段EQ长，问题得以解决．【解答】解：（1）点D与OA的中点重合，如图1，由折叠得：∠COP＝∠DOP＝45°，∠C＝∠ODP＝90°，∴CP＝PD，∵OP＝OP，∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），∴OC＝OD＝8，∵D为OA的中点，∴OA＝a＝16，则这个操作过程为FZ[45°，16]；故答案为：45°，16；（2）延长MD、OA，交于点N，如图2．∵∠AOC＝∠BCO＝90°，∴∠AOC+∠BCO＝180°，∴BC∥OA，∴∠B＝∠DAN．在△BDM和△ADN中，，∴△BDM≌△ADN（ASA），∴DM＝DN．∵∠ODM＝∠OCM＝90°，∴根据线段垂直平分线的性质可得OM＝ON，∴根据等腰三角形的性质可得∠MOD＝∠NOD．由折叠可得∠MOD＝∠MOC＝θ，∴∠COA＝3θ＝90°，∴θ＝30°；【应用】①过点B作BH⊥OA于点H，如图3．∵∠COA＝90°，∠COF＝45°，∴∠FOA＝45°．∵点B与点E关于直线l对称，∴∠OF A＝∠OFB＝90°，∴∠OAB＝45°，∴∠HBA＝90°﹣45°＝45°＝∠HAB，∴BH＝AH．∵CO⊥OA，BH⊥OA，∴CO∥BH．∵BC∥OA，∴四边形BCOH是平行四边形，∴BH＝CO＝8，OH＝CB＝6，∴OA＝OH+AH＝OH+BH＝6+8＝14．∴a的值为14．②过点B作BH⊥OA于点H，过点F作OA的对称点Q，连接AQ、EQ，OB，如图4，则有∠QAO＝∠F AO＝45°，QA＝F A，∴∠QAF＝90°．在Rt△BHA中，AB＝＝8．在Rt△OF A中，∠AFO＝90°，∠AOF＝∠OAF＝45°∴AF＝OF＝＝7，∴AQ＝AF＝7．在Rt△OCB中，OB＝＝＝10．在Rt△OFB中，BF＝AB﹣AF＝8﹣7＝．由折叠可得EF＝BF＝，∴AE＝AF﹣EF＝7﹣＝6．在Rt△QAE中，EQ2＝AE2+AQ2＝（6）2+（7）2＝170．根据两点之间线段最短可得：当点E、P、Q三点共线时，PE+PF＝PE+PQ最短，最小值为线段EQ长．∴PE+PF的最小值的是．11．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．【分析】（1）结论：DE＝DG．如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF＝CM，GM＝GE，再证明△DCM≌△DAE（SAS）即可解决问题．（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．证明方法类似．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当E，F，C共线时．②如图3﹣2中，当E，F，C 共线时，分别求解即可．【解答】解：（1）结论：DE＝DG．理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，∵∠AEF＝∠B＝90°，∴EF∥CM，∴∠CMG＝∠FEG，∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，∴△CMG≌△FEG（AAS），∴EF＝CM，GM＝GE，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DCM≌△DAE（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，∴△EGD是等腰直角三角形，∴DE＝DG．（2）如图2中，结论成立．理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，∴△CGM≌△FGE（SAS），∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，∴CM∥ER，∴∠DCM＝∠ERC，∵∠AER+∠ADR＝180°，∴∠EAD+∠ERD＝180°，∵∠ERD+∠ERC＝180°，∴∠DCM＝∠EAD，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DAE≌△DCM（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∵EG＝GM，∴DG＝EG＝GM，∴△EDG是等腰直角三角形，∴DE＝DG．（3）①如图3﹣1中，当E，F，C共线时，在Rt△ADC中，AC＝＝＝5，在Rt△AEC中，EC＝＝＝7，∴CF＝CE﹣EF＝6，∴CG＝CF＝3，∵∠DGC＝90°，∴DG＝＝＝4．∴DE＝DG＝4．②如图3﹣2中，当E，F，C共线时，同法可得DE＝3．综上所述，DE的长为4或3．12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（0，m）两点，且线段AB＝2，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．（1）求点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点Q，使△QAB是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果在坐标平面内有一点P（a，3），使得△ABP的面积与正方形ABCD的面积相等，求a的值．【分析】（1）在直角三角形AOB中，由OA与AB的长，利用勾股定理求出OB的长即可；（2）存在，以AB为腰，有两种情况：分别以A、B为顶点作等腰三角形的顶角，根据AB＝2，结合图形可得Q的坐标；（3）作辅助线，构建高线PG，分两种情况：P在y轴的左侧和右侧，根据三角函数可得PH的长，从而得a的值．【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），∴OA＝2，∵AB＝2，由勾股定理得：OB＝＝4，∴B（0，4）；（2）分两种情况：①以AB为腰，∠BAQ为顶角时，如图1，AB＝AQ＝2，∴Q1（﹣2﹣2，0），Q2（2﹣2，0），②以AB为腰，∠ABQ为顶角时，如图1，A与Q3关于y轴对称，∴Q3（2，0）；综上，点Q的坐标是（﹣2﹣2，0）或（2﹣2，0）或（2，0），（3）分两种情况：①当P在y轴的右边时，如图2，作直线l：y＝3，直线l交AB于H，交y轴于E，∵P（a，3），∴点P在直线l上，过P作PG⊥AB于G，∵S△ABP＝S正方形ABCD，∴•AB•PG＝AB2，PG＝2AB＝4，∵l∥x轴，∴∠PHG＝∠OAB，∴sin∠PHG＝sin∠OAB，即，∴，PH＝10，∵EH∥OA，∴，即，∴EH＝，∴PE＝10﹣0.5＝9.5，∴P（9.5，3）即a＝9.5；②当点P在y轴的左侧时，如图3，同理可得PH＝10，∴P（﹣10.5，3），∴a＝﹣10.5，综上，a的值是9.5或﹣10.5．13．如图，矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，点P是对角线BD上的一个动点（点P不与B、D重合），连接AP并延长交射线BC于点Q，（1）当AP⊥BD时，求△ABQ的面积（用含a、b的代数式表示）；（2）若点M为AD边的中点，连接MP交射线BC于点N，证明：点N也为线段BQ的中点；（3）如图，当为何值时，△ADP与△BPQ的面积之和最小．【分析】（1）利用相似三角形的性质求出BQ即可解决问题．（2）证明△AMP∽△QNP，△DMP∽△BNP推出，可得，因为点M是AD的中点，所以AM＝DM．（3）如图②，过点P作EF⊥AD交AD、BC于E、F．构建一元二次方程，利用根的判别式解决最值问题即可．【解答】（1）解：如图①：。
中考数学总复习——四边形证明(含答案)
专题. 四边形1、平行四边形1．如图，已知：▱ABCD中，∠ABC的平分线BG，交AD于G，∠BCD的平分线CE，交BG于F，交AD于E．（1）求证：BG⊥CE．（2）若AB=3，BC=4，求EG的长．2．如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．（1）求证：△ABF≌△DCE；（2）若∠BFA=40°，求∠BAF的度数．3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF ∥AB交直线DE于F．设CD=x．（1）当x=1时，求四边形EACF的面积；（2）当x为何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由．4．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．2、菱形1．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，连接EB，GD．且∠DAB=∠EAG。
（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．2．如图，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD，EA，延长EA交CD于点G．（1）求证：△ACE≌△CBD；（2）求∠CGE的度数．3．菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF=60°（1）如图1，当点E是CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，且∠EAB=15°，求点F到BC的距离．4．如图1，菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E、F分别是边AB、AD上两个动点，满足AE=DF，连接BF与DE相交于点G．（1）如图2，连接BD，求∠BGD的度数；（2）如图3，作CH⊥BG于H点，求证：2GH=DG+BG．5．如图，在菱形ABCD中，F为对角线BD上一点，点E为AB延长线上一点，DF=BE，CE=CF．求证：（1）△CFD≌△CEB；（2）∠CFE=60°．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若BD=4，AC=3，求cos∠CDE的值．7．如图，已知ABCD是菱形，△EFP的顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，且EP=FP．（1）证明：∠EPF+∠BAD=180°；（2）若∠BAD=120°，证明：AE+AF=AP；（3）若∠BAD=θ，AP=a，求AE+AF．8．如图．在菱形ABCD中，BC边的中垂线EF交AD边于F，G是CD中点．（1）求证：EG=FG；（2）若△DFG为等腰三角形，求∠D的度数．9．如图1，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．（1）求证：∠F=∠EBC；（2）若∠DAB=90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠F的度数（如图2）．10．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF．（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：．（填“成立”或“不成立”）（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．15．【感知】如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE=DG．【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．【应用】如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE=2ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为．16．如图①，已知点O为菱形ABCD的对称中心，∠A=60°，将等边△OEF的顶点放在点O处，OE，OF分别交AB，BC于点M，N．（1）求证：OM=ON；（2）将图①中的△OEF绕O点顺时针旋转至图②所示的位置，请写出线段BM，BN与AB之间的数量关系，并进行证明．17．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．（1）对角线AC的长是，菱形ABCD的面积是；（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否会发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE、OF之间的数量关系，并说明理由．3、矩形1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=2，求△OEC的面积．2．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB=2，∠BCD=120°，连接CE，求CE的长．3．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．5．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？4、正方形6．已知：如图，在△ABC中，∠A＞90°．以AB、AC为边分别在△ABC形外作正方形ABDE和正方形ACFG，EB、BC、CG、GE的中点分别是P、Q、M、N．（1）若连接BG、CE，求证：BG=CE．（2）试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．7．已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；（2）如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？8．在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为；（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为；位置关系为．9．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．10．猜想与证明：如图，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM，EM．（1）试猜想写出DM与EM的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（2）若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．11．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于点N．（1）求证：AD=AF；（2）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．12．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．（1）求证：△CDE≌△CBF；（2）当DE=时，求CG的长．13．如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF．（1）求证：BF=DF；（2）连接CF，请直接写出的值为（不必写出计算过程）．14．（1）如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边BC上一点，连接OE，过点O 作OE的垂线交AB于点F．求证：OE=OF．（2）若将（1）中，“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变，如图2，连接EF．▱）求证：∠OEF=∠BAC．▱）试探究线段AF，EF，CE之间数量上满足的关系，并说明理由．15．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BD上一点，延长AE到点N，使AE=EN，连接CN、CE．（1）求证：△CAN为直角三角形．（2）若AN=4，正方形的边长为6，求BE的长．16．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断并给予证明．17．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，∠ACF的平分线分别交AF、AB、BD于点E、N、M，连接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．18．如图，点E为正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，在△EBF中，∠EBF=90°，BF=BE，连接CE、CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）填空：用等式表示线段FA、FE、FC之间的数量关系为．19．已知O为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点（M与点O，D不重合），以线段AM为一边作正方形AMEF，连接FD．（1）当点M在线段OD上时（如图1），线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请说明理由；（2）当点M在线段OD的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由．20．如图，点B在线段AF上，分别以AB、BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE，连接CF和DE，CF交EG于H．（1）若E是BC的中点，求证：DE=CF；（2）若∠CDE=30°，求的值．参考答案四边形1．【解答】（1）证明：∵▱ABCD，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，又∵BG、CE分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，∴∠ABG=∠CBG，∠BCE=∠DCE，又∵∠ABG+∠CBG+∠BCE+∠DCE=180°，∴∠CBG+∠BCE=90°，在△BCF中，∠BFC=180°﹣∠CBF﹣∠BCF=90°；即BG⊥CE；（2）解：∵▱ABCD，∴AD∥BC，AB=CD=3，AD=BC=4，∴∠AGB=∠CBG，又∵BG是∠ABC的角平分线，∴∠ABG=∠CBG，∴∠AGB=∠ABG，∴AB=AG=3，∴GD=AD﹣AG=4﹣3=1，同理：AE=1，∴EG=AD﹣AE﹣GD=4﹣1﹣1=2．2．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC，∵BE=CF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SSS）；（2）解：∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C，∵AB∥DC，∴∠B+∠C=180°，∴∠B=90°，∴∠BAF=90°﹣∠BFA=90°﹣40°=50°．3．【解答】解：（1）∵DE⊥BC，∠ACB=90°；∴EF∥AC∵CF∥AB；∴▱EACF的面积=2×1=2（2）由（1）可知四边形EACF是平行四边形，则∠A=∠CFD，EF∥AC，故∠ACB=∠FDC，故△ABC∽△FCD，即AB：CF=BC：CD又∵AB==（勾股定理），BC=3所以当CF=AC=2时，四边形EACF是菱形．∴：2=3：CD所以x=CD=时，▱EACF是菱形．4．【解答】证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，即：∠EAB=∠DAC，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）证明：∵△ABE≌△ACD，∴BE=DC，∠EBA=∠DCA，又∵BF=DC，∴BE=BF．∵△ABC是等边三角形，∴∠DCA=60°，∴△BEF为等边三角形．∴∠EFB=60°，EF=BF∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥BC，即EF∥DC，∵EF=BF，BF=DC，∴EF=DC，∴四边形EFCD是平行四边形．菱形1．【解答】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2 ，∴EB===，∴GD=．2．【解答】解：（1）∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=∠ABC，∵BE=AD，∴BE+BC=AD+AB，即CE=BD，在△ACE和△CBD中，，∴△ACE≌△CBD（SAS）；（2）如图，连接AC，易知△ABC是等边三角形，由（1）可知△ACE≌△CBD，∴∠E=∠D，∵∠BAE=∠DAG，∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG，∴∠CGE=∠ABC，∵∠ABC=60°，∴∠CGE=60°．3．【解答】（1）证明：连接AC，如图1中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（2）解：如图2中，过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在RT△AGB中，∵∠ABC=60°，AB=4，∴BG=AB=2，AG=BG=2 ，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2 ，∴EB=EG﹣BG=2 ﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2 ﹣2，在RT△CHF中，∵∠HCF=180°﹣∠BCD=60°，CF=2 ﹣2，∴FH=CF•sin60°=（2 ﹣2）•=3﹣．∴点F到BC的距离为3﹣．4．【解答】（1）解：如图2中，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=DB，∠A=∠FDB=60°，在△DAE和△BDF中，，∴△DAE≌△BDF，∴∠ADE=∠DBF，∵∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，∴∠BGD=180°﹣∠BGE=120°．（2）证明：如图3中，延长GE到M，使得GM=GB，连接BD、CG．∵∠MGB=60°，GM=GB，∴△GMB是等边三角形，∴∠MBG=∠DBC=60°，∴∠MBD=∠GBC，在△MBD和△GBC中，，∴△MBD≌△GBC，∴DM=GC，∠M=∠CGB=60°，∵CH⊥BG，∴∠GCH=30°，∴CG=2GH，∵CG=DM=DG+GM=DG+GB，∴2GH=DG+GB．5．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB．在△CFD和△CEB中，，∴△CFD≌△CEB（SSS）；（2）解：∵△CFD≌△CEB，∴∠CDB=∠CBE，∠DCF=∠BCE．∵四边形ABCD是菱形，∴∠CBD=∠ABD．∵CD=CB，∴∠CDB=∠CBD，∴∠ABD=∠CBD=∠CBE=60°．∴∠DCB=60°．∵∠FCE=60°，∵CF=CE，∴∠CFE=∠CEF=60°．6．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形；∴AD∥BC，∠BOC=90°，∵DE⊥BD，∴∠BDE=90°，∴∠BDE=∠BOC，∴AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形．（2）解：∵四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE，∵AD=BC，∴BC=CE，∵∠BDE=90°，∴DC=CE，∴∠CDE=∠E，∴cos∠CDE=cos∠E，∵BD=4，AC=3，∠BDE=90°，∴BE=5，∴cos∠E==，∴cos∠CDE=cos∠E=．7．【解答】解：（1）如图1中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．∵四边形ABCD是菱形，∴∠PAM=∠PAN，∴PM=PN，∵PE=PF，∴Rt△PMF≌Rt△PNE，∴∠MPF=∠NPE，∴∠EPF=∠MPF，∵∠BAD+∠MPN=360°﹣∠AMP﹣∠ANP=180°，∴∠EPF+∠BAD=180°．（2）如图2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，∴FM=NE，∵PA=PA，PM=PN，∴Rt△PAM≌Rt△PAN，∴AM=AN，∴AF+AE=（AM+FM）+（AN﹣EN）=2AM，∵∠BAD=120°，∴∠PAM=60°，易知PA=2AM，∴AE+AF=PA．（3）结论：AF+AE=PA•cos．理由：如图2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，∴FM=NE，∵PA=PA，PM=PN，∴Rt△PAM≌Rt△PAN，∴AM=AN，∴AF+AE=（AM+FM）+（AN﹣EN）=2AM，∵∠BAD=θ，∴∠PAM=，易知AM=PA•cos，∴AF+AE=PA•cos．8．【解答】（1）证明：如图1中，延长FH交BC的延长线于M/∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BM，∴∠DFH=∠M，在△FDH和△MCH中，‘，∴△FDH≌△MCH，∴FH=HM，∵FE⊥BC，∴∠FEM=90°，∴EH=FH=HM，∴EH=FH．（2）解：如图2中，①当FD=FH时，设∠M=∠DFH=x，∵BE=EC，CH=DH，BC=CD，∴EC=CH，∴∠CEH=∠CHE，∵HE=HM，∴∠CEH=∠CHE=∠M=x，∴∠HCM=∠ECH+∠EHC=2x=∠D=∠FHD，∵∠DFH+∠D+∠FHD=180°，∴x+2x+2x=180°，∴5x=180°，∴x=36°，∴∠D=72°．②当∠D=90°时，易知DF=DH，△DEF是等腰直角三角形，综上所述，当△DFH是等腰三角形时，∠D=72°或90°．9．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AB，∠ACD=∠ACB，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE=∠CBE，∵CD∥AB，∴∠CDE=∠AFD，∴∠EBC=∠AFD，即∠F=∠EBC；（2）解：分两种情况：①如图1，当F在AB延长线上时，∵∠EBF为钝角，∴只能是BE=BF，设∠BEF=∠BFE=x°，解得：x=30，∴∠EFB=30°；②如图2，当F在线段AB上时，∵∠EFB为钝角，∴只能是FE=FB，设∠BEF=∠EBF=x°，则有∠AFD=2x°，可证得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，得x+2x=90，解得：x=30，∴∠EFB=120°．综上：∠F=30°或120°．10．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCA=60°，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，∵CF=AE，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF=∠BCA=30°，∴∠CBE=∠F=30°，∴BE=EF；（2）解：结论成立；理由如下：过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，∴∠ECF=120°，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．（3）解：结论成立．证明如下：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，如图3所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，∴∠ECF=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠AGE=∠ECF，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．11．【解答】解：拓展：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F．∵∠A=∠F，∴∠BCD=∠ECG．∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD，即∠BCE=∠DCG．在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE=DG．（6分）应用：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∵BE=DG，∴S△ABE+S△CDE=S△BEC=S△CDG=8，∵AE=2ED，∴S△CDE=×8=，∴S△ECG=S△CDE+S△CDG=，∴S菱形CEFG=2S△ECG=．故答案为：．（9分）12．【解答】（1）证明：取BC的中点G，连接OG∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°∴∠A=∠C=∠ABD=60°，AB=BC=CD=DA，∵点O为菱形ABCD的对称中心，∴OD=OB∴OG∥CD ∴∠BGO=∠C=60°，OG=OB∵△OEF是等边三角形，∴∠EOF=60°，∴∠BOM=∠NOG又∵∠BGO=∠ABD=60°在△OBM和△OGN中，，∴△OBM≌△OGN（ASA），∴OM=ON；（2）证明：取BC中点G，同理可证：△OBM≌△OGN，∴BM=GN，∴BG=BN﹣NG，∴BN﹣BM=BG=AB．17．【解答】解：（1）如图，连接AC与BD相交于点G，在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG=BD=×16=8，由勾股定理得，AG===6，∴AC=2AG=2×6=12，菱形ABCD的面积=AC•BD=×12×16=96；故答案为：12；96；（2）如图1，连接AO，则S△ABD=S△ABO+S△ADO，所以，BD•AG=AB•OE+AD•OF，即×16×6=×10•OE+×10•OF，解得OE+OF=9.6是定值，不变；（3）如图2，连接AO，则S△ABD=S△ABO﹣S△ADO，所以，BD•AG=AB•OE﹣AD•OF，即×16×6=×10•OE﹣×10•OF，解得OE﹣OF=9.6，是定值，不变，所以，OE+OF的值变化，OE、OF之间的数量关系为：OE﹣OF=9.6．3、矩形1．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，∴OF=CD=1，∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，∴∠EDC=45°，在Rt△EDC中，EC=CD=2，∴△OEC的面积=•EC•OF=1．2．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，又∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∴四边形AODE是矩形．（2）解：∵∠BCD=120°，四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∠CAB=∠CAD=60°，AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2，OB=OD=AE=3，在Rt△AEC中，EC===．3．【解答】（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE=AB=10，AE2=102=100，又∵AD2+DE2=82+62=100，∴AD2+DE2=AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD﹣DE=10﹣6=4cm，FC=BC﹣BF=8﹣x，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，故BF=5cm；（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，∵AB=10cm，BF=5cm，∴AF==5cm．4．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，且FC=AB，∴四边形ABCF为平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形；（2）∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA=∠FGC，∵四边形ABCF为矩形，∴∠AFC=∠AFD=90°，∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°，∴∠D=∠ECD，∴ED=EC．5．【解答】（1）证明：∵AO=CO，BO=DO；∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．6．【解答】（1）证明：连接BG和CE交于O，∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，∴AB=AE，AC=AG，∠EAB=∠GAC，∴∠EAB+∠EAG=∠GAC+∠EAG，∴∠GAB=∠EAC，在△BAG和△EAC中，，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG=CE．（2）四边形PQMN为正方形，证明：∵EB、BC、CG、GE的中点分别是P、Q、M、N，∴PN∥BG，MN=CE，MN∥CE，PQ=CE，PQ∥CE，PN=BG，∵BG=CE，∴PN=MN，MN=PQ，MN∥PQ，∴四边形PQMN是菱形，∵△BAG≌△EAC，∴∠GBA=∠AEC，∵四边形ABDE是正方形，∴∠EAB=90°，∴∠ABG+∠BWA=90°，∵∠BWA=∠GWE，∴∠GWE+∠AEC=90°，∴∠EOW=180°﹣90°=90°，∵MN∥CE，PN∥BG，∴∠NZO=∠EOW=90°，∠NIO=90°，∴∠MNP=360°﹣90°﹣90°﹣90°=90°；∴菱形PQMN是正方形，即四边形PQMN为正方形．7．【解答】（1）答：AB=AH，证明：延长CB至E使BE=DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠D=90°，∴∠ABE=180°﹣∠ABC=90°又∵AB=AD，∵在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴∠1=∠2，AE=AN，∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠2+∠3=90°﹣∠MAN=45°，∴∠1+∠3=45°，即∠EAM=45°，∵在△EAM和△NAM中，，∴△EAM≌△NAM（SAS），又∵EM和NM是对应边，∴AB=AH（全等三角形对应边上的高相等）；（2）作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°∴∠E=∠F=90°，又∵∠BAC=45°∴∠EAF=90°延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，又∵AE=AD=AF∴四边形AEGF是正方形，由（1）、（2）知：EB=DB=2，FC=DC=3，设AD=x，则EG=AE=AD=FG=x，∴BG=x﹣2；CG=x﹣3；BC=2+3=5，在Rt△BGC中，（x﹣2）2+（x﹣3）2=52；解得x1=6，x2=﹣1，故AD的长为6．8．【解答】（1）解：由题意得：∠BAC=∠BCA=45°，AO=PA，∠AEO=∠AFO，在△AEO和△CFO中，∴△AEO≌△CFO（AAS）∴OE=OF（相等）；（1分）（2）解：OE=OF，OE⊥OF；（3分）证明：连接BO，∵在正方形ABCD中，O为AC中点，∴BO=CO，BO⊥AC，∠BCA=∠ABO=45°，（4分）∵PF⊥BC，∠BCO=45°，∴∠FPC=45°，PF=FC．∵正方形ABCD，∠ABC=90°，∵PF⊥BC，PE⊥AB，∴∠PEB=∠PFB=90°．∴四边形PEBF是矩形，∴BE=PF．（5分）∴BE=FC．∴△OBE≌△OCF，∴OE=OF，∠BOE=∠COF，（7分）∵∠COF+∠BOF=90°，∴∠BOE+∠BOF=90°，∴∠EOF=90°，∴OE⊥OF．（8分）（3）OE=OF（相等），OE⊥OF（垂直）．（10分）9．【解答】（1）PB=PQ，证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，∴PF=PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，∴∠BPE=∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB=PQ；（2）PB=PQ，证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，∴PF=PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，∴∠BPE=∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB=PQ．10．【解答】解：（1）结论：DM=EM．理由：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和ECGF是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，，∴△FME≌△AMH，∴HM=EM，在直角△HDE中，HM=EM，∴DM=HM=EM，∴DM=EM．（2）成立．（证明方法类似），11．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABF=135°，∵∠BCD=90°，∴∠ABF=∠ACD，∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD，在△ABF和△ACD中，，∴△ABF≌△ACD（SAS），∴AD=AF；（2）答：四边形ABNE是正方形；理由如下：证明：由（1）知，AF=AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB=∠DAC，∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠BAC=90°，∴∠EAF=∠BAD，在△AEF和△ABD中，，∴△AEF≌△ABD△AEF≌△ABD（SAS），∴BD=EF；∵CD=CB，∠BCD=90°，∴∠CBD=45°，∵∠EAB=90°，△AEF≌△ABD，∴∠AEF=∠ABD=90°，∴四边形ABNE是矩形，又∵AE=AB，∴四边形ABNE是正方形．12．【解答】证明：（1）如图，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，∴∠CBF=180°﹣∠ABC=90°，∠1+∠2=∠DCB=90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF=90°，∴∠3+∠2=∠ECF=90°，∴∠1=∠3，在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF，（2）在正方形ABCD中，AD∥BC，∴△GBF∽△EAF，∴，由（1）知，△CDE≌△CBF，∴BF=DE=，∵正方形的边长为1，∴AF=AB+BF=，AE=AD﹣DE=，∴，∴BG=，∴CG=BC﹣BG=13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°，∴BE=AB﹣AE，DG=AD﹣AG，∴BE=DG，在△BEF和△DGF中，，∴△BEF≌△DGF（SAS），∴BF=DF；（2）解：∵BF=DF；∴点F在对角线AC上，∵AD∥EF∥BC，∴CF：BE=AF：AE=AE：AE=，∴CF：BE=．14．【解答】证明：（1）连接OB，∵在正方形ABCD中，O是AC的中点，∴OB=OA，∠OAB=∠OBA=∠OBC=45°，∴∠AOB=90°，又∵OE⊥OF，∴∠AOF=∠BOE，在△AOF和△BOE中，，∴△AOF≌△BOE，∴OE=OF；（2）①∵∠EOF=∠FBE=90°，∴O，E，F，B四点共圆，∴∠OBA=∠OEF，∵在矩形ABCD中，O是AC的中点，∴OA=OB，∠OAB=∠OBA，∴∠OEF=∠BAC；②如图，连接BD，延长EO交AD于G，∵BD与AC交于O，则△OGD≌△DEB，∴OG=OE，∴AG=CE，∵OF⊥GE，∴FG=EF，在Rt△AGF中，GF2=AG2+AF2，即EF2=CE2+AF2．15．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB，在△ABE和∠CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE；∵AE=CE，AE=EN，∴∠EAC=∠ECA，CE=EN，∴∠ECN=∠N，∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，∴∠ACE+∠ECN=90°，即∠ACN=90°，∴△CAN为直角三角形；（2）∵正方形的边长为6，∴AC=BD=6，∵∠ACN=90°，AN=4，∴CN==2，∵OA=OC，AE=EN，∴OE=CN=，∵OB=BD=3，∴BE=OB+OE=4．16．【解答】解：（1）结论：FG=CE，FG∥CE．理由：如图1中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．故答案为：FG=CE，FG∥CE；（2）结论仍然成立．理由：如图2中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．17．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴△ABD是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD=，∴AB=1，∴正方形ABCD的边长为1；（2）EM=CN．理由如下：连接FN，∵CF=CA，CE是∠ACF的平分线，∴CE⊥AF，∴∠AEN=∠CBN=90°，∵∠ANE=∠CNB，∴∠BAF=∠BCN，在△ABF和△CBN中，，∴△ABF≌△CBN（AAS），∴BF=BN，∴∠CBN=∠FNB=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=45°，∵EO∥BC，∴∠EOM=∠DBC=45°，∠OEM=∠FCN，∴∠CFN=∠EOM，∴△CFN∽△EOM，∴，即．∴EM=CN．18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS）．（2）解：结论：FE2=FA2+FC2．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形，∵FE2=FC2+EC2，∵△ABF≌△CBE，∴AF=EC，∴FE2=FA2+FC2．故答案为FE2=FA2+FC2．20．【解答】解：（1）BM=DF，BM⊥DF．理由：∵四边形ABCD、AMEF是正方形，∴AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90°，∴∠FAM﹣∠DAM=∠DAB﹣∠DAM，即∠FAD=∠MAB，∵在△FAD和△MAB中，，∴△FAD≌△MAB，∴BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，∵∠ADB=45°，∴∠FDB=45°+45°=90°，∴BM⊥DF，即BM=DF，BM⊥DF．（2）BM=DF，BM⊥DF都成立，理由是：∵四边形ABCD和AMEF均为正方形，∴AB=AD，AM=AF，∠BAD=∠MAF=90°，∴∠FAM+∠DAM=∠DAB+∠DAM，即∠FAD=∠MAB，∵在△FAD和△MAB中，，∴△FAD≌△MAB，∴BM=DF，∠ABM=∠ADF，由正方形ABCD知，∠ABM=∠ADB=45°，∴∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°，即BM⊥DF，∴（1）中的结论仍成立．21．【解答】（1）证明：∵E是BC的中点，∴BE=CE，在正方形ABCD和正方形BFGE中，BC=CD，BE=BF，∴BF=CE，在△BCF和△CDE中，，∴△BCF≌△CDE（SAS），∴DE=CF；（2）解：设CE=x，∵∠CDE=30°，∴tan∠CDE==，∴CD=x，∵正方形ABCD的边BC=CD，∴BE=BC﹣CE=x﹣x，∵正方形BFGE的边长BF=BE，∴tan∠BCF===，∵正方形BGFE对边BC∥GF，∴∠BCF=∠GFH，∵tan∠GFH=，∴=．。
中考复习——初中数学经典四边形习题50道(附答案)
1．已知：在矩形 ABCD 中， _A
AEBD 于 E，∠DAE=3∠BAE ，
求：∠EAC 的度数。
_O
_E _B
2．已知：直角梯形 ABCD 中，BC=CD=a _A
且∠BCD=60，E、F 分别为梯形的腰
AB、
_E
DC 的中点，求：EF 的长。
_D
_C _D
_F
_A
_D
_E
证：ADEF 是平行四边形。
_D
_E
_B
_C _F
_F
_A
_A
14、在四边形 ABCD 中，AB=CD，
_P
P、Q 分别是 AD、BC 中点，M、N
_D
_B
_C
分别是对角线 AC、BD 的中点，
求证：PQMN。
_N
_M
_B
_Q
19、M、N 为ABC 的边 AB、AC 的中点，E、F 为边 AC 的
G，BG= 4 2 ，则ΔCEF 的周长为（ ）
A.8 B.9.5
C.10
D.11.5
正确的
A．③② B．③④ C．①④② D．②③④
例 4.13．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂
直的四边形是菱形 C．两条对角线互相平分的四边形是平行
四边形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
_D _E
_A
_C
8 、在正方形 ABCD 中，直 _G
_A
_D
_C
线 EF 平
行 于 对 角 线 AC ，与 边
_G
_F
ABBC 、的交 点为 E 、
2020年九年级数学中考复习： 四边形专题复习教案
2020年九年级数学中考复习：四边形专题复习教案一、教学目标通过本教案的学习，学生将能够：1.了解四边形的定义和性质；2.掌握四边形的分类和特征；3.理解四边形的面积和周长的计算方法；4.能够解决与四边形相关的问题。
二、知识概述四边形是指由四条线段组成的封闭图形。
常见的四边形包括矩形、正方形、平行四边形和菱形等。
在九年级数学中，掌握四边形的定义、分类和性质是非常重要的，同时还需要熟练掌握四边形的面积和周长的计算方法。
2.1 四边形的定义和性质四边形是由四条线段构成的封闭图形，它有以下性质：•四边形的内角和等于360°；•对角线互相垂直的四边形是矩形；•有一对对边相等且互相平行的四边形是平行四边形；•有4个边长相等的四边形是正方形；•有一对对边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形。
2.2 四边形的分类和特征根据边长和角度的特征，四边形可以分为以下几类：•矩形：具有四个内角都是直角的四边形；•正方形：具有四个边长相等且四个内角都是直角的四边形；•平行四边形：具有相对的两边平行的四边形；•菱形：具有四个边长相等且对角线互相垂直的四边形。
2.3 四边形的面积和周长的计算方法•矩形的面积等于长乘以宽；•正方形的面积等于边长的平方；•平行四边形的面积等于底边乘以高；•菱形的面积等于对角线的乘积的一半。
四边形的周长等于各边长的和。
三、教学重点与难点3.1 教学重点•四边形的定义和性质；•四边形的分类和特征；•四边形的面积和周长的计算方法。
3.2 教学难点•理解和应用四边形的性质；•熟练计算不同类型四边形的面积和周长。
4.1 导入与导入教师通过原生实例或者图片，引入四边形的概念，让学生了解四边形的定义。
4.2 教学内容4.2.1 四边形的定义和性质1.讲解四边形的定义和性质，介绍四边形的内角和等于360°的性质；2.分类介绍矩形、正方形、平行四边形和菱形的特征和性质。
4.2.2 四边形的面积和周长的计算方法1.讲解不同类型四边形的面积计算方法：矩形、正方形、平行四边形和菱形；2.讲解四边形的周长计算方法。
初中数学四边形专题训练50题含答案
中考数学四边形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．平行四边形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对边平行且相等C ．对角线互相平分D ．对角相等 2．如图，在MON ∠的两边．上分别截取,OA OB ，使OA OB =；分别以点A ，B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；连接,,,AC BC AB OC ．若2AB =，四边形OACB 的面积为4．则OC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 3．在ABCD 中，下列结论错误的是（ ）A ．//AB CD B ．B D ∠=∠C ．AC BD =D ．180C D ∠+∠=︒ 4．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，若∠A=60°，则∠1的度数为（ ）A ．120°B ．60°C ．45°D ．30° 5．若平行四边形中两个内角的度数比为1∠2，则其中较大的内角是（ ） A ．100° B ．60° C ．120° D ．90° 6．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，位似比为2:3，点B 、E 在第一象限．若点A 的坐标为()1,0，则点E 的坐标是（ ）A ．0)B ．33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．(2,2) 7．四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AD//BC ，为了判定四边形是平行四边形，还需一个条件，其中错误．．的是（ ） A ．AB//CD B ．∠A=∠C C ．AB=CD D ．AO=CO 8．一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形的边数为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．49．顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 10．已知平行四边形ABCD 的周长为32，AB ＝4，则BC 的长为（ ）A ．4B ．12C ．24D ．48 11．如图,四边形ABCD 是矩形,,把矩形沿直线AC 折叠,点B 落在点E处,连结DE,则的值是（ ）A ．B ．C ．8D ．7：25 12．如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，且AE=3，则BC 的长为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．813．如图，在矩形ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，EO AC ⊥于点O ，交BC 于点E ，若ABE ∆的周长为8，3AB =，则AD 的长为 （ ）A ．2B ．5.5C ．5D ．414．如图，矩形ABCD 中，4AB =，2BC =．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则BE 的长是（ ）A ．B C ．2.5 D ．1.5 15．如图，在平行四边形ABCD 中，过点P 作直线EF 、GH 分别平行于AB 、BC ，那么图中共有（ ）平行四边形．A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个 16．如图，已知直线PQ CD ⊥于点P ，B 是CPQ ∠内部一点，过点B 作BA PQ ⊥于点A ，BC CD ⊥于点C ，四边形PABC 是边长为8cm 的正方形，N 是AB 的中点，动点M 从点P 出发，以2cm/s 的速度，沿P A B C →→→方向运动，到达点C 停止运动，设运动时间为()s t ，当CM PN =时，t 等于（ ）A ．2B ．4C ．2或4D ．2或617．如图，在菱形中，，，是的中点．过点作，垂足为．将沿点到点的方向平移，得到．设、分别是、的中点，当点与点重合时，四边形的面积为A ．B ．C ．D ． 18．如图，点EF 、分别是菱形ABCD 的边AD 、DC 的中点，如果阴影部分的面积和是10，则菱形对角线AC 与BD 的乘积AC BD ⋅等于（ ）A ．10B ．32C ．20D ．1619．如图，在正方形1ABCB 中，AB =AB 与直线l 所夹锐角为60，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ⋯，依次规律，则线段20212022A A =（ ）A ．20192⨯⎝⎭B ．20202⨯⎝⎭C ．20212⨯⎝⎭D ．20222⨯⎝⎭20．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，添加一个条件使平行四边形ABCD 为矩形的是（ ）A ．AD AB = B ．AB AD ⊥C ．AB AC =D ．CA BD ⊥二、填空题21．如图，这个图案是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺而成的，则这个图案中的等腰梯形的底角(指锐角)是_________度．22．如图，点E 在矩形ABCD 的对角线BD 上，EF BC ⊥于点F ，连接AF ，若5BC =，2EF =，则ABF △的面积为_________．23．已知菱形的两条对角线长分别为3和4，则菱形的面积为______．24．有一个边长为50cm 的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为_____．25．如图，Rt ABC 中，90C BC AC ∠=︒>，，以AB BC AC ，，三边为边长的三个正方形面积分别为1S ，2S ，3S ．若ABC 的面积为7，140S =，则32S S －的值等于______．26．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，已知50∠=︒，则BADCED'∠'的大小是_____27．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为CC'，则图中阴影部分的面积为__．28．用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成一个平行四边形（非矩形），所得的平行四边形的周长是______．29．如图，菱形ABCD中，点O为对角线AC的三等分点且AO＝2OC，连接OB，OD，OB＝OC＝OD，已知AC＝3，那么菱形的边长为_____．30．如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA ＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为_____．31．在长方形ABCD中，10AB=，将长方形ABCD折叠，折痕为EF．AD=，8（1）如图1，当A'与B重合时，EF=_______；（2）如图1，当直线EF过点D时，点A的对应点A'落在线段BC上，则线段EF的长为______．32．如图，P 是▱ABCD 内的任意一点，连接P A 、PB 、PC 、PD ，得到△P AB 、△PBC 、△PCD 、△PDA ，设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3、S 4，给出如下结论：∠S 1+S 3＝S 2+S 4，∠若S 3＝2S 1，则S 2＝2S 4，∠若S 1+S 3＝5，则ABCD 的面积为10；∠S 1+S 2＝S 3+S 4．其中正确的结论的序号是____________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．33．如图， 直线l 是四边形ABCD 的对称轴，若AB CD =，有下面的结论：∠AB BC ⊥；∠AC BD ⊥；∠//AB CD ；∠AO OC =．其中正确的结论有__．34．如图1是三国时期的数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”．将图2的矩形分割成四个全等三角形和一个正方形，恰好能拼成这样一个“勾股圆方图”，则该矩形与拼成的正方形的周长之比为________．35．如图，平行四边形ABCD 中，45B ∠=︒，7BC =，CD =E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，取CE ，DF 的中点G ，H ，连接GH ，则GH 的长度为__________．36．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将∠DCB绕着点D顺时针旋转45°得到∠DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：∠DE平分∠ADB；∠BE∠四边形AEGF是菱形；∠BC+FG=1.5．其中结论正确的序号是_______．37．如图，点E、F是平行四边形ABCD的边AB、DC上的点，F与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q若S△APD=14cm2，S△BCQ=16cm2，四边形PEQF的面积为______．38．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为_____．39．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________．三、解答题40．□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，四边形AFCE 是否是菱形？为什么？41．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CD 到E ，使DE CD =，连接AE ．(1)求证：四边形ABDE 是平行四边形；(2)连接OE ，若60ABC ∠=︒，且8AD DE ==，求OE 的长．42．如图，点E 、F 分别在ABCD 的边AB 、CD 的延长线上，且BE ＝DF ，连接AC 、EF 、AF 、CE ，AC 与EF 交于点O ．（1）求证：AC 、EF 互相平分；（2）若EF 平分∠AEC ，判断四边形AECF 的形状并证明．43．正方形ABCD 的对角线交点为O ，连AE 交BC 于E ，交OB 于F ，2EC FO =，求证：AE 平分BAC ∠.44．如图，在三角形ABC 中，90C ∠=︒，四边形DEFC 是边长为4的正方形，且D 、E 、F 分别在边AC AB BC 、、上．把三角形ADE 绕点E 逆时针旋转一定的角度．(1)当点D 与点F 重合时，点A 的对应点G 落在边BC 上，此时四边形ACGE 的面积为___________；(2)当点D 的对应点1D 落在线段BE 上时，点A 的对应点为点1A ，在旋转过程中点A 经过的路程为1l ，点D 经过的路程为2l ，且12:3:2l l =，求线段1AD 的长． 45．如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，在AB 的延长线上截取BE=AB ，BF=BD ，连接CE ，DF ，相交于点M ．求证：CD=CM ．46．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∠BC ，AD ∠CD ，M 为腰AB 上一动点，联结MC 、MD ，AD ＝10，BC ＝15，cot B 512=．（1）求线段CD 的长．（2）设线段BM 的长为x ，∠CDM 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．47．在Rt ABC 与Rt BDE 中，90ABC DBE ∠=∠=︒，AB BC =，BD BE =．(1)如图1，若点D ，B ，C 在同一直线上，连接AD ，CE ，则AD 与CE 的关系为_________；(2)如果将图1中的BDE △绕点B 在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断AD 与CE 的关系，并说明理由；(3)如图3，若6AB =，2BD =，连接AE ，分别取DE ，AE ，AC 的中点M ，P ，N ，连接MP ，NP ，MN ，将BDE △绕点B 在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中MPN△面积的最小值和最大值．48．如图，在矩形ABCD中，AD=4，CD=3，点E为AD的中点．连接CE，将∠CDE 沿CE折叠得∠CFE，CE交BD于点G，交BA的延长线于点M，延长CF交AB于点N．(1)求DG的长；(2)求MN的长．49．如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．参考答案：1．A【分析】结合平行四边形的性质即可判定．【详解】结合平行四边形的性质可知选项B、C、D均正确，但平行四边形的对角线不垂直，则A不正确.故选A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是正确解题的关键．2．C【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】解：根据作图，AC＝BC＝OA，∠OA＝OB，∠OA＝OB＝BC＝AC，∠四边形OACB是菱形，∠AB＝2，四边形OACB的面积为4，∠12AB•OC＝12×2×OC＝4，解得OC＝4．故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．3．C【分析】根据平行四边形的性质逐项判断即可．【详解】解：A、由平行四边形行两组对边分别平行可得//AB CD，故A正确；B、由平行四边形对角相等可得B D∠=∠，故B正确；C、AC、BD为平行四边形对角线，平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，故C错误；D、由平行四边形行两组对边分别平行可得//AD BC，两直线平行同旁内角互补，可得180C D∠+∠=︒，故D正确．故选：C．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及其推论，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．4．B【详解】解：∠四边形ABCD 是平行四边形，∠AD∠BC ，∠∠1=∠A=60°．故选B ．5．C【分析】据平行四边形的性质得出AB //CD ，推出∠B ＋∠C ＝180°，根据∠B ：∠C ＝1：2，求出∠C 即可．【详解】解：∠四边形ABCD 是平行四边形∠AB //CD ，∠∠B ＋∠C ＝180°，∠∠B ：∠C ＝1：2，∠∠C ＝23×180°＝120°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．6．B【分析】由题意可得:2:3OA OD =，又由点A 的坐标为()1,0，即可求得OD 的长，又由正方形的性质，即可求得E 点的坐标．【详解】解：∠正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为2:3， ∠:2:3OA OD =，∠点A 的坐标为()1,0，即1OA =， ∠32OD =， ∠四边形ODEF 是正方形，∠32 DE OD==．∠E点的坐标为：33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：B．【点睛】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．7．C【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可．【详解】解：A.根据两组对边分别平行可判定是平行四边形，不符合题意；B.根据平行线性质可得另一对内角相等，根据两组对角分别相等可判定是平行四边形，不符合题意；C.不能判定是平行四边形，可能是等腰梯形，符合题意；D.可通过全等证对角线互相平分，能判定是平行四边形，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题关键是熟知平行四边形的判定定理，准确进行判断．8．D【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和等于外角和列方程解答即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，则()2180360n-⨯︒=︒，解得4n=，故选：D．【点睛】此题考查了多边形内角和与外角和的计算，熟练掌握多边形内角和公式及外角和是解题的关键．9．C【分析】由E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，得出EF，HG，FG，EH是中位线，再得出四条边相等，根据“四条边都相等的四边形是菱形”进行证明．【详解】解：如图所示，因为E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、BD，因为E、F分别是AB、BC的中点，所以EF=12AC ，且EF∠AC同理可得HG=12AC ，且HG∠AC ， FG=12BD ，且FG∠BD ， EH=12BD ，且EH∠BD ， ∠EF∠HG ，HE ∠FG ，∠四边形EFGH 是平行四边形，又因为等腰梯形的对角线相等，即AC=BD ，因此有EF=FG=GH=HE ，所以连接等腰梯形各中点所得四边形为菱形．故选：C【点睛】此题考查三角形中位线的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线定理及菱形的判定．10．B【详解】由题意得：2()32,4,12AB BC AB BC +===得： .故选B.11．D【详解】试题分析：从D,E 处向AC 作高DF,EH ．设AB=4k,AD=3k,则AC=5k ．由∠AEC的面积=4k×3k=5k×EH,得EH=95k k；根据勾股定理得CH=,∠四边形ACED是等腰梯形,∠CH=AF=95 k,所以DE=5k﹣95k×2=75k．所以DE：AC=75k：5k=7：25．故选D．考点：翻折变换．12．C【分析】由平行四边形的性质可得AD∠BC，且AD=BC，结合角平分线的性质可求得DE=DC=AB=4，则可求得AD的长，可求得答案．【详解】解：∠四边形ABCD为平行四边形，∠AB=CD=4，AD∠BC，AD=BC，∠∠DEC=∠BCE．∠CE平分∠BCD，∠∠DCE=∠BCE，∠∠DEC=∠DCE，∠DE=DC=4．∠AE=3，∠AD=BC=3+4=7．故选C．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行线的性质及角平分线的性质求得DE=DC是解题的关键．13．C【分析】由矩形的性质可得AO＝CO，由线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BC＝AD，∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵△ABE的周长为8，∴AB+AE+BE＝8，∴3+BC＝8，∴AD ＝BC ＝5，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握矩形的性质是本题的关键．14．D【分析】由矩形ABCD 中，四边形EGFH 是菱形，易证得()COF AOE AAS ≌，即可得OA OC =，然后由勾股定理求得AC 的长，继而求得OA 的长，又由AOE ABC ∽△△，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【详解】解：如图，连接EF ，交AC 于O ，∠四边形EHFG 是菱形，EF AC OE OF ∴⊥=，，∠四边形ABCD 是矩形，90B D ∴∠=∠=︒，AB CD ∥，ACD CAB ∴∠=∠，在COF 与AOE △中，FCO OAE FOC AOE OF OE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()COF AOE AAS ∴≌，AO CO ∴=，AC AB ==12AO AC ∴==， 90CAB CAB AOE B ∠=∠∠=∠=︒，，AOE ABC ∴∽，∠AO AE AB AC=，=， 2.5AE ∴=，1.5BE ∴=，故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解此题的关键．15．D【详解】∠AD∠BC 、AB∠CD ，EF∠AB ，GH∠BC ，∠AB∠EF∠DC ，AD∠GH∠BC ，∠共有9个平行四边形，如平行四边形AGPE ，平行四边形BGPF ，平行四边形PEDH ，平行四边形PFCH ，平行四边形ABFE ，平行四边形EFCD ，平行四边形AGHD ，平行四边形BGHC ，平行四边形ABCD ，故选D.16．D【分析】分点M 是AP 的中点和点M 与点N 重合两种情况讨论，由全等三角形的性质和正方形的性质即可求解．【详解】解：当点M 是AP 的中点时，∵四边形P ABC 是正方形，∴PC ＝P A ＝AB ，∠CP A ＝∠P AN ＝90°，∵N 是AB 的中点，点M 是AP 的中点，∴PM ＝AN ＝4，在△CPM 和△P AN 中，PA CP CPA PAN PM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CPM ≌△P AN （SAS ），∴PN ＝CM ，∴t 42==2， 当点M 与点N 重合时，由正方形的对称性可得PN ＝CM ，∴t842+==6，故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．17．A【详解】试题分析：作在菱形中，，,是的中点是的中点，故答案选A.考点：平行四边形的面积，三角函数.18．B【分析】设EF交BD于G，AC交BD于O，由三角形中位线的性质可得EF=12AC，EF//AC，可得EG为∠AOD的中位线，可得DG=12OD，根据菱形的性质可得BG=34BD，根据菱形的面积公式列方程即可得答案．【详解】设EF交BD于G，AC交BD于O，∠点E F 、分别是菱形ABCD 的边AD 、DC 的中点， ∠EF=12AC ，EF//AC ，∠EG 为∠AOD 的中位线， ∠OG=12OD ，∠四边形ABCD 是菱形， ∠OD=OB=12BD ，BD∠AC ， ∠BG=34BD ，BG∠EF ， ∠S 菱形ABCD =S 阴影+S △BEF ，阴影部分的面积和是10， ∠12AC·BD=10+12EF·BG=10+12·12AC·34BD ， 解得：AC·BD=32．故选：B【点睛】本题考查菱形的性质、三角形中位线的性质及菱形的面积公式，菱形的对角线互相垂直且平分；菱形的面积等于两条对角线乘积的一半；三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；熟练掌握相关性质及公式是解题关键．19．C【分析】利用特殊角的三角函数值分别求出11A B 、22A B 、33A B ，以此类推找到规律求出20222022A B ，最后根据202120222022Rt A A B 中20212022202290A B A ∠=︒，20222021202230A A B ∠=︒，即可求解．【详解】解：∠AB 与直线l 所夹锐角为60︒，且1BAB ∠是正方形1ABCB 的一个顶角， ∠11180609030B AA ∠=︒-︒-︒=︒，又∠1190AB A ∠=︒，∠在11Rt AB A △中，11111tan A B AB A AB =⨯∠，∠正方形1ABCB 的边长AB∠11111tan A B AB A AB =⨯∠同理可求得： 222A B =⎝⎭，333A B =⎝⎭，以此类推可知： 20222021202120222022A B ===⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∠202120222022Rt A A B 中20212022202290A B A ∠=︒，20222021202230A A B ∠=︒，∠2021202120222022202222A A A B ==⨯⎝⎭，故C 正确．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、含特殊角的锐角三角函数等知识，含30°的直角三角形的性质．利用从特殊到一般寻找规律是解题的关键．20．B【分析】根据矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．【详解】解： A 、AD AB =时，平行四边形ABCD 是菱形，故选项A 不符合题意； B 、AB AD ⊥时，∠BAD ＝90°，则平行四边形ABCD 是矩形，故选项B 符合题意； C 、AB AC =时，平行四边形ABCD 不一定是矩形，故选项C 不符合题意；D 、CA BD ⊥时，平行四边形ABCD 是菱形，故选项D 不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解答此题的关键．21．60°【分析】根据图案的特点，可知密铺的一个顶点处的周角，由3个完全相同的等腰梯形的较大内角组成，即可求出等腰梯形的较大内角的度数，进而即可得到答案.【详解】由图案可知：密铺的一个顶点处的周角，由3个完全相同的等腰梯形的较大内角组成，∠等腰梯形的较大内角为360°÷3=120°，∠等腰梯形的两底平行，∠等腰梯形的底角（指锐角）是：180°-120°=60°．故答案是：60°．【点睛】本题主要考查等腰梯形的性质以及平面镶嵌，掌握平面镶嵌的性质是解题的关键．22．5【分析】证明∠BEF∠∠BCD，由相似三角形的性质求得BF•CD，即求得BF•AB，进而由三角形的面积公式求得结果．【详解】解：∠四边形ABCD是矩形，∠AB=CD，∠ABC=∠BCD=90°，∠EF∠BC，∠EF∠CD，∠∠BEF∠∠BDC，∠BF EF BC CD=，∠BC=5，EF=2，∠BF•CD=BC•EF=5×2=10，∠BF•AB=10，∠∠ABF的面积=12BF•AB=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积计算，关键是由相似三角形求得BF•AB的值．23．6【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．【详解】解：∠菱形的两条对角线长分别为3和4，∠菱形的面积为134=6 2⨯⨯故答案为：6【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的面积通常有两种求法，可以用底乘以高，也可以用对角线乘积的一半求解，计算时要根据具体情况灵活运用．24．【分析】根据圆与其内切正方形的关系，易得圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，已知正方形边长为50cm，进而由勾股定理可得答案．【详解】解：根据题意，知圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长；再根据勾股定理，50故答案为：．【点睛】题主要考查正多边形和圆的相关知识；注意：熟记等腰直角三角形的斜边是直角边的 倍，可以给解决此题带来方便．25．【分析】结合正方形面积公式，平方差公式，勾股定理，三角形面积公式，可知()()2223S S BC AC BC AC BC AC -=-=+-，2240BC AC +=，14BC AC ⋅=，然后运用完全平方公式()2222a b a b ab ±=+±求解即可．【详解】解：根据题意，2140S AB ==，22S BC =，23S AC = ∠()()2223S S BC AC BC AC BC AC -=-=+-在Rt ABC 中，根据勾股定理，222BC AC AB +=∠2240BC AC +=∠7Rt ABC S = ∠172BC AC ⋅⋅= ∠14BC AC ⋅=∠BC AC +==BC AC -====∠()()BC AC BC AC +-==即23S S -=故答案为：【点睛】本题考查勾股定理与三角形、正方形的面积，完全平方公式与平方差公式的灵活应用，掌握并熟练应用勾股定理和各类公式是解题的关键．26．40【详解】试题分析：先根据折叠的性质求得、的度数，即可求得、的度数，再根据长方形的性质求解即可.∠50CED ∠='︒，AE 为折痕∠∠∠BAD ∠'. 考点：折叠的性质点评：折叠的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.27．342π+【分析】根据菱形的性质以及旋转角为30°，连接CD ′和BC '，可得A 、D′、C 及A 、B 、C′分别共线，求出扇形的面积，再根据AAS 证得两个小三角形全等，求得面积，最后根据扇形ACC '的面积-两个小的三角形的面积即可．【详解】解：连接CD ′和BC '∠∠DAB =60°∠30DAC CAB ∠=∠=︒∠30C AB ∠''=︒∠A 、D′、C 及A 、B 、C′分别共线∠AC =∠扇形ACC′的面积为：2303604ππ⨯=∠AC =AC ′，AD′=AB在OCD OC B ''和中CD BC ACD AC D COD C OB '='⎧⎪∠=∠''⎨⎪∠'=∠'⎩∠()OCD OC B AAS ''≌∠OB =OD′，CO =C′O又∠60,30CBC BC O ︒∠'∠=='︒∠90BOC ∠'=︒在Rt BOC '中，())22211BO BO +-=解得13,22BO C O ='=∠S △OCB=12BO C O '⨯⨯=，∠322442C B AC OC S S Sππ''=-=-=+阴影扇形 故答案为:342π+ 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．28．18或16【分析】首先由直角边分别为3和4，求得其斜边，然后分别从以边长为3，4，5的边为对角线拼成一个平行四边形（非矩形），去分析求解即可求得答案． 【详解】解：直角边分别为3和4，∴5=，若以边长为3的边为对角线，则所得的平行四边形的周长是：2(54)18⨯+=； 若以边长为4的边为对角线，则所得的平行四边形的周长是：2(53)16⨯+=；若以边长为5的边为对角线，则所得的平行四边形的周长是：2(34)14⨯+=（此时是矩形，舍去）；综上可得：所得的平行四边形的周长是：16或18．故答案为：16或18．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．29【分析】如图，连接BD交AC于E，由四边形ABCD是菱形，推出AC∠BD，AE=EC，在Rt△EOD中，利用勾股定理求出DE，在Rt△ADE中利用勾股定理求出AD即可．【详解】如图，连接BD交AC于E．∠四边形ABCD是菱形，∠AC∠BD，AE＝EC，∠OA＝2OC，AC＝3，∠CO＝DO＝2EO＝1，AE＝32，∠EO＝12，DE＝EB==，∠AD=【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理解决问题.30．20，22，26，28【分析】以直角三角形边长相等的边为公共边，拼接四边形，再计算周长；【详解】解：∠如图周长=20；∠如图周长=22；∠如图周长=26；∠如图周长=28；∠如图周长=22；∠四边形的周长为：20，22，26，28；故答案为：20，22，26，28．【点睛】本题考查了图形的拼接，四边形的周长；作出拼接图形是解题关键．31．10【分析】（1）根据题意结合图形直接写出答案即可解决问题；（2）根据勾股定理首先求出A C'的长度；再次利用勾股定理求出AE的长度，即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，当A'与B重合时，EF=10；（2）如图2，设AE=x，则BE=8-x；∠四边形ABCD为矩形，∠BC=AD=10，DC=AB=8；∠B=∠C=90°；由题意得：=A D AD '=10；由勾股定理得：222A C A D DC 1006436''=-=-=∠A C 6BA 1064''==-=， ，在Rt∠A BE '中，由勾股定理得：222(8)4x x =-+解得：x=5，由勾股定理得：222EF =10+5=125∠EF =【点睛】该命题主要考查了翻折变换及其应用问题；能根据翻折变换的性质准确找出命题图形中隐含的等量关系是解题的关键．32．∠∠【分析】根据平行四边形的的性质可以得到AB ＝CD ，AD ＝BC ，设点P 到AB 、BC 、CD 、DA 的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4，然后利用三角形的面积公式列式整理判断即可得到答案．【详解】解：∠四边形ABCD 是平行四边形，∠AB ＝CD ，AD ＝BC ，设点P 到AB 、BC 、CD 、DA 的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4，hAB 、hBC 分别为平行四边形的AB 边和BC 边的高则S 1＝12AB •h 1，S 2＝12BC •h 2，S 3＝12CD •h 3，S 4＝12AD •h 4，hAB = h 1+h 3，hBC =h 2+h 4 ∠12AB •h 1+12CD •h 3＝12AB •hAB ，12BC •h 2+12AD •h 4＝12BC •hBC ，又∠S 平行四边形ABCD ＝AB •hAB ＝BC •hBC ，∠S 2+S 4＝S 1+S 3，故∠正确；根据S 3=2S 1只能判断h 3=2h 1，不能判断h 2=2h 4，即不能得出S 2=2S 4，故∠错误； 根据S 1+S 3＝S 2+S 4，S 1+S 3＝5，能得出ABCD 的面积为5×2＝10，故∠正确；由题意只能得到S 2+S 4＝S 1+S 3无法得到S 1+S 2＝S 3+S 4，故∠错误；故答案为：∠∠．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积，用平行四边形的面积表示出相对的两个三角形的面积是解题的关键．33．∠∠∠【分析】根据轴对称的性质得到直线l 垂直平分BD ，则根据线段垂直平分线的性质得AB AD =，CD CB =，由于AB=CD ，则AB BC CD BC ===，于是可判断四边形ABCD 为菱形，然后根据菱形的性质对4个结论进行判断．【详解】证明：∠直线l 是四边形ABCD 的对称轴，∴直线l 垂直平分BD ，AB AD ∴=，CD CB =，AB CD =，AB BC CD BC ∴===，∴四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，//AB CD ，OA OC =，所以∠∠∠正确 ．故答案为∠∠∠．【点睛】本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．也考查了菱形的判定与性质．34．35）【分析】设图2的矩形分割成四个全等三角形的两直角边为a 、b （a ＞b ），由图1与图2的两个小正方形相同，得出a 与b 的关系，再求出矩形的边长和大正方形的边长，应用周长公式求得其周长，最后便可求得其比值．【详解】解：设图2的矩形分割成四个全等三角形的两直角边为a 、b （a ＞b ），小正方形的边长为a-b ，矩形的长为2a+a-b=3a-b ，宽为b ，∠矩形的周长为：2（3a-b+b ）=6a ，由图2知，中间小正方形的边长为b ，∠a-b=b ，∠a=2b ，∠大正方形的周长为,==∠该矩形与拼成的正方形的周长之比：=故答案为：3：5）．【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，关键是根据图形求得全等直角三角形的两直角边与矩形和大正方形的边长的关系．35．134【分析】连接DG 并延长，交于AB 延长线于点M ，过点M 作MN ∠CB ，交于CB 延长线于点N ，首先根据平行四边形的性质证明(),CGD EGM AAS ≅得出,DG GM =即可得出1,2HG FM =再利用勾股定理求出FM ，即可求得答案． 【详解】连接DG 并延长，交于AB 延长线于点M ，过点M 作MN ∠CB ，交于CB 延长线于点N ，如图，∠四边形ABCD 为平行四边形，∠CD ∠AB，AB CD ==∠CDG EMG ∠=∠又∠G 为CE 中点，∠,CG GE =在CGD △和EGM 中∠CDG EMG DGC MGE CG GE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠(),CGD EGM AAS ≅∠,DG GM = ,CD EM = ∠1,2HG FM = AB EM =， ∠,AE BM =∠点E 为AB 的中点，∠1,2AE EB AB ==∠12EB BM AB ===， 又∠45,B ∠=︒∠45,MBN ∠=︒∠,BN MN =设,BN MN x ==在Rt BMN 中，∠222,BN MN BM +=∠222x x +=， 解得，5,2x = 即5,2BN MN == ∠点F 为BC 的中点， ∠17,22BF BC == ∠75622FN BF BN =+=+=, 在Rt MNF △中，∠222,NF MN MF +=∠13,2MF = ∠113,24HG FM == 故填：134． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理．36．∠∠∠【分析】根据旋转的性质可知，∠DGH ∠∠DCB ，进而得知DH =DB ，∠H =∠CBD =45°，∠DGH =∠DCB =90°，DG =DC =AD ，之后可证∠ADF ∠∠GDF ，四边形AEGF 是菱形，再根据勾股定理可知AE 的长度，进而可以一一判断选出答案．【详解】解：根据旋转的性质可知，∠DGH ∠∠DCB ，∠DH =DB ，∠H =∠CBD =45°，∠DGH =∠DCB =90°，DG =DC =AD ，在Rt ∠AED 与Rt ∠GED 中，AD =DG ，ED =ED∠Rt ∠AED ∠Rt ∠GED （HL ）∠∠ADE =∠GDE ，即DE 平分∠ADB ，故∠正确；在∠ADF 和∠GDF 中，AD =DG ，∠ADF =∠GDF ，DF =DF ，∠∠ADF ∠∠GDF （SAS ）∠AF =GF ，∠DAF =∠DGF =45°又∠∠ABD =45°∠FG ∠AE∠∠DAC =45°，∠∠DAC =∠H ，∠AF ∠EG∠四边形AEGF 是平行四边形，又∠AF =GF∠平行四边形AEGF 是菱形，故∠正确；∠∠H =45°，∠HAE =90°∠AE =AH∠AE =AF =HD -AD =BD -AD∠正方形ABCD 的边长为1，根据勾股定理可知BD ==即HD∠AE 1∠BE =)11=2-∠正确； ∠四边形AEGF 是菱形∠FG =AE 1∠BC +FG =1∠错误；综上答案为：∠∠∠．【点睛】本题考查的是正方形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理和直角三角形的性质，是一道综合性较强的题，能够充分调动所学知识是解题的关键．37．30cm 2。
2022年中考数学《四边形》专题训练及答案
2022年中考数学《四边形》专题训练及答案一．选择题（共17小题）1．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3，FH与GE 相交于点O．当△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（）A．S1＝S2B．S1＝S3C．AB＝AD D．EH＝GH2．数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，E 是BC 边上一动点（不含端点B ，C ），连接EA ，F 是CD 边上一点，设DF ＝a ，若存在唯一的点E ，使∠FEA ＝90°，则a 的值是（ ）A ．256B ．116C ．103D ．35．如图，E ，F 是正方形ABCD 的边BC 上两个动点，BE ＝CF ．连接AE ，BD 交于点G ，连接CG ，DF 交于点M ．若正方形的边长为1，则线段BM 的最小值是（ ）A ．12B ．√3−12C ．√2−12D ．√5−126．如图，在矩形ABCD 中，以对角线AC 为斜边作Rt △AEC ，过点E 作EF ⊥DC 于点F ，连结AF ，若AD ＝DF ，S △AEF ＝3，S △ACF ＝5，则矩形ABCD 的面积为（ ）A ．18B ．19C ．20D ．217．如图，在▱ABCD 中，BD ＝6，AC ＝10，BD ⊥AB ，则AD 的长为（ ）A ．8B ．√42C ．2√5D ．2√138．如图，在Rt △ABC 中（AC ＞BC ），∠ACB ＝90°，过C 作CD ⊥AB 于点D ，分别以AD ，AC ，BC 为边向上作正方形ADQP，正方形ACEF，正方形CBGH，其中CE与PQ相交于点O，连接PF，QH，EH．若点F，P，Q，H在同一直线上，且△OCQ的面积为1，则六边形ABGHEF的面积为（）A．5+3√5B．15+7√5C．20+10√5D．30+14√59．已知四边形ABCD为平行四边形，要使四边形ABCD为矩形，则可增加条件为（）A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD10．如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3√2时，则AD的值为（）A．2B．3C．4D．611．如图，在矩形ABCD中，点F为边AD上一点，过F作EF∥AB交边BC于点E，P为边AB上一点，PH⊥DE 交线段DE于H，交线段EF于Q，连接DQ．当AF＝AB时，要求阴影部分的面积，只需知道下列某条线段的长，该线段是（）A．EF B．DE C．PH D．PE12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，里面放置两个大小相同的正方形CDEF与正方形GHIJ，点F在边BC上，点D，H在边AC上，点G在边DE上，点I，J在斜边AB上，则正方形CDEF的边长为（）A ．3613B ．3013C ．2413D ．181313．已知，矩形ABCD 中，E 为AB 上一定点，F 为BC 上一动点，以EF 为一边作平行四边形EFGH ，点G ，H 分别在CD 和AD 上，若平行四边形EFGH 的面积不会随点F 的位置改变而改变，则应满足（ ）A ．AD ＝4AEB ．AD ＝2ABC ．AB ＝2AED ．AB ＝3AE14．如图，矩形ABCD 由两直角边之比皆为1：2的三对直角三角形纸片甲、乙、丙拼接而成它们之间互不重叠也无缝隙，则AD AB的值为（ ）A ．23B ．34C ．45D ．2√5515．如图，已知大矩形ABCD 由①②③④四个小矩形组成，其中AE ＝CG ，则只需要知道其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④16．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中△ABE ，△BCF ，△CDG ，△DAH 全等，△AEH ，△BEF ，△CFG ，△DGH 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与△ABE 面积相等，且△ABE 是以AB 为底的等腰三角形，则△AEH 的面积为（ ）A ．2B ．169C ．32D ．√217．一张矩形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪得同样大定理特例图（AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，分别以三边为边长向外作正方形），图1中边HI 、LM 和点K 、J 都恰好在矩形纸板的边上，图2中的圆心O 在AB 中点处，点H 、I 都在圆上，则矩形和圆形纸板的面积比是（ ）A ．400：127πB ．484：145πC ．440：137πD ．88：25π二．填空题（共7小题）18．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，△BEC 与△FEC 关于直线EC 对称，点B 的对称点F 在边AD 上，G 为CD 中点，连结BG 分别与CE ，CF 交于M ，N 两点．若BM ＝BE ，MG ＝1，则BN 的长为 ，sin ∠AFE 的值为 ．19．图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d 的值为 ；记图1中小正方形的中心为点A ，B ，C ，图2中的对应点为点A ′，B ′，C ′．以大正方形的中心O 为圆心作圆，则当点A ′，B ′，C ′在圆内或圆上时，圆的最小面积为 ．20．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2√3，则AH的长为．21．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝10，BD＝24，则OE的长为．22．如图，在▱ABCD中，P为AB上的一点，E、F分别是DP、CP的中点，G、H为CD上的点，连接EG、FH，若▱ABCD的面积为24cm2，GH=12AB，则图中阴影部分的面积为．23．如图1，某学校楼梯墙面上悬挂了四幅全等的正方形画框，画框下边缘与水平地面平行．如图2，画框的左上角顶点B，E，F，G都在直线AB上，且BE＝EF＝FG，楼梯装饰线条所在直线CD∥AB，延长画框的边BH，MN得到▱ABCD．若直线PQ恰好经过点D，AB＝275cm，CH＝100cm，∠A＝60°，则正方形画框的边长为cm．24．如图，F是矩形ABCD内一点，AF＝BF．连接DF并延长交BC于点G，且点C与AB的中点E恰好关于直线DG 对称．若AD ＝9，则AB 的长为 ．三．解答题（共13小题） 25．【推理】如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ． （1）求证：△BCE ≌△CDG ． 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若HD HF=45，CE ＝9，求线段DE 的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，H 两点，若AB BC=k ，HD HF=45，求DE EC的值（用含k 的代数式表示）．26．【证明体验】（1）如图1，AD 为△ABC 的角平分线，∠ADC ＝60°，点E 在AB 上，AE ＝AC ．求证：DE 平分∠ADB ． 【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F 为AB 上一点，连结FC 交AD 于点G ．若FB ＝FC ，DG ＝2，CD ＝3，求BD 的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，∠BCA ＝2∠DCA ，点E 在AC 上，∠EDC ＝∠ABC ．若BC ＝5，CD ＝2√5，AD ＝2AE ，求AC 的长．27．小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．28．如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．（1）当AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC时，①求证：AE＝AF；②连结BD，EF，若EFBD =25，求S△AEFS菱形ABCD的值；（2）当∠EAF=12∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB＝4，AC＝2，则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形．29．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，过B作BE⊥BD与DA的延长线交于点E．（1）若点A为DE中点，求证：四边形ABCD为菱形．（2）若BA＝BE，tan∠EDB=√22，求△ABE与四边形ABCD面积的比值．30．如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝AE；（2）连接CM，DF＝2．①求菱形ABCD的周长；②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．31．如图1，在正方形ABCD中，BD为对角线，点E为边AB上的点，连结DE，过点A作AG⊥DE交BC于点G，交BD于点H，垂足为F，连结EH．（1）AE与BG相等吗，请说明理由；（2）若BE：AE＝n，求证：DH：BH＝n+1；（3）在（2）的基础上，如图2时，当EH∥AD时，求n的值．32．如图，在矩形ABCD中，点E在射线CB上，连结AE，∠DAE的平分线AG与CD交于点G，与BC的延长线交于F点．设CEEB =λ（λ＞0），ABBC=k（k＞0且k≠2）．（1）若AB＝8，λ＝1，k=43，求线段CF的长．（2）连结EG，若EG⊥AF，①求证：点G为CD边的中点；②求λ的值（用k表示）．33．在正方形ABCD中，点E为边AB上的点，连结DE，过点A作AG⊥DE交BC于G．（1）如图1，AE与BG相等吗？请说明理由；（2）如图2，连接BD，交AG于H，ED于F，连接EH，若BE：AE＝n，求DH：BH；（3）在（2）的基础上，如图3，当EH∥AD时，求n的值．34．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2√5，tan∠CAB=12，P为AC上一点，PD⊥AB交AB于点E，AD⊥AC交PD于点D，连结BD，CD，CD交AB于点Q．（1）若CD⊥BC，求证：△AED∽△QCB；（2）若AB平分∠CBD，求BQ的长；（3）连结PQ并延长交BD于点M．①当点P是AC的中点时，求tan∠BQM的值；②当PM平行于四边形ADBC中的某一边时，求BMDM的值．35．在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差．（1）概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为 ；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为 ；（2）性质探究：如图1，CD 是△ABC 的中线，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝2c ，CD ＝d ，记△ACD 中∠ADC 的勾股差为m ，△BCD 中∠BDC 的勾股差为n ；①求m ，n 的值（用含a ，b ，c ，d 的代数式表示）； ②试说明m 与n 互为相反数；（3）性质应用：如图2，在四边形ABCD 中，点E 与F 分别是AB 与BC 的中点，连接BD ，DE ，DF ，若DF AB=34，且CD ⊥BD ，CD ＝AD ，求DE DF的值．36．【发现问题】小聪发现图1所示矩形甲与图2所示矩形乙的周长与面积满足关系：C 乙C 甲=S 乙S 甲=12．【提出问题】对于任意一个矩形A ，是否一定存在矩形B ，使得C B C A=S B S A=12成立？【解决问题】（1）对于图2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可设两条邻边长分别为x 和7﹣x ），使得C 丙C 乙=S 丙S 乙=12成立．若存在，求出矩形丙的两条邻边长；若不存在，请说明理由； （2）矩形A 两条邻边长分别为m 和1，若一定存在矩形B ，使得C B C A=S B S A=12成立，求m 的取值范围；（3）请你回答小聪提出来的问题．若一定存在，请说明理由；若不一定存在，请直接写出矩形A 两条邻边长a ，b 满足什么条件时一定存在矩形B ．37．如图，矩形ABCD 中，AB ＝7，AD ＝3，点E 是AD 边上的一点，DE ＝2AE ，连接EB ，F 是EB 的中点，连接CF ，点M 为DC 边上的一点，当动点P 从点C 匀速运动到点F 时，动点Q 恰好从点M 匀速运动到点C ．（1）求tan∠DCF的值；（2）若点P运动到CF的中点时，Q，P，B三点恰好共线，求此时DM的长；（3）连接EM，BM，当∠EMB＝90°且DM＜CM时，记MQ＝x，CP＝y．①求y关于x的函数关系式；②当PQ平行于△BEM的某一边时，求所有满足条件的x的值．参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．【解答】解：如图，连接DG，AH，过点O作OJ⊥DE于J．∵四边形EFGH是矩形，∴OH＝OF，EF＝GH，∠HEF＝90°，∵OJ⊥DE，∴∠OJH＝∠HEF＝90°，∴OJ∥EF，∵HO＝OF，∴HJ＝JE，∴EF＝GH＝2OJ，∵S△DHO=12•DH•OJ，S△DHG=12•DH•GH，∴S△DGH＝2S△DHO，同法可证S△AEH＝2S△AEO，∵S△DHO＝S△AEO，∴S△DGH＝S△AEH，∵S△DGC=12•CG•DH，S△ADH=12•DH•AE，CG＝AE，∴S△DGC＝S△ADH，∴S△DHC＝S△ADE，∴S1＝S2，故A选项符合题意；S3＝HE•EF≠S1，故B选项不符合题意；AB＝AD，EH＝GH均不成立，故C选项，D选项不符合题意，故选：A．2．【解答】解：如图所示，用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，用5个相同的菱形放置，最多能得到29个菱形，用6个相同的菱形放置，最多能得到47个菱形．故选：B．3．【解答】解：∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，当AP⊥BC时，此时△ABP为直角三角形；当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；当P为CD中点时，△ABP为直角三角形；当点P 与点D 重合时，此时△ABP 为等腰三角形， 故选：C ．4．【解答】解：∵∠FEA ＝90°， ∴∠AEB +∠FEC ＝90°， ∵∠B ＝90°，∴∠AEB +∠EAB ＝90°， ∴∠EAB ＝∠FEC ， ∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△ABE ∽△ECF ， ∴AB EC=BE CF，设BE ＝x ，则EC ＝BC ﹣BE ＝10﹣x ， ∵DF ＝a ，∴FC ＝DC ﹣DF ＝6﹣a ， ∴x （10﹣x ）＝6（6﹣a ）， ∴x 2﹣10x +36﹣6a ＝0， 由题意判别式b 2﹣4ac ＝0， ∴24a ﹣44＝0， ∴a =116， 故选：B ．5．【解答】解：如图，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝CB ，∠EBA ＝∠FCD ，∠ABG ＝∠CBG ，在△ABE 和△DCF 中， {AB =CD∠EBA =∠FCD BE =CF， ∴△ABE ≌△DCF （SAS ）， ∴∠BAE ＝∠CDF ， 在△ABG 和△CBG 中，{AB =BC∠ABG =∠CBG BG =BG， ∴△ABG ≌△CBG （SAS ）， ∴∠BAG ＝∠BCG ， ∴∠CDF ＝∠BCG ，∵∠DCM +∠BCG ＝∠FCD ＝90°， ∴∠CDF +∠DCM ＝90°， ∴∠DMC ＝180°﹣90°＝90°， 取CD 的中点O ，连接OB 、OF ， 则OF ＝CO =12CD =12，在Rt △BOC 中，OB =√CB 2+OC 2=√12+(12)2=√52，根据三角形的三边关系，OM +BM ＞OB ， ∴当O 、M 、B 三点共线时，BM 的长度最小， ∴BM 的最小值＝OB ﹣OF =√52−12=√5−12． 故选：D ．6．【解答】解：过点E 作EG 垂直AD 延长线于点G ， ∵EF ⊥DC ，∴S △AEF =12EF •DF ＝3，S △ACF =12CF •AD ＝5， ∵DF ＝AD ， ∴EF ：CF ＝3：5，设EF ＝3b ，CF ＝5b ，AD ＝DF ＝a ，∵∠G ＝90°，∠EFD ＝90°，∠GDF ＝90°， ∴四边形EFDG 是矩形， ∴GE ＝DF ＝a ，GD ＝EF ＝3b ， 在Rt △GEA 中，GE 2+AG 2＝AE 2， 在Rt △EFC 中，EF 2+FC 2＝EC 2， 在Rt △CEA 中，AE 2+CE 2＝AC 2，∴AC 2＝GE 2+AG 2+EF 2+FC 2＝a 2+（a +3b ）2+（3b ）2+（5b ）2＝2a 2+43b 2+6ab ， 在Rt △DAC 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝a 2+（a +5b ）2＝2a 2+25b 2+10ab ， ∴2a 2+43b 2+6ab ＝2a 2+25b 2+10ab ， ∴18b 2＝4ab ，∵b＞0，∴a=92b，∴S△AEF=12EF•DF=12×3b×a=12×3b×92b＝3，∴b=2 3，∴a=92×23=3，∴S矩形ABCD＝AD•CD＝a（a+5b）＝3×（3+5×23）＝19．故选：B．7．【解答】解：AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴2AO＝AC，2OB＝BD，∵BD＝6，AC＝10，∴OA＝5，OB＝3，∵DB⊥AB，在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB=√OA2−OB2=√52−32=4，在Rt△ADB中，由勾股定理得，AD=√DB2+AB2=√62+42=2√13，故选：D．8．【解答】解：设CQ＝x，∵∠CQO＝90°，S△OCQ＝1，∴12•CQ•OQ＝1，∴OQ=2 x，∵∠CDB＝∠CQH＝∠BCH＝90°，∴∠DCB +∠HCQ ＝90°，∠HCQ +∠CHQ ＝90°， ∴∠DCB ＝∠CHQ ， 在Rt △CDB 和△HQC 中， {∠CDB =∠HQC∠DCB =∠CHQ CB =HC， ∴△CDB ≌△HQC （AAS ）， ∴BD ＝CQ ＝x ， ∵QO ∥BD ， ∴△QCO ∽△DCB ， ∴OQ BD=CQCD， ∴CD =x×x2x=12x 3，∵∠CAD +∠ACD ＝90°，∠DCB +∠ACD ＝90°， ∴∠CAD ＝∠DCB ， ∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°， ∴△ACD ∽△CBD ， ∴AD CD=CD BD，∴CD 2＝AD •DB ， ∴（12x 3）2＝（x +12x 3）•x ，解得x 2＝1+√5或1−√5（舍弃）， ∴CD =1+√52x ，AD =√5+32x ， ∴AB ＝AD +BD =5+√52x ， ∴AB 2＝（5+√52）2×（1+√5）＝20+10√5， ∴S 正方形ACEF +S 正方形BCHG ＝AB 2＝20+10√5， ∵S △ACB =12•AB •CD =12×1+√52x ×5+√52x ＝5+2√5， ∴S 六边形ABGHEF ＝S 正方形ACEF +S 正方形CBGH +2S △ABC ＝20+10√5+2（5+2√5）＝30+14√5， 故选：D ．9．【解答】解：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝BC ， ∴四边形ABCD 是菱形，故A 不符合题意； B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC ＝BD ， ∴四边形ABCD 是矩形，故B 符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴四边形ABCD是菱形，故D不符合题意；故选：B．10．【解答】解：如图，当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=12CE．．且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=12CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，.∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，设AB＝2t，则AD＝t，∵E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝t，∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝t，∴BP 1=√2t ＝3√2， ∴t ＝3． 故选：B ．11．【解答】解：过点P 作PM ⊥EF 于点M ，如图：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，∠C ＝90°， ∵EF ∥AB ， ∴EF ∥DC ， ∴∠EDC ＝∠DEF ， ∵PH ⊥DE ，PM ⊥EF ， ∴∠PMQ ＝∠EHQ ＝90°， 又∵∠PQM ＝∠EQH ， ∴∠QPM ＝∠DEF ＝∠EDC ， 在△PMQ 和△DCE 中， {∠MPQ =∠EDCPM =CD∠PMQ =∠C，∴△PMQ ≌△DCE （ASA ）， ∴PQ ＝DE ，∴阴影部分的面积＝S △PDE ﹣S △QED =12×DE ×PH −12DE ×QH =12DE 2， ∴故选：B ．12．【解答】解：在Rt △ABC 中， ∵∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8， ∴AB =√AC 2+BC 2=10．∴sin ∠A =BCAB =35，cos ∠A =ACAB =45． ∵四边形GHIJ 为正方形， ∴GH ∥AB ． ∴∠GHD ＝∠A ．∴cos ∠GHD ＝cos ∠A =45．设正方形CDEF 与正方形GHIJ 的边长为x ，则HI ＝CD ＝x ．在Rt △AHI 中，∵sin ∠A =HI AH ， ∴x AH =35．∴AH =53x ．在Rt △GHD 中，∵cos ∠GHD =DH GH ， ∴DH x =45． ∴DH =45x ．∵AC ＝CD +DH +AH ＝8，∴x +45x +53x ＝8．解得：x =3013． 故选：B ．13．【解答】解：设AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，BF ＝x ，∴S 平行四边形EFGH ＝S 矩形ABCD ﹣2（S △BEF +S △AEH ）＝ab ﹣2[12cx +12（a ﹣c ）（b ﹣x ）] ＝ab ﹣（cx +ab ﹣ax ﹣bc +cx ）＝ab ﹣cx ﹣ab +ax +bc ﹣cx＝（a ﹣2c ）x +bc ，∵F 为BC 上一动点，∴x 是变量，（a ﹣2c ）是x 的系数，∵平行四边形EFGH 的面积不会随点F 的位置改变而改变，为固定值，∴x 的系数为0，bc 为固定值，∴a ﹣2c ＝0，∴a ＝2c ，∴E 是AB 的中点，∴AB ＝2AE ，故选：C ．14．【解答】解：如图所示设丙的短直角边为x，乙的短直角边为y，则HG＝2x，DG＝2x+y，CG=12DG=2x+y2，∵BF＝DH＝y，FG＝EH＝x，∴CF＝2BF＝2y，CF＝CG+FG=2x+y2+x，∴2y=2x+y2+x，∴x=34y，∵AB＝DC=√CG2+DG2=√(2x+y2)2+(2x+y)2=√(54y)2+(52y)2=5√54y，AD=√DH2+AH2=√y2+(2y)2=√5y，∴ADAB=√5y5√54y=45．故选：C．15．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD和四边形③是矩形，∴AB＝CD，FP＝CG，∵AE＝CG，∴BE＝DG，∴阴影部分的面积＝△BFD的面积﹣△BFP的面积=12BF×CD−12BF×FP=12BF×（CD﹣CG）=12BF×DG=12BF×BE=12矩形②面积，故选：B．16．【解答】解：连接EG，向两端延长分别交AB、CD于点M、N，如图，∵△ABE，△BCF，△CDG，△DAH全等，△ABE是以AB为底的等腰三角形，∴AE＝BE＝CG＝DG，∴EG是AB、CD的垂直平分线，∴MN⊥AB，∴EM＝GN（全等三角形的对应高相等），∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，∴四边形AMND是矩形，∴MN＝AD＝4，设ME＝x，则EG＝4﹣2x，∵中间小正方形EFGH的面积与△ABE面积相等，∴12(4−2x)2=12×4x，解得，x＝1或x＝4（舍），∵△ABE，△BCF，△CDG，△DAH全等，△AEH，△BEF，△CFG，△DGH也全等，∴△AEH的面积=S正方形ABCD−5S△ABE4=42−5×12×4×14=32，故选：C．17．【解答】解：在图1中延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P，在图2中，连接OH，过O作OQ⊥AC于点Q，则，在图1中，∵四边形ABJK是正方形，∴AB＝BJ，∠ABJ＝90°，∴∠ABC +∠PBJ ＝90°＝∠ABC +∠BAC ，∴∠BAC ＝∠JBP ，∵∠ACB ＝∠BPJ ＝90°，∴△ABC ≌△BJK （AAS ），∴AC ＝BP ＝3，∵AC ＝MC ＝3，BC ＝4，∴DE ＝MP ＝3+4+3＝10，同理得，DG ＝HN ＝4+3+4＝11，∴矩形DEFG 的面积为11×10＝110，在图2中，OQ =12CB =2，CQ =12AC =1.5，∴HQ ＝4+1.5＝5.5，∴OH =√22+5.52=√1372，∴⊙O 的面积为：π×（√1372）2=137π4， ∴矩形和圆形纸板的面积比是：110：137π4=440：137π，故选：C ．二．填空题（共7小题）18．【解答】解：∵BM ＝BE ，∴∠BEM ＝∠BME ，∵AB ∥CD ，∴∠BEM ＝∠GCM ，又∵∠BME ＝∠GMC ，∴∠GCM ＝∠GMC ，∴MG ＝GC ＝1，∵G 为CD 中点，∴CD ＝AB ＝2．连接BF ，FM ，由翻折可得∠FEM＝∠BEM，BE＝EF，∴BM＝EF，∵∠BEM＝∠BME，∴∠FEM＝∠BME，∴EF∥BM，∴四边形BEFM为平行四边形，∵BM＝BE，∴四边形BEFM为菱形，∵∠EBC＝∠EFC＝90°，EF∥BG，∴∠BNF＝90°，∵BF平分∠ABN，∴F A＝FN，∴Rt△ABF≌Rt△NBF（HL），∴BN＝AB＝2．∵FE＝FM，F A＝FN，∠A＝∠BNF＝90°，∴Rt△AEF≌Rt△NMF（HL），∴AE＝NM，设AE＝NM＝x，则BE＝FM＝2﹣x，NG＝MG﹣NM＝1﹣x，∵FM∥GC，∴△FMN∽△CGN，∴CGFM=GNNM，即12−x=1−xx，解得x＝2+√2（舍）或x＝2−√2，∴EF＝BE＝2﹣x=√2，∴sin∠AFE=AEEF=√2√2=√2−1．故答案为：2；√2−1．19．【解答】解：如图，连接FW，由题意可知点A′，O，C′在线段FW上，连接OB′，B′C′，过点O作OH ⊥B′C′于H．∵大正方形的面积＝12，∴FG＝GW＝2√3，∵EF＝WK＝2，∴在Rt△EFG中，tan∠EGF=EFFG=2√3=√33，∴∠EGF＝30°，∵JK∥FG，∴∠KJG＝∠EGF＝30°，∴d＝JK=√3GK=√3（2√3−2）＝6﹣2√3，∵OF＝OW=12FW=√6，C′W=√2，∴OC′=√6−√2，∵B′C′∥QW，B′C′＝2，∴∠OC′H＝∠FWQ＝45°，∴OH＝HC′=√3−1，∴HB′＝2﹣（√3−1）＝3−√3，∴OB′2＝OH2+B′H2＝（√3−1）2+（3−√3）2＝16﹣8√3，∵OA′＝OC′＜OB′，∴当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为（16﹣8√3）π．故答案为：6﹣2√3，（16﹣8√3）π．20．【解答】解：如图，∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2√3，∴AC=√(2√3)2−22=2√2，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OC=√2，在Rt△OAB中，OB=√22+(√2)2=√6，又AH⊥BD，∴12OB •AH =12OA •AB ，即12×√6⋅AH =12×2×√2， 解得AH =2√33． 故答案为：2√33． 21．【解答】解：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 为平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC =12AC ＝5，OB ＝OD =12BD ＝12， ∴∠DOC ＝90°，CD =√OC 2+OD 2=√52+122=13， ∴平行四边形OCED 为矩形，∴OE ＝CD ＝13，故答案为：13．22．【解答】解：如图，设EG ，FH 交于点O ，∵四边形ABCD 为平行四边形，且▱ABCD 的面积为24cm 2， ∴S △PCD =12S ▱ABCD ＝12cm 2，AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∵E 、F 分别是DP 、CP 的中点，∴EF 为△PCD 的中位线，∴CD ＝2EF ，EF ∥CD ∥AB ，∴S △PEF ：S △PCD ＝1：4，∴S △PEF ＝3，∵GH =12AB ，∴EF ＝GH ，EF ∥GH ，∴S △OEF ＝S △OGH =12S △PEF ＝1.5cm 2，∴S 阴影＝3+2×1.5＝6cm 2，故答案为6cm 2．23．【解答】解：延长EP ，与CD 交于点K ，如图， ∵AB ∥CD ，BC ∥EK ，∴四边形BCKE 是平行四边形，∴PK＝CH＝100cm，∵∠A＝60°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠A＝60°，AB＝CD＝275cm，∵BC∥EK，∴∠PKD＝∠C＝60°，∴DK=PKcos60°=200cm，∴BE＝CK＝CD﹣DK＝75cm，∵BE＝EF＝FG，∴AG＝AB﹣3BE＝275﹣75×3＝50cm，∴GM＝AG•sin∠A＝50×√32=25√3cm．正方形画框的边长为25√3cm．故答案为：25√3．24．【解答】解：连接EF、EG、EC，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝9，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴AB⊥AD，∵AF＝BF，点E是AB的中点，∴EF⊥AB，∴EF∥AD∥BC，∴EF是梯形ABGD的中位线，∠EFG＝∠CGF，∴EF=12（AD+BG），设BG＝x，则CG＝9﹣x，EF=12（9+x），∵点C与AB的中点E关于直线DG对称，∴EG＝CG，∠CGF＝∠EGF，∴EF＝CG，∴12（9+x）＝9﹣x，解得：x＝3，∴BG＝3，EG＝CG＝6，∴BE=√EG2−BG2=√62−32=3√3，∴AB＝2BE＝6√3；故答案为：6√3．三．解答题（共13小题）25．【解答】（1）证明：如图1中，∵△BFE是由△BCE折叠得到，∴BE⊥CF，∴∠ECF+∠BEC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠BCE＝90°，∴∠ECF+∠CGD＝90°，∴∠BEC＝∠CGD，∵BC＝CD，∴△BCE≌△CDG（AAS）．（2）如图2中，连接EH．∵△BCE≌△CDG，∴CE＝DG＝9，由折叠可知BC＝BF，CE＝FE＝9，∴∠BCF＝∠BFC，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠BCG＝∠HGF，∵∠BFC＝∠HFG，∴∠HFG＝∠HGF，∴HF＝HG，∵HDHF=45，DG＝9，∴HD＝4，HF＝HG＝5，∵∠D＝∠HFE＝90°，∴HF2+FE2＝DH2+DE2，∴52+92＝42+DE2，∴DE＝3√10或﹣3√10（舍弃），∴DE＝3√10．（3）如图3中，连接HE．由题意HD HF =45，可以假设DH ＝4m ，HG ＝5m ，设DE EC =x ．①当点H 在点D 的左侧时，∵HF ＝HG ，∴DG ＝9m ，由折叠可知BE ⊥CF ，∴∠ECF +∠BEC ＝90°，∵∠D ＝90°，∴∠ECF +∠CGD ＝90°，∴∠BEC ＝∠CGD ，∵∠BCE ＝∠D ＝90°，∴△CDG ∽△BCE ，∴DG CE =CD BC ， ∵CD BC =AB BC =k ， ∴9m CE =k 1，∴CE =9m k=FE ， ∴DE =9mx k ， ∵∠D ＝∠HFE ＝90°∴HF 2+FE 2＝DH 2+DE 2，∴（5m ）2+（9m k ）2＝（4m ）2+（9mx k ）2， ∴x =√k 2+93或−√k 2+93（舍弃）， ∴DE EC =√k 2+93．②当点H 在点D 的右侧时，如图4中，同理HG ＝HF ，△BCE ∽△CDG ，∴DG ＝m ，CE =m k =FE ，∴DE =mx k， ∵HF 2+FE 2＝DH 2+DE 2，∴（5m ）2+（m k ）2＝（4m ）2+（mx k ）2，∴x =√9k 2+1或−√9k 2+1（舍弃），∴DE EC =√9k 2+1．综上所述，DE EC =√k 2+93或√9k 2+1．26．【解答】（1）证明：如图1，∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠CAD ，∵AE ＝AC ，AD ＝AD ，∴△EAD ≌△CAD （SAS ），∴∠ADE ＝∠ADC ＝60°，∵∠BDE ＝180°﹣∠ADE ﹣∠ADC ＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠BDE ＝∠ADE ，∴DE 平分∠ADB ．（2）如图2，∵FB ＝FC ，∴∠EBD ＝∠GCD ；∵∠BDE ＝∠CDG ＝60°，∴△BDE ∽△CDG ，∴BD CD =DE DG ；∵△EAD ≌△CAD ，∴DE ＝CD ＝3，∵DG ＝2，∴BD =CD 2DG =322=92. （3）如图3，在AB 上取一点F ，使AF ＝AD ，连结CF ． ∵AC 平分∠BAD ，∴∠F AC ＝∠DAC ，∵AC ＝AC ，∴△AFC ≌△ADC （SAS ），∴CF ＝CD ，∠FCA ＝∠DCA ，∠AFC ＝∠ADC ，∵∠FCA +∠BCF ＝∠BCA ＝2∠DCA ，∴∠DCA＝∠BCF，即∠DCE＝∠BCF，∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，∴△DCE∽△BCF，∴CDBC=CECF，∠DEC＝∠BFC，∵BC＝5，CF＝CD＝2√5，∴CE=CD2BC=(2√5)25=4；∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，∵∠EAD＝∠DAC（公共角），∴△EAD∽△DAC，∴AEAD=ADAC=12，∴AC＝2AD，AD＝2AE，∴AC＝4AE=43CE=43×4=163．27．【解答】解：[探究1]如图1，设BC＝x，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，∴点A，B，D'在一条线上，∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C'＝AB'＝AB＝1，∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1，∵∠BAD＝∠D'＝90°，∴D'C'∥DA，又∵点C'在DB的延长线上，∴△D'C'B∽△ADB，∴D′C′AD=D′BAB，∴1x=x−11，解得x1=1+√52，x2=1−√52（不合题意，舍去），∴BC=1+√5 2．[探究2]D'M＝DM．证明：如图2，连接DD'，∵D'M∥AC'，∴∠AD'M＝∠D'AC'，∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，∴△AC'D'≌△DBA（SAS），∴∠D'AC'＝∠ADB，∴∠ADB＝∠AD'M，∵AD'＝AD，∴∠ADD'＝∠AD'D，∴∠MDD'＝∠MD'D，∴D'M＝DM；[探究3]关系式为MN2＝PN•DN．证明：如图3，连接AM，∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，∴△AD'M≌△ADM（SSS），∴∠MAD'＝∠MAD，∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，∠NAM＝∠MAD'+∠NAP，∴∠AMN＝∠NAM，∴MN＝AN，在△NAP和△NDA中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，∴△NP A∽△NAD，∴PNAN=ANDN，∴AN2＝PN•DN，∴MN2＝PN•DN．28．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠ABE+∠BAE＝∠EAF+∠DAF＝90°，∵∠EAF＝∠ABC，∴∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF；②解：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝DC，AC⊥BD，由①知，△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，∴CE＝CF，∵AE＝AF，∴AC⊥EF，∴EF∥BD，∴△CEF∽△CBD，∴ECBC=EFBD=25，设EC＝2a，则AB＝BC＝5a，BE＝3a，∴AE=√AB2−BE2=√(5a)2−(3a)2=4a，∵AEAB=AFBC，∠EAF＝∠ABC，∴△AEF∽△BAC，∴S△AEFS△BAC=（AEAB）2＝（4a5a）2=1625，∴S△AEFS菱形ABCD=S△AEF2S△BAC=12×1625=825；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC=12∠BAD，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAM，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠ANC，∴∠ANC＝∠CAM，同理：∠AMC＝∠NAC，∴△MAC∽△ANC，∴ACCN=AMNA，△AMN是等腰三角形有三种情况：①当AM＝AN时，如图2所示：∵∠ANC ＝∠CAM ，AM ＝AN ，∠AMC ＝∠NAC ， ∴△ANC ≌△MAC （ASA ），∴CN ＝AC ＝2，∵AB ∥CN ，∴△CEN ∽△BEA ，∴CE BE =CN AB =24=12， ∵BC ＝AB ＝4，∴CE =13BC =43；②当NA ＝NM 时，如图3所示：则∠NMA ＝∠NAM ，∵AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∵∠BAC ＝∠EAF ，∴∠NMA ＝∠NAM ＝∠BAC ＝∠BCA ，∴△ANM ∽△ABC ，∴AM AN =AC AB =12， ∴AC CN =AM NA =12， ∴CN ＝2AC ＝4＝AB ，∴△CEN ≌△BEA （AAS ），∴CE ＝BE =12BC ＝2；③当MA ＝MN 时，如图4所示：则∠MNA ＝∠MAN ＝∠BAC ＝∠BCA ，∴△AMN ∽△ABC ，∴AM AN =AB AC =42=2， ∴CN =12AC ＝1，∵△CEN ∽△BEA ，∴CE BE =CN AB =14， ∴CE =15BC =45；综上所述，当CE 为43或2或45时，△AMN 是等腰三角形．29．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BE⊥BD，∴∠EBD＝90°，∵A为DE的中点，∴AB＝AD=12DE，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：过B作BF⊥DE于F，tan ∠EDB =√22=BE BD， 设BE =√2x ，BD ＝2x ，由勾股定理得：DE =√BE 2+BD 2=√(√2x)2+(2x)2=√6x ， ∵S △BDE =12×BE ×BD =12×DE ×BF ， ∴12×√2x ×2x =12×√6x ×BF ， 解得：BF =2√33x ， ∴△ABE 与四边形ABCD 面积的比值是（12×√2x ×2x ）：（√62x •2√33x ）=√2x 2：√2x 2＝1：1． 30．【解答】（1）证明：如图，连接BD ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥DB ，AD ＝AB ，∵EM ⊥AC ，∴ME ∥BD ，∵点E 是AB 的中点，∴点M 是AD 的中点，AE =12AB ，∴AM =12AD ，∴AM ＝AE ．（2）解：①由（1）得，点M 是AD 的中点， ∴AM ＝MD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠F ＝∠AEM ，∠EAM ＝∠FDM ，∴△MDF ≌△MAE （AAS ），∴AE ＝DF ，∵AB ＝2AE ，DF ＝2，∴AB ＝4，∴菱形ABCD 的周长为4AB ＝4×4＝16．②如图，连接CM ，记EF 与AC 交点为点G ，∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，∴DF＝DM，MF＝ME，∴∠DMF＝∠DFM，∴∠ADC＝2∠DFM，∵∠ADC＝2∠MCD，∴∠MCD＝∠DFM，∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC，∵ME⊥AC，AM＝AE，∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，∴MC＝2MG，∴∠GMC＝60°，∴∠ADC＝60°，∴∠MCD＝30°，∴∠DMC＝90°，∴△DMC为直角三角形，∵DF＝2，∴DM＝2，CD＝4，∴CM=√DM2+CM2=√22+42=2√3，∴ME＝2√3．31．【解答】（1）解：相等，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠DAG+∠BAG＝90°，∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°，∴∠BAG＝∠ADF，∵AD＝AB，∠DAB＝∠ABG，∴△ADE≌△BAG（ASA），∴AE ＝BG ．（2）解：∵△ADE ≌△BAG ，∴BG ＝AE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，∴△ADH ∽△GBH ，∴DH BH =AD BG ，∵BE ：AE ＝n ，BG ＝AE ，AD ＝AB ，∴DH BH =AD AG =AB AE =AE+BE AE =AE+nAE AE =n +1．（3）解：设BG ＝AE ＝k ，则BE ＝nk ，∵EH ∥AD ，∴∠BEH ＝∠BAD ＝90°，∠EHB ＝∠ADB ＝45°，∵∠ABD ＝45°，∴∠EHB ＝∠ABD ，∴BE ＝EH ＝nk ，∵EH ∥AD ，∴△AEH ∽△ABG ，∴AE AB =EH BG ， ∴k k+nk =nk k， ∵n ＞0，∴n =√5−12．32．【解答】解：（1）∵AB BC =k ，k =43， ∴BC ＝6，∵CE EB =λ，λ＝1，∴CE ＝EB ，∴点E 为BC 的中点，∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠F ，又∵AG 平分∠DAE ，∴∠DAG ＝∠EAG ，∴∠EAG ＝∠F ，∴EA ＝EF ，∵AB ＝8，∠B ＝90°，点E 为BC 的中点，∴BE ＝EC ＝3，∴AE =√AB 2+BE 2=√73，∴EF =√73，∴CF ＝EF ﹣EC =√73−3；（2）①证明：∵EA ＝EF ，EG ⊥AF ，∴AG ＝FG ，在△ADG 和△FCG 中，{∠D =∠GCF ∠AGD =∠FGC AG =FG，∴△ADG ≌△FCG （AAS ），∴DG ＝CG ，即点G 为CD 的中点；②设CD ＝2a ，则CG ＝a ，∵AB BC =k （k ＞0且k ≠2）．AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴CF ＝AD ＝BC =2a k ，∵EG ⊥AF ，∠GCF ＝90°，∴∠EGC +∠CGF ＝90°，∠F +∠CGF ＝90°，∠ECG ＝∠GCF ＝90°，∴∠EGC ＝∠F ，∴△EGC ∽△GFC ，∴EC GC =GC FC ，∵GC ＝a ，FC =2a k ， ∴GC FC =k 2， ∴EC GC =k 2，∴EC =k 2•a =ka 2，BE ＝BC ﹣EC =2a k −ka 2=4−k 22k a ，∴λ=CEEB=k24−k2．33．【解答】解：（1）AE＝BG，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠DAG+∠BAG＝90°，∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°，∴∠BAG＝∠ADF，∵AD＝AB，∠DAB＝∠ABG，∴△ADE≌△BAG（ASA），∴AE＝BG；（2）∵△ADE≌△BAG，∴BG＝AE，∵四边形ABCD是正方形∴AD∥BC∴△ADH∽△GBH∴DHBH=ADBG，∵BE：AE＝n，BG＝AE，AD＝AB，∴DHBH=ADAE=ABAE=AE+BEAE，∵BE：AE＝n，∴DHBH=AE+nAEAE=n+1；（3）设BG＝AE＝k，则BE＝nk，∵EH∥AD，∴∠BEH＝∠BAD＝90°，∠EHB＝∠ADB＝45°，∵∠ABD＝45°，∴∠EHB＝∠ABD，∴BE＝EH＝nk，∵EH∥AD，AD∥BC，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABG，∴AEAB=EHBG，∴kk+nk=nkk，∵n＞0，∴n=√5−1 2．34．【解答】（1）证明：∵AD⊥AC，CD⊥BC，PD⊥AB，∴∠DAP＝∠DEA＝∠BCQ＝90°，∵∠P AE+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠P AE＝∠ADE，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠ADE＝∠QBC，∴△AED∽△QCB；（2）解：过点C作CH⊥AB于H，∵tan∠CAB=CHAH=12，∴设CH＝a，则AH＝2a，∴AC=√AH2+CH2=√5a＝2√5，∴a＝2，∴CH＝2，AH＝4，∵CA＝CB，CH⊥AB，∴AH＝BH＝4，∠CAB＝∠CBA，∴AB＝8，∵AB平分∠CBD，∴∠CBA＝∠DBA，∴∠CAB＝∠DBA，∴AC∥BD，∵AD⊥AC，∴AD⊥BD，∴tan∠ABD=ADBD=tan∠CAB=12，∴AB=√5AD＝8，∴AD=8√55，BD＝2AD=16√55，∵△AQC∽△BQD，∴AQBQ=ACBD=√516√55=58，∴BQAB=813，∴BQ=813AB=6413；（3）解：①作QG⊥AD于G，∵点P是AC的中点，∴AP=12AC=√5，∵∠CAB＝∠CBA＝∠ADP，tan∠CAB=1 2，∴AD＝2AP＝2√5，∴AC＝AD，∠ACD＝∠ADC＝45°，设AG＝x，则QG＝2x，DG＝QG＝2x，∴x+2x＝2√5，解得：x=2√5 3，∴AQ=√5x=10 3，在Rt△APE中，AP=√5，PE＝1，AE＝2，∴EQ＝AQ﹣AE=103−2=43，∴tan∠BQM=PEEQ=143=34；②作CH⊥AB于H，则CH ∥PD ，∴△CHQ ∽△DEQ ，∴CQ DQ =CH DE =QH EQ ，由（2）知，CH ＝2，AH ＝4，若PM ∥BC ，∴BM DM =CQ DQ ，∵CH ∥PD ，∴QH EQ =CH DE =CQ DQ ，∠PQA ＝∠CBA ＝∠CAB ，设PE ＝x ，∵tan ∠CAB =12，∴AE ＝QE ＝2x ，DE ＝4x ，∴QH ＝4﹣4x ，又∵QH EQ =CH DE ， ∴24x =4−4x 2x ， ∴x =34，∴BM DM =CQ DQ =CH DE =12x =23； 若PM ∥AD ，如图，∴BMMD=BQAQ，PCAP=CQDQ，∵CH∥PD，∴△CHQ∽△EDQ，∴CHDE=CQDQ=HQEQ，∴PCAP=CHDE，∵∠CAB＝∠ADE，∴tan∠CAB=tan∠ADE=1 2，∵CH＝2，AH＝4，设PE＝x，则AE＝2x，DE＝4x，由勾股定理得：AP=√5x，∴PC＝2√5−√5x=√5（2﹣x），∵PCAP=CHDE，∴√5(2−x)√5x=24x，∴x=3 2，∵PM∥AD，AD⊥AC，∴PM⊥AC，∴∠EPQ＝∠CAB，∴EQ=12PE=34，∴AQ＝AE+EQ＝3+34=154，BQ＝8−154=174，∴BMMD=BQAQ=1715，综上所述，若PM∥BC，BMDM =23，若PM∥AD，BMDM =17 15．35．【解答】解：（1）∵一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差，∴直角的勾股差为两直角边的平方和与斜边的平方的差．∴等腰三角形的底角的勾股差为腰的平方+底边的平方+另一腰的平方．∵等腰三角形的两个腰相等，∴等腰三角形的底角的勾股差为底边的平方＝22＝4．故答案为：两直角边的平方和与斜边的平方的差；4；（2）①∵CD是△ABC的中线，AB＝2c，∴AD＝BD＝c．依据勾股差的定义可得：m＝c2+d2﹣b2，n＝c2+d2﹣a2；②过点C作CM⊥AB于点M，如图，在Rt△ACM中，由勾股定理得：b2＝CM2+AM2，同理可得：a2＝CM2+BM2，CM2＝d2﹣MD2．∴a2+b2＝2CM2+AM2+BM2．∵AD＝BD＝c，∴AM＝AD﹣MD＝c﹣MD，BM＝BD+MD＝c+MD．∴a2+b2＝2（d2﹣MD2）+（c﹣MD）2+（c+MD）2＝2d2﹣2MD2+c2﹣2cMD+MD2+c2+2cMD+MD2＝2d2+2c2．由（1）知：m＝c2+d2﹣b2，n＝c2+d2﹣a2，∴m+n＝c2+d2﹣b2+c2+d2﹣a2＝2c2+2d2﹣（a2+b2）＝0．∴m与n互为相反数．（3）∵DF AB =34， ∴设DF ＝3m ，AB ＝4m ．∵F 是BC 的中点，CD ⊥BD ，∴DF =12BC ．∴BC ＝2DF ＝6m ．∵点E 与F 分别是AB 与BC 的中点，∴CF ＝DF ＝BF ＝3m ，BE ＝AE ＝2m ．∵点E 与F 分别是AB 与BC 的中点，∴利用（2）中的结论可得：BF 2+DF 2﹣BD 2+CF 2+DF 2﹣CD 2＝0，BE 2+DE 2﹣BD 2+AE 2+DE 2﹣AD 2＝0．∴4DF 2＝BD 2+CD 2，2AE 2+2DE 2＝BD 2+AD 2．∵CD ＝AD ，∴BD 2+CD 2＝BD 2+AD 2．∴4DF 2＝2AE 2+2DE 2．∴2×（3m ）2＝（2m ）2+DE 2．解得：DE =√14m ．∴DE DF =√14m 3m √143． 36．【解答】解：（1）不存在矩形丙，使得C 丙C 乙=S 丙S 乙=12成立．理由： 假定存在矩形丙，∵C 丙C 乙=S 丙S 乙=12， ∴矩形丙的两个邻边之和为7，它的面积为24．设两条邻边长分别为x 和7﹣x ，由题意得：x （7﹣x ）＝24．∴x 2﹣7x +24＝0．∵Δ＝（﹣7）2﹣4×1×24＝﹣47＜0，∴此方程没有实数根，∴不存在矩形丙，使得C 丙C 乙=S 丙S 乙=12成立． （2）∵矩形A 两条邻边长分别为m 和1，∴若存在矩形B ，使得C BC A =S B S A =12成立，则矩形B 的邻边之和为m+12． 设矩形B 的一边为x ，则另一边为m+12−x ，由题意得： x （m+12−x ）=m×12． 化简得：2x 2﹣（m +1）x +m ＝0．由题意方程2x 2﹣（m +1）x +m ＝0一定有实数根．∴Δ＝[﹣（m +1）]2﹣4×2m ≥0．解得：m ≥3+2√2或m ≤3﹣2√2．∵m 为矩形A 的边长，∴m ＞0．∴m 的取值范围为：0＜m ≤3﹣2√2或m ≥3+2√2．（3）由（2）可知：对于任意一个矩形A ，不一定存在矩形B ，使得C BC A =S B S A =12成立． 当矩形A 两条邻边长a ，b 满足0＜b a ≤3﹣2√2或b a≥3+2√2时，一定存在矩形B ． 37．【解答】解：（1）如图1，∵AD ＝3，DE ＝2AE ，∴AE ＝1，DE ＝2，取AB 的中点G ，连接GF ，并延长交CD 于H ，∵F 是BE 的中点，∴FG =12AE =12，FG ∥AD ，在矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，∴四边形AGHD 是平行四边形，∴▱AGHD 是矩形，。
中考数学四边形专题训练50题(含答案)
中考数学四边形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．若正多边形的一个外角是24°，则这个正多边形( )A ．正十二边形B ．正十五边形C ．正十八边形D ．正二十边形 2．若平行四边形中两个相邻内角的度数比为1:2，则其中较小的内角是（ ） A ．120︒ B ．90︒ C ．60︒ D ．45︒ 3．如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，80E ∠=︒，90G ∠=︒，120D ∠=︒，则B ∠等于（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒ 4．已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（ ）A ．13cmB ．26cmC ．24cmD ．65cm 5．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于G ，若34AE ED =，DF CF =，则AG GF 的值是（ ）A ．59B ．611C ．713D ．1115 6．在平行四边形ABCD 中，∠B =60°，那么下列各式中，不能成立的是（ ） A ．∠D =60° B ．∠A =120° C ．∠C +∠D =180° D ．∠C +∠A =180°7．下列说法中，不正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形8．对角线互相平分且相等的四边形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形9．如图，过O外一点P作O的两条切线PD、PB，切点分别为D、B，作直径∠的度数为（）AB，连接AD、BD，若80P∠=︒，则AA．50°B．60°C．70°D．80°10．如图，在∠ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE∠AB于E，PF∠AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．1B．1.3C．1.2D．1.5∠=︒，11．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若148∠=︒，则B232∠的度数为（）．A．124°B．114°C．104°D．56°12．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线相互垂直B．菱形的对角线相等C．平行四边形是轴对称图形D．等腰梯形的对角线相等13．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且BG=CG，将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：∠△EAG＝45°：∠CE＝3DE；∠AG∠CF；∠S△FGC=725，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为()A．8B．10C．12D．1415．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝3，M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），E、F分别为D M，MN的中点，则EF长度的最大值为() ．A．4B．3C．D．16．下列说法错误的是()A．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半B．矩形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D．对角线相等的菱形是正方形17．如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则∠COF的度数是（）A．86°B．84°C．76°D．74°18．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，ABE DEF，AB=，26DF=，则BE的长是（）DE=，3D．A．12B．15C．19．如图，在一张矩形纸片ABCD中4BC=，点E，F分别在AD，BC上，AB=，8将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：∠四边形CFHE是菱形；∠CE平分∠DCH；∠线段BF的EF=．以上结论中，其中正确结取值范围为34BF≤≤；∠当点H与点A重合时，5论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题=，连接AE交CD于F，那么20．四边形ABCD是正方形，延长BC至E，使CE AC∠的度数为________．AFC21．M为矩形ABCD中AD的中点，P为BC上一点，PE∠MC，PF∠MB，当AB、BC 满足_________时，四边形PEMF为矩形．22．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点．将∠A，∠B，∠C按如图所示的方式向内翻折，EQ ，EF ，DF 为折痕．若A ，B ，C 恰好都落在同一点P 上，AE ＝1，则ED ＝___．23．如图，△ABC 内接于∠O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为∠O 的直径，CD ＝8，OA 交 BC 于点 E ，则 AE 的长度是________．24．如图，在正五边形ABCDE 中，AC 为对角线，以点A 为圆心，AE 为半径画圆弧交AC 于点F ，连结EF ，则∠1的度数为__．25．如图，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E ，F 分别在边AB ，BC 上，三角形∠的边GD 在边AD 上，若图1正方形中MN=1，则CD=____．26．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 上的点，连接AE ，EF ，AF ，若DF BE EF +=，则EAF ∠=______︒．27．如图，已知抛物线24=-+的顶点为D，与y轴交于点C，过点C作x轴的y x x c平行线AC交抛物线于点A，过点A作y轴的平行线AB交射线OD于点B，若OA OB=，则c的值为_____________．28．如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且HG 与EF交于点I，连接HE、FG，若AB=7，BC=6，EF//AD，HG//AB，则HE+FG的最小值是______．29．在□ABCD中，∠A：∠B＝2：3，则∠B＝____，∠C＝_____，∠D＝____．30．如图，菱形ABCD中，∠BCD＝50°，BC的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是_____．'沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形．若∠BAO＝34°，则31．把长方形AB CD∠BAC的大小为_______．32．如图，M 是▭ABCD 的AB 的中点，CM 交BD 于E ，则图中阴影部分的面积与▱ABCD 的面积之比为_____．33．如图，矩形ABCD 中，AD=6，P 为边AD 上一点，且AP=2，在对角线BD 上寻找一点M ，使AM+PM 最小，则AM+PM 的最小值为_____．34．如图，在▱ABCD 中，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，E 在AD 上，BE=12cm ，CE=5cm ．则▱ABCD 的周长为_____，面积为_____．35．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点(),P x y ，我们把点11,Q y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭称为点P 的“逆倒数点”．如图，在矩形OABC 中，点B 的坐标为(48)，，反比例函数()0k y x x =>的图象经过矩形对角线交点M ．点D 是该反比例函数图象上的点，点E 是对角线上的一点，且点E 是点D 的“逆倒数点”，点E 的坐标为______．36．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，过点O 作ON ∠OM ，交CD 于点N .若四边形MOND 的面积是1，则AB 的长为 _____．37．如图，点E 为正方形ABCD 外一点，且ED CD =，连接AE ，交BD 于点F ．若40CDE ∠=，则∠DCF 的度数为_______．38．如图，在矩形ABCD 中，5,3AB BC ==,将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是 _____ .39．如图，点E 、F 分别为正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，满足∠EDF ＝45°．连接DE 、DF 分别交正方形对角线AC 于点H 、G ，再连接EG ，有如下结论：∠AE CF EF +>；∠ED 始终平分∠AEF ；∠∠AEH ∠∠DGH ；∠DE ；∠14DGH DEF S S =△△．在上述结论中，正确的有______．（请填正确的序号）三、解答题40．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，ABC 的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．（利用格点和没有刻度的直尺作图，保留作图痕迹）(1)在方格纸1中画出ADC △，使ADC △与ABC 关于直线AC 对称；(2)在方格纸2中画出以EF 线段为一边的平行四边形（点G ，点H 均在小正方形的顶点上），且平行四边形面积为4；(3)在方格纸3中，连接FM ，在FM 上确定一点P ，使得点P 为FM 中点． 41．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，连接BE 并延长交AD 延长线于点F ，若AB ＝AF ．(1)求证：点D 是AF 的中点；(2)若∠F ＝60︒，CD ＝6，求∠ABF 的面积．42．如图1，在等腰ABO 中，AB AO =，分别延长AO 、BO 至点C 、点D ，使得CO AO =、DO BO =，连接AD 、BC ．()1如图1，求证：AD BC =；()2如图2，分别取边AD 、CO 、BO 的中点E 、F 、H ，猜想EFH 的形状，并说明理由．43．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点，若AB=8，AD=12，则四边形ENFM 的周长是多少？44．如图∠，在矩形OACB 中，点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限，8OA =，6OB =．（1）直接写出点C 的坐标：________；（2）如图∠，点G 在BC 边上，连接AG ，将ACG 沿AG 折叠，点C 恰好与线段AB 上一点C '重合，求线段CG 的长度；（3）如图∠，P 是直线26y x =-上一点，PD PB ⊥交线段AC 于D ．若P 在第一象限，且PB PD =，试求符合条件的所有点P 的坐标．45．直线443y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，菱形ABCD 如图放置在平面直角坐标系中，其中点D 在x 轴负半轴上，直线y ＝x +m 经过点C ，交x 轴于点E ．(1)请直接写出点C ，点D 的坐标，并求出m 的值；(2)点P （0，t ）是线段OB 上的一个动点（点P 不与O 、B 重合），经过点P 且平行于x 轴的直线交AB 于M ，交CE 于N ．当四边形NEDM 是平行四边形时，求点P 的坐标；(3)点P （0，t ）是y 轴正半轴上的一个动点，Q 是平面内任意一点，t 为何值时，以点C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？46．如图，在Rt ∠ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6.动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动．当点P 不与点A 重合时，过点P 作PD ∠AC 于点D ，以AP ，AD 为边作▱APED ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）线段AD的长为（用含t的代数式表示）．（2）当点E落在BC边上时，求t的值．（3）连结BE，当tan∠CBE＝13时，求t的值．（4）若线段PE的中点为Q，当点Q落在∠ABC一边垂直平分线上时，直接写出t的值．47．如图，BC为∠O的直径，BD平分∠ABC交∠O于点D，DA∠AB于点A．(1)求证：AD是∠O的切线；(2)∠O交AB于点E，若AD＝2AE，求sin ABC∠的值．48．如图1，已知在四边形ABCD中，AB//CD，90ABC∠=︒，8BC=，6CD=，1tan2A=．动点P从点D DA方向运动，到A点结束；点Q同时从点A出发，以3个单位的速度沿射线AB运动，点P停止运动后，点Q 也随之停止．以AP，AQ为边作平行四边形AQGP．设运动时间为t．(1)求AB的长；(2)连接GC 、GB ，当CGB △为等腰三角形时，求t 的值；(3)如图2，以PQ 为直径作圆与AD 、PG 分别交于点M 、N ，连接MQ 交PG 于点F ，连接NQ 、DG ，∠当点N 为弧MQ 的中点时，求PMQPNQ S S △△的值；∠当PQM CDG ∠=∠时，求PQ =______（请直接写出答案）．49．思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD∠AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得CD ＝100米，那么A ，B 间的距离是_____米．思维探索：（2）在∠ABC 和∠ADE 中，AC ＝BC ，AE ＝DE ，且AE ＜AC ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，将∠ADE 绕点A 逆时针方向旋转，把点E 在AC 边上时∠ADE 的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点M 是线段BD 的中点，连接MC ，ME ．∠如图2，当∠ADE 在起始位置时，猜想：MC 与ME 的数量关系和位置关系分别是______；∠如图3，当α＝90°时，点D 落在AB 边上，请判断MC 与ME 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；参考答案：1．B【详解】分析：利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．详解：∠多边形的每个外角相等，且其和为360°，∠这个正多边形的边形为3602415o o ÷=，∠这个正多边形是正十五边形.故选B.点睛：考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，用360除以一个外角的度数，结果即为正多边形的边形．2．C【分析】根据平行四边形的性质来解答即可．【详解】解：∠平行四边形，∠两个相邻内角互补，又∠两个相邻内角的度数比为1:2，∠两个相邻的内角为60°、120°，∠较小的内角为60°．故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的相关性质是解题的关键． 3．C【分析】根据相似多边形的对应角相等以及四边形的内角和为360︒解答即可．【详解】解：∠四边形ABCD ∽四边形EFGH∠120H D ∠=∠=︒∠360()70B F E G H ∠=∠=︒-∠+∠+∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查了相似多边形的性质、多边形的内角和；理解相似多边形的对应角相等是解题的关键．4．B【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出三角形的三边，再求解即可．【详解】解：∠三角形的三条中位线分别为3cm、4cm、6cm，∠三角形的三边分别为6cm，8cm，12cm，∠这个三角形的周长＝6＋8＋12＝26cm．故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，解题的关键是熟记三角形中位线的性质定理．5．B【分析】延长AF交BC的延长线于点H，证明∠ADF∠∠HCF，得到CH=AD，设AE=3x，则DE=4x，AD=7x，证得∠AEG∠∠HBG，得到AE AGBH HG==314，即可求出AGGF【详解】解：延长AF交BC的延长线于点H，∠四边形ABCD是正方形，∠∠D=∠DCH=90°，AD∥BC，∠∠DAF=∠H，∠DF CF=，∠∠ADF∠∠HCF(AAS)，∠CH=AD，设AE=3x，则DE=4x，AD=7x，∠CH=AD=BC=7x，∠AD∥BC，∠∠AEG∠∠HBG，∠AE AGBH HG==314，∠AGGF =6 11，故选：B．【点睛】此题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．6．D【详解】解：∠四边形ABCD是平行四边形，∠∠D＝∠B＝60°．故A成立；∠AD△BC，∠∠A＋∠B＝180°，∠∠A＝180°－∠B＝120°，故B成立；∠AD△BC，∠∠C＋∠D＝180°，故C成立；∠四边形ABCD是平行四边形，∠∠C＝∠A＝120°，故D不成立，故选D．7．B【分析】根据各四边形的性质对各个选项进行分析从而得出最后答案．【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；B、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形；C、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形、平行四边形、菱形的判定方法．解决此题的关键是熟练掌握运用这些判定．8．B【分析】根据平行四边形的判定与矩形的判定定理，即可求得答案．【详解】∠对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，∠对角线相等且互相平分的四边形一定是矩形．故选B．【点睛】此题考查了平行四边形，矩形，菱形以及等腰梯形的判定定理．此题比较简单，解题的关键是熟记定理．9．A【分析】如图，连接OD ，可得90ODP OBP ∠=∠=︒，再利用四边形的内角和定理求解BOD ∠，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OD ，∠过O 外一点P 作O 的两条切线PD 、PB ，∠90ODP OBP ∠=∠=︒，∠80P ∠=︒，∠360909080100DOB ∠=︒-︒-︒-︒=︒， ∠1502A DOB ∠=∠=︒， 故选A ．【点睛】本题考查的是切线的性质，四边形的内角和定理的应用，圆周角定理的应用，作出过切点的半径是解本题的关键．10．C【分析】首先证明四边形AEPF 为矩形，可得AM =12AP ，最后利用垂线段最短确定AP 的位置，利用面积相等求出AP 的长，即可得AM .【详解】在△ABC 中，因为AB 2+AC 2=BC 2，所以△ABC 为直角三角形，∠A =90°，又因为PE ∠AB ，PF ∠AC ，故四边形AEPF 为矩形，因为M 为 EF 中点，所以M 也是 AP 中点，即AM =12AP ，故当AP ∠BC 时，AP 有最小值，此时AM 最小， 由1122ABC S AB AC BC AP ∆=⨯⨯=⨯⨯，可得AP =125，AM =12AP =6 1.25= 故本题正确答案为C.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP ∠BC 时AM 最小是解题关键.11．A【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案．【详解】解：由折叠得，45∠=∠，∠四边形ABCD 是平行四边形，∠AB CD ，∠53∠=∠，∠3=4∠∠，又∠13448∠=∠+∠=︒， ∠154348242∠=∠=∠=⨯︒=︒， 在ABC 中，180521802432124B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，由图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键．12．D【分析】根据矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形的性质进行逐一分析解答即可．【详解】A 、错误，矩形的对角线相等；B 、错误，菱形的对角线相互垂直；C 、错误，平行四边形是中心对称图形；D 、正确，等腰梯形的对角线相等．故选D ． 【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉其性质定理．13．C【分析】∠由正方形的性质和翻折的性质可证明Rt△ABG∠Rt△AFG（HL），推出∠BAG=∠F AG，根据∠DAE=∠F AE，可得∠EAG=12∠BAD=45°；∠由题意得EF=DE，GB=CG=GF=6，设DE=EF=x，则CE=12-x，在Rt△ECG中，（12-x）2+36=（x+6）2，求出x，则可得到CE=2DE；∠由CG=BG，BG=GF，可得CG=GF，则∠GFC=∠GCF，因为∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，可推出∠AGB=∠GCF，则AG∠CF；∠由S△GCE=12×GC×CE，又因为△GFC和△FCE等高，可得S△GFC：S△FEC=3：2，S△GFC=3 5×24=725．【详解】解：∠∠正方形ABCD，∠AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，由折叠的性质可得，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∠∠AFG=90°=∠B，AB=AF，又∠AG＝AG，∠Rt△ABG∠Rt△AFG（HL），∠∠BAG=∠F AG，∠∠DAE=∠F AE，∠∠EAG=12∠BAD=45°，故∠正确；∠由题意得EF=DE，GB=CG=GF=6，设DE=EF=x，则CE=12-x，在Rt∠ECG中，（12-x）2+62=（x+6）2，∠x=4，∠DE=4，CE=8，∠CE=2DE，故∠错误；∠∠CG=BG，BG=GF，∠CG=GF，∠∠GFC=∠GCF，∠Rt∠ABG∠Rt∠AFG，∠∠AGB=∠AGF，∠∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，∠∠AGB=∠GCF，∠AG∠CF，故∠正确；∠∠S△GCE=12×GC×CE=12×6×8=24，又∠GF=6，EF=4，∠GFC和∠FCE等高，∠S△GFC：S△FEC=3：2，∠S△GFC=35×24=725，故∠正确；综上，正确的是∠∠∠，共3个．故选：C．【点睛】本题考查翻折变换的性质、正方形的性质，本题综合性很强，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算方法是解题的关键．14．B【详解】试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∠BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.故选B.点睛：此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段，根据等量代换可求解.15．B【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN＝DB＝6，从而求得EF的最大值为3．【详解】解：∠ED＝EM，MF＝FN，∠EF＝12DN，∠DN最大时，EF最大，∠N与B重合时DN最大，此时DN＝DB=6，∠EF的最大值为3．故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．16．C【分析】根据有关的定理和定义找到错误的命题即可得到答案；【详解】A、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故正确，不符合题意；B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；C、对角线平分且相等的平行四边形是矩形，错误，符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意；故选C．【点睛】考查了命题与定理的知识，在判断一个命题正误的时候可以举出反例．17．B【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解决问题．【详解】解：由题意：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，∠∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∠∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，故选：B．【点睛】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．18．C【分析】利用相似三角形的性质求出AE的长，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∠ABE DEF，∠AB AE DE DF，∠623AE =，∠9AE=，∠矩形ABCD中，90A∠=︒，∠BE故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理，解题关键是求出AE的长后利用勾股定理求解．19．B【分析】先根据翻折的性质可得CF＝FH，∠HFE=∠CFE，可证∠FEH是等腰三角形，可得HE=HF=FC，判断出四边形CFHE是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出∠正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时CE平分∠DCH，判断出∠错误；过点F作FM∠AD于M，点H与点A 重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=FM=MD＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出∠正确；求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出∠正确．【详解】解：∠将纸片ABCD沿直线EF折叠，∠FC=FH，∠HFE=∠CFE，∠AD△BC，∠∠HEF=∠EFC=∠HFE，HE△FC，∠∠HFE为等腰三角形，∠HE=HF=FC，∠EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∠EH△CF，且HE=FC，∠四边形CFHE是平行四边形，∠FC=FH，∠四边形CFHE是菱形，故∠正确；∠HC为菱形的对角线，∠∠BCH＝∠ECH，∠BCD=90°，∠只有∠DCE＝30°时CE平分∠DCH，故∠错误；过点F作FM∠AD于M，点H与点A重合时，BF最小，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，在Rt∠ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，点G与点D重合时，点H与点M重合，BF最大，CF=FM=DM＝CD＝4，∠BF＝4，∠线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故∠正确；当点H与点A重合时，由∠中BF=3，∠AF=AE=CF=EC=8-3=5，则ME＝5﹣3＝2，由勾股定理得，EF=∠错误；综上所述，结论正确的有∠∠共2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查矩形折叠性质，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握矩形折叠性质，菱形的判定与性质，勾股定理是解题关键．20．112.5【分析】根据正方形的性质有∠ACD=∠ACB=45°=∠CAE+∠AEC，根据CE=AC就可以求出∠CAE=22.5°，在△AFC中由三角形的内角和就可以得出∠AFC的度数．【详解】解：∠四边形ABCD是正方形，∠∠ACD=∠ACB=45°．∠∠ACB═∠CAE+∠AEC，∠∠CAE+∠AEC=45°．∠CE=AC，∠∠CAE=∠AEC，∠∠CAE=22.5°．∠∠CAE+∠ACD+∠AFC=180°，∠∠AFC=180°-22.5°-45°=112.5°．故答案为112.5°．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用及三角形内角和定理的运用．21．12AB BC =##2BC AB =【详解】∠在矩形ABCD 中，M 为AD 边的中点，AB=12BC ，∠AB =DC =AM =MD ，∠A =∠D =90°，∠∠ABM =∠MCD =45°，∠∠BMC =90°，又∠PE ∠MC ，PF ∠MB ，∠∠PFM =△PEM =90°，∠四边形PEMF 是矩形．故答案为：AB =12BC ．22．3【分析】连接,EP DP ，根据折叠的性质得出三角形全等，根据三角形全等的性质得出对应边相等，由ED EP PD =+，利用等量代换分别求出,EP PD ．【详解】解：连接,EP DP 如下图所示：根据A ，B ，C 恰好都落在同一点P 上及折叠的性质，有,,AQE PQE EBF EPF FPD FCD ≌≌≌，1,1,AE PE EB EP CD PD ∴=====，2AB AE EB =+=，根据正方形的性质得：2AB DC ==，2PD ∴=，ED EP PD =+，123ED ∴=+=，故答案是：3．【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形全等的性质，解题的关键是添加辅助线，通过等量代换的思想进行解答．23．4【分析】证明△OAB 是等边三角形，OA ∠BC 即可推出OE ＝AE ，再利用三角形中位线定理即可解决问题．【详解】解：∠AB ＝AC ，∠AB AC =，∠OA ∠BC ，BE ＝EC ，AB ＝AC∠∠ABC 是等腰三角形∠∠BAE ＝∠CAE ＝12∠BAC ＝60°，∠OA ＝OB ，∠∠OAB 是等边三角形，∠BE ∠OA ，∠OE ＝AE ，∠OB ＝OD ，BE ＝EC ，∠ OE是△BCD的中位线∠OE＝AE＝12CD＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．54°【分析】根据五边形的内角和公式求出∠ABC，根据等腰三角形的性质，三角形内角和的定理计算∠BAC，再求∠EAF，利用圆的性质得AE=AF，最后求出∠1即可．【详解】解：∠五边形ABCDE是正五边形，∠∠EAB＝∠ABC＝()5-21805⨯︒＝108°，∠BA＝BC，∠∠BAC＝∠BCA＝180-1082︒︒＝36°，∠∠EAF＝108°﹣36°＝72°，∠以点A为圆心，AE为半径画圆弧交AC于点F，∠AE＝AF，∠∠1＝180-722︒︒＝54°．故答案为：54°．【点睛】本题考查了正多边形的内角与圆，熟练掌握正多边形的内角的计算公式、和圆的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．25122【分析】根据七巧板中图形分别是等腰直角三角形和正方形计算PH的长，即FF'的长，作高线GG'，根据直角三角形斜边中线的性质可得GG'的长，即AE的长，可得结论．【详解】解：如图：∠四边形MNQK是正方形，且MN＝1，∠∠MNK＝45°，在Rt△MNO中，OM＝ON∠NL＝PL＝OL∠PN＝12，∠PQ＝12，∠∠PQH是等腰直角三角形，∠PH＝FF'BE，过G作GG'∠EF'，∠GG'＝AE＝12MN＝12，∠CD＝AB＝AE＋BE＝12122．故答案为122．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、七巧板、等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识．熟悉七巧板是由七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边．26．45【分析】延长CB到G，使BG=DF，根据正方形的性质得到AD=AB，∠D=∠ABE=90°，求得∠ABG=∠D=90°，根据全等三角形的性质得到AG=AF，∠GAB=∠DAF，求得GE=EF，推出∠AGE∠∠AFE（SSS），根据全等三角形的性质得到∠GAE=∠EAF，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：延长CB到G，使BG=DF，∠四边形ABCD是正方形，∠AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∠∠ABG =∠D =90°，在∠ADF 与∠ABG 中，AB AD ABG D BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADF ∠∠ABG （SAS ），∠AG =AF ，∠GAB =∠DAF ，∠DF +BE =EF ，EG =BG +BE =DF +BE ，∠GE =EF ，在∠AGE 与∠AFE 中，AG AF AE AE GE EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠∠AGE ∠∠AFE （SSS ），∠∠GAE =∠EAF ，∠∠GAE =∠GAB +∠BAE =∠DAF +∠BAE =∠EAF ，∠∠BAD =90°，∠∠EAF =45°，故答案为：45．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．27．83【分析】根据抛物线的解析式求得4DH c =-，BF AF OC c ===，然后根据三角形中位线定理得到142c c -=，解得即可． 【详解】解：作抛物线的对称轴，交OA 于E ，交x 轴于H ，∠224()42y x x c x c =-+=-+-，∠顶点为(2)4c -，，∠4DH c =-，∠AC x ∥轴，∠AF OC c AB x ==⊥，轴，∠OA OB =，∠AF BF c ==，∠OH FH =， ∠12DH BF =， ∠142c c -= ∠83c =， 故答案为：83． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合运用，熟练掌握三角形的中位线定理是解决本题的关键．28【分析】由EF ∠AD ，HG ∠AB ，结合矩形的性质可得四边形AHIE 和四边形IFCG 为矩形，然后根据矩形的性质可的HE +FG 的长度即为AI +CI 的长度，最后利用两点之间，线段最短，求出AC 的长即可．【详解】解：如图所示，连接AI ，CI ，AC ，在矩形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =∠B =90°，AB ∠CD ，AD ∠BC ，又∠EF ∠AD ，HG ∠AB ，∠四边形AHIE和四边形IFCG为矩形，∠HE=AI，FG=CI，∠HE+FG的长度即为AI+CI的长度，又∠AI+CI≥AC，∠当A，I，C三点共线时，AI+CI最小值等于AC的长度，在Rt∠ABC中，AC∠HE+FG【点睛】本题考查矩形的判定和性质以及两点之间，线段最短的运用，正确判定四边形AHIE和四边形IFCG为矩形，运用矩形的对角线相等是解题的关键．29．108º，72º，108º【详解】解：∠平行四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，又∠∠A：∠B=2：3，∠∠A=72°，∠B=108°，∠∠D=∠B=108°，∠C=∠A=72°．故答案为108º，72º，108º．30．130°【分析】首先求出∠CFB＝130°，再根据对称性可知∠CFD＝∠CFB即可解决问题.【详解】∠四边形ABCD是菱形，∠BCD＝25°，∠∠ACD＝∠ACB＝12∠EF垂直平分线段BC，∠FB＝FC，∠∠FBC＝∠FCB＝25°，∠∠CFB＝180°﹣25°﹣25°＝130°，根据对称性可知：∠CFD＝∠CFB＝130°，故答案为130°．【点睛】本题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．31．62°【分析】先利用AAS 证明∠AOB∠∠COD ，得出∠BAO=∠DCO=34°，∠B′CO=68°，结合折叠的性质得出∠B′CA=∠BCA=34°，则∠BAC=∠B′AC=56°．【详解】由题意，得∠B′CA∠∠BCA ，∠AB′=AB ，∠B′CA=∠BCA ，∠B′AC=∠BAC ．∠长方形AB′CD 中，AB′=CD ，∠AB=CD ．在∠AOB 与∠COD 中，90B D AOB COD AB CD ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝ ， ∠∠AOB∠∠COD （AAS ），∠∠BAO=∠DCO=34°，∠∠B′CO=90°-∠DCO=56°，∠∠B′CA=∠BCA=28°，∠∠B′AC=90°-∠B′CA=62°，∠∠BAC=∠B′AC=62°．【点睛】考查了折叠的性质、矩形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是证明∠AOB∠∠COD ，得出∠BAO=∠DCO=34°是解题的关键．32．1：3【详解】试题解析：设平行四边形的面积为1，∠四边形ABCD 是平行四边形， ∠12DAB ABCD S S =，又∠M 是ABCD 的AB 的中点， 则1124DAM DAB ABCD S S S ==，1,2BE MB DE CD == ∠EMB △上的高线与DAB 上的高线比为1.3BE BD ==∠1113212 EMB DABS S=⨯=，∠143 DEC MEBS S，==S阴影面积1111141233 =---=，则阴影部分的面积与▱ABCD的面积比为13．故填空答案：13．33．【详解】分析：作DH平分∠BDC交BC于H．连接AH交BD于M．首先证明P、H关于BD对称,连接AH交BD于M,则AM+PM的值最小,最小值=AH.详解：作DH平分∠BDC交BC于H．连接AH交BD于M．∠四边形ABCD是矩形，∠∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠tan∠ADB=ABAD∠∠ADB=30°，∠∠BDC=60°，∠∠CDH=30°，∠CD∠CH2，△DH=2CH=4，∠DP=DH，∠∠MDP=∠MDH，∠P、H关于BD对称，连接AH交BD于M，则AM+PM的值最小，最小值=AH=点睛：本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，含30º角的直角三角形的性质，轴对称的性质，作DH平分∠BDC交BC于H．连接AH交BD于M．说明P和H关于BD成轴对称是解答本题的关键.34．39cm60cm2【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE．根据直角三角形的勾股定理得到BC=13cm，根据等腰三角形的性质得到AB=CD=12AD=12CD=6.5cm，从而求得该平行四边形的周长；根据直角三角形的面积可以求得平行四边形BC边上的高．【详解】∠BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，∠∠1=∠3=12∠ABC，∠DCE=∠BCE=12∠BCD，在▱ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∠BC，AB∠CD，∠AD∠BC，AB∠CD，∠∠2=∠3，∠BCE=∠CED，∠ABC+∠BCD=180°，∠∠1=∠2，∠DCE=∠CED，∠3+∠BCE=90°，∠AB=AE，CD=DE，∠BEC=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BC=13cm，∠平行四边形的周长等于：AB+BC+CD+AD=6.5+13+6.5+13=39cm；作EF∠BC于F，根据直角三角形的面积公式得：EF=·6013BE CEBC=cm，∠平行四边形ABCD的面积=BC·EF=601313⨯=60cm2，故答案为39cm，60cm2．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．。
中考数学复习专题四边形的性质和判定
中考数学复习专题四边形的性质和判定第一局部知识梳理1.平行四边形①定义：两组对边区分平行的四边形是平行四边形．②性质：平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的邻角互补，对角相等；平行四边形的对角线相互平分；平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；③判定方法定义：两组对边区分平行的四边形是平行四边形；判定方法1：两组对边区分相等的四边形是平行四边形；判定方法2：两组对角区分相等的四边形是平行四边形；判定方法3：对角线相互平分的四边形是平行四边形；判定方法4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．2.菱形①定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．②性质：具有平行四边形的一切特征；菱形的四条边都相等；菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半；菱形是轴对称图形．③判定方法定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；判定方法1：四条边都相等的四边形是菱形；判定方法2：对角线相互垂直的平行四边形是菱形．3.矩形①定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形．②性质：具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
③判定方法定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；判定方法1：有三个角是直角的四边形是矩形；判定方法2：对角线相等的平行四边形是矩形．第二局部精讲点拨考点1.平行四边形的性质【例1】如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC.，CE BD于E ，那么．变式1 □ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，假设∠A=115°，那么∠BCE= .变式2 在平行四边形ABCD中，点A1.A2.A3.A4和C1.C2.C3.C4区分AB和CD的五等分点,点B1.B2和D1.D2区分是BC和DA的三等分点,四边形A4 B2 C4 D2的面积为1,那么平行四边形ABCD面积为〔〕A.2B.C.D.15变式3 如图，□ABCD中，AD＝8㎝， AB＝6㎝，DE平分∠ADC交BC边于点E，那么BE等于〔〕A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm变式4如图，平分，，，那么．变式5 如图，：平行四边形ABCD中，的平分线交边于，的平分线交于，交于．求证：．考点小结：2.平行四边形的判定【例2】如图，平行四边形ABCD 中，M .N 区分为AD .BC 的中点，连结AN .DN .BM ，且AN .BM 交于点P ，CM .DN 交于点Q .四边形MGNP 是平行四边形吗？为什么？变式 1 如图，在ABCD 的各边AB .BC .CD .DA 上，区分取点K .L .M .N ，使AK =CM .BL =DN ，那么四边形KLMN 为平行四边形吗？说明理由.变式2 如图，□ABCD 中，E .F 区分在BA .DC 的延伸线上，且AE =21AB ，CF =21CD ，试证明AECF 为平行四边形. 变式3 在平行四边形ABCD 中,∠ABC 的平分线交CD 于点E,∠ADC 的平分线交AB 于点F.试证：四边形DFBE 为平行四边形.变式4 如图，在□ABCD 中，点E .F 是对角线AC 上两点，且AE =CF ．求证：∠EBF =∠FDE ．考点3.平行四边形综分解绩【例3】如图，△ABC 是等边三角形，D.E 区分在边BC.AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延伸至点F ，使EF=AE ，连结AF.BE 和CF 。
中考数学第一轮复习四边形专项练习
中考数学第一轮复习四边形专项练习一、单选题1．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC⊥AB，AC＝6，BD＝8，则AB的长为（）A．10B．2√7C．5D．√72．如图，在直角坐标系xOy中，菱形ABCD的周长为16，点M是边AB的中点，⊥BCD=60°，则点M的坐标为（）A．（- √3，-2）B．（- √3，-1）C．（-1，- √3）D．（- √3，2）3．如图网格中每个小正方形的边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（）A．√5B．√6C．√7D．√84．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若⊥CEF的周长为18，则OF的长为（）A．3.2B．3.5C．3.6D．3.75．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4.8B．5C．6D．7.26．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．97．如图1，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，P，Q两点同时从点O 出发，以厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．P，Q的运动路线：点P为O−A−D−O，点Q为O−C−B−O．设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形ABCD的面积为（）图1 图2A．2√3cm2B．2cm2C．√3cm2D．√2cm28．如图，▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则图中有（）个平行四边形．A．7个B．8个C．9个D．10个9．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形10．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E为CD中点，P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当四边形APQE周长最小时，BP的长为（）A．2B．3C．4D．511．如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）．A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长不能确定12．已知等边ΔABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，以CD为边向上作等边ΔCDE，连接BE和AE，下列结论：①AE=BD；②AE与AB的所夹锐角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BED−∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2，正确的结论序号有()A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④二、填空题13．若一个正多边形的外角与其相邻的内角之比为1：5，则该正多边形的内角和的度数为．14．一个n边形的内角和是1080°，那么n=．15．如图，在⊥ABC中，AB＝AC，延长CB至点E，点D在AC边上，以CE，CD为边作▱DCEF.若⊥F＝70°，则⊥A的度数为度.16．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=5 √5cm，且tan⊥EFC= 34，那么矩形ABCD的周长为cm．17．用正多边形镶嵌，设在一个顶点周围有m个正方形，n个正八边形，则m+n＝．18．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点A落到EF上的点G处，并使折痕经过点B，交EF于点H，交AD于点M.已知AB=2，则线段HG的长度为.三、综合题19．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E是CD上一点，连接EO并延长交AB于点F，连接AE、CF.（1）求证：ΔCOE≅ΔAOF；（2）当∠DEA=2∠CAB时，试判断四边形AECF的形状，并说明理由.20．如图1，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一个动点，F、G分别为AE、BC的中点，FG与ED相交于点H.（1）求证：HE＝HG；（2）如图2，当BE＝AB时，过点A作AP⊥DE于点P，连接BP，求PQ与PB的数量关系，并说明理由.21．如图，以BC为底的等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，过点A作AD//BC交BO的反向延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若四边形ADBC是平行四边形，且BC=12，求⊙O的半径．22．已知四边形ABCD是菱形，在平面直角坐标系中的位置如图，边AD经过原点O，已知A（0，﹣3），B（4，0），反比例函数图象经过点C，直线AC交双曲线另一支于点E，连接DE，CD，设反比例函数解析式为y1= k x，直线AC解析式为y2=ax+b．（1）求反比例函数解析式；（2）当y1＜y2时，求x的取值范围；（3）求⊥CDE的面积．23．已知：如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC的延长线上一点，过点A作AF平行BE，交线段ED的延长线于点F，连接AE､CF .（1）求证：AF=CE；（2）若AF=CF=4，∠AFD=30°，求EF的长.24．在Rt△ABC中，∠ACB=90°点D是边AB上的一个动点，连接CD.作AE∥DC，CE∥AB，连接ED.（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC=ED；（2）如图2，当D是AB的中点时，①四边形ADCE的形状是；请说明理由.②若AB=5，ED=4，则四边形ADCE的面积为.答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】C13．【答案】1800°14．【答案】815．【答案】4016．【答案】3617．【答案】318．【答案】2√3319．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AB//CD，∠D=90°∴∠OCE=∠OAF,∠OEC=∠OFA ∵点O是对角线AC的中点∴OC=OA在△COE和△AOF中，{∠OCE=∠OAF ∠OEC=∠OFA OC=OA∴△COE≅△AOF(AAS)；（2）解：四边形AECF是菱形，理由如下：由（1）已证：△COE≅△AOF∴OE=OF,CE=AF又∵AB//CD，即CE//AF∴四边形AECF是平行四边形∵AB//CD∴∠DEA=∠BAE=∠CAB+∠CAE∵∠DEA=2∠CAB∴∠CAE=∠CAB，即OA是∠EAF的角平分线∴OA⊥EF（等腰三角形的三线合一）∴平行四边形AECF是菱形∵点E是CD上一点，∠D=90°∴∠DEA≠90°，即∠CEA≠90°∴菱形AECF不是正方形综上，四边形AECF是菱形.20．【答案】（1）证明：连接AG，并延长AG交DC的延长线于M，连接EM，∵G为BC的中点，∴BG＝CG，∵四边形ABCD是矩形，∴⊥ABG＝⊥DCB＝90°，∴⊥ABG＝⊥MCG＝90°，在⊥ABG和⊥MCG中，{∠ABG=∠MCGBG=CG∠AGB=∠MGC，∴⊥ABG⊥⊥MCG（ASA），∴GA＝GM，∵F为AE的中点，∴FA＝FE，∴FG是⊥AEM的中位线，∴FG⊥EM，∴⊥HGE＝⊥MEC，在⊥DCE和⊥MCE中，{CD=CM∠DCE=∠MCECE=CE，∴⊥DEC⊥⊥MEC（SAS），∴⊥DEC＝⊥MEC，∵⊥HGE＝⊥MEC，∴⊥HEG＝⊥HGE，∴HE＝HG（2）答：PQ =√2PB理由：过点B作BQ⊥BP交DE于Q，则⊥QBP＝90°，∵AP⊥DE，四边形ABCD是矩形，∴⊥APE＝⊥ABE＝90°，∵⊥APO＋⊥AOP＋⊥BAP＝180°，⊥EOB＋⊥ABE＋⊥BEP＝180°，⊥AOP＝⊥EOB，∴⊥BEQ＝⊥BAP，∵⊥QBP＝⊥ABE＝90°，∴⊥EBQ＝⊥ABP＝90°﹣⊥ABQ，在⊥ABP和⊥EBQ中，{∠BAP=∠BEQAB=EB∠ABP=∠EBQ，∴⊥BEQ⊥⊥BAP（ASA），∴BQ＝BP，PA＝QE，∴⊥PBQ是等腰直角三角形，∴PQ =√2PB.21．【答案】（1）证明：如图，连接OA，∵ΔABC是以BC为底的等腰三角形；∴AB=AC，∴BC⊥OA，∵AD//BC，∴AD⊥OA，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线（2）解：如图，设OA与BC交于E，∵四边形ADBC是平行四边形，∴AC//OD，∴∠C=∠CBO，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠ABC=∠CBO，∵OA⊥BC，∴BA=BO，∵AO=BO，∴ΔABO是等边三角形，∵BC=12，∴BE=12BC=6，，∴OB=BEsin60°=4√3∴⊙O的半径为4√322．【答案】（1）解：∵A（0，﹣3），B（4，0），∴AB= √32+42 =5=BC ，∴C （4，5），∵反比例函数y 1= k x图象经过点C ， ∴k=4×5=20，∴反比例函数解析式为y 1= 20x（2）解：把A （0，﹣3），C （4，5）代入y 2=ax+b 得， {b =−34a +b =5 ，解得 {a =2b =−3直线AC 解析式为y 2=2x ﹣3，解 {y =2x −3y =20x 得 {x 1=4y 1=5 ， {x 2=−52y 2=−8， ∴E （﹣ 52，﹣8） 当y 1＜y 2时，x ＞4或﹣ 52＜x ＜0 （3）解：S ⊥CDE =S ⊥ADE +S ⊥ADC = 12 ×× 5×52+ 12 ×5×4= 654 23．【答案】（1）证明： ∵D 点为 AC 的中点， ∴AD =CD ，∵AF//BE ，∴∠FAD =∠ECD ，在 △ADF 和 △CDE 中，{∠FAD =∠ECD ∠ADF =∠CDE AD =CD，∴△ADF ≌△CDE(AAS) ，∴AF =CE（2）解： ∵AF//BE ，AF =CE ， ∴四边形 AFCE 为平行四边形， ∵AF =CF =4 ，∴四边形 AFCE 为菱形，∴AD ⊥EF ，EF =2FD ，∵∠AFD=30°，∴AD=12AF=2，∴FD=√AF2−AD2=√42−22=2√3，∴EF=2FD=4√3 24．【答案】（1）证明：∵AE//DC，CE//AB，∴四边形AECD是平行四边形，又∵CD⊥AB，⊥⊥ADC=90°，⊥四边形AECD是矩形，⊥AC=ED；（2）菱形；6。
2023年中考数学专题复习——专项训练(五)四边形
2023年中考数学专题复习——专项训练（五）四边形一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 从七边形的一个顶点作对角线，把这个七边形分成三角形的个数是（）A. 7B. 6C. 5D. 42. “花影遮墙，峰峦叠窗.”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案.若∠1=∠2=75º，∠3=∠4=65º，则∠5的度数是（）A. 80ºB. 75ºC. 65ºD. 60º①②第2题图第3题图第4题图第5题图3. 如图，已知四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形.若∠BAG=20°，则∠DGF的度数是（）A．70°B．60°C．80°D．45°4. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（）A. 当AB=BC时，四边形ABCD是矩形B. 当AC=BD时，四边形ABCD是菱形C. 当∠ABC=90º时，四边形ABCD是矩形D. 当AC=BD时，四边形ABCD是正方形5. 如图，四边形ABCD为菱形，若CE为边AB的垂直平分线，则∠ADB的度数为（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°6. 用图①所示两种图形可以无缝隙拼接成图②所示的正方形ABCD.已知图①所示图形，∠F=45°，∠H=15°，MN=2，则图②中正方形的对角线AC的长为（）A. B. C.1 D.2①②第6题图第8题图第9题图第10题图7. 已知E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O.根据下列条件，不能证明四边形EFGH是矩形的是（）A. AC⊥BDB. AB=BC，OB=ODC. AB=BC，OA=OCD. AB=BC，CD=AD8. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60º，CE∥BD，则△BDE的面积为（）A. 1B. 2C. 3D.9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为（0，2），∠ABO=30º，E为CD的中点，则点E的坐标为（）21 B.)2 C. D.2A. )10. 如图，菱形ABCD的边长为12，∠ABC=60°，直线EF⊥AC，垂足为H，分别与AD，AB及CB的延长线交于点E，M，F.若AE∶BF=1∶2，则CH的长为（）A. 12B. 10C. 8D. 6二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 六边形的内角和比它的外角和多__________度．12. 如图，在△ABC中，∠ACB=120º，分别以AC，BC为边，向△ABC外作正方形ACDE和正五边形BCFGH，则∠DCF的度数是.第12题图第13题图第14题图13. 如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上.若A（2，0），D（4，0），以点O为圆心，OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是.14. 如图，小明同学将边长为6的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A'B'C'.当两个三角形重叠部分为菱形时，A'D的长为.15. 把一张宽为2 cm的矩形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为4 cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD为cm.第15题图第16题图16. 如图13，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，N是EC的中点，M是AB的中点.已知S△ABD=6，BC=4，则MN的长为.三、解答题（本大题共4小题，共46分）17. （10分）如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接AF，DE，DF.求证：四边形AEFD是矩形.第17题图第18题图第19题图第20题图18. （10分）如图，在□ABCD中，AB＜BC.（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）（2）若BC=8，CD=5，求CE的长.19. （12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C 作CE⊥AB，交AB的延长线于点E.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=6，BD=8，求CE的长.20.（14分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G.（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N.若正方形ABCD的边长为10，P是MN上一点，求△PDC周长的最小值.参考答案专项训练（五）答案详解9. A 解析：先分别求出点C，D的坐标，再利用中点坐标求解.10. B 解析：因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC，AB=BC=12，∠MAH=∠EAH.因为EF⊥AC，所以∠AHM=∠AHE=∠CHE= 90°.因为AH＝AH，所以△AHM≌△AHE.所以AM=AE.因为AD∥BC，所以△AME∽△BMF.所以AM AEBM BF==12.所以AM=AE=4，BM=8.所以BF=8.所以CF=20.因为∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形.所以∠ACB=60°.所以CH=CF•cos 60°=10.16.52【解析】连接AC交BD于点O，连接ON，OM，取BE的中点M′，连接MM′，如图所示.易得四边形OMM′N 是矩形，则∠MON=90º.因为S□ABCD=2S△ABD=12，BC=4，所以BC•AE=12.所以AE=3.利用三角形中位线定理，得OM=2，ON=32.由勾股定理，得MN=52．第16题图三、17.证明：因为CF=BE，所以CF+EC=BE+EC，即EF=BC.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AD=BC.所以AD∥EF，AD=EF.所以四边形AEFD是平行四边形. 因为AE⊥BC，所以∠AEF=90°.所以□AEFD是矩形.18. 解：（1）如图所示，点E即为所求.第18题图（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD=5，AD∥BC.所以∠DAE=∠BEA.因为AE是∠BAD的平分线，所以∠DAE=∠BAE.所以∠BAE=∠BEA.所以BE=AB=5.所以CE=BC﹣BE=3.19.（1）证明：因为AB∥CD，所以∠OAB=∠DCA.因为AC 平分DAB ∠，所以∠OAB=∠DAC.所以∠DAC=∠DCA.所以CD=AD.因为AB=AD ，所以CD=AB. 因为AB ∥CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形.因为AD=AB ，所以□ABCD 是菱形. （2）解：因为四边形ABCD 是菱形，BD=8，所以OA=OC ，BD ⊥AC ，OB=OD=12BD=4.所以∠AOB=90°.所以所以AC=2OA=所以菱形ABCD 的面积为12AC•BD=12×8=.因为CE ⊥AB ，所以菱形ABCD 的面积为AB •CE=，解得. 20. 解：（1）结论：CF=2DG.证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AD=BC=CD=AB ，∠ADC=∠C=90º. 因为E 是AD 的中点，所以DE=AE.所以AD=CD=2DE.因为EG ⊥DF ，所以∠DHG=90º.所以∠CDF+∠DGE=90º，∠DGE+∠DEG=90º. 所以∠CDF=∠DEG.所以△DEG ∽△CDF.所以12DG DE CF CD ==.所以CF=2DG. （2）作点C 关于直线NM 的对称点K ，连接DK 交MN 于点P ，连接PC ，此时△PDC 的周长值最小，最小值为CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.由（1），知CD=AD=10，ED=AE=5，DG=52，所以.因为12DE •DG=12EG •DH ，所以DH=DE DGEG⋅所以EH=2DH=同法可得2DH EHHM DE⋅==，所以DM=CN=NK==1.在Rt △DCK 中，所以△PCD 的周长的最小值为10+第20题图。
初三数学中考复习专题6_四边形(含变换).
初三数学中考复习专题6_四边形(含变换).京华中学初三数学辅导班资料6 四边形及平移旋转对称一、1、知识框图：矩形四边形平行四边形菱形梯形2、正方形一组对边平行四边形一组对边不平行3、有一个角是直角梯形两腰相等直角梯形等腰梯形图形之间的变换关系轴对称连结对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等,对应线段平行(或在同一直线上)且相等对应点与旋转中心的距离不变;每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度旋转对称中心对称平移旋转在轴对称、平移、旋转这些图形变换中,线段的长度不变,角的大小不变;图形的形状、大小不变二、例题分析1、四边形例1（1）凸五边形的内角和等于______度，外角和等于______度，（2）若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是_______．- 1 -2．平行四边形的运用例2 如图，∠1＝∠2，则下列结论一定成立的是（）A. AB∥CDB. AD∥BCC. ∠B＝∠DD. ∠3＝∠4 若ABCD是平行四边形，则上述四个结论中那些DA是正确？你还可以得到什么结论？41 23BC3．矩形的运用例3 如图1，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、则阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的……………………………………………（）A、4．菱形的运用例4 1. 一个菱形的两条对角线的长的比是2 ：3 ，面积1113 B、C、D、54310AEBO图1DFC是12 cm2 ，则它的两条对角线的长分别为_____、____．2、已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_______．5．等腰梯形的有关计算例5 已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝4，BC＝7.求∠B的度数.．AD BCE 6．轴对称的应用例6 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD边饮水后再回家，试问在何处饮水所走路程最短?_ B_ A_ C_ D- 2 -7．中心对称的运用例7 如图，作△ABC关于点O的中心对称图形△DEF AO BC8．平移作图例8 ．在5×5方格纸中将图（1）中的图形N平移后的位置如图（2）中所示，那么正确的平移方法是（）．（A）先向下移动1格，再向左移动1格（B）先向下移动1格，再向左移动2格（C）先向下移动2格，再向左移动1格（D）先向下移动2格，再向左移动2格NNM图(1)M(2)图1 图图2 （第1题）9．旋转的运用例9 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点C在AD上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么哪一点是旋转中心?旋转了多少度?解：_____是旋转中心，_______方向旋转了______．B基础达标一、选择题：ACDE1. 一个内角和是外角和的2倍的多边形是________边形．2. 有以下四个命题：（1）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．（2）两条对角线相等的四边形是菱形．（3）两条对角线互相垂直的四边形是正方形．（4）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，其中正确的个数为（） A.4 B.3 C.2 D.1- 3 -3．下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对角相等B．对角线互相平分C．一组对边相等D．对角线互相垂直4．在一个平面上有不在同一直线上的三点，则以这三点为顶点的平行四边形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5. 如图，□ABCD中，∠C＝108°，BE平分∠ABC，则∠ABE等于（） A.18° B.36° C.72°D.108° A6、下列说法中，正确的是（）A 、等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形．BB 、正方形的对角线互相垂直平分且相等C 、矩形是轴对称图形且有四条对称轴D 、菱形的对角线相等7、如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A．?1??2?180 B．?2??3?180 C．?3??4?180 D．?2??4?1808、在平行四边形ABCD中，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则?E??F? ?B?110?，（）（A）110? （B）30? （C）50? （D）70? _ F_ E_ AD_ _ B_ C0000EDC9、如图7，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB＝CD，有下面的结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，其中正确的结论有_________．10.如图，观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）．A.3个B.4个C.5个D.6个- 4 -11．下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到右图的是（）．．A．B．C. D．12．右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（）A．90o B．60o C．45o D．30o13．图2是我国古代数学赵爽所著的《勾股圆方图注》中所画的图形，它是由四个相同的直角三角形拼成的，下面关于此图形的说法正确的是（）A．它是轴对称图形，但不是中心对称图形B．它是中心对称图形，但不是轴对称图形C．它既是轴对称图形，又是中心对称图形(图2) D．它既不是轴对称图形，又不是中心对称图形14、下图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（）- 5 -A．90o B．60o C．45o D．30o14 图1515、如上图，O是正六边形ABCDE的中心，下列图形中可由△OBC平移得到的是（）A．△OCD B．△OAB C．△OAF D．OEF16.如图，D、E、F是△ABC三边的中点，且DE∥AB，DF∥AC，EF ∥BC，平移△AEF可以得到的三角形是（）A.△BDFB.△DEFC.△CDED.△BDF 和△CDE AFACEOBDBDC图16 图1717.将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图17的位置，若∠AOD＝110°，则∠BOC＝____°18、如图将四个全等的矩形分别等分成四个全等的小矩形，其中阴影部分面积相等的是（）① ② ③ ④A．只有①和②相等B．只有③和④相等C．只有①和④相等D．①和②，③和④分别相等19.如图，已知△ABC，画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形．- 6 -ACB20、矩形纸片ABCD中，AD＝4cm ，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝______cm．E B A DF CC121、若四边形的两条对角线相等，则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是（）A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形22．如图：已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C ＝60°，边AB＝6cm．（1）求边AC和BC的值；（2）求以直角边AB所在的直线l为轴旋转一周所得的几何体的侧面积．(结果用含π的代数式表示) 解：F分别在AB、AC、BC上，DE//BC，23、（2022常州市）如图，在?ABC中，点D、E、EF//AB，且F是BC的中点．求证：DE?CF- 7 -ADEBFC24．三月三，放风筝，小明制了一个风筝，如右图，且DE＝DF，EH＝FH，小明不用度量就知道∠DEH ＝∠DFH．请你用所学过的数学知识证明之．（提示：可连结DH，证明ΔDHE≌ΔDHF或连结EF，通过证明等腰三角形得证．）25.如图，E、F是□ABCD的对角线AC上两点，AE＝CF．求证：（1）△ABE≌△CDF.（2）BE∥DF．DEACFB- 8 -（B层）25、如图，在□ ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AC、BD分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形．AE1DOB2FC26.(2022.上海)如图1，边长为3的正方形ABCD绕点C 按顺时针方向旋转30 °后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为________．- 9 -EAHDFBCG27．如图，已知正方形ABCD的边长为2.如果将线段BD 绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan?BAD′等于__________29、（2022广东省）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点．（1）求证：四边形MENF是菱形；（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．- 10 -四边形及平移旋转对称答案二、考题例析例1 (n －2)·180o ＝360o.解得n＝4. 例2 答案：B. 例3（ B ）例4_____4cm，6cm ___例5答案：∠B＝60°．例6．中心对称的运用例7 例8 ．（C）_____．AC BMM'D例9 点A是旋转中心，顺时针方向旋转了45．A'基础达标一、选择题：（D）9、（①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO＝OC；10.( B ).11．C. 12．（C ）13．B．14 （C）15、D．16.(D ) 17.(_70°18、( D) 19．1.___6___2. D.3．（B ）4．（C）5 ( B )6、（B 7、（D8、20、DE＝___5．8___cm.21、C.菱形22．解：（1）AC＝43 cm，BC＝23cm （2）所求几何体的侧面积S＝23、∵DE//BC，EF//AB- 11 -1?(2??23)?43?24?（cm2）2∴四边形DBFE是平行四边形∴ DE＝BF，∵ F是BC的中点．∴BF＝CF ∴DE?CF24．：可连结DH，证明ΔDHE≌ΔDHF或连结EF，通过证明等腰三角形得证．25.（1）证明：∵在△ABC与△EFD中，AB＝EF，由EF∥AB得∠BAC＝∠FED.由AD＝CE得AC＝ED．∴△ABC≌△EFD．（2）四边形BDFC是平行四边形．证明：∵△ABC≌△EFD，∴BC＝FD，∠BCA＝∠EDF．∴BC∥FD∴四边形BDFC是平行四边形．26剖析：解题时，注意区分判定定理与性质定理的不同使用．∵□ ABCD中，AE∥CF，∴?1??2. 又?AOE??COF，AO?CO．AE1D∴△AOE≌△COF，∴EO?FO. ∴四边形AFCE是平行四边形．又EF?AC，∴□ AFCE是菱形．27. _3_______. 28___2_______ 29、BO2FC- 12 -第一章图形与证明（二）1.1等腰三角形的性质和判断定理：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
中考数学专题15四边形问题(原卷板)
一、选择题目1.（福州）下列命题中，假命题．．．是【】A．对顶角相等 B．三角形两边和小于第三边C．菱形的四条边都相等 D．多边形的内角和等于360°2.（福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE. AC，BE相交于点F，则∠BFC为【】A．45° B．55° C．60° D．75°3.（珠海）边长为3cm的菱形的周长是【】A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm4.（玉林、防城港）下列命题是假命题的是【】A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形 D．对角线垂直的平行四边形是菱形5.（毕节）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于【】A．3.5 B．4 C．7 D．146.（黔东南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是【】A．AB∥DC，AD=BC B．AB∥DC，AD∥BC C．AB=DC，AD=BC D．OA=OC，OB=OD7. （黔东南）如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为【 】A ．6B ．12C ．D ．8. 遵义）如图，边长为2的正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的延长线于点F ，作△CPF 的外接圆⊙O ，连接BP 并延长交⊙O 于点E ，连接EF ，则EF 的长为【 】A． B ． CD ．9. （河北）如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠【 】A 、2B 、3C 、4D 、5 10. （河南）如图，ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,AB ⊥AC.若AB =4,AC =6,则BD 的长是【 】(A)8 (B) 9 (C)10 （D ）1111. （十堰）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，BC=6，AC 的垂直平分线交AD 于点E ，则△CDE 的周长是【 】3253A ．7B ．10C ．11D ．12 12. （襄阳）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ∥AB ，DE=DC ，∠C=80°，则∠A 等于【 】A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°13. （襄阳）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE=AB，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①EF=2BE ；②PF=2PE ；③FQ=4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是【 】A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④14. （孝感）如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交成的锐角为，若，则ABCD 的面积是【 】A ．B ．C ．D ．15. 孝感）如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为13αAC a,BD b == 1absin 2αabsin αabcos α1abcos 2α中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D′的坐标是【 】A ．（2，10）B ．（-2，0）C ．（2，10）或（-2，0）D ．（10，2）或（-2，0）16. （南京）如图，在矩形中，点A 的坐标是（-2，1），点C 的纵坐标是4，则B 、C 两点的坐标为【 】A.（，）、（，） B.（，）、（，）C.(，)、（，）D.(，) 、（，）17. （赤峰）如图，把一块含有30°角（∠A=30°）的直角三角板ABC 的直角顶点放在矩形桌面CDEF 的一个顶点C 处，桌面的另一个顶点F 与三角板斜边相交于点F ，如果∠1=40°，那么∠AFE=【 】A. 50°B. 40°C. 20°D. 10°18. （呼和浩特）已知矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交两边AD ，BC 于E ，F （不与顶点重合），则以下关于△CDE 与△ABF 判断完全正确的一项为【 】 A ．△CDE 与△ABF 的周长都等于10cm ，但面积不一定相等B ．△CDE 与△ABF 全等，且周长都为10cmAOBC 23323-423312-4472723-4472712-4C．△CDE与△ABF全等，且周长都为5cmD．△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定19.（潍坊）如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4．E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F．设BE=x，FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是( )20.（上海）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．(A)△ABD与△ABC的周长相等；(B)△ABD与△ABC的面积相等；(C)菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；(D)菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．21.（天津）如图，ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于【】（A）3：2 （B）3：1 （C）1：1 （D）1：222.（新疆、兵团）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是【】A．OA=OC，OB=OD B．AD∥BC，AB∥DC C．AB=DC，AD=B D．AB∥DC，AD=BC23. （新疆、兵团）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，E 为AB 上一点，分别以ED ，EC 为折痕将两个角（∠A ，∠B ）向内折起，点A ，B 恰好落在CD 边的点F 处．若AD=3，BC=5，则EF 的值是【 】A． B ． C ．D ．24.（舟山）如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，点E，F 分别是CD 和AB 的中点．现将这张纸片折叠，使点B 落在EF 上的点G 处，折痕为AH ．若HG 的延长线恰好经过点D ，则CD 的长为【 】(A)2cm (B) cm (C)4cm (D) cm25. （重庆B ）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ACB ＝30°，则∠AOB 的大小为【 】A 、30°B 、60°C 、90°D 、120°26. （重庆B ）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝6，以AB 为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为【 】1521517217A 、 B、 C 、 D 、二、填空题目1. （福州）如图，在ABCD中，DE 平分∠ADC，AD=6，BE=2，则ABCD 的周长是 ▲ ．2. （玉林、防城港）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD 平分∠ABC ，则梯形ABCD 的周长是 ▲ ．3. （毕节）将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为 ▲ 度．4. （河南）如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB=600，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转300得到菱形AB'C'D'，其中点C 的运动能路径为，则图中阴影部分的面积为 ▲ .5. （河南）如图，矩形ABCD 中，AD=5，AB=7. 点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D256π-2562π-2566π-2568π-/CC的对应点D'落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为▲.6. （黄冈）如图，在一张长为8cm、宽为6cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积是 ▲ cm 2．7. （十堰）如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE=DF ．给出下列条件：①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB=AC ；从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为这个条件是 ▲ （只填写序号）．8. （武汉）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，则BD 的长为 ▲ .9. （襄阳）在ABCD 中，BC 边上的高为4，AB=5，AC=，则ABCD 的周长等于 ▲ ． 10. （孝感）如图，已知矩形ABCD ，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE 、BE ，若△ABE是等边三角形，则＝ ▲ ．11.（扬州）如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的__________º.12. （赤峰）一只蚂蚁在图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为 ▲ ．13. （赤峰）如图，E 是矩形ABCD 中BC 边的中点，将△ABE 沿AE 折叠到△AEF ，F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交DC 于G 点，若∠AEB=550， 则∠DAF 的度数为 ▲ ．14. （宁夏）菱形ABCD 中，若对角线长AC=8cm ，BD=6cm ，则边长AB= ▲ cm ．15. （宁夏）如下图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=2，BC=5，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，且AE ∥CD ，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ．16. （滨州）如图，菱形OABC 的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4.反比例函数的图象经过顶点C ，则k 的值为 ▲ .DCE ABE S S ∆∆=∠1ky (x 0)x =<17. （上海）如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AB ＝3EB ．设，，那么＝_________（结果用、表示）．18. （上海）如图，已知在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE ＝2CE ，将矩形沿着过点E 的直线翻折后，点C 、D 分别落在边BC 下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B 在同一条直线上，折痕与边AD 交于点F ，D′F 与BE 交于点G ．设AB ＝t ，那么△EFG 的周长为______________（用含t 的代数式表示）．19. （天津）如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均落在格点上.（1）计算的值等于 ▲ ；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出一个以AB 为一边的矩形，使矩形的面积等于，并简要说明画图方法（不要求证明） ▲.AB a =BC b =DE ab 22AB BC +22AB BC +20. （金华）如图，矩形ABCD 中，AB=8，点E 是AD 上的一点，有AE=4，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，连结EF 交CD 于点G ，若G 是CD 的中点，则BC 的长是 ▲ ．21. （重庆A ）如图，菱形ABCD 中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为▲ .22. （重庆A ）如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点.点E 在CD 上，且DE=2CE ，连接BE.过点C 作CF ⊥BE ，垂足是F ，连接OF ，则OF 的长为 ▲ .23. （重庆B ）如图，在边长为的正方形ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线上一点，BE ＝DG ，连接EG ，C F ⊥EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE 、BH. 若BH ＝8，则FG ＝ ▲ ．62三、解答题1. （梅州）（本题满分8分）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF=BE.（1）求证：CE=CF ；（2）若点G 在AD 上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD 成立吗？为什么？2. （梅州）（本题满分11分）如图，已知抛物线与x 轴的交点为A 、D （A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C.（1）直接写出A 、D 、C 三点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MD+MC 的值最小，并求出点M 的坐标；（3）设点C 关于抛物线对称的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.3. （珠海）（本题满分9分）如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC的延长线上，连233y x x 384=--结EF 与边CD 相交于点G ，连结BE 与对角线AC 相交于点H ，AE=CF ，BE=EG. （1）求证：EF//AC ； （2）求∠BEF 大小；（3）求证：.4. （珠海）（本题满分9分）如图，矩形OABC 的顶点A （2，0）、C （0，）.将矩形OABC 绕点O 逆时针旋转30°，得矩形OEFG ，线段GE 、FO 相交于点H ，平行于y 轴的直线MN 分别交线段GF 、GH 、GO 和x 轴于点M 、P、N 、D ，连结MH.（1）若抛物线经过G 、O 、E 三点，则它的解析式为： ▲ ； （2）如果四边形OHMN 为平行四边形，求点D 的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN 抛物线l 交于点R ，动点Q 在抛物线l 上且在R 、E 两点之间（不含点R 、E ）运动，设ΔPQH 的面积为s ，当时，确定点Q 的横坐标的取值范围.5. （玉林、防城港）（10分）如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上的任一点，连接AM 并将线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ，在CD 边上取点P 使CP=BM ，连接NP ，BP ． （1）求证：四边形BMNP 是平行四边形；AH 1GF 1tan15=+232l :y ax bx c =++33<s <62（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．6.（遵义）（10分）如图，ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．7.（河北）（本小题满分11分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F.（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形.9.（河南）（9分）如图,CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为点A、B.（1）连接AC，若∠APO＝300，试证明△ACP是等腰三角形；（2）填空：①当DP= ▲ cm 时，四边形AOBD 是菱形；②当DP= ▲ cm 时，四边形AOBP 是正方形．10. （河南）（10分）（1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE. 填空：①∠AEB的度数为 ▲ ；②线段AD和BE 之间的数量关系是 ▲ . （2）拓展探究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE. 请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，. 若点P 满足PD=1，且∠BPD=900，请直接写出点A 到BP 的距离.11. （黄冈）如图，已知双曲线与两直线、（且）分别相交于A 、B 、C 、D 四点．（1）当C (－1，1)时，A 、B 、D 三点的坐标分别是A ( ▲ ， ▲ )、B ( ▲ ， ▲ )、D ( ▲ ， ▲ )．（2）证明：以A 、D 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形； （3）当k 为何值时，ADBC 是矩形？1y x =-1y x 4=-y kx =-k 0>1k 4≠12. （十堰）（8分）如图，点B （3，3）在双曲线（x ＞0）上，点D 在双曲线（x ＜0）上，点A 和点C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且点A ，B ，C ，D 构成的四边形为正方形． （1）求k 的值； （2）求点A 的坐标．13. （南京）（8分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F ．（1）求证：四边形DBFE 是平行四边形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形DBEF 是菱形？为什么？14. （扬州）（本题10分）如图，已知中，，先把绕点B 顺时针旋转至k y x =4y x =-Rt ABC ∆ABC 90∠=ABC ∆90后，再把沿射线AB 平移至，ED 、FG 相交于点H.（1）判断线段DE 、FG 的位置关系，并说明理由； （2）连结CG ，求证：四边形CBEG 是正方形.15. （扬州）（本题12分）已知矩形ABCD 的一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处.（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连接AP ，OP ，OA. ①求证：△OCP ∽△PDA ；②若△OCP 与△PDA 的面积比为1:4，求边AB 的长； （2）若图1中的点P 恰巧是CD 边的中点，求∠OAB 的度数；（3）如图2，在（1）条件下，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP. 动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN=PM ，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E. 试问当点M ，N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求线段EF 的长度.16. （呼和浩特）（7分）如图，四边形ABCD 是矩形，把矩形沿AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 与DC 的交点为O, 连接DE ． （1）求证：∆ADE ≌∆CED ； （2）求证： DE ∥AC.DBE ∆ABC ∆FEG∆17. （宁夏）（6分）在平行四边形ABCD 中，将△ABC 沿AC 对折，使点B 落在B'处，A B' ‘和CD 相交于点O ． 求证：OA=OC ．17. （滨州）（本小题满分10分）如图，已知正方形ABCD ，把边DC 绕D 点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程．18. （滨州）（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，点P 为AB 边上一动点，DP 交AC 于点Q.（1）求证：△APQ ∽△CDQ ；（2）P 点从A 点出发沿AB 边以每秒1个单位的速度向B 点移动，移动时间为t 秒. ①当t 为何值时，DP ⊥AC ？ ②设，写出y 与t 之间的函数解析式，并探究P 点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值.19. （潍坊）（本小题满分1 2分）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE、APQDCQSSy=+BF ，交点为G ． （1）求证：AE ⊥BF ；（2）将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF （如图2），延长FP 交BA 的延长线于点Q ，求sin ∠BQP 的值； （3）将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转，使边AB 正好落在AE 上，得到△AHM （如图3），若AM 和BF 相交于点N ，当正方形ABCD 的面积为4时，求四边形GHMN 的面积．20. （上海）（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图，梯形ABCD 中，A D//BC ，AB ＝DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且∠CDE ＝∠ABD ． （1）求证：四边形ACED 是平行四边形； （2）连接AE ，交BD 于点G，求证：．21.（上海）（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）如图1，已知在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，cosB ＝，点P 是边BC 上的动点，以CP 为半径的⊙C 与边AD 交于点E 、F （点F 在点E 的右侧），射线CE 与射线BA 交于点G ． （1）当⊙C 经过点A 时，求CP 的长； （2）连接AP ，当AP//CG 时，求弦EF 的长； （3）当△AGE 是等腰三角形时，求⊙C 的半径长．DG DFGB DB4522. （成都）（本小题满分10分）如图，矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AD 边上一点，（为大于2的整数），连接BE ，作BE 的垂直平分线分别交AD 、BC 于点F ，G ，FG 与BE 的交点为O ，连接BF 和EG.（1）试判断四边形BFEG 的形状，并说明理由； （2）当（为常数），时，求FG 的长；（3）记四边形BFEG 的面积为，矩形ABCD 的面积为，当时，求的值.（直接写出结果，不必写出解答过程）23.（天津）（本小题10分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （-2，0），点B （0，2），点E ，点F 分别为OA ，OB 的中点.若正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转，得正方形OE’D’F’，记旋转角为α. （1）如图①，当α＝90°，求AE'，BF' 的长；（2）如图②，当α＝135°，求证AE'＝BF'，且AE'⊥BF'；（3）若直线AE'与直线BF'相交于点P ，求点P 的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）.1DE AD n =nAB a =a n 3=1S 2S 12S 17S 30=n24. （新疆、兵团）（10分）如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：①分别以A ，C为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点；②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ； ③过C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF ． （1）求证：△AED ≌△CFD ；（2）求证：四边形AECF 是菱形．25. （舟山）已知：如图，在ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连结BE ，DF ． （1）求证：△DOE ≌△BOF ．（2）当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形?请说明理由．26. （舟山）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四12边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A≠∠C ，∠A ＝70°，∠B ＝80°．求∠C ，∠D 的度数．（2）在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形”ABCD(如图2)，其中∠ABC ＝∠ADC ，AB ＝AD ，此时她发现CB ＝CD 成立．请你证明此结论；②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗?若正确，请证明；若不正确，请举出反例．（3）已知：在“等对角四边形"ABCD 中，∠DAB ＝60°，∠ABC=90°，AB ＝5，AD ＝4．求对角线AC 的长．27. （重庆A ）已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=,AE ⊥BD，垂足是E.点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF. （1）求AE 和BE 的长；（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）.当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值.（3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角（0°＜＜180°），记旋转中的△ABF 为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD 交于点P.与直线BD 交于点Q.是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由.320αα28. （重庆B ）如图1，在□ABCD 中，AH ⊥DC ，垂足为H ，AB ＝，AD ＝7，AH. 现有两个动点E 、F 同时从点A 出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC 方向匀速运动. 在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 与△ABC 在射线AC 的同侧，当点E 运动到点C 时，E 、F 两点同时停止运动. 设运转时间为t 秒. （1）求线段AC 的长；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围；（3）当等边△EFG 的顶点E 到达点C 时，如图2，将△EFG 绕着点C 旋转一个角度. 在旋转过程中，点E 与点C 重合，F 的对应点为F′，G 的对应点为G′. 设直线F′G′与射线DC 、射线AC 分别相交于M 、N 两点.试问：是否存在点M 、N ，使得△CMN 是以∠MCN 为底角的等腰三角形？若存在，请求出线段CM 的长度；若不存在，请说明理由.(0360)αα︒<<︒祝你考试成功!祝你考试成功!。