【现代控制理论与方法概述-清华课件】相轨迹法

通常，我们选取 x(广义位移)和 x (广义速度)作为状态变量，即令
x1 = x x2 = x
则式（9.1）成为
(9.4)
⎧
⎪⎪
⎨ ⎪
dx
2
⎪⎩ dt
dx1 dt
=−
= x2
f (x1,
x2
)
(9.5)
式（9.5）即成为式（9.2）的形式。 相平面法的主要工作是作相轨迹图，有了相轨迹图，系统的性能也就表示出来了。
9.3.1 相轨迹的作图法
1．解析法
例 单位质量的自由落体运动。
当忽略大气影响时，单位质量的自由落体运动方程为
x = g
x = d (x) = d(x) ⋅ dx = x d(x)
dt
dx dt dx
所以
x d(x) = g
dx
即 xdx = gdx
两边积分，得 x 2 = 2gx + C （C 为常数） 以 x(即 x1 ）为横坐标，以 x 即( x2 ）为纵坐标作相平面图，如图 9-30 所示。
图 9-30 单位质量自由落体相轨迹图 由分析结果可知，其相平面图为一族抛物线。在上半平面，由于速度为正，所以位移 增大时，箭头向右；在下半平面，由于速度为负，所以位移减小，箭头向左。设将质量体从 地面往上抛，此时位移量 x 为零，而速度量为正，设该初始点为 A 点，该质量体将沿由 A 点开始的相轨迹运动，随着质量体的高度增大，速度越来越小，到达 B 点时质量体达最高点， 而速度为零，然后又沿 BC 曲线自由落体下降，直至到达地面 C 点，此时位移量为零，而速 度为负的最大值。如果初始点不同，该单位质量将沿不同的曲线运动。例如设图 9-30 的 D 点为初始点，表示质量体从高度为 D 的地方放开，质量体将沿 DE 曲线自由落体下降到地面 E 点。 例 质量-弹簧系统的运动 图 9-31 所示为某工作台的力学模型，由于工作台在真空环境中，其阻尼为零，运动 方程为
相轨迹法
相轨迹法是适用于二阶非线性系统的几何解法。我们知道，对于二阶动力学系统，如
果已知两个状态变量，则该系统的动力学性能就完全能被描述。因此，从分析状态的角度，
相轨迹法又是现代控制理论状态空间分析法的经典基础。一般的二阶系统均可以表示为
x+ f (x, x) = 0
（9.1）
设 x1 = x, x2 = x ，二阶系统也可以写成状态空间方程表达，即
的曲线就是相轨迹。轨迹的起始点就是初始值 [x1(0), x2 (0)] ，其轨迹表示在某一输入激励下
系统的反应。如果相轨迹趋于无穷大，则系统不稳定；如果相轨迹趋于原点，则系统稳定；
如果相轨迹最后形成围绕原点不断循环的环，则系统存在极限环的持续振荡。
状态变量的数目是确定的，对于二阶系统状态变量是两个，但如何选择则是不唯一的，
能用解析法作相平面图的系统只局限于比较简单的系统，对于大多数非线性系统很难 用解析法求出解。从另一角度考虑，如果能够求出系统的解析解，系统的运动特性也已经清 楚了，也就不必要用相平面法分析系统了。因此，对于分析非线性系统更实用的是图解法， 例如等倾线法等。
2．等倾线法
对于一般的二阶系统，令 x1 = x, x2 = x ，则系统可表示为
左移动，箭头向左。 （2）相轨迹的各条曲线均不相交，过平面的每一点只有一条轨迹； （3）自持振荡的相轨迹是封闭曲线； （4）相轨迹若穿过 x 轴，必然垂直穿过。 在作相轨迹时，考虑对称性往往能使作图简化。设方程为
x + f (x, x) = 0 当 f (x, x) = f (x,−x) 时，相平面图对称于 x 轴。 当 f (x, x) = − f (− x, x)时，相平面图对称于 x 轴。
−1
−
x1 x2
( ) 即
k
=
−0.2
x12
−1
−
x1 x2
( ) 所以
x2
=
x1 0.2 1 − x12
−k
当短倾线倾角为 0°时，其斜率 k 为 0，式（9.7）成为
（9.7）
( ) x2
=
x1 0.2 1 −
x12
该式表示的曲线上的每一点斜率均为 0, 如图 9-33 中所示。 当短倾线倾角为 45°时，其斜率 k 为 1, 式（9.7）成为
( ) 例 非线性方程 x + 0.2 x2 −1 x + x = 0
设斜率为 k，令 x1 = x, x2 = x ，则
x1 = x2
( ) x2 = −0.2 x12 −1 x2 − x1
( ) ( ) 因此
dx2 dx1
=
− 0.2
x12 − 1 x2 x2
− x1
= −0.2
x12
图 9-31 某工作台力学模型
x
图 9-32 某工作台系统相轨迹图 由以上两例，可看到相平面图的一些性质：
（1）当选择 x 作为横坐标， x 作为纵坐标时，在上半平面，由于 x 的变化率 x >0,x 增加，相轨迹向右移动，箭头向右；在下半平面，由于 x 的变化率 x <0,x 减小，相轨迹向
mx + kx = 0
由上例知
x = x dx dx
所以
mx dx + kx = 0 dx
mxdx = −kxdx
两边积分，整理得
x 2 + ⎜⎜⎝⎛
k m
x
⎟⎟⎠⎞
2
=
C2
（9．6）
该分析结果表明，其相平面图为一族椭圆。由此可见，该环节为等幅自持振荡，初始 条件不同，椭圆的大小也随之变化，如图 9-32 所示。⎧ dx1源自⎪ ⎨ ⎪dt dx2
⎩ dt
= =
f1(x1, x2 ) f2 (x1, x2 )
（9.2）
将式（9.2）的两式相除，得
dx 2 dx1
=
f 2 (x1 , x2 ) f1 (x1 , x2 )
（9.3）
解式（9.3）可得
x2 = g(x1 )
以 x1 为横坐标，以 x2 为纵坐标，便构成分析系统的相平面。系统的每一时刻的状态 （即“相”均相应于平面上的一点，以时间 t 作为参变量变化时，该点在 x1 − x2 平面上对应
dx1 dt
=
f1 (x1, x2 )
dx2 dt
=
f2 (x1, x2 )
上两式相除，得
dx2 dx1
=
f 2 (x1, x2 ) f1 (x1, x2 )
所谓等倾线是指相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的线。设斜率为 k，则
k = dx2 dx1
相应于不同的 k 值画不同的等倾线，则可得到相轨迹切线的方向场。我们从过初始点 的短倾线开始画，连接邻近的短倾线，依次往后连接，即组成相轨迹图。显然，等倾线的间 隔越密集，相轨迹的精度越高。