《集合的含义及其表示》知识梳理

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集合的含义与表示

集合的含义与表示目录集合的含义与表示 (1)知识点： (1)一、集合的三性：确定性、互异性、无序性 (3)①确定性 (3)②互异性 (4)二、集合的表示方法 (7)①元素与集合的关系 (7)②列举法 (8)③描述法 (10)三、区别点集与数集 (11)知识点：1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合.3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

①列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}②描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4.集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝5.元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A∉（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集N*或N+；整数集Z；有理数集Q；实数集R.一、集合的三性：确定性、互异性、无序性①确定性1.下列各组对象能够构成集合的是( )A. 我国所有的老人B. 我们班的高个子C. 长命万岁的人D. 我国的小河流答案：C。

(完整版)《集合的含义及其表示》知识梳理

集合的含义及其表示一、集合1．集合某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Aa∈；若b不是集合A的元素，记作Ab∉；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N；；正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R 。

2．集合的包含关系（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ⊆B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作AB ；（2）简单性质：1）A ⊆A ；2）Φ⊆A ；（3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；（4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）；3．全集与补集（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；（2）若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集；（3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S =Φ，ΦS C =S 。

(完整版)《集合》知识点总结

《集合》知识点总结一、集合有关概念1．集合的含义一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集） 2．集合中元素的三个特性：确定性互异性无序性3．集合的表示：{}⋅⋅⋅如：{}我校的篮球队员，{}太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋用拉丁字母表示集合：A ={}我校的篮球队员,B ={}1,2,3,4,5 集合的表示方法：列举法与描述法。

列举法：{,}a b ⋅⋅⋅,c,d,描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{|32}x x ->语言描述法：例：{}不是直角三角形的三角形Venn 图:注：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 *N N +或整数集Z 有理数集Q 实数集R4．集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：2{|5}x x =-二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：A B ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。

反之，集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆/B 或B ⊇/A 2. “相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)例：设A={x|210x -=} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”① 任何一个集合是它本身的子集. A ⊆A②真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作B A ⊆ (或B ⊇/A) ③如果A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C④如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为∅规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

结论：有n 个元素的集合，含有2n 个子集，12n -个真子集（2）交、并、补集的混合运算①集合交换律 A B B A ⋂=⋂ A B B A ⋃=⋃②集合结合律 ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂ ()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃③集合分配律 ()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃ （3）容斥定理()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂()()()()()card A B C card A card B card C card A B ⋃⋃=++-⋂()()()card A B card B C card A B C -⋂-⋂+⋂⋂card 表示有限集合A 中元素的个数。

人教版-高一-数学-1.集合的含义与表示

集合的含义与表示一、知识概括1、集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），通常用小写拉丁字母a,b,c ,…表示。

把一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集，通常用大写拉丁字母A,B,C ，…表示。

集合如同平面几何中点、线、平面等概念一样，是集合论中的原始概念，只进行描述说明，无法定义概念。

某些教材中对集合的描述是：指定的某些对象的全体称为集合。

其中，注意理解（1）指定即说明某些对象具有共同的特征或共同的属性，说明已具备判定对象是否成为该集合的元素的判定标准，而不是随意组合。

（2）对象在不同的集合中，应有不同的内涵。

在不同的集合中，元素还可能是人、物、质点或抽象事物等。

（3）全体说明集合是一个整体概念，针对全部对象而言，并且在这个整体中各元素间无先后排列要求，没有一定的顺序关系。

【注】（1）只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

（2）构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任何确定的对象。

2、集合元素的特性集合元素具有确定性、互异性、无序性三大特性。

（1）确定性集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，按照该集合的构成标准能够明确判定一个对象是否属于这个集合。

如“个子高的同学”这一组对象就不能构成一个集合，因为“个子高”这个标准不够明确，而“身高超过170cm 的同学”这一组对象可以构成一个集合。

（2）互异性集合中的元素一定是不同的（或说是互异的）也就是说，相同的元素在一个集合中只能出现一次。

如方程0122=+-x x 的解构成的集合是{1}，而不能写成{1,1}（3）无序性集合中元素的排列次序无先后之分，如集合{1,2}和{2,1}是同一个集合。

3、集合与元素的关系元素与集合有属于（∈）和不属于（∉）两种关系。

如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A 。

集合的含义与表示知识点总结

集合的含义与表示知识点总结一、课标要求《课程标准》对本课内容的要求是:能够了解集合的含义,知道常用数集的表示方法,了解集合元素的三个性质,会用适当的方法表示集合.集合知识是整个高中学习的基础,使学生掌握和使用数学语言表述数学问题的基础.通过学习集合知识,可以使学生更好的理解数学中的集合语言,可以使学生逐步运用集合的观点和思想分析数学问题.二、本节知识要点（1）集合的含义与表示;（2）元素与集合之间的关系与表示;（3）集合元素的三个基本性质;（4）常用数集的表示;（5）集合的两种表示方法（列举法和描述法）;（6）集合的分类.三、集合的含义与表示一般地,指定的某些对象的全体称为集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.集合用大写字母来表示,集合的元素与小写字母来来表示.四、元素与集合之间的关系与表示a a元素与集合之间是从属关系:若元素在集合A中,就说元素属于集合A,记作;若元素不在集合A中,则称元素不属于集合A,记作.a∈a a Aa∉A要求会判断元素与集合之间的从属关系.五、集合元素的三个基本性质集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.确定性给定一个集合,它的的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合,也就确定了.互异性给定一个集合,它的元素是互不相同的.即同一个集合中的元素不能重复出现.在用列举法表示集合时,相同的元素算作集合的一个元素.无序性集合中的元素是没有顺序的.如果构成两个集合的元素是相同的,那么就称这两个集合相等.六、常用数集的表示自然数集N ; 正整数集N +或N *; 整数集Z ; 有理数集Q ; 实数集R .七、集合的两种表示方法集合有两种常用表示方法,即列举法和描述法.此外还有韦恩图法（Venn 图法）.列举法把集合的元素一一列举出来,并用大括号“”括起来表示集合的方法叫做列举{}法.用列举法表示集合时要注意以下几点:（1）元素之间必须用逗号隔开;（2）元素不能重复（即集合的元素要满足互异性）;（3）元素之间无先后顺序（集合的元素具有无序性）;（4）表示有规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才可以使用省略号,如﹛1 , 2 , 3 , … ﹜;（5）注意与的表示是有区别的:表示的是一个元素,表示的是只有一个a {}a a {}a 元素的集合.二者具有从属关系,及.a a A ∈ 列举法常用来表示有限集或有规律的无限集.描述法定义用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.记作,(){}x P I x ∈其中为集合的代表元素,I 表示元素的取值范围,表示集合的元素所具有x x ()x P 的共同特征.第二定义用确定的条件表示某些对象属于一个集合的方法,称为描述法.注意:“共同特征”或“确定的条件”可以说是方程,也可以是不等式（组）等.如集合,集合.{}0322=--=x x x A {}062<-=x x B 用描述法表示集合时要注意以下几点:（1）写清集合中的代表元素,如实数或有序实数对,从而正确表示数集和点集;（2）用简洁准确的语言表示集合中元素的共同特征;（3）不能出现未被说明的字母,如集合中的未被说明,应正确表示{}n x Z x 2=∈n 为或;{}Z n n x Z x ∈=∈,2{}Z x n x x ∈=,2（4）元素的取值范围,从上、下文来看,如果是明确的,可以省略.如集合,也可以写作.{}02=+∈x x R x {}02=+x x x （5）出现多层描述时,应正确使用“或”、“且”、“非”等逻辑联结词;（6）所有描述的内容都要写在大括号内;（7）识别描述法表示的集合时,要看清代表元素,正确区分数集和点集.当集合所含元素较多或元素的共同特征不明显时,适合用描述法来表示集合.例1. 用两种方法表示二元一次方程组的解. ⎩⎨⎧=-=+152y x y x 注意:二元一次方程组的解是有序实数对,所以在表示二元一次方程组的解时,要表示为点集的形式.解:解二元一次方程组得: ⎩⎨⎧=-=+152y x y x ⎩⎨⎧==12y x 用列举法表示为,用描述法表示为. (){}1,2()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧==12,y x y x 提示:与表示的是两个不同的集合.(){}1,2(){}2,1例2. 指出集合与集合的区别.{}12-=x y x (){}12,-=x y y x 注意:区分数集和点集的关键在于代表元素.用描述法表示集合时记作,其(){}x P I x ∈中表示的就是代表元素,它可以是一个数字（数集）,也可以是有序实数对（点x 集）.解:集合表示的是一个数集,它表示函数解析式中自变量的{}12-=x y x 12-=x y 取值范围,所以R ;{}=-=12x y x 集合表示的是一个点集,它表示函数的图象上所有(){}12,-=x y y x 12-=x y 点的坐标.例3. 用合适的方法表示下列集合:（1）文房四宝;（2）2019年9月3日,新乡市平原示范区所辖乡镇;（3）平面直角坐标系中,第二象限的点构成的集合.注意:在用描述法表示集合时,元素之间必须用逗号隔开,不要用错标点符号.点集的代表元素为有序实数对.解:（1）;{}砚纸墨笔,,,（2）;{}师寨镇桥北乡原武镇韩董庄乡祝楼乡,,,,（3）.(){}0,0,><y x y x 且例4. 分别用列举法和描述法表示下列集合:（1）方程的所有实数根组成的集合;022=-x （2）由大于10小于15的所有整数组成的集合.注意:在用描述法表示集合时,代表元素的取值范围,如果从上、下文来看是明确的,可以省略.解:（1）列举法:;{}2,2-描述法:或.{}022=-∈x R x {}022=-x x （2）列举法:﹛11 , 12 , 13 , 14﹜;描述法:.{}1511<<∈x Z x 八、集合的分类集合按所含元素个数的多少可以分为有限集、无限集和空集含有有限个元素的集合叫做有限集.含无限个元素的集合叫做无限集. 不含任何元素的集合叫做空集,记作.∅ 如方程的实数根组成的集合就是一个空集,即012=+x {}012=+∈x R x .{}∅==+∈012x R x 九、重要结论:判断形如的方程的实数根的个数的方法是:02=++c bx ax （1）当时,方程可化为的形式:0=a 0=+c bx①当时,方程有唯一一个实数根; 0≠b bc x -=②当时,方程有无数个实数根;0,0==c b ③当时,方程没有实数根;0,0≠=c b （2）当时,原方程为关于的一元二次方程:0≠a x ①若,则方程有两个不相等的实数根;042>-=∆ac b ②若,则方程有两个相等的实数根（此种情况下表示方程的实数042=-=∆ac b 根组成的集合时,集合只有一个元素）;③若,则方程没有实数根.042<-=∆ac b 提示:在讨论集合元素的个数时,一定要注意分类讨论.例4. 已知集合.{}R a x ax R x A ∈=++∈=,0122（1）若A 中只有一个元素,求的值;a （2）若A 中至多有一个元素,求的取值范围.a 分析:先弄清楚集合A 的本质.集合A 是由方程的实数根组成的集0122=++x ax 合,该方程中含有参数,为含参方程.a （1）集合A 中只有一个元素,指的是方程只有一个实数根,该方0122=++x ax 程可以说一次方程,也可以是二次方程,注意分类讨论;()0=a ()0≠a （2）集合A 中至多有一个元素,指的是方程只有一个实数根或没0122=++x ax 有实数根.解:（1）当时,原方程可化为:,解之得:,集合,符合0=a 012=+x 21-=x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21A 题意;当时,∵只有一个实数根0≠a 0122=++x ax ∴,解之得:044=-=∆a 1=a 综上,当或时, A 中只有一个元素;0=a 1=a （2）当A 中只有一个元素时,由（1）可知:或;0=a 1=a 当A 中没有元素时,即方程没有实数根0122=++x ax ∴,解之得:044<-=∆a 1>a 综上,当或≥1时,A 中至多有一个元素.0=a a例5. 实数集A 满足条件:,若,则. A ∉1A a ∈A a∈-11（1）若,求A ; A ∈2（2）集合A 能否为单元素集合?若能,求出A ;若不能,请说明理由;（3）求证:. A a∈-11分析:本题重点考查集合元素的三个基本性质:确定性、互异性和无序性. （1）解:∵, ∴ A ∈212≠A ∈-=-1211∵ ∴ 11,1≠-∈-A ()A ∈=--21111∵ ∴ 121,21≠∈A A ∈=-22111∴﹛2 , , ﹜; =A 1-21（2）解:A 不能为单元素集合.理由如下:若A 为单元素集合,则有,整理得: aa -=11012=+-a a ∵ ()031412<-=⨯--=∆∴方程没有实数根012=+-a a ∴A 不能为单元素集合;（3）证明:若,则 A a ∈A a ∈-11∴. A aa a a ∈-=-=--1111111习题1. 已知集合.{{}0232=+-=x ax x A （1）若A 为空集,求的取值范围;a （2）若A 中只有一个元素,求的值;a （3）若A 中至多有一个元素,求的取值范围.a。

【暑假预习】2023年新高一数学第01讲集合及其表示法(9种题型)(学生版)

01集合及其表示法(9种题型)【课程细目表】一、知识梳理二、考点剖析1.集合的含义2.元素与集合关系的判断3.集合的确定性、互异性、无序性4.集合相等5.有限集与无限集.6.集合的表示法--描述法7.集合的表示法--列举法8.集合的表示法--区间法9.集合的表示法--综合应用三、过关检测【知识梳理】一、集合的意义1.集合的概念我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素．对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．确定性是指一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一．比如“著名的数学家”、“较大的数”、“高一一班成绩好的同学”等都不能构成集合，因为组成集合的元素不确定．互异性是指对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现．例如由元素1，2，1组成的集合中含有两个元素：1，2．无序性是指组成集合的元素没有次序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．2.集合与元素的字母表示、元素与集合的关系集合常用大写字母A、B、C⋯来表示，集合中的元素用a、b、c⋯表示，如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”3.常用的数集及记法数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N，不包含零的自然数组成的集合，记作N*全体整数组成的集合，即整数集，记作Z全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q全体实数组成的集合，即实数集，记作R常用的集合的特殊表示法：实数集R(正实数集R+)、有理数集Q(负有理数集Q-)、整数集Z(正整数集Z+)、自然数集N(包含零)、不包含零的自然数集N*；4.集合相等如果两个集合A与B的组成元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B．5.集合的分类我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集我们引进一个特殊的集合--空集，规定空集不含元素，记作∅，例如，方程x2+1=0的实数解所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集．6.空集我们把不含任何元素的集合，记作φ。

高中数学知识点：集合的含义及表示

高中数学知识点：集合的含义及表示
集合的概念：
1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）；集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。

元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的关系：
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
常用数集及其表示方法：
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q
（5）实数集：全体实数的集合.记作R
集合中元素的特性：
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。

（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
易错点:
（1）自然数集包括数0.
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示
成Z。

集合含义与表示,集合基本关系,集合基本运算

集合含义与表示，集合基本关系，集合基本运算集合一、一周知识概述本周主要学习了集合含义与表示，集合基本关系，集合基本运算三个方面，集合表示法一般含有列举法和描述法两种，通过学习要了解这两种方法的区别与联系，在此之外还学习了集合间的包含关系与相等关系，以及集合间的并集、交集、补集的含义，通过本部分的学习，同学们要了解集合的含义，能用Venn图表示集合的关系及运算。

二、重难点知识归纳(一)元素与集合的含义元素: 研究的对象集合: 一些元素组成的总体(简称集)属于: 如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作。

(二)列举法与描述法列举法: 把集合的元素一一列举出来，并用花括号"{ }"括起来表示集合的方法叫做列举法.描述法: 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.在学习过程中，我们要学会如何选择表示法表示集合，列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法。

一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用描述法表示。

(三)子集、真子集、空集子集: 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集(subset)，记作(或),读做"A包含于B"(或"B包含A").真子集: 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集(proper subset)，记作(或).空集: 不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记作，并规定：空集是任何集合的子集Venn图: 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.学习这几个概念时，应注意以下几点：①若集合A是集合B的真子集，那么集合A必是集合B的子集，反之则不一定。

集合的含义及其表示

1.1集合1.1.1 集合的含义及其表示1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。

集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B ……集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。

集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。

如a 、b 、c 、p 、q ……指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

①我国的直辖市；②十四中高一③班全体学生；④较大的数⑤young 中的字母；⑥大于100的数； 2．关于集合的元素的特征： ①确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

②互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

③无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； ①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （不能把a ∈A 颠倒过来写） 4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。

5. 集合的分类①有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合； ②无限集：集合中元素的个数是不可数的； ③空集：不含有任何元素的集合，记做∅. 6．常用数集的记法：①非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N②正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{},3,2,1*=N③整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z ④有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q⑤实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：①自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0②非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *7．集合的表示方法：①自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。

集合的定义及其表示知识点总结及练习

集合的定义及其表示知识点总结及练习(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--集合的含义及其表示学习目标：1．通过实例了解集合的含义，理解元素与集合之间的关系；并记住几种常见数集的表示；2．理解并掌握用列举法和描述法表示集合的方法，理解集合相等的概念；3．了解集合的分类．重点难点：元素与集合之间的关系和集合的表示方法．授课内容：一、知识要点1．集合的含义：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为集合的元素．（１）元素与集合的关系a∈；若a是集合A的元素，记作Ab∉．若b不是集合A的元素，记作A（２）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性．确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关．（３）常用数集及其记法：自然数集，记作 N；；正整数集，记作 N*或N+整数集，记作Z；有理数集，记作 Q；实数集，记作 R．2．集合的表示方法：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法．列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内即：{x∣p(x)}．图示法：用一条封闭曲线的内部（或数轴）表示一集合的方法．包括：维恩图和数轴法3．集合的分类：根据元素个数的多少可分为：有限集合、无限集；特别地，我们把不含有任何元素的集合叫空集，记作．相等集合：．二、典型例题知识点1：集合的含义1．判断下列每组对象能否构成一个集合（1）所有3的倍数（2）很大的数的全体（3）中国的直辖市（4）young中的字母（5）平面上到点O的距离等于5的点的全体（6）所有的偶数（7）所有直角三角形（8）满足3x-2>x+3的全体实数（9）方程210x x++=的实数解（10）π的近似值（11）世界上最高的山峰（12）高一数学课本中的难题2．用符合“∈”或“?”填空（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国 A；美国 A；印度 A；英国 A．（2）0_______N* π________R 227_______Q cos300_______Z（3）集合A 中的元素由∈Z,b ∈Z)组成，判断下列元素与集合A 的关系．○10 23知识点2：集合中元素的性质3．若方程x 2-5x +6=0和方程x 2-x -2=0的解为元素的集合为M ，则M 中元素的个数为．4．由2,2,4a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则a 的取值可以是．5．只有三个元素的集合1，a ，b a ，也可表示为0，a 2，a+b ，求a 2005+ b 2006的值．6．不包含-1，0，1的实数集A 满足条件a ∈A ，则11a a+-∈A ，如果2∈A,求A 中的元素．7．定义集合运算：},),({B y A x y x xy z z B A ∈∈+==Θ，设集合}3,2{},1,0{==B A ，求集合B A Θ．8．关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠，当,,a b c 分别满足什么条件时，解集为空集、含一个元素、含两个元素．知识点3：集合的表示9．用列举法表示下列集合：（1）中国国旗的颜色的集合；（2）单词mathematics 中的字母的集合；（3）自然数中不大于10的质数的集合；（4）同时满足240121x x x +>⎧⎨+≥-⎩的整数解的集合；（5）由||||(,)a b a b R a b+∈所确定的实数集合；（6）{(x,y)|3x+2y=16，x ∈N ，y ∈N }．10．用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使y =有意义的x 的集合；（3）方程x 2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x 2+3x-6上所有点的集合；11．下列语句中，正确的是（填序号）．（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}；（3）方程0)2()1(22=--x x 的所有解的集合可表示为{1，1，2，2}（4）集合}54{<<x x 可以用列举法表示．12．下列集合中表示同一集合的是` （填序号）．（1）M ={3，2}，N ={2，3} （2）M ={(3，2)}，N ={（2，3）}（3）M ={(,)1},{(,)1}x y x y N y x x y +==+= (4) M ={1，2}，N ={(1,2)}13．下列可以作为方程组⎩⎨⎧-=-=+13y x y x 的解集的是（填序号）．（1）{1,2},x y == (2){1,2}(3){(1,2)} （4）{(,)12}(5){(,)12}x y x y x y x y ====且或（6）}0)2()1(),{(22=-+-y x y x14．设元素为正整数的集合A 满足“若x A ∈,则10x A -∈”．（1）试写出只有一个元素的集合A ；（2）试写出只有两个元素的集合A ；（3）这样的集合A 至多有多少个元素；（4）满足条件的集合A 共有多少个．三、课堂练习1．下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若－a 不属于N ，则a 属于N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④x 2＋1＝2x 的解集可以表示为{1，1}．其中正确命题的个数为________．2．集合A ＝{x 2,3x ＋2,5y 3－x}，B ＝{周长等于20 cm 的三角形}，C ＝{x | x －3＜2，x ∈R}，D ＝{(x ，y)|y ＝x 2－x －1}，其中用描述法表示集合的有________．3．已知集合A 中含有三个元素2,4,6，且当a ∈A 时，有6－a ∈A ，那么a 为________．4．设P 、Q 是两个非空集合，定义P*Q ＝{ab|a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{0,1,2}，Q ＝{1,2,3}，则P*Q 中元素的个数是________．5．已知集合M ＝{x|x ＝7n ＋1，n ∈N}，则2010________M ，2011________M ． (填∈或?)．6．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝{m|m ＝x |x|＋y |y|＋xy |xy|}为________． 7．已知集合A ＝{(x ，y)|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y)|y ＝x ＋3}，若a ∈A ，a ∈B ，则a 的值为________．8．已知集合A ＝{0,2,3}，定义集合运算A ※A ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈A}，则A ※A ＝________．9．由下列对象组成的集体属于集合的是________．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考成绩在500分以上的学生．10．用符号“∈”或“?””填空(1)0________N ，5________N ，16________N ；(2)－12________Q ，π________Q； (3) 2－3＋2＋3________{x|x ＝a ＋6b ，a ∈Q ，b ∈Q}．11．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝1的解集用集合表示为__________．12．集合{1,3,5,7,9}用描述法表示是____________．13．用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集．(1)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；(2)由平面直角坐标系中所有第三象限内的点组成的集合；(3)由方程x 2＋x ＋1＝0的实数根组成的集合；(4)由所有周长等于10 cm 的三角形组成的集合．14．已知集合A＝{x|126－x∈N，x∈N}，试用列举法表示集合A．15．已知集合A＝{a－3,2a－1，a2＋1}，a∈R．(1)若－3∈A，求实数a的值；(2)当a为何值时，集合A的表示不正确．。

(完整版)集合知识点总结与习题《经典》

集合详解集合的含义与表示1、集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. 2、常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.3、集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. 4、集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 5、集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). 二、集合间的基本关系 1、子集、真子集、集合相等2、已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.三、集合的基本运算1、交集、并集、补集【经典例题】1.知集合{(,)|,A x y x y=为实数，且}221,x y +={(,)|,B x y x y =为实数，且},A By x =I 则的元素个数为（）A 、0B 、1C 、2D 、3 2.已知集合{{},1,,A B m A B A==⋃=，则m = （）A 、0或3B 、0或3C 、1或3D 、1或33.A={1，2，3，4}，B==⋂∈=B A A n n x x 则},,|{2( ) A,{1,4} B,{2,3} C,{9,16} D,{1,2}4.已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则)(B A C U ⋃=（）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}5.已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<=I 则（）A ．{1}B ．{}0,1C ．{}0,2D ．{}0,1,26.若集合A ={x ∈R|ax 2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=（）A ．4B ．2C ．0D ．0或47.设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈,2{|20,}T x x x x R =-=∈,则S T =IA ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-8.下列八个关系式①{0}=φ；①φ=0；①φ={φ}；①φ∈{φ}；①{0}⊇φ；①0∉φ；①φ≠{0}；①φ≠{φ}其中正确的个数（）A.4B.5C.6D.7 9.下列各式中，正确的是（） A.2}2{≤⊆x x B.{}≠<>12x x x 且φC.{Z k k x x ∈±=,14}},12{Z k k x x ∈+=≠D.{Z k k x x ∈+=,13}={Z k k x x ∈-=,23}练习：一、选择题1．若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（）A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X φ∈D ．{}0X ⊆2．已知集合{}2|10,A x x A R φ=+==I 若，则实数m 的取值范围是（） A ．4<m B ．4>m C ．40<≤m D ．40≤≤m 3．下列说法中，正确的是（）A ．任何一个集合必有两个子集；B ．若,A B φ=I则,A B 中至少有一个为φC ．任何集合必有一个真子集；D ．若S 为全集，且,A B S =I 则,A B S ==4．设集合22{|0},{|0}A x x x B x x x =-==+=，则集合A B =I （） A ．0 B ．{}0 C ．φ D ．{}1,0,1- 二、填空题 7．已知{}Rx x x y y M ∈+-==,34|2，{}Rx x x y y N ∈++-==,82|2则__________=N M I 。

高一数学集合知识点

1.1集合1.1.1集合的含义与表示一、集合的含义集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．关键词：确定的、总体【特征】确定性、无序性、互异性、【表示方法】列举法、描述法、图示法．二、元素与集合关系得判断【知识点的认识】一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．【命题方向】元素与集合之间的关系命题方向有二，一是验证元素是否是集合的元素；二是知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．【解题方法点拨】如题型一：已知A是偶数集，试判断a=2b2+4b，b∈N是否是集合的元素？方法点拨：因为偶数都可以写成整数2倍的形式，故解决本题的方法就是看元素a能否变成数的2倍的形式．三、集合的确定性、互异性、无序性【知识点的认识】集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征．（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．【解题方法点拨】解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复．【命题方向】本部分内容属于了解性内容，但是近几年高考中基本考查选择题或填空题，试题多以集合相等，含参数的集合的讨论为主．四、集合的分类【知识点的认识】集合的分类主要依集合中元素个数的多少来划分，有限集和无限集两种．有限集元素个数是确定的，元素个数有限个，可以利用列举法或描述法表示；无限集元素个数是无限的，只能利用描述法表示．【解题方法点拨】从集合的元素个数直接判断．【命题方向】这一考点，是了解内容，会考多以选择题判断为主，高考多与集合之间的关系联合命题．五、集合的表示法【知识点的认识】1．列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开．2．描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x 为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π}3．图示法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合．4．自然语言（不常用）．【解题方法点拨】在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，例如数轴的应用，Venn图的应用，通过转化思想解答．注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：{x|2x-1＞0}表示实数x的范围；{（x，y）|y-2x=0}表示方程的解或点的坐标．【命题方向】本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本关系，不等式，简易逻辑，立体几何，线性规划，概率等知识相结合．1.1.2集合间的基本关系一、子集与真子集【知识点的认识】子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．记作：A⊆B（或B⊇A）．而真子集是对于子集来说的．真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，注①空集是所有集合的子集②所有集合都是其本身的子集③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．{1，3}⊂{1，2，3，4}{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉空集和它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n-2．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且A⊆B 时，有A=B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．【命题方向】本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．二、集合的包含关系及其应用【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A 叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A=B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．三、集合的相等【知识点的认识】（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A=B．（3）对于两个有限数集A=B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：①两个集合的元素个数相等；②两个集合的元素之和相等；③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．【解题方法点拨】集合A 与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．【命题方向】通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．四、集合中元素个数的最值【知识点的认识】【命题方向】【解题方法点拨】求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决．五、空集的定义、性质及运算【知识点的认识】空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作∅．空集的性质：空集是一切集合的子集．空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点．将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助；袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的．例如：{x|x2+1=0，x∈R}=∅．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．【解题方法点拨】解答与空集有关的问题，例如集合A∩B=B⇔B⊆A，实际上包含3种情况：①B=∅；②B⊂A且B≠∅；③B=A；往往遗漏B是∅的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空集优先的原则”，就是首先考虑空集．【命题方向】一般情况下，多与集合的基本运算联合命题，是学生容易疏忽、出错的地方，考查分析问题解决问题的细心程度，难度不大，可以在选择题、填空题、简答题中出现．1.1.3集合的基本运算一、并集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A ∪B．符号语言：A∪B={x|x∈A或x∈B}．图形语言：．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算形状：①A∪B=B∪A．②A∪∅=A．③A∪A=A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B=B⇔A⊆B．⑥A∪B=∅，两个集合都是空集．⑦A∪（CUA）=U．⑧CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）．【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．二、交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素的所有元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．图形语言：．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B=B∩A．②A∩∅=∅．③A∩A=A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B=A⇔A⊆B．⑥A∩B=∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（CUA）=∅．⑧CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．三、补集及其运算【知识点的认识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．．【解题方法点拨】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．【命题方向】通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．四、全集及其运算【知识点的认识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．全集是相对概念，元素个数可以是有限的，也可以是无限的．例如{1，2}；R；Q 等等．【解题方法点拨】注意审题，可以借助数轴韦恩图解答．【命题方向】本考点属于理解，常出现的类型有直接求出全集，利用全集求解子集的个数，集合在参数的范围等问题，难度属于容易题．五、交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B=B∩A，A∪B=B∪A．集合结合律（A∩B）∩C=A∩（B∩C），（A∪B）∪C=A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A ∪C）．集合的摩根律 Cu（A∩B）=CuA∪CuB，Cu（A∪B）=CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A．集合求补律A∪CuA=U，A∩CuA=Φ．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．六、Venn图表达集合的关系及运算【知识点的认识】用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图（韦恩图）．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．运算公式：card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）的推广形式：card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（B∩C）-card（A∩C）+card（A∩B∩C），或利用Venn图解决．公式不易记住，用Venn图来解决比较简洁、直观、明了．【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．【命题方向】一般情况涉及Venn图的交集、并集、补集的简单运算，也可以与信息迁移，应用性开放问题．也可以联系实际命题．。

集合的概念及其表示

集合的概念及其表示知识点1：集合中元素的特征知识点归纳集合中的元素具有确定性、互异性、无序性的三大特征：（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能说明它是或不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可．例如“著名的科学家”、“与2接近的数”等都不能组成一个集合．（2）互异性：对于一个给定的集合中的元素是互不相等的，即同一个元素在同一个集合中，不能重复出现，例如：集合是由1、2、2、3、3这五个数组成，是错误说法．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．（3）无序性：在一个集合中，元素之间都是平等的，它们都是集合中的一员，无先后次序之说．例如，由1、2、3构成的集合与3、2、1构成的集合是相同的集合．典例剖析【例1】下列研究的对象能否构成集合：（1）美丽的小鸟；x-=在实数范围中的解；（2）方程240（3）第一章中的所有难题；（4）充分接近于0的全体实数；（5）所有的平行四边形；（6）高一（2)班所有高于1.70米的同学．【变式1】在下列研究的对象能构成集合的个数为（）（1）世界上最高的山峰（2）高一数学课本中的难题（3）中国国旗的颜色（4）充分小的负数的全体（5）book中的字母（6）立方等于本身的实数（7）不等式2813x -<的正整数解A ．3B ．4C ．5D ．6知识点2：集合与元素的关系知识点归纳我们常用大写拉丁字母A 、B 、C 等表示集合，用小写字母a 、b 、c 等表示集合的元素．元素与集合之间有两种关系：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作A a ∈；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作A a ∉．典例剖析【例2】已知集合{}33,)1(,222++++=a a a a A ，若A ∈1,求a 的值．【变式2】由实数x x ,0,1,2来构成三元素集合，求实数x 的值．知识点3：常用数集及记法知识点归纳对一些常用的数集用特定的字母表示，如下表：典例剖析【例3】用符号””或““∉∈填空．(1)0 +N ； 0)1(- +N ； +N ；(2)若集合A 是由小于11的实数构成的，则A ；(3)若集合A 是由满足式子*2N ,1∈+n n 的实数构成的，则5 A ；【变式3】已知，若,M x ∈则N x ∈且Z x ∈+16，求集合M 中元素．知识点4：集合的表示----列举法知识点归纳（1）把的元素一一列举出来，并用“｛｝”表示集合的方法叫列举法．例如：“小于10的所有的自然数组成的集合”表示为{0、1、2、3、4、5、6、7、8、9}．（2）一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法，它具有直观明了的特点．（3）用列举法表示集合时，应注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合的元素必须满足三个特征；③若元素个数较多或无限个且构成集合的这些元素明显规律，也可用列举法，但必须把元素规律显示后才能用省略号．如不超过100的正整数构成的集合可表示为{1，2，3…，100}．典例剖析【例4】已知集合{x x A |=是小于6的正整数}，{x x B |=是小于10的质数}，{x x C |=是24和36的公约数}，用列举法表示下列集合：（1）{A x x M ∈=|，且}C x ∈；（2）{A x x N ∈=|，且}C x ∉；【变式4】设b a ,都是非零实数，||||||ab ab b b a a y ++=可能取值组成的集合是（） A ．{3} B ．{3，2，1}C ．{3，1，-1}D ．{3，-1}知识点5：集合的表示----描述法知识点归纳（1）用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在打括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．描述法的语言形式有三种：文字语言、符号语言、图形语言．（2）对无限集，一般情况用描述法表示．它的优点是形式简洁，能充分体现集合中元素的特征．（3）用描述法表示集合时，应注意：①写清楚集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在括号内；⑥用于描述的语句力求简明，准确．典例剖析【例5】用描述法表示下列集合：（1）{}9,7,5,3,1；（2）{}⋅⋅⋅,81,27,9,3；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅⋅,87,65,43,21；（4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合．【变式5】用列举法表示下列集合：（1）()},,4|,{**N y N x y x y x M ∈∈=+=；（2）}|14{N x Z xM ∈∈+=．知识点6：数集和点集知识点归纳作为高中数学来说，我们常见的集合有两种：（1）数集：表示形式为|{x 满足条件}P ；（2）点集：表示形式为(){}.,,Q y P x y x 满足条件满足条件典例剖析【例6】下面三个集合：2221{|1};(2){|1};(3){(,)|1}x y x y y x x y y x =+=+=+（）（1）它们是不是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？【变式6】可以表示方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集的是．（1）}2,1{；（2）(){}2,1；（3）}21|),{(==y x y x 或；（4）}21|),{(==y x y x 且；（5）}21|,{⎩⎨⎧==y x y x ）（（6）}0)2()1(|),{(22=-+-y x y x ．【冲击高考】1．设集合{}3,2,1=A ，则集合{}A y A x y x B ∈∈-=,|中元素的个数是 ( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．92．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意P b a ∈,，都有P ba ab b a b a ∈-+,,,（除数0≠b ），则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集{}Q b a b a F ∈+=,|2也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②数域必为无限集；③存在无穷多个数域．其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的命题的序号都填上）【反馈练习】1．下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数；（2）好心的人；（3）1，2，2，3，4，5．2．设a ,b 是非零实数，那么||||b b a a +可能取的值组成集合的元素是3．由实数332,|,|,,x x x x x --所组成的集合，最多含（） A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素 D ．5个元素4．下列结论不正确的是( ) A ．N ∈0 B ．Q ∉2 C ．Q ∉0 D ．Z ∈-15．下列结论中，不正确的是( )A ．若N a ∈，则N a ∉-B ．若Z a ∈，则Z a ∈2C ．若Q a ∈，则Q a ∈||D ．若R a ∈，则R a ∈36．用列举法把下列集合表示出来：（1）}99|{N x N x A ∈-∈=；（2）}|99{N x N xB ∈∈-=；（3）},,6|{2N y N x x y yC ∈∈+-==；（4）},,6|),{(2N y N x x y y x D ∈∈+-==（5）},,5,|{*N q N p q p x qp x E ∈∈=+==．第二讲集合间的基本关系知识点1：子集和空集知识点归纳1．子集的概念一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说集合A 包含于．．．集合B ，或说集合B 包含．．集合A ，记作：(B A ⊆或A B ⊇）．（1）子集的定义用数学符号表述为：B A B x A x ⊆∈∈则有若,．（2）用Venn 图表示B A ⊆．（3）我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作：φ．规定：空集是任何集合的子集，即对任何一个集合A ，都有A ⊆φ．2．子集的性质（1）反身性：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．（2）传递性：对于集合A 、B 、C ，如果A B B A ⊆⊆,，那么C A ⊆．说明：（a ）我们可类比数的大小关系来理解子集的性质．（b ）若B A ⊆，不能理解为子集A 是B 中的“部分元素”所组成的集合．若φ=A ，则A 中不含任何元素；若A 就是B ，则A 中含有B 中的所有元素，但此时都说集合A 是集合B 的子集．典例剖析【例1.1】已知集合(){}N y x y x y x A ∈=+=，，，2|，试写出A 的所有子集．【例1.2】（1）写出集合{}b a ，的所有子集，并指出子集的个数；（2）写出集合{}c b a ，，的所有子集，并指出子集的个数．【思考】含有n 个不同元素的集合有个子集．【变式1】已知集合M 满足{}{}5,4,3,2,12,1⊆⊆M 求所有满足条件的集合M ．知识点2：集合相等知识点归纳如果集合A 的任何一个元素，都是集合B 的元素．同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作B A =．特别提示：（1）若B A ⊆，同时B A ⊇，则B A =．因为B A ⊆，所以A 的元素都是B 的元素；又因为A B ⊆，所以B 的元素都是A 的元素，这就是说，集合A 与集合B 的元素完全相同，因此B A =．（2）要证明B A =，只需要证明B A ⊆且A B ⊆成立即可．即可设任意A x ∈0，证明B x ∈0从而得出B A ⊆．又设任意B y ∈0，证明A y ∈0从而得到A B ⊆，进而得到B A =．（3）判断两集合是否相等可用列举法．典例剖析【例2.1】设集合{}{}ab a a B b a A ,,,,,12==，且B A =，求20152014b a +．【变式2.1】已知集合{}y x xy x A -=,,，{}y x B |,|,0=，且B A =，求x 与y 的值．【例2.2】已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z a a x x A ,61|,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==Z b b x x B ,312|,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z c c x x C ,612|则集合A ，B ，C 满足的关系是__________．【变式2.2】设集合,,412|⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==z k k x x N ,214|，则( ) A ．N M = B ．N M ⊆ C ．N M ⊇ D ．M 与N 的关系不确定知识点3：真子集知识点归纳如果集合B A ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作B A ≠⊂特别提示：空集是任何非空集合的真子集．子集包含真子集和等集两种情况．典例剖析【例3.1】已知：2A {|230},{|10},x x x B x ax =--==-=若A B ≠⊂，试求a 的值【例3.2】已知：}|{},41|{a x x B x x A <=<≤=，若B A ≠⊂求实数a 的取值范围．【变式3】已知集合}121|{},51|{-≤≤+=≤≤-=a x a x B x x A ，（1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a 使得B A ≠⊂成立？若存在，求实数a 的取值范围；不存在，说明理由？知识点4：全集与补集知识点归纳(1)全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ．(2)补集定义的三种语言：(3)全集与补集概念的理解①补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．②若U x ∈，，则A x ∈和A C x U ∈二者必居其一，不仅如此，结合Venn 图及全集与补集的概念，不难得到如下性质：()()().,,A A C C A C A U A C A U U U U ==⋂=⋃φ典例剖析【例4.1】若全集2{2,3,23}U a a =+-，{,2}A b =，{5}U C A =，求实数a 和b 的值．【例4.2】设,{|16},{|22}U R A x x B x a x a ==-≤≤=+≤≤，若U B C A ⊆,求实数a 的取值范围．【变式4】已知：}32,3,2{},2|,12{|2-+=-=a a U a A ，且}5{=A C U 求实数a 的值．【冲击高考】1．设集合{}R x a x x A ∈<-=,1|||，{}R x b x x B ∈>-=,2|||．若B A ⊆，则实数a ，b 必满足( )A ．3||≤+b aB ．3||≥+b aC ．3||≤-b aD ．3||≥-b a2．设U 为全集，M 、N 、P 都是它的子集，则图中阴影部分表示的集合是 ( )A ．()[]P N C M UB ．()P N MC ．()()[]P N C M C U UD ．()()P N N M。

高中数学必修一第一章集合知识点总结

高中数学必修一第一章集合一、集合的概念1、集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

注意：在集合中，通常用小写字母表示点（元素），用大写字母表示点（元素）的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点（元素），用小写字母表示点的集合，应注意区别。

2、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø。

3、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。

（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。

集合中的元素互不相同。

例如：集合A={1，a}，则a不能等于1。

（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。

例{0，1，2}有其它{0，2，1}、{1，0，2}、{1，2，0}、{2，0，1}、{2，1，0}等共六种表示方法。

4、元素与集合之间只能用“∈”或“∉”符号连接。

5、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合。

（2）无限集：含有无限个元素的集合。

（3）空集：不含任何元素的集合。

6、常见的特殊集合：；（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）；（2）正整数集N*或N+（3）整数集Z（包括负整数、零和正整数）；（4）实数集R（包括所有有理数和无理数）；（5）有理数集Q（包括整数集Z和分数集→正负有限小数或无限循环小数）；（6）复数集C，虚数可以指不实的数字或并非表明具体数量的数字。

在数学中，虚数就是形如a+b*i 的数，其中a，b是任意实数，且b≠0，i²=-1。

二、集合的表示方式1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。

《集合》知识点总结

《集合》知识点总结一、集合的基本概念1、集合：一些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象称为元素。

2、集合的表示：用大括号{}或小括号()表示，元素与集合的关系为“属于”或“不属于”。

3、集合的特性：确定性、互异性、无序性。

二、常见集合的表示方法1、自然数集：N2、整数集：Z3、有理数集：Q4、实数集：R三、集合的运算1、交集：取两个集合的公共元素组成的集合，记作A∩B。

2、并集：把两个集合合并起来，记作A∪B。

3、补集：把属于一个集合但不在该集合的元素组成的集合，记作CuA。

四、集合间的关系1、子集：若一个集合A的每一个元素都是另一个集合B的元素，则称A是B的子集。

2、真子集：如果A是B的子集，且A≠B，则称A是B的真子集。

3、相等：当且仅当两个集合的元素完全相同，且不强调元素的顺序时，两个集合相等。

五、集合的基本运算性质1、若A、B为两个集合，有A∩B=B∩A。

2、若A、B为两个集合，有Cu(A∩B)=CuA∪CuB。

3、若A、B、C为三个集合，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

4、若A、B为两个集合，有(CuA)∪B=(A∪B)∩CuB。

5、若A、B、C为三个集合，有(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。

6、若A、B为两个集合，有(CuA)∩B=Cu(A∪B)。

7、若A、B为两个集合，有(CuA)∪(CuB)=Cu(A∩B)。

集合知识点总结一、集合、元素及其关系1、集合的基本概念：集合是一个不重复的元素的集合，常用大写字母表示集合，如A={1，2，3}，B={apple，banana，cherry}。

2、集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。

列举法是把集合中的元素一一列举出来，适用于元素数量较少的集合；描述法是用集合中元素的共同特征来描述集合，如自然数集N={n|n是自然数}。

3、集合的元素关系：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么称A是B的子集，记作A⊆B。