平面向量中“三点共线定理”妙用

合集下载

(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值；图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

平面向量三点共线定理

平面向量三点共线定理
平面向量三点共线定理：
（1）定义
平面向量三点共线定理是指：在三维空间中，若三个任意的点共在一个平面，则它们所在的平面的向量也可以构成一条直线。

（2）正式定义
如果S1、S2、S3是三个同一平面的点，则这三个点的向量形式为：S1S2，S2S3和S1S3，它们围绕原点O构成一种结构，即三角形形式的向量，满足以下条件：
若三个向量都平行，则说明三个点共线。

（3）实际应用
在很多数学知识中，平面向量三点共线定理有着重要的作用。

例如：在平面几何学中，有一个叫“三角平分线定理”的定理，就是用平面向量三点共线定理来推断的结论。

此外，平面向量三点共线定理还可以应用于判断几何图形是否平行、
垂直或成一条直线，甚至可以用于决定三角形的内角和外角，以及三
角形的面积大小等。

（4）证明方式
平面向量三点共线定理是采用数学归纳法来证明的：
设ABC是平面上任意三点，用AB表示AB连线，则有AB+BC=AC。

同理，用BC表示，则有BC+CA=AB，用CA表示，则有CA+AB=BC。

相似地，可以证明，任意N个点在同一平面上的加和结果均为零，即：AB+BC+CD+…+AP=0。

这时，由于任意三个点位于同一平面，包括它们的任意两个连接向量
在内的多个向量的加和结果都是0，因此，任意三个点都必定在一条直线上，这就是平面向量三点共线定理的实际物理意义。

向量中三点共线结论的运用

而： OD OA OB =kOC 【结合两组共线条件】

1 OC = OA OB m n , 1 【联系所求表达式，转换条件】 k k k k k
点评：运用极限思维也可以解决这道题。当ＡＢ距离无限接近于０时（即：A、B 重合为一点时）：
1. 其实两道题描述的都是相同的情景，第一题等价于：已知：O 是钝角三角形的外心，且
OC xOA yOB x、y R ，求 x y 的取值范围。刚好是对偶的题目。
2. 第二题在第一题的基础上有所提高，需要自己构造 D 点。所谓外心其实是为了提供一个外接圆，初做此题容易使人联想到外心的性质，误入歧途。但实际上两题基本思路一致，甚至利用极限情况求解的方式也一致。 3. 利用极限情况求解往往可以达到很好的解题效果。
1 OC OA= OB ，m=n= ，m+n=-1；当 AB 距离无限接近于外接圆直径时（即：△趋近 2
于直角△）：m=n→（趋近于），m+n→ 。当然，以上两种极端情况都不可能取到，所以用开区间 , 1 。
三、总结归纳

.
2015.1.22 JZX
解答：令 OC 的反向延长线与 AB 交于点 D， OD kOC ，由于 D 在圆外，则 k 1,0 【C、 O、D 的三点共线的条件】

D、A、B 三点共线，可令： OD OA OB =1 【D、A、B 的三点共线的条件】
点评：运用极限思维也可以解决这道题。当 OA 无限接近于 OD 时（即：D 在圆上时）：m=-1， n=0；当 AB 平行于 OC 时（即：CO、BA 交于无穷远处时）：m=-n，m+n=0。当然，以上两种极端情况都不可能取到，所以用开区间 1, 0 。 2. （2015·绵阳一诊 10 改编）已知： O 是锐角三角形的外心，且 OC xOA yOB x、y R ，求 x y 的取值范围答案： , 1

三点共线向量式的巧妙运用

２（ａ－ｂ＋ｂ）由均值不等式得ｂ（０，ａ－ｂ）≤ ＝４
１４４２２当且仅当ａ · ２＝４， ≥ａ＋２ ≥ ２ｂ（ａ－ｂ）ａａ
槡
ａ－ｂ＝ｂ且ａ２＝
＝
４时等号成立解得．ａ＝槡２，ｂ２ａ５
２，２时，的最小值是槡又ｃ＝ａ＝槡ｕ４．２５
１
ＣＰＣＮ２故Ｓ△ＡＰＣＣＰ２＝＝，＝＝．ＣＢＣＡＳ△ＡＢＣＣＢ３３２有关计算和证明问题此类问题如果善于利用三点共线向量式，往
∴ 往使问题的求解变得非常简便．例３（２００７年江西卷）如右图，在 △ＡＢＣ中，Ｏ是，中点过点的直线分别ＢＣＯ交直线ＡＢ、ＡＣ于不同两点 → → Ａ → 若ＡＭ、Ｎ，Ｂ＝ｍＡＣＭ，＝Ｎ →，则ｍ＋ｎ的值ｎＡ为．１（ｍ → Ｏ → Ｂ → → 解ＡＡＣ）＝ＡＭ＋＝＋Ａ２２
ＢＣ的外心，ＡＢ＝６， △Ａ → Ｂ → → 若Ａ且２ＡＣ＝１０，ＯＣ，ｘ＋１０＝ｘＡ＋ｙＡｙ＝
４４
中学数学教学
２０１０年第５期Ｐ → ２Ｂ → Ｐ → ０，又Ａ＋Ｐ＋３Ｃ＝ → → →， ∴ＡＰ＝－２ＢＰ－３ＣＰＰ → Ｐ → ３Ｐ →）（１Ｐ →， ∴ ｔＣＢＢ＝－－２－Ｃ＋ λ－） λ（Ｐ → （Ｐ → ０．））即（３ＢＣ＋３＝ λ－１ λ－ｔＰ →、Ｐ → 不共线， ∵ＢＣ１ λ＝，３ λ－１＝０烄３ ∴ ３ λ－ｔ＝０烅ｔ＝１，烆 → → ∴ＰＱＰ＝ｍ＝Ｃ → → Ｑ → ２ ∴ＣＱＰ＋Ｐ＝Ｃ＝ｍ．评注本题既考虑到三点共线向量式，同时

平面向量中的三点共线结论的应用

若，3.已知B 为OAC 边AC 上一点，且满足OC y OA x OB +=4，不等式222313x y m m x y +≥-++恒成立时，实数m 的最值范围为___________.巩固练习1.在ABC ∆中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若),(R y x AC y AB x AO ∈+=且21x y +=，则ABC ∆的面积的最大值为_____．2.在P AB ∆中，,60,9,80=∠==APB PB P A 点C 满足PB y P A x PC +=,且,0,0,532≥≥=+y x y x 其中则||PC 的最大值为______，最小值为______.3.已知ABC ∆的外心为O 满足AC y AB x AO +=,若,10,6==AC AB 且,5102=+y x 则=∠BAC cos ______.例5.如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =，设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11[,1]3x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围为______.巩固练习2.（2022·辽宁葫芦岛·高三期末）如图，在等腰ABC 中，已知2AB AC ==，120A ∠= ，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE AB λ= ，AF AC μ=，其中λ，R μ∈，且21λμ+=，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则MN的最小值是（）A ．77B ．217C ．2114D ．213．（2023·全国·高三专题练习）直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM m AB = ，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论错误的是（）A ．12m n+为常数B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为12m =，2n =巧用杠杆原理处理三角形中的向量问题数值，各线段上得如图所示各点的标数则根据杠杆平衡原理可，已知三角形中的赋值标数法,d,cNC AN b a MB AM ==点数值乘数值等于点数值乘线段上，段数值乘积相等。

平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理:在平面中A 、Ｂ、Ｐ三点共线的充要条件是:对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x ，ｙ使得:OP xOA yOB =+且1x y +=。

特别地有：当点Ｐ在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段A Ｂ之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现,运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题,模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（0６年江西高考题理科第7题)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为Ｓｎ，若1200OB a OA a OC =+,且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O),则S 20０=( ) A ．100ﻩﻩﻩﻩＢ.１01 ﻩＣ．2００ ﻩﻩﻩD.201解：由平面三点共线的向量式定理可知：ａ1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选Ａ。

点评:本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起,是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,则yx 41+ 的最小值是解:点P 落在ABC 的边ＢC 上 ∴B ，Ｐ,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y x x y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评:本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起, 较综合考查了学生基本功.例3(湖北省２０11届高三八校第一次联考理科）如图２,在△ABC 中，13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数ｍ的值为( ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4(０7年江西高考题理科)如图3,在△ABC 中,点O 是B Ｃ的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、ＡＣ于不同的两点M 、N,若AB = m AM ，AC ＝ｎAN ，则m ＋n 的值为 .解:因为O 是B Ｃ的中点,故连接ＡO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知:1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省２01０届高三六校第三次联)如图５所示：点G 是图3图4图2△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =,证明:yx 11+是定值; 证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线,11133x y∴+= 113x y ∴+= 11x y ∴+为定值3例6（汕头市东山中学20１3届高三第二次模拟考试)如图６所示,在平行四边形ＡＢＣD 中,13AE AB =,14AF AD =,CE 与B Ｆ相交于G 点，记AB a =，AD b =,则AG =＿＿＿____A.2177a b +B. 2377a b +C. 3177a b + Ｄ. 4277a b + 分析:本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题,所以我们很容易联想到点F 、G 、Ｂ以及Ｅ,Ｇ,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

平面向量三点共线的应用

B
D EA
O
C
【典例】2.
在ABC中，点P是AB上一点，且 BP 2PA，Q是BC的中点， AQ与CP的交点为 M , 又CM tCP, 求实数t的值。
A P
M
B
Q
C
【变式】.
在ABC中，点P是AB上一点，且 BP 2PA，Q是BC的中点， AQ与CP的交点为 M , 又 AM t AQ, 求实数t的值。
A P
M
B
Q
C
【典例】3. 已知G为ABC的重心，过点 G的直线与边 AB, AC分别相交于点 P, Q，若AP 3 AB, 求ABC与APQ的面积之比。
5
A
P B
G Q
C
【典例】4.
已知在平行四边形ABCD中，M , N分别是边BC,CD的中点， AM与BN相交于点P,若a AB,b AD,用a,b表示AP的结果是（）
N
D
C
P
M
A
B
平面向量中三点共线定理的应用
----求向量（线段）的比例关系
知识梳理
三点共线定理
【典例】1.
如图，在OCB中，A是CB的中点，D是将OB分成2：1的一个内分点，
DC和OA交于点E，设OE OA,求实数的值。
BD Leabharlann AOC【变式】.
如图，在OCB中，A是CB的中点，D是将OB分成2：1的一个内分点， DC和OA交于点E，设CE xCD, 求实数x的值。

向量中有关三点共线的一个结论的简单应用

2021年第07期总第500期数理化解题研究向量中有关三点共线的一个结论的简单应用孙红(浙江省青田中学；2；900)摘要：向量具有几何和代数的双重属性，它是沟通几何与代数的桥梁，注重运用向量解决数学问题,体现了几何与代数的融合，有利于培养学生的数学思维能力，有利于提升数学学科核心素养.本文结合具体的实例，探讨了向量中三点共线的一个结论的简单应用•关键词：向量；三点共线；应用中图分类号：G632 文献标识码:A 文章编号：；008 -0333(202；)07 -0049 -03向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是解决解析几何的有力工具,有着丰富的实际背景和深刻的几何背景.向量来源于物理，并且兼有”数”和”形”的特点，坐标表示使平面内的向量和坐标建立了一一对应的关系，将“数”与“形”紧密结合起来’从而将图形的基本性质转化为向量的运算体系•在平面向量的解题中涉及到三点共线时经常用到下面的结论,我们一起来探讨一下•结论已知0，A ,B ，C 四点共面，若0C 二入°4 + “ OB(入，“ e R ),则A ,B ,C 三点在同一条直线上的充要条件是入 + “ - 1.证明 (先证必要性) 若A ,B , C 三点在同一条直线上，则存在t e R ,使得A C - t AB.所以O B - 04 -t ( O B - B ).即 B - (1 - t )04 + t 0B -入 B + /zO B .则r -；-t ，此时入+“-1.z 二t ,(再证充分性)若入+ z - 1,则0C -入04 + z 0B - (1 -z )0B + z 0B .所以0B - 0B -z (0B - 0B ).即A C -/zA B .所以A ,B ,C 三点在同一条直线上.综上所述,A ,B , C 三点在同一条直线上的充要条件是入+ z — ； •点评平面向量三点共线结论中三个向量04,0B , 0B 必须是同起点，其中蕴含了一个几何特征，即三点共线和一个代数结论入+ z -1 •上述结论中包含了两个方面：(；)若A ,B ,C 三点在同一条直线上，则入+ z -1； (2)若入+ z -；,则A , B , C 三点在同一条直线上•在向量解题中要注意灵活应用,即结论的正用和逆用,下面一起来看一下结论的简单应用.题1在A ABC 中,D ,E 分别是线段BC 上(除端点外)的两个动点,B + B -% A b + yA c ,求丄+ 4的最小值.%y分析因为B ,D ,C 三点共线，所以存在m E R ，使得A 力-mA B + (1 - m )A C . ①同理，由B , E , C 三点共线，则存在n e R ,使得A B -nA B + (1 - n )AC.②所以AD + AE - (m + n )A B + (2 - m - n )AC - % A B +% - m + n , “ …y AC ,即｛解得 % + y -2•y - 2 - m - n ,又分别是线段BC 上的两个动点,所以0 < m <1,0 < n < 1.2% - 3、时等号成立.4y -；所以 0 <%,y <2.所以丄+ -y -I I 1 +%y 2 V %/5+2 弹・4% ]-9,V %y 丿2,'% + y -2,当且仅当y 4%即V %y ,:0( %+y )-2 f 5 + % +4；所以丄+ ~~的最小值为刍.% y 2点评本题条件不多，解题时要充分利用已知条件找到%,y 满足的关系式•上述解题过程中利用了平面向量三点共线的一个结论’根据B ,D ,C 三点共线和B ,E ,C 三点共线可得到等式①和②，结合已知条件可得% + y -2,因此本题就转化为在% + y -2和0<%,y <2的条件下，求丄+ 土%y收稿日期：2020 -12 -05作者简介:孙红(1979 -)，女，安徽省宿县人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.— 49—数理化解题研究2021年第07期总第500期的最小值问题，利用1的代换容易求出最小值题2 已知0为△ 4BC 所在平面内的一点,0》—4 0》,0力—1 0》,4D 与BC 交于点M ,设0》—a , 0》—b .用a ,b 表示0》.分析这是学生作业本上的一道习题，学生拿到这道题可能会感觉无从下手,题目中涉及的向量比较多，事实上,根据题目条件4,M ,D 三点共线，存在m e R ,使得而—m 0》+ (1 - m )0》—m a +辽％①同理B ,M ,C 三点共线，存在n e R ,使得》—n0》+ (1 - n )0》—a + (1 - n )b .②一n m 二才，由等式①和②可得，解得＜1 - m v4n — .1 ；所以0M — 7 a + 7 b .当然本题也可以利用平面图形的几何性质来解决. 过点》作04交BC 于点N ,根据题意容易得到，DN—1 0C — 1 C4.所以》M — 1 M4,—1》》—2 6 6 77 (0》-0》)—7 卜-1 bj— ； a -[[b .所以0》—0》+—；a + 7 b .题3 已知0为△ 4BC 外接圆的圆心,4B —6,4C —15,40 — % 4》+ y 4》,2% +3y — 1,求 cosZ B4C 的值.分析 40 — % 4》+ y 4C — 2% x 2 4》 + 3 y x ； 4》,令4》丁 — 1 4》,4C ； — 1 4》,贝V 40 —2% 4》；+ 3y 4C ；.因为 2%+ 3y — 1,所以0,B',C '三点共线•又0为厶4BC 外接圆的圆心,B ；是线段4B 的中点,所以B'C ；是线段4B 的中垂线•在 RtA 4B'C ；中，有 4B ； — 1 4B —3,4C ； — ； 4C — 5,4B ；cos/B'4C ‘ — 4》3—5 •即 cosZ B4C35点评上述解题过程利用了平面向量中三点共线的结论，因为题目条件中给出等式2% +3y — 1,有时我们会想能否利用三点共线的结论,而要利用结论必须要出现系数2%和3y ,因此需要对已知等式进行恒等变形，即40—%4》+ y4》—2% x 2 4》+ 3y x ； 4》,这时只需令4》—1 4》,4》—；4》,贝V 4》—2% 4》+3y4》.又 2% +3y — 1, 容易得到0,B ；,C ；三点共线,这是三点共线结论的逆用, 通过对已知等式进行恒等变形，结合已知条件构造三点共线进行解题，这种解题思路在向量解题中经常运用.题4给定两个长度为1的平面向量0》和0》,它们的夹角为120°,点C 在以0为圆心的圆弧4B 上变动，若0C — % 0》+ y 0》(% ,y e R )，求% + y 的最大值•分析连接4B 交0C 于点》，因为4,B ,》三点共线,则存在 m , n e R ,使得0》—m 0》+ n 0》,m + n — 1(m ,n e R ).又0,》,C 三点共线,所以存在t e R ,使得0》 -t0》 — tm 0》 + tn 0》—% 0》+ y 0》.即｛，解得 % + y — t ( m + n ) — t.y — tn.又t俑—嵩，当0》丄4B 时」轨占此时t唤—2,即% + y 的最大值为2 •点评上述解题过程中利用了 4,B ,》三点共线，存在m ,n e R ,使得0》—m 0》+ n 0》,m + n — 1,以及0, D , C 三点共线，存在t e R ,使得0》—t 0》,从而得到等式% +y — t.又t — 0》— J ,因此要求% + y 的最大值，即求|0》 |0》0》的最小值,结合图形容易求得答案•事实上，假若%+ y — 1,则4,B ,C 三点共线，但是因为点C 在圆弧4B 上运动，因此只需将直线4B 平移至4'B ‘，使得直线4'B ；与圆弧4B 有交点,即为点C.根据等和线定理容易得到,% + y —-p0》l — 10》|•又'0》e [t ，1 ]，所以%+ y 的最大值为2 ,此时直线4'B ‘与圆弧4B 相切，切点为点C.思路1根据平面向量分解定理，按照向量加法的几何意义及平行四边形法则,等式0》—%0》+ y 0》表明了将0》向0》和0》方向上进行分解，在0》和0》方向上的投影分别是%,y ,因此我们可以利用余弦定理得到等式%2 + y 2- %y — 1,然后再结合基本不等式知识或△法求解% + y 的最大值.思路2引入变量Z C0B — a ,利用正弦定理将% + y的最大值问题转化为关于a 的三角函数的最值问题.思路3建立平面直角坐标系，将本题转化为向量的代数运算.比如以0》所在直线为%轴，以点0为坐标原点建立平面直角坐标系，容易得到4 (1,0),B设C (cos 0,sin 0)〔0三0三；n )根据0C — % 0》+ y 0》.将 % + y 的最大值问题转化为关于0的三角函数的最值问题.变式若本题的其他条件不变，求2% + y 的最大值. 上述几种方法同样适用，若用到等和线定理,则需将—50—2021年第07期总第500期数理化解题研究已知等式进行恒等变形•事实上’OC-%04+y O B-2%X ；04+y O B,令O M-；04,即M为线段OA的中点，则OC-2%O M+y O B.连接MB交OC于点N，假设2%+y -1,则C,M,B三点共线,但是因为点C在圆弧AB上运动,根据等和线定理,只需将直线MB平移至M'B，,使得直线M‘B，与圆弧相切’切点为点C,此时(2%+y)喰-临-侖，根据图形可得OC丄M'B',MB〃MW.所以OC丄MB,即ON丄MB,在△ABM中利用面积法可求得O/V•题5(2019年浙江高考卷)已知点F(1,0)为抛物线y2-2p%(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A,B 两点，点C在抛物线上，使得A ABC的重心G在%轴上，直线AC交%轴于点Q,且点Q在点F的右侧，记A AFG,△CQG的面积分别是S；,S2•(1)求卩的值及抛物线的准线方程；S(2)求S；的最小值及此时点G的坐标.S2分析解析几何是高考重点考查的内容之一,本题考查的是抛物线的标准方程以及直线与抛物线的位置关系,同时考查了学生的转化与化归能力、数形结合能力、运算求解能力,以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力,考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养•(；)抛物线的标准方程为y2-4%；(2)思路1设点法•设点A(t2,21),写出直线AF的方程，联立抛物线方程可求得点B的坐标(用t表示),结S合已知条件从而求得点C,G,Q的坐标,进而得到S；的表S2达式，可写成关于变量t的函数，最后利用换元法以及基本不等式等知识求得函数的最小值.思路2设出直线AB的方程，如Z AB:%-my+ 1,将直线AB的方程与抛物线方程联立,设A(%；,y；),B(%2,y2),利用韦达定理，结合题目条件容易求得点C,G,Q的坐标, S从而得到S；的表达式，因此问题就转化为求函数的最小S2值问题•这两种方法都比较好,但解题中计算量非常大，很难将解题进行到底，解决此题需要一定的综合解题的能力.思路3有些同学是利用向量知识进行求解，相比较而言计算量较小，在解题过程中利用了平面向量中三点共线的一个结论，及三角形中的重心的性质等知识,最终S将S；最大值问题转化为求函数的最大值问题•下面是利S2用向量法求解本题的部分解析•因为点G是A ABC的重心，则S△agb-S△agc.令A F-入A V,AQ-/zAC(0<入，“<1),贝卩S；-S“G-^S△ABG，S2-S△CQG-(1-z)S△AGC.所以-；—延长AG 交BC于点M,则A M-；(A F+A C),AG-；A M-；(A B+A C).又F,G,Q三点共线，所以存在t e R,使A F -tAF+(1-t)AQ-入tAB+z(；-t)A C-；(AB+AC).即｛入t-V，解得入二2"[•门、13"-；z(；-1)二亍又0<入,z<；,所以2<z<；•A A所以S；二入__S21-z(3z-；)(；-仏)-3^z2+4z-；■3--1+孚——；、三3z+^丿+4-23+4当且仅当｛”-丄,z；；；C T+7-3,即｛\3+3入二6时等号成立.73“-；所以的最小值为；+£•(点G的坐标求解略)解析几何中有关面积最值或范围问题是高考的热点和难点之一，一般来讲有两种常见的解题思路：(1)构造关于所求量的函数,将有关面积的最值或范围问题转化为函数的最值或范围问题；(2)构造关于所求量的不等式来求解最值或范围.解题过程中经常将直线方程与圆锥曲线方程联立,利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离、基本不等式等知识•解析几何作为高考解答题之一，常作为压轴题,解答题重视数学思想、数学方法的理解、掌握与灵活运用，综合性强，难度较大，体现了对学生数学素养的考查.对于本题相比较前面涉及到的三种解题方法中，利用向量法求解本题计算量较少,容易求解.参考文献:[1]何振华.例谈高中数学一题多解的“套路”[J].福建中学数学,2018(12)：38-40.[责任编辑:李璟]—51—。

在平面向量中,三点共线的应用

在平面向量中，三点共线的应用赣州中学龚海院高中数学北师大版必修4课本第二章平面向量，第82页有例题3.题目为：A,B,C 是平面内三个点，且A 与B 不重合，P 是平面内任意一点，若点C 在直线AB 上，则存在实数λ，使得(1)PC PA PB λλ=+-证明：如图所示，因为向量BA BC 与共线，根据向量共线定理可知：证完.注意到: PA PB 与的系数之和为1-+=1λλ（）。

此命题的逆命题也是成立的。

特别说明，。

此命题在解决一些几何问题（诸如“三点共线”或类似的题）时有着广泛的应用。

以下通过例题来加以说明。

下面仅举几例，以飨读者。

例1 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上。

BN=13BD ，求证：M 、N 、C 三点共线。

证：设1AB e =，2AD e =，（1e 与2e 不共线），则21BD e e =-.∵N 为BD 的三等分点，∴2111()33BN BD e e ==-,而11122BM BA e ==-, ∴21212111211212()333323333BN e e e e e BM BC BM =-=+⨯-=+=+,∵12,33m n ==，且m+n=1，且B 、M 、C 三点不共线，则点M 、N 、C 三点共线。

例2 （06年江西高考题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若120O B aO A a O C =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=A ．100B ．101C ．200D ．201()()(1)BC BAPC PB PA PB PC PB PA PB PC PB PAλλλλλ=-=-=+-=-+,,,,1,,,A B C P PC xPB yPA x y A B C =++=命题：已知平面上四点：，若有且则三点共线。

,1,1-y)(),,PC xPB yPA x y PC PB yPA PB y PA PB PC PB yBA PC PB yBA BC yBA BC BA =++==+=+-=+-==证明：因为且则（即是,所以，故与共线，从而A,B,C三点共线，证完。

平面向量中三点共线定理的应用

平面向量中三点共线定理的应用知识梳理(一)对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ,使b aλ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二)三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ,存在唯一的一对实数x ,y 使得：OP xO A yOB =+ 且.OP xO A yOB =+ 例题精讲例1设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于()A.OM→B ．2OM→C ．3OM→D ．4OM→例2如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝．例3如图所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB = ,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a = ,AD b = ,则AG =_______例4在△ABC 中，D 是△ABC 所在平面内一点,且AD →＝13AB →＋12AC →,延长AD 交BC 于点E ,若AE →＝λAB →＋μAC →,则λ－μ的值是．练习1．如图,在三角形ABC 中,BE 是边AC 的中线,O 是BE 边的中点,若AB →＝a ,AC →＝b ,则AO →＝()A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 2．(2019·济南调研)在△ABC 中,AN →＝14NC →,若P 是直线BN 上的一点,且满足AP →＝mAB →＋25AC →,则实数m 的值为()A ．-4B ．-1C ．1D ．43．在△ABC 中,13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数m 的值为()A ．911B ．511C ．311D ．2114．如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝()A ．12AC →＋13AB→B ．12AC →＋16AB→C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB→6．(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ,μ∈R),则52μ－λ＝()A ．－12B ．1C.32D ．－37．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．8．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．9．(2019·中原名校联考)如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，则APPM＝________．10．点G 是△OAB 的重心,P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点,且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =,OB y OQ =,证明：yx 11+是定值；11．在三角形ABC 中,AM ﹕AB =1﹕3,AN ﹕AC =1﹕4,BN 与CM 相交于点P ,且a AB =,b AC =,试用a 、b表示AP .12．已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,求yx 41+的最小值.PABCMN答案例1答案：D 解析：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →例2解：因为E 为线段AO 的中点，所以BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋1221(⨯BD →)=12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，所以λ＋μ＝12＋14＝34.例3解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG xAE x AC∴=+- , 1133AE AB a == ,AC a b=+ 12(1)()(1)(1)33x AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AFλλ∴=+- 1144AF AD b ==，，1(1)4AG a b λλ∴=+-……………………………②由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩3177AG a b ∴=+ 例4解：设AE →＝xAD →，因为AD →＝13AB →＋12AC →，所以AE →＝x 3AB →＋x2AC →.由于E ，B ，C 三点共线，所以x 3＋x 2＝1，解得x ＝65.又AE →＝λAB →＋μAC →.所以λ＝x 3＝25，μ＝x 2＝35，因此λ－μ＝－15.练习1、答案：D 解析：因为在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，所以AE →＝12AC →.因为O 是BE 边的中点，所以AO →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b .2、答案：B解析：根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋－(1－n )AB →＋n5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，n ＝m ，＝25，＝2，＝－1.3、答案：C 解析：,,B P N 三点共线，又2284111111AP m AB AC m AB AN m AB AN=+=+⨯=+ 8111m ∴+=311m ∴=4、答案：B 解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.5、答案：C 解析：如图，因为EC →＝2AE →，所以EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.6、答案：A 解析：AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因此E ，M ，F 三点共线．所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，则2λ－5μ＝1.因此52μ－λ＝－12.7、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.8、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，＋μ＝1，＋12μ＝1，＝2，＝23，所以λ＋μ＝43.9、答案：4解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，因为A 、P 、M 三点共线，所以存在唯一实数λ，使得AP →＝λAM →.又知M 为BC 的中点，所以AP →＝12λ(a ＋b )．因为B 、P 、N 三点共线，所以存在唯一实数μ，使得BP →＝μBN →，又AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋μBN →＝AB →＋μ(AN →－AB →)＝AB →＋－(1－μ)a ＋2μb ，所以12λ(a ＋b )＝(1－μ)a ＋23μb ，μ＝12λ，＝12λ，解得λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，PM →＝15AM →.所以|AP →|∶|PM →|＝4∶1，即APPM＝4.10、证明：因为G 是OAB 的重心，分析：211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OPx=∴=1OQ yOBOB y=∴= 111111()()3333OG OA OB OQ OG OP OQx y x y ∴=+=+∴=+又,,P G Q 三点共线，11133x y∴+=113x y∴+=11x y∴+为定值311、解：,,N P B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得,1AP xAB y AN x y =++=,AN ﹕AC=1﹕4,b AC AN 4141==1444y y x AP xAB AC xa xa b -∴=+=+=+……①又,,C P M 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数μ,λ使得,1AP AM AC μλμλ∴=++=∵AM ﹕AB=1﹕3∴a AB AM3131==，，133AP a b a b μλλλ-∴=+=+ ……………………………②由①②两式可得：1314x x λλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩311211x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩81,11x y y +=∴=321111AP a b∴=+12. 点P 落在ABC 的边BC 上∴B，P,C 三点共线AP xAB y AC=+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y ∴+=+⨯=+⨯+=++=++ x>0,y>040,0y xx y∴>>由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y xx y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >> 2y x ∴=1x y += 12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9。

平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a //),0(,的充要条件是：存在唯一的实数，使ba 由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOAyOB 且1xy。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0xy当点P 在线段AB 之外时，0xy笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OBa OA a OC，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（）A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S ,故选A 。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC 的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP .,，则yx41的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上B ，P,C 三点共线A Px A By1xy　且x>0,y>014141444()1()()145y xy xx y x y xy x yxy x yx>0,y>040,y x xy由基本不等式可知：4424y x y x xyxy，取等号时4y x xy 224yx2y x 0,0x y 2y x 1x y 12,33xy，符合所以yx41的最小值为9点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13ANNC ，点P 是BC 上的一点，若211APmABAC ，则实数m 的值为（）A ．911B.511 C.311 D.211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN8111m311m，故选C例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO ABAC m AB AM ＝，AC nAN1()2AO mAM nAN 22m n AOAMAN又,,M O N 三点共线，由平面内三点共线定理可得：122m n 2m n 例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP，OB y OQ ，证明：yx11是定值；图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OGOAOB OAOB 1OP xOA OA OP x 1OQ yOB OBOQy111111()()3333OGOA OB OP OQ OGOPOQxy x y 又,,P G Q 三点共线，11133xy113xy11xy为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB ,14AFAD ,CE 与BF 相交于G点，记AB a ，ADb ，则AG _______A ．2177abB. 2377ab C. 3177ab D.4277ab分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

向量三点共线定理及其延伸应用汇总

向量三点共线定理及其延伸应用汇总首先，我们来证明向量三点共线定理。

假设向量AB和AC共线，则存在一个实数k，使得AB=kAC。

又因为向量的相等意味着它们具有相同的长度和方向，所以AB和AC具有相同的方向，这表明点A、B、C共线。

反过来，假设点A、B、C共线，则可以找到一点O，使得向量OA和向量OB在同一条直线上。

将向量OB-OA=AB记作向量u，以及向量OC-OA=AC记作向量v，则AB=u+(−v)和AC=v，我们可以发现向量u和向量v具有相同的方向，因此它们共线。

在证明了向量三点共线定理之后，我们介绍一些具体的应用。

1.已知两个点A和B的坐标，求过这两点的直线方程假设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个点，我们可以使用向量的三点共线定理来求解过这两点的直线方程。

首先求得向量AB=(x2-x1,y2-y1)，然后选取其中一点作为直线的起点，将AB的坐标代入到直线方程中，可以得到直线的方程。

2.已知三个点A、B和C的坐标，判断它们是否共线可以将向量AB和向量AC进行比较，如果它们的比值相同，则说明向量AB和AC共线，即点A、B、C共线。

这个方法可以使用来判断三个点是否共线。

3.求平面上一个点到一条直线的距离假设直线的方程是Ax+By+C=0，平面上的一个点是P(x0,y0)，我们可以使用向量的方法来求解点P到直线的距离。

首先求得向量n=(A,B)，然后我们可以得到直线上一点Q(x,y)的坐标为Q(x,y)=P+λn，其中λ为实数。

将直线上一点的坐标代入到直线方程中，可以得到λ的值，然后计算点P到直线的距离，即为PQ的模。

4.求平面上一个点到两条直线的距离假设直线的方程分别是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0，平面上的一个点是P(x0,y0)，我们可以使用向量的方法来求解点P到这两条直线的距离。

首先求得向量n1=(A1,B1)和n2=(A2,B2)，然后我们可以得到直线上一点Q1(x,y)的坐标为Q1(x,y)=P+λn1，以及直线上一点Q2(x,y)的坐标为Q2(x,y)=P+μn2，其中λ和μ为实数。

高考数学100个热点题型秒解技巧之三点共线定理及其推论的妙用

1化难为易化繁为简四大特色助快速解题◎ 100个秒解技巧 ◎ 80个精妙二级结论 ◎ 10年高考真题为例◎ 700个例题深入剖析2019年4月版秒解高考数学100招—— 选择、填空篇 ——◆ 例（2016山东理7）函数)cos sin 3()(x x x f +=)sin cos 3(x x -的最小正周期是( )A.2πB.πC.23π D.π2 【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知x x cos sin 3+以及x x sin cos 3-的周期均为π2,则)sin cos 3)(cos sin 3()(x x x x x f -+=的周期为π,选B .目录 CONTENTS1、集合⇒利用特值逆代法速解集合运算题 (2)2、集合⇒利用对条件具体化巧解集合运算题……………………………………3、集合⇒运用补集运算公式简化集合计算………………………………………4、简易逻辑⇒利用韦恩图巧解集合与数量关系题………………………………5、简易逻辑⇒借助数轴法巧解充要条件问题……………………………………6、复数⇒利用逆代法、特值法速解含参型复数题………………………………7、复数⇒利用公式速解有关复数的模的问题……………………………………8、复数⇒利用结论快速判断复数的商为实数或虚数……………………………9、复数⇒利用公式快速解决一类复数问题………………………………………10、三视图⇒柱体和锥体的三视图快速还原技巧………………………………11、三视图⇒利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图……………………12、不等式⇒利用逆代法巧解求不等式解集问题………………………………13、不等式⇒利用特值法速解比较大小问题……………………………………14、不等式⇒利用数轴标根法速解高次不等式…………………………………15、不等式⇒用代入法速解f型不等式选择题…………………………………16、不等式⇒利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式…………17、不等式⇒利用结论速解含双绝对值函数的最值问题………………………18、不等式⇒利用“1的代换”巧解不等式中的最值问题……………………19、不等式⇒利用“对称思想”速解不等式最值问题…………………………20、不等式⇒利用柯西不等式速解最值问题……………………………………21、线性规划⇒利用特殊法巧解线性规划问题…………………………………22、线性规划⇒高考中常见的线性规划题型完整汇总…………………………23、程序框图⇒程序框图高效格式化解题模式…………………………………24、排列组合⇒排列组合21种常见题型解题技巧汇总………………………25、排列组合⇒利用公式法速解相间涂色问题…………………………………26、排列组合⇒速解排列组合之最短路径技巧…………………………………27、二项式定理⇒二项式定理常见题型大汇总…………………………………28、二项式定理⇒利用公式速解三项型二项式指定项问题……………………29、平面向量⇒特殊化法速解平面向量问题……………………………………30、平面向量⇒利用三个法则作图法速求平面向量问题………………………31、平面向量⇒三点共线定理及其推论的妙用…………………………………32、平面向量⇒平面向量等和线定理的妙用……………………………………33、平面向量⇒向量中的“奔驰定理”的妙用…………………………………34、平面向量⇒三角形四心的向量表示及妙用…………………………………35、平面向量⇒利用极化恒等式速解向量内积范围问题………………………36、空间几何⇒利用折叠角公式速求线线角……………………………………37、空间几何⇒求体积的万能公式：拟柱体公式………………………………38、空间几何⇒空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用…39、空间几何⇒利用空间余弦定理速求异面直线所成角………………………40、空间几何⇒利用公式速解空间几何体的外接球半径………………………41、函数⇒用特值法速解分段函数求范围问题…………………………………42、函数⇒数形结合法速解函数的零点与交点问题……………………………43、函数⇒数型结合法巧解带f的函数型不等式………………………………44、函数⇒函数的周期性的重要结论的运用……………………………………45、函数⇒利用特值法巧解函数图像与性质问题………………………………46、函数⇒通过解析式判断图像常用解题技巧…………………………………47、函数⇒利用结论速解“奇函数＋C”模型问题……………………………48、函数⇒利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题………………49、函数⇒巧用耐克函数求解函数与不等式问题………………………………50、函数⇒利用对数函数绝对值性质速解范围问题……………………………51、函数⇒巧用原型函数解决抽象函数问题……………………………………52、函数⇒构造特殊函数巧解函数问题…………………………………………53、导数⇒特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题………………………54、导数⇒极端估算法速解与导数有关选择题…………………………………55、导数⇒用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题……………………56、导数⇒隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用…………………57、三角函数⇒利用口诀巧记诱导公式及其运用………………………………58、三角函数⇒利用结论速求三角函数周期问题………………………………59、三角函数⇒巧用特值法、估算法解三角函数图像问题……………………60、三角函数⇒海伦公式及其推论在求面积中的妙用…………………………61、三角函数⇒借助直角三角形巧妙转换弦与切………………………………62、三角函数⇒特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用………………63、三角函数⇒齐次式中弦切互化技巧…………………………………………64、三角函数⇒利用射影定理秒解解三角形问题………………………………65、三角函数⇒三角形角平分线定理的妙用……………………………………66、三角函数⇒三角形角平分线长公式的妙用…………………………………67、三角函数⇒三角形中线定理及其推论的妙用………………………………68、三角函数⇒利用测量法估算法速解三角形选择题…………………………69、三角函数⇒利用公式法速解三角函数平移问题……………………………70、数列⇒利用公式法速解等差数列n a与nS……………………………………71、数列⇒利用列举法速解数列最值型压轴题…………………………………72、数列⇒用特殊化法巧解单条件等差数列问题………………………………73、数列⇒等差数列性质及其推论的妙用………………………………………74、数列⇒观察法速解一类数列求和选择题……………………………………75、数列⇒巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式……………………………76、数列⇒代入法速解数列选项含n型选择题…………………………………77、数列⇒一些数列选择填空题的解题技巧……………………………………78、统计与概率⇒估算法速解几何概型选择题…………………………………79、直线与圆⇒利用相交弦定理巧解有关圆的问题……………………………80、直线与圆⇒利用精准作图估算法速解直线与圆选择题……………………81、直线与圆⇒利用两圆方程作差的几何意义速解有问题……………………82、圆锥曲线⇒利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题……………………83、圆锥曲线⇒用点差法速解有关中点弦问题…………………………………84、圆锥曲线⇒用垂径定理速解中点弦问题……………………………………85、圆锥曲线⇒用中心弦公式定理速解中心弦问题……………………………86、圆锥曲线⇒焦点弦垂直平分线结论的妙用…………………………………87、圆锥曲线⇒利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程……88、圆锥曲线⇒用公式速解过定点弦中点轨迹问题……………………………89、圆锥曲线⇒巧用通径公式速解离心率等问题………………………………90、圆锥曲线⇒巧用三角形关系速求离心率……………………………………91、圆锥曲线⇒构造相似三角形速解离心率……………………………………92、圆锥曲线⇒用平面几何原理巧解圆锥曲线问题……………………………93、圆锥曲线⇒利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题…………………………94、圆锥曲线⇒利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题………………………95、圆锥曲线⇒椭圆焦点三角形面积公式的妙用………………………………96、圆锥曲线⇒双曲线焦点三角形面积公式的妙用……………………………23⇒⇒97、圆锥曲线 ⇒ 离心率与焦点三角形底角公式的妙用………………………… 98、圆锥曲线 ⇒ 用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围……………99、圆锥曲线 ⇒ 用特值法巧解圆锥曲线选填题………………………………… 100、圆锥曲线 ⇒ 用对称思想速解圆锥曲线问题………………………………31、平面向量 ⇒ 三点共线定理及其推论的妙用【结论】（1）向量三点共线定理：在平面中C B A 、、三点共线的充要条件是：（为平面内任意一点）,其中.(证明略)特别地,当2=x )2OC +时,点A 为BC 的中点. （2）向量三点共线定理拓展：如果为平面内直线BC 外任意一点,则 ①当时A 与点在直线BC 同侧,②当时, A 与点在直线BC 的异侧.◆ 例1 （2014全国I 理15）已知C B A 、、是圆上的三点,若,则与的夹角为 .【秒解】为中点,为圆的直径与的夹角为.◆ 例2 (2006江西理7) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若OC a OA a OB 2001+=且C B A 、、三点共线（该直线不过原点）,则=200S （） A.100 B.101 C.200 D.201【秒解】由平面三点共线的向量式定理可知：12001=+a a ∴,选A.◆ 例3 已知P 是的边BC 上的任一点,且满足则的最小值是 . 【秒解】由平面三点共线的向量式定理, ∴, 当时取“=”,又, ∴符合题意.∴最小值为9..O A xOB yOC =+O 1x y +=O 1x y +<O 1x y +>O O 1()2AO AB AC =+AB AC 1()2AO AB AC =+⇒O BC BC ⇒AB AC 090O 10022002001200=+=）（a a S ABC ∆R y x AC y AB x AP ∈+=,,yx 41+1=+y x 954))(41(41≥++=++=+yx x y y x y x y x yx x y 4=1=+y x 32,31==y x y x 41+4AAA◆ 例4 (2007江西理15)如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,,则的值为．【秒解1】∵是BC 的中点,连接AO ,由向量加法的平行四边形法则可知∵ ∴, 又M,O,N 三点共线,∴, 【秒解2】由MN 的任意性可用特殊位置法：当MN 与BC 重合时知1,1==n m ,故◆ 例5（2006湖南文10）如图：AB OM //,点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且,则实数对)(y x ，可以是( ) A. B. C. D.【秒解】根据向量三点共线定理拓展结论,点P 点与点Ｏ在直线AB 同侧,则 ,又根据平行四边形法则,要使即用来表示,需反向延长OA,∴,选C.◆ 例6(2006湖南理15) 如图, ,点P 在由射线,线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动,且,则的取值范围是 .当时,的取值范围是 .ABC △O BC O AB AC M N ，AB mAM =AC nAN =m n +O ）（AC AB AO +=21AN n AC AM m AB ==,AN nAM m AN n AM m AO 22)(21+=+=122=+nm m n +2=m n +2=OB y OA x OP +=)43,41()32,32(-43,41(-57,51(-10<+<y x OB y OA x OP +=OB OA 、OP 0x <AB OM //OM OB AB OP xOA yOB =+x 12x =-y5【秒解】根据向量加法平行四边形法则及扩展定理,则有：,且当,有：,即,答案：,（,）◆ 练1（2007全国II 理5）在中,D 是AB 边上一点,=2,=,则λ=( ) A.B. C.－ D.－【答案】A◆ 练2（2015全国I 理7）设为所在平面内一点,则( ) A. B.C. D.【答案】A◆ 练3（2008广东理8）在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于O ,E 是OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,若则( )A. B. C. D. 【答案】B0x <12x =-1O x y <+<1131222O y y <-+<⇒<<0x <1232ABC ∆AD DB CD CB CA λ+3132313132D ABC ∆3BC CD =1433AD AB AC =-+1433AD AB AC =-4133AD AB AC =+4133AD AB AC =-,,b BD a AC ===AF b a 2141+b a 3132+b a 4121+b a 3231+。

平面向量中“三点共线定理”妙用讲解学习

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值；图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量 a,b （b 0）,a//b 的充要条件是：存在唯一的实数，使a buuuv uv uuuv的 O ，存在唯一的一对实数 x,y 使得：OP xOA yOB 且 x y特别地有：当点 P 在线段 AB 上时， x 0,y 0当点 P 在线段 AB 之外时， xy 0笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用 , 供同行交流。

例 1（06 年江西高考题理科第 7 题）已知等差数列 {a n } 的前 n项和为 S n ，若 uuur uuur uuurOB a 1OA a 200OC ，且 A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点 O ），则 S 200=（）A ． 100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知： a 1+a 200=1, ∴ S200 200（a1 a200）100, 故选 A 。

2点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是 ABC 的边BC 上的任一点，且满足 AP xAB yAC,x.yR，则1 4xy的最小值是解：Q 点 P 落在VABC 的边 BC 上 B ， uuur uuur xAB yAC P,C 三点共线uuur Q AP且点共线定在平面中 A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意由该定理可以得到平面内三点共线定理：1。

4x5yx 4x yy4y4x2y4x x y x y 4 ，取等号时y y)1xy 4x 2 2 1 2y2 4x2 y 2xQ x 0,y 0 y 2xQ x y 1 x ,y ，符合x y 3 314所以 1 4的最小值为9 xy点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例 3 （湖北省2011 届高三八校第一次联考理科）如图 2 ，在△ ABCuuur AN1uuurNC，点P是BC上的一点，uuur 若APuuur 2 uuurmAB 2 AC ，则实数m的11值为（）9532 A B. C. D.11111111uuur 解：Q B, P, N三点共线，又QuuurmAB2 uuurAC11uuurmAB2 uuur4AN11uuurmAB8 u A u N ur118m 11 m 3，故选 C11例4（07 年江西高考题理科）如图3，在△ ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC 于不同的两点M、的值为．四边形法则可知：uuurAO1 uuur (AB2uuurAC)uuur uuuur uuur uuurQ AB＝mAM ，AC nANuuur 1 uuuur uuurAO (mAM nAN ) 2uuur m uuuur n uuurAO AM AN22又Q M,O,N 三点共线，由平面内三点共线定理可得：m n22 例5（广东省2010 届高三六校第三次联）别是边OA 、OB上的动点，且P、G、Q 三点共线．11设OP xOA ，OQ yOB ，证明：是定值；xy 图2解：Q因为O是BC的中点，故连接AO，N，若AB ＝m AM ，AC ＝n AN ，则m＋n如图5所示：点G是△ OAB的重心，P、Q 分中，例 6（汕头市东山中学 2013 届高三第二次模拟考试）如图 6 所示 , uuur 1uuur uuur 在平行四边形 ABCD 中， AE 1 AB , AF 3uuur r uuur r uuur 点，记 AB a ，AD b ，则 AG由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 x 使得uuur AG uuur xAE uuur(1 x)AC uuur, Q AE1uuur AB 3 1r a , 3uuur r AC a uuur 1rr r 2x rrAG xa(1 x)(a b) (1 )a (1 x)b332r 1r 2r 3r3r 1r4r 2r A ． ab B. a b C. a b D.a b 7 7 7 7 7 77 7分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点 F 、G 、B 以及 E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

巧用“平面向量三点共线定理”解题

巧用“平面向量三点共线定理”解题
李世庆
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2016(000)009
【摘要】在北师大版课本必修4第二章《平面向量》第三节的例题3：如图A，B，C是平面内三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB 上，则存在实数λ，使得PC→=λPA→＋（1-λ）PB→．这个定理还可以推广。

【总页数】1页(P13-13)
【作者】李世庆
【作者单位】江西省赣州市于都中学,341000
【正文语种】中文
【中图分类】G632
【相关文献】
1.巧用平面向量中三点共线的充要条件解题 [J], 朱贤良;
2.巧用平面向量中三点共线的充要条件解题 [J], 朱贤良;
3.解题中巧用平面向量三点共线 [J], 李兆珍;
4.三点共线定理在平面几何中的应用——平面向量应用举例教学有感 [J], 杨萍
5.平面向量中三点共线定理的推广及其应用 [J], 甘志国
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。