数值分析实验报告62338
数值分析实验报告
数值分析实验报告【引言】数值分析是一门研究利用计算机和数学方法解决实际问题的学科，它在工程、科学和经济领域中有着广泛的应用。
在这个实验报告中，我将分享我在数值分析实验中的一些发现和结果。
【实验目的】本次实验的目的是通过数值方法对给定的问题进行求解，并分析数值方法的精确性和稳定性。
我们选择了经典的插值和数值积分问题来进行实验。
【实验过程】在插值问题中，我使用了拉格朗日插值和样条插值两种方法。
通过使用已知的数据点，这些方法能够通过构造多项式函数来逼近原始函数，从而能够在未知点上进行预测。
通过比较两种插值方法的结果，我发现拉格朗日插值在低维数据上表现更好，而样条插值在高维数据上更能保持插值曲线的平滑性。
在数值积分问题中，我使用了复合梯形公式和复合辛普森公式来进行数值积分。
这两种方法可以将复杂的区间上的积分问题转化为对若干个小区间进行数值积分的问题。
实验结果表明，复合辛普森公式在使用相同的步长时，其数值积分结果更为精确。
【实验结果】我以一个实际问题作为例子来展示实验结果。
问题是计算半径为1的圆的面积。
通过离散化的方法，我将圆划分为多个小的扇形区域，并使用数值积分方法计算每个扇形的面积。
最后将每个扇形的面积相加，即可得到圆的近似面积。
通过调整离散化的精度，我发现随着扇形数量的增加，计算得到的圆的面积越接近真实的圆的面积。
在插值问题中，我选择了一段经典的函数进行插值研究。
通过选择不同的插值节点和插值方法，我发现当插值节点越密集时，插值结果越接近原函数。
同时，样条插值方法在高阶导数连续的情况下能够更好地逼近原始函数。
【实验总结】通过这次实验，我对数值分析中的插值和数值积分方法有了更深入的理解。
我了解到不同的数值方法在不同的问题中有着不同的适用性和精确度。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的数值方法，并进行必要的数值计算和分析，以获得准确可靠的结果。
总的来说，数值分析作为一种重要的工具和方法，在科学研究和工程实践中具有广泛的应用，并且不断发展和创新。
数值分析综合实验报告
一、实验目的通过本次综合实验，掌握数值分析中常用的插值方法、方程求根方法以及数值积分方法，了解这些方法在实际问题中的应用，提高数值计算能力。
二、实验内容1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：利用已知数据点构造多项式，以逼近未知函数。
（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，通过增加基函数，提高逼近精度。
2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，通过不断缩小区间来逼近根。
（2）Newton法：利用函数的导数信息，通过迭代逼近根。
（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，通过迭代逼近根。
3. 数值积分方法（1）矩形法：将积分区间等分，近似计算函数值的和。
（2）梯形法：将积分区间分成若干等分，用梯形面积近似计算积分。
（3）辛普森法：在梯形法的基础上，将每个小区间再等分，提高逼近精度。
三、实验步骤1. 拉格朗日插值法（1）输入已知数据点，构造拉格朗日插值多项式。
（2）计算插值多项式在未知点的函数值。
2. 牛顿插值法（1）输入已知数据点，构造牛顿插值多项式。
（2）计算插值多项式在未知点的函数值。
3. 方程求根方法（1）输入方程和初始值。
（2）选择求解方法（二分法、Newton法、不动点迭代法）。
（3）迭代计算，直到满足精度要求。
4. 数值积分方法（1）输入被积函数和积分区间。
（2）选择积分方法（矩形法、梯形法、辛普森法）。
（3）计算积分值。
四、实验结果与分析1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：通过构造多项式，可以较好地逼近已知数据点。
（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，增加了基函数，提高了逼近精度。
2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，计算简单，但收敛速度较慢。
（2）Newton法：利用函数的导数信息，收敛速度较快，但可能存在数值不稳定问题。
（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，收敛速度较快，但可能存在初始值选择不当的问题。
3. 数值积分方法（1）矩形法：计算简单，但精度较低。
数值分析实验 实验报告
数值分析实验实验报告数值分析实验实验报告一、引言数值分析是一门研究如何利用计算机对数学问题进行数值计算和模拟的学科。
在实际应用中，数值分析广泛应用于工程、物理、金融等领域。
本实验旨在通过实际操作，探索数值分析方法在实际问题中的应用，并通过实验结果对比和分析，验证数值分析方法的有效性和可靠性。
二、实验目的本实验的主要目的是通过数值分析方法，解决一个实际问题，并对比不同方法的结果，评估其准确性和效率。
具体来说，我们将使用牛顿插值法和拉格朗日插值法对一组给定的数据进行插值，并对比两种方法的结果。
三、实验步骤1. 收集实验数据：我们首先需要收集一组实验数据，这些数据可以来自实验测量、调查问卷等方式。
在本实验中，我们假设已经获得了一组数据，包括自变量x和因变量y。
2. 牛顿插值法：牛顿插值法是一种基于差商的插值方法。
我们可以通过给定的数据点，构造一个插值多项式，并利用该多项式对其他点进行插值计算。
具体的计算步骤可以参考数值分析教材。
3. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是另一种常用的插值方法。
它通过构造一个满足给定数据点的多项式，利用该多项式对其他点进行插值计算。
具体的计算步骤也可以参考数值分析教材。
4. 结果比较与分析：在完成牛顿插值法和拉格朗日插值法的计算后，我们将比较两种方法的结果，并进行分析。
主要考虑的因素包括插值误差、计算效率等。
四、实验结果在本实验中，我们选取了一组数据进行插值计算，并得到了牛顿插值法和拉格朗日插值法的结果。
经过比较和分析，我们得出以下结论：1. 插值误差：通过计算插值点与实际数据点之间的差值，我们可以评估插值方法的准确性。
在本实验中，我们发现牛顿插值法和拉格朗日插值法的插值误差都较小，但是拉格朗日插值法的误差稍大一些。
2. 计算效率：计算效率是衡量数值分析方法的重要指标之一。
在本实验中，我们发现牛顿插值法的计算速度较快，而拉格朗日插值法的计算速度稍慢。
五、实验结论通过本实验，我们对数值分析方法在实际问题中的应用有了更深入的了解。
数值分析实验报告62338
数值分析实验报告（第二章）实验题目：分别用二分法、牛顿迭代法、割线法、史蒂芬森迭代法求方程的根，观察不同初始值下的收敛性,并给出结论。
问题分析:题目有以下几点要求：1.不同的迭代法计算根，并比较收敛性。
2.选定不同的初始值，比较收敛性.实验原理：各个迭代法简述二分法:取有根区间的重点，确定新的有根区间的区间长度仅为区间长度的一版。
对压缩了的有根区间重复以上过程，又得到新的有根区间，其区间长度为的一半，如此反复，……，可得一系列有根区间，区间收敛到一个点即为根。
牛顿迭代法:不动点迭代法的一种特例，具有局部二次收敛的特性。
迭代格式为割线法：是牛顿法的改进，具有超线性收敛的特性，收敛阶为1。
618. 迭代格式为史蒂芬森迭代法：采用不动点迭代进行预估校正。
至少是平方收敛的。
迭代格式为这里可采用牛顿迭代法的迭代函数。
实验内容：1.写出该问题的函数代码如下：function py= f(x)syms k;y=(k^2+1）＊(k—1）^5;yy=diff(y,k);py（1)=subs（y,k，x)；py(2)=subs（yy，k，x)；end2.分别写出各个迭代法的迭代函数代码如下：二分法：function y=dichotomie(a，b，e）i=2；m(1)=a；while abs(a-b)〉et=(a+b）/2；s1=f（a);s2=f（b）;s3=f(t)；if s1(1)*s3(1）<=0b=t；elsea=t；endm(i)=t；i=i+1;endy=[t，i+1，m］;end牛顿迭代法:function y=NewtonIterative（x，e)i=2；en=2＊e；m（1)=x；while abs(en)〉=es=f(x）;t=x—s（1)/s（2）;en=t—x；x=t;m（i)=t;i=i+1;endy=[x,i+1，m];end牛顿割线法：function y=Secant(x1,x2,e)i=3;m（1)=x1，m(2)=x2；while abs(x2—x1)〉=es1=f（x1);s2=f(x2）;t=x2—(x2—x1)*s2(1)/（s2（1)—s1（1））；x1=x2;x2=t;m(i）=t；i=i+1;endy=[x2，i+1，m]；end史蒂芬森迭代法：Function p=StephensonIterative(x，e）i=2;m（2)=x;en=2*e；while abs(en)〉=ey=fai(x）；z=fai(y）；t=x—(y-x）^2/（z—2*y+x); en=t-x;x=t;m(i)=t；i=i+1；endp=[x，i+1，m］;end3.因为经常被使用,故可以写一个函数。
数值分析实验报告
实验一、误差分析一、实验目的1．通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令；2．通过上机计算，了解误差、绝对误差、误差界、相对误差界的有关概念；3．通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。
二．实验原理误差问题是数值分析的基础，又是数值分析中一个困难的课题。
在实际计算中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。
因此，选取算法时注重分析舍入误差的影响，在实际计算中是十分重要的。
同时，由于在数值求解过程中用有限的过程代替无限的过程会产生截断误差，因此算法的好坏会影响到数值结果的精度。
三．实验内容对20,,2,1,0 =n ，计算定积分⎰+=105dx x x y nn .算法1：利用递推公式 151--=n n y n y , 20,,2,1 =n ,取 ⎰≈-=+=100182322.05ln 6ln 51dx x y .算法2：利用递推公式n n y n y 51511-=- 1,,19,20 =n .注意到 ⎰⎰⎰=≤+≤=1010202010201051515611261dx x dx x x dx x , 取008730.0)12611051(20120≈+≈y .: 四.实验程序及运行结果程序一：t=log(6)-log(5);n=1;y(1)=t;for k=2:1:20y(k)=1/k-5*y(k-1);n=n+1;endyy =0.0884y =0.0581y =0.0431y =0.0346y =0.0271y =0.0313y =-0.0134y =0.1920y =-0.8487y =4.3436y =-21.6268y =108.2176y =-541.0110y =2.7051e+003y =-1.3526e+004y =6.7628e+004y =-3.3814e+005y =1.6907e+006y =-8.4535e+006y =4.2267e+007程序2：y=zeros(20,1);n=1;y1=(1/105+1/126)/2;y(20)=y1; for k=20:-1:2y(k-1)=1/(5*k)-(1/5)*y(k);n=n+1;end运行结果：y =0.08840.05800.04310.03430.02850.02120.01880.01690.0154 0.0141 0.0130 0.0120 0.0112 0.0105 0.0099 0.0093 0.0089实验二、插值法一、实验目的1、理解插值的基本概念，掌握各种插值方法，包括拉格朗日插值和牛顿插值等，注意其不同特点；2、通过实验进一步理解并掌握各种插值的基本算法。
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
数值分析原理实验报告
一、实验目的通过本次实验，掌握数值分析的基本原理和方法，了解数值分析在科学和工程领域的应用，培养动手能力和分析问题的能力。
二、实验内容1. 二分法求方程根（1）原理：二分法是一种在实数域上寻找函数零点的算法。
对于连续函数f(x)，如果在区间[a, b]上f(a)f(b)<0，则存在一个根在区间(a, b)内。
二分法的基本思想是将区间[a, b]不断二分，缩小根所在的区间，直到满足精度要求。
（2）实验步骤：① 输入函数f(x)和精度要求；② 初始化区间[a, b]和中间点c=a+(b-a)/2；③ 判断f(c)与f(a)的符号，若符号相同，则将区间缩小为[a, c]，否则缩小为[c,b]；④ 重复步骤②和③，直到满足精度要求；⑤ 输出根的近似值。
2. 牛顿法求方程根（1）原理：牛顿法是一种在实数域上寻找函数零点的算法。
对于可导函数f(x)，如果在点x0附近，f(x0)f'(x0)≠0，则存在一个根在点x0附近。
牛顿法的基本思想是通过泰勒展开近似函数，然后求解近似方程的根。
（2）实验步骤：① 输入函数f(x)和精度要求；② 初始化迭代次数n=0，近似根x0；③ 计算导数f'(x0)；④ 求解近似方程x1=x0-f(x0)/f'(x0)；⑤ 判断|x1-x0|是否满足精度要求，若满足，则停止迭代；否则，将x0更新为x1，n=n+1，返回步骤③。
3. 雅可比迭代法解线性方程组（1）原理：雅可比迭代法是一种解线性方程组的迭代算法。
对于线性方程组Ax=b，雅可比迭代法的基本思想是利用矩阵A的对角线元素将方程组分解为多个一元线性方程，然后逐个求解。
（2）实验步骤：① 输入系数矩阵A和常数向量b；② 初始化迭代次数n=0，近似解向量x0；③ 计算对角线元素d1, d2, ..., dn；④ 更新近似解向量x1=x0-A/d1, x2=x0-A/d2, ..., xn=x0-A/dn；⑤ 判断|x1-x0|是否满足精度要求，若满足，则停止迭代；否则，将x0更新为x1, x2, ..., xn，n=n+1，返回步骤③。
数值分析实验报告
数值分析实验报告篇一：数值分析实验报告(一)(完整)数值分析实验报告12345篇二：数值分析实验报告数值分析实验报告课题一：解线性方程组的直接方法1.实验目的：1、通过该课题的实验，体会模块化结构程序设计方法的优点；2、运用所学的计算方法，解决各类线性方程组的直接算法；3、提高分析和解决问题的能力，做到学以致用；4、通过三对角形线性方程组的解法，体会稀疏线性方程组解法的特点。
2.实验过程：实验代码：#include "stdio.h"#include "math.h"#includeiostreamusing namespace std;//Gauss法void lzy(double **a,double *b,int n) {int i,j,k;double l,x[10],temp;for(k=0;kn-1;k++){for(j=k,i=k;jn;j++){if(j==k)temp=fabs(a[j][k]);else if(tempfabs(a[j][k])){temp=fabs(a[j][k]);i=j;}}if(temp==0){cout"无解\n; return;}else{for(j=k;jn;j++){temp=a[k][j];a[k][j]=a[i][j];a[i][j]=temp;}temp=b[k];b[k]=b[i];b[i]=temp;}for(i=k+1;in;i++) {l=a[i][k]/a[k][k];for(j=k;jn;j++)a[i][j]=a[i][j]-l*a[k][j]; b[i]=b[i]-l*b[k];}if(a[n-1][n-1]==0){cout"无解\n;return;}x[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];for(i=n-2;i=0;i--){temp=0;for(j=i+1;jn;j++)temp=temp+a[i][j]*x[j];x[i]=(b[i]-temp)/a[i][i];}for(i=0;in;i++){printf("x%d=%lf\t",i+1,x[i]); printf("\n");}}//平方根法void pfg(double **a,double *b,int n)int i,k,m;double x[8],y[8],temp;for(k=0;kn;k++){temp=0;for(m=0;mk;m++)temp=temp+pow(a[k][m],2);if(a[k][k]temp)return;a[k][k]=pow((a[k][k]-temp),1.0/2.0);for(i=k+1;in;i++){temp=0;for(m=0;mk;m++)temp=temp+a[i][m]*a[k][m]; a[i][k]=(a[i][k]-temp)/a[k][k]; }temp=0;for(m=0;mk;m++)temp=temp+a[k][m]*y[m];y[k]=(b[k]-temp)/a[k][k];}x[n-1]=y[n-1]/a[n-1][n-1];for(k=n-2;k=0;k--){temp=0;for(m=k+1;mn;m++)temp=temp+a[m][k]*x[m];x[k]=(y[k]-temp)/a[k][k];}for(i=0;in;i++){printf("x%d=%lf\t",i+1,x[i]);printf("\n");}}//追赶法void zgf(double **a,double *b,int n){int i;double a0[10],c[10],d[10],a1[10],b1[10],x[10],y[10]; for(i=0;in;i++){a0[i]=a[i][i];if(in-1)c[i]=a[i][i+1];if(i0)d[i-1]=a[i][i-1];}a1[0]=a0[0];for(i=0;in-1;i++){b1[i]=c[i]/a1[i];a1[i+1]=a0[i+1]-d[i+1]*b1[i];}y[0]=b[0]/a1[0];for(i=1;in;i++)y[i]=(b[i]-d[i]*y[i-1])/a1[i];x[n-1]=y[n-1];for(i=n-2;i=0;i--)x[i]=y[i]-b1[i]*x[i+1];for(i=0;in;i++){printf("x%d=%lf\t",i+1,x[i]); printf("\n");}}int main(){int n,i,j;double **A,**B,**C,*B1,*B2,*B3;A=(double **)malloc(n*sizeof(double)); B=(double **)malloc(n*sizeof(double));C=(double **)malloc(n*sizeof(double));B1=(double *)malloc(n*sizeof(double));B2=(double *)malloc(n*sizeof(double));B3=(double *)malloc(n*sizeof(double));for(i=0;in;i++){A[i]=(double *)malloc((n)*sizeof(double));B[i]=(double*)malloc((n)*sizeof(double));C[i]=(double*)malloc((n)*sizeof(double)); }cout"第一题(Gauss列主元消去法):"endlendl; cout"请输入阶数n:"endl;cinn;cout"\n请输入系数矩阵:\n\n";for(i=0;in;i++)for(j=0;jn;j++){篇三：数值分析实验报告(包含源程序) 课程实验报告课程实验报告。
数值分析实验报告5篇
1.69376699767424 0.92310666706964 0.08471614569741 0.40804026409411
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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讨论：
利用这种方法进行这类实验，可以很精确的扰动敏感性的一般规律。即 当对扰动项的系数越来越小时，对其多项式扰动的结果也就越来越小， 即扰动敏感性与扰动项的系数成正比，扰动项的系数越大，对其根的扰 动敏感性就越明显，当扰动的系数一定时，扰动敏感性与扰动的项的幂 数成正比，扰动的项的幂数越高，对其根的扰动敏感性就越明显。
解线性方程组的直接方法
实验 （主元的选取与算法的稳定性） 问题提出：Gauss消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。但由于计算 机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保 Gauss消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss消去法从理论算法到数值 算法，其关键是主元的选择。主元的选择从数学理论上看起来平凡，它 却是数值分析中十分典型的问题。 实验内容：考虑线性方程组 编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的 Gauss消去过程。 实验要求： （1）取矩阵，则方程有解。取n=10计算矩阵的条件数。让程序自动选 取主元，结果如何？ （2）现选择程序中手动选取主元的功能。每步消去过程总选取按模最 小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。若每步消去 过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。 （3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析 不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元
数值分析实验报告
数值分析实验报告实验目的：通过对数值分析实验的进行，掌握牛顿法解方程的根的求解过程和方法，通过编程实现牛顿法。
实验原理：牛顿法是一种迭代法，通过不断迭代逼近根的过程来求解方程的根。
假设f(x)在[x_0,x]中连续且有一阶连续导数，则根据泰勒展开公式，有下面的公式成立：f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+R(x)其中f(x)是方程的函数，f'(x_0)是f(x)在x_0处的导数，R(x)是无穷小量。
当x接近于x_0时，可以忽略R(x)的影响，即认为R(x)足够小可以忽略。
假设x_0是方程的一个近似根，可以得到如下的迭代公式：x_1=x_0-f(x_0)/f'(x_0)x_2=x_1-f(x_1)/f'(x_1)...在迭代的过程中，如果迭代的结果与上一次迭代的结果的误差小于设定的阈值，则可以认为找到了方程的根。
实验步骤：1.确定方程和初始近似根x_0。
2.计算f(x_0)和f'(x_0)。
3.使用迭代公式计算x的近似值x_i，直到满足终止条件（比如误差小于设定的阈值）。
4.输出计算得到的方程的根。
实验结果和分析：在实验中，我们选择了方程f(x)=x^2-2作为实验对象，初始近似根选择为x_0=1根据上述的迭代公式，可以依次计算得到x_1=1.5,x_2=1.4167,x_3=1.4142，直到满足终止条件。
通过实验计算，可以得到方程f(x)=x^2-2的两个根为x=-1.4142和x=1.4142，与理论解x=±√2比较接近，说明牛顿法可以有效地求解方程的根。
总结：通过本次实验，掌握了牛顿法解方程根的原理和实现方法，实验结果与理论解相近，验证了牛顿法的有效性。
在实际应用中，牛顿法常用于求解非线性方程和优化问题，具有较高的精度和收敛速度，但在选择初始近似根时需要谨慎，否则可能会导致迭代结果发散。
数值分析课程实验报告
数值分析课程实验报告
《数值分析》课程实验报告
实验名称用二分法和迭代法求方程的根
成绩
一、实验目的
掌握利用二分法以及迭代法求方程近似根的方法，并学会运用matlab软件编写程序，求解出方程的根，对迭代法二分法进一步认识并灵活运用。
二、实验内容
比较求方程50xxe的根，要求精确到小数点后的第4位1.在区间[0,1]内用二分法；
2.用迭代法1/5kxkxe，取初值00.25x.三、算法描述
1、二分法：二分法是最简单的求根方法，它是利用连续函数的零点定理，将汗根区间逐次减半缩小，取区间的中点构造收敛点列{}来逼近根x.
2、迭代法：迭代法是一种逐次逼近的方法，其步骤是首先给定一个粗糙的初始值，然后用一个迭代公式反复修正这个值，知道满足要求为止。
四、实验步骤
11、二分法：
(1)计算f(x)在区间[0,1]端点处的值f(0)和f(1)的值；
(2)计算f(x)在区间【0,1】的中点(0+1)/2=1/2处的
值f((a+b)/2)；
（3）如果函数值f(1/2)=0，则1/2是f（x）=0的实根，输出根x，终止；
否则继续转（4）继续做检验。
由于f(1/2)≠0，所以继续做检验。
（4）如果函数值f(0)*f(1/2)。
数值分析的实验报告
数值分析的实验报告实验目的本实验旨在通过数值分析方法，探讨数学问题的近似解法，并通过实际案例进行验证和分析。
具体目的包括： 1. 理解和掌握数值分析的基本原理和方法； 2. 学会使用计算机编程语言实现数值分析算法； 3. 分析数值分析算法的精确性和稳定性； 4. 根据实验结果对数值分析算法进行优化和改进。
实验步骤1. 问题描述首先，我们选择一个数学问题作为实验的对象。
在本次实验中，我们选取了求解非线性方程的问题。
具体而言，我们希望找到方程 f(x) = 0 的解。
2. 数值方法选择根据非线性方程求解的特点，我们选择了牛顿迭代法作为数值方法。
该方法通过不断迭代逼近方程的解，并具有较好的收敛性和精确性。
3. 程序设计与实现为了实现牛顿迭代法，我们使用了Python编程语言，并使用了相应的数值计算库。
具体的程序实现包括定义方程 f(x) 和其导数f’(x)，以及实现牛顿迭代法的迭代过程。
4. 实验案例与结果分析我们选择了一个具体的方程，例如 x^3 - 2x - 5 = 0，并通过程序运行得到了方程的解。
通过比较实际解与数值解的差异，我们可以分析数值方法的精确性和稳定性。
5. 优化与改进基于实验结果的分析，我们可以对数值分析算法进行优化和改进。
例如，通过调整迭代的初始值、增加迭代次数或修改算法公式等方式，改进算法的收敛性和精确性。
实验结论通过本次实验，我们深入理解了数值分析的基本原理和方法，并通过具体案例验证了牛顿迭代法的有效性。
同时，我们也意识到数值分析算法的局限性，并提出了一些改进的建议。
在今后的数学问题求解中，我们可以运用数值分析的方法，通过计算机编程实现更精确的近似解。
数值分析实验 实验报告
数值分析实验实验报告数值分析实验实验报告引言在现代科学与工程领域，数值分析是一项重要的技术手段。
通过数值方法，我们可以利用计算机模拟和解决各种实际问题，如物理、化学、生物、经济等领域中的方程求解、优化问题、数据拟合等。
本实验旨在通过实际案例，探讨数值分析的应用和效果。
实验一：方程求解首先，我们考虑一个简单的方程求解问题。
假设我们需要求解方程f(x) = 0的根，其中f(x)是一个在给定区间[a, b]上连续且单调的函数。
为了实现这个目标，我们可以采用二分法、牛顿法、弦截法等数值方法。
在本实验中，我们选择使用二分法来求解方程f(x) = 0。
这种方法的基本思想是通过不断缩小区间[a, b]的范围，直到找到一个近似的根。
我们首先选取一个中间点c，计算f(c)的值，然后根据f(c)与0的关系，将区间[a, b]分成两部分。
重复这个过程，直到找到满足精度要求的根。
实验二：数据拟合接下来，我们考虑一个数据拟合的问题。
假设我们有一组离散的数据点，我们希望找到一个函数，使得该函数与这些数据点的拟合误差最小。
为了实现这个目标，我们可以采用最小二乘法等数值方法。
在本实验中，我们选择使用最小二乘法来进行数据拟合。
这种方法的基本思想是通过最小化数据点与拟合函数之间的误差平方和，来确定拟合函数的参数。
我们首先选择一个拟合函数的形式，如线性函数、多项式函数等。
然后，通过最小化误差平方和的方法，计算出拟合函数的参数。
实验三：优化问题最后，我们考虑一个优化问题。
假设我们需要在给定的约束条件下，找到一个使得目标函数取得最大或最小值的变量。
为了实现这个目标，我们可以采用梯度下降法、遗传算法等数值方法。
在本实验中，我们选择使用梯度下降法来解决优化问题。
这种方法的基本思想是通过迭代的方式，不断调整变量的取值，直到找到一个满足约束条件的最优解。
我们首先计算目标函数关于变量的梯度，然后根据梯度的方向和大小，更新变量的取值。
通过不断迭代，我们可以逐步接近最优解。
《数值分析》实验报告书
N4（0.895） function [y,R]= newcz(X,Y,x,M) x=0.895; M=4; X=[0.4,0.55,0.65,0.8,0.9]; Y=[0.41075,0.57815,0.69675,0.88811,1.02652];
n=length(X); m=length(x); for t=1:m z=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y'; s=0.0; p=1.0; q1=1.0; c1=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end q1=abs(q1*(z-X(j-1)));c1=c1*j; end C=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n))); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k)));d=length(C); C(d)=C(d)+A(k,k); end y(k)= polyval(C, z); end R=M*q1/c1; 运行结果： ans = 1.0194
实验三、解线性方程组的直接法
解线性方程组的直接法是指经过有限步运算后能求得方程组精确解
的方法。但由于实际计算中舍入误差是客观存在的，因而使用这类方法 也只能得到近似解。目前较实用的直接法是古老的高斯消去法的变形， 即主元素消去法及矩阵的三角分解法。引进选主元的技巧是为了控制计 算过程中舍入误差的增长，减少舍入误差的影响。一般说来，列主元消 去法及列主元三角分解法是数值稳定的算法，它具有精确度较高、计算 量不大和算法组织容易等优点，是目前计算机上解中、小型稠密矩阵方 程组可靠而有效的常用方法。
Y=[0.82741,0.82659,0.82577,0.82495]; n=length(X); m=length(x); for i=1:m z=x(i);s=0.0; for k=1:n p=1.0; q1=1.0; c1=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-X(j))/(X(k)-X(j)); end q1=abs(q1*(z-X(j))); c1=c1*j; end s=p*Y(k)+s; end y(i)=s; end R=M.*q1./c1; 运行结果： ans = 0.8261 2. N3(0.596) function [y,R]= newcz(X,Y,x,M) x=0.596; M=3;
数值分析拟合实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析方法对一组已知数据点进行拟合，掌握线性插值、多项式插值、样条插值等方法的基本原理和实现过程，并学会使用MATLAB进行数值拟合。
二、实验内容1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，适用于数据点分布较为均匀的情况。
其基本原理是通过两个相邻的数据点，利用线性关系拟合出一条直线，然后通过该直线来估算未知的值。
2. 多项式插值多项式插值是一种较为精确的插值方法，通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。
其基本原理是利用最小二乘法求解多项式的系数，使得多项式在已知数据点上的误差最小。
3. 样条插值样条插值是一种更灵活的插值方法，通过构造一系列样条曲线来逼近已知数据点。
其基本原理是利用最小二乘法求解样条曲线的系数，使得样条曲线在已知数据点上的误差最小。
三、实验步骤1. 线性插值（1）在MATLAB中输入已知数据点，如：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];（2）使用MATLAB内置函数`linspace`生成插值点：xi = linspace(1, 5, 100);（3）使用MATLAB内置函数`interp1`进行线性插值：yi = interp1(x, y, xi, 'linear');（4）绘制插值曲线：plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');2. 多项式插值（1）在MATLAB中输入已知数据点，如：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];（2）使用MATLAB内置函数`polyfit`求解多项式系数：p = polyfit(x, y, 3);（3）使用MATLAB内置函数`polyval`进行多项式插值：yi = polyval(p, xi);（4）绘制插值曲线：plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');3. 样条插值（1）在MATLAB中输入已知数据点，如：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];（2）使用MATLAB内置函数`spline`进行样条插值：yi = spline(x, y, xi);（3）绘制插值曲线：plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');四、实验结果与分析1. 线性插值线性插值方法简单易行，但精度较低，适用于数据点分布较为均匀的情况。
数值分析的实验报告
数值分析的实验报告数值分析的实验报告导言数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科，它在科学计算、工程技术和社会经济等领域具有广泛的应用。
本实验旨在通过对数值分析方法的实际应用，验证其有效性和可靠性。
实验一：方程求根方程求根是数值分析中的基础问题之一。
我们选取了一个非线性方程进行求解。
首先，我们使用二分法进行求解。
通过多次迭代，我们得到了方程的一个近似解。
然后，我们使用牛顿法进行求解。
与二分法相比，牛顿法的收敛速度更快，但需要选择一个初始点。
通过比较两种方法的结果，我们验证了牛顿法的高效性。
实验二：插值与拟合插值与拟合是数值分析中常用的数据处理方法。
我们选取了一组实验数据，通过拉格朗日插值法和最小二乘法进行插值和拟合。
通过对比两种方法的拟合效果，我们验证了最小二乘法在处理含有噪声数据时的优势。
同时，我们还讨论了插值和拟合的精度与样本点数量之间的关系。
实验三：数值积分数值积分是数值分析中的重要内容之一。
我们选取了一个定积分进行计算。
首先，我们使用复化梯形公式进行积分计算。
通过增加分割区间的数量，我们得到了更精确的结果。
然后，我们使用复化辛普森公式进行积分计算。
与复化梯形公式相比，复化辛普森公式具有更高的精度。
通过比较两种方法的结果，我们验证了复化辛普森公式的优越性。
实验四：常微分方程数值解常微分方程数值解是数值分析中的重要应用之一。
我们选取了一个常微分方程进行数值解的计算。
首先，我们使用欧拉方法进行数值解的计算。
然后，我们使用改进的欧拉方法进行数值解的计算。
通过比较两种方法的结果，我们验证了改进的欧拉方法的更高精度和更好的稳定性。
实验五：线性方程组的数值解法线性方程组的数值解法是数值分析中的重要内容之一。
我们选取了一个线性方程组进行数值解的计算。
首先，我们使用高斯消元法进行数值解的计算。
然后，我们使用追赶法进行数值解的计算。
通过比较两种方法的结果，我们验证了追赶法在求解三对角线性方程组时的高效性。
数值分析实验报告
数值分析实验报告一、实验目的数值分析是一门研究用计算机求解数学问题的数值方法及其理论的学科。
本次实验的目的在于通过实际操作和编程实现，深入理解和掌握数值分析中的常见算法，提高运用数值方法解决实际问题的能力，并对算法的精度、稳定性和效率进行分析和比较。
二、实验环境本次实验使用的编程语言为 Python，使用的开发工具为 PyCharm。
实验所依赖的主要库包括 NumPy、Matplotlib 等。
三、实验内容（一）函数逼近与插值1、拉格朗日插值法通过给定的离散数据点，构建拉格朗日插值多项式，对未知点进行函数值的估计。
2、牛顿插值法与拉格朗日插值法类似，但采用了不同的形式和计算方式。
（二）数值积分1、梯形公式将积分区间划分为若干个梯形，通过计算梯形面积之和来近似积分值。
2、辛普森公式基于抛物线拟合的方法，提高积分近似的精度。
（三）线性方程组求解1、高斯消元法通过逐行消元将线性方程组化为上三角形式，然后回代求解。
2、 LU 分解法将系数矩阵分解为下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，然后通过两次前代和回代求解。
（四）非线性方程求解1、二分法通过不断将区间一分为二，逐步缩小根所在的区间，直到满足精度要求。
2、牛顿迭代法利用函数的切线来逼近根，通过迭代逐步收敛到根的近似值。
四、实验步骤（一）函数逼近与插值1、拉格朗日插值法定义计算拉格朗日基函数的函数。
根据给定的数据点和待求点，计算插值多项式的值。
输出插值结果，并与真实值进行比较。
2、牛顿插值法计算差商表。
构建牛顿插值多项式。
进行插值计算和结果分析。
（二）数值积分1、梯形公式定义积分区间和被积函数。
按照梯形公式计算积分近似值。
分析误差。
2、辛普森公式同样定义积分区间和被积函数。
运用辛普森公式计算积分近似值。
比较与梯形公式的精度差异。
（三）线性方程组求解1、高斯消元法输入系数矩阵和右端项向量。
进行消元操作。
回代求解方程。
输出解向量。
2、 LU 分解法对系数矩阵进行 LU 分解。
工程数值分析实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，对工程实际问题进行建模、求解和分析。
通过学习数值方法的基本原理和算法，提高解决实际工程问题的能力。
二、实验内容1. 线性方程组的求解2. 矩阵特征值与特征向量的计算3. 函数插值与曲线拟合4. 数值微分与积分三、实验步骤1. 线性方程组的求解（1）编写程序实现高斯消元法、克劳斯消元法和列主元素法（2）设计输入界面，用户输入增广矩阵的行和列，填写系数及常数项（3）分别运用三种方法求解线性方程组，比较求解结果的正确性、数值稳定性和计算效率2. 矩阵特征值与特征向量的计算（1）编写程序实现幂法、QR算法和逆幂法（2）设计输入界面，用户输入矩阵的行和列，填写矩阵元素（3）分别运用三种方法计算矩阵的特征值与特征向量，比较求解结果的准确性和计算效率3. 函数插值与曲线拟合（1）编写程序实现拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值（2）设计输入界面，用户输入函数的自变量和函数值，选择插值方法（3）分别运用三种方法进行函数插值，比较插值结果的准确性和光滑性4. 数值微分与积分（1）编写程序实现有限差分法、龙格-库塔法和辛普森法（2）设计输入界面，用户输入函数的导数或积分的上下限，选择数值方法（3）分别运用三种方法进行数值微分和积分，比较求解结果的准确性和计算效率四、实验结果与分析1. 线性方程组的求解通过实验，我们发现列主元素法在求解线性方程组时具有较好的数值稳定性，计算效率也较高。
而高斯消元法和克劳斯消元法在处理大型稀疏矩阵时存在一定的困难。
2. 矩阵特征值与特征向量的计算实验结果表明，QR算法和逆幂法在计算矩阵特征值与特征向量时具有较高的准确性和计算效率。
幂法在处理大型稀疏矩阵时表现出较好的性能。
3. 函数插值与曲线拟合在函数插值和曲线拟合实验中，样条插值方法具有较好的准确性和光滑性。
拉格朗日插值和牛顿插值方法在处理简单函数时表现良好，但在处理复杂函数时可能存在精度问题。
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数值分析实验报告（第二章）实验题目：分别用二分法、牛顿迭代法、割线法、史蒂芬森迭代法求方程的根，观察不同初始值下的收敛性，并给出结论。
问题分析：题目有以下几点要求：1.不同的迭代法计算根，并比较收敛性。
2.选定不同的初始值，比较收敛性。
实验原理：各个迭代法简述二分法：取有根区间的重点，确定新的有根区间的区间长度仅为区间长度的一版。
对压缩了的有根区间重复以上过程，又得到新的有根区间，其区间长度为的一半，如此反复，……，可得一系列有根区间，区间收敛到一个点即为根。
牛顿迭代法：不动点迭代法的一种特例，具有局部二次收敛的特性。
迭代格式为割线法：是牛顿法的改进，具有超线性收敛的特性，收敛阶为1.618. 迭代格式为史蒂芬森迭代法：采用不动点迭代进行预估校正。
至少是平方收敛的。
迭代格式为这里可采用牛顿迭代法的迭代函数。
实验内容：1.写出该问题的函数代码如下：function py= f(x)syms k;y=(k^2+1)*(k-1)^5;yy=diff(y,k);py(1)=subs(y,k,x);py(2)=subs(yy,k,x);end2.分别写出各个迭代法的迭代函数代码如下：二分法：function y=dichotomie(a,b,e) i=2;m(1)=a;while abs(a-b)>et=(a+b)/2;s1=f(a);s2=f(b);s3=f(t);if s1(1)*s3(1)<=0b=t;elsea=t;endm(i)=t;i=i+1;end y=[t,i+1,m];end牛顿迭代法：functiony=NewtonIterative(x,e) i=2;en=2*e;m(1)=x;while abs(en)>=es=f(x);t=x-s(1)/s(2);en=t-x;x=t;m(i)=t;i=i+1;endy=[x,i+1,m];end牛顿割线法：function y=Secant(x1,x2,e) i=3;m(1)=x1,m(2)=x2;while abs(x2-x1)>=es1=f(x1);s2=f(x2);t=x2-(x2-x1)*s2(1)/(s2(1)-s1( 1));x1=x2;x2=t;m(i)=t;i=i+1;endy=[x2,i+1,m];end史蒂芬森迭代法：Functionp=StephensonIterative(x,e) i=2;m(2)=x;en=2*e;while abs(en)>=ey=fai(x);z=fai(y);t=x-(y-x)^2/(z-2*y+x); en=t-x;x=t;m(i)=t;i=i+1;endp=[x,i+1,m];end3.因为经常被使用，故可以写一个函数。
代码如下：function y=fai(x)s=f(x);y=x-s(1)/s(2);end4.可以绘制不同的图形来比较不同迭代法的收敛性和不同初值下的收敛性。
代码如下：clear all;%相同初始值，不同迭代法下的收敛x1=dichotomie(0,3,1e-10);x2=NewtonIterative(0,1e-10);x3=Secant(0,2, 1e-10);x4=StephensonIterative(0,1e-10);[x1(2),x2(2),x3(2),x4(2)]figure,subplot(2,2,1),plot(x1(3:x1(2))),title('二分法');subplot(2,2,2),plot(x2(3:x2(2))),title('牛顿迭代法');subplot(2,2,3),plot(x3(3:x3(2))),title('牛顿割线法');subplot(2,2,4),plot(x4(3:x4(2))),title('史蒂芬森迭代法');figure,subplot(2,2,1),plot((x1(4:x1(2)-1)-x1(1))./(x1(3:x1(2)-2)-x1(1))),tit le('二分法');subplot(2,2,2),plot((x2(4:x2(2)-1)-x2(1))./(x2(3:x2(2)-2)-x2(1))),tit le('牛顿迭代法');subplot(2,2,3),plot((x3(4:x3(2)-1)-x3(1))./(x3(3:x3(2)-2)-x3(1))),tit le('牛顿割线法');subplot(2,2,4),plot((x4(4:x4(2)-1)-x4(1))./(x4(3:x4(2)-2)-x4(1))),tit le('史蒂芬森迭代法');%不同初始值，相同迭代法下的收敛性x5=dichotomie(-1,1,1e-10);x6=dichotomie(-2,3,1e-10);x7=dichotomie(0,4,1e-10);x8=dichotomie(-4,4,1e-10);x9=NewtonIterative(-2,1e-10);x10=NewtonIterative(-4,1e-10);x11=NewtonIterative(4,1e-10);x12=NewtonIterative(6,1e-10);figure,subplot(1,2,1),plot(1:x1(2)-2,x1(3:x1(2)),1:x5(2)-2,x5(3:x5(2)),1:x6(2)-2,x6(3:x6(2) ),1:x7(2)-2,x7(3:x7(2)),1:x8(2)-2,x8(3:x8(2))),title('二分法');subplot(1,2,2),plot(1:x2(2)-2,x2(3:x2(2)),1:x9(2)-2,x9(3:x9(2)),1:x10(2)-2,x10(3:x10 (2)),1:x11(2)-2,x11(3:x11(2)),1:x12(2)-2,x12(3:x12(2))),title('牛顿迭代法');x13=Secant(-1,1, 1e-10);x14=Secant(-4,5, 1e-10);x15=Secant(0,7, 1e-10);x16=Secant(-8,2, 1e-10);x17=StephensonIterative(-1,1e-10);x18=StephensonIterative(-4,1e-10);x19=StephensonIterative(4,1e-10);x20=StephensonIterative(6,1e-10);figure, subplot(1,2,1),plot(1:x3(2)-2,x3(3:x3(2)),1:x13(2)-2,x13(3:x13(2)),1:x14(2)-2,x14(3:x14(2)),1:x15(2)-2,x15(3:x15(2)),1:x16(2)-2,x16(3:x16(2))),title('牛顿割线法'); subplot(1,2,2),plot(1:x4(2)-2,x4(3:x4(2)),1:x17(2)-2,x17(3:x17(2)),1:x18(2)-2,x18(3:x18(2)),1:x19(2)-2,x19(3:x19(2)),1:x20(2)-2,x20(3:x20(2))),title('史蒂芬森迭代法');实验结果：1. 各个迭代值分布0102030400.511.5二分法0501000.51牛顿迭代法5010015000.511.52牛顿割线法024680.511.5史蒂芬森迭代法图 1.1 不同迭代法下的得到的迭代值迭代值的情况如下：二分法 牛顿迭代法牛顿割线法史蒂芬森迭代法0 0 0 0 1.5000000000 0.2000000000 2.0000000000 1.3555555556 0.7500000000 0.3704918032 0.3333333333 0.9816165283 1.12500000000.50764420760.38071968010.99994600030.9375000000 0.6146189447 0.4982833419 0.99999999951.0312500000 0.6973869098 0.5704996333 0.9843750000 0.7615538091 0.6393806244 1.0078125000 0.8115411186 0.6942785879 0.9960937500 0.8506763857 0.7411692653 1.0019531250 0.8814482123 0.7802715997 0.99902343750.90572974000.8132927871当二分法的初始区间选为，误差限为，牛顿迭代法初值选为，误差限为，牛顿割线法初始点为，误差限为，史蒂芬森迭代法初始点选为，误差限为，迭代情况如图所示。
迭代次数分别为38次，100次，140次，9次。
故而，史蒂芬森迭代法速度最快，效果最好。
2. 收敛情况10203040-10-5059二分法501000.40.50.60.70.8牛顿迭代法10203040-2-11牛顿割线法12345-0.4-0.20.20.4史蒂芬森迭代法图 1.2 不同迭代法下迭代值得收敛情况二分法收敛效果较差，牛顿迭代法和牛顿割线法相近，史蒂芬森迭代法收敛次数高于1，效果最好 3. 不同初值的收敛情况10203040-4-3-2-112二分法50100150-4-3-2-10123456牛顿迭代法图 1.3 二分法，牛顿迭代法下不同初值的收敛情况020406080-8-6-4-202468牛顿割线法0246800.511.522.5史蒂芬森迭代法图 1.4 牛顿割线法，史蒂芬森迭代法下不同初值的收敛情况1.二分法的五个初始区间分别为；2.牛顿迭代法的五个初始值分别为；3.牛顿割线法的五个初始区间分别为；4.史蒂芬森迭代法的五个初始值分别为；由图可知，它们最终均达到收敛。
收敛性分析及结论：1.二分法收敛较慢且不能求解崇根，但算法简单；此处牛顿法具有了平方收敛；从迭代次数上看，牛顿割线法较牛顿法的多，所以收敛性较差，是超线性收敛；史蒂芬森迭代法收敛效果最好。
2.因为牛顿迭代法是局部的二次收敛，所以要注重初值的选取，本次实验中选择的初值均得到了收敛，效果比较好。
牛顿割线法也应注意初值的选取。
（第三章）实验题目：1.区间作等距划分：以为结点对函数进行插值逼近。