矢量分析

第一章 矢 量 分 析 将曲面S各面元上的A·ds相加, 它表示A穿过整个曲面S的通量, 也称为A在曲面S上的面积分:
s A ds s A nˆds
如果S是一个封闭面, 则
SA ds
表示A穿过封闭面的通量。 若Φ＞0, 表示有净通量流出, 这说明S 内必定有矢量场的源; 若Φ ＜0, 表示有净通量流入, 说明S内有洞 (负的源)。 通过封闭面的电通量Φ等于该封闭面所包围的自由电荷 Q。 若Q为正电荷, Φ为正, 有电通量流出; 反之, 若Q为负电荷, 则Φ 为负, 有电通量流入。
故
A B (xˆAx yˆAy zˆAz ) (xˆBx yˆBy zˆBz ) xˆ( Ay Bz Az By ) yˆ( Az Bx AxBx ) zˆ( Ax By Ay Bx )
第一章 矢 量 分 析
xˆ A×B各分量的下标次序具有规律性。例如, 分量第一项是y→z,
(A) A A
第一章 矢 量 分 析
1 .2 .3 散度定理
既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总 通量, 即
V AdV SA dS
上式称为散度定理, 也称为高斯公式。 利用散度定理可将矢量 散度的体积分化为该矢量的封闭面积分, 或反之。
Dz z

q
4
r2
3z2 r5
第一章 矢 量 分 析

D
Dx x

Dy y

Dz z

q
4
3r 2
3(x2 r5
y2
z2)
0
可见，除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电通量密
度散度均为零。它是管形场。
e
q
D
s

ds

4r 3
r rˆds
其第二项下标则次序对调: z→y, 依次类推。并有
xˆ yˆ zˆ A B Ax Ay Az
Bx By Bz
第一章 矢 量 分 析 1 .1 .3 三重积 ;
矢量的三连乘也有两种。 标量三重积为
A (B C) B (C A) C ( A B)
矢量三重积为
A (B C) B( AC) C( A B)
xˆ cosa yˆ cos zˆ cos
把两个矢量的对应分量相加或相减, 就得到它们的和或差。 设
B xˆBx yˆBy zˆBz
则
A B xˆ( Ax Bx ) yˆ( Ay By ) zˆ( Az Bz )
第一章 矢 量 分 析 图 1 -1 直角坐标系中矢量的分解
第一章 矢 量 分 析 矢量A的旋度可表示为算子与A的矢量积, 即
rotA A
计算▽×A时, 先按矢量积规则展开, 然后再作微分运算, 得


A


xˆ
x

yˆ
y

zˆ
z


( xˆAx

yˆAy

zˆAz )

xˆ
Az y
来自百度文库

Ay z

量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和, 即
s( A) ds l A dl
此式称为斯托克斯(Stokes )定理或斯托克斯公式。 它可将矢量 旋度的面积分变换为该矢量的线积分, 或反之。
第一章 矢 量 分 析
例1 .3 自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为
E

q
4 0r3

xˆDx

yˆDy
zˆDz
第一章 矢 量 分 析
Dx x

q
4

x

(
x
2

x

y2

z2
)3/ 2


q
4


(
x
2

1 y2
z2 )3/2

(x2

3x2 y2

z
2
)
5
/
2

q r2 3x2

4
r5
Dy q r 2 3y2 ,
y 4 r5
ds nˆds
nˆ 是面元的法线方向单位矢量。nˆ 的取法(指向)有两种情形: 对
开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选
nˆ 定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 的方 nˆ 向, 如图1 -4所示; 对封闭曲面上的面元, 取为封闭面的外法线方
向。
第一章 矢 量 分 析 图 1 -4 开曲面上的面元
若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知, 一个矢量就确定了。 例如在直角坐标系中, 矢量A的三个分量模值分别是Ax , Ay , Az, 则A可表示为
A xˆAx yˆAy zˆAz
该矢量的模为
A Ax2 Ay2 Az2
第一章 矢 量 分 析
A的单位矢量为
Aˆ A xˆ Ax yˆ Ay zˆ Az AA AA
rds rdv 3 dv 3 4 r3 4r3
S
V
V
3
第一章 矢 量 分 析
§1 .3 环量与旋度, 斯托克斯定理
1 .3 .1 环量
矢量A沿某封闭曲线的线积分, 定义为A沿该曲线的环量(或 旋涡量), 记为
l A dl
第一章 矢 量 分 析 图 1 -5 矢量场的环量

y r3



3 yz r5
可见, xˆ 向分量为零; 同样, yˆ 向和 zˆ 向分量也都为零。 故
E 0
这说明点电荷产生的电场是无旋场。
第一章 矢 量 分 析 例1 .4 证明下述矢量斯托克斯定理：
V ( A)dv s A ds
式中S为包围体积V的封闭面。 [证] 设C为一任意常矢，则
第一章 矢 量 分 析
哈密顿( W .R .Hamilton )
(
del
(德尔)”
nabla (那勃拉)”)表示下述矢量形式的微分算子:
xˆ yˆ zˆ x y z
它兼有矢量和微分运算双重作用, 因而与普通矢量有所不同:
A A ; A A ;
r

q
4 0
xˆx yˆy zˆz (x2 y2 z2 )3/2
求任意点处(r≠0)电场强度的旋度▽×E。
第一章 矢 量 分 析 [解]
xˆ yˆ zˆ
E q
4 0 x y z
xyz r3 r3 r3

q
4
0
xˆ y

A的散度可表示为算子与矢量A的标量积, 即
divA A
第一章 矢 量 分 析


A


xˆ
x

yˆ
y

zˆ
z

(xˆAx

yˆAy

zˆAz
)
Ax Ay Az x y z
利用哈密顿算子, 读者可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A B) A B
(A B) B A A B
( A) 0
A ( A) 2 A
在直角坐标系中有
2 A xˆ2 Ax yˆ2 Ay zˆ2 Az
第一章 矢 量 分 析
1 .3 .3 斯托克斯定理 因为旋度代表单位面积的环量, 因此矢量场在闭曲线l上的环
yˆ Ax z

Az x

zˆ
Ay x

Ax y

第一章 矢 量 分 析 即
xˆ yˆ zˆ A
x y z Ax Ay Az
第一章 矢 量 分 析 旋度运算符合如下规则:
(A B) A B
(A) A A
第一章 矢 量 分 析
1 .2 .2 散度, 哈密顿算子 ;
定义如下极限为矢量A在某点的散度(divergence), 记为divA:
divA lim SA ds
V 0 V
式中ΔV为封闭面S所包围的体积。 此式表明, 矢量A的散度 是标量, 它是A通过某点处单位体积的通量(即通量体密度)。 它 反映A在该点的通量源强度。 显然, 在无源区中, A在各点的散度 为零。 这个区域中的矢量场称为无散场或管形场。
第一章 矢 量 分 析
例1 .1 点电荷q在离其r处产生的电通量密度为
D

q
4r 3
r,
r xˆx yˆy zˆz,
r (x2 y2 z2 )1/ 2
求任意点处电通量密度的散度▽·D，并求穿出r为半径的
球面的电通量 e
[解]
D
q
4
xˆx yˆy zˆz (x2 y2 z2 )3/2
第一章 矢 量 分 析 图 1 -2 矢量的相加和相减
第一章 矢 量 分 析
1 .1 .2 标量积和矢量积
矢量的相乘有两种定义: 标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。 标量 积A·B是一标量, 其大小等于两个矢量模值相乘, 再乘以它们夹角 αAB(取小角, 即αAB≤π)的余弦:
它符合交换律:
A B AB cosaAB
s

q
4r 2
ds
s

q
4r 2
4r 2

q
这证明在此球面上所穿过的电通量 e 的源正是点电荷q。
第一章 矢 量 分 析
例1 .2 球面S上任意点的位置矢量为 r xˆx yˆy zˆz rˆr,
Sr ds
［解］
r x y z 3 x y z
第一章 矢 量 分 析
1 .3 .2 旋度的定义和运算
为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包 围的面积ΔS趋近于零, 取极限
A dl
l lim S0 S
这个极限的意义就是环量的面密度, 或称环量强度。 由于面 元是有方向的, 它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系, 因此 在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。 为此, 引入 如下定义, 称为旋度(rotation):
第一章 矢 量 分 析
rotA nˆ lim [ l A dl]max
S 0
S
可见, 矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最
大环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,
nˆ 该面元矢量的方向 。 它描述A在该点处的旋涡源强度。 若
某区域中各点rot A=0, 称A为无旋场或保守场。
z r3


z

y r3


yˆ
z

x r3


x

z r3


zˆ
x

y r3


y

x r3

第一章 矢 量 分 析
因
y

z r3



3 yz r5
z
（1-37）
(C A) A (C) C ( A) C ( A)
第一章 矢 量 分 析
第一章 矢 量 分 析
§1.1 矢量表示法和代数运算 §1.2 通量与散度,散度定理 §1.3 环量与旋度,斯托克斯定理 §1.4 方向导数与梯度,格林定理 §1.5 曲面坐标系 §1.6 亥姆霍兹定理
第一章 矢 量 分 析
§1 .1 矢量表示法和代数运算
1 .1 .1 矢量表示法及其和差
A B B A
并有
xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ xˆ 0
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 1
第一章 矢 量 分 析
因而得
A B AxBx Ay By AzBz
A A Ax2 Ay2 Az2 A2
矢量积A×B是一个矢量, 其大小等于两个矢量的模值相乘, 再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦, 其方向与A , B成右手螺旋关系,
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。
第一章 矢 量 分 析 图 1 -3 矢量乘积的说明
第一章 矢 量 分 析
§1 .2 通量与散度, 散度定理
在描绘矢量场的特性时, 矢量场穿过一个曲面的通量是一个 很有用的概念。 在矢量分析中, 将曲面的一个面元用矢量ds来表 示, 其方向取为面元的法线方向, 其大小为ds, 即
为A , B崐所在平面的右手法向 nˆ:
A B nˆAB sin aAB
它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
第一章 矢 量 分 析 并有
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ