线性方程组的数值解法

( n) a ( n ) xn bn nn
n ( k ) (k ) (k ) xk bk akj x j akk , (k n 1,,1) j k 1
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研究生课程---数值分析
2013-2014 秋季学期
说明：若线性方程组的系数矩阵非奇异，则它总可以通 过带行交换的高斯消去法进行求解。
(k ) 0, k 1,2,, n, 可以通过高斯消去法求解。 定理5 (1) akk
(2)系数矩阵非奇异，总可以通过带行交换的高斯消去法进
行求解。
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(k ) 算法归纳：若akk 0, k 1,2,, n，A( k )覆盖A, mik覆盖aik .
其中
( 2) (1) (1) aij aij mi1 a1 j , (i, j 2,3,, n)
(1) bi( 2) bi(1) mi1 b1 , (i 2,3,, n)
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即消去第2至第n个方程中的未知数x1
1. 消去：对于 k 1,2,, n，
(1) 若akk 0, 则停止计算.
(2) 对于i k 1,, n (i ) aik mik aik / akk (ii ) 对于j k 1,, n aij aij mik akj .
各种类型的矩阵 1) 对角矩阵 2) 三对角矩阵 3) 上三角矩阵 4) Hessenberg阵 5) 对称矩阵 6) 埃尔米特矩阵 7) 对称正定矩阵 8) 正交矩阵 9) 酉矩阵 10) 初等置换阵 11) 置换阵
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三、线性方程组的两类解法
•高斯消去法如何求来自百度文库一般线性方程组？
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高斯消去法的步骤：
（1）消元过程
(1) (1) (1) 0, 用 mi1 ai1 / a11 乘第一行 第一步：若 a11
加到第i行中，得到
a (1) 11 0 0
a (1) 11 0 0
(1) x (1) a1 b 1 n 1 ( 2) ( 2) ( 2) x a22 a2n 2 b2 . ( n) ( n) x 0 ann bn n (1) a12

直接法 迭代法
四、本讲内容安排

解线性方程组的直接方法

高斯消去法 高斯主元素消去法 矩阵三角分解法
√
√
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解线性方程组的迭代法

雅可比迭代法 高斯-赛德尔迭代法 逐次超松弛迭代法
√ √

Matlab与线性方程组求解
(1) b (1) x a1 1 n 1 (k ) (k ) (k ) akk 1 akn xk bk ( k 1) . ( k 1) ( k 1) x ak 1k 1 ak 1n k 1 bk 1 ( k 1) ( k 1) x ( k 1 ) ank 1 ann n bn (1) a1 k 1
( 2) 0, 第二步：若 a22
用… ….
… …
(k ) (k ) (k ) 第k步：若 akk 0, 用 mik aik / akk 乘第k行加到第i行
中，得到
a (1) a (1) 1k 11 (k ) akk 0 0
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(1) (1) x a1 b 1 n 1 ( 2) ( 2) x ( 2) a22 a2 b 2 n 2 . ( 2) ( 2) x ( 2 ) an 2 ann bn n (1) a12

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其中
(k 1) (k ) (k ) aij aij mik akj , (i, j k 1,, n)
(k ) bi( k 1) bi( k ) mik bk , (i k 1,, n)
第n-1步： … …
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§2 解线性方程组的直接方法
一、高斯消去法
•设有线性方程组：AX=b
a11 a12 a1n x1 b1 a x b a a 21 22 2n 2 2 . A , X , b a n1 an 2 ann xn bn
（2）回代过程
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a (1) 11 0 0
(n) 0, 则 若 ann
(1) x (1) a1 b 1 n 1 ( 2) ( 2) ( 2) x a22 a2n 2 b2 . ( n) ( n) x 0 ann bn n (1) a12