人教新课标版数学高二人教A选修4-5教案 第12课时 几个著名的不等式之二 排序不等式

选修4_5 不等式选讲 几个著名的不等式之二：排序不等式

一、引入：

1、问题：若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min ，25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？

分析：

二、排序不等式：

1、基本概念：

一般地，设有两组数：1a ≤2a ≤3a ，1b ≤2b ≤3b ，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：

根据上面的猜想，在这6个不同的和数中，应有结论：

同序和332211b a b a b a ++最大，反序和132231b a b a b a ++最小。

2、对引例的验证：

3、类似的问题：

5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？

分析：

4、排序不等式的一般情形：

一般地，设有两组实数：1a ，2a ，3a ，…，n a 与1b ，2b ，3b ，…，n b ，且它们满足：

1a ≤2a ≤3a ≤…≤n a ，1b ≤2b ≤3b ≤…≤n b ，

若1c ，2c ，3c ，…，n c 是1b ，2b ，3b ，…，n b 的任意一个排列，则和数n

n c a c a c a +++ 2211在1a ，2a ，3a ，…，n a 与1b ，2b ，3b ，…，n b 同序时最大，反序时最小，即：

112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n +++≥+++≥+++- ，

等号当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时成立。

分析：用逐步调整法

三、典型例题：

例1、已知c b a ,,为正数，求证：

abc c

b a a

c c b b a ≥++++2

22222。

例2、设1a ，2a ，3a ，…，n a 为正数，求证：

n n n n a a a a a a a a a

a a +++≥++++- 211

2

21322221。

四、小结：

五、练习：

六、作业：

1、求证：da cd bc ab d c b a +++≥+++2

2

2

2

。

2、在△ABC 中，ha , hb ,hc 为边长a,b,c 上的高，求证：asinA +bsinB +csinC ≥h a + h b +h c ．

3、若a >0,b >0，则2

2223

32266b a b a b a b a +⋅+⋅+≥+． 4、在△ABC 中，求证：abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(2

2

2

≤-++-++-+．（IMO ）

5、若a 1，a 2，…，a n 为两两不等的正整数，求证：∑∑==≥n

k n

k k k

k a 1121

．

6、若x 1，x 2，…，x n ≥0，x 1+x 2+…+x n ≤21，则2

1

)1()1)(1(21≥---n x x x ．