理论物理统计物理基础刘连寿第七篇答案

以等价于固相到气相，故
而固到液的改变一般不大，故近似地
显然这样
得到解释。
23．(a)用自由能判据，而不是用自由焓判据证明麦克斯威等面积法则。 （b）用热力学第二定律证明等面积法则。 23．证明：假设 段表示实际气体气—液平衡相变过程，按照自由能判据, 由 于：
可知在 点与 点，有相同的温度，故：
(1)
当
时，
,故
5．试给出半径为的维球体积： 5．证明：在半径为 1 的 维球区域内积分为：
以另一种方式求上述积分有： 由两式可知： 证毕
6．利用附录给出的斯特林公式： 满足下式：
证明上题中的系数
6．证明：第一部分：
只要将上题中解答过程的(3)式中的 换成 即得。故关键是证明第二部分 由于
(1) 由于：
（c） 若
，晶体的温度时 300K，处于间隙点的原子所占的比例是多少？
解：（a）根据题意假设一个原子占据间隙点时能量 ，则占据格点时能量
。
现有 个原子占据间隙点故有 此宏观态对应的微观态数
个占据格点。
故熵：
（b） 按（a）中晶体达到平衡总能量： 根据：
（d） 由 代入（b）式求得：
2．考虑橡皮带简单模型，一个一维链条由 个长度为 链环沿着 轴，但可以重
由斯特劳林近似公式： 考虑到 可近似的取： （2）根据温度 T 定义:
（1）
由（2）式 所以总能量：
与§7.3.2 比较，由于这里是 个谐振子。故应该说此结果与用正则分布所得的 结果完全一致
2. 设有 个独立可识别粒子组成的系统每个离子有两个可能状态，一个能量为 0 的状态，一个能量为 的状态，求系统的配分函数，内能和热容量，并证明当
证毕
第三章统计系综
1. 将 各近独立的频率 为的谐振子组成的系统，每个谐振子的能量为
（a）求当系统的能量为
时的微观态数和熵
（b）求当系统达到平衡时，此系统能量与温度的关系，并和§7.3.2 中用正则分
布所得的结果比较。
解：(a) 假定 N 个独立的谐振子对应的量子数分别为
根据题意
则系统的微观态数即相当于将 个东西分配到 个不相同（可以区别）的容器 中的方法种数， 可等于 0 相当于容器可以是空的.故：
（ 是非膨胀功）
当 不变时，即
且无非膨胀功
，有：
故系统沿着 减小方向进行，直到达到平衡时 最小。证毕.
22．在三相点附近，固，气二相的平衡曲线在 衡曲线的斜率陡，试从物理上说明。 答：由克劳修斯——克拉拍龙方程:
图上的斜率比液，气两相平
可以知道，再三相点时为一定，故平衡曲线的斜率主要起决于
， 其物理意义在于：以 相变到 相过程中，单位摩尔体积改变所吸收的潜热。 所以固－气二相的平衡曲线在 图上的斜率比液-气两相平衡曲线的斜率陡， 说明从固到气二相单位摩尔体积改变所吸收的摩尔潜热大于从液到气二相单位 摩尔体积改变所吸收的摩尔潜热。物理实质在于：固相到液相，液相再到气相可
（b）晶体的磁矩 （c）高温弱场和低温强场的磁矩 （d）求原子磁矩平行、反平行和垂直于外场几率，并由此求磁矩（不考虑磁
第七篇 第一章统计理论基础
1.试求理想气体的定压膨胀系数和等温压缩系数。 1．解：假设我们考察的系统是 n mol 的理想气体，由于理想气体状态方程为：
(1) (2) 故定压膨胀系数：
而等压压缩系数:
综上有理想气体（n mol）：
2.某气体的定压膨胀系数和等温压缩系数
，
常数，试求此气体的状态方程。
2．解：根据题意：
，其中
都是
把体积 看成是 数并微分有：
两边同时积分有：
由极限情况下： ,
故： 得到：
3．一弹性棒的热力学状态可用它的长度 L，应力描述 f 和温度 T 关系,即为其状 态方程，今设此弹性棒发生一微小变化，从一平衡态变到另一平衡态，试证明：
其中 为棒横截面积， 为线膨胀系数， 为杨氏模量。
3．证明：杨氏模量的定义： 对长度 积分有：
即有（1）式成立，故待证命题成立。 证毕
第二章统计热力学基础
1．单原子晶体中可占据一个格点或一个间隙点。原子占据格点时的能量比占据
间隙点时高 。设格点数和间隙点数相等。且等于晶体中的原子数 。
（a） 考虑有 个原子占据间隙点的宏观态，计算系统处于此宏观态的熵 （b） 设系统达到平衡，问晶体在此态的温度是多少？
叠（如图），链条两个端点的距离为 ，系统是孤立的，链环各种方位有相同的
能量，证明
时可以得到胡克定律。
证明：我们从端点 开始规定每节链环的方向，凡是指向右方的链环记为“+”， 指向左方的记为“-”。设所有指向右方的链环数为 ，所有指向左方的链环数 为 则总链环数为：
且几何关系：
两端链条间隔为 的这样一个宏观态（即一定
与类比线胀系数：
证毕
4．对气体的膨胀系数和压缩系数进行测量的结果得到一下方程： ，
其中 是常数，
只是 的函数.
证明：（a）
(b) 状态方程： 4．证明：(a)由：
又由 ：
（2）式两边对 求导（T 一定时）：
此式与
比较可知：
（因
f（P）= 与 T 无关 也与 P 无关）
(b) 将
带入(1)式有：
（1） （2）
温度很高
时
，当温度很低
时，
。
解：根据题意，配分函数 满足可分解性，先求出单个可识别粒子的配分函数：
故系统的配分函数： 可求系统的内能：
（1）
系统的热容量
由（3）式讨论极限温度下情况 当温度很高时。即 由（3）式
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当温度很低，即
时
时；
3.一块晶体包含 个原子，原子的自旋磁矩为 ，被置于均匀磁场 中，这些 原子可取三个取向：平行、垂直、和反平行磁场， 求（a）晶体的配分函数
对（1）式两遍从
求积分：
(2) 自由能是状态量，与积分过程无关。（2）式右边按 A O B 积分与按 A J O B 积分所得值完全相同。按照一重积分几何意义有：
此即等面积法则。 （2）若按热力学第二定律：
考虑在 A.B 两点 且 由（1）式：
均为态函数的值，
(2) 将（2）是按两种不同方式积分(路径)积分，一种沿 A O B 一种 A J O NB
使 一定）对应的微观态数
故熵
故张力：
当
时，即
时有张力近似地为：
（
为比例常数）
此即为胡克定律。证毕。
20．证明下列平衡判据
（a）在 不变情形下,平衡态的 最小.
（b）在 不变情形下，平衡态的 最小。 证明： （a）对于封闭系统，由热力学第一定律
热力学第二定律
当 都不变时
表明 不变时，系统进行的方向是沿着 减小的方向，直到达到平衡时 最小. （b）热力学第一定律可以得到