理论物理基础教程答案_刘连寿
几种求解线性谐振子基态能方法的比较
系统时，有简单而直观的表达式，便于求解。 而代数方法在很早就有了广泛的应用，比如 量子力学的矩阵形式，就是一种代数方法。 本文求解谐振子能量本征值的代数方法，在 处理如分子，晶格，原子核的振动，相干态 等问题时，可以广泛应用。在原子、分子、 原子核和基本粒子束缚态的研究中，变分法 的应用非常普遍。在一些简单的情况下，只 需要很少几个变分参量就可以得到符合要 求的近似解。特别是单参量的试探波函数， 有很简单的解析表达式，计算一些相关物理 量非常方便。不确定关系作为量子力学的一 个基本理论，用它解决一些物理问题能给出 比较清晰地物理图像。
解：一维谐振子的哈密顿量为（采用自然单
位 h = m = ω = 1）：
H
=
−
1 2
d2 dx2
+
1 2
x2
选取基态试探波函数为
x
ψ = N (1 − a )
x <a
（4）
0
x <a
其中 a 为变分参数，N 为归一化常数。
由归一化条件可得
∫ ∫ ψ 2dx = N 2
a
(1 −
x2 ) dx
−a
a
∫ = 2N 2a 1(1− ξ )2 dξ 0
对易关系和哈密顿算符为出发点，利用薛定 谔因式分解的方法，经过递推而求解。其求 解的方法非常简单巧妙，虽然不普遍，但是 在解决一些问题还是可以用到，如解决两个 角动量合成角动量的本征值和本征态问题。 变分法常用来计算系统的基态和前几个激 发态。然而，用任意波函数计算出来的平均 值能量总是不小于基态能量，如以上用变分
4 推广
简谐振子模型是量子力学中极其简单 而又重要的模型，它作为一个精确可解的量 子力学模型，体现了周期运动的基本特性，
物体在有心力场中运动的分析(毕业论文)
本科毕业论文题目：物体在有心力场中运动的分析目录1.引言 (1)2.有心力基本概念及它的性质： (1)3.推出动力学方程 (2)4.用开普勒定律推出引力公式 (6)5.两体问题 (7)6.结论 (9)7.参考文献 (10)8.致谢......................................................... - 10 -物体在有心力场中运动的分析摘要有心力场中的运动是经典力学和天体力学的一个重要问题.本文概括地介绍了有心力及其有关它的一些重要结论.首先研究质点和质点系在有心力作用下的运动，有心力的基本性质.用动力学方法推导关于有心力的公式,及在开普勒三定律的基础上推导万有引力方程.,介绍有心力场在物理学中的应用。
关键词有心力；动力学；开普勒定律；两体问题。
1.引 言经典力学的发展是与对天体运行的观察和研究分不开的.早在17世纪初叶，开普勒（J.Kepler ）通过对太阳系各行星运动的观察，总结出行星运动的三个定律，于1620年发表在《论天体之协调》（On Celestial Harmonics ）一书中.在此基础上，牛顿建立了著名的万有引力定律.行星绕恒星的运动属于所谓“有心运动”一类的运动.有心运动是一类常见的运动，天体的运行，原子核外的电子运动都属于这类运动.火箭和人造卫星的发射和运行都离不开对有心运动的研究.首先我们介绍有心力的基本概念及它的性质，然后利用开氏三定律推导出引力公式并对公式进行分析.2.有心力基本概念及它的性质：一般来讲，如果运动质点所受力的作用线始终通过惯性系中某一个固定点，则我们就说这个质点所受的力是有心力，此固定点称为力心.有心力的量值，一般是矢径（即质点和力心之间的距离）r 的函数，而力的方向则始终沿着质点和力心的连线，凡是趋向定点的是引力，离开定点的是斥力。
行星绕太阳运动时受到的力，电子饶原子核转动时受到的库仑引力，近似看做有心力.有心力场是自然界中最普遍、最重要的力场之一.有心力构成的力场称为有心力场.我们平时假定力心不动研究有心力场问题.这时以力心作为坐标质点,变成一个平面问题.质点受变力作用而沿曲线运动时，变力所作的总功为d W B A .⎰= （1）在平面极坐标系中，力所做的功为θθd F dr F W B A r +=⎰ （2）因为有心力只具有径矢方向的分量)(r F F r =,而横向分量为0=θF ，故质点由A 点运动到B 点时有心力作的功是dr r F dr r F W B A r r ⎰⎰==21)()( (3)这个顶积分的值只取决于起点和终点的矢径，与质点运动的路径无关，这就证明了有心力是保守力.而平面力,力和位置坐标相互平行且应满足0=⨯∇,那么角动量守恒.这是有心力场的一个特点，根据有心力场的特点，下面推导有心力场的动力学方程及加讨论。
理论物理基础教程刘连寿第五篇第二章答案
∴
∂ 2ψ 1 ( x) + λ2 xψ 1 ( x) = 0 2 ∂x
由边界条件得ψ 1 ( x) = A sin( λ x x) ， A sin( λ x a) = 0 ，
λx = n1π a
（ n1 = 1,2,3........ ）
2 a
本征函数ψ 1 ( x) = A sin( n1π
a
x) ，归一化后得 A =
nπ nπ nπ 8 sin( 1 z ) sin( 2 y ) sin( 3 z ) abc a b c
2 n2 λ 2 h 2π 2 n12 n2 = ( 2 + 2 + 3 ) 2m 2m a b c2 2
2 2 h ∵ λ2 = λ2 x + λ y + λz ∴ E =
n1 , n 2 , n3 = 1,2,3........
其中 k =
2 mE / h 2
。
2
x) 2m( E − U ) + ψ ( x) = 0 解：由定态薛定谔方程 d ψ ( 2 2 dx h
∴
′′( x) + ψ1 ′′ ( x ) + ψ2 ′′( x ) + ψ3
2m( E − U 1 ) ψ 1 ( x) = 0 h2 2mE ψ 2 ( x) = 0 h2
∴
ψ 1 ( x) =
nπ 2 sin( 1 x ) a a nπ 2 sin( 3 z ) c c
同理可得ψ 2 ( y) =
nπ 2 sin( 2 y ) ，ψ 3 ( z ) = b b
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ψ ( x, y, z ) =
理论物理基础教程刘连寿第五篇第一章答案
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ˆ+F ˆ + ]vdτ = v[( F ˆ + )u ]* d τ ， F ˆ +F ˆ + 是厄米算符。 所以 ∫ u * [ F ∫ ˆ +F
* ˆ −F ˆ + )]vdτ 同理， ∫ u [i( F + * ˆ ˆvdτ − i u * F ˆ u ) * dτ = i∫ u * F vdτ − i ∫ v( F ∫ ˆ vdτ = i ∫ u F
Axe − λx = ∫ c ( p x )ψ p x dp x
x
( x) =
1 e ipx x / h 2πh
其中
v c ( p x ) = ∫ψ ψ ( x)d r =
* px 3
∫ (e 2πh
0
1
∞
ip x x / h *
) Axe −λx dx
= =
A xe −( λx +ipx x / h ) dx ∫ 2πh 0 h [− xe − ( λ +ip x / h ) x 2πh λh + ip x x
P305
1. 计算下列各种频率的谐振子的能量子： (a)υ = 50HZ 的带电谐振子； (b)υ = 1010 HZ 的微波； (c)υ = 1015 HZ 的光波， 进而指出为什么普通振子的能量不显分立性。 答：(a)
hυ = 6.63 *10 −34 J ⋅ S * 50 HZ = 3.31 * 10 −32 J
因为在 z → ±∞ 时， u ， v 都趋于 0，所以第一项和第三项都为 0，所以，上式变为
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chap1-1
换为 变为标量方程
。
(功 ) 即
(能 )
2． 由
得
则
对
中的
作形式上的降阶
注：数学上
分别为二阶和一阶导数，而物理上分
别为加速度和速度。 又 ，则 (函数和反函数)。于是
(I) 式中的右边
因而
注：
因
则
将 (1)、(2)、(3) 代入标量方程 (I) 得到
由于 dq1、dq2、dq3 互相独立，所以
分析力学
教材：理论物理基础教程 (刘连寿主编)
——分析力学部分
讲授：吴少平 办公室：9 –email：wsp@ QQ：997682735 2014 年 2 月
参考书 1．力学
朗道 栗弗席兹
高等教育出版社
(2007年4月第5版)
2．Analytical Mechanics
3．
和
的计算：
（速度
和
的关系）
将
对
求导得到
(
只是
的函数，不是
的函数)
上两式代入 (4)，得到
4．粒子的动能：
则
5．代入 (5) 式，得到
6．保守力场： 则
由上两式得
因而
令 L = T – U，则
说明：
① 拉格朗日方程是力学系统的基本运动方程。运动方程 在牛顿力学中为牛顿第二定律，在分析力学中为拉格 朗日方程。牛顿方程：矢量方程；拉格朗日方程：标 量方程。
分析力学是理论物理的第一门课程，具有以下理论
思维的一些特点：
理论物理思维方法
实验观察到的现象 例：光的折射定律
理论家问： 工程师问：
为什么？ 理论物理思维方法
唯象规律
做什么？ 从现象到本质
数学物理方法答案(10) 刘连寿
3.反演 u(x,t)=L-1[u(x,p)]=L-1[x b -p b L [- 2 e a ] L-1[ 2 ] p p -1 x b -p b e a 2] 2 p p
(1)L-1[
b ] bt p2
f (t ), t 由延迟定理L-1[e p F(p)] f (t ) 0,t< x x b(t ), t p b - x a a L1[- 2 e a ] p 0,t x a
F[
8.用傅里叶变换求解下列定解问题：
2u 2u 0, x 2 y 2 x , y 0;
u y 0 ( x), u x 0, u y 0.
(k , y ), f ( x) f (k ) ，则原定解问题称为 解：设 u ( x, y ) u
x 0, t 0
t 0
u x 0 0, u t 0 0, ut
b
解：对方程及边界条件作关于变量 1. t的拉氏变换。
2 2 2 d p u(x,p)-pu(x,0)-u (x,0)-a u(x,p)=0 t 2 dx u(0,p)=0, u (x,p) 0 x x
(t )
A 0 0 t t0 t 0, t t0
如图 4，求电流。
5.试证明
(1) n 2 cos( a) 2 sin 2 ( a ) n ( n a )
式中实数 a 0, 1, 2,
6.求解半无界弦的振动
utt a 2u xx 0
2
C ( p ) ，则有 4.证明象函数 C ( p) 的位移定理，若有 f (t )
e ip0t f (t ) C ( p p0 )
理论物理统计物理基础刘连寿第七篇答案
，其中
都是
把体积 看成是 数并微分有：
两边同时积分有：
由极限情况下： ,
故： 得到：
3．一弹性棒的热力学状态可用它的长度 L，应力描述 f 和温度 T 关系,即为其状 态方程，今设此弹性棒发生一微小变化，从一平衡态变到另一平衡态，试证明：
其中 为棒横截面积， 为线膨胀系数， 为杨氏模量。
3．证明：杨氏模量的定义： 对长度 积分有：
证毕
第三章统计系综
1. 将 各近独立的频率 为的谐振子组成的系统，每个谐振子的能量为
（a）求当系统的能量为
时的微观态数和熵
（b）求当系统达到平衡时，此系统能量与温度的关系，并和§7.3.2 中用正则分
布所得的结果比较。
解：(a) 假定 N 个独立的谐振子对应的量子数分别为
根据题意
则系统的微观态数即相当于将 个东西分配到 个不相同（可以区别）的容器 中的方法种数， 可等于 0 相当于容器可以是空的.故：
当
时，
,故
5．试给出半径为的维球体积： 5．证明：在半径为 1 的 维球区域内积分为：
以另一种方式求上述积分有： 由两式可知： 证毕
6．利用附录给出的斯特林公式： 满足下式：
证明上题中的系数
6．证明：第一部分：
只要将上题中解答过程的(3)式中的 换成 即得。故关键是证明第二部分 由于
(1) 由于：
叠（如图），链条两个端点的距离为 ，系统是孤立的，链环各种方位有相同的
能量，证明
时可以得到胡克定律。
证明：我们从端点 开始规定每节链环的方向，凡是指向右方的链环记为“+”， 指向左方的记为“-”。设所有指向右方的链环数为 ，所有指向左方的链环数 为 则总链环数为：
数学物理方法(刘连寿第二版)第06章习题[1]
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第六章 习题答案6.1-1 求解下列本征值问题的本征值和本征函数。
（1）0=+''X X λ ()00=X ()0='l X（2）0=+''X X λ ()00='X ()0='l X （3）0=+''X X λ ()00='X ()0=l X （4）0=+''X X λ()0=a X()0=b X解：（1）0=λ时，()b ax x X +=，代入边界条件得 ()00==b X 和()0=='a l X 得到()0=x X ，不符合，所以0≠λ0>λ时，()x b x a x X λλsin cos +=，代入边界条件得()00==a X ，()()2224120sin ln l b l X nπλλ+=⇒==',2,1,0=n所以：()()x ln x X 212sin π+=,2,1,0=n（2）0=λ时，()b ax x X +=，代入边界条件得 ()00=='a X 和()0=='a l X ，所以()b x X =存在。
0>λ时，()x b x a x X λλsin cos +=，代入边界条件得()000=⇒=='b b X λ，() ,2,10sin 222==⇒=-='n ln l a l X n πλλλ综合：本征值：222l n n πλ=,2,1,0=n 本征函数：()x ln x X n πcos = ,2,1,0=n（3）0=λ时，()b ax x X +=，代入边界条件得 ()00=='a X 和()0==b l X ，()0=x X 不符合。
0>λ时，()x b x a x X λλsin cos +=，代入边界条件得()000=⇒=='b b X λ，()() ,2,1,04120cos 222=+=⇒==n ln l a l X nπλλ本征函数：()x ln x X n πcos = ,2,1,0=n（4）0=λ时，()d cx x X +=，代入边界条件得 ()0=+=d ca a X 和()0=+=d cb l X ，得到b a =，故0≠λ。
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带入拉格朗日方程
d L L dt q q
由L` 和L 得到的运动方程相同。
11．证明一维运动自由质点的拉格朗日函数 [ 1 . 1 . 4 (4 .10) 式 ]满足有限相对速度变换下伽 利略相对性原理的要求。 解：由（4.10）可得自由质点的拉格朗日函数为
L 1 m 2 2
dr l dte AdteX
dr 和 r
M
l
的区别如图所示：
m
x3
M
M
l
r
m
l
x3
m
x3
dr
虚位移和实际位移的主要区别在于 虚位移之和约束有关。
实际位移除了和约束有关以外，还和物体 当前的运动状态有关。
4. 长度同为l 的轻棒四根，相互连接成一个可 以无摩擦的改变顶角的菱形ABCD，AB和AD 两棒无摩擦的支于处于同一水平线上且相距 2a的两根钉上，BD之间用一根轻质棒连接， 在连接点（B和D处），各棒之间可以无摩擦 的转动，C点上系有一重物W，C点和重物受 到约束，只能上下运动，设A点两棒之间的 夹角为2 ,试用虚功原理求平衡时联结棒BD A FT ，讨论的 FT 方向 中的张力 2 l l 2a 与 的大小的关系。问：在 B D 什么情况下有 FT 0，说明其 l l 意义。 C
t2
t2
那么
t1
等号成立的条件是
为常数。
x
O
X
K系 滑块的能量
K’系
1 E m( X x cos ) 2 2 mgx sin
1 2 E MX 2
E
1 m( X V x cos ) 2 2 mgx sin
1 M ( X V )2 2
（a）求悬线和竖直线偏离 所对应的虚位移 r （b）已知在这一时刻的角速度为 ，求经过 dt dr 时间后的位移 dr 。问：当 dt 0 时， 与 r 有何差别？ M 解： （a）在任意时刻，约束所 容许的位移为虚位移，途中 l 的小球，受到细绳的和自身 m x 重力的约束，在这个时刻，
分析力学作业讲解
第一章 低速宏观运动的基本原理
• 包括1 2 3 4 9 10 11 12题
1.设质点在势能场U(r)中运动，在笛卡尔坐 标系中写出其拉格朗日方程。
解：拉格朗日方程为：
d L L 0 dt q q ( 1, 2,3)
L为拉格朗日函数
L T U
笛卡尔坐标中的坐标变量为 x1, x2 , x3 ，那么
解：由柱坐标和笛卡尔坐标的关系可知
dr e d e d ez dz
z
等式两边同时除以dt
r e e ez z
r
z
y
那么，系统的动能为
1 2 1 T = mr m( 2 2 2 z 2 ) 2 2
L ' L q,q, t d f q, t dt , t f q, t q L q,q f q, t t q
那么
d L' f q, t q q dt 2 2 L f q, t q f q, t q t q q q
2FT l cos + 2Wl sin Wa csc2 0
即有： FT Wa /(2l sin2 cos ) W tan
a FT 0 sin 2l
3
杠对B的作用力向外 杠对B的作用力向内 杠对B无作用力
a FT 0 sin 2l
3
a FT 0 sin 2l
利用近似方法 sin( ) sin cos
f ( x x) f ( x)
f x x
可得：
cos( ) cos sin ctan( ) ctan csc2
将上面的近似式代入虚功方程可得：
x
那么，系统的拉格朗日为
所以
1 L T U = m( 2 2 2 z 2 ) U ( ) 2
L U ( ) 2 m L m
L 0 L m 2
L 0 z L mz z
经过伽利略有限速度变换 ' V 的拉氏量为
1 1 1 1 2 2 2 L ' m ' m( V ) m mV mV 2 2 2 2 2 1 1 d 2 C m 2 mV x Ct m mVx 2 2 dt
L` 和L相差一广义坐标和时间的函数的时间 全导数的两个拉格朗日函数，由上题知，他 们满足相同的拉格朗日方程。所以自由质点 的拉格朗日函数 (4 .10) 式 满足有限相对速度 变换下伽利略相对性原理的要求。
S0 L( x, x, t )dt m 2 /2dt m 2 (t2 t1 ) / 2
t1 t1 t2 t2
将 (x
2
x1 ) /(t2 t1 )
带入得到
m( x2 x1 )2 S0 m 2(t2 t1 )
将 (x
2
x1 ) /(t2 t1 )
带入拉格朗日方程
xi 0 x j
d L L d U mxi 0 dt q q dt xi
( 1, 2,3)
即有
U mxi xi ( 1, 2,3)
这就是笛卡尔坐标系中的拉格朗日方程。
2.已知柱坐标 ( , , z) 与笛卡尔坐标的关系是 x cos , y = cos , z z 如图1．设质点在轴对称势能场 U ( )中运 动，写出其那格朗日方程。
解之得：
mg sin cos X M m sin 2 ( M m) g sin x M m sin 2
10．直接用拉格朗日方程[ 1.1.2 (2.21) 式 ]证明， 由相差一广义坐标和时间的函数的时间全导数 的两个拉格朗日函数L` 和L [1.1.3 (3.13)式 ] 得 到的运动方程相同。 证明：L和L’相差一个广义坐标和时间的全微分
杜佳欣 dujx@ /~dujx/
1.2.3.4.7.8
T mxi2 / 2
i 1 3
所以，
L T U mxi2 / 2 U ( x1 , x2 , x3 )
i 1 3
带入那格朗日方程得到
xi 0 x j
U L 3 2 mx j / 2 U ( x1 , x2 , x3 ) xi xi j 1 xi L 3 2 mx j / 2 U ( x1 , x2 , x3 ) mxi xi xi j 1
带入拉格朗日方程，则有：
dU ( ) m m , d
2
2 0,
mz 0
3.长度为l的细绳系一小球，悬挂点按照 X A sin (t t0 )方式运动，如图所示，小球被限 t 制在 ( x, z )平面内运动， t0时悬线竖直向下。
注意：解决此类问题的关键是弄懂题意，在作业中我发现很 多同学没有弄清题目要求证明什么。要证明拉格朗日函数满 足有限相对速度变换下伽利略相对性原理的要求。就要先搞 清楚什么是伽利略相对性原理：所有惯性系，对研究机械运 动规律是等效的。那么我们要证明的是在两个惯性系中，拉 格朗日函数满足相同的运动规律。要注意拉格朗日量本身是 没有物理意义的。重要的是他满足的函数形式和满足的运动 方程。
d L' L f q, t q q q dt L f q, t q q
那么
d d d L' L f q, t dt q dt q dt q d 2 L f q , t q f q, t dt q t q q q
12．已知一维运动自由质点的拉氏量是 L m 2 / 2
(a)证明：当按真实运动方式运动时，作用量是
m( x2 x1 )2 S0 m 2(t2 t1 )
(b)设 x(t1 ) a, x(t2 ) b，求 S0 ；并任意假定一种非真 实的运动方式，计算相应的作用量S1 ，验证 S1 S0 。 解：按真实情况运动时，自由质点作匀速直线运 动，速度为常数 。
斜面的能量
E
E
系统的总能量
1 m( X x cos ) 2 2 1 M ( X )2 2 mgx sin
E
1 m( x cos X V ) 2 2 1 M ( X V )2 2 mgx sin
分析力学作业讲 解
第二章 守恒律 m 2(t2 t1 )
（b）假设自由质点不做匀速直线运动，则速 度为时间的函数 (t ) ，且满足：
b a (t)dt
1 1 t2 2 2 S1 m dt m dt υ平方的 t1 2 2 t1 平均值大 2 t2 m m(b a )2 dt 于υ平均 t1 2(t2 t1 ) S0 2(t2 t1 ) 值的平方。
3
小球只能围绕O点作圆周运动，当偏离角为 时，对应的虚位移为 l 。
（b）小球经过 dt 时间后的位移，可以看作有 两部分组成：
dte （1）小球绕O点作圆周运动所产生的位移 l
（2）小球随O点一起作简谐运动所产生的位 移 Xdt A dteX
所以，小球的位移为
W
解： 虚功原理
( F反 ) r 0
l
我们考虑当A处的夹角增加 ,只 有B、D和C处的约束力的虚功不 为零。那么：