二次函数压轴题等腰三角形存在性-直角三角形存在性
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中考数学压轴题
一、等腰三角形存在性
1 解题思想:分类讨论
2 解题技巧:坐标系内线段长度表示
(1)线段在坐标轴上或平行于坐标轴
在x轴或平行于x轴:x右-x左
在y轴或平行于y轴:y上-y下
(2)线段为倾斜(斜线段)A(X A,Y A)B(X B,Y B)C(X C,Y C)
由勾股定理得:AB2=
AC2=
BC2=
3 解题方法
(1)代数法:(1)根据条件用坐标表示三边或三边的平方
(2)分三种情况列方程,解方程
(3)根据题目条件及方程解确定坐标(注意重根)
(2)几何法:(1)先分三种情况A为顶点,B为顶点,C为顶点
(2)画图,作圆法,垂直平分线法
(3)计算:以两定点为腰则腰长已知,先求出腰长进行几何构造,注意不要漏解,以两定点为底则利用腰相等建立方程求解(表示腰长可结合代数法)。
例1. 如图,已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B 两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使△ABM为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求出点M的坐标.
代数法:
几何法:
例2 如图△ABC中,AB=AC=5,BC=6,D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合),且保持DE∥BC,以ED为边,在点A的异侧作正方形DEFG.
(1)试求△ABC 的面积;
(2)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长; (3)设AD=x ,当△BDG 是等腰三角形时,求出AD 的长. 只能选择几何法 1 先分析三种情况
2 根据已知表示三边长度(相似)
3 列方程计算
同步练习:
1.如图,抛物线2
54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点,已知BC x ∥轴,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,且AC=BC .
(1)写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式;
(2)探究:若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点,是否存在PAB △是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点P 坐标;不存在,请说明理由.
2.如图,点A 在x 轴上,OA =4,将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置.
A
C B
y x
0 1
1
(1)求点B的坐标;
(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
3.(2016•临沂第26题)如图,在平面直角坐标系中,直线y=—2x+10与x轴、y轴相交于
A、B两点.点C的坐标是(8,4),连接AC、BC.
(1)求过O、A、C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动;同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,PA=QA?
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
二、直角三角形存在性
解题方法
(1)代数法:
(1)根据条件用坐标表示三边或三边的平方
(2)以直角顶点分三种情况,根据勾股定理列方程,解方程
(3)根据题目条件及方程解确定坐标
(2)几何法:
(1)先分三种情况进行构造:若已知边做直角边,过直角边的两端点作垂线,则第三个顶点在垂线上,若已知边为斜边,可取斜边为直径作圆,直角顶点在圆上
(2)计算:注意题目的几何背景,如有直接的相似则表示线段长度,进行相似求解,无直接相似则围绕顶点分别做坐标轴的平行线,构造一线三角模型进行相似求解。
例1.(2016•枣庄)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴的另一个交点为B.设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
代数法:几何法:
例2. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
代数法:几何法:
2、如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线y=x 2
交于A ,B 两点,其中点A 的横坐标是﹣2.
(1)求这条直线的函数关系式及点B 的坐标.
(2)在x 轴上是否存在点C ,使得△ABC 是直角三角形?若存在,求出点C 的坐标,若不存在,请说明理由.
3.如图,在平面直角坐标系中,直线1
23
y x =-
+交x 轴于点P ,交y 轴于点A ,抛物线21
2
y x bx c =-++的图象过点(1,0)E -,并与直线相交于A 、B 两点.
⑴ 求抛物线的解析式(关系式);
⑵ 过点A 作AC AB ⊥交x 轴于点C ,求点C 的坐标;
⑶ 除点C 外,在坐标轴上是否存在点M ,使得MAB ∆是直角三角形?若存在,请求出点
M 的坐标,若不存在,请说明理由.