相对论习题课
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狭义相对论
一、绝对时空观： 空间间隔和时间间隔是绝对的
二、狭义相对论的两个基本假设：
1、爱因斯坦相对性原理： x ut x' 2 2 1 u / c 坐 y' y 标 变 z' z 2 换 t ux / c t ' 2 2 1 u / c 2、光速不变原理： vx u ' v x 1 uv / c 2 x 速 2 2 v 1 u / c y ' 度 v y 2 1 uv / c x 变 换 ' vz 1 u2 / c 2 v z 2 1 uv / c x
t1 0 t2
可知乙所测得的这两个事件的空间间隔是
x 2 x1
x 2 x1 v t 2 t1
1 2
5.20 104 m
y′ 例题9 在S′系中有一根米尺与o'x'轴 u 成30°角，且位于x'o'y′平面内，若要 使这一米尺与S系中的ox 轴成45°角， ①试问S′系应以多大的速率 u 沿 x 轴 x′ 30° 方向相对S系运动？②在S系中测得米 o o′ x 尺的长度是多少？ z′ z 解；设在S系和S′系中米尺的长度分别为l, l′,且 l′= 1m
M M0
而
M0
2m 0 1 2
这表明复合粒子的静止质量M0大于2m0，两者的差值
2m 2E 0 K M－ 2m － 2m 0 0 0 2 2 c 1
式中Ek为两粒子碰撞前的动能。由此可见，与动能相应 的这部分质量转化为静止质量，从而使碰撞后复合粒子 的静止质量增大了。
例题10 设有两个静止质量都是m0 的粒子，以大小相同、 方向相反的速度相撞，反应合成一个复合粒子。试求这个复 合粒子的静止质量和速度。 解 设两个粒子的速率都是v，由动量守恒和能量守恒定律得
m v －m v MV
Mc 2 2m 0 c 2 1 2
式中M和V分别是复合粒子的质量和速度。显然V=0，这样
l ly sin 45
lx u 0.816c,
ly
tg 45＝ 1
0.707 m
例题9 原子核的结合能。已知质子和中子的质量分别为。
4 He 两个质子和两个中子组成一氦核 2 ，实验测得它的质量为
M P 1.000728 u M n 1.000866 u
MA=4.000150u ， 试 计 算 形 成 一 个 氦 核 时 放 出 的 能 量 。 (1u=1.66010-27kg) 解 两个质子和两个中子组成氦核之前，总质量为
相对于甲的运动速度为：
4 A) c 5
3 B) c √ 5
1 C) c 5
2 D) c 5
4、μ 子是一种基本粒子，在相对于μ 子静止的坐标系中测得 其寿命为 τ 0 = 2×10-6 s ，如果μ 子相对于地球的速度为v = 0.998 c ，则在地球坐标系中测出的 μ 子的寿命 τ = 。
1.29 10 s
l l cos 30 0.866m x
y
l l sin 30 0.5m且有l y ＝l ＝ 0.5m y y
1 u 2 c 2 0.866 1 u 2 c 2 lx lx
要使
l y l x 0.866 1 u 2 c 2 0.5,
2
2 E mc 能量： E mc
1、宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线飞行，某一时 刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光信号，经过 ⊿t（飞船上的时间）时间后，被尾部的接受器收到，则 由此可知飞船的固有长度为：
A)ct
√
B)vt
v 2 C )ct 1 ( ) c
D)
M 2M P 2Mn 4.003188 u
而从实验测得氦核质量 MA 小于质子和中子的总质量 M ，这 He核 差额称M=M-MA为原子核的质量亏损。 对于 4 2
M M M A 0.030 38 u ＝ 0.030 38 1.660 10 27 kg
根据质能关系式得到的结论：物质的质量和能量之间有 一定的关系，当系统质量改变 M 时，一定有相应的能 量改变 E＝Mc2
4
）倍。
Ek mc2 m0c 2
7、已知电子的静能为0. 511MeV，若电子的动能为0.25MeV，
则它所增加的质量 △m 与静止质量 m0 的比值近似为
A）0.1 B）0.2 C ）0.5 √ D）0.9
例题 8: 甲乙两人所乘飞行器沿 x 轴作相对运动。甲测得两个 事件的时空坐标为x1=6104m ， y1=z1=0 ， t1=2 10-4 s ； x2=12 104m， y2=z2=0， t2=1 10-4 s，，如果乙测得这两个 事件同时发生于 t 时刻，问： （1）乙对于甲的运动速度是多少？ （2）乙所测得的两个事件的空间间隔是多少？ 解 （1）设乙对甲的运动速度为v，由洛仑兹变换
x t
x ut 1
2
x t
x ut 1 2 t ux / c 2 1 2
t ux / c 2 1
2
三、狭义相对论的时空观：
1、同时的相对性：
① 不同地事件的同时性是相对的。
② 同地事件的同时性是绝对的。 ③ 两个独立事件的时间次序是相对的。 ④ 关联（因果）事件的时间次序是绝对的。
5
5、π+介子是不稳定的粒子，在它自己的参照系中测得平均寿 命是2.6×10-8 秒，如果它相对实验室以 0.8c（c 为真空中 光速）的速度运动，那么实验室坐标系中测得的π+介子的 8 寿命是（ ）。
4.33 10 s
6、质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的3倍时， 其质量为静止质量的（
ct 1 (v / c ) 2
2、把一个静止质量为 m0 的粒子，由静止加速到0.6c （c 为真 空中光.36m0c2．
B） 0.25 m c ． √
0 2
D） 1.25 m0c2．
Ek mc2 m0c 2
3、在某地发生两件事，静止于该地的甲测得时间间隔为4 s ， 若相对甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为5 s ，则乙
2、长度收缩效应：（尺缩效应）
L L0 1 2
运动物体沿其运动方向的长度收缩， 称为动尺收 缩效应。
3、时间膨胀效应： 四、相对论动力学 质量： m
t
1 2
动量：
m0 1
2
2
p mv
2
m0 v 1 2
五、相对论能量
动能： Ek
mc m0c 2 2 2 2 4 E p c m 动量-能量关系式： 0c
v t t 2 1 2 c 1
x
可知乙所测得的这两个事件的时间间隔是 v t 2 t1 2 x2 x1 c t1 t2 1 2
按题意，
代入已知数据，有 v 4 4 (1 10 2 10 ) 2 (12 104 6 104 ) c 0 v2 1 2 c c 由此解得 v 2 1 由洛仑兹变换 x x vt 1 2
由此可知，当质子和中子组成原子核时，将有大量的能量 放出，该能量就是原子核的结合能。所以形成一个氦核时 所放出的能量为
E 0.030 38 1.660 10 0.453 9 1011 J
27
3 10
8 2
J
形成1mol氦核时 E 6.022 1023 0.453 9 1011 J 2.733 1012 J 这差不多相当于燃烧100 t 煤时所发出的热量
一、绝对时空观： 空间间隔和时间间隔是绝对的
二、狭义相对论的两个基本假设：
1、爱因斯坦相对性原理： x ut x' 2 2 1 u / c 坐 y' y 标 变 z' z 2 换 t ux / c t ' 2 2 1 u / c 2、光速不变原理： vx u ' v x 1 uv / c 2 x 速 2 2 v 1 u / c y ' 度 v y 2 1 uv / c x 变 换 ' vz 1 u2 / c 2 v z 2 1 uv / c x
t1 0 t2
可知乙所测得的这两个事件的空间间隔是
x 2 x1
x 2 x1 v t 2 t1
1 2
5.20 104 m
y′ 例题9 在S′系中有一根米尺与o'x'轴 u 成30°角，且位于x'o'y′平面内，若要 使这一米尺与S系中的ox 轴成45°角， ①试问S′系应以多大的速率 u 沿 x 轴 x′ 30° 方向相对S系运动？②在S系中测得米 o o′ x 尺的长度是多少？ z′ z 解；设在S系和S′系中米尺的长度分别为l, l′,且 l′= 1m
M M0
而
M0
2m 0 1 2
这表明复合粒子的静止质量M0大于2m0，两者的差值
2m 2E 0 K M－ 2m － 2m 0 0 0 2 2 c 1
式中Ek为两粒子碰撞前的动能。由此可见，与动能相应 的这部分质量转化为静止质量，从而使碰撞后复合粒子 的静止质量增大了。
例题10 设有两个静止质量都是m0 的粒子，以大小相同、 方向相反的速度相撞，反应合成一个复合粒子。试求这个复 合粒子的静止质量和速度。 解 设两个粒子的速率都是v，由动量守恒和能量守恒定律得
m v －m v MV
Mc 2 2m 0 c 2 1 2
式中M和V分别是复合粒子的质量和速度。显然V=0，这样
l ly sin 45
lx u 0.816c,
ly
tg 45＝ 1
0.707 m
例题9 原子核的结合能。已知质子和中子的质量分别为。
4 He 两个质子和两个中子组成一氦核 2 ，实验测得它的质量为
M P 1.000728 u M n 1.000866 u
MA=4.000150u ， 试 计 算 形 成 一 个 氦 核 时 放 出 的 能 量 。 (1u=1.66010-27kg) 解 两个质子和两个中子组成氦核之前，总质量为
相对于甲的运动速度为：
4 A) c 5
3 B) c √ 5
1 C) c 5
2 D) c 5
4、μ 子是一种基本粒子，在相对于μ 子静止的坐标系中测得 其寿命为 τ 0 = 2×10-6 s ，如果μ 子相对于地球的速度为v = 0.998 c ，则在地球坐标系中测出的 μ 子的寿命 τ = 。
1.29 10 s
l l cos 30 0.866m x
y
l l sin 30 0.5m且有l y ＝l ＝ 0.5m y y
1 u 2 c 2 0.866 1 u 2 c 2 lx lx
要使
l y l x 0.866 1 u 2 c 2 0.5,
2
2 E mc 能量： E mc
1、宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线飞行，某一时 刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光信号，经过 ⊿t（飞船上的时间）时间后，被尾部的接受器收到，则 由此可知飞船的固有长度为：
A)ct
√
B)vt
v 2 C )ct 1 ( ) c
D)
M 2M P 2Mn 4.003188 u
而从实验测得氦核质量 MA 小于质子和中子的总质量 M ，这 He核 差额称M=M-MA为原子核的质量亏损。 对于 4 2
M M M A 0.030 38 u ＝ 0.030 38 1.660 10 27 kg
根据质能关系式得到的结论：物质的质量和能量之间有 一定的关系，当系统质量改变 M 时，一定有相应的能 量改变 E＝Mc2
4
）倍。
Ek mc2 m0c 2
7、已知电子的静能为0. 511MeV，若电子的动能为0.25MeV，
则它所增加的质量 △m 与静止质量 m0 的比值近似为
A）0.1 B）0.2 C ）0.5 √ D）0.9
例题 8: 甲乙两人所乘飞行器沿 x 轴作相对运动。甲测得两个 事件的时空坐标为x1=6104m ， y1=z1=0 ， t1=2 10-4 s ； x2=12 104m， y2=z2=0， t2=1 10-4 s，，如果乙测得这两个 事件同时发生于 t 时刻，问： （1）乙对于甲的运动速度是多少？ （2）乙所测得的两个事件的空间间隔是多少？ 解 （1）设乙对甲的运动速度为v，由洛仑兹变换
x t
x ut 1
2
x t
x ut 1 2 t ux / c 2 1 2
t ux / c 2 1
2
三、狭义相对论的时空观：
1、同时的相对性：
① 不同地事件的同时性是相对的。
② 同地事件的同时性是绝对的。 ③ 两个独立事件的时间次序是相对的。 ④ 关联（因果）事件的时间次序是绝对的。
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5、π+介子是不稳定的粒子，在它自己的参照系中测得平均寿 命是2.6×10-8 秒，如果它相对实验室以 0.8c（c 为真空中 光速）的速度运动，那么实验室坐标系中测得的π+介子的 8 寿命是（ ）。
4.33 10 s
6、质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的3倍时， 其质量为静止质量的（
ct 1 (v / c ) 2
2、把一个静止质量为 m0 的粒子，由静止加速到0.6c （c 为真 空中光.36m0c2．
B） 0.25 m c ． √
0 2
D） 1.25 m0c2．
Ek mc2 m0c 2
3、在某地发生两件事，静止于该地的甲测得时间间隔为4 s ， 若相对甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为5 s ，则乙
2、长度收缩效应：（尺缩效应）
L L0 1 2
运动物体沿其运动方向的长度收缩， 称为动尺收 缩效应。
3、时间膨胀效应： 四、相对论动力学 质量： m
t
1 2
动量：
m0 1
2
2
p mv
2
m0 v 1 2
五、相对论能量
动能： Ek
mc m0c 2 2 2 2 4 E p c m 动量-能量关系式： 0c
v t t 2 1 2 c 1
x
可知乙所测得的这两个事件的时间间隔是 v t 2 t1 2 x2 x1 c t1 t2 1 2
按题意，
代入已知数据，有 v 4 4 (1 10 2 10 ) 2 (12 104 6 104 ) c 0 v2 1 2 c c 由此解得 v 2 1 由洛仑兹变换 x x vt 1 2
由此可知，当质子和中子组成原子核时，将有大量的能量 放出，该能量就是原子核的结合能。所以形成一个氦核时 所放出的能量为
E 0.030 38 1.660 10 0.453 9 1011 J
27
3 10
8 2
J
形成1mol氦核时 E 6.022 1023 0.453 9 1011 J 2.733 1012 J 这差不多相当于燃烧100 t 煤时所发出的热量