狭义相对论习题和答案

作业6 狭义相对论基础研究：惯性系中的物理规律；惯性系间物理规律的变换。

揭示：时间、空间和运动的关系.知识点一:爱因斯坦相对性原理和光速不变1.相对性原理：物理规律对所有惯性系都是一样的，不存在任何一个特殊 (如“绝对静止”)惯性系。

2.光速不变原理：任何惯性系中，光在真空中的速率都相等。

( A )1（基础训练1）、宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过t (飞船上的钟)时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长度为(c 表示真空中光速)(A) c ·t (B) v ·t (C) 2/1(v /)c t c ∆⋅-(D) 2)/(1c t c v -⋅⋅∆【解答】飞船的固有长度为飞船上的宇航员测得的长度，即为c ·t 。

知识点二:洛伦兹变换由牛顿的绝对时空观伽利略变换，由爱因斯坦相对论时空观洛仑兹变换。

(1)在相对论中，时、空密切联系在一起(在x 的式子中含有t ，t 式中含x)。

(2)当u << c 时，洛仑兹变换 伽利略变换。

(3)若u c, x 式等将无意义xx x v cv vv v 21'--=1（自测与提高5）、地面上的观察者测得两艘宇宙飞船相对于地面以速度 v = 逆向飞行．其中一艘飞船测得另一艘飞船速度的大小v ′=_0.994c _．【解答】2222()220.9'0.994()1/10.91v v v cv c v v c v c --⨯====-++-知识点三:时间膨胀(1)固有时间0t ∆：相对事件发生地静止的参照系中所观测的时间。

(2)运动时间t ∆：相对事件发生地运动的参照系中所观测的时间。

201⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆=∆c v t t(B )1（基础训练2）、在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4 s ，若相对于甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为5 s ，则乙相对于甲的运动速度是(c 表示真空中光速)(A) (4/5) c ． (B) (3/5) c ． (C) (2/5) c ． (D) (1/5) c ． 【解答】()2220024311551/t v t v c c c t v c ∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=⇒=-⇒=-= ⎪ ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝⎭⎝⎭-2（自测与提高12）、飞船A 以的速度相对地球向正东飞行，飞船B 以的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时A 飞船在自己的天窗处相隔2s 发射两颗信号弹．在B 飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少【解答】以地面为K 系，飞船A 为K ˊ系，以正东为x 轴正向；则飞船B 相对于飞船A 的相对速度220.60.8 1.4'0.9460.810.80.61(0.6)1B A B A B v v c c v c c v cc v c c----====-+⨯---' 6.17()t s ∆===知识点四:长度收缩(1)固有长度0l :相对物体静止的参照系测得物体的长度。

(2)运动长度l ：棒运动时测得的它的长度。

0221l cv l l <-=说明：只有棒沿运动方向放置时长度收缩！(C )1（基础训练3）、 K 系与K ＇系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K ＇系相对于K 系沿Ox 轴正方向匀速运动．一根刚性尺静止在K ＇系中，与O'x'轴成 30°角．今在K 系中观测得该尺与Ox 轴成 45°角，则K ＇系相对于K 系的速度是：(A) (2/3)c ． (B) (1/3)c ． (C) (2/3)1/2c ． (D) (1/3)1/2c ． 【解答】K ＇系中：00'cos30;'sin30x y l l l l ︒︒==K 系中：()2'tan 45'1/1/3x x y y l l l l v c v ===⇒-=⇒= (C)2（自测与提高4）、一匀质矩形薄板，在它静止时测得其长为a ，宽为b ，质量为m 0．由此可算出其面积密度为m 0 /ab ．假定该薄板沿长度方向以接近光速的速度v 作匀速直线运动，此时再测算该矩形薄板的面积密度则为(A) ab c m 20)/(1v - (B) 20)/(1c ab m v - (C) ])/(1[20c ab m v - (D)2/320])/(1[c ab m v -【解答】022'''''(1/)m m a b b a b ab v c σ==⇒===-3（基础训练7）、一门宽为a ．今有一固有长度为l 0 (l 0 > a )的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至少为___．【解答】门外的观察者测得杆的长度'l l au =≤⇒≥4（自测与提高10）、一隧道长为L ，宽为d ，高为h ，拱顶为半圆，如图．设想一列车以极高的速度v 沿隧道长度方向通过隧道，若从列车上观测，(1) 隧道的尺寸如何(2) 设列车的长度为l 0，它全部通过隧道的时间是多少 【解答】 (1) 宽、高及拱顶都不变，长度变为'L =(2) ()()00'//t L l v l v '=+=5（基础训练10）、两只飞船相向运动，它们相对地面的速率是v ．在飞船A 中有一边长为a的正方形，飞船A 沿正方形的一条边飞行，问飞船B 中的观察者测得该图形的周长是多少【解答】2222222222()22'()1/1'/2214/()v v v vc u v v c c v v cu c C a a ac c v ββ--===-++-==+-=+；知识点五:在相对论中，能量、动量、角动量等守恒量以及和守恒量传递相联系的物理量，如力、功等，都面临重新定义的问题。

1、相对论质量：m 0(静止质量)， m （速率运动的粒子的质量）201⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c v m m2、相对论动量：v c v m v m P 201⎪⎭⎫ ⎝⎛-==3、相对论动能：2020202)/(1c m c v c m c m mc E k --=-=4、静止能量：200c m E =5、总能：2202)/(1c v c m mc E -==6、质量亏损： 释放能量： E = mc 2( C)1、（自测与提高3）设某微观粒子的总能量是它的静止能量的K 倍，则其运动速度的大小为(以c 表示真空中的光速)(A) 1-K c ． (B)21K K c -． (C) 12-K K c ． (D) )2(1++K K K c． 【解答】()2222000211111/v E mc Km c m Km v c c K K v c ⎛⎫⎛⎫==⇒==⇒-=⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-2（基础训练8）、(1) 在速度=v __32c _情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍．(2) 在速度=v 3___情况下粒子的动能等于它的静止能量． 【解答】(1) ()00023221/p mv m v m m v v c ==⇒==⇒=-(2) ()222000023221/k E mc m c m c m m v c v c =-=⇒==⇒=-3（自测与提高8）、已知一静止质量为m 0的粒子，其固有寿命为实验室测量到的寿命的1/n ，则此粒子的动能是_20(1)n m c -_．【解答】()()200211/1/t t v c t nv c ∆∆=⇒-==∆- 2222200002(1)1(/)k E mc m c m c n m c v c =-=-=--4（基础训练12）、在惯性系中，有两个静止质量都是m 0的粒子A 和B ，它们以相同的速率v 相向运动，碰撞后合成为一个粒子，求这个粒子的静止质量．【解答】由动量守恒知：碰后形成的粒子静止。

由能量守恒得()()220002221/1/A B E m c E E c m v c v c ''==+=⇒=-- 5（基础训练13）、要使电子的速度从v 1 =×108 m/s 增加到v 2 =×108 m/s 必须对它做多少功(电子静止质量m e ＝×10-31kg)【解答】()()22122212;1/1/e e E c E c v c v c ==--2142122() 4.7210()10.810.4e A E E E m c J -=∆=-=-=⨯--6（基础训练15）、已知子的静止能量为，平均寿命为10-6s ，试求动能为150MeV 的子的速度v 和平均寿命。

【解答】22222000220222020(1)11105.7110.91105.7150k k k m c v E mc m c m c c m c E v c m c v c c c m c E ⎛⎫=-=⇒-= ⎪+⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⇒=-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 6622' 5.3110()10.911t s v c --∆===⨯-⎛⎫- ⎪⎝⎭附加题：1（自测与提高14）、(1) 质量为 m 0 的静止原子核（或原子）受到能量为 E 的光子撞击，原子核（或原子）将光子的能量全部吸收，则此合并系统的速度（反冲速度）以及静止质量各为多少(2)静止质量为m'的静止原子发出能量为E 的光子，则发射光子后原子的静止质量为多大【解答】(1)设合并系统的速度为v，质量为M，静止质量为M0。

由动量守恒和能量守恒得：2220022;/m c E Mc m c EEcv Mm c E cp E c MvM m ⎧+=+⇒===⎨+==⎩⇒===(2) 设静止质量为M'。

由动量守恒和能量守恒得：()22//m c E M cp E c M v M m mM M⎧''+-=⎪⎪'''==⇒==⎨⎪''=⎪⎩。