足球射门数学模型

tan APB AB 2 EB EA
又因为 APB， 所 以当
2 射门点，此时
x 时E，A取 E最B大值, P 是最佳
x ( y 3.66)( y 3.66（) 1(）3.66 y 45)
于是，对于区域 DAD内A每 一个确定y ，都存在相应的 ，
使得点P(x,yx)是 最(佳y 射3门.66点)(，y 故 3方.6程6)（1）是区域
内射门最佳轨迹方程，整理为
DADA
即为等轴双曲x2线的y2一部3分.6。62 (3.66 y 45, x 0)
( 2）若x保持不变，显然，P(x,y)越靠近ox 轴，APB
越大，射门命中率越高。
综上所述，在区域 DAD内A与 边线平行位置射门,在曲
线
x2 y2 3.662
上较好，在与底线平行位置射门，越居中越好。这就打破 了人们传统上离球门越近越好的错误想法。比如，M点与 N点比较，较远的点N处射门较好，K点与H点比较，K点 射门较好。
(0, 20) 8.6371 (3, 20) 7.9527 (5, 20) 7.1593 (10, 20) 5.2425 (20, 20) 2.4265 (30, 20) 1.0853
(0,30) 5.7115 (3,30) 5.3208 (5,30) 4.8669 (10,30) 3.8175 (20,30) 2.1884 (30,30) 1.2052
某一球员在球门前某点向球门内某目标点射门时，该 球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的
概率，即命中球门的概率。事实上，当上述两个因素确定 时，球飞向球门所在平面上的落点呈现一个固定的概率分 布。我们稍作分析，容易判定，该分布应当是一个二维正 态分布，这是我们解决问题的关键所在。
球员从球场上某点射门时，首先必须在球门所在平面 上确定一个目标，射门后球以该概率分布落在球门所在的 平面内。将球门视为所在平面的一个区域，在区域内对该 分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球 员在球场上选择射门的目标点是任意的，而命中球门的概 率对目标点的选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门 区域内的所有点，对命中概率做积分，将其定义为球场上
罚球区： 在比赛场地两端距球门柱内侧16.50米处的 球门线上，向场内各画一条长16.50米与球门线垂直的线, 一端与球门线相接,另一端画一条连接线与球门线平行,这 三条线与球门线范围内的地区叫罚球区，在两球门线中点
垂直向场内量11米处各做一个清晰的标记，叫罚球点。 以罚球点为圆心，以9.15米为半径,在罚球区外画一段弧 线,叫罚球弧。这里仅需讨论一个球门的情形。如示图1
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y1
y0
| ,d
x0
x02 ( y1 y0 )2 z12 .
z
A x
B o
y
注意到密度函数的表达式中，关于变量 y, z是对称
的，但实际中只能落在地面以上，即只有z 0. 为了平衡
这个密度函数，我们令
PD ( x0 , y0; y1, z1)
D
f ( y, z)dydz
D
2
1
e dydz,
1. 足球场上哪些位置射门命中率高？哪些位置射门 命中率相同？
2. 针对球员在不同位置射门的威胁程度进行研究， 并绘制出球门的危险区域；
3. 在有一名守门员 的情况下，对于球员射门 威胁程度和威胁区域作进 一步研究.
二、问题分析
根据这个问题,要确定球门的危险区域, 也就是要确定 球员射门最容易进球的区域。球员无论从哪个地方射门， 都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非 是那些地方进球的可能性大一些，哪些地方进球的可能性 小一些。我们把进球可能性大的区域称为危险区域。同样 球员无论从哪个地方射门，都有一个确定的射门角度，不 同的射门地点，其射门角度不尽相同，射门的角度与球场 上的最大射门角度之比称为命中率。
图1
1. 问题1的讨论
由平面几何知识知:沿边线 D总D可以找到一点使得
∠APB 最大。 大家知道， 球员水平一定的情况下，角
∠APB越大，在P点射门的命中率就越大，因此我们称使
得∠APB最大的点P为足球场射门的最佳点。那么在足球
场内，哪些点属于足 球射门的最佳点呢？ 为研究方便，我们把 足球场地划分为三条
(x, y) D
(x, y) D
(x, y) D
(x, y) D
(x, y) D
(x, y) D
(0, 1) 14.4596
(3, 1) 11.5649
(5, 1) 6.3046 (10, 1) 0.8923 (20, 1) 0.0602 (30, 1) 0.0121
(0, 5) 14.5351
(3, 5) 13.4801
带型区域：ABAB,
BCBC, DADA.
并以AB所在的直线为oy轴，以垂直于AB平分线为ox轴,
建立平面直角坐标系如图 2，因此可求得 A(0, 3.66),
B(0, 3.66), C(0, 34.5), D(0, 34.5)
图2
1)在区域 DAD内A射 门最佳点的轨迹方程在区域 DADA 内任取一点 P( x, y).
tanAPF tanBPF 1 tanAPF tanBPF
AF FB xx
1
AF FB x2
AF FB x AF FB
x
由于AF 与FB 和为定值(AF+FB=7.32m) 。所以
AF FB 2 AF FB
AF FB tan APB ( AF FB)2
x 4x
当且仅当AF=FB 时取等号, 又APB . 当且仅当
(1) 若y保持不变，则动点P只能在线段 EE’上移动。连 接PA，PB。
1)在区域 DAD内A射 门最佳点的轨迹方程在区域 DADA 内任取一点 P( x, y).
(1) 若y保持不变，则动点P只能在线段 EE’上移动。连 接PA，PB。
Q APB EPB EPA
tanAPB tan(EPB EPA)
区域 DAD内A射门最佳轨迹方程 x2 y2 3.662 (3.66 y 34.5, x 0)
类似可求区域 BCB内C射门的最佳轨迹方程为： x2 y2 3.662 (34.5 y 3.66, x 0)
2) 在区域 ABB内A射门最佳点轨迹方程
如示图3，在区域 ABB内A任 取一点P(x,y) .
D
其中，P( x,
y;
y1, z1 )
PD ( x, P ( x,
y; y;
y1, z1 ) . y1, z1 )
d (cot 1), cot | y1 y |
k
x
d x2 ( y1 y)2 z12 .
要求解该问题一般是比较困难的，只能采用数值积
分的方法求解。首先确定反映球员素质的基本参数k，具
对命中球门的概率在球门区域D内做积分，定义为 球场上某一点A(x0，y0，0) 对球门的威胁度 ，即
D( x0 , y0 ) P( x0 , y0; y1, z1 )dy1dz1,
D
综上所述，对球场上任意一点A(x，y，0) 关于对球
门的威胁度为
D( x, y) P( x, y; y1, z1)dy1dz1,
(
y
y1
)2 ( 2 2
z
z1
)2
2
P ( x0, y0; y1, z1)
f ( y, z)dydz
2
1
e dydz,
(
y
y1
)2 ( 2 2
z
z1
)2
2
我们把取两者的比值定义为这次射门的概率，即
P( x0 ,
y0;
y1, z1 )
PD ( x0 , P ( x0 ,
y0; y0;
y1, z1 ) . y1, z1 )
2
AF=FB时，APB 最大，此时P(x, y) 在ox轴上。
可见，在区域 ABBA内，最佳点的轨迹方程为：
y 0 (0 x 110)
在区域 AB内B，A平 行于底线位置射门越居中越好。
3．足球场射门的等效线
如图3，在圆弧AB上任取一点 ， 由圆弧所对圆周角 相等知 AM为B定值。我们称为圆弧AB的等效线。等效线 上的每一点称之为射门的等效点，如点M和点N是等效点。
( 1) 若y保持不变，显然P(x,y) 离球门越近，
越大，射门命中率越高。
APB
图3
( 2) 若x保持不变，作PF AB于F 。
Q APB APF BPF tanAPB tan(APF BPF )
( 2) 若x保持不变，作PF AB于F 。
Q APB APF BPF tanAPB tan(APF BPF )
数学建模
第五讲 足球射门的数学模型
一、问题的提出
足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家喜 欢欣赏的一种体育活动。在比赛的过程中，运动员在对 方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不相同的。 在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧的射门；近距 离射门对球门的威胁要远大于远距离的射门。在实际中， 球员之间的基本素质可能有所差异，但对于职业球员来 讲一般可以认为这种差异不大。请你结合球场和 足球比赛的实际情况建模分析，并回答以下几个问题：
Q
依次定义，以ox轴上的任意一点Q(k,0)为圆心，以QA 长为半径的圆包含在场内的每一段圆弧均为等效线，等 效线的方程为：
( x k)2 y2 k2 3.662 (34.5 y 34.5)
等效线层层包含，内层总要比外层要好一些。比如，在 点M射门比在点M处效果要好，较远处 M与较近处点N 是等效位置，点M与N点也是等效位置。
3．射门时无对手进行有效的防守。 4．不考虑球员之间的个体差异及球员的心理、技术等 因素。 5．足球场地是国际上的标准场地。
四、模型建立与求解
根据我们调查，国际标准足球场地的规格为：长104米、 宽69米，足球门宽7.32米，中圈半径9.15米 。
球门区：在比赛场地两端距球门柱内侧5.50米处的球 门线上，向场内各画一条长5.50米与球门线垂直的线，一 端与球门线相接，另一端画一条连接线与球门线平行，这 三条线与球门线范围内的地区叫球门区。
(5, 5) 11.4106 (10, 5) 5.3306 (20, 5) 0.8701 (30, 5) 0.2187
(0, 10) 12.6891 (3, 10) 11.7578 (5, 10) 10.3640 (10, 10) 6.4650 (20, 10) 1.8474 (30, 10) 0.5863
Q
2. 问题2, 3的讨论
首先建立如下图所示的空间直角坐标系，即以端
线中点位置为原点o，地面为xoy面，球门所在的平面π为
yoz面.
z
A
B
x
o
y
2. 问题2, 3的讨论
问题2
根据前面对问题的分析，再此假设基本素质为 k
的球员从点A(x0, y0, 0) 向距离为d的球门内目标点B(0, y1, z1) 射门时，球在目标平面 上的落点呈现二维正态分布， 且随机变量y, z是相互独立的，其密度函数为
tanEPB tanEPB 1 tanEPB tanEPB
EB EA
x x
AB
EB EA
EB EA
1 x2
x x
即
tan APB
x
AB EB EA
x
由于y不变， x与 EB积 E为A常数。也就是 x
x EB EA 2 EA EB x
当且仅当 x EB， E即A x
x 时 取E等A号 E。B所以
体的方法如下：
根据一般职业球员的情况，我们认为一个球员在球
门的正前方（θ= /2） 距离球门10米处（d=10）向球门
内的目标点劲射，标准差应该在1米以内，即取σ=1，由
公式 d (cot 1) 得 k=10。于是，当球员的基本素
k
质
k=10时，求解该模型可以得到球场上任意一点对球门的 威胁度，部分特殊点的威胁度如下表。根据各点的威胁独 的值可以作出球场上等威胁度的曲线
某点对球门的威胁程度，根据威胁程度的大小来确定球门 的危险区域。
三、模型假设
为解决上述问题，我们对足球运动进行必要、合理、 适当的假设：
1．足球相对于足球场所占的空间可以忽略不计，即将 足球看成一个质点。
2．不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，根据 统计资料，射门时球的速度为v0=10米/秒。
f
( y, z)
1
2
2
e
(
y
y1
)2 (
2 2
z
z1
)2
其中σ与球员的素质成反比，与射门点A(x0, y0, 0)和目标
点 B(0, y1, z1) 之间的距离d成正比，且偏角越大方差σ 越
小。当偏角为 /2时，方差仅与k，d 有关.
于是，我们可以确定σ的表达式为
d (cot 1)
k
其中，cot