苏教版数学高二-高中数学(苏教版选修1-2第2章《推理与证明》章末复习

1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．
2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．
3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方
法.
题型一归纳推理和类比推理
归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明．尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用．
运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法
进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证．
例1 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________. 答案 123
解析 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.
跟踪演练1 给出下列三个类比结论：
①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；
②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数是________． 答案 1
解析 (a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误． sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．
如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝3
4
，故②错误． 由向量的运算公式知③正确． 题型二 直接证明
综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用． 例2 已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1
a
－2.
证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1
a
－2，
只需证
a 2＋1a 2＋2≥a ＋1
a
＋ 2.
∵a >0，故只需证⎝
⎛
⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a
＋22，
即a 2＋1
a
2＋4
a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1
a 2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只需证2
a 2＋1
a
2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝
⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1
a 2， 即a 2＋1
a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
跟踪演练2
如图，在四面体B －ACD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点，求证： (1)直线EF ∥平面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD .
证明 (1)要证直线EF ∥平面ACD ， 只需证EF ∥AD 且EF ⊄平面ACD . 因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点， 所以EF 是△ABD 的中位线，
所以EF ∥AD ，所以直线EF ∥平面ACD . (2)要证平面EFC ⊥平面BCD ， 只需证BD ⊥平面EFC ， 只需证⎩⎪⎨⎪
⎧
EF ⊥BD ，
CF ⊥BD ，
CF ∩EF ＝F .
因为⎩⎪⎨⎪⎧
EF ∥AD ，
AD ⊥BD ，
所以EF ⊥BD .
又因为CB ＝CD ，F 为BD 的中点， 所以CF ⊥BD .所以平面EFC ⊥平面BCD . 题型三 反证法
如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法．通过反设结论，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立．
反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考
题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．反证法主要证明：否定性、惟一性命题；至多、至少型问题；几何问题．
例3 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.
(1)证明：1
a 是函数f (x )的一个零点；
(2)试用反证法证明1
a
>c .
证明 (1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2， ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根， 又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1
a ≠c )，
∴1
a
是f (x )＝0的一个根． 即1
a
是函数f (x )的一个零点． (2)假设1a <c ，又1
a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，
知f (1a )>0与f (1a )＝0矛盾，∴1
a ≥c ，
又∵1a ≠c ，∴1a
>c .
跟踪演练3 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π
6.求证：a ，
b ，
c 中至少有一个大于0.
证明 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，
则a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π
6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2
＋π－3.
∵π－3＞0，且(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0， ∴a ＋b ＋c ＞0，
这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，因此假设不成立， ∴a ，b ，c 中至少有一个大于0.
1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理
(1)归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，结论：∀d∈M，d也具有某属性．
(2)类比推理的基本模式：A具有属性a，b，c，d；B具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)
2．使用反证法证明问题时，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：
原结论词反设词原结论词反设词
至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p或q p且q
至多有n个n＋1个p且q p或q。