椭圆的离心率求解策略(含答案)
浅谈椭圆离心率取值范围的求解策略
：
ｉ ２旦 ｎ ０
ｓ
： １＋ ｏ Ｏ ＝而 １ Ｏ ＜ ’ ｃ ｓ １＋ ｓｃ 、 ２ ｊ 一 ｅ
一
例 ３ 已知椭圆 ｃ： ＋ ＝１口＞ｂ （ ＞
ｎ Ｄ一
— 一 ＞ ＞ 又 ＜＜， ＜ ． 。 ｌ 吉 专 ’ ０ 义
ｃｓ ｏ ｏ ２ ｏ＝ ＝
例 １ 已知 椭 圆 的方 程 为 ＋ ＝１ ０ （
口 ０
＞ｂ＞０ ， ， ２ 别 为椭 圆的左 、 两个 焦 ） ＦｌＦ 分 右
点， Ｐ为椭 圆上 的一 点 ， Ｉ Ｆｌ ＝４ Ｆ ， 若 Ｐ Ｉ ２ Ｉ Ｐ Ｉ
求椭 圆的离心 率 的取 值范 围 ．
１ 利用椭 圆的焦半 径公式 ， 圆的范 围求解 椭
先通过 焦半 径公 式 建 立 方程 ， 然后 利 用
椭 圆的范 围建 立不 等式求解 ．
２ ２
求椭 圆的离 心率 的取 值范 围 ． 解： 在ａ Ｆ Ｐ ２ ， ｌ Ｆ 中 由余 弦定理 ， 得
ｌ Ｆ２Ｉ Ｆ１ ＝ Ｉ ＰＦ１ ＋ Ｉ ｌ ＰＦ２ｌ 一 ２Ｉ ＰＦｌ ＰＦ２ｌ０ Ｆ１ Ｆ ｌｌ ｃ ｓ ２ ＰＪ
ｅ ｏ Ⅱ＋ｅ ０ ４ 。一ｅ Ｏ ｘ， ＝ （ Ｘ）
ｏ ≤口 ＝
４ａ 一４Ｃ
．
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ｅ ｛． ０ ｅ １ 。 ≥ 又 ＜ ＜ 椭圆的离心率的取值
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２０ ０ ９年 第 ６期
河北理科教 学研 究
问题 讨论
浅 谈 椭 圆 离 心 率 取 值 范 围 的 求解 策 略
湖 北省襄 樊市第一 中学 黄 汉桥 ４ １０ ４００
离心率问题的7种题型和15种方法
离心率问题的7种题型和15种方法离心率（eccentricity）是描述椭圆轨道形状的一个重要参数，它的大小决定了行星或卫星轨道的偏心程度。
在天文学、航天学等相关领域，经常需要解决各种与离心率相关的问题，下面我们将介绍离心率问题的7种常见题型和15种解题方法。
一、离心率的定义及性质离心率是描述椭圆轨道形状的一个参数，它等于椭圆长半轴和短半轴之差的一半与长半轴的比值。
离心率的取值范围为0到1之间，当离心率为0时，椭圆变成了一个圆，当离心率为1时，椭圆变成了一条直线。
离心率越大，椭圆的形状越扁平，轨道越偏心。
二、离心率问题的7种题型1. 求给定离心率的椭圆的半长轴和半短轴长度；2. 已知椭圆的长半轴和离心率，求短半轴长度；3. 已知椭圆的长半轴和短半轴长度，求离心率；4. 求给定行星或卫星的轨道离心率；5. 已知行星或卫星轨道的离心率和半长轴长度，求轨道的半短轴长度；6. 已知行星或卫星的轨道离心率和半短轴长度，求轨道的半长轴长度；7. 求给定行星或卫星的轨道周期。
三、离心率问题的15种解题方法1. 利用椭圆轨道的定义和性质，直接计算出椭圆的长短半轴；2. 利用椭圆的面积和周长公式计算出椭圆的长短半轴；3. 利用行星或卫星的轨道速度和距离公式计算出轨道离心率；4. 利用行星或卫星的轨道周期和距离公式计算出轨道离心率；5. 利用行星或卫星的轨道半径和速度公式计算出轨道离心率；6. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的距离差和总距离计算出轨道离心率；7. 利用行星或卫星的轨道焦点距离和长轴长度计算出轨道离心率；8. 利用行星或卫星的轨道高度、速度和引力公式计算出轨道离心率；9. 利用行星或卫星的轨道高度、周期和引力公式计算出轨道离心率；10. 利用行星或卫星的轨道高度、半径和引力公式计算出轨道离心率；11. 利用行星或卫星的轨道平均速度和最高、最低速度之比计算出轨道离心率；12. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点速度之比计算出轨道离心率；13. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的动能之比计算出轨道离心率；14. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的势能之比计算出轨道离心率；15. 利用行星或卫星的轨道半径、质量和速度计算出轨道离心率。
探究离心率的求解策略
顶点和上顶 点．为 椭圆上 的点 ， Ｐ 当眠 上 ，Ｏ∥Ａ Ｏ Ｐ Ｂ（ 为椭 圆
中心 ） ， 时 求椭 圆的离心率．
Ｖ
解 ： 椭 圆 方程 为 ＋ 设
１ ・
．
由Ｐ Ｉ Ｆ 可设尸 ＦＪ ， － 的坐标为（ｃＹ － ，）
则 ＋＝ 吾 ・
ＲＡＢ ０ ｔ Ａ 相似， ： 故三 二．
Ｄ
Ｅ Ｆ ０
＿ ＼
．
方 法 归 纳 ：本 题 利 用 向 量 关 系及 椭 圆 几 何 性 质 转 化 为 不
１２ Ｌ２
且 倾斜 角 为４ 。 ５ 的直 线 与椭 圆交
：
日（
ｊ
图 ｌ
等式０ ≤。 一
ａ ， 而 转 化 为 关 于ｅ 不 等 式 ． 而 得 解． ２进 的 从 对
它往往通 过回归 ． 走义 绡合 儿何图形 ， 、 建 目标 函数 以及观
察 图形 、 设参数 、 转化 等途 径来解决 ． 现将平 时教学过 程 中通过
总结 归 纳 ， 到 求 解 椭 圆 离 心 率 的 几 类 方 法 ， 得 以供参 考 ．
一
平 面 几 何 只 限 于研 究 直 线 和 圆． 因此 ， 题 设 条件 中有 关 圆 、 在 直
路 ， 过 构 建 动 点 坐标 肘（ Ｙ） 目标 函 数 ， 用 函数 法 确 定 最 通 ， 的 运
值 ． 难 奏 效 ． 根 据 圆锥 曲 线 的 统 一 定 义 ． 问题 转 化 为 ： 很 而 将 在 双 曲线 上 求一 点Ｍ ． 其 ＮＡ点 和 目 的 准 线 的 距 离之 和 最 小． 使 应
Ｊｙ
即≤Ｃ≤， 一 ｌ 得 Ｚ≤≤ ０ ≠ １≤ ≤， ｅ１ — ０ ｅ１ 解 ．
离心率求解题技巧
离心率求解题技巧离心率是描述一个椭圆形状的参数，用于描述椭圆形状的偏离程度，计算方法是椭圆长轴与短轴之间的差异与长轴的比值。
离心率(E)的计算公式如下：E = c / a其中，c为焦点距离，a为长轴的一半，也就是半长轴。
为了求解题目中的离心率，我们可以使用以下的技巧：1. 获取椭圆的焦点坐标。
根据椭圆的定义，我们可以知道椭圆的焦点坐标位于椭圆的主轴上。
主轴是一条椭圆的对称轴，垂直于副轴。
焦点的位置取决于椭圆的离心率和主轴的长度。
2. 确定椭圆的长轴和短轴。
椭圆的长轴是横向的轴，短轴是纵向的轴。
一般来说，长轴长度大于短轴长度，因此可以通过观察椭圆的形状来确定长轴和短轴的长度。
3. 确定椭圆的焦距。
焦距是指从椭圆的中心点到任意一点的距离与椭圆的半长轴之间的关系。
具体计算焦距需要使用直线段的长度公式。
4. 计算离心率。
根据椭圆的焦距和半长轴的定义，我们可以使用离心率公式直接计算。
下面是一个例题的求解过程：已知一个椭圆的焦点坐标为(-6,0)和(6,0)，离心率为4/5。
求椭圆的长轴和短轴长度。
步骤1：获取椭圆的焦点坐标。
已知椭圆的焦点坐标为(-6,0)和(6,0)。
步骤2：确定椭圆的长轴和短轴。
应该注意到在这个例题中，我们并没有提供任何关于长轴和短轴的具体信息，因此无法确定长轴和短轴的长度。
需要通过其他方式获得这些信息。
步骤3：确定椭圆的焦距。
由于焦点在椭圆上，我们可以使用两个焦点之间的距离来计算焦距。
根据距离公式，我们可以计算出两个焦点之间的距离为12。
焦距是指从椭圆的中心点到任意一点的距离与椭圆的半长轴之间的关系，因此焦距的值等于半长轴的长度。
步骤4：计算离心率。
根据离心率的定义，我们可以使用公式 E = c / a 来计算离心率。
已知焦距的值是12，我们可以将其代入公式中：4/5 = 12 / a接下来我们可以通过求解这个方程来计算出半长轴的值。
通过求解这个方程，我们可以得到半长轴的值为15。
由于离心率的定义是长轴与短轴之间的差异与长轴的比值，我们可以使用长轴和半长轴的值来计算短轴的值：短轴= sqrt(半长轴^2 - 长轴^2) = sqrt(15^2 - 12^2) = sqrt(225 - 144) = sqrt(81) = 9因此，这个椭圆的长轴长度为30，短轴长度为18。
高考离心率的常用解法及配套习题与答案
高考离心率的常用解法及配套习题与答案前言：椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线方程是23=x ，则该双曲线的离心率为（ ）A. 23B. 23C. 26D. 332解：双曲线右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D 变式练习1.1：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23D 2 二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B.13- C.213+ D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2c-，由焦半径公式a ex PF p --=1，即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得31+==ace （31-舍去），故选D变式练习2.1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.332 变式练习2.2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）A3 B26 C 36D 33三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
椭圆中的焦点三角形及求离心率问题(含答案)
椭圆中的焦点三角形及求离心率问题1、若椭圆方程为x 24＋y 23＝1，∠PF 1F 2＝90°，试求△PF 1F 2的面积．【解】 椭圆方程x 24＋y 23＝1，知a ＝2，c ＝1，由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，且|F 1F 2|＝2，在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝90°.∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2.从而(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4，则|PF 1|＝32，因此S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 1|＝32.故所求△PF 1F 2的面积为32.2、设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( B ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．1【解】 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B. 3、过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．【解】由题意，△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2|PF 1|.设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝2x ，|F 1F 2|＝3x ，又|F 1F 2|＝2c ，所以x ＝2c 3.即|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3.由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2c 3＋4c 3＝2a ，即e ＝c a ＝33.4、已知椭圆的两焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→＝0，∠AF 2F 1＝60°，则该椭圆的离心率为________．【解】 ∵AF 1→·AF 2→＝0，∴AF 1⊥AF 2，且∠AF 2F 1＝60°.设|F 1F 2|＝2c ，∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c .由椭3c ＋c ＝2a 即(3＋1)c ＝2a .∴e ＝ca＝23＋1＝3－1. 5、椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为(A ) A.12 B.13 C.14 D.226、设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OPA ＝120°，求椭圆的离心率．【解】设A (a,0)，点P 在第一象限，由题意，点P 的横坐标是a 2，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝34b 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32b ，又∠OPA ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan ∠POA ＝32b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝3b 2－b 23b ＝223.7、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点与两焦点，恰好组成一个正六边形，求这个椭圆的离心率． 【解】 如图，设椭圆两焦点为F 1，F 2，与正六边形其中两个交点为A ，B ，并设正六边形边长为m ，则根据正六边形的性质有：∠FAB ＝120°，|OF 1|＝m ，根据余弦定理F 1B 2＝m 2＋m 2－2m ·m ·cos 120°＝3m 2，∴F 1B ＝3m ，又2a ＝F 1B ＋BF 2＝3m ＋m ，∴a ＝3＋12m ，又c ＝m ，∴c a ＝m3＋12m ＝3－1，即椭圆的离心率为3－1. 8、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( B ) A.35 B.57 C.45 D.67【解】 在△ABF 中，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |·cos∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6.由|AB |2＝|AF |2＋|BF |2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝|OF |＝|AB |2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以|BF |＝|AF 1|＝8.由椭圆的性质可知|AF |＋|AF 1|＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.-----精心整理，希望对您有所帮助!。
求解椭圆离心率的常见方法
ʏ河南省郑州市第二高级中学 韦道田椭圆的离心率是椭圆的重要几何性质之一,下面就求解椭圆的离心率(或取值范围)给出几种重要方法,供同学们参考㊂一㊁利用椭圆离心率的定义求解例1 (1)在平面直角坐标系中,椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径的圆,过点P a2c ,0作圆的两条切线且互相垂直,则离心率e =㊂(2)设M 为椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)上一点,F 1,F 2为两个焦点,过M 作M F 1ʅx 轴,且øF 1M F 2=60ʎ,则椭圆的离心率为( )㊂A.12 B .22 C .33 D .32图1解析:(1)如图1,切线互相垂直,又半径O A ʅP A ,所以әO A P 是等腰直角三角形㊂因为2c=2,即c =1,所以a 2c=a 2,|O P |=2|O A |,a 2=2a ,则a =2㊂所以e =c a =22㊂(2)设|M F 1|=d ,因为øF 1M F 2=60ʎ,所以|M F 2|=2d ,|F 1F 2|=3d ㊂因此e =2c 2a =|F 1F 2||M F 1|+|M F 2|=3d d +2d =33,选C ㊂点评:e =2c2a =|F 1F 2||P F 1|+|P F 2|,其中F 1,F 2为椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点㊂二㊁利用圆锥曲线的统一定义求解依据e =|M F |d ,其中|M F |表示椭圆上的点M 到焦点F 的距离,d 表示椭圆上的点M 到焦点F 相应准线l 的距离㊂例2 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( )㊂A.2 B .22 C .12 D .24解析:设过焦点F 1且垂直于长轴的弦为A B ,则|A B |=2㊂焦点F 1到准线l 的距离为1,则点A 到l 的距离也为1㊂由圆锥曲线的统一定义得离心率e =|A F 1|1=22,选B ㊂点评:利用圆锥曲线的统一定义,可以较快地求出圆锥曲线的离心率㊂三㊁构造离心率的方程(不等式)求解例3 (1)已知A ,B 为椭圆x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴与短轴端点,F 为一个焦点,若A B ʅB F ,则该椭圆的离心率为( )㊂A.-1+52 B .1-22C .2-1D .22(2)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的42 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.左㊁右焦点分别为F 1(-c ,0)㊁F 2(c ,0),若椭圆上存在点P ,使a s i n øP F 1F 2=cs i n øP F 2F 1,则该椭圆离心率的取值范围为㊂解析:(1)在R tәA B F 中,|A F |2=|A B |2+|B F |2,即(a +c )2=(a 2+b 2)+(b 2+c 2)㊂因为e =c a,所以整理得e 2+e -1=0,e =-1+52,选A ㊂(2)由已知条件及正弦定理求得|P F 1|=ca|P F 2|㊂又|P F 1|+|P F 2|=2a ,则|P F 2|=2a 2c +a ㊂由|P F 2|<a +c ,得2a2c +a<a +c ,即e 2+2e -1>0㊂结合0<e <1,解得2-1<e <1㊂点评:如果直接求解椭圆离心率的值(或取值范围)有困难,那么可以通过构造离心率的方程(或不等式)求解㊂四㊁利用数形结合思想求解例4 ʌ第12届希望杯 试题ɔ设F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P ,使øF 1P F 2=120ʎ,则椭圆离心率e 的取值范围是㊂图2解析:如图2,当点P 与短轴端点B 重合时,øF 1P F 2最大㊂于是得øF 1P F 2ȡ120ʎ,故t a n øF 1P O ȡt a n 60ʎ=3,即cbȡ3㊂所以e =c a =cb 2+c 2=1bc2+1ȡ113+1=32㊂又0<e <1,所以32ɤe <1㊂点评:利用数形结合思想求椭圆的离心率e ,可回避繁杂的推理与计算过程㊂五㊁利用椭圆的光学性质求解例5 ʌ第一届 希望杯 高二试题ɔ椭圆的两个焦点是F 1(3,-6),F 2(6,3),一条切线方程为4x =3y ,这个椭圆的离心率是㊂解析:设切点为P ,切线为l ,作F 1㊁F 2关于l 的对称点F 1'㊁F 2',则由椭圆的光学性质知点P 是等腰梯形F 1F 2F 2'F 1'对角线的交点,对角线的长应等于椭圆长轴的长㊂由点到直线的距离公式,得F 1㊁F 2到直线l 的距离分别为6㊁3,可见梯形上㊁下底长分别为6㊁12㊂该等腰梯形的腰长即椭圆的焦距310㊂利用6,12,310,求出梯形的对角线长为92,从而得到椭圆的离心率e =31092=53㊂练一练:1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,则椭圆的离心率是( )㊂A.12 B .32 C .34 D .642.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且B F ʅx 轴,直线A B 交y 轴于点P ㊂若A Pң=2P B ң,则椭圆的离心率是( )㊂A.32 B .22 C .13 D .123.已知F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,满足M F 1ң㊃M F 2ң=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )㊂A.(0,1) B .0,12C .0,22D .22,14.过椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点F 且倾斜角为60ʎ的直线交椭圆于A ,B 两点,若|F A |=2|F B |,则椭圆的离心率等于( )㊂A.33 B .22 C .12 D .23参考答案:1.A2.D3.C4.D(责任编辑 徐利杰)52解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
椭圆的离心率求解策略(含答案)
椭圆离心率的求法课程学习目标知识目标：掌握求解椭圆离心率及其取值范围的几类方法；能力目标：培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力；情感目标：通过独立思考，互相交流使学生主动领悟、吸收、内化解题规律，提高学习数学的兴趣，探索新知识的能力及勇于创新的精神.学习重难点重点：椭圆离心率的求法；难点：通过回归定义，结合几何图形，建立目标函数以及观察图形、设参数、转化等途径确定离心率离心率在椭圆中的几何表示如图，O 为椭圆的中心，F为焦点，A 为顶点， 准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD⊥L 于 D ，QF ⊥AO 于F,设椭圆的离心率为e ， 证明：①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜探究一：利用定义直接求a ,c例1．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于 ．练习1．已知12(1,0),(1,0)F F -为椭圆若椭圆上一点P 满足，则椭圆的离心率e =( )A C ． 2练习2．一个圆柱形容器里装有水，放在水平地面上，现将该容器倾斜，这时水面是一个椭圆面（如上图），当圆柱的母线AB 与地面所成角时，椭圆的离心率是 ．探究二：构造焦点三角形求离心率例2．椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两边，则椭圆的离心率e ．练习3．以椭圆的右焦点F 2为圆心作一个圆,使此圆过椭圆的中心,交椭圆于点M 、N,若直线MF 1(F 1为椭圆左焦点)是圆F 2的切线,则椭圆的离心率为( ) A.2 1练习4的右焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆交于,M N 两点，以MN 为直径的圆恰好过左焦点，则椭圆的离心率等于 ．练习5．椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ，求e?探究三：构造关于e 的(a,b,c 的齐次)方程例3的上焦点为F ，左、右顶点分别为12,B B ，下顶点为A ，直线2AB 与直线1B F 交于点P ，若22AP AB =，则椭圆的离心率为___________．练习6>0,b >0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 ．练习7．F A 使AOF ∆为正三角形，那么椭圆的离心率为 ．BAF 2 F 1x y探究四：结合几何条件与第二定义求解例4．如图，点PF 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，过点P 作椭圆右准线的垂线，垂足为M ，若四边形12PF F M 为菱形，则椭圆的离心率是 ．例5F 1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，若｜F 1A ｜=2｜BF 1｜, 则椭圆的离心率是 ．练习8．已知椭圆Ca>b>0）的离心率为F 且斜率为k （k >0）的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。
求椭圆离心率范围的常见题型及解析
求椭圆离心率范围的常见题型及解析解析解题关键：挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e的不等式。
一、利用曲线的范围，建立不等关系已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$右顶点为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。
小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，右顶点为A，点P在椭圆上，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。
二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。
小改写：已知F1、F2是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。
三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系已知$\triangle ABC$的顶点B为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。
小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，短轴的一个端点为B，另两个顶点也在椭圆上，$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。
四、利用函数的值域，建立不等关系椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$与直线$x+y-1=0$相交于A、B两点，且OA·OB=（O为原点），若椭圆长轴长的取值范围为$[5,6]$，求椭圆离心率的范围。
(完整版)椭圆离心率题型总结,推荐文档
）【解析】选 C
( A) 1 2
(B) 2 3
(C)
(D)
解：
F2PF1 是底角为 30 的等腰三角形 PF2
F2 F1
2( 3 a c) 2c e c 3
2
a4
x 2 y 2 1(a 0, b 0)
3、（12 辽理）已知点（2，3）在双曲线 C： a 2 b 2
上，C 的焦距为 4，则它的离心率为 ．
y2 b2
（1 a b 0）和圆 x 2
y2
b 2
c 2 （其中 c 为椭圆半焦距）有四个不同的交点，求椭圆的
离心率的取值范围。 解：要使椭圆与圆有四个不同的交点，只需满足
b
b 2
c
a
，即
b b
2c 2a
2c
b b
2 2
4c 2 4a2
8ac 4c 2
Байду номын сангаас
c2 a2
5
3a 5c
椭圆离心率题型：
e c a
1
b2 a2
一）求离心率
1）用定义（求出 a,c 或找到 c/a）求离心率
1、已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1, (a
b
0)
的两个焦点分别为
F1
(1,
0),
F2
(1,
0)
,且椭圆
C
经过点
P(
4 3
,
1) 3
.求椭圆
C 的离心率;
【答案】解: 2a PF1 PF2
x2 2ax 2b2 0 的两根，由 (2a)2 4 2b2 0 ， 可得 a2 2b2 ，即 a2 2(c2 a2 ) 所以 e c
离心率问题的7种题型15种方法(教师版)
目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
求离心率范围的六种方法
求解离心率范围六法在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。
离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。
因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。
笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。
一、利用椭圆上一点P (x ,y )坐标的取值范围，构造关于a ,b ,c 的不等式例1 若椭圆()012222 b a by a x =+上存在一点P ，使︒=∠900PA ，其中0为原点，A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围。
解：设()00,y x P 为椭圆上一点，则122220=+b y a x . ① 因为︒=∠900PA ，所以以O A 为直径的圆经过点P ，所以020020=+-y ax x . ②联立①、②消去0y 并整理得当a x =0时，P 与A 重合，不合题意，舍去。
所以2220ba ab x -=又a x 00，所以a ba ab 2220-， 即 ()22222c a b a -=得2122 ac ，即223e又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a ,b ,c 不等式例2 已知双曲线()0,01x 2222 b a by a =-左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为p ,ι是双曲线左支上一点，并且221PF PF d =，由双曲线第二定义得ed =1PF ，所以12PF PF e =. ① 由又曲线第一定义得a PF 2PF 12=- ②由①-②得在21PF F ∆中，所以 c e ea e a 21212≥-+- ， 即e e e ≥-+11. 又1 e ，从而解得e 的取值范围是(]21,1+。
三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式例3 设椭圆()012222 b a by a x =+的两焦点为F 1、F 2，问当离心率E 在什么范围内取值时，椭圆上存在点P ，使21PF F ∆=120°.解：设椭圆的焦距为2c ，由椭圆的定义知a PF PF 221=+.在21PF F ∆中，由余弦定理得=212221PF PF PF PF ++ =（21221)PF PF PF PF -+所以22212122244a PF PF PF PF c a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤=- 所以23,4322≥≤a cc a 得. 又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a ,b ,c 的不等式例4 如图1，已知椭圆长轴长为4，以y 轴为准线，且左顶点在抛物线1y 2-=x 上，求椭圆离心率e 的取值范围。
离心率范围问题的求解策略
离心率范围问题的求解策略离心率是描述天体椭球轨道形状的一个重要参数，它是一个无量纲的数值，代表了轨道的椭圆程度，是衡量轨道形状和运动的重要指标之一。
在天体力学中，离心率的范围问题是一个值得深思的问题，因为离心率的取值范围直接影响了天体的运动状态和轨道形状。
本文将探讨离心率范围问题的求解策略，希望能够给读者一些启发和帮助。
我们需要了解离心率的定义。
离心率e是描述椭圆轨道形状的一个参数，它的取值范围在0到1之间，当离心率为0时，轨道是一个圆形；当离心率在0到1之间变化时，轨道是一个椭圆；当离心率为1时，轨道是一个抛物线；当离心率大于1时，轨道是一个双曲线。
离心率的取值范围对轨道形状和运动状态有着重要的影响，因此离心率范围问题需要被认真对待。
我们需要思考离心率的物理意义。
离心率的大小代表了轨道椭圆程度，是描述轨道形状和运动状态的重要指标之一。
离心率越接近于0，轨道的形状越接近于圆形，天体围绕中心天体的运动越稳定；离心率越接近于1，轨道的形状越接近于抛物线，天体的运动越趋向于离心运动。
离心率的物理意义是十分重要的，它直接影响了天体的轨道形状和运动状态。
面对离心率范围问题，我们首先可以从离心率的定义出发，明确离心率的取值范围在0到1之间。
这一点是天文学和天体力学研究中的一个基本知识，需要我们牢固掌握。
在实际问题中，我们可以根据离心率的取值范围来推导出一些结论和规律，从而更好地理解离心率的作用和影响。
我们可以从天体运动的角度来分析离心率范围问题。
离心率是描述轨道形状和运动状态的重要参数，它直接影响了天体围绕中心天体的运动方式和轨道形状。
在天体力学研究中，我们可以通过分析离心率的取值范围，来研究不同离心率下天体的轨道形状和运动状态，从而深入理解离心率的物理意义和作用。
我们还可以通过数学模型和计算模拟来探讨离心率范围问题。
通过建立数学模型和计算模拟，我们可以对离心率的取值范围进行定量分析和研究，从而得出一些有关离心率范围问题的结论和结论。
四法妙求椭圆离心率
解 得 ｚ ： ： ： 或 一 （ 舍去） ， 即 一
一
（ 舍去 ） ， 故 答 案 为 。
几 何 法 来 解 决 对 应 的 离 心 率 问 题 。解 决 此 类
题 关 键 是： ＝ 构造 相应 的 方程 ， 但 解 方 程 时 要 注
．
，
倒 已 知 由 椭 圆 ｃ 的 四 个 顶 点 构 成 一 … … … … … … … …
程 时要 注 意对 应 椭 圆离 心 率 的特 征 ， 对 方 程
相 应 的 根 加 以取 舍 。
Ａ 专
Ｂ 专
倒 ２ （ ２ ｏ １ ３ 年江苏卷第 １ ２题） 在平
面直 角坐标 系 ｘ Ｏｙ 中 ， 椭 圆 ｃ 的 标 准 方 程 为
Ｉ ｒ
ｃ 专
Ｄ ． ３
２
１， ２
利 用 离心 率 公 式 求 解 。
＝ 方程 法
根据题 设条 件 ， 借 助 ｎ， ｂ， Ｃ之 间 的 关 系 ，
建 立 关 于 ｎ、 Ｃ的 关 系 式 （ 特 别 是 齐 二 次式 ） ， 进 而 得 到 关 于 ｅ的 一 元 方 程 ， 从 而 通 过 求 解 方 程 得 出离 心 率 ｅ的 值 。 利 用 方 程 法 求 解 椭
侧 ， （ ２ ｏ １ ６年全国 工卷文科第 ５ 题）
直 线 ｚ经 过 椭 圆 的 一 个 顶 点 和 一 个 焦 点 ， 若
圆的 离心率 ， 关键 是构 造 相应 的方 程 ， 但 解 方
椭 圆 中 心 到 ｚ的 距 离 为 其 短 轴 长 的 ÷ ， 则 该
椭 圆 的离心 率为 （ ） 。
数学篇 解题 思想方 法
高二使用 ２ ０ １ ６年 １ ２月 下
15.11离心率的求法
破解策略之一：建立c b a ,,的不等式或方程例1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。
此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。
故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。
解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则ax y k a x y k BQ AQ -=+=,， 利用到角公式及0120=∠AQB 得：0120tan 1=-++--+a x y a x y a x ya x y （a x ±≠），又点A 在椭圆上，故22222y b a a x -=-，消去x ， 化简得2232c ab y =又b y ≤即b cab ≤2232 则42223)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 044324≥-+e e 解得136<≤e 。
故椭圆离心率的最小值为36。
（或222233()ab c a b ≤=-，得：303b a <≤，由21()b e a=-，故136<≤e ）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值） 点评：对于此类最值问题关键是如何建立c b a ,,之间的关系。
常用椭圆上的点),(y x 表示成c b a ,,，并利用椭圆中y x ,的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。
利用三角函数的有界性求范围例2：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。
本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。
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椭圆离心率的求法
课程学习目标
知识目标：掌握求解椭圆离心率及其取值范围的几类方法；
能力目标：培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力；
情感目标：通过独立思考，互相交流使学生主动领悟、吸收、内化解题规律，提高学习数学的兴
趣，探索新知识的能力及勇于创新的精神.
学习重难点
重点：椭圆离心率的求法；
难点：通过回归定义，结合几何图形，建立目标函数以及观察图形、设参数、转化等途径确定离
心率
离心率在椭圆中的几何表示
如图，O 为椭圆的中心，F
为焦点，A 为顶点， 准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD
⊥L 于 D ，QF ⊥AO 于F,设椭圆的离心率为e ， 证明：①e=｜PF ｜
｜PD ｜②e=｜QF ｜
｜BF ｜
③e=｜AO ｜｜BO
｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜
｜AO ｜
探究一：利用定义直接求a ,c
例1．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等
于 ．
练习1．已知12(1,0),(1,0)F F -为椭圆若椭圆
上一点P 满足，则椭圆的离心率e =( )
A C ． 2
练习2．一个圆柱形容器里装有水，放在水平地面上，现将该容器倾斜，这时水面是一个椭圆面（如上图），当圆柱的母线AB 与地面所成角时，椭圆的离心率是 ．
探究二：构造焦点三角形求离心率
例2．椭圆x 2 a 2 +y 2
b 2
=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，
以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的
另两边，则椭圆的离心率e ．
练习3．以椭圆的右焦点F 2为圆心作一个圆,使此圆过椭圆的中心,交椭圆于点M 、N,若直线MF 1(F 1为椭圆左焦点)
是圆F 2的切线,则椭圆的离心率为( ) A.2 1
练习4的右焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆交于,M N 两点，以
MN 为直径的圆恰好过左焦点，则椭圆的离心率等于 ．
练习5．椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-
c ，0）、F 2 (c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的
圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ，求e?
探究三：构造关于e 的(a,b,c 的齐次)方程
例3的上焦点为F ，左、右顶点分别为12,B B ，下顶点为A ，直
线2AB 与直线1B F 交于点P ，若22AP AB =
，则椭圆的离心率为___________．
练习6>0,b >0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若
BF ⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 ．
练习7．F A 使AOF ∆为正三角形，
那么椭圆的离心率为 ．
B
A
F 2 F 1
x y
探究四：结合几何条件与第二定义求解
例4．如图，点P
F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，过点P 作
椭圆右准线的垂线，垂足为M ，若四边形12PF F M 为菱形，则椭圆的离心率是 ．
例5
F 1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，若
｜F 1A ｜=2｜BF 1｜, 则椭圆的离心率是 ．
练习8．已知椭圆C
a>b>0）的离心率为F 且斜率为k （k >0）的
直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。
则=k （ ）
练习9．过椭圆左焦点F 且倾斜角为060的直线交椭圆于B A ,两点，若椭圆的离心率等于（ ） A
例6．椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)，斜率为1点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与→
a =(3,-1)求e?
练习10．如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层
AC 与BD ，则椭圆的离心率为
（ ）
探究六：构造不等式求离心率的范围
例7．已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆P 为椭圆上满足2
2
1c PF PF =⋅的点，则此椭圆离心率的取值范围是 ( ) A 例8的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P
满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．
练习11．设A 1、A 2A 1、A 2的
点P ，使得02=⋅PA PO ，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是 A B 、 C D 练习12的左、右焦点分别为12(0)(0)F c F c -，
，，，若椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
4
5，C ，21，B 1，313，121，12，23，C ，B ，3
C ，C ，
D ，1,1)。