椭圆离心率求法总结材料
离心率求解题技巧
离心率求解题技巧离心率是描述一个椭圆形状的参数，用于描述椭圆形状的偏离程度，计算方法是椭圆长轴与短轴之间的差异与长轴的比值。
离心率(E)的计算公式如下：E = c / a其中，c为焦点距离，a为长轴的一半，也就是半长轴。
为了求解题目中的离心率，我们可以使用以下的技巧：1. 获取椭圆的焦点坐标。
根据椭圆的定义，我们可以知道椭圆的焦点坐标位于椭圆的主轴上。
主轴是一条椭圆的对称轴，垂直于副轴。
焦点的位置取决于椭圆的离心率和主轴的长度。
2. 确定椭圆的长轴和短轴。
椭圆的长轴是横向的轴，短轴是纵向的轴。
一般来说，长轴长度大于短轴长度，因此可以通过观察椭圆的形状来确定长轴和短轴的长度。
3. 确定椭圆的焦距。
焦距是指从椭圆的中心点到任意一点的距离与椭圆的半长轴之间的关系。
具体计算焦距需要使用直线段的长度公式。
4. 计算离心率。
根据椭圆的焦距和半长轴的定义，我们可以使用离心率公式直接计算。
下面是一个例题的求解过程：已知一个椭圆的焦点坐标为(-6,0)和(6,0)，离心率为4/5。
求椭圆的长轴和短轴长度。
步骤1：获取椭圆的焦点坐标。
已知椭圆的焦点坐标为(-6,0)和(6,0)。
步骤2：确定椭圆的长轴和短轴。
应该注意到在这个例题中，我们并没有提供任何关于长轴和短轴的具体信息，因此无法确定长轴和短轴的长度。
需要通过其他方式获得这些信息。
步骤3：确定椭圆的焦距。
由于焦点在椭圆上，我们可以使用两个焦点之间的距离来计算焦距。
根据距离公式，我们可以计算出两个焦点之间的距离为12。
焦距是指从椭圆的中心点到任意一点的距离与椭圆的半长轴之间的关系，因此焦距的值等于半长轴的长度。
步骤4：计算离心率。
根据离心率的定义，我们可以使用公式 E = c / a 来计算离心率。
已知焦距的值是12，我们可以将其代入公式中：4/5 = 12 / a接下来我们可以通过求解这个方程来计算出半长轴的值。
通过求解这个方程，我们可以得到半长轴的值为15。
由于离心率的定义是长轴与短轴之间的差异与长轴的比值，我们可以使用长轴和半长轴的值来计算短轴的值：短轴= sqrt(半长轴^2 - 长轴^2) = sqrt(15^2 - 12^2) = sqrt(225 - 144) = sqrt(81) = 9因此，这个椭圆的长轴长度为30，短轴长度为18。
椭圆性质的离心率计算公式
椭圆性质的离心率计算公式椭圆是数学中非常重要的一种曲线，它具有许多独特的性质和特点。
其中，离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它可以帮助我们更好地理解和分析椭圆的形态和结构。
在本文中，我们将介绍椭圆性质的离心率计算公式，以及离心率在椭圆研究中的应用。
首先，让我们来了解一下椭圆的基本定义和性质。
椭圆是一个平面上的闭合曲线，其所有点到两个给定点（焦点）的距离之和是一个常数。
这两个给定点称为焦点，而这个常数称为椭圆的半长轴长度。
椭圆还有一个重要的参数叫做离心率，它可以用来描述椭圆的形状和偏心程度。
离心率的计算公式如下：e = c/a。
其中，e表示椭圆的离心率，c表示椭圆的焦点之间的距离，a表示椭圆的半长轴长度。
通过这个公式，我们可以很容易地计算出椭圆的离心率，从而更好地理解椭圆的形状和结构。
离心率的计算公式为什么是这样的呢？这涉及到椭圆的几何性质。
在椭圆中，焦点之间的距离c与半长轴长度a之间的关系是很特殊的。
事实上，根据椭圆的定义，焦点之间的距离c与半长轴长度a之间的关系是固定的。
这个关系就是椭圆的离心率。
通过这个关系，我们可以将椭圆的形状和结构用一个参数来描述，这就是离心率。
因此，离心率的计算公式e=c/a就是根据这个几何性质得到的。
离心率在椭圆研究中有着重要的应用。
首先，离心率可以用来描述椭圆的形状和偏心程度。
当离心率接近于0时，椭圆的形状接近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆的形状趋向于长条形。
因此，通过离心率，我们可以直观地了解椭圆的形状特点。
其次，离心率还可以用来计算椭圆的面积和周长。
椭圆的面积和周长与离心率之间有着特定的数学关系，通过离心率的计算，我们可以更方便地计算出椭圆的面积和周长。
此外，离心率还可以用来分析椭圆的运动轨迹和力学特性，在天文学、航天学等领域有着广泛的应用。
除了椭圆，离心率的概念还可以推广到其他几何图形中。
例如，在圆锥曲线、双曲线等曲线中，离心率也是一个重要的参数，它可以用来描述这些曲线的形状和特性。
例析椭圆、双曲线离心率的求法
例析椭圆、双曲线离心率的求法
椭圆和双曲线都是非常重要的数学曲线，从古代就有了历史。
它们的运用十分
广泛，比如天文学、力学等多种领域。
此外，椭圆和双曲线的离心率也是一个重要的概念，因此了解它们求法也是十分重要的。
首先，椭圆的离心率求法。
根据弦长定理，椭圆的离心率ε可表示为：ε＝c
／a，其中a为椭圆长轴，c为短轴，由此乘以ε即可求出离心率。
其次，双曲线的离心率求法。
根据常见的双曲线方程：x2/a2-y2/b2＝1，其中
a为椭圆长轴，b为短轴，把中间的数学符号μ代入公式：μ＝a2/b2;由此乘以
μ即可求出离心率。
另外，椭圆和双曲线的离心率也可以通过数学计算的方式进行求解，比如把它
们的方程式代入特殊函数求解，或者调用计算器进行计算，这些都有很多种方法。
为了解椭圆和双曲线的离心率，我们可以利用尺规、直角三角形等工具求解；
也可以通过计算机程序解出精确的实际结果。
有时候，采用抽象的思维能够获得更准确的结果。
但无论哪种方法，了解椭圆和双曲线的离心率都有它自身的优劣之处，希望大家可以按自己的意愿选择合适的方法。
椭圆标准方程及其离心率的求法
椭圆标准方程的求法1、已知动圆M 和圆C 1：(x+1)2+y 2=36内切，并和圆C 2：(x-1)2+y 2=4外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
变式：1、动圆M 和圆C 1：(x+1)2+y 2=36内切，并和圆C 2：(x-1)2+y 2=4也内切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
2、已知1F （-3，0）、2F （3，0），在圆100)3(22=++y x 上任取一点P ，连接P 2F ，作线段P 2F 的垂直平分线L 交P 1F 于点M ，求点M 的轨迹方程。
2、已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴长为6，且过点P （1，4），求椭圆的标准方程。
变式：1、已知椭圆的离心率为e =，且过点（3，0），求该椭圆的标准方程。
2、已知椭圆的离心率为2e =2，－6），求该椭圆的标准方程。
3、在圆422=+y x 上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，在线段PD 上取一点N ，使得NP DN 23=，求N 的轨迹方程，并说明轨迹的形状。
4、求以椭圆229545x y +=的焦点为焦点，且经过点M 的椭圆的标准方程。
5、点P 与定点F （2，0）的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状。
6、设P是椭圆上一点，F1、F2为焦点，若12PF PF⊥，且01230PF F∠=，则椭圆的离心率为7、设P是椭圆上一点，F1、F2为焦点，如果∠PF2F1=75°，∠PF1F2=15°，则这个椭圆的离心率是 .8、设P是椭圆上一点，F1、F2为焦点，以椭圆的焦距为直径的圆交椭圆于四个不同的点，顺次连接四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率是 .9、已知F1是椭圆的左焦点，A和B分别为右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，11PF F A⊥，ABPO//，则这个椭圆的离心率是 .10、已知F1F2是椭圆的左、右焦点，A和B分别为右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，11PF F A⊥，ABPF//2，则这个椭圆的离心率是 .11、椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则这个椭圆的离心率是 .。
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
椭圆离心率范围的求法总结
椭圆离心率范围的求法总结
椭圆的离心率是一个描述椭圆形状的参数，它的取值范围在[0,1)之间。
下面是关于椭圆离心率范围的求法总结：
1. 椭圆离心率定义：椭圆的离心率e是焦点距离F与两个焦点连线的长度2a之比：e = F/2a。
其中F是焦点到椭圆中心点的距离，a是椭圆的半长轴长度。
2. 确定椭圆的半长轴a和焦点到椭圆中心点的距离F。
3. 计算离心率e = F/2a。
4. 判断离心率范围：离心率e的取值范围在[0,1)之间，即0 <=
e < 1。
总结起来，求解椭圆离心率的步骤包括确定椭圆的半长轴和焦点到椭圆中心点的距离，然后通过计算得到离心率，最后判断离心率是否满足取值范围。
专题讲座：椭圆离心率的常规求法(文)
a,c的齐次式，解出e. 2.思想方法：
方程的思想，转化的思想
六.课后练习
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长 成等差数列，求该椭圆的离心率.
2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆 长轴的垂线交椭圆于点P，若为△F2PF1等腰直角 三角形，求椭圆的离心率.
专题讲座
椭圆离心率的常规求法
刘帅帅
一.复习巩固
二.离心率的常见题型及解法
题型一：定义法 例1.已知椭圆方程为 x2 + y2 =1，求椭圆的离心率；
16 8
y
P
a
F1(-c,0)o c F2(c,0)
x
1.直接算出a、c带公式求e 2. 几何意义：e为∠OPF2的正弦值
变式训练1：
若椭圆x2 + y2 =1的离心率为1/2，求m的值.
四.高考链接
（ (a>2b0>102)新的课左标、全右国焦卷点），设P为F1直和线F2是x=椭3圆a ax上22 +一by点22 =，1
2
△ F2 P F1是底角为30°的等腰三角形， 求该椭圆
的离心率。
y P
30°
2c
F1 (-c,0)o2c
F2
(c,0)
c
x
2c=3a/2
x=3a/2
五.小结
3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一 点 ，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=60°，求该椭圆的 离心率。
变式训练2：
椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法一、 运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目:如图,O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点,准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上,PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F ，设椭圆的离心率为e ，则①e=错误!②e=错误!③e=错误!④e=错误!⑤e=错误!评:AQP 为椭圆上的点,根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵|AO ｜=a ，｜OF ｜=c,∴有⑤;∵|AO ｜=a,｜BO ｜= 错误!∴有③.题目1：椭圆x2 a2+错误!=1（a 〉b 〉0)的两焦点为F1 、F2 ,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆,所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系.解:∵|F1F2｜=2c |BF1｜=c |BF2｜=错误!cc+错误!c=2a ∴e= 错误!= 错误!-1变形1：椭圆错误! +错误!=1（a 〉b 〉0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上,使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率?解：连接PF2 ，则|OF2|=｜OF1｜=｜OP｜，∠F1PF2 =90°图形如上图，e=错误!—1变形2：椭圆错误! +错误!=1(a>b 〉0）的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点,P是椭圆上一点，且PF1 ⊥X轴,PF2 ∥AB，求椭圆离心率？解:∵|PF1|=错误!错误!｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA|=aPF2 ∥AB ∴错误!= 错误!又∵b= 错误!∴a2=5c2 e=错误!点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率.二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆错误! +错误!=1(a〉b >0），A是左顶点，F是右焦点,B是短轴的一个顶点,∠ABF=90°,求e？解：|AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a |AB｜=错误!a2+b2+a2 =（a+c)2 =a2+2ac+c2 a2—c2—ac=0 两边同除以a2e2+e—1=0 e=错误! e=错误!（舍去）变形：椭圆错误! +错误!=1（a〉b 〉0），e=错误!， A是左顶点,F是右焦点，B是短轴的一个顶点,求∠ABF?点评:此题是上一题的条件与结论的互换,解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
椭圆离心率题型-总结
的离心率;【答案】24、（ 06山东）在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为,2，焦点到相应准线距离为 1,则该椭圆的离心率为 _________ 。
占=1 （ a > b > 0）的左、右顶点分别是 AB 左、右焦点分别是 F 1, F 2。
若|AF | , | F 1F 2I , | RB|利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：AF 」=a —c , RF 2 =2c , F 1B =椭圆离心率题型:b 2 2a一）求离心率1）用定义（求出 a,c2x1、已知椭圆C ：a或找到c/a ）求离心率 2y 2= 1,（a b 0）的两个焦点分别为 F i （-1,0）, F 2（1,0）,且椭圆C 经过点【答案】解：2a =PF i + PF 2 =41^ 1 233所以，a =::貶.c又由已知，c = 1,所以椭圆C 的离心率e 二上a-2 y 23a2、（12）设F 1F 2是椭圆E : —^ 2~ 1（a b 0）的左、右焦点，P 为直线-上一点，丄F 2PF 1是底角为30；的等腰三角形，则 E 的离心率为（）【解析】选C(B)I(C)-4(D)-.A解：.■: F 2PF 1是底角为30的等腰三角形3 cn PF 2 = F 2F 1 = 2(_ a — c) = 2c= e = _2 a3、 （ 12辽理）已知点（2，3）在双曲线 C ：2 2計i 0，®）上，C 的焦距为4，则它的离心率为2b 2［解法一］:通径：仝- a=、2①根据焦准距有 椭圆的第二定义［解法二］：（老手的方法）e =2/2| AD| 1|AF2|_ X 2 5、（江西）椭圆飞a 2 b成等比数列，则此椭圆的离心率为 .13.辽5=a c .又已知AF 1 ,b 2一 =1②；①式除以②式，得cF 1F 2 , F i B 成等比数列，故（a —c ）（a+c ） =（2c ）2，即 a 2—c 2=4c 2，则 a 2=5c 2.故 ^-=—.即椭圆的离a 5心率为上5.52）、根据题设条件构造a 、c 的齐次式方程，解出e 。
离心率的求解方法
离心率的求解方法离心率是描述椭圆轨道形状的一个重要参数，它决定了椭圆轨道的偏心程度。
在天体力学中，离心率是描述行星、卫星等天体绕着太阳或者其他天体运动的轨道形状的一个关键参数。
在本文中，将介绍离心率的定义、求解方法以及应用。
1.离心率的定义离心率是一个无量纲的参数，用e来表示。
它的物理意义是描述椭圆轨道形状的离心程度。
在圆形轨道中，离心率为0；在近似圆形轨道中，离心率接近于0；而在长轴方向明显大于短轴方向的椭圆轨道中，离心率接近12.离心率的计算方法离心率可以通过已知轨道参数的测量数据来计算。
以下是一种常用的求解离心率的方法：（1）通过测量两个不同时刻的星体位置和速度，可以得到星体在椭圆轨道上的轨道半长轴a和偏心率e的值。
（2）计算轨道能量E，其中E等于单位质量质点的总机械能。
轨道能量可以通过以下公式得到：E=-GM/2a其中，G为引力常数，M为太阳质量，a为椭圆轨道的半长轴。
（3）计算星体的轨道角动量h，其中h等于单位质量质点的角动量大小。
轨道角动量可以通过以下公式得到：h=r*v其中，r为星体位置向量的大小，v为星体的速度向量的大小。
（4）通过轨道能量和轨道角动量，可以得到离心率的公式：e = sqrt(1 + (2E*h^2) / (GM^2))3.离心率的应用离心率是天体运动中的重要参数，具有广泛的应用。
下面介绍一些离心率的常见应用：（1）行星轨道研究：离心率可以帮助我们了解行星轨道的形状和演化过程。
通过测量行星的离心率，可以推断行星的形成和演化历史。
（2）卫星轨道设计：离心率是设计和控制卫星轨道的重要参数。
通过选择合适的离心率，可以实现卫星的特定任务要求，例如地球观测、通信或者导航。
（3）表征彗星轨道：彗星是一种具有非常大离心率的天体，离心率可以帮助我们了解彗星的轨道形状和运动方式。
通过研究彗星轨道的离心率，可以揭示彗星的起源和演化。
（4）星际旅行轨道计算：在太空探索领域，离心率是计算星际飞行轨道的重要参数之一、通过选取合适的离心率，可以实现星际旅行的精确计划和导航。
求离心率的八种方法
求离心率的八种方法求解离心率是天文学和航天学等领域中经常涉及到的问题。
离心率是描述椭圆轨道形状的参数，它是轨道长半径与短半径之差的一半与轨道长半径之和的比值。
在本文中，我们将介绍八种不同的方法来求解离心率。
方法一：利用轨道能量和角动量轨道能量和角动量是求解离心率的重要参数。
根据公式，离心率e 等于角动量L和轨道能量E的平方差除以质量m和引力常数G的平方根。
因此，我们可以通过求解轨道能量和角动量来计算离心率。
方法二：利用轨道速度和距离轨道速度和距离也是求解离心率的重要参数。
根据公式，离心率e 等于轨道速度v和距离r的平方差除以引力常数G乘以质量m。
因此，我们可以通过求解轨道速度和距离来计算离心率。
方法三：利用轨道周期和半长轴轨道周期和半长轴也是求解离心率的重要参数。
根据公式，离心率e等于轨道周期T的平方除以半长轴a的立方和2π的商减去1。
因此，我们可以通过求解轨道周期和半长轴来计算离心率。
方法四：利用轨道偏心率和半长轴轨道偏心率和半长轴也是求解离心率的重要参数。
根据公式，离心率e等于轨道偏心率ε除以半长轴a加上1的和。
因此，我们可以通过求解轨道偏心率和半长轴来计算离心率。
方法五：利用轨道倾角和升交点距角轨道倾角和升交点距角也是求解离心率的重要参数。
根据公式，离心率e等于1减去升交点距角ω的正弦值除以轨道倾角i的正弦值。
因此，我们可以通过求解轨道倾角和升交点距角来计算离心率。
方法六：利用轨道速度和半长轴轨道速度和半长轴也是求解离心率的重要参数。
根据公式，离心率e等于轨道速度v的平方除以引力常数G乘以质量m乘以半长轴a 减去1的平方根。
因此，我们可以通过求解轨道速度和半长轴来计算离心率。
方法七：利用轨道周期和轨道偏心率轨道周期和轨道偏心率也是求解离心率的重要参数。
根据公式，离心率e等于轨道周期T的平方除以轨道偏心率ε乘以4π的平方根。
因此，我们可以通过求解轨道周期和轨道偏心率来计算离心率。
方法八：利用轨道速度和轨道偏心率轨道速度和轨道偏心率也是求解离心率的重要参数。
椭圆离心率常见求法整理归纳
5椭圆的离心率1．设12F F ，分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则椭圆的离心率为 ．2．设椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为_____________.3．设1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为 .4．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点为12,F F ,以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且124F F =，则a 等于___________.5．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为________．6．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．7．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点为12F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于A B ，两点，1F B 与y 轴交于点D ，若1AD F B ⊥，则椭圆C 的离心率等于________.8．过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 .9．椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 左右焦21,F F ，若椭圆C 上恰有4个不同的点P ，使得21F PF ∆为等腰三角形，则C 的离心率的取值范围是 _______10．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12F F ，，过1F 且斜率为2的直线交椭圆C 于P 、Q 两点，若12PF F 为直角三角形，则椭圆C 的离心率为 .11．直线32y x =与椭圆22221(0)+=>>x y a b a b 相交于A 、B 两点，过点A 作x 轴的垂线，垂足恰好是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率是 ．12．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12F F ，，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅=，123tan PF F ∠=，则该椭圆的离心率为 ． 13．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12F F ，，P 为椭圆C 上任一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是222,3c c ⎡⎤⎣⎦，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过原点的直线与该椭圆交于A B，两点，连接AF ，BF ，若10AB =，6AF =，4cos 5ABF ∠=，则该椭圆的离心率是 ．15．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的中心、右焦点、右顶点依次分别为O ，F ，G ，且直线2a x c =与x 轴相交于点H ，则FG OH最大时椭圆的离心率为________． 16．在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中,左焦点为F , 右顶点为A , 短轴上方端点为B ，若90ABF ∠=︒,则该椭圆的离心率为___________．517．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32，与过右焦点F 且斜率为k(0k >)的直线相交于A 、B 两点．若3AF FB =，则斜率k 是_______．18．若斜率为22的直线l 与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>有两个不同的交点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，若以2F 为圆心，b c-为半径作圆2F ，过椭圆上一点p 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值为3()2a c -，则椭圆的离心率的取值范围是________．20．如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ＝2PB ，则椭圆的离心率是________．21．已知12F F ，是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足PF 1＝2PF 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．22．设12F F ，分别是椭圆2222x y a b ＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝2a c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．23．在平面直角坐标系中，有椭圆2222x y a b＋＝1(a>b>0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆．过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________．24．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线3()y x c =+与椭圆C 的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率为 .25．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线y=3(x+c)与椭圆Γ的一个交点满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 .26．已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,以原点O 为圆心,OF 1为半径的圆与椭圆在y 轴左侧交于A,B 两点,若△F 2AB 是等边三角形,则椭圆的离心率等于 .27．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F ，，过F 1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 2垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．28．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B 、C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是________．29．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F ，，过2F 作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．530．已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于B A ,两点，且线段AB 的中点在直线02=-y x 上，则此椭圆的离心率为_______31．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 .x32．已知椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，AB 是它的一条倾斜角为135的弦，且(2,1)M 是弦AB 的中点，则椭圆E 的离心率为_________.33．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为12(,0)(,0)F c F c -、，若存在动点Q ，满足1||2FQ a =，且12F QF ∆的面积等于2b ，则椭圆离心率的取值范围是 . 34．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若1132k <<，则椭圆离心率的取值范围是_____________.35．已知点P 是以12F F ，为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意一点，若12PF F α∠=，21PF F β∠=，且cos α=，3sin()5αβ+=，则此椭圆的离心率为 ．36． 设12F F ，是椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的两个焦点，若在C 上存在一点P,使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为_____________.37．已知12F F ，是椭圆22x a＋22y b ＝1(a>b>0)的左右焦点，P 是椭圆上一点，∠F 1PF 2＝90°，求椭圆离心率的最小值为38．设12F F ，是椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点．若AB ⊥AF 2，|AB|:|AF 2|＝3:4，则椭圆的离心率为 ．39．过椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰为右焦点F ,若12k =，则椭圆的离心率e 的值是 . 40．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（,若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠,则该椭圆的离心率的取值范围为___41．在等边ABC ∆中，若以B A ,为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率为____________42．如图，已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为 .43．P 为椭圆C 上一点，12,F F 为两焦点，121212||13,||15,tan 5PF PF PF F ==∠=，则椭圆C 的离心率e = .44．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点A 、B 、C 、D, 若菱形ABCD 的内切圆恰好经过5椭圆的焦点, 则椭圆的离心率为 __ ．45．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .设线段AB的中点为M ，若022≥+•，则该椭圆离心率的取值范围为 . 46．以椭圆的右焦点2F 为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于点M ，N ， 若过椭圆左焦点1F 的直线MF 1是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为47．椭圆22189x y k +=+的离心率12e =, 则k 的值是 48．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，则其离心率为 ．49．已知M 、N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM 、PN 的斜率分别为k 1、k 2（120k k ≠），若12||||k k +的最小值为1，则椭圆的离心率为 。
椭圆离心率求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ac e =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.23 B. 23 C. 26D.332 解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（）A. 43B. 32C. 21D. 41解：由()0,11F 、()0,32F 知132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C. 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A 二、构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
椭圆离心率常见求法整理归纳
1.设行4 = 1G∕>∕7>O)的左.右焦点，若椭圆上存在点A ,使Cr IyZ斤AF2 =90」且|4可=3PlE则椭圆的离心率为____________________ .2.设椭圆C：) + * = l (a>b>0)的左、右焦点分别为斤,巧，P是C上的点,P巧丄F1F2, ZP斥竹=30。
，则椭圆C的离心率为 _____________________ .3.设斤、耳分别是椭圆C± + ∙^ = l(">b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF∣的中点在y轴上，若ZPF I F2 = 30 ,则椭圆的离心率为___________________ .7 74.已知椭圆—+ —= 1 (a>b>0)的两个焦点为F r F,,以斥只为边作正三角形，若椭Cr Zr圆恰好平分正三角形的另外两条边，且闪可=4,则"等于 ______________________ .2 25.椭圆丄τ + =τ = l(α>b>0)的左、右顶点分别是A, B,左、右焦点分别是U F=•若Cr b~I AF I 1,1 F1F21,1斤Bl成等比数列，则此椭圆的离心率为____________ .6.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D , 且BF=2FD,则C的离心率为_________________ .7.设椭圆C:* +沪l(">b>0)的左右焦点为F lf F2,作竹作X轴的垂线与C交于A, B两点，F0与y轴交于点£>,若AD丄F1B,则椭圆C的离心率等于_____________________ .8.过点M(Ij)作斜率为一丄的直线与椭圆C：二+二=1(。
>〃>0)相交于43,若M2 Cr Zr是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为 _______ ・9.椭圆c： 4+4=Cr Iy= ∖(a>b>0)左右焦F1,F2,若椭圆C上恰有4个不同的点P,使得ΔPF I F2为等腰三角形，则C的离心率的取值范用是______________510. 设椭圆C ：4 + ^T = l(«>^>0)的两个焦点分别为F C F 2,过片且斜率为2的直线交椭圆C 于P 、0两点，若厶PF x F 2为直角三角形，则椭圆C 的离心率为 _____________ .11. 直线y = Ox 与椭圆二+ = = l(α>b>O)相交于A 、3两点，过点A 作X 轴的垂线,2 6Γ Ir垂足恰好是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率是 ______________ .12. 设椭圆(7:卡+ 沪1(。
椭圆离心率求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
椭圆长轴长是短轴长的两倍求离心率
椭圆长轴长是短轴长的两倍求离心率椭圆是包含两个焦点的点到定点距离之和等于常数的平面图形。
它有许多属性，其中包括椭圆的离心率。
椭圆的离心率是数值e，定义为焦点间距离与长轴长度之比，即:e = c/a其中，a是椭圆长轴的长度，c是两个焦点之间的距离。
在本文中，我们考虑一个椭圆，其长轴的长度是短轴的两倍。
我们将短轴的长度称为b，因此长轴的长度为2b。
先考虑长轴和短轴的长度如何影响椭圆的形状。
椭圆的形状由长轴和短轴的长度组成。
如果长轴和短轴的长度相等，我们得到圆形，其离心率为0. 如果长轴的长度增加，那么椭圆变得更扁平，离心率也会增加。
如果短轴的长度增加，椭圆变得更圆，离心率会减小。
对于给定的长轴和短轴，椭圆的形状是唯一的。
现在考虑长轴是短轴的两倍的情况。
我们可以用a表示长轴的长度，用b表示短轴的长度。
由于长轴是短轴的两倍，a = 2b。
现在我们可以使用离心率的定义来计算c。
现在我们需要知道离心率e。
我们可以通过椭圆的长轴和短轴长度得到它。
考虑原点位于椭圆的中心。
在x轴上，椭圆的两个端点分别是(-a,0)和(a,0)。
在y轴上，椭圆的两个端点是(0,-b)和(0,b)。
我们可以将这些值代入椭圆的方程中得到：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1对于椭圆的两个端点之一，其中一个坐标为0。
因此我们可以得到：y = b 或者 y = -b离心距是两个焦点距离的一半，即：c = sqrt(a^2 - b^2)将a = 2b带入得 c = sqrt(4b^2 - b^2) = sqrt(3b^2)因此，椭圆的离心率为：所以，当椭圆的长轴为短轴的两倍时，椭圆的离心率为sqrt(3) / 2。
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椭圆离心率的解法一、 运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2c∴有③。
题目1：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e=c a= 3-1变形1：椭圆x2 a2 +y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF1｜=b2a｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= ba 又 ∵b=a2-c2∴a2=5c2 e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。
二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a2+b2a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52(舍去)变形：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，e=-1+ 52, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
答案：90° 引申：此类e=5-12的椭圆为优美椭圆。
性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。
3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。
总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e 的方程式。
题目3：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)，过左焦点F1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，若｜F1A ｜=2｜BF1｜,求e?解：设｜BF1｜=m 则｜AF2｜=2a-am ｜BF2｜=2a-m在△AF1F2 及△BF1F2 中，由余弦定理得：⎩⎨⎧a2 –c2=m(2a-c) 2(a2-c2)=m(2a+c) 两式相除：2a-c 2a+c =12 ⇒e=23题目4：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c ，0）、F2 (c,0)，P 是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且 ∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。
解：由正弦定理：｜F1F2｜sin F1PF2 = ｜F1P ｜sin F1F2P = ｜PF2｜sin PF1F2根据和比性质：｜F1F2｜sin F1PF2 = ｜F1P ｜+｜PF2｜sinF1F2P+sin PF1F2变形得： ｜F1F2｜ ｜PF2｜+｜F1P ｜ =sin F1PF2sin F1F2P +sin PF1F2==2c 2a=e ∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° e= sin90° sin75°+sin15° =63点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2变形1：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c ，0）、F2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F1PF2 =60°，求e 的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。
解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-αe=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 = sin60°sin α+sin(120°-α)= 1 2sin(α+30°)≥12 ∴12≤e<1变形2：已知椭圆x24+ y2 4t2 =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点，M 为椭圆上任意一点（M 不与长轴两端点重合）设∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β若13 <tan α 2< tan β2 <12 ,求e 的取值范围？分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。
解;根据上题结论e=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 =sin(α+β)sin α+sin β =2sin α+β 2 cosα+β2 2sin α+β 2 cos α-β2= cos α 2cos β 2 -sin α 2 sin β2cos α 2cos β 2 +sin α 2 sin β 2=1- tan α 2 tan β21- tan α 2 tan β2=e∵13<1-e 1+e <12 ∴13<e<12三、 以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e 所符合的关系式.题目5：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与→a =(3,-1)共线，求e?法一：设A(x1,y1) ,B(x2,y2)⎩⎨⎧b2x2+a2y2=a2b2 y=x-c(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0x1+x2=2a2c a2+b2 y1+y2=2a2c a2+b2-2c=-2b2ca2+b2→OA +→OB =(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则 -（x1+x2）=3(y1+y2)既 a2=3b2 e=63法二：设AB 的中点N ，则2→ON =→OA +→OB ⎩⎪⎨⎪⎧x12a2+ y12 b2 =1 ①x22a2+ y22b2 =1 ②① -② 得： y1-y2x1-x2 =- b2a2 x1 +x2 y1+y2 ∴1=- b2a2 (-3) 既a2=3b2 e=63四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。
题目6：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c ，0）、F2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e 的取值范围？分析：∵→MF 1·→MF 2 =0∴以F1F2 为直径作圆，M 在圆O 上，与椭圆没有交点。
解：∴c<ba2=b2+c2 >2c2 ∴0<e<22题目7：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c ，0）、F2 (c,0)，P 为右准线L 上一点，F1P 的垂直平分线恰过F2 点，求e 的取值范围？分析：思路1,如图F1P 与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a 、b 、c 的不等关系。
思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e 解法一：F1 （-c ，0） F2 (c,0) P(a2c ,y0 ) M( a2c -c 2 ,y0 2 )既( b22c , y0 2 ) 则→PF 1 =-( a2c +c, y0 ) →MF 2 =-( b22c -c, y0 2) →PF 1·→MF 2 =0(a2c +c, y0 ) ·( b22c -c, y0 2 )=0 (a2c +c)·( b22c -c)+ y022=0 a2-3c2≤0 ∴33≤e<1 解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c｜PF2｜≥a2c -c 则2c ≥a2c -c 3c ≥a2c3c2≥a2 则33≤e<1设椭圆的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围 设P （x ，y ），又知，则将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知解法3：利用三角函数有界性记解法4：利用焦半径由焦半径公式得解法5：利用基本不等式 由椭圆定义，有 平方后得解法6：巧用图形的几何特性 由，知点P 在以为直径的圆上。
又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26 D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于22.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为22 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为21 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为12。