离心率的求法情况总结[精]

圆锥曲线中的离心率问题

离心率两大考点：求值、求范围

求值: 1. 利用a与c的关系式（或齐次式）

2. 几何法

3. 与其它知识点结合

求范围: 1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c

、不等关系求解.

2. 运用数形结合建立a c

、不等关系求解

3. 利用曲线的范围，建立不等关系

4. 运用函数思想求解离心率

5. 运用判别式建立不等关系求解离心率

一、求离心率的值

1. 利用a与c的关系式（或齐次式）

题1：(成都市2010第二次诊断性检测)已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为．

题2：已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°，

则双曲线C的离心率为

6 2

题3：设双曲线()222200x y a b a b

－＝1＞，＞的渐近线与抛物线2

1y ＝x ＋相切，则该双曲线的

离心率等于（ ）

（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6

解：由题双曲线()22

2200x y a b a b

－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程

整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即

5522=⇔=e a c ，故选择C 。

题4：(2009浙江理) 过双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该

直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若12

AB BC u u u r u u u r

=，则双曲线的离心率是（ ）

（A ）2 （B ）3

（C ）5

（D ）10

2. 几何法

题1： 以椭圆的右焦点F ，为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线MF l (F l 为左焦点)是圆F2的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是

11211,2,3,31MF F F MF e ====-

题2： F l ，F 2为椭圆的左、右两个焦点，过F 2的直线交椭圆于P 、Q

两点，PF

1^PQ ，且

1PF PQ =，求椭圆的离心率．

题3：

12212(05,,221A.

B. C. 2 2 D. 2122

F F F P F PF 全国)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）－－－∆

（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解）

解：如右图所示，有

12222||||

21

22221

c c c

e

a a PF PF c c =

==+===-++离心率的定义

椭圆的定义故选D

3. 与其它知识点结合

题1：已知M 为椭圆上一点，F l ，F 2是其两个焦点，且∠MF l F 2= 2a ，∠MF 2F l =a (a ≠ 0)，

则椭圆的离心率为( )

(A)1—2sin a (B)l —sin 2a (C)1-cos2a (D)2cos a -1

题2：已知P 为双曲线右支上一点，F l 、F 2是其左、右两焦点，且∠PF l F 2= 15°，∠PF 2F l =75°，

则双曲线的离心率为 ．

练习：

.

222

21(0),4

x y a b a b -=<<1.设双曲线

半焦距为c,直线l 过点(a,0),(0,b)两点，已知原点到

直线l ，则双曲线的离心率为（ ）

A

3

2.已知双曲线的渐近线为34y x =?

，则双曲线的离心率为 55,34

3.过双曲线的一个焦点F 作垂直于实轴的弦MN ，A 为双曲线的距F 较远的顶点，∠MAN=90°，双曲线的离心率等于 2

22

1212224.(071(0,0)||A.x y F F a b A B O OF a b

F AB 安徽卷)

和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径

的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ D ）-=>>∆

2

b a c

a

=+

22

121222125.(07190,

||3||,A.x y F F A F AF a b

AF AF o 全国Ⅱ)

设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且则双曲线的离心率为（ B ）-=∠==

二、求离心率的取值范围

1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c 、不等关系求解.

题1：（2008福建）双曲线22

221x y a b

==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，

且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为( )

A.(1,3)

B.(]1,3

C.(3,+∞)

D.[)3,+∞

分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？

解析：∵|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1|-|PF 2|=|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即2a c a ≥-∴3a c ≥ 所以双曲线离心率的取值范围为13e <≤，故选B.

点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c a -）则可建立不等关系使问题迎刃而解.