函数图象中的面积问题学案
微专题三 平面直角坐标系中的三角形面积问题(学案)
微专题三 平面直角坐标系中的三角形面积问题一、学习目标（1）掌握一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算；（2）掌握三边都不平行于坐标轴或不在坐标轴上的三角形面积的计算；（3）会对由平行线产生的等积变换的面积问题进行求解.二、模型探究类型一 一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算模型分析：S=_____________.典例探究例1 如图，一次函数m x y +=33与反比例函数xy 3=的图象在第一象限的交点为点A （1，n).（1）求m 与n 的值；（2）设一次函数的图象与x 轴交于点B ，连接OA ，求AOB ∆的面积.类型二 三边都不平行于坐标轴或不在坐标轴上的三角形面积的计算模型分析方法一：铅垂高、水平宽法=∆ABC S _________________________方法二：补全图形法=∆ABC S _________________ =∆ABC S ________________=∆ABP S _________________典例探究例2 如图，直线35+=kx y 经过点A(-2,m),B(1,3),则AOB ∆的面积为_____.例3 如图，已知抛物线c bx x y ++-=2与一直线相交于A （-1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N.（1）求抛物线及直线AC 的函数解析式；（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方（不与点N 重合）的一个动点，设点P 的横坐标为t ，当ACN ACP S S ∆∆=时，求点P 的坐标.类型三 由平行线产生的等积变换的面积计算模型分析：_______=∆CAB S __________________典例探究例4 如图，抛物线c bx x y ++=2交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C （0，5），连接BC ，其中OC=5OA.（1）求抛物线的解析式.（2）如图，将直线BC 沿y 轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D 、E 两点，交y 轴于点G.若P 是抛物线上位于直线BC 下方（不与点A,B 重合）的一个动点，连接PE ，交直线BC 于点F ，连接PD,DF,PB,PC.若EDF PBC S S ∆∆=2110，求点P 的坐标.三、小结.1、你在知识上有哪些收获？2、你在数学思想方法方面有何体会？3、你还有哪些困惑？。
第12讲-面积-学案
第12讲面积及面积单位温故知新摘桃子的故事有一天，唐僧等师徒四人一起去花果山摘桃子吃，没有过了多久，孙悟空、猪八戒、沙僧三个人就非常开心得回来了。
这个时候，唐僧问：“你们都每个人各自摘了几个桃子呀〞？猪八戒非常憨厚地笑了笑说：“师傅，我今天就来考一考你吧，其实，我们今天摘的桃子是一样多的，我筐子里的没有100个，假设每三个每三个地数一数，到最后会只剩下一个桃子，那你算一算，我们各自摘了几个呀〞？这个时候沙僧非常神秘地说：“师傅，我今天也开考一考你，我自己的筐子里的桃子假假设4个4个地数，最后也还是会剩下一个，你说，我们每个人摘了几个桃子呀〞！最后，悟空笑嘻嘻地说：“师傅，既然两位师弟都考你了，那么，我也考一考你，倘假设我5个5个地数，最后剩下一个，那么我们每个人都摘了几个桃子呀〞？这个时候，唐僧非常准确且快速地就算出了答案，那小朋友们说，到底他们各自摘了几个桃子呀？【解析】每个人摘得桃子数量相同，且小于100个，用每个人摘得数量减去1，正好是3、4、5的公倍数，又因为3、4、5的最小公倍数是60 再大一些的公倍数就是120，超出100了，所以每个人摘得桃子数量是60+1=61〔个〕知识要点一1、面积的意义：物体的外表或封闭图形的大小，就是他们的面积。
2、长度单位与面积单位的区别：用长度单位表示物体的长短或封闭图形一周的长度，用面积单位表示物体外表或封闭图形的大小。
注：面积和周长是不能相比拟的；分清楚什么时候填长度单位，什么时候填面积单位。
3、比拟两个图形面积的大小，要用统一的面积单位来测量和比拟。
4、常用的面积单位有：平方厘米〔cm2〕；平方分米〔dm2〕；平方米〔m2〕。
平方厘米=100平方毫米边长1分米的正方形面积是1平方分米。
□ 1平方分米=100平方厘米 边长1米的正方形面积是1平方米。
□ 1平方米 = 100平方分米 边长100米的正方形面积是1公顷 □ 1公顷 = 10000平方米 边长1千米的正方形面积是1平方千米。
中考数学：函数综合题面积问题—学案(含答案)
函数综合题面积问题—学案（含答案）学习目标：1、让学生能学会结合函数性质求图形面积问题，并掌握函数中面积问题的相关计算。
2、通过结合函数知识对已知图形面积求值问题的探究，使学生体会数形结合思想、分类转化思想。
3、通过学习使学生获得成功的体验，增强学习数学的兴趣，培养科学探究精神。
学习重点：让学生能学会结合函数性质求图形面积问题，并掌握函数中面积问题的相关计算。
学习难点：让学生体会数形结合思想、分类转化思想在此类问题中的就用。
学习方法：独立思考、合作探究学习过程：一、单一函数面积问题例：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－ 43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，点D (0，－6)在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，直线CD 交AB 于点E .（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）求△ADE 的面积；（3）y 轴上是否存在一点P ，使得S △PAD ＝ 12S △ADE ，若存在，请直接写出点P 的坐 标；若不存在，请说明理由.【解析】：（1）分别令x ＝0，y ＝0，求出点B 、A 的坐标，在Rt△AOB 中，利用勾股定理可求出AB 的长度，由折叠的性质可得出AC ＝AB ，结合OC ＝OA ＋AC 可得出OC 的长度，进而可得出点C 的坐标；（2）利用三角形内角和定理和全等三角形的性质求△ADE 的面积；（3）假设存在，设出点P 的坐标，通过列方程求解.解：(1)当x ＝0时，y ＝－ 43x ＋4＝4， ∴点B 的坐标为(0，4)．当y ＝0时，－ 43x ＋4＝0， 解得x ＝3， ∴点A 的坐标为(3，0)．在Rt△AOB 中，OA ＝3，OB ＝4，由勾股定理得AB ＝ √OA 2+OB 2 ＝5.由折叠的性质，可知∠BDA ＝∠CDA ，∠DBA ＝∠DCA ，AC ＝AB ＝5，∴OC ＝OA ＋AC ＝8.∴点C 的坐标为(8，0)；(2)∵∠DBA ＝∠DCA ，∠OAB ＝∠EAC ， ∴∠AEC ＝∠AOB ＝90°. 又∵∠BDA ＝∠CDA ， ∴AO ＝AE . 在Rt △AOD 和Rt △AED 中，{AO =AE AD =AD ∴Rt △AOD ≌Rt △AED (HL)．∵D (0，－6)，∴OD ＝6. ∴S △ADE ＝S △ADO ＝ 12OA ·OD ＝9； (3)存在；点P 坐标为(0，－3)或(0，－9)．二、两种函数结合面积问题例、如图①，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c （b ，c 为常数）交x 轴于点A (－3，0)和点B ，交y 轴于点C (0，3).（1）求抛物线的表达式；（2）若点P 在抛物线上，且S △AOP ＝4S △BOC ，求点P 的坐标；（3）如图②，连接AC 、DC 、AD ，设点Q 是线段AC 上的一动点，过点Q 作DQ ⊥x 轴，交抛物线于点D ，求线段DQ 的最大值，并求出△DAC 面积的最大值.【解析】：（1）把点A 、C 的坐标分别代入抛物线表达式，列出方程组，通过解方程组求解；（2）设点P 坐标为(x ，－x 2＋bx ＋c )，根据S △AOP＝4S △BOC 列出关于x 的方程，解方程求出x 的值，进而得到点P 的坐标；（3）设出点Q 的坐标，用含字母的代数式表示线段长度，利用二次函数的增减性求最大值，进而得到面积的最大值.解：(1)把A (－3，0)，C (0，3)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得解得∴该抛物线的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3；(2)∵y ＝－x 2－2x ＋3，对称轴为x ＝－1， ∴点B (1，0)．设点P 的坐标为(x ，－x 2－2x ＋3)，∵S △AOP ＝4S △BOC ， ∴ 12 ×3×|－x 2－2x ＋3|＝4× 12×1×3，整理得(x ＋1)2＝0或x 2＋2x －7＝0，解得x ＝－1或x ＝－1±2 √2 .则符合条件的点P 的坐标为(－1，4)或(－1＋2 √2－4)或(－1－2√2－4)；(3)设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋t ，将A (－3，0)，C (0，3)代入，得解得即直线AC 的解析式为y ＝x ＋3.设点Q 的坐标为(x ，x ＋3)(－3≤x ≤0)，则点D 的坐标为(x ，－x 2－2x ＋3)，∴DQ ＝(－x 2－2x ＋3)－(x ＋3)＝x 2 －3x ＝－(x ＋32)2＋94∵－1＜0，－3≤－32≤0，∴当x ＝－32 时，DQ 有最大值94 此时S △DAC ＝S △DAQ ＋S △DCQ ＝ 12×3× 94 ＝ 278.∴△DAC 面积的最大值为 278.三、随堂检测 0933b c c =--+⎧⎨=⎩，，23.b c =-⎧⎨=⎩，303k t t -+=⎧⎨=⎩，13k t =⎧⎨=⎩，1、(河北2017中考)如图，直角坐标系xOy 中，A(0，5)，直线x =-5与x 轴交于点D ，直线83983--=x y 与x 轴及直线x =-5分别交于点C ，E.点B ，E 关于x 轴对称，连接AB.(1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式；(2)设面积的和CDE ABDO S S S ∆=+四边形，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S S AOC ≠Δ，请通过计算解释他的想法错在哪里.【解答】解：(1)把y ＝0代入y ＝－ 38x － 398 得x ＝－13， ∴C 点坐标为(－13，0)．把x ＝－5代入y ＝－ 38x － 398 得y ＝－3， ∴E 点坐标为(－5，－3)． ∵点B ，E 关于x 轴对称， ∴B 点坐标为(－5，3)．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A (0，5)、B (－5，3)代入得 解得∴直线AB 的解析式为y ＝ 25x ＋5；(2)∵CD ＝8，DE ＝DB ＝3，OA ＝OD ＝5，∴S △CDE ＝ 12×8×3＝12，S 四边形ABDO ＝12×(3＋5)×5＝20， ∴S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ＝12＋20＝32； (3)∵当x ＝－13时，y ＝25x ＋5＝－0.2≠0， ∴点C 不在直线AB 上，即A 、B 、C 三点不共线， ∴他的想法错在将△CDB 与四边形ABDO 拼接后看成了△AOC .2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝mx ＋1与双曲线y ＝k x(k ＞0)相交于点A 、B ，点C 在x 轴正半轴上，点D (1，－2)，连接OA ，OD ，DC ，AC ，四边形AODC 为菱形.（1）求k 和m 的值；（2）根据图象写出反比例函数的值小于2时x 的取值范围；（3）设点P 是y 轴上一动点，且S △OAP ＝S 菱形OACD ，求点P 的坐标.【解答】解：(1)如解图，连接AD ，交x 轴于点E ，∵D (1，－2)，∴OE ＝1，ED ＝2.∵四边形AODC 是菱形，∴AE ＝ED ＝2，EC ＝OE ＝1.∴A (1，2).将A (1，2)代入直线y ＝mx ＋1可得m ＋1＝2，解得m ＝1.将A (1，2)代入反比例函数y ＝k x 可得2＝k 1，解得k ＝2； (2)∵当x ＝1时，反比例函数的值为2，∴当反比例函数的值小于2时，x 的取值范围为x ＜0或x ＞1； 553b k b =⎧⎨-+=⎩，，255.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，(3)∵OC ＝2OE ＝2，AD ＝2ED ＝4，∴S 菱形OACD ＝12OC ·AD ＝4.∵S △OAP ＝S 菱形OACD ，∴S △OAP ＝4. 设P 点坐标为(0，y )，则OP ＝|y |，∴12×|y |×1＝4，即|y |＝8， 解得y ＝8或y ＝－8.∴点P 的坐标为(0，8)或(0，－8).四、总结反思本节课我收获了：五、课后作业1. 如图，直线y ＝kx ＋b （k ≠0）与坐标轴分别交于A 、B 两点，OA ＝8，OB ＝6.动点P 从O 点出发，沿路线O →A →B 以每秒2个单位长度的速度运动，到达B 点时运动停止.（1）求点A 、B 的坐标；（2）当点P 在OA 上，且BP 平分∠OBA 时，求此时点P 的坐标；（3）设点P 的运动时间为t 秒(0≤t ≤4)，△BP A 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并直接写出当S ＝8时点P 的坐标.【解答】解：(1)∵OA ＝8，OB ＝6，∴点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(0，6)；(2)如解图，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，在Rt △AOB 中，由勾股定理得AB ＝OB 2＋OA 2＝10，在△BOP 和△BHP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BOP ＝∠BHP ，∠OBP ＝∠HBP ，BP ＝BP ，∴△BOP ≌△BHP (AAS).∴BH ＝BO ＝6，OP ＝PH ，则AH ＝AB －BH ＝4，AP ＝8－OP ，在Rt △AHP 中，AP 2＝PH 2＋AH 2，即(8－OP )2＝OP 2＋42，解得OP ＝3，则点P 的坐标为(3，0)；(3)由点P 的运动时间为t 秒可知，OP ＝2t ，∴AP ＝8－2t ，∴△BP A 的面积S ＝12AP ·OB ＝12×(8－2t )×6＝24－6t ， 则S 与t 之间的函数关系式为S ＝24－6t (0≤t ≤4)；当S ＝8时，点P 的坐标为(163，0). 【解法提示】当S ＝8时，24－6t ＝8，解得t ＝83，∴OP ＝2t ＝163， 则当S ＝8时，点P 的坐标为(163，0). 2.(2019石家庄桥西区二模)如图①，在直角坐标系中，一次函数的图象l 1与y 轴交于点A (0，2)，与一次函数y ＝x －3的图象l 2交于点E (m ，－5).(1)求m 的值及l 1的表达式；(2)直线l 1与x 轴交于点B ，直线l 2与y 轴交于点C ，求四边形OBEC 的面积；(3)如图②，已知矩形MNPQ ，PQ ＝2，NP ＝1，M (a ，1)，矩形MNPQ 的边PQ 在x 轴上平移，若矩形MNPQ 与直线l 1或l 2有交点，直接．．写出a 的取值范围.图① 图②【解答】解：(1)∵点E (m ，－5)在一次函数y ＝x －3的图象上，∴m －3＝－5，∴m ＝－2. 设直线l 1的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，∵直线l 1过点A (0，2)和E (－2，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，－2k ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，k ＝72，∴直线l 1的表达式为y ＝72x ＋2； (2)如解图，连接OE ，将y ＝0代入y ＝72x ＋2可得x ＝－47，则B 点坐标为(－47，0)， ∵C 点坐标为(0，－3)，点E 坐标为(－2，－5)∴S 四边形OBEC ＝S △OBE ＋S △OCE ＝12×47×5＋12×2×3＝317； (3)－47≤a ≤127或3≤a ≤6. 【解法提示】由题知，点N 的坐标为(a －2，1)，点Q 的坐标为(a ，0)，①矩形MNPQ 与直线l 1有交点，当点Q 在直线l 1上时，则0＝72a ＋2，解得a ＝－47； 当点N 在直线l 1上时，则1＝72(a －2)＋2，解得a ＝127.此时a 的取值范围为－47≤a ≤127；②矩形MNPQ 与直线l 2有交点，当点Q 在直线l 2上时，则0＝a －3，解得a ＝3；当点N 在直线l 2上时，则1＝(a －2)－3，解得a ＝6，此时a 的取值范围为3≤a ≤6.综上可知，当矩形MNPQ 与直线l 1或l 2有交点时a 的取值范围为－47≤a ≤127或3≤a ≤6.。
抛物线与面积专题复习学案
抛物线与面积专题复习（学案）【我的任务】（1）熟练掌握抛物线中特殊点的坐标求法，体会数形结合、方程等数学思想。
（2）会求抛物线中常见图形的面积，体会转化、建模等数学思想。
（3）培养发散思维能力，力求做到一题多解，多题归一。
【自主探究】——求抛物线中常见图形的面积1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？【反思归纳】（1）一般取在 上的线段为底边。
（2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需将图形 ，即用割或补的方法把它转化为若干个易于求面积的图形。
（3）解决该问题用到了 等数学思想。
图五图四 图六图二图一CE AB S ABC⋅=∆21图三【尝试应用】——知识整合2、已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P.（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；（2）求A 、B 、C 、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （3）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=,若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.变式二：在双曲线3y x=上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.【反思归纳】——万变不离其宗同底 高的三角形面积相等，平行线间的距离处处 ；该类问题最终可转化为方程组是否有解的问题.【拓展提高】——中考真题改编3、已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C.在抛物线上是否存在点N ，使得NBC ABC S S ∆∆=.【硕果累累】——感受收获的喜悦通过本节课的复习，我学会了……体会到了 的数学思想.【走进考场】——锲而不舍，金石可镂（2011，日照）如图，抛物线y=ax 2+bx （a 0）与双曲线y =xk相交于点A ，B . 已知点B 的坐标为（-2，-2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOx =4. 过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（3分） （2）计算△ABC 的面积；（4分）（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．（3（郯城五中 孟祥飞）。
高中数学人教A版选修2-2学案：第一章 1.7 定积分的简单应用含解析
定积分的简单应用预习课本P56～59，思考并完成下列问题(1)利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件？(2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积？[新知初探]1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f (x )在[a ，b ]上是连续函数，由直线y ＝0，x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积为S .f (x )的符号 平面图形的面积与定积分的关系f (x )≥0 S ＝⎠⎛a bf (x )d x f (x )<0S ＝－⎠⎛a b f (x )d x(2)一般地，如图，如果在公共的积分区间[a ，b ]上有f (x )>g (x )，那么直线x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积为S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x .[点睛] 对于不规则平面图形面积的处理原则定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解．2．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛a bv (t )d t .3．力做功(1)恒力做功：一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s ，则力F 所做的功为W ＝Fs .(2)变力做功：如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛a bF (x )d x .[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为v ＝v (t )，则物体在区间[a ，b ]上的位移为定积分⎠⎛a bv (t )d t ；物体在区间[a ，b ]上的路程为⎠⎛a b|v (t )|d t .[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x .( ) (2)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形面积为⎠⎛－2 2(4－x 2)d x .( )(3)速度是路程与时间的函数关系的导数．( )(4)一个物体在2≤t ≤4时，运动速度为v (t )＝t 2－4t ，则它在这段时间内行驶的路程为⎠⎛24(t 2－4t )d t .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围成的图形面积是( ) A ．2 B ．3 C.52 D ．4答案：B3．已知做自由落体运动的物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所走过的路程为( )A.13gt 20B. gt 20C. 12gt 20D.14gt 20答案：C4．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车从刹车到停车所前进的路程为________．答案：405利用定积分求平面图形的面积[典例] 求抛物线y 2＝2x 和直线y ＝－x ＋4所围成的图形的面积．[解] 先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一：选x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28()2x －x ＋4d x ＝423x 3220＋⎝⎛⎭⎫223x 32－12x 2＋4x 82＝18.法二：选y 作积分变量，则y 的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为 S ＝⎠⎛2－4⎝⎛⎭⎫4－y －y22d y ＝⎝⎛⎭⎫4y －y 22－y362－4＝18.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积． [活学活用]求曲线y ＝e x ，y ＝e －x 及直线x ＝1所围成的图形的面积．解： 如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x ，y ＝e －x ，解得交点为(0,1)， 所求面积为S ＝⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )10＝e ＋1e －2.求变速直线运动的路程、位移[典例] 有一动点P 从原点出发沿x 轴运动，在时刻为t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程和点P 的位移； (2)经过时间t 后又返回原点时的t 值． [解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点沿x 轴正方向运动， 当t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程 s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪ 40－⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪60＝0.(2)依题意，⎠⎛0t(8t －2t 2)d t ＝0， 即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，因为t ＝0对应于点P 刚开始从原点出发的情况，所以t ＝6为所求，(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．[活学活用]一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求点在t ＝4 s 时的位置及经过的路程．解：在t ＝4 s 时该点的位移为 ⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t ⎪⎪⎪4＝43(m)． 即在t ＝4 s 时该点距出发点43m.又因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， 所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0.所以在t ＝4 s 时的路程为s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝⎛⎭⎫t 33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪1－⎝⎛⎭⎫t 33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪31＋⎝⎛⎭⎫t 33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪ 43＝4(m).求变力做功[典例] 一物体在变力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，0≤x ≤2，x 2＋2x ，2≤x ≤5，(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向从x ＝0运动到x ＝5处，求变力所做的功．[解] 变力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛02(2x ＋4)d x ＋⎠⎛25(x 2＋2x )d x＝(x 2＋4x ) ⎪⎪⎪2＋⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2⎪⎪⎪52＝12＋60＝72(J)．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳． [活学活用]在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所用的力是200 N ，求变力F 做的功． 解：设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为F (x )＝kx (k >0)，当x ＝10 cm ＝0.1 m 时，F (x )＝200 N ，即0.1k ＝200，得k ＝2 000，故F (x )＝2 000x ， 所以力F 把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所做的功是W ＝⎠⎛0 0.12 000x d x ＝1 000x 2⎪⎪⎪1＝10(J)．层级一 学业水平达标1．在下面所给图形的面积S 及相应的表达式中，正确的有( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④解析：选D ①应是S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛48(2x －8)d x ，③和④正确．故选D.2．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0 s 到t ＝3 s 时间段内的位移是( )A ．31 mB ．36 mC ．38 mD ．40 m解析：选B S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B. 3.如图所示，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323D.353解析：选C S ＝⎠⎛-3 1(3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－13－1＝53，F (－3)＝－9＋9－9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.4．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝( )A.14B.12C.13D ．1解：选A 图形如图所示，S ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛0114x 2d x＝⎠⎛0134x 2d x＝14x 310＝14. 5．曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10D ．9解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.∵两函数y ＝x 3－3x 与y ＝x 均为奇函数，∴S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2·⎠⎛02(4x －x 3)d x＝2⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪20＝8，故选B.6．若某质点的初速度v (0)＝1，其加速度a (t )＝6t ，做直线运动，则质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为________．解析：v (2)－v (0)＝⎠⎛02a (t )d t ＝⎠⎛026t d t ＝3t 2⎪⎪⎪2＝12，所以v (2)＝v (0)＋3×22＝1＋12＝13. 答案：137．一物体沿直线以速度v ＝1＋t m/s 运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是______．解析：S ＝⎠⎛0101＋t d t ＝23(1＋t )32 ⎪⎪⎪10＝23⎝⎛⎭⎫1132－1. 答案： 23⎝⎛⎭⎫1132－1 8．由y ＝1x，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为________．解析：画出曲线y ＝1x (x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示的阴影部分面积．∴S ＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2－ln 1＝ln 2.答案：ln 29．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2⎪⎪⎪30＝92. 10. 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解：(1)∵y ＝f (x )是二次函数且f ′(x )＝2x ＋2， ∴设f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又f (x )＝0有两个等根，∴4－4c ＝0，∴c ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)y ＝f (x )的图象与两坐标所围成的图形的面积S ＝⎠⎛-10(x 2＋2x ＋1)d x ＝13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪-1＝13. 层级二 应试能力达标1．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8 JB ．10 JC ．12 JD ．14 J解析：选D 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x ) ⎪⎪⎪31＝14(J)，故应选D.2．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )A.12B ．3－322 C ．6＋3 2D ．6－3 2解析：选D ⎠⎛3636t d t ＝6t ⎪⎪⎪63＝6－32，故应选D.3．以初速40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析：选A 由v ＝40－10t 2＝0，得t 2＝4，t ＝2. ∴h ＝⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 3⎪⎪⎪2＝80－803＝1603(m)．故选A. 4．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析：选D 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪2＝4.5．椭圆x 216＋y 29＝1所围区域的面积为________．解析：由x 216＋y 29＝1，得y ＝±3416－x 2.又由椭圆的对称性知，椭圆的面积为S ＝4⎠⎛043416－x 2d x ＝3⎠⎛0416－x 2d x. 由y ＝16－x 2，得x 2＋y 2＝16(y ≥0)．由定积分的几何意义知⎠⎛0416－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝4和曲线x 2＋y 2＝16(y ≥0)及x 轴所围成图形的面积，∴⎠⎛0416－x 2d x ＝14×π×16＝4π，∴S ＝3×4π＝12π.答案：12π6.如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为____________．解析：∵S 阴＝2⎠⎛01(e －e x )d x ＝2(e x －e x ) ⎪⎪⎪1＝2，S 正方形＝e 2，∴P ＝2e 2.答案：2e27．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝⎛⎭⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)， 故B(1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C(3,3)，8．函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x ，若f(x)为实数集R 上的单调函数，且a ≥－1，设点P 的坐标为(b ，a )，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S .解：当a ＝0时，由f (x )在R 上单调，知b ＝0.当a ≠0时，f (x )在R 上单调⇔f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立．∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2＋36a ≤0，a ≥－1.∴a ≤－19b 2且a ≥－1.因此满足条件的点P (b ，a )在直角坐标平面xOy 的轨迹所围成的图形是由曲线y ＝－19x 2与直线y ＝－1所围成的封闭图形．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－19x 2，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，如图，其面积S ＝⎠⎛3－3⎝⎛⎭⎫1－19x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x －x 327⎪⎪⎪3-3＝(3－1)－(－3＋1)＝4.(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝sin α－cos x ，则f ′(x )等于( ) A ．sin x B ．cos x C ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 解析：选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝⎛⎦⎤0， 22 B.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎤－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0， 22 D.⎣⎡⎭⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎤0， 22 解析：选A ∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x ≤22时，f ′(x )≤0，故f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤0，22. 5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12 C ．0D ．－1解析：选A f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0， 则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1，∴f (x )在[0,1]上的最大值为1.6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，∵f ′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－310，67 B.⎝⎛⎭⎫－85，－316 C.⎝⎛⎭⎫－83，－116 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－310∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞ 解析：选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫103a ＋1⎝⎛⎭⎫－76a ＋1<0，解得a <－310或a >67. 故选D.8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：选B 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0，∴当x <1时， g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.10．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．11．已知定义在R 上的函数f (x )，f (x )＋x ·f ′(x )＜0，若a ＜b ，则一定有( ) A ．af (a )＜bf (b ) B ．af (b )＜bf (a ) C ．af (a )＞bf (b )D ．af (b )＞bf (a )解析：选C [x ·f (x )]′＝x ′f (x )＋x ·f ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )＜0， ∴函数x ·f (x )是R 上的减函数， ∵a ＜b ，∴af (a )＞bf (b )．12．若函数f (x )＝sin x x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定解析：选A f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x－cos x ＝－x sin x .∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0,1)上是减函数，得g (x )<g (0)＝0，故f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上是减函数，得a >b ，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.答案：2314．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝__________.解析：S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32a0＝23a 32＝a 2，∴a ＝49. 答案：4915．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)， 因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0， 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， ∵π2>π－2>1>π－3>0， ∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b . 答案：c <a <b 16．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)． 又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点． 解：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， 解得a ＝0，b ＝－3. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x . 因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2， 于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2. 当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时， g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点． 当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0， 故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极值点为－2.18. (本小题满分12分)(北京高考)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f(x)＝x e2－x＋e x.由f′(x)＝e2－x(1－x＋e x－1)及e2－x>0知，f′(x)与1－x＋e x－1同号．令g(x)＝1－x＋e x－1，则g′(x)＝－1＋e x－1.所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．19．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．解：(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，解得a＝2，b＝1.(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．S′(x)＝6x＋1－2，令S′(x)＝0，得x＝2.当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．所以当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(1－x )(a 为常数)．(1)若f (x )在x ＝－1处有极值，求a 的值并判断x ＝－1是极大值点还是极小值点； (2)若f (x )在[－3，－2]上是增函数，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝2ax －21－x，x ∈(－∞，1)， f ′(－1)＝－2a －1＝0， 所以a ＝－12.f ′(x )＝－x －21－x ＝(x ＋1)(x －2)1－x. ∵x <1，∴1－x >0，x －2<0， 因此，当x <－1时f ′(x )>0， 当－1<x <1时f ′(x )<0， ∴x ＝－1是f (x )的极大值点．(2)由题意f ′(x )≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立， 即2ax －21－x≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立 ∴a ≤1－x 2＋x 在x ∈[－3，－2]上恒成立，∵－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14 ∈[－12，－6]， ∴1－x 2＋x ∈⎣⎡⎦⎤－16，－112， ∴⎝⎛⎭⎫1－x 2＋ x min ＝－16，a ≤－16.即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－16. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)由f (x )≥h (x )， 得m ≤xln x在(1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2， 当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增． 故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e. 所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a . 函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减， 当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增． 又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3， 要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点， 则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2. 解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )． ①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点． ②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a2，则f (b )>a2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎫b 2－32b >0， 故f (x )存在两个零点．③设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )． 若a ≥－e2，则l n(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)内单调递增． 又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0；当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0.因此f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增．又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．综上，a的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x1<x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，又f(x)在(－∞，1)内单调递减，所以x1＋x2<2等价于f(x1)>f(2－x2)，即f(2－x2)<0.由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)e x2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)e x2.设g(x)＝－x e2－x－(x－2)e x，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－e x)．所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)＝0，故当x>1时，g(x)<0.从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.。
人教版七年级数学下册《平面直角坐标系中面积的计算问题》教学设计
人教版七年级第二册第七章《平面直角坐标系中面积的计算问题》教学设计一、教学内容：平面直角坐标系中面积的计算问题。
二、设计理念：课堂中应该充分发挥学生的主体因素，让学生自主获取知识。
七年级学生的思维比较活跃，具有了一定的自主探究、分析问题和解决问题的能力，应培养学生的逻辑分析能力和准确语言表达能力，让学生通过操作、探究、讨论、总结得到平面直角坐标系中面积的计算方法。
教学中，教师是教学情景的设计着，是学生学习的引导者和促进者，应培养学生自主学习和探究学习的能力，培养学生良好的学习习惯和品质，培养学生的积极性、主动性、独立性和创造性。
三、教学目标：1.进一步认识平面直角坐标系,了解点、图形与坐标的对应关系，能求出给定坐标的点构成的图形的面积；2.通过对数学图形规律探究的过程中培养学生的数学思维；四、学情分析：本节课是一节复习课，在此之前，学生已经学习了平面直角坐标系的有关概念，了解了点的坐标意义以及学习了坐标的平移与应用，并且会计算三角形、正方形、长方形等简单图形的面积，本节课通过教师的引导，学生独立思考，将前面所学习的这些知识综合起来，逐步展开知识点，由简到难，让学生学会利用平面直角坐标系求解图形面积，进一步让学生体会数形结合、转化数学思想。
五、重、难点：学习重点：建立平面直角坐标系求解图形面积以及根据图形面积求点的坐标；学习难点：运用割补法求解平面直角坐标系中图形面积；六、教学课时：1课时七、教学准备：多媒体，PPT ，学案，三角板；八、教学过程：1.知识回顾：（1）平面直角坐标系中坐标点与线段之间的关系：①A （1x ,y ）,B(2x ,y ) 纵坐标相等的两个点所形成的线段长度为： ②A （x ,1y ）,B( x ,2y ) 横坐标相等的两个点所形成的线段长度为： 例1：1.若A(3,2)，B(-1,2)，则线段AB=2.若A(-2,-3)，B(-2,-1),则线段AB=【设计意图：回顾平面直角坐标系中面积的计算问题中相关知识，结合坐标图形让学生更加直观明白平面直角坐标系中点坐标与线段长度之间联系】（2）平面直角坐标系中坐标点到坐标轴距离：①点A （x,y ）到X 轴距离表示为：②点A （x,y ）到Y 轴距离表示为：例2：若A(-3,2)，则到X 轴的距离为： 到Y 轴的距离为：【设计意图：通过复习点到坐标轴的距离，进而为后面点到直线距离的理解铺垫，同时也让学生明白平面直角坐标中三角形的高是什么，高为多少】（3）思考：平面直角坐标系内的点与图形面积之间有何联系？【设计意图：进一步认识平面直角坐标系中坐标点、线段、图形面积之间对应关系，为在具体问题中应该如何规范解题提供依据】2.课堂探究：例3：在平面直角坐标系中，原点O(0,0),已知点A(0,3),B(4,0)，求三角形OAB的面积；【设计意图：通过例题，引导学生利用数形结合思想解决此类问题，让学生感受求解三角形面积需要找到三角形的“底”和“高”对应线段，应用“底×高÷2”直接计算面积，同时规范学生作答，板书时紧扣思考3中平面直角坐标系内的点与图形面积联系】变式1：在平面直角坐标系中，已知点A(0,3),B(4,0)，C(-2,0),求三角形CAB的面积；【设计意图：通过变式，让学生经历求平面直角直角坐标系中有关三角形面积问题，对此类问题的解决方案有一个系统的方法】练习1：在平面直角坐标系中，已知点A(3,4),B(4,0)，C(-2,4),求三角形CAB的面积；【设计意图：由图形的差异，让学生明白三角形的底不一定在“下面”，引导学生去找钝角三角形的高，使学生更加熟练的掌握由点到线段再到三角形面积的求解过程】例4：已知A(-3,3),B(2,-2),C(6,1)，求△ABC面积？思考1：此时△ABC的面积可以采用“底×高÷2”吗？为什么？思考2：那如何计算△ABC的面积？【设计意图：让学生明白平面直角坐标系内的三角形不是所有面积都可以用“底×高÷2”，让学生明白为什么此类三角形不能用直接法，进而让学生学会判断哪类图形不可以直接法求三角形面积，同时引出间接法“割补法”，将三角形问题转化为四边形问题进行解决。
与二次函数有关的面积问题教案
例题:已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），求（1）抛物线解析式（2）抛物线与x轴的交点A、B，与y 轴交点C学生完成后展示过程、交流（3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE思考：这几个图形求面积有何共同点（三角形边特殊吗）小结：此部分为基础问题，学生独立完成。
学生展示、交流学生独立完成，展示、交流学生归纳总结复习待定系数法和求二次函数与坐标轴交点的方法。
给学生展示的舞台，让学生有发挥的空间。
内容比较简单，主要让学生体会当三角形的一边在坐标轴上时，就以这边为底，做高求面积即可。
同时也体会坐标与线段长度的关系。
激发学生的学习兴趣。
使学生亲身经历规律产生的过程提高学生归纳总结的能力。
教师活动学生活动设计意图追问：你能求四边形OCDB的面积吗你有几种方法你肯定行：△ADE的面积如何求呢小结：不规则图形或三边不具特殊性的三角形如何求面积能力提升：（4）若点F（x,y)为抛物线上一动点，其中-1≤x≤4，求当△AEF面积最大时点F的坐标及最大面积。
学生积极思考、小组共同讨论、集体展示。
学生积极思考、小组共同讨论、集体展示。
学生归纳总结学生先独立思考，后小组交流一题多解，开阔学生思路，体会割补法在求图形面积时的强大作用。
提高学生归纳总结的能力。
动点问题是学生的难点，让学生体会以静带动的思考方式，突破难点。
同时应用割补法求三角形面积，突出本节课重点。
本题已在单解决问题：（二次函数检测）17．已知平面直角坐标系xOy中, 抛物线2(1)y ax a x=-+与直线y kx=的一个公共点为(4,8)A. （1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积.课堂总结：本节课你都收获了什么（知识、方法、数学思想等）作业：1、整理学案2、数学练习题学生大胆猜测，发言、交流、展示。
二次函数的应用——最大面积问题教学设计
二次函数的应用——最大面积问题的教学设计一、学情分析：众所周知，二次函数与解析几何是初中数学的两个难点，而在中考中往往都是将二者融合形成综合性问题，当然也是学生一直感觉头疼的一个问题。
新课程标准指出，学生对有关的数学内容进行探索、实践和思考的过程就是数学学习的过程，也是学生获得数学活动经验的过程。
将时间还给学生、以学生为主体是每一节课的追求。
通过学生自主学习在反比例函数中求三角形时所用到的方法分享，对其中分割法中的竖直高乘以水平宽的一半进行着重分析，探究其基本原理，从而用此通法解决二次函数中三角形最大面积问题，当然重点分析此发的同时也鼓励一题多解、多解归一。
二、教学目标1、借助反比例函数中三角形面积的几种计算方法总结得出通法：“水平宽乘以竖直高的一半”。
2、通过自主学习小组合作讨论，从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
3、运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题。
三、教学重难点：教学重点：运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题教学难点：从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
四、教学设计【自主学习】学生课前自主完成、并在上课时小组讨论、交流并与大家分享。
的图象都引例：如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．方法提炼：补：补成矩形减去三个直角三角形。
补：延长CA与y轴交于点D，用三角形BCD面积减去三角形BAD面积。
初中数学面积问题教案
初中数学面积问题教案教学目标：1. 理解并掌握面积的概念，能够正确计算简单图形的面积。
2. 能够运用面积解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
教学内容：1. 面积的概念和定义2. 计算简单图形的面积3. 面积的实际应用问题教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的图形的周长知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 提问：同学们，你们知道我们学过哪些图形的周长呢？它们是如何计算的？二、新课讲解（15分钟）1. 引入面积的概念，讲解面积的定义和意义。
2. 讲解面积的计算方法，如矩形、三角形、平行四边形等。
3. 举例讲解如何运用面积解决实际问题，如计算花园的面积、计算物体的表面积等。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置一些简单的面积计算题目，让学生独立完成。
2. 引导学生运用面积解决实际问题，培养学生的应用能力。
四、总结与拓展（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，让学生明确面积的概念和计算方法。
2. 提问：同学们，你们还能想到其他运用面积解决的实际问题吗？3. 引导学生思考面积在现实生活中的应用，培养学生的创新思维能力。
教学评价：1. 课后布置一些有关面积的练习题目，检验学生对知识的掌握程度。
2. 在课堂上观察学生的表现，了解他们在解决问题时的思维过程。
教学反思：本节课通过讲解面积的概念和计算方法，让学生掌握面积的基本知识，并能够运用面积解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与课堂活动，培养他们的逻辑思维能力和创新思维能力。
同时，要关注学生的个体差异，因材施教，使他们在课堂上都能够得到有效的学习。
初中面积问题教案
初中面积问题教案一、教学目标：1. 让学生掌握面积的概念，理解面积的计算方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生运用面积知识解决生活中的问题。
3. 培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
二、教学内容：1. 面积的概念：面积是指平面图形所占的空间大小。
2. 面积的计算方法：平面图形的面积可以通过公式计算，如矩形的面积=长×宽，三角形的面积=底×高÷2等。
3. 实际问题：运用面积知识解决生活中的问题，如计算房间面积、土地面积等。
三、教学重点与难点：1. 重点：掌握面积的概念，学会计算不同图形的面积。
2. 难点：运用面积知识解决实际问题。
四、教学方法：1. 情境教学法：通过生活实例引入面积的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 合作学习法：分组讨论，培养学生合作解决问题的能力。
3. 实践操作法：让学生动手操作，提高学生的实践能力。
4. 引导探究法：引导学生主动探究，培养学生的问题解决能力。
五、教学步骤：1. 导入新课：通过展示生活中的实例，如房间面积、土地面积等，引导学生思考面积的概念。
2. 讲解面积的概念：讲解面积的定义，让学生理解面积的意义。
3. 学习面积的计算方法：讲解不同图形的面积计算公式，如矩形、三角形等，让学生学会计算面积。
4. 实践操作：让学生动手计算一些简单图形的面积，巩固所学知识。
5. 解决问题：引入实际问题，让学生运用面积知识解决问题。
6. 总结与拓展：总结本节课所学内容，布置课后作业，拓展学生的知识运用。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对知识的掌握程度。
3. 实际问题解决能力：通过课后实践，观察学生运用面积知识解决实际问题的能力。
4. 小组合作学习：评估学生在合作学习中的表现，如沟通、协作等。
通过以上教学设计，希望能够帮助学生更好地掌握面积知识，提高学生解决实际问题的能力。
寒假八年级数学培优学案一次函数与图形的面积
八年级数学培优学案（5）---一次函数与图形的面积问题例1．直线b x y +=2与坐标轴围成的三角形的面积是9,求b 的值。
及时练习1：1. 直线y=x+3的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线a 经过原点与线段AB 交于C ，把△ABO 的面积分为2：1的两部分，求直线a 的函数解析式例2．如图，一次函数的图像与x 轴交于点B （-6，0），交正比例函数的图像于点A ，点A 的横坐标为-4，△ABO 的面积为15，求直线OA 的解析式及时练习21．点B 在直线y=-x+1上，且点B 在第四象限，点A （2，0）、O （0，0），△ABO 的面积为2，求点B 的坐标2. 如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P（1）求点P的坐标（2）求△PAB的面积3. 已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求（1）这两条直线的函数关系式（2）它们与x轴围成的三角形面积4. 已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B（1）求两直线交点C的坐标（2）求△ABC的面积（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积为6，求出点P的坐标，若不能请说明理由5.如图，直线y ＝-34x+4与y 轴交于点A ，与直线y ＝54x+54交于点B ，且直线y ＝54x+54与x 轴交于点C ，求△ABC 的面积。
例3．已知：如下图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （5，3）、B （2，-2）、C （6，-4），求△ABC 的面积.例4. 直线3+=kx y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，43=OA OB ，点C(x ,y)是直线y ＝kx ＋3上与A 、B 不重合的动点。
（1）求直线3+=kx y 的解析式；（2）当点C 运动到什么位置时△AOC 的面积是6；x及时练习4.1. 如图直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
初中数学_二次函数应用面积最值问题教学设计学情分析教材分析课后反思
二次函数的应用—面积最值问题教学设计【学习目标】：1、能根据不同的实际问题，建立二次函数数学模型，进一步发展数学建模应用意识；2、会求几何图形面积的最值，并能注意到自变量对最值的影响；3、体会数学建模、转化、数形结合等数学思想方法。
【学习重点】：应用二次函数数学模型解决实际问题中的面积最值问题。
【学习难点】：把实际问题转化成二次函数的数学模型；自变量对最值的影响。
【学习过程】：一、热身展身手（学好数学，用好数学）问题1：在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边）若设AB=x，则BC=花园面积y= （写顶点式），x的取值范围是，当x= 时，y有最值是㎡。
问题:2：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），求运动过程中，△CPQ 的面积最大值。
.二、动手又动脑 （合作探究，体验成功）例题学习：例1、如图，抛物线的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点M 是第四象限抛物线上一点，求四边形MAOC 的面积的最大值．A B 213222y x x =--自变量的取值范围对最值的影响问题1的变式训练：例2、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是6m 和15m,要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积y的最大值和最小值．巩固练习：问题2变式训练如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=4cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），若运动时间为t ，求运动过程中，△CPQ 的面积y 最大值.*2. 巩固提升已知：如图，在RT △ABC 中，∠C=90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ．点P 由B 出发沿BA 的方向向点A 匀速平移，速度为1cm/s ；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2cm/s ，连接PQ,当其中一点停止，另一点也停止运动．⑴求△APQ 面积的最大值；C A B⑵求四边形BPQC 面积的最小值.三、总结见提升 （分享所得，提高更大！）你在知识和方法上有哪些收获和提高？你还有什么需要继续请教的地方？四、成果展示 （收获硕果，满载而归！）1、如图，矩形ABCD 的两边长AB =18cm ，AD =4cm ，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 2）.（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求△PBQ 的面积的最大值. C A BPQ*2、如图,现要用长度为6m的材料制作上部为两个正方形，下部为一个矩形组成的矩形窗户，求窗户的最大面积.五、课后作业整理补充导学案.二次函数的应用面积最值问题学情分析1、学生年龄特点：初四学生具有丰富的想象力、好胜心理。
4.3 列一元二次方程解决问题(3)面积问题—学案与巩固案
4.3 列一元二次方程解决问题（3）—面积问题设计：孙祥审核：孙兴华一、学习目标：1.经历和体验列一元二次方程解决问题的过程。
进一步体会一元二次方程也是刻画数量关系的有效数学模型。
2.会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解。
进一步提高分析问题和解决问题的能力。
二、知识导学：（一）、自学质疑：问题1.一根长为4cm的绳子能否围成一个面积是1cm2的矩形？问题2. 一根长为4cm的绳子能否围成一个面积是1.2cm2的矩形？（二）、互动探究：问题3. 一根长为22cm的铁丝（1）能否围成面积是30cm2的矩形？（2）能否围成面积是32cm2的矩形？并说明理由。
分析：1.问题中涉及的已知数什么？未知数是什么？2.如何找出问题中的相等关系？3.你对问题中（2）的结果有什么感悟？4.猜一猜这根铁丝围成的矩形中，面积最大是多少？解：归纳：解决以上这类能不能、存不存在的问题，其实就是将其转化为一元二次方程是否有实数根的问题。
（三）、交流展示：课本：P98练习（四）、矫正反馈：补充习题：P67 T1、2三、知识巩固：（一）、基础检测：1.用一条长24cm 的铁丝围成一个斜边长10cm 的直角三角形，则两直角边的长分别为（ ）（A ）4cm ，8cm （B ）6cm ，8cm （C ）4cm ，10cm （D ）7cm ，7cm2.若把一个正方形的一边增加2cm ，另一边增加1cm ，得到的矩形比正方形的面积多14cm 2， 则原正方形的边长为 （ ）（A ）3 cm （B ）4 cm （C ）5 cm （D ）8 cm3.直角三角两直角边长的比是3 ：4，斜边长是10 cm ，则这个直角三角形的面积等于 cm 24. 用22 cm 的铁丝，折成一个面积为30 cm 2的矩形，则此矩形的长是 cm ，宽是 cm.（二）、迁移应用：5.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ， BC=12cm,点P 从点A 沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动； 同时点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，若有一点到终点，则运动停止。
《面积的变化》教学案
《面积的变化》教学案课题：苏教版小学数学六年级第十二册第三单元《面积的变化》执教时间：2009.03.02执教班级；海师附小六年级四班执教老师;袁冬梅教学过程：【课件出示一个长方形】师﹕这是一个长方形，我现在拖住它的一个角，就相当于把这个长方形按一定的比例放大。
【课件演示】你发现了什么？生1：长方形的长和宽都变大了。
生2：长方形的面积也变大了。
师：这堂课，我们就来探究平面图形按一定的比例放大后面积的变化规律。
【课件出示放大前后的两个长方形，并标有数据】【课件出示题目】观察：大长方形与小长方形的长的比是（）︰（），宽的比是（）︰（），那么大长方形是由小长方形按（）︰（）的比放大的。
生：大长方形与小长方形的长的比是3︰1，宽的比是3︰1，那么大长方形是由小长方形按3︰1的比放大的。
猜测：大长方形与小长方形的面积比是（）︰（）。
生1：大长方形与小长方形的面积比是9︰1。
生2：大长方形与小长方形的面积比是9︰1。
验证：你用什么办法验证你的猜测的？生1：我是通过计算来验证的：放大后的长方形的面积是9乘6等于54平方厘米，放大前的长方形的面积是3乘2等于6平方厘米。
54︰6就等于9︰1。
生2：在大长方形里面去摆小长方形，长里面摆3个，可以摆３排，这样可以摆9个。
那么大长方形与小长方形的面积比是9︰1。
【课件演示】师:你有什么发现?生1：小长方形按3︰1的比放大后，所得到的大长方形与小长方形面积的比为9︰1，9和1各是3和1的平方。
生2：看来放大后与放大前的面积比就是长度的平方比。
师：说得都很好。
刚才我们研究了长方形放大后，面积的变化规律，这一规律也适用于其它平面图形吗？这是下面我们要探索的问题。
下面同桌两人为一组，选择同一种平面图形来研究，两人各自先在格子纸上画出大小不同的同一种图形，再按不同的比放大，最后研究面积的变化规律。
【同桌先独立完成，再交流】【全班交流】１组：我们这一桌研究的是正方形，我是将它按2︰1放大的，放大后的面积与放大前的面积的比为4︰1，同桌是按3︰1放大的，放大后的面积与放大前的面积的比为9︰1。
2021年最新寒假班《五年级思维数学》个性化学案-第7次课《面积问题》
创博教育（南头分校）寒假班个性化学案-第7次课五年级《思维数学》学员姓名：学校：授课人：性别：年级：科目：思维数学本次授课内容：面积问题下次课内容：和差问题名师引路计算长方形、正方形的面积，我们需要熟记有关公式：长方形的面积＝长×宽正方形的面积＝边长×边长在日常生活中，我们经常会遇到求面积的问题。
对于规则的图形，我们可以用公式去求；对于不规则的图形，则需要通过合理的分解、切割、平移等方法，将它们转化为规则图形来计算面积。
作业课前检查《过关斩将》完成情况：优□良□中□差□建议：教学过程【挑战一】：★实验小学有一块长方形操场，长60米，宽40米，现在把它的长和宽都扩大10米，扩大后比原来操场面积大多少平方米?练习1：①有一个长方形的游泳池长50米，宽40米，现在把长和宽都扩大20米，比原来的游泳池面积大多少平方米?② 育才小学有一块长方形操场，长80米，宽50米，现在把它的长和宽都扩大10米，比原来操场面积大多少平方米?③ 用一根绳子围成一个最大的正方形，它的边长是6米，如果用它围成个长8米的长方形，它的面积减少多少平方米?【挑战二】：★ 有一块长方形场地，长10米，宽6米，四周围有一条2米宽的道路，道路的面积是多少平方米?练习2：① 有一块长方形的草坪，中间一条宽2米的小道将两边正好分成了两个正方形。
已知长方形草坪长18米，求每块正方形草坪的面积和这条路的面积。
② 有一块长方形草地，长20米，宽15米，在它的四周向外筑一条宽2米的小路，求小路的面积。
6米10米22草地③ 公园里新建一块草坪(如图中阴影部分)求它的面积。
(单位:米)【挑战三】：★ 计算下图中阴影部分的面积（单位：厘米）？ 练习3：① 两个相同的长方形，长8分米，宽3分米，按下图的样子重叠在一起，求这个图形的面积？② 大正方形的边长是10厘米，求图中小正方形的面积。
③ 求下图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）12050503030 44224410663【挑战四】：★有一个长方形，如果把它的长减少6米，面积就减少240平方米，如果把它的宽增加4米，面积增加200平方米，求这个长方形的面积。
4.7.1一元二次方程的应用(面积问题)学案(1)
课题：4.7.1一元二次方程的应用（面积问题）学历案学习目标：1.通过分析面积问题中的数量关系，能把实际问题中的等量关系抽象为一元二次方程来解决问题.2.认识方程模型的重要性，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的有效的数学模型.3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.学习重点：会列出一元二次方程解决简单的实际问题学习难点：把实际问题中的等量关系抽象为一元二次方程的过程课前、课中任务单一、前置检测（1）教室面积54平方米长比宽的两倍少3米，求教室的长和宽.可列方程为__________________（2）你学过哪些解方程的方法？（3）解方程（10-2x）（12-3x）=42二、新知探究例已知一本数学书长为26cm宽为18.5cm，厚为1cm，一张长方形包书纸如图所示，它的面积为1260cm2，虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围城的四角均为大小相同的正方形. 求正方形的边长.思路分析：本题的等量关系是包书纸的长×宽=1260，引导学生用x表示出小正方形的边长，分别用含x的代数式表示出包书纸的长和宽，从而列出方程.三、变式练习：1. 如图所示，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长.2.如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.思路提示：通过平移将小路平移到如图2所示的位置，再设未知数，列一元二次方程求解.3. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=04.如图，有一矩形空地，一边靠墙，这堵墙的长为18m，另三边由一段总长度为35m的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m2，求矩形空地的长和宽．四、归纳总结：列方程解应用题的一般步骤是:1.审:审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系?2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;3.列:列代数式,列方程;4.解:解所列的方程;5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活.面积问题常见图形有以下几种五、反馈评价1. 一个矩形周长为28cm，若它的面积为40cm2，则这个矩形的长为_______cm，宽为_______cm2.如图，一块享有宽度相等的花边的长方形十字绣，它的长为120cm，宽为80cm，如果十字绣中央长方形的面积是6000cm2，则花边的宽为_____.3.如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，自重有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2:1，如果使得彩条所占面积是图案的面积的1975，则竖彩条的宽度为( )A .1cmB .2cm C.19cm D.1cm或19cm4.如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m．现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？六、中考链接（2017潍坊23题）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为时，裁掉的正方形边长多大？。
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第 1 页共 2 页中考专题复习--函数图象中的面积问题
【中考要求】
1.学会用代数法表示与函数图象相关的几何图形的面积，并能用函数图象的性质解决相关问题；
2.领会转化、数形结合、分类讨论的数学思想在函数问题中的应用
. 【学习过程】
一、基础练习
1.直线y=-3x+6的图象与坐标轴交于
A 、
B 两点，则△ABO 的面积是________.2.二次函数y=-x 2+2x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点
C ，△ABC 的面积为_______.
3.反比例函数x k
y 的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足
是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为_______.
4.如图，已知半径为1的⊙A 、⊙B 关于原点O 中心对称，则反比例函数
k y x 的图象与⊙A 、⊙B 相交组成的阴影部分的面积等于
_______（结果保留π）．二、合作探究例1.如图，直线y=-3x+6交x 轴、y 轴于A 、B 两点，直线y=x+2交x 轴、y 轴于C 、D 两点,两直线交于点 E.求四边形ODEA 的面积．
例2.如图，已知点A 在x 轴上，∠OAB=90°，双曲线x k
y 与AB 交于点C ，与OB 交于点D.
(1)若点B 的坐标为(6，4)，点D 为OB 中点，则△AOC 的面积是多少？
(2)若OD ：DB=1：2，若△OBA 的面积等于9，求k 的值.
第1题
第2题第3题第4题。