专题椭圆的离心率解法大全

专题：椭圆的离心率

一，利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 2

21⎪⎭

⎫

⎝⎛-=a b e ）

1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率=e

3

2

2，椭圆1422=+m y x 的离心率为2

1，则=m [解析]当焦点在x 轴上时，

32124=⇒=-m m ； 当焦点在y 轴上时，316

214=⇒=-m m

m ， 综上3

16

=

m 或3 3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是

5

3 4，已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12

2=+n

y m x 的离心率为 [解析]由⇒⎪⎩

⎪⎨⎧≠=+=0

222

2mn n m n n

m n ⎩⎨

⎧==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 5，已知)0.0(12

1>>=+n m n

m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为23

6，设椭圆22

22b

y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的

距离，则椭圆的离心率是2

1

。

二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e

1，在∆Rt ABC 中，

90=∠A ，1==AC AB ，如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 (

)

36-=

e

2， 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且

901=∠BDB ,

则椭圆的离心率为( ) [解析]

=⇒=-⇒-=-⋅e ac c a c

b

a b 221)(21

5-

3，以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是13-

变式（1）：以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13-

4,椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2

=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则

椭圆的离心率e ？

解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= c

a

= 3-1

变式（1）：椭圆x 2 a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？

解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1

变式（2） 椭圆x 2 a 2 +y 2

b 2

=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，

PF 2 ∥AB,求椭圆离心率？

解：∵｜PF 1｜= b 2 a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=a PF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2

∴a 2

=5c 2 e=

55

变式(3):将上题中的条件“PF 2 ∥AB ”变换为“PO ∥AB (O 为坐标原点)”

相似题：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?

解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2+b 2

a 2+

b 2+a 2 =(a+c)2 =a 2+2ac+

c 2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以a 2 e 2

+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52(舍去)

变式(1):椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5

2

, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？

点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°

引申：此类e=5-1

2

的椭圆为优美椭圆。

性质：（1）∠ABF=90°

（2）假设下端点为B 1 ,则ABFB 1 四点共圆。 （3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。 变式(2): 椭圆

12

22

2=+b y a x (a ＞b ＞0)的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过椭圆的焦点，则

椭圆的离心率e =

2

1

5- ． 提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c ，又等于直角三角形AOB 斜边上的高，∴由面积得：22b a r ab +⋅=，

但c

r =

4，设椭圆）

（0b a 1b

y a x 22

22>>=+的左、右焦点分别为21F F 、，如果椭圆上存在点P ，使︒=∠90PF F 21，求离心率e 的取值范围。

解：设()()()0,c F ,0,c F ,y ,x P 21- 法1：利用椭圆范围。

由→

→

⊥P F P F 21得222c y x =+，将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得2

222222b a b a c a x --=2

222)(e

a c a -=。 由椭圆的性质知22a x 0<≤，得），以12

2

[

e ∈。 附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1类似） 法2：判别式法。