现代控制理论--1.状态空间模型

uc 1 0 u 1 1 c 0 i i C C
P：非奇异矩阵
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x Px
11
1 0 1 P 0 C
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u (t )
x1 x2 : xn
1.2 状态空间模型的建立
1 0 x 1 0 C x1 u 1 1 R x x 1.举例 2 2 L L L 例1-1：建立RCL电路的状态方程和输出方程。 x1 y 1 0 x 2. 建立状态空间表达式的步骤 2 1)选取 n个状态变量；确定输入、输出变量；
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1.2 状态空间模型的建立
1.举例 例1-1：建立如图1所示的RCL电路的 状态方程和输出方程。
R + u(t)
输入
L + uc(t) _
输出
1.2 状态空间模型的建立
+ y _
定义状态变量 x1 ( t ) uc ( t ) x 2 ( t ) i ( t ) 二阶微分方程，选择两个状态变量 状态向量
y c1
c2 cn x
约当标准型
的解为特征根。
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( I A)x
0 的解为特征向量。
3.利用线性变化化为对角标准型 （1）A为任意形式的方阵，有n个互异实特征值 1 , 2 , , n 对应的特征向量 p1 , p 2 , , p n ，满足：
[例1-3]
变换系统为对角标准型。
x( t ) [ x1 ( t ), x 2 ( t )]T
i(t)
图1
_
解：
c ( t ) RCu c ( t ) uc ( t ) u( t ) LCu
微分方程 传递函数
定义输出变量 y( t ) x1 ( t ) 整理得一阶微分方程组为
di(t) uc u ( t ) dt du i(t ) C c dt Ri ( t ) L
y(t )
U ( s)
G(s)
Y ( s)
多输入多输出定常线性系统 Ax bu x Ax Bu x 写成矩阵形式有：
y Cx Du
T T
线性连续时间系统状态空间表达式
线性离散时间系统状态空间表达式 x (k 1) G (k ) x (k ) H (k )u(k )
n r维 输入矩阵 , 表征输入对每个状态变 量的作用
状态空间表达式的系统框图
和经典控制理论相类似，可以用框图表示系统信号传递 的关系。对于上述系统，它们的框图分别如图a和b所示。


c1n c2 n , c mn
d 1r d 2r , d mr
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x Px
Ax b u x y y cx d u
P变换
非奇异线性变换
A P 1AP, b P 1b, c cP, d d
用途： 通过线性非奇异变换，可以使 A P 1 AP 规范化 (对角化、约当化），且不改变系统的原有性质， 20 是等价变换。
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1.3 状态矢量的线性变换
1.3 状态矢量的线性变换
1.两种标准型
1 x
2
1 x 1 u n 1
y c1
c2 cn x
2. 方阵的特征值与特征向量 设 A 是 n 阶方阵，如果数 和 n 维非零向量 x 使 关系式 x Ax成立，那么数 称为方阵 A 的特征 值，非零向量 x 称为 A 的对应于 的特征向量。
m n维 输出矩阵
表征输出和每个状态变 量的关系
m r维前馈矩阵 , 又称为 直接传递矩阵 表征输入对输出的直接 传递关系 通常 D＝0
d m2
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例1-2 考虑系统
6y u y 5 y 8y
标量系统结构图
1 x2 x 2 x3 x 3 6 x1 8 x2 5 x3 u x y x1
输出方程
1 x1 (t ) 0 C 1 u (t ) R L x2 (t ) L
矩阵 相乘
(t ) 0 x 1 1 x2 (t ) L
x (t ) y 1 0 1 x2 ( t )
对角标准型
x Ax ( A)x 0
(I A)x 0
方阵 A 的 n 次多项式f ( ) I A 为A 的特征 多项式。 I A 0 为 A 的特征方程。
I A 0
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1 1 0 0 1 1 x u x 1 1 1
状态变量选择不同，状态方程也不同。 若按照如下所示的微分方程：
duc (t) 1 i(t) dt C di(t) 1 R 1 uc (t ) i (t ) u (t ) dt L L L x 0

1.2 状态空间模型的建立
两组状态变量之间 的关系
x1 uc x2 i
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ) x y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u(t )
线性离散时间系统状态空间表达式
x (k 1) G (k ) x (k ) H (k )u(k ) y ( k ) C ( k ) x ( k ) D ( k ) u( k )
系统描述中常用的基本概念
• 系统的外部描述 • 系统的内部描述 传递函数 状态空间描述
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1.1状态空间模型基本概念 •（1）状态：是完全地描述动态系统运动状况的信 息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统 运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为 状态。 •（2）状态变量：是指足以完全描述系统运动状态 的最小个数的一组变量。 •（3）状态空间：以状态变量x1 (t ), , xn (t ) 为坐标轴所 构成的n维空间。在某一特定时刻t，状态向量 x (t ) 是 状态空间的一个点。
1.3 状态矢量的线性变换
P：非奇异线性变换矩阵 单输入 单输出 系统
Ax bu x Fra Baidu biblioteky cx du
2)根据系统微分方程列出n个一阶微分方程； 状态变量、输入变量、参数 3)根据系统微分方程，列出m个代数方程。 输出变量、状态变量、输入变量、参数 结论： (1)状态变量选取具有非唯一性。状态变量个数系统的阶次； (2)状态变量具有独立性； (3)不同组状态变量之间可做等价变换线性变换。
y ( k ) C ( k ) x ( k ) D ( k ) u( k )
y2 ym , m 1维输出向量
T
…
y cx du
状态空间描述法示意图
x x 1 u u 1
a11 a A 21 a n1
x2 u2

x n , n 1维 状态向量 u r , r 1维 输入向量
1.2 状态空间模型的建立
1 1 (t ) x2 (t ) x C 1 R 1 2 ( t ) x1 ( t ) x 2 ( t ) u( t ) x L L L y x1 ( t )
状态方程
•状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对 一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间 表达式。 图1所示电路,若 uc (t )为输出,取 x1 (t ) uc (t ), x2 (t ) i (t ) 作为状态变量,则其状态空间表达式为
x1 uc c x2 u 1 i C
1 C x1 u c ,则得到一阶微分方程组： 选 x1 uc , x2 u 1 R 1 2 x x2 1 x2 x L L L
Ap i i p i (i 1,2, , n)
1 2 1 1 x1 7 x x 2 0 1 0 x2 2 u 3 x 0 2 1 x3 3
Ap1
1
0
x1 x1 x Px 2 2
即
x 1 1 0 1 2 1 x1 R x2 y x u x2 LC L LC 1 0 0 1 u 1 x x R L LC LC
a12 a1n a 22 a 2 n , a n 2 a nn
n n 维系统矩阵 , 表征各状态变量间的关 系
b11 b B 21 bn1
b12 b22 bn 2
b1r b2 r , bnr
UC ( s) 1 U ( s ) LCs 2 RCs 1
只反映外部情况，无法获知内部联系
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duc (t) 1 i(t) dt C 1 R 1 di(t) uc ( t ) i ( t ) u( t ) dt L L L
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1.2 状态空间模型的建立
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1.1 状态空间模型基本概念 •（4）状态方程：描述系统状态变量与系统输入变 量间关系的一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分 方程组（离散系统）。 •（5）输出方程：在指定系统输出的情况下，该输 出变量与状态变量、输入变量之间的m个代数方程， 称为系统的输出方程。
线性连续时间系统状态空间表达式
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1 x 1 0 x1 0 C u 1 R 1 2 x x2 L L L x 1 y 1 0 x 2
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x3
试写出其状态空间表达式。 解：选择状态变量：
u
, x3 x1 y, x2 y y
则状态空间表达式为：

3 x

5

x2

x1 y x1
1 x2 x 2 x3 x 3 6 x1 8 x2 5 x3 u x y x1
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8 6
18
y y1
c11 c C 21 c m1
d 11 d D 21 d m1
状态方程
输出方程
…
c12 c 22 cm 2
d 12 d 22
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ) x y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u(t )
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现代控制原理预览
建立
本部分主要教学内容
求解 转换 第二章 系统性能分析 状态反馈控制器设计 第一章 状态空间模型建立
建模
可控性 可观性 稳定性
状态空间 表达式
分析
状态反馈
第三章
设计
状态观测器 最优控制
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第一章
状态空间模型建立
本章主要内容： • 1-1 状态空间模型基本概念 • 1-2 状态空间模型的建立 • 1-3 状态矢量的线性变换 • 1-4 状态空间表达式的解 • 1-5 从状态空间表达式求传递函数阵