2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第五章 第一节 数列的概念与简单表示法 Word版含解析

课时规范练 A 组 基础对点练

1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a 4的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8

D ．10

解析：a 4＝S 4－S 3＝20－12＝8. 答案：C

2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －

1

B.⎝⎛⎭⎫32n －1

C.⎝⎛⎭⎫23n －1

D.12

n －1 解析：由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1，所以

S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1

，故选B. 答案：B

3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4，n ∈N *，则a n ＝( ) A ．2n ＋

1

B ．2n

C ．2n －

1

D ．2n －

2

解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)，∴a n ＋1＝2a n ，∵a 1＝2a 1－4，∴a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，故选A. 答案：A

4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3

a 5的值是( )

A.1516

B.158

C.34

D.38

解析：由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝1

2＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5

＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝3

4.

答案：C

5．(2018·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)

3，若a 4＝32，则a 1＝

__________.

解析：∵S n ＝a 1(4n －1)

3，a 4＝32，

∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12.

答案：12

6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 3＋a 4＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝2n －2n －1＝2n －1，所以a 3＋a 4＝22＋23＝12. 答案：12

7．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋2

3a n .

(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．

解析：(1)由S 2＝4

3a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，

解得a 2＝3a 1＝3.

由S 3＝5

3a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，

解得a 3＝3

2(a 1＋a 2)＝6.

(2)由题设知a 1＝1.

当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋1

3a n －1，

整理得a n ＝n ＋1

n －1

a n －1.

于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝4

2a 2，…，

a n －1＝

n

n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1

a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘， 整理得a n ＝n (n ＋1)2

.

显然，当n ＝1时也满足上式． 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)

2

.

8．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.

(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解析：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1

所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94

， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.

(2)由对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<3

2，即得k >－3.

所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．

B 组 能力提升练

1．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23

D ．24

解析：由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1＝a n －23，则{a n }是等差数列，又a 1＝15，∴a n ＝473－23

n .∵a k ·a k

＋1<0，∴

⎝⎛⎭⎫473－23k ·⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452

，∴k ＝23.故选C.

答案：C

2．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1

a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等

于( ) A.1

210 B.129 C.15

D.110

解析：∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，即a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2

a n

，故

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是等差数列．又∵d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝1

5.

答案：C

3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( )