西安交通大学数学专业考研试题
(完整word版)西安交通大学数理统计研究生试题
2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，则929X U Y++=++服从的分布是_______ .解：(9)t ．2，设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计，且1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差满足_______ .解：1212ˆˆˆˆ()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.解：秩和检验、游程总数检验．4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是ˆβ=_______ . 解：1ˆ-''X Y β=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设12(,,,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则____D___ .（A ）(0,1)nXN ； （B ）22()nS n χ；（C ）(1)()n Xt n S-； （D ）2122(1)(1,1)nii n X F n X=--∑.2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量n 增大，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ .（A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大；（C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，AS 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+； （B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.5，在一元回归分析中，判定系数定义为2TS R S =回，则___B____ . （A ）2R 接近0时回归效果显著； （B ）2R 接近1时回归效果显著； （C ）2R 接近∞时回归效果显著； （D ）前述都不对. 三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）已知总体X 的概率密度函数为1, 0(),0, xe xf x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其它其中未知参数0θ>, 12(,,,)n X X X 为取自总体的一个样本，求θ的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．解：（1）()101()xv E X xf x dx xe dx θθθ-∞∞-∞====⎰⎰，用111ni i v X X n ===∑代替，所以∑===ni iX Xn11ˆθ．（2）11ˆ()()()()n i i E E X E X E X n θθ=====∑，所以该估计量是无偏估计． 五、（本题10分）设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x θθθ=+<<，其中未知参数1θ>-，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计．解：1 (1)() , 01() 0 , nn i i i x x L θθθ=⎧+∏<<⎪=⎨⎪⎩其它当01i x <<时，1ln ()ln(1)ln ni i L n x θθθ==++∑，令1ln ()ln 01ni i d L nx d θθθ==+=+∑，得1ˆ1ln nii nxθ==--∑．六、（本题10分）设总体X 的密度函数为e ,>0;(;)0,0,x x f x x λλλ-⎧=⎨≤⎩ 未知参数0λ>，12(,,)n X X X 为总体的一个样本，证明X 是1λ的一个UMVUE ． 证明：由指数分布的总体满足正则条件可得222211()ln (;)I E f x E λλλλλ⎡⎤∂-⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦，1λ的的无偏估计方差的C-R 下界为 2221221[()]11()nI n n λλλλλ-⎡⎤⎢⎥'⎣⎦==． 另一方面()1E X λ=， 21Var()X n λ=， 即X 得方差达到C-R 下界，故X 是1λ的UMVUE ． 七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为007.0=S 公斤, 试问：（1）在显著性水平05.0=α下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平0.025α=，结果会怎样？参考数据: 023.19)9(2025.0=χ,919.16)9(205.0=χ,535.17)8(2025.0=χ,507.15)8(205.0=χ．解：（1）()()2222021:0.005,~8n S H σχχσ-≤=，则应有： ()()2220.050.0580.005,(8)15.507P χχχ>=⇒=， 具体计算得：22280.00715.6815.507,0.005χ⨯==>所以拒绝假设0H ，即认为苹果重量标准差指标未达到要求．（2）新设 20:0.005,H σ≤ 由2220.025280.00717.535,15.6817.535,0.005χχ⨯=⇒==< 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间. 解：设22, X Y S S 分别表示总体X Y ，的样本方差，由抽样分布定理可知221121(1)(1)Xn S n χσ--，222222(1)(1)Yn S n χσ--，由F 分布的定义可得211222121222221222(1)(1)(1,1)(1)(1)XX YY n S n S F F n n n S S n σσσσ--==----．对于置信度1α-，查F 分布表找/212(1,1)F n n α--和1/212(1,1)F n n α---使得 []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 即22222121/2122/212//1(1,1)(1,1)X Y X Y S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭， 所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 22221/212/212//, (1,1)(1,1)X Y X Y S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．2009(上)《数理统计》考试题(B 卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而1215(,,)X X X 是来自X 的样本，则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______ . 解：(10,5)F ．2，ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解：1ˆσ-'2Cov(β)=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则___B___ .（A ）1~(0,1)3X N -； （B ）1~(0,1)1X N -； （C ）1~(0,1)9X N -； （D ~(0,1)X N ． 2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；（D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，AS 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+； （B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.5，在多元线性回归分析中，设ˆβ是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则___B____ .（A ）ˆn E ()=0ε； （B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ； （C ）ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（ 未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：（1）101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-． （2）222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，因为()00D X θ≥>，，所以22(4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他,似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12ˆmax ,,,nX X X θ=是θ的极大似然估计． 六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦． 另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===， 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ，由以前的观测可知056μ=．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==,问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：t 分布表 χ2分布表解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=， 确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．由05.0=α，定出临界值1315.2025.02/==t t α，从而求出拒绝域{}1315.2>t ．而60,16==x n ，从而 ||0.8 2.1315t ===<，接受假设0H ，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间. 解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭， 所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．2011-2012（下）研究生应用数理统计试题（A ）1 设,,,12X X X n 为正态总体()2~X N μσ，的样本，令11nd X i ni μ=-∑=，试证()E d ，()221D d n σπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭。
西安交大842考研真题
西安交大842考研真题西安交大842考研真题考研对于很多人来说是一个重要的里程碑，而西安交通大学作为国内知名的高校之一，其考研真题备受关注。
本文将介绍西安交大842考研真题，并对其进行一定的分析和解读。
西安交大842考研真题是指2018年西安交通大学硕士研究生招生考试的数学一试卷，该试卷共有两个大题，分别是选择题和填空题。
选择题部分包括单选题和多选题，而填空题部分则需要考生填写答案。
这样的题型设置旨在全面考察考生的基础知识和解题能力。
在选择题部分，考生需要在有限的时间内快速做出正确选择。
这就要求考生具备扎实的数学基础和较高的解题能力。
同时，选择题的难度也较高，需要考生在复杂的情境下灵活运用所学知识。
因此，考生在备考过程中需要注重基础知识的学习和理解，并通过大量的练习来提高解题能力。
填空题部分则更加注重考生对知识的掌握和运用能力。
考生需要根据题目给出的条件，运用所学的数学知识进行推理和计算，最终得出正确的答案。
这种题型对考生的思维能力和逻辑思维能力提出了更高的要求。
因此，考生在备考过程中需要注重理论知识的学习和实际应用能力的培养。
通过对西安交大842考研真题的分析和解读，我们可以发现考研真题的出题思路和考点。
首先，考研真题注重对考生基础知识的考察，要求考生具备扎实的数学基础。
其次，考研真题注重对考生解题能力的考察，要求考生能够在复杂的情境下灵活运用所学知识解决问题。
最后，考研真题注重对考生实际应用能力的考察，要求考生能够将所学的理论知识运用到实际问题中，得出正确的答案。
对于考生来说，熟悉和掌握考研真题是备考的重要一环。
通过做真题，考生可以了解考试的难度和考点，从而有针对性地进行备考。
同时，做真题也可以提高考生的解题能力和应试能力，增强考试的信心。
总之，西安交大842考研真题作为备考的重要参考资料，对于考生来说具有重要的意义。
通过对真题的分析和解读，考生可以了解考研的出题思路和考点，从而有针对性地进行备考。
西安交通大学数学分析1997-2008
故在区间 (0,1) 内有且仅有一数 x0 ,使 x0 = f (x0 ) .
∫ 五.
( 10′ )计算曲线积分
C
⎛ ⎜⎝
2e2 x
sin
y
−
1 2
y
⎞ ⎟⎠
dx
+
⎛ ⎜⎝
e2
x
cos
y
−
1 2
x ⎞⎟⎠dy
,其中曲线
C
:
x2
+
y2
=
1从
130
(−1, 0) 到 (1, 0) 的上半圆弧.
陇东学院数学系许万银
(A) ∫∫ xy dσ = 4∫∫ xydσ ;
B1
B2
(B) ∫∫ xydσ = 4∫∫ xydσ ;
B1
B2
(C) ∫∫ ydσ = 4∫∫ ydσ ;
B1
B2
(D) ∫∫ ydσ = 4∫∫ ydσ .
B1
B2
⑸设ϕ(x) 在 x = a 处连续且ϕ(a) < 0 ,则 f (x) = (x − a) ϕ(x) 在 x = a 处 ( C )
1
dx 具有相
x ln x
n=2 n ln n
2 x ln x
∫ ∫ +∞
同的敛散性.而
1
u
dx = lim
1
dx = lim ln ln x u = lim (ln ln u − ln ln 2) = +∞ ,因此级
2 x ln x
u→+∞ 2 x ln x
u →+∞
2 u→+∞
∑∞
数
1 发散.
n=2 n ln n
西安交通大学数理统计研究生试题
2009(上)《数理统计》考试题(A卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体和相互独立，且都服从正态分布，而和是分别来自和的样本，则服从的分布是_______ .解：．2，设与都是总体未知参数的估计，且比有效，则与的期望与方差满足_______ .解：．3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.解：秩和检验、游程总数检验．4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ .解：正态性、方差齐性、独立性．5，多元线性回归模型中，的最小二乘估计是_______ .解：．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设为来自总体的一个样本，为样本均值，为样本方差，则____D___ .（A）； （B）；（C）； （D）.2，若总体，其中已知，当置信度保持不变时，如果样本容量增大，则的置信区间____B___ .（A）长度变大； （B）长度变小； （C）长度不变； （D）前述都有可能.3，在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一定时，下列说法中正确的是____C___ .（A）减小时也减小； （B）增大时也增大；（C）其中一个减小，另一个会增大； （D）（A）和（B）同时成立.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设为总离差平方和，为误差平方和，为效应平方和，则总有___A___ .（A）； （B）；（C）； （D）与相互独立.5，在一元回归分析中，判定系数定义为，则___B____ .（A）接近0时回归效果显著； （B）接近1时回归效果显著；（C）接近时回归效果显著； （D）前述都不对.三、（本题10分）设总体、，和分别是来自和的样本，且两个样本相互独立，和分别是它们的样本均值和样本方差，证明，其中.证明：易知， ．由定理可知， ．由独立性和分布的可加性可得．由与得独立性和分布的定义可得．四、（本题10分）已知总体的概率密度函数为其中未知参数, 为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．解：（1），用代替，所以．（2），所以该估计量是无偏估计．五、（本题10分）设总体的概率密度函数为，其中未知参数，是来自总体的一个样本，试求参数的极大似然估计．解：当时，，令，得．六、（本题10分）设总体的密度函数为 未知参数，为总体的一个样本，证明是的一个UMVUE．证明：由指数分布的总体满足正则条件可得，的的无偏估计方差的C-R下界为．另一方面，，即得方差达到C-R下界，故是的UMVUE．七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为公斤, 试问：（1）在显著性水平下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平，结果会怎样？参考数据: , , , ．解：（1），则应有：，具体计算得：所以拒绝假设，即认为苹果重量标准差指标未达到要求．（2）新设由则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．八、（本题10分）已知两个总体与独立，，，未知，和分别是来自和的样本，求的置信度为的置信区间.解：设分别表示总体的样本方差，由抽样分布定理可知， ，由分布的定义可得．对于置信度，查分布表找和使得，即，所求的置信度为的置信区间为．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．2009(上)《数理统计》考试题(B卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体服从正态分布，而是来自的样本，则服从的分布是_______ .解：．2，是总体未知参数的相合估计量的一个充分条件是_______ .解：．3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___.解：检验、柯尔莫哥洛夫检验．4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型中，的最小二乘估计的协方差矩阵_______ .解：．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体，是的样本，则___B___ .（A）； （B）；（C）； （D）．2，若总体，其中已知，当样本容量保持不变时，如果置信度减小，则的置信区间____B___ .（A）长度变大； （B）长度变小； （C）长度不变； （D）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ .（A）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的；（C）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；（D）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设为总离差平方和，为误差平方和，为效应平方和，则总有___A___ .（A）； （B）；（C）； （D）与相互独立.5，在多元线性回归分析中，设是的最小二乘估计，是残差向量，则___B____ .（A）； （B）；（C）是的无偏估计； （D）（A）、（B）、（C）都对.三、（本题10分）设总体、，和分别是来自和的样本，且两个样本相互独立，和分别是它们的样本均值和样本方差，证明，其中.证明：易知， ．由定理可知， ．由独立性和分布的可加性可得．由与得独立性和分布的定义可得．四、（本题10分）设总体的概率密度为其中参数 未知，是来自总体的一个样本，是样本均值，（1）求参数（2）证明不是的无偏估计量．解：（1），令，代入上式得到的矩估计量为．（2），因为，所以．故不是的无偏估计量．五、（本题10分）设总体服从上的均匀分布，是来自总体的一个样本，试求参数的极大似然估计．解：的密度函数为似然函数为显然时，是单调减函数，而，所以是的极大似然估计．六、（本题10分）设总体服从分布，为总体的样本，证明是参数的一个UMVUE．证明：的分布律为．容易验证满足正则条件，于是．另一方面，即得方差达到C-R下界的无偏估计量，故是的一个UMVUE．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布，由以前的观n α=0.1α=0.05α=0.02514 1.3450 1.7613 2.144815 1.3406 1.7531 2.131516 1.3368 1.7459 2.1199n α=0.1α=0.05α=0.0251421.06423.68526.1191522.30724.99627.4881623.34224.29628.845测可知．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得,问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：t分布表χ2分布表解：设：．构造检验统计量，确定拒绝域的形式．由，定出临界值，从而求出拒绝域．而，从而 ，接受假设，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、（本题10分）已知两个总体与独立，，，未知，和分别是来自和的样本，求的置信度为的置信区间.解：设，则，所求的置信度为的置信区间为 ．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．2011-2012（下）研究生应用数理统计试题（A）1设为正态总体的样本，令，试证，。
西安交大西工大 考研备考 工程数学复变函数前四章测试题及答案
《工程数学二复变函数前四章》试卷一、选择题1、设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是[ ] (A) i +-43 (B) i +43 (C) i -43 (D) i --432、设)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是[ ] (A) 若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 (B) 若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 (C) 若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是常数 (D) 若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数3、设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则()⎰+cdz iy x 2＝[ ](A) i 6561- (B) i 6561+- (C) i 6561-- (D) i 6561+4、设级数i211e n n n π∞=∑的收敛性为（ ）.（A ）通项不趋于0 （B ）通项趋于0，发散 （C ）绝对收敛 （D ）条件收敛 5、设幂级数21(34i)nnn z ∞=+∑的收敛半径为（ ）.（A ）5 （B ）15 （C（D二、填空题（每空3分，共15分） 1、设5=z ，43π=-)arg(i z ，则z ＝________。
2、方程01=--z e 的全部解为________________。
3、设幂函数()f z α取ln ()e f z α的分支，则极限ilim(1)n n n→∞+=_______________。
. 4、幂级数1n n nz ∞=∑的和函数为______。
5、设2201ln(1)d zn n n C z ζζζ∞=-=∑⎰，则=3C ______。
三、计算积分 1、⎰=++1242z z z dz2、()⎰=-13z zdz a z e ，其中a 为1≠a 的任何复数3、dz z z e c z⎰-2)1(，其中C 为正向圆周：2=||z ； 四设2222yx yx i y x y x z f +-+++=)(，指出)(z f 的解析区域，并求出其导数。
西安交通大学数理统计研究生试题
2009<上>《数理统计》考试题<A 卷>与参考解答一、填空题〔每小题3分,共15分〕1,设总体X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N ,而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本,则929X U Y++=++服从的分布是_______.解：(9)t ．2,设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计,且1ˆθ比2ˆθ有效,则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差满足_______.解：1212ˆˆˆˆ()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3,"两个总体相等性检验〞的方法有_______与_______.解：秩和检验、游程总数检验．4,单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______. 解：正态性、方差齐性、独立性．5,多元线性回归模型=+Y βX ε中,β的最小二乘估计是ˆβ=_______. 解：1ˆ-''X Y β=()X X ． 二、单项选择题〔每小题3分,共15分〕1,设12(,,,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则____D___.〔A 〕(0,1)nXN ； 〔B 〕22()nS n χ；〔C 〕(1)()n Xt n S-； 〔D 〕2122(1)(1,1)nii n X F n X=--∑.2,若总体2(,)XN μσ,其中2σ已知,当置信度1α-保持不变时,如果样本容量n增大,则μ的置信区间____B___.〔A 〕长度变大； 〔B 〕长度变小； 〔C 〕长度不变； 〔D 〕前述都有可能.3,在假设检验中,分别用α,β表示犯第一类错误和第二类错误的概率,则当样本容量n 一定时,下列说法中正确的是____C___.〔A 〕α减小时β也减小； 〔B 〕α增大时β也增大；〔C 〕,αβ其中一个减小,另一个会增大； 〔D 〕〔A 〕和〔B 〕同时成立. 4,对于单因素试验方差分析的数学模型,设T S 为总离差平方和,e S 为误差平方和,AS 为效应平方和,则总有___A___.〔A 〕T e A S S S =+； 〔B 〕22(1)AS r χσ-；〔C 〕/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----； 〔D 〕A S 与e S 相互独立.5,在一元回归分析中,判定系数定义为2TS R S =回,则___B____. 〔A 〕2R 接近0时回归效果显著； 〔B 〕2R 接近1时回归效果显著； 〔C 〕2R 接近∞时回归效果显著； 〔D 〕前述都不对. 三、〔本题10分〕设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ,112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本,且两个样本相互独立,X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差,证明12(2)X Y t n n +-,其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+, (0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--,22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、〔本题10分〕已知总体X 的概率密度函数为1, 0(),0, xe xf x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其它其中未知参数0θ>, 12(,,,)n X X X 为取自总体的一个样本,求θ的矩估计量,并证明该估计量是无偏估计量．解：〔1〕()101()xv E X xf x dx xe dx θθθ-∞∞-∞====⎰⎰,用111ni i v X X n ===∑代替,所以∑===ni iX Xn11ˆθ．〔2〕11ˆ()()()()ni i E E X E X E X n θθ=====∑,所以该估计量是无偏估计． 五、〔本题10分〕设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x θθθ=+<<,其中未知参数1θ>-,12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本,试求参数θ的极大似然估计．解：当01i x <<时,1ln ()ln(1)ln ni i L n x θθθ==++∑,令1ln ()ln 01ni i d L nx d θθθ==+=+∑,得1ˆ1ln nii nxθ==--∑．六、〔本题10分〕设总体X 的密度函数为e ,>0;(;)0,0,x x f x x λλλ-⎧=⎨≤⎩未知参数0λ>,12(,,)n X X X 为总体的一个样本,证明X 是1λ的一个UMVUE ． 证明：由指数分布的总体满足正则条件可得222211()ln (;)I E f x E λλλλλ⎡⎤∂-⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦,1λ的的无偏估计方差的C-R 下界为2221221[()]11()nI n n λλλλλ-⎡⎤⎢⎥'⎣⎦==．另一方面()1E X λ=, 21Var()X n λ=, 即X 得方差达到C-R 下界,故X 是1λ的UMVUE ． 七、〔本题10分〕合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重,得其样本标准差为007.0=S 公斤, 试问：〔1〕在显著性水平05.0=α下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? 〔2〕如果调整显著性水平0.025α=,结果会怎样？参考数据:023.19)9(2025.0=χ,919.16)9(205.0=χ, 535.17)8(2025.0=χ,507.15)8(205.0=χ．解：〔1〕()()2222021:0.005,~8n S H σχχσ-≤=,则应有： ()()2220.050.0580.005,(8)15.507P χχχ>=⇒=, 具体计算得：22280.00715.6815.507,0.005χ⨯==>所以拒绝假设0H ,即认为苹果重量标准差指标未达到要求．〔2〕新设 20:0.005,H σ≤ 由2220.025280.00717.535,15.6817.535,0.005χχ⨯=⇒==< 则接受假设,即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．八、〔本题10分〕已知两个总体X与Y独立,211~(,)X μσ,222~(,)Y μσ,221212, , , μμσσ未知,112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本,求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设22, X Y S S 分别表示总体X Y ，的样本方差,由抽样分布定理可知221121(1)(1)Xn S n χσ--,222222(1)(1)Yn S n χσ--,由F 分布的定义可得211222121222221222(1)(1)(1,1)(1)(1)XX YY n S n S F F n n n SS n σσσσ--==----．对于置信度1α-,查F 分布表找/212(1,1)F n n α--和1/212(1,1)F n n α---使得[]/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-,即22222121/2122/212//1(1,1)(1,1)X Y X Y S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭,所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为22221/212/212//, (1,1)(1,1)X Y X Y S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭． 九、<本题10分>试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．2009<上>《数理统计》考试题<B 卷>与参考解答一、填空题〔每小题3分,共15分〕1,设总体X 服从正态分布(0,4)N ,而1215(,,)X X X 是来自X 的样本,则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______. 解：(10,5)F ．2,ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______. 解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3,分布拟合检验方法有_______与_______. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4,方差分析的目的是_______.解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5,多元线性回归模型=+Y βX ε中,β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______. 解：1ˆσ-'2Cov(β)=()X X ．二、单项选择题〔每小题3分,共15分〕1,设总体~(1,9)X N ,129(,,,)X X X 是X 的样本,则___B___.〔A 〕1~(0,1)3X N -； 〔B 〕1~(0,1)1X N -； 〔C 〕1~(0,1)9X N -； 〔D~(0,1)X N ． 2,若总体2(,)XN μσ,其中2σ已知,当样本容量n 保持不变时,如果置信度1α-减小,则μ的置信区间____B___.〔A 〕长度变大； 〔B 〕长度变小； 〔C 〕长度不变； 〔D 〕前述都有可能.3,在假设检验中,就检验结果而言,以下说法正确的是____B___. 〔A 〕拒绝和接受原假设的理由都是充分的；〔B 〕拒绝原假设的理由是充分的,接受原假设的理由是不充分的； 〔C 〕拒绝原假设的理由是不充分的,接受原假设的理由是充分的； 〔D 〕拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4,对于单因素试验方差分析的数学模型,设T S 为总离差平方和,e S 为误差平方和,AS 为效应平方和,则总有___A___.〔A 〕T e A S S S =+； 〔B 〕22(1)AS r χσ-；〔C 〕/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----； 〔D 〕A S 与e S 相互独立.5,在多元线性回归分析中,设ˆβ是β的最小二乘估计,ˆˆ=-εY βX 是残差向量,则___B____.〔A 〕ˆn E ()=0ε； 〔B 〕1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ； 〔C 〕ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计； 〔D 〕〔A 〕、〔B 〕、〔C 〕都对.三、〔本题10分〕设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ,112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本,且两个样本相互独立,X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差,证明12(2)X Y t n n +-,其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+, (0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--,22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、〔本题10分〕设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（ 未知,12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本,X 是样本均值,〔1〕求参数；的矩估计量θθˆ〔2〕证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：〔1〕101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰,令()X E X =,代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-． 〔2〕222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦,因为()00D X θ≥>，,所以22(4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、〔本题10分〕设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布,12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本,试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为 似然函数为显然0θ>时,()L θ是单调减函数,而{}12max ,,,n x x x θ≥,所以{}12ˆmax ,,,nX X X θ=是θ的极大似然估计． 六、〔本题10分〕设总体X 服从(1,)B p 分布,12(,,)n X X X 为总体的样本,证明X 是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件,于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦． 另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===, 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量,故X 是p 的一个UMVUE ．七、〔本题10分〕某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ,由以前的观测可知056μ=．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==,问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异<α=0.05>．附表如下：t 分布表 χ2分布表解：设0H ：0=μμ．构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=,确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．由05.0=α,定出临界值1315.2025.02/==t t α,从而求出拒绝域{}1315.2>t ．而60,16==x n ,从而||0.8 2.1315t ===<,接受假设0H ,即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、〔本题10分〕已知两个总体X与Y独立,211~(,)X μσ,222~(,)Y μσ,221212, , , μμσσ未知,112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本,求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-,则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭, 所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭．九、<本题10分>试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．2011-2012〔下〕研究生应用数理统计试题〔A 〕1 设,,,12X X X n 为正态总体()2~X N μσ，的样本,令11nd X i ni μ=-∑=,试证()E d ,()221D d n σπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.<10分> 2设总体X 服从正态()2N μσ，,,,,12X X X n 为其样本,X 与2S 分别为样本均值与方差.又设1X n +与,,,12X X X n 独立同分布,试求统计量Y .〔其中122()11n S X X i n i =-∑-=〕<10分> 3其中(01)θθ<<为未知参数,已知取得了样本值1231,2,1x x x ===,求θ的矩估计和最大似然估计. <10分>4证明样本k 阶原点矩=k A ∑=n i k i X n 11是总体X 的k 阶原点矩=k μ)(kX E 的无偏估计量.<10分>5假定某商场某种商品的月销售量服从正态分布),(2σμN ,σμ,未知.为了决定商店对该商品的进货量,需对μ作估计,为此,随机抽取若干月,其销售量分别为：64,57,49,81,76,70,59,求μ的置信度为0.95的置信区间.<10分>6 一种元件,要求其使用寿命不得低于1000〔小时〕.现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950〔小时〕.已知该种元件寿命服从标准差100σ=〔小时〕的正态分布,试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格.<10分>7 某小学一年级共有三个班级,在一次数学考试中从三个班随机抽取12,15,13个学生的成绩.设学生成绩服从正态分布且方差相等,样本的方差分析表如下表1所示,问在显著性水平为0.05时,三个班的平均成绩有无显著差异？<10分>8果见表2.〔15分〕（1） 各因素与交互作用的主次顺序〔指标y 越大越好〕. （2） 试找最优工艺条件.（3） 在显著水平α=0.05下,哪些因素的影响显著？表29营业税税收总额y 与社会商品零售总额x 有关.为了利用社会商品零售总额预测税收总额,现收集了以下数据,见表3.〔15分〕〔1〔2〕在显著水平α=0.05下检验回归方程的线性性.〔3〕预测当社会商品零售总额300=x 亿元时的营业税的平均税收总额. 附表：2011-2012〔下〕研究生应用数理统计试题〔A 〕1 设,,,12X X X n 为正态总体()2~X N μσ，的样本,令11ndX i ni μ=-∑=,试证()E d ,()221D d n σπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.<10分> 2设总体X 服从正态()2N μσ，,,,,12X X X n 为其样本,X 与2S分别为样本均值与方差.又设1X n +与,,,12X X X n 独立同分布,试求统计量Y .〔其中122()11n S X X i n i =-∑-=〕<10分> 3 其中(01)θθ<<为未知参数,已知取得了样本值1231,2,1x x x ===,求θ的矩估计和最大似然估计. <10分>4证明样本k 阶原点矩=k A ∑=n i k i X n 11是总体X 的k 阶原点矩=k μ)(kX E 的无偏估计量.<10分>5假定某商场某种商品的月销售量服从正态分布),(2σμN ,σμ,未知.为了决定商店对该商品的进货量,需对μ作估计,为此,随机抽取若干月,其销售量分别为：64,57,49,81,76,70,59,求μ的置信度为0.95的置信区间.<10分>6 一种元件,要求其使用寿命不得低于1000〔小时〕.现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950〔小时〕.已知该种元件寿命服从标准差100σ=〔小时〕的正态分布,试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格.<10分>7 某小学一年级共有三个班级,在一次数学考试中从三个班随机抽取12,15,13个学生的成绩.设学生成绩服从正态分布且方差相等,样本的方差分析表如下表1所示,问在显著性水平为0.05时,三个班的平均成绩有无显著差异？<10分>8某问题是一个四因素二水平试验,选用L 8〔2〕正交表,要考虑A×B ,试验方案设计与试验结果见表2.〔15分〕（4） 各因素与交互作用的主次顺序〔指标y 越大越好〕. （5） 试找最优工艺条件.（6） 在显著水平α=0.05下,哪些因素的影响显著？9营业税税收总额y 与社会商品零售总额x 有关.为了利用社会商品零售总额预测税收总额,现收集了以下数据,见表3.〔15分〕表3 单位：亿元〔1〔2〕在显著水平α=0.05下检验回归方程的线性性.〔3〕预测当社会商品零售总额300=x 亿元时的营业税的平均税收总额. 附表：第 1 页 共 3 页##交通大学研究生试卷考试科目：数 理 统 计考试时间：2008 年 1 月 8 日 时—— 时 考试方式： 闭卷 学 号： __ 成 绩F 分布的上侧分位数：0.025(9 9) 4.03F =，,0.05(2 12) 3.89F =，.一．填空题〔本题分值为30〕 (1) 设1,,n X X 为i.i.d.,其含义是.(2)设~(0,1)U N ,若有{}P U c α<=(01)α<<,则c=〔用(0,1)N 分布的上侧分位数符号表示〕.(3)设11,,,,,n n n m X X X X ++为正态总体2(0,)N σ的样本,若要则a =,b =,c =.(4) 写出估计参数最常用的三种方法：,,. (5)若参数假设问题0011::H H θθΘΘ∈↔∈的拒绝域为W ,则该检验犯第I 类错误的概率1p =,犯第II 类错误的概率2p =. 二．〔本题分值为12〕已知总体X 的概率密度函数为11122211exp ,(;,) 0, x x f x x θθθθθθθ⎧⎧⎫-->⎨⎬⎪=⎨⎩⎭⎪<⎩,12(,0)θθ-∞<<+∞> 设1,,n X X 是总体X 的样本,求未知参数12,θθ的矩估计.五．〔本题分值为12〕〔1〕完成下列方差分析表中欠缺的项目：〔3〕由上述方差分析表,检验各组均值是否有显著差异(0.05)α=？〔4〕已知在因素的每一水平上进行等重复试验,且算得187.2x =,255.4x =,求12μμ-的95%置信区间六．〔本题分值为6〕假设(,)i i x y 满足线性回归关系：i i i y a bx ε=++, 〔1,,i n =〕其中1,,n εε为i.i.d.且21~(0,)N εσ,1,,n x x 不全相同,试用极大似然法估计参数,a b .七．〔本题分值为6〕设1,,n X X 是取自2(0,)N σ的样本,其中0σ>为未知参数.〔1〕问11ni i X n σ==∑是否为σ的无偏估计？〔若认为是σ的无偏估计,请给出证明；若认为不是,对它作适当的修正,给出σ的无偏估计.〕 〔2〕针对〔1〕的讨论结果,求σ的无偏估计的〔有〕效率.八．〔本题分值为5〕设~(,1)X N μ,其中μ为未知参数,()F x 为X 的分布函数.又设常数c 满足等式：()0.975F c =.先从总体X 抽取一个样本,算得 3.04x =,求c 的极大似然估计值. 九．〔本题分值为5〕设1,,n X X 为取自总体X 的样本,已知总体X 的分布函数()F x 为连续函数,证明(1)()~(1,)F X n β,其中(1)X 是第一顺序统计量〔已知(1,)n β分布的概率密度为1(1), 01(;1,) 0, n n x x f x n -⎧-<<=⎨⎩其他〕.试卷清晰度较差,部分数据可能有误,自己看着参考.若我看错了,忘见谅！这X 试卷效果实在太差,很多内容看不太清,部分数据可能有误,但类型应该差不多,若我看错了,忘见谅！##交通大学研究生课程考试题〔数理统计2002〕一．〔本题满分14分〕已知某零件的长度服从正态分布2(,)N u σ,其中225.5mm σ=,从一大堆这种零件中随机抽取n 个,测量其长度.现用子样均值X 来估计母体均值u ,此时： （1） 若要估计量的标准差在12mm 之下,n 应取多大？（2） 若要估计误差的绝对值超过1mm 的概率在1%以下,n 应取多大？ 二．〔本题满分20分〕判断下列命题的真伪并简述理由： 1."统计量〞与"估计量〞是同一概念.2."点估计〞与"区间估计〞的关系为：前者是后者的一种…………〔瞅不清〕3.设母体X 的均值和方差都存在,123,,X X X 为来自母体X 的一个简单随机子样,则11231()3X X X θ=++与2123111236X X X θ=++都是()E X 的无偏估计,且1ˆθ比2ˆθ有效.〔4〕在一个确定的假设检验问题中,其判断结果不但与其检验水平a 有关,而且与抽到的子样有关. 四．〔本题满分14分〕 已知某种设备的工作温度服从正态分布,现作十次测量,得数据〔C 〕1250 1275 1265 1245 1260 1255 1270 1265 1250 1240 （1） 求温度的母体均值u 的95%置信区间. （2） 求温度母体标准差σ的95%置信区间. 五．〔本题满分14分〕设有两个独立的来自不同的正态母体的子样：〔-4.4,4.0,2.0,-4.8〕〔6.0,1.0,3.2,-4.0〕问能否认为两个字样来自同一母体〔0.05α=〕？ 六．〔本题满分12分〕下面的数据给出了三个地区人的血液中的胆固醇的含量别？〔0.05α=〕 七．〔本题满分15分〕在某乡镇,随机地走访了十户居民加,得其家庭月收入〔x 〕与日常开支〔y 〕的子样数据如下〔单位：元〕收入x ：820 930 1050 1300 1440 1500 1600 1800 2000 2700 支出y ：750 850 920 1050 1200 1300 1300 1450 1560 2000 （1） 求日常开支y 与家庭月收入x 间的经验回归方程； （2） 检验回归效果是否显著？〔0.05α=〕（3） 对02200x =〔元〕,给出y 的置信概率为95%的预测区间. 八．〔本题满分6分〕已知母体X 为一个连续型随机变量,X 的分布函数是()F x ,设12,,n X X X 是来自母体X的简单随机子样,试证随机变量12ln[()]nii Y F X ==-∑〔瞅不清,似乎是〕服从2(2)n χ分布.一．〔本题满分20分〕 填空题：1. 设1210,,X X X 是来自正态母体2(,)N μσ的一个简单随机子样,其中μ,2σ已知.填充下列统计量的分布与其相应参数： A ．9222X X μμσσ-++~<>B.10212()ii Xμσ=-∑~<>C.62110272()3()i i i i X X μμ==--∑∑~<>2.设有一母体X ,其均值EX μ=,方差2DX σ=以与四阶矩4EX 都存在,12,,n X X X 是来自母体X 的简单随机子样.则μ的无偏估计量为,相合估计量为；2σ的无偏估计量为,相合估计量为.二．〔本题满分20分〕选择题〔从A~E 中选择一个完整的答案,填入指定处〕 1.设~(0,1)X N ,则P {X >}=1a -〔01a <<〕.A ．a u B.a u - C.1a u - D.B 或C E. A~D 的答案皆错2.设~(,)F F m n ,则P {F >}=1a -〔01a <<〕.A ．(,)a F m n - B.1(,)a F m n - C.(,)a F m n D. 1(,)a F n m - E. B 或D3.设检验假设0: =H θθ的一个检验法则犯第一类错误的概率为P<I>,检验的显著水平为α,则.A ．P<I>=1α- B. P<I>=/2α C. P<I>=α D. P<I>1α≥- E. C 或D 4,设12,,n X X X 是来自正态母体2(,)N μσ的子样,其中μ未知,2σ已知,则是统计量. A.22Sσ; B.1()X μ-; C.12X X +； D.A 和C ； E.A 和B5.设母体X 与Y 的分布式任意的,但分别是具有有限的非零方差,记1EX μ=,2EY μ=,现独立地从两母体中各取一个子样,子样容量分别是1n 和2n .在大子样下,我们可以推出12μμ-的置信概率近似为1α-的置信区间.这里所谓的大子样,一般是指.A ．150n ≥；B ．250n ≥； C.1250n n +≥； D.A 且B ； E.A~D 的答案皆错 三．〔本题满分20分〕设母体X 的概率密度为1. 求θ的矩估计量和最大似然估计量；2. 用以上方法求得的估计量是否为θ的无偏估计？是否为θ的相合估计？ 四．〔本题满分14分〕已知某种设备的工作温度服从正态分布,现对该温度作10次测量,得数据〔C 〕 1250 1275 1265 1245 1260 1255 1270 1265 1250 12401. 求温度的母体均值μ的95%置信区间；2. 求温度的母体标准差σ的95%置信区间. 五．〔本题满分14分〕设有两个独立的来自不同正态母体的子样(-4.4, 4.0, 2.0, -4.8),(6.0, 1.0, 3.2, -4.0)问能否认为两个子样来自同一母体〔0.05α=〕？〔提示：首先检验两母体的方差是否相同,其次检验两母体的均值是否相同〕 六．〔本题满分6分〕设母体~(,1)X N μ,希望检验假设01:6:7H H μμ=↔=.若从该母体中取出容量为4的简单随机子样,并采用如下检验法则：当7X ≥时,拒绝0H ,接受1H ；当7X <时,接受0H ,拒绝1H .求上述检验法则犯第一、二类错误的概率. 七．〔本题满分6分〕设(),(,)t n F m n αα分别表示(),(,)t n F m n 分布相应的上侧分位数, 求证：2()(1,)t n F n αα⎡⎤=⎣⎦〔限时间、心情、眼力和水平所限,可能有个别错误的地方,忘海涵,有错的地方可以指出来,大家共同讨论一下〕##交通大学考试题数理统计20##一． 填空1. 设1210,,X X X 是来自正态总体(0,4)N 的样本,则c =,m =2. 用()x Φ表示标准正态分布(0,1)N 的分布函数,则()x Φ-与()x Φ的关系为()x Φ-=3. 已知~()T t n ,则2~T .4. 设总体X 的概率密度为(;)f x θ,则参数θ估计的费歇〔Fisher 〕信息量()I θ= .二． 选择题〔填A,B,C,D,有几个正确填几个,若都不正确,则填E 〕1. 设1220(,,)X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本,统计量1022211(2)i i i S X X -==-∑,则A ．221~(9)5S χσ B.221~(9)3S χσC ．221~(10)5S χσ D.221~(10)3S χσ2. 独立地分别从两总体X 和Y 中抽得大小各为m 和n 的样本,其样本均值分别为X 和Y ,则()D X Y -=.A ．22()()D X D Y m n - B.22()()D X D Y m n +C.()()D X D Y m n - D. ()()D X D Y m n +3. 设12,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本,其中μ已知,而2σ未知,则下列是统计量的是.A ．6X X + B.2211nii Xσ=∑C ．21nii X μσ=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ D.228()2X X μμ-++ 4. 设~(6,8)F F ,则.A ．1{(6,8)}P F F αα-<= B.1{}(8,6)P F F αα>=C.12{(6,8)}P F Fαα->= D.1{}(8,6)P F F αα<=三． 为比较A 、B 两型灯泡的寿命,随机抽取A 型灯泡5只,测得平均寿命x =1000〔小时〕,标准差A s =28〔小时〕；随机抽取B 型等泡7只,测得平均寿命y =980〔小时〕,标准差B s =32〔小时〕,设总体都是正态的,试在显著性水平之下(0.05)α=检验两总体寿命分布是否相同.四． 想要考察特定一群人的收入与其花在书籍报纸上的支出有无关系,把收入分成高、中、试在水平之下检验收入与书报上支出有无关联.五． 在硝酸钠〔3NaNO 〕的溶解度试验中,测得在不同温度x ()C 下,溶解于9份水中的硝酸钠份数y 的数据如下表：x0 4 10 15 21 29 36 51 68y 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125.1假设y 与x 之间有线性关系,在正态假定下,求y 在x 的置信度为95%的预测区间,并求025x =的预测区间.六． 设自一大批产品中随机抽出200个产品,发现其中120个是一等品,求这大批产品的一等品率的95%置信区间. 七． 今有两台测量合金材料中某种金属含量的光谱仪,为鉴定他们的测量准确性有无显著差异,对9件含该金属分别为129,,,x x x 〔不等〕的合金材料进行测量,第一台测量结果服从正态分布211(,)t N x δσ+,1,2,,9t =；第二台测量结果服从222(,)t N x δσ+,1,2,,9t =.测得的9对观测值如下：第一台 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00第二台 0.10 0.21 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89问能否认为第一台的测量值比第二台显著偏大〔0.05α=〕？〔注：此题甚不清晰,数据可能有一两个有误,211(,)t N x δσ+和222(,)t N x δσ+也不是很清晰,题意差不多,知道方法就行.〕 八． 设12,,n X X X 是来自总体X的样本〔2n >〕,总体的概率密度为(),(;,) 0 ,x a e x af x a x aλλλ--⎧≥=⎨<⎩当当〔参数0λ>〕1. 设λ=,试求参数a 的最大似然估计. 2. 设0a =,试求参数λ的矩估计.3. 设0a =,试推导2n X λ服从的分布,其中11ni i X X n ==∑.4. 设0a =,试计算ˆ()E λ,并求k ,使*ˆˆk λλ=为λ的无偏估计.〔2()x χ分布密度在写着.在附录中,但试卷上没有,看书上的〕〔限时间、眼力和水平所限,难免有些地方出错,忘海涵,谁发现有错的话可以指出来.〕21 / 21。
西安交通大学1999年研究生入学考试离散数学试题
西安交通大学1999年研究生入学考试离散数学试题1 (30分)请判断下列各题的正确性。
⑴2A∩2B=2A∩B。
⑵A\B=A当且仅当B=∅。
⑶(A⨯C)\(B⨯D)=(A\B)⨯(C\D)。
⑷设|A|=5，则A上恰有31个不同的等价关系。
⑸设R非空集合A上的关系，R是A上可传递的，当且仅当R○R⊆R。
⑹若R1，R2均为非空集合A上的等价关系，那么R1○R2也为A上的等价关系。
⑺设<P,≤>为半序集，∅≠S⊆P，若S有上界，则S必有上确界。
⑻设N为自然数集合，I为整数集合，⨯是算术乘法，则<N,⨯>与<I,⨯>同构。
⑼设<G,*>是群，则G中至少有一个二阶元素。
⑽设<R,⊕,⊗>为整环，|R|=n，则<R,⊕,⊗>是域。
⑾设<R,⊕,⊗>为域，<R,⊕,⊗>为<F,⊕,⊗>的子环，则<R,⊕,⊗>为整环。
⑿设<L,≤>为格，|L|=n，则<L,≤>为有界格。
⒀存在7个结点的自补图。
⒁下图为平面图。
图1 题1(14)⒂下图为哈密尔顿图。
图2 题1(15)图2 (8分)设(G,*)为循环群，生成元为a，设(A,*)和(B,*)均为(G,*)的子群，而a i和a j分别为(A,*)和(B,*)的生成元。
①证明(A∩B,*)是(G,*)的子群。
②请问：(A∩B)是否为循环群。
如果是，请给出其生成元。
3 (10分)设(A,⊕,⊗)是环，A A={f |f是A到A的函数}。
定义A A上的运算◊和*如下，设f,g∈A A, 对于任意的x∈A。
(f◊g)(x)=f(x)⊕g(x)；(f*g)(x)=f(x)⊗g(x)；证明：(A A,◊,*)是环。
4 (6分)设A=<L1,≤1,*1,⊕1>和B=<L2,≤2,*2,⊕2>是两个格，f是A到B的同态函数。