21.2.3 因式分解法
九年级数学上册(人教版)21.2.3解一元二次方程(因式分解法)优秀教学案例
一、案例背景
在我国九年级数学上册的教学中，一元二次方程是学生需要掌握的重要知识点。人教版教材21.2.3节主要介绍了利用因式分解法解一元二次方程。针对此部分内容，本教学案例旨在通过实际问题的引入，激发学生的兴趣，引导学生运用因式分解法解决一元二次方程，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.在小组合作过程中，鼓励学生积极表达自己的观点，学会倾听他人的意见，形成良好的沟通与协作。
4.教师巡回指导，给予每个小组个性化的帮助，确保合作学习的顺利进行。
（四）反思与评价
在教学过程中，我将重视学生的反思与评价，以促进学生自我成长。具体措施如下：
1.鼓励学生在解题过程中进行自我反思，总结经验教训，提高解题能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学开始时，我将以学生熟悉的实际情景引入新课，例如：“同学们，你们在体育课上是否尝试过投篮？如果想要将篮球投入篮筐，除了掌握投篮的力度外，还需要考虑什么因素呢？”通过这个问题，引导学生思考投篮角度与成功的关系。
2.接着，我会提出一个与一元二次方程相关的问题：“假设我们要求解最佳的投篮角度，使得篮球在空中的轨迹形成一个抛物线。我们可以通过什么数学方法来解决这个问题呢？”由此引出一元二次方程的概念。
5.针对不同学生的学习情况，给予个性化指导，帮助学生找到适合自己的学习方法。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学、勇于探索的精神，激发学生的学习内驱力。
2.培养学生面对困难时，保持积极的心态，敢于挑战自我，不断进取。
3.培养学生的团队意识，学会在合作中尊重他人，分享成功与快乐。
4.通过数学学习，使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
九年级数学：21.2.3 因式分解法
课堂作业
1.用因式分解法解方程，下列方程中正确是（ A）
A.（2x-2）（3x-4）=0， ∴2x-2=0或3x-4=0
B.（x+3）（x-1）=1，
∴x+3=0或x-1=1
C.（x+2）（x-3）=6，
∴x+2=3或x-3=2
D. x（x+2）=0，
∴x+2=0
课堂作业
2.当x= 1或2
时，代数式x²-3x的值是-2.
5.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆场地， 场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径.
课堂小结
1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优 缺点？需注意哪些细节问题？
2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和 体会？
课后思考
试比较配方法、公式法和因式 分解法各自的优缺点.
2.配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，而 因式分解法则只适用于某些一元二次方程，不是 所有的一元二次方程都适用因式分解法来求解.
典题精讲
例1 解下列方程： （1）x（x-2）+x-2=0
解：因式分解，得（x-2）（x+1）=0 故有x-2=0或x+1=0 ∴x1=2，x2=-1
典题精讲
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3
x（10 - 4.9x）= 0
两个因式的积等于零
x = 0 或 10 - 4.9x = 0 至少有一个因式为零
x
1
=
0，x
2
=
100 49
举例讲解
解方程： x（10-4.9x）=0
解：∵x（10-4.9x）=0
∴x=0或10-4.9x=0，
100 49
∴x1=0，x2= ≈2.04
21.2.3.解一元二次方程—因式分解法 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
21.2.3.解一元二次方程—因式分解法
解：
【强调】将原方程变形为一边是0，这一步很重要，因为只有当一边是0，即两个因式的积是0，两个因式才分别是0，从而得到两个一元一次方程。
【小结】因式分解法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。
②将方程左边进行因式分解，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。
③对两个一元一次方程分别求解。
【例2】解方程：
⑴x(x-2)+x-2=0⑵3x(x+2)=5(x+2)
(3
⑶x+1)2-5=0⑷x2-6x+9=（5-2x）2
【分析】这几个方程可以展开整理成一元二次方程的一般形式，然后再用公式法或因式分解法来解，但这样做比较麻烦，根据这两个方程的特点，直接应用因式分解法较简便。
解：
【说明】用因式分解法解一元二次方程时，要根据情况灵活选用学过的因式分解的几种方法，不能出现失根的情况。
如解方程x2-3x=0时，方程两边同除以x得x-3=0，解得x=3，这样就失掉了x=0这一个根。
【练习】Р40 1 2创新，培养学生的应用意识和创新能力．
四、自主总结 拓展新知
1、用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a=0或b=0，即“二次降为一次”。
2、正确的因式分解是解题的关键。
五、课堂作业 P43 6 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思。
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法 教学设计
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法教学设计一. 教材分析因式分解法是九年级数学上册第21章第2节的一个知识点。
通过学习因式分解法，学生能够理解并掌握因式分解的概念，能够运用因式分解法解决一些实际问题。
本节课的内容包括因式分解的定义、因式分解的方法以及因式分解的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对代数运算有一定的了解。
但是，因式分解法是一个较为抽象的概念，学生可能对其理解起来有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际例子来理解因式分解的概念和方法，并通过练习来巩固所学知识。
三. 教学目标1.理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法。
2.能够运用因式分解法解决一些实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.因式分解的概念和方法。
2.运用因式分解法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
通过实际例子引导学生理解因式分解的概念和方法，通过案例教学法让学生通过解决实际问题来运用因式分解法，通过小组合作法让学生在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备教学PPT，包括因式分解的定义、方法和应用的讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入因式分解的概念，例如：“已知一个数的平方减去这个数等于10，求这个数。
”引导学生思考如何解决这个问题，从而引出因式分解的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT讲解因式分解的定义和方法，包括提取公因式法、平方差公式法、完全平方公式法等。
通过具体的例子来解释每种方法的运用。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组选择一个因式分解的方法，根据PPT上的例子，自己尝试解决一个问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，巩固因式分解的方法。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
21.2.3 因式分解法 公开课课件
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
三、巩固练习 教材第14页 练习1，2. 四、课堂小结 本节课要掌握： (1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二 次方程及其应用． (2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0， 再分别使各一次因式等于0. 五、作业布置 教材第17页 习题6，8，10，11.
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》
思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？ 解：略 (方程一边为 0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( ) A．(x－3)(x－5)＝10×2，∴x－3＝10，x－5＝2，∴x1＝13，x2＝7
21.2.3 因式分解法
.运用公式法
2.运用因式分解法解一元二次方程的步骤:
先因式分解,使方程化为两个
的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等
一次式
于 ,从而实现降次.进而求解方程.
0
类型一:用提公因式法解一元二次方程 例1 解方程x2+5x=0.
解:x(x+5)=0, ∴x=0或x+5=0, ∴x1=0,x2=-5.
1.方程2x2-6x=0的解为( )C
(A)x=0
(B)x=3
(C)x1=0,x2=3
(D)x1=0,x2=-3
2.方程2x(x-4)=4(x-4)的根是( )
(A)x=4
(B)x=2
D
(C)x1=4,x2=-2
(D)x1=4,x2=2
3.若方程x2-5x=0的两根为x1,x2(x1<x2),则x2-x1= .
4
(3)x1= 5 ,x2=- 5 .
2
2
(4)m1= 1 ,m2=- 1 .
2
4
点击进入 课后训练
类型二:用运用公式法解一元二次方程 例2 解方程x2+6x=-9.
【思路点拨】 (1)将方程化为一般形式:ax2+bx+c=0. (2)把方程转化成(mx+n)2=0或(mx+n)(mx-n)=0的形式. 解:x2+6x+9=0, (x+3)2=0, ∴x+3=0, ∴x1=x2=-3.
【规律总结】 运用因式分解法解一元二次方程实际上就是运用因式分解把一元二 次方程转化为两个一元一次方程来解.
4.用因式分解法解方程x2-kx+16=0时,得到的两根均为5整数,则k的值可以是
21.2.3 因式分解法 课件(共21张PPT)
( + )( − )
−
( − )( + )
情境引入
对于方程 − = ，除了可以用配方法或公式法求
解，还可以怎样求解呢？
观察和分析小亮的解法，你认为他的解法有没有道理？
小亮的思考及解法
解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次方程，因此，
可将方程的左边分解因式.于是，得( − ) = .
那么这两个因式中至少有一个等于0;
（3）用因式分解法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边
化为0;②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；
（4）解一元二次方程时，如果能用因式分解法进行解题，那么它是
首选.
知识点2：换元法解一元二次方程（难点）
1. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使
0,解得y₁=2,y₂=-1(不合题意,舍去),∴|x|=2,∴x₁=2,x₂=-2.
变式：已知(x+y-3) (x+y+4)=-10, 求x+y的值.
解：整理，得( − ) = ，
直接开平方，得 − = 或 −
= −，
解得 = ， = −.
（） + − = .
解： = , = , = −,
− = + = > ,
所以 =
−±
= − ± ，
21.2.3 因式分解法
1.通过阅读课本 ， 学生会用因式分解法解某些简单的数字系
数的一元二次方程，提高了学生的运算能力．
2.通过学生自主探究利用因式分解的方法解方程，培养学生
分析问题、解决问题的能力，并体会通过“降次”把一元二
次方程转化为两个一元一次方程的转化思想．
21.2.3降次--解一元二次方程(因式分解法)
A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 5.方程x( x 1) x的解是_______. 6.方程x 2 10 x 25 0的解是_______. 7.课本P17第6大题(1).(2).(3).(4)
解:( x 4) (5 2x) 0
2 2
( x 1)(3x 9) 0
(4) x 6 x 9 0
2
(5)4x 4x 1 0
2
解:(x 3) =0
2
解:(2x 1) =0
2
x-3=0
2x-1=0
1 x1 x2 2
x1 x2 3.
课后作业： 1.方程(x 3)( x 4) 0的根是(
)
A.x 3 B.x1 3, x2 4 C.x 4 D.x 1 3, x2 4 2.方程x( x 2) 0的根是(
2
) )
A.x 2 B.x 0 C.x 1 0, x2 2 D.x 1 0, x2 4 3.解方程(x 2) 2( x 2)最适当的方法是( 4.方程x x 0的解是_______.
x 2 0, 或1 x 0. x1 2; x2 1.
解： ( x 1)( x 7) 0 x 1 0或x 7 0
4 x1 0; x2 . 5 （3）利用十字相乘法： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
1 1
1 7
x1 1, x2 7
(2x 1)2x 1 0.
4 x 1 0,
2
2x 1 0, 或2x 1 0. x1 2, x2 1. 1 1 x1 ; x2 . 2 2 分解因式法解一元二次方程的步骤是:
21.2.3 解一元二次方程—因式分解法教案2022-2023学年人教版九年级数学上册
21.2.3 解一元二次方程—因式分解法教案2022-2023学年人教版九年级数学上册一、教学目标1.理解一元二次方程的定义和性质。
2.学会运用因式分解法解一元二次方程。
3.掌握解一元二次方程时的思路和步骤。
二、教学重点1.理解一元二次方程的定义和性质。
2.运用因式分解法解一元二次方程。
三、教学难点1.运用因式分解法解一元二次方程。
2.掌握解一元二次方程时的思路和步骤。
四、教学准备1.教学课件或黑板、粉笔等工具。
2.学生课本和练习册。
3.提前准备好一元二次方程的例题和练习题。
1. 导入教师可以通过提问或讲解的方式，复习一元二次方程的定义和性质。
例如：“什么是一元二次方程？它的一般形式是什么样的？一元二次方程有哪些特点？”等等。
2. 引入因式分解法引入因式分解法，告诉学生我们可以通过将一元二次方程进行因式分解的方式求解。
引导学生思考并回顾因式分解的基本原理和步骤。
3. 讲解因式分解法的步骤•步骤一：将一元二次方程写成一对括号乘积的形式，即找到方程的两个因式。
•步骤二：令每个括号内的式子分别等于零，并解方程组。
•步骤三：列出解的集合。
4. 案例演示选择一个简单的一元二次方程案例，演示解题的过程。
引导学生按照步骤一步一步地解题，并帮助学生理解每一步的目的和原理。
5. 学生练习将几个类似的一元二次方程写在黑板上或课件上，要求学生自己进行因式分解，然后解出方程。
解完后，学生可以相互核对答案并讨论解题方法。
6. 拓展练习布置一些拓展练习题，要求学生在课后自主完成。
鼓励学生多加练习，巩固和运用所学的知识和技能。
通过本堂课的学习，学生应该掌握了一元二次方程的因式分解法和解题步骤。
教师可以对本节课的教学进行总结，并对学生的表现给予肯定和鼓励。
同时，可以提醒学生在课后复习和巩固所学知识。
七、课后作业1.完成课堂上的练习题。
2.完成教师布置的拓展练习题。
3.预习下一节课的内容。
以上教案通过因式分解法来解一元二次方程，帮助学生理解和掌握该方法的原理和步骤。
第五课时21.2.3用因式分解法解一元二次方程
十字相乘法的字母公式
x2 + (a+b)x + ab = (x+a) (x+b) 公式里有二次项，一次项，常数项， 和一元二次方程的一般形式对应起来： 2 一般形式： ax bx c 0(a 0)
二次项 一次项 常数项
分解二次项与常数项后，把交叉相 乘相加，所得的和与一次项比较，判断 分解是否正确。
8、一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数. 解：设这个数为x,根据题意得：
2x2=7x. 2x2-7x=0,
x(2x-7) =0,
∴x=0,或2x-7=0.
7 x1 0, x2 . 2
根据物理学规律，如果把一个物体从 地面以 10 米/秒 的速度竖直上抛，那么经 过 x 秒 物体离地面的高度h（单位：米） 2 2 为10x - 4.9x ．即：h= 10x - 4.9x 你能根据上述规律，求出物体经过多 少秒落回地面吗？
2 2
此即运用平方差公式进行因式分解
用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个数的和 与这两个数的差的积。
a 2ab b a b
2 2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
回顾与复习
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法:
(x+h)2=k (k≥0)
2
b b 4 ac 2 (3)公式法: x . b 4ac 0 . 2a
x 1 x 1x 1
21.2.3因式分解法解一元二次方程(教案)
1.教学重点
-重点一：一元二次方程标准形式的掌握，即ax² + bx + c = 0（a, b, c为常数，且a≠0）。通过讲解和示例，使学生理解方程各部分的数学意义。
-举例：方程x² + 3x - 4 = 0中，a=1，b=3，c=-4，强调a≠0的条件。
-重点二：因式分解法的应用，包括提取公因式、十字相乘等方法，以及如何将一元二次方程转化为因式分解的形式。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了因式分解法解一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了因式分解法解一元二次方程，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。
2.提高学生的数学建模素养，通过实际问题的引入，让学生学会将现实问题转化为数学问题，并运用数学知识进行解决；
3.培养学生的数据分析能力，使学生能够运用判别式Δ分析一元二次方程的根的性质，增强对数学问题的深入理解；
4.增强学生的数学抽象思维，让学生掌握一元二次方程的一般形式，并能够将其与因式分解法有效结合。
4.通过例题和练习，熟练运用因式分解法求解一元二次方程，并能解决实际问题。
本节课将结合教材内容，针对以上要点进行深入讲解和练习。
二、核心素养目标
《21.2.3因式分解法解一元二次方程》的核心素养目标如下：
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够运用因式分解法进行一元二次方程的求解，理解数学知识之间的内在联系；
关于小组讨论，我发现学生们在讨论因式分解法在实际生活中的应用时，思维比较局限，难以提出具有创新性的观点。在今后的教学中，我会引导学生多关注生活，发现生活中的数学问题，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
人教版九年级上 21.2.3 因式分解法(包含答案)
21.2.3因式分解法知识要点：1.把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法．2.因式分解法的详细步骤：①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式、完全平方公式以及十字相乘法等；③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一元一次方程，即可得到原方程的解1．方程x （x +2）＝﹣x （x +2）的根是（ ）A ．x 1＝0，x 2＝2B ．x 1＝0，x 2＝﹣2C ．x ＝0D ．x ＝2 【答案】B2．若实数x ，y 满足()()2222x y 3x y -30+++=，则22x y +的值为( )A ．3或-3B ．3C ．-3D ．1 【答案】B3．方程)1)(14()1)(13(--=-+x x x x 的解是（ ） A ．121,0x x ==B ．121,2x x =-=C ．121,2x x ==D ．无解【答案】C 4．方程20x x -=的根是（ ）A ．1x =B ．120x x ==C ．121x x ==D ．10x =，21x =【答案】D 5．已知2x =-是关于x 的一元二次方程22502x x a --=的一个根，则a 的值为（ ） A ．3± B ．3- C ．3D ．1或1- 【答案】A6．若关于 x 的方程 250x x k -+= 的一个根是0，则另一个根是（）A ．1B ．－1C ．5D ．12【答案】C7．一元二次方程 (1)x x x -= 的解是（ ）A ．1或－1B ．2C ．0或2D ．0【答案】C8．2(3)5(3)x x x --- 因式分解结果为（ ）A ．221115x x -+B ．(5)(23)x x --C ．(25)(3)x x +-D ．(25)(3)x x --【答案】D9．将4个数 a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义 a bad bc c d =-，上述记号就叫做2阶行列式．若11611x x x x +-=-+，则x 的值为（ ）.A ．BC ．2±D ．2【答案】A10．三角形一边长为 10，另两边长是方程 214480x x -+= 的两实根，则这是一个（ ）. A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形【答案】A11．若(x 2＋y 2)2－5(x 2＋y 2)－6＝0，则x 2＋y 2＝_____________．【答案】612．一小球以15 m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h ＝15t －5t 2，则小球经过____s 达到10 m 高．【答案】1或213．已知2215500(0)x xy y xy -+=≠，则x y 的值是_____________． 【答案】5或1014．对于实数a ，b ，我们定义一种运算“※”为：a ※b=a 2-ab ，例如：1※3=12-1×3.若x ※4=0，则_____【答案】x=0或4.15．解方程：(1)(2)4x x -+=【答案】x 1=2，x 2=-3．16．若2222()(2)80x y x y ++--=，求22xy +的值．【答案】417．用因式分解法解下列方程：（1）23(5)2(5)x x -=-；（补全解题过程） 解：原方程可变形为23(5)2(5)0x x ---=，分解因式，得______________________________．∴50x -=，或1330x -=．∴15=x ，2133x =． （2）24410x x -+=．【答案】（1）(5)(133)0x x --=；（2）1212x x ==。
21.2.3用因式分解法解一元二次方程_课件_1
(
)
1、如何用因式分解法解一元二次方程？ 2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤？ 3、解一元二次方程有几种方法，他们之间的联 系与区别是什么？
作业：书P14练习
1.解下列方程： . 2
(1) x x 0,
提公因式：x( x 1) 0， 所以有x 0或x 1 0 即x1 0，x2 1.
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法:
(x+h)2=k (k≥0)
2
b b 4 ac 2 (3)公式法: x . b 4ac 0 . 2a
我思
我进步
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
2
(a1x c1 )(a2 x c2 )
a2
c1 c2
(4)3x 7 x 2 0
2
例2 解下列方程
(1)2 y 3 y 2 0 (2)3x 10x 8 0
2
2
(3)4x 31x 45 0
2
(4) 3x 22x 24 0
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢 ? 4 x 2 12 x 9 ? . 3x 2 7 x 4 ?. 观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程 : x 2 7 x 6 0得x1 1, x2 6; 而x 2 7 x 6 ( x 1)( x 6);
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法 教学设计4
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法教学设计4一. 教材分析因式分解法是九年级数学上册的教学内容，属于代数知识范畴。
通过学习因式分解法，学生能更好地理解多项式的运算，提高解决问题的能力。
本节课的内容是在学生已经掌握了多项式、单项式、同类项等基本概念的基础上进行教学的。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握因式分解法的方法和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和独立思考的能力，对于新的知识有较强的求知欲。
但是，由于因式分解法较为抽象，部分学生在理解上可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行指导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握因式分解法的基本概念和方法，能够独立进行因式分解。
2.过程与方法：通过教师的引导和学生的实践，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极向上的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：因式分解法的基本概念和方法。
2.难点：如何运用因式分解法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入因式分解法，让学生感受数学与生活的联系。
2.启发式教学法：教师引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣。
3.小组合作学习法：学生分组讨论，培养团队合作意识。
4.实践教学法：让学生通过动手操作，加深对因式分解法的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示因式分解法的例题和练习题。
2.教学素材：准备一些与生活相关的实例，用于导入和巩固环节。
3.教学设备：多媒体设备、黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如分配律，引入因式分解法。
让学生思考：如何将一个多项式分解成几个单项式的乘积？2.呈现（10分钟）讲解因式分解法的基本概念和方法，通过例题展示因式分解的过程。
让学生跟随教师一起动手操作，加深对因式分解法的理解。
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⑶ 理论依据是“如果两个因式的积等于零,
那么至少有一个因式等于零”.
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法:
am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2. （3）十字相乘法:
解：移项、合并，得 4 x2 1 0, 因式分解，得
(2 x 1)2 x 1 0.
2 x 1 0, 或2 x 1 0.
1 1 x1 ; x2 . 2 2
用因式分解法解一元二次方程的步骤 1. 方程右边化为零； 2. 将方程左边分解成两个一次因式的乘积； 3. 至少有一个因式为零，得到两个一元一次 方程； 4. 两个一元一次方程的解就是原方程的解.
11 11 x1 , x2 . 2 2
则 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
∴ x1=x2=1.
3x 2 x 1 4 x 2 5
6 x 4 5 2 x
2
2
解：化为一般式为 6x2 － x －2 = 0. 因式分解，得 ( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
例3
解下列方程:
(1) x(x-2)+ x-2=0;
解：x( x 2) x 2 0,
x 2x 1 0.
x 2 0, 或x 1 0.
x1 2, x2 1.
例3
解下列方程: 1 3 2 2 (2) 5 x 2 x x 2 x . 4 4
小亮是这样解的： 解 :由方程x 2 3x, 得 x 2 3x 0. xx 3 0. x 0, 或x 3 0. x1 0, x2 3.
这个数是0或3. 小亮做得对吗?
至少有一个为0.
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于 分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用 分解因式的方法求解. 这种用分解因式解一元二次方程的方法称 为分解因式法.
义务教育教科书九年级上册
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我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: (2) 配方法:
x2=a (a≥0)
(x+h)2=k (k≥0)
b x 2a
2 b 4ac 0
(3) 公式法:
你能解决这个问题吗 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？ 如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
1.解下列方程：
1
x x 0；
2
2 2 x 2 3x 0；
2 3 3 x 6 x 3；
4 x 2 121 0； 4
2 2 （5 2 x） . 6 （x 4）
3（ x 2x 1 ） 4 x 2； 5
2 x 3x. 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
小颖是这样解的： 解 : x 2 3x 0.
(3) 2 4 1 0 9.
x 3 9 . 2
小明是这样解的：
解 : 方程 x 2 这个数是0或3. 小颖做得对吗?
1.解下列方程：
3x 2 6 x 3, 3
4
4 x 2 121 0
解：化为一般式为 x2－2x+1 = 0. 因式分解，得 ( x－1 )( x－1 ) = 0.
解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
则 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
2 1 x1 , x2 . 3 2
∴ x1 = 3 , x2 = 1.
2.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，
场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为r m. 根据题意，得
( r + 5 )2×π=2r2π.
因式分解，得
r 5 2r r 5 2r 0.
1 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 1
a b
你能用分解因式法解下列方程吗？
1. x2 - 4=0;
解：(x+2)(x-2)=0,
2. (x+1)2 -25=0.
解：[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴ x+2=0 或 x-2=0.
∴ x1=-2, x2=2.
( x +6)( x -4)=0, ∴ x+6=0 或 x-4=0. ∴ x1=-6, x2=4.
3.用因式分解法解一元二次方程的步骤 ⑴方程右边化为零；
⑵将方程左边分解成两个一次因式的乘积；
⑶至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； ⑷两个一元一次方程的解就是原方程的解. 4.我们一共学习了几种解一元二次方程的方法？ 要灵活运用各种方法解一元二次方程. 你觉得哪种方法简便就用哪种！ 哪种方法熟练就用哪种！
∴ x =3. 这个数是3.
小明做得对吗?
你能解决这个问题吗 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？ 如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
2 x 3x. 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
小亮是这样想的： 如果a×b=0, 那么a =0或b=0. 即：如果两个因式的积等 于0，那么这两个因式
解：（1）因式分解，得
x ( x+1 ) = 0.
则有 x = 0 或 x + 1 =0， ∴ x1=0 , x2=－1.
1.解下列方程：
2 x
2
2 3x 0
解：因式分解，得
x x 2 3 0.
则有x 0或x 2 3 0，
x1 0, x2 2 3.
解：变形有 ( x －4 ) 2 - ( 5 － 2x )2=0. 因式分解，得
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
则 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0 ，
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0. 则 3x - 9 = 0 或 1 - x = 0，
用适当的方法解下列二元一次方程
⑴ x2-2x=4;
⑵ (x-1)(x+2)=2(x+2); ⑶ x2-3x+1=0.
课本第17页习题21.2
第 6 题
5 m. 2 1
5 5 , r2 (舍去). 于是，得 r1 2 1 1 2
答：小圆形场地的半径是
1.分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于 零,关键是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如 果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.” 2.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降 次”,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过 程.