垂直与平行导学案
四年级上册《垂直与平行》导学案数学教案设计
四年级上册《垂直与平行》导学案數學教案設計
对不起，由于篇幅和格式限制，我无法提供一个完整的四年级上册《垂直与平行》导学案数学教案设计。
但我可以为你提供一个简单的教案框架，你可以根据这个框架进行扩展和完善。
一、教学目标
1. 知识与技能：让学生理解和掌握垂直和平行的概念，能够正确判断两条直线是否垂直或平行。
2. 过程与方法：通过观察、操作、比较等方法，引导学生探索并发现垂直和平行的性质。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养他们的空间观念和逻辑思维能力。
二、教学重点和难点
重点：理解垂直和平行的概念，掌握垂直和平行的判断方法。
难点：理解和运用垂直和平行的性质。
三、教学过程
1. 导入新课：可以通过生活中的实例引入垂直和平行的概念，如教室的墙角线是垂直的，黑板的上下边是平行的。
2. 新知讲解：教师用教具（如直尺、纸条等）演示如何画出垂直和平行的线，然后解释什么是垂直和平行。
3. 学生实践：让学生自己动手画垂直和平行的线，同时让他们互相检查，看是否正确。
4. 巩固练习：设计一些习题，让学生判断给出的两条线是否垂直或平行。
5. 小结：回顾本节课所学的内容，强调垂直和平行的概念及判断方法。
四、作业布置
布置一些相关的练习题，让学生在家中巩固所学的知识。
五、教学反思
记录教学过程中的问题和改进措施，以便于下次教学时进行调整。
希望这个框架对你有所帮助！。
平行与垂直导学案
《平行与垂直》导学案
教学内容：
义务教育教科书小学数学四年级上册第56页—57页。
教学目标：
1、通过自主探究活动，理解平行与垂直这两种特殊的直线间的位置关系，初步理解平行线和垂线。
2、通过观察、操作、讨论、归纳等活动，积累操作和思考的活动经验，发展学生的空间观点，初步渗透分析的数学思想。
教学重点：
理解同一平面内两条直线互相垂直和互相平行的位置关系。
教学难点：
相交现象的准确理解。
一、复习直线的特点：
直线（）端点，能够向两端（）
二、小组合作
1、请在纸上画两条直线，会有哪几种情况？
2、小组讨论，把它们按一定的标准分类。
认真观察，请把暂时没有相交的两条直线再画长一些，发现这两条直线会（相交不相交）。
所以我得出：能够分（）类，分类标准是（）
三、自主探究
1、理解平行
（1）在（）不相交的两条直线叫做（），也能够说这两条直线（）。
（2）我发现：两条直线永不相交，就要确定这两条直线间（）相等。
2、理解垂线
我发现：两条直线相交后形成（）个角，都有（）角。
当两条直线相交成（）角，就说这两条直线（），其中一条直线叫做另一条直线的（），这两条直线的交点叫做（）。
四、课堂小结：
这节课我知道在同一个平面内两条直线的位置关系有（）与（）两种。
五、过关检测
1、下面各组直线，哪一组互相平行？哪一组互相垂直？
（）（）（）（）
2、动手折一折：
（1）把一张纸折两次，使两条折痕互相平行。
（2）把一张纸折两次，使两条折痕互相垂直。
3、找一找，想一想你能举出生活中一些有关平行与垂直的例子吗？。
垂直与平行数学教案设计
垂直与平行數學教案設計主题：垂直与平行數學教案设计一、教学目标：1. 学生能够理解和识别直线的垂直和平行关系。
2. 学生能够通过实际操作，运用直尺和量角器准确地画出垂直和平行线。
3. 培养学生的空间观念和几何直观。
二、教学内容：1. 什么是垂直和平行2. 如何识别垂直和平行线3. 如何画出垂直和平行线三、教学过程：1. 引入（10分钟）：- 教师可以通过生活中的例子引入概念，如马路交叉口的垂直道路，教室的平行桌椅等。
- 向学生展示一些垂直和平行的例子，并引导他们观察并描述这些线条的特点。
2. 新知学习（20分钟）：- 定义垂直和平行的概念。
垂直是指两条直线相交成90度角，平行是指在同一平面上，永不相交的两条直线。
- 让学生理解“同位角”、“内错角”和“同旁内角”的概念，以及它们在判断垂直和平行时的应用。
3. 实践操作（20分钟）：- 指导学生使用直尺和量角器画出垂直和平行线。
- 设计一些练习题，让学生通过实际操作来识别和画出垂直和平行线。
4. 巩固练习（10分钟）：- 分发习题，让学生独立完成，然后集体讲解答案，确保每个学生都理解了垂直和平行的概念。
四、教学评估：1. 观察学生在课堂上的参与程度和反应，了解他们对新知识的理解程度。
2. 分析学生的作业和测试成绩，评估他们的学习效果。
五、教学反思：1. 根据学生的学习反馈和评估结果，调整教学方法和策略。
2. 思考如何更好地激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效率。
以上就是以垂直与平行數學教案设计为主题的教学计划，希望对你有所帮助。
《垂直与平行》数学教案设计
《垂直与平行》數學教案設計标题：《垂直与平行》數學教案設計一、教学目标：1. 知识目标：让学生理解并掌握垂直和平行的概念，以及它们在实际生活中的应用。
2. 技能目标：通过观察和实践，提高学生的空间观念和逻辑思维能力。
3. 情感态度目标：培养学生认真观察、积极思考的学习态度，激发他们对数学的兴趣。
二、教学重点和难点：1. 教学重点：理解和掌握垂直和平行的概念，以及如何判断两条直线是否垂直或平行。
2. 教学难点：理解垂直和平行的关系，以及在复杂图形中识别垂直和平行的线段。
三、教学过程：（一）导入新课教师可以展示一些生活中常见的垂直和平行的例子，如电线杆和电线、铁路轨道等，引导学生初步感知垂直和平行的存在。
（二）新知学习1. 垂直的概念：如果两条直线相交成90度角，那么这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
2. 平行的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
（三）实践活动让学生用尺子和铅笔在纸上画出垂直和平行的线段，并进行相互交流和讨论。
（四）巩固练习设计一些关于垂直和平行的题目，让学生进行解答，以检验他们是否真正掌握了这一知识点。
（五）课堂小结总结本节课所学的内容，强调垂直和平行的概念及其在生活中应用的重要性。
四、作业布置：设计一些含有垂直和平行元素的图形，让学生找出所有的垂直和平行线段。
五、教学反思：通过这节课的教学，我意识到理论知识和实践操作相结合的教学方式能够更好地帮助学生理解和掌握知识点。
同时，我也意识到需要更加注重培养学生的观察能力和思考能力，使他们在遇到问题时能够独立思考，找到解决问题的方法。
平行与垂直导学案
平行与垂直导学案一、引言在几何学中，平行和垂直是基本的几何概念。
理解和掌握平行和垂直的概念及其性质对于解决几何问题和应用几何学知识至关重要。
本文档将以平行和垂直为主题，提供导学案，帮助读者深入理解和运用这两个概念。
二、平行线1. 平行线的定义平行线是指在同一个平面上，永远不相交的两条直线。
它们的斜率相等，但是截距不同。
2. 平行线的性质- 平行线上的任意两点与另外一条直线上的任意两点连线所得的对应线段，它们的比值是相等的。
- 若两条平行线与同一条第三线相交，则相交线与其中一条平行线的关系与另一条平行线相交线的关系相同。
- 平行线之间不存在交点，无论它们所处的位置如何变化。
3. 平行线的判定方法- 双射线法：如果有一条直线与两条平行线相交，且所形成的两对内角互补，那么这两条直线是平行线。
- 逆命题法：如果两条直线的相邻内角或补角互等，那么这两条直线是平行线。
- 同位角或同旁内角等于180°，则两条直线平行。
三、垂直线1. 垂直线的定义垂直线是指在同一个平面上与另一条直线相交时，所形成的两对内角互为直角的直线。
2. 垂直线的性质- 垂直线上的任意两点与另外一条直线上的任意两点连线所得的对应线段，它们的乘积是相等的。
- 垂直线和水平线（平行于横坐标轴的直线）之间的夹角为90度。
- 垂直线与平面上的任意一条直线的夹角如果是直角，则它们互相垂直。
3. 垂直线的判定方法- 互补角法：如果两条直线的夹角是直角，那么这两条直线是垂直线。
- 垂直角法：如果两条直线交叉相交，且所形成的四个内角互为垂直角或互为补角，那么这两条直线是垂直线。
四、平行与垂直的应用1. 平行线的应用- 平行线的概念在平面几何中广泛应用于解决直线的相交性质问题。
- 平行线还可以应用于解决平面图形的性质问题，如矩形、平行四边形等。
2. 垂直线的应用- 垂直线的概念在平面几何中常被用于解决直角三角形问题。
- 垂直线还在建筑设计和工程测量中被广泛应用，如垂直墙面、垂直柱子等。
高中数学选修一《两条直线平行和垂直的判定》教案与导学案和同步练习
《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两条直线平行和垂直的判定。
直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定在初中运用几何法已经进行了学习，而在坐标系下，运用代数方法即坐标法，是一种新的观点和方法，需要学生理解和感悟。
两直线平行和垂直都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A. 理解两条直线平行与垂直的条件.B.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.C.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.1.数学抽象：两条直线平行与垂直的条件2.逻辑推理：根据斜率判定两条直线平行或垂直3.数学运算：利用两直线平行或垂直的条件解决问题4.直观想象：直线斜率的几何意义，及平行与垂直的几何直观【教学重点】：理解两条直线平行或垂直的判断条件【教学难点】：会利用斜率判断两条直线平行或垂直【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学过山车是一项富有刺激性的娱乐项通过生活中的现实情境，提出问题，明确研究问题运用代数方法探究两直线判断两直线是否平行的步骤例2(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直. (2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.解:(1)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率为0,所以l 1⊥l 2.(2)由题意,知直线l 2的斜率k 2一定存在,直线l 1的斜率可能不存在. 当直线l 1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k 2=0,则l 1⊥l 2,满足题意.当直线l 1的斜率k 1存在时,a ≠5,由斜率公式,得k 1=3-aa -2-3=3-a a -5,k 2=a -2-3-1-2=a -5-3.由l 1⊥l 2,知k 1k 2=-1,即3-aa -5×a -5-3=-1,解得a=0. 综上所述,a 的值为0或5.两直线垂直的判定方法两条直线垂直需判定k 1k 2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.跟踪训练1 已知定点A (-1,3),B (4,2),以AB 为直径作圆,与x 轴有交点P ,则交点P 的坐标是 . 解析:设以AB 为直径的圆与x 轴的交点为P (x ,0).∵k PB≠0,k PA≠0,∴k PA·k PB=-1,即0-3x+1·0-2x -4=-1,∴(x+1)(x-4)=-6,即x 2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故点P 的坐标为(1,0)或(2,0). 答案:(1,0)或(2,0)例3 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.解:由斜率公式得k OP =t -01-0=t ,k RQ =2-(2+t )-2t -(1-2t )=-t -1=t ,k OR =2-0-2t -0=-1t , k PQ =2+t -t 1-2t -1=2-2t =-1t .所以k OP =k RQ ,k OR =k PQ ,从而OP ∥RQ ,OR ∥PQ.所以四边形OPQR 为平行四边形. 又k OP·k OR=-1,所以OP ⊥OR ,故四边形OPQR 为矩形.延伸探究1 将本例中的四个点,改为“A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0),顺次连接A ,B ,C ,D 四点,试判断四边形ABCD 的形状.” 由斜率公式可得k AB =5-32-(-4)=13,k CD =0-3-3-6=13,k AD =0-3-3-(-4)=-3,k BC =3-56-2=-12. 所以k AB=k CD,由图可知AB 与CD 不重合,所以AB ∥CD ,由k AD≠k BC,所以AD 与BC 不平行.又因为k AB ·k AD =13×(-3)=-1,所以AB ⊥AD ,故四边形ABCD 为直角梯形.解:由题意A ,B ,C ,D 四点在平面直角坐标系内的位置如图, 延伸探究2 将本例改为“已知矩形OPQR 中四个顶点按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),试求顶点R 的坐标.” 解:因为OPQR 为矩形,所以OQ 的中点也是PR 的中点.设R (x ,y ),则由中点坐标公式知{0+1-2t2=1+x 2,0+2+t2=t+y 2,解得{x =-2t ,y =2.所以R 点的坐标是(-2t ,2).利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤 描点→在坐标系中描出给定的点 ↓猜测→根据描出的点，猜测图形的形状 ↓求斜率→根据给定点的坐标求直线的斜率 ↓结论→由斜率之间的关系判断形状点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．金题典例 已知点A (0,3),B (-1,0),C (3,0),且四边形ABCD 为直角梯形,求点D 的坐标.思路分析:分析题意可知,AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD 是直角梯形的直角边和AD 是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D 的坐标为(x ,y ),若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,根据已知可得k BC=0,CD 的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据k AD=k BC即可得到关于x 、y 的方程,结合x 的值即可求出y ,那么点D 的坐标便不难确定了,同理再分析AD 是直角梯形的直角边的情况.解:设所求点D 的坐标为(x ,y ),如图所示,由于k AB=3,k BC=0,则k AB·k BC=0≠-1,即AB 与BC 不垂直,故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边.①若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,∵k BC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有x=3.又∵k AD =k BC ,∴y -3x=0,即y=3.此时AB 与CD 不平行.故所求点D 的坐标为(3,3).②若AD 是直角梯形的直角边,则AD ⊥AB ,AD ⊥CD ,k AD =y -3x,k CD =yx -3.由于AD ⊥AB ,则y -3x·3=-1.又AB ∥CD ,∴y x -3=3.解上述两式可得{x =185,y =95,此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为185,95.综上可知,使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或185,95.反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.四、小结【教学反思】本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励. 教师的授课的想办法降低教学难度，让学生能轻易接受《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定》导学案【学习目标】1.理解两条直线平行与垂直的条件.2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题. 【重点和难点】重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件 难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直 【知识梳理】 一、自主导学（一）、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1,l 2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k 1,k 2.则对应关系如下:前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°对应关系l 1∥l 2⇔k 1=k 2l 1∥l 2⇔两直线斜率都不存在图 示点睛：若没有指明l 1,l 2不重合,那么k 1=k 2⇔{l 1∥l 2,或l 1与l 2重合,用斜率证明三点共线时,常用到这一结论.（二）、两条直线垂直与斜率之间的关系对应关系l 1与l 2的斜率都存在,分别为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1l 1与l 2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2.图示点睛：“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还有可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.二、小试牛刀1.对于两条不重合的直线l 1,l 2,“l 1∥l 2”是“两条直线斜率相等”的什么条件?2.已知直线l 1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l 2经过两点(2,1),(x ,6),且l 1∥l 2,则x= .3．思考辨析(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( ) (2)若l 1∥l 2，则k 1＝k 2.( )(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( )4.若直线l 1,l 2的斜率是方程x 2-3x-1=0的两根,则l 1与l 2的位置关系是 .【学习过程】 一、情境导学过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?二、典例解析例1 判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行:(1)l 1经过点A (-1,-2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (-1,-1);(2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2);(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (-1,3),N (2,0);(4)l 1经过点A (-3,2),B (-3,10),l 2经过点M (5,-2),N (5,5).延伸探究 已知A (-2,m ),B (m ,4),M (m+2,3),N (1,1),若AB ∥MN ,则m 的值为 . 判断两直线是否平行的步骤例2(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a的值.两直线垂直的判定方法条直线垂直需判定k 1k 2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.跟踪训练1 已知定点A (-1,3),B (4,2),以AB 为直径作圆,与x 轴有交点P ,则交点P 的坐标是 .例3 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.延伸探究1 将本例中的四个点,改为“A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0),顺次连接A ,B ,C ,D 四点,试判断四边形ABCD 的形状.”延伸探究2 将本例改为“已知矩形OPQR 中四个顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),试求顶点R的坐标.”利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤描点→在坐标系中描出给定的点↓猜测→根据描出的点，猜测图形的形状↓求斜率→根据给定点的坐标求直线的斜率↓结论→由斜率之间的关系判断形状点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．金题典例已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),且四边形ABCD为直角梯形,求点D的坐标.反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.【达标检测】1．下列说法正确的是( )A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行2.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为()A.1a B.a C.-1aD.-1a或不存在3.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为.4.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m= .5.顺次连接A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0)四点,判断四边形ABCD 形状. 【课堂小结】【参考答案】 知识梳理 二、小试牛刀1.答案:必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等,则两直线一定平行;反过来,两直线平行,有可能两直线斜率均不存在.2.解析:由题意知l 1⊥x 轴.又l 1∥l 2,所以l 2⊥x 轴,故x=2. 答案:23．答案： (1)× 也可能重合．(2)× l 1∥l 2，其斜率不一定存在． (3)× 不一定垂直，只有另一条直线斜率为0时才垂直．(4)√ 4.解析:由根与系数的关系,知k 1k 2=-1,所以l 1⊥l 2. 答案:l 1⊥l 2 学习过程例1 思路分析: 斜率存在的直线求出斜率,利用l 1∥l 2⇔k 1=k 2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论.解:(1)k 1=1-(-2)2-(-1)=1,k 2=-1-4-1-3=54,k 1≠k 2,l 1与l 2不平行. (2)k 1=1,k 2=2-12-1=1,k 1=k 2, 故l 1∥l 2或l 1与l 2重合.(3)k 1=0-11-0=-1,k 2=0-32-(-1)=-1,则有k 1=k 2.又k AM =3-1-1-0=-2≠-1,则A ,B ,M 不共线.故l 1∥l 2.(4)由已知点的坐标,得l 1与l 2均与x 轴垂直且不重合,故有l 1∥l 2.延伸探究 解析:当m=-2时,直线AB 的斜率不存在,而直线MN 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意;当m=-1时,直线MN 的斜率不存在,而直线AB 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意; 当m ≠-2,且m ≠-1时,k AB =4-mm -(-2)=4-mm+2,k MN =3-1m+2-1=2m+1.因为AB ∥MN ,所以k AB =k MN , 即4-m m+2=2m+1,解得m=0或m=1.当m=0或1时,由图形知,两直线不重合. 综上,m 的值为0或1. 答案:0或1例2思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.解:(1)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率为0,所以l 1⊥l 2.(2)由题意,知直线l 2的斜率k 2一定存在,直线l 1的斜率可能不存在.当直线l 1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k 2=0,则l 1⊥l 2,满足题意.当直线l 1的斜率k 1存在时,a ≠5,由斜率公式,得k 1=3-a a -2-3=3-a a -5,k 2=a -2-3-1-2=a -5-3.由l 1⊥l 2,知k 1k 2=-1,即3-aa -5×a -5-3=-1,解得a=0.综上所述,a 的值为0或5.跟踪训练1 解析:设以AB 为直径的圆与x 轴的交点为P (x ,0).∵k PB≠0,k PA≠0,∴k PA·k PB=-1,即0-3x+1·0-2x -4=-1,∴(x+1)(x-4)=-6,即x 2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故点P 的坐标为(1,0)或(2,0). 答案:(1,0)或(2,0)例3 思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.解:由斜率公式得k OP =t -01-0=t ,k RQ =2-(2+t )-2t -(1-2t )=-t -1=t ,k OR =2-0-2t -0=-1t , k PQ =2+t -t 1-2t -1=2-2t =-1t .所以k OP =k RQ ,k OR =k PQ ,从而OP ∥RQ ,OR ∥PQ.所以四边形OPQR 为平行四边形. 又k OP·k OR=-1,所以OP ⊥OR ,故四边形OPQR 为矩形. 延伸探究1 由斜率公式可得k AB =5-32-(-4)=13,k CD =0-3-3-6=13,k AD =0-3-3-(-4)=-3,k BC =3-56-2=-12. 所以k AB=k CD,由图可知AB 与CD 不重合,所以AB ∥CD ,由k AD≠k BC,所以AD 与BC 不平行.又因为k AB ·k AD =13×(-3)=-1,所以AB ⊥AD ,故四边形ABCD 为直角梯形.解:由题意A ,B ,C ,D 四点在平面直角坐标系内的位置如图, 延伸探究2 解:因为OPQR 为矩形,所以OQ 的中点也是PR 的中点.设R (x ,y ),则由中点坐标公式知{0+1-2t2=1+x 2,0+2+t2=t+y 2,解得{x =-2t ,y =2.所以R 点的坐标是(-2t ,2).金题典例 思路分析:分析题意可知,AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD 是直角梯形的直角边和AD 是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D 的坐标为(x ,y ),若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,根据已知可得k BC=0,CD 的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据k AD=k BC即可得到关于x 、y 的方程,结合x 的值即可求出y ,那么点D 的坐标便不难确定了,同理再分析AD 是直角梯形的直角边的情况. 解:设所求点D 的坐标为(x ,y ),如图所示,由于k AB=3,k BC=0,则k AB·k BC=0≠-1,即AB 与BC 不垂直,故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边.①若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,∵k BC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有x=3.又∵k AD =k BC ,∴y -3x=0,即y=3.此时AB 与CD 不平行.故所求点D 的坐标为(3,3).②若AD 是直角梯形的直角边, 则AD ⊥AB ,AD ⊥CD ,k AD =y -3x,k CD =yx -3.由于AD ⊥AB ,则y -3x·3=-1.又AB ∥CD ,∴y x -3=3.解上述两式可得{x =185,y =95,此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为185,95.综上可知,使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或185,95.达标检测1． 解析：A 中，l 1与l 2可能重合；B 中，l 1，l 2可能存在其一没斜率；C 中，直线也可能与y 轴重合；D 正确，选D.答案 D2. 解析:若a ≠0,则l 2的斜率为-1a ;若a=0,则l 2的斜率不存在.答案:D3.解析:由题意,得a -(-1)3-(-2)=1,即a=4. 答案:44.解析:设直线AD ,BC 的斜率分别为k AD ,k BC ,由题意,得AD ⊥BC , 则有k AD ·k BC =-1,所以有1-2m -2·3-14-0=-1,解得m=52. 答案:525.解:k AB =13,k BC =-12,k CD =13,k AD =-3, 所以直线AD 垂直于直线AB 与CD ,而且直线BC 不平行于任何一条直线,所以四边形ABCD 是直角梯形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -基础练》同步练习一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．若直线与的斜率相等，则 B ．若直线与互相平行，则它们的斜率相等C ．在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交D ．若直线与的斜率都不存在，则2．过点和点的直线与轴的位置关系是（ ） A ．相交但不垂直B ．平行C ．重合D ．垂直3．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（ ） A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直4．已知的三个顶点坐标分别为，，，则其形状为( ) A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断5．（多选题）下列说法错误．．的是（ ） A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C ．垂直的两条直线的斜率之积为一1 D ．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行6．（多选题）已知A(m ，3)，B(2m ，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为 ( )A ．1B ．0C ．2D ．-1 二、填空题7．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝_____；若直线l 1⊥l 2，则a ＝_______1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //(1,2)A ()3,2B -x 1l ()3,4A -()8,1B --2l 1351l 2l ABC ∆()5,1A -()1,1B ()2,3C8．直线的倾斜角为，直线过，，则直线与的位置关系为______.9.已知点A （－2，－5），B （6,6），点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为 . 10．已知，，，点满足，且，则点的坐标为______ 三、解答题11．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)． 12．已知在平行四边形ABCD 中，. （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -基础练》同步练习答案解析一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．若直线与的斜率相等，则 B ．若直线与互相平行，则它们的斜率相等C ．在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交D ．若直线与的斜率都不存在，则 【答案】C【解析】对于A, 若直线与的斜率相等，则或与重合；对于B ，若直线与互相平行，则它们的斜率相等或者斜率都不存在；对于D ，若与的斜率都不存在，则1l 452l ()2,1A --()3,4B 1l 2l 1,0A ()3,2B ()0,4C D AB CD ⊥//AD BC D (1,2),(5,0),(3,4)A B C 1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //或与重合.2．过点和点的直线与轴的位置关系是（ ） A ．相交但不垂直 B ．平行C ．重合D ．垂直【答案】B【解析】两点的纵坐标都等于 直线方程为：直线与轴平行.3．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（ ） A ．垂直 B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直【答案】A 【解析】直线经过，两点 直线的斜率： 直线的倾斜角为 直线的斜率：，，.4．已知的三个顶点坐标分别为，，，则其形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断【答案】A【解析】由题意得：；,, , 为直角三角形.5．（多选题）下列说法错误．．的是（ ） A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C ．垂直的两条直线的斜率之积为一1 D ．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行 【答案】ACD【解析】当两直线都与轴垂直时，两直线平行，但它们斜率不存在．所以A 错误．由直线倾斜角定义可知B 正确，当一条直线平行轴，一条平行轴，两直线垂直，但斜率之积不为-1，所以C 错误，当两条直线斜率都不存在时，两直线平行，所以D 错误，故选B ． 6．（多选题）已知A(m ，3)，B(2m ，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，1l 2l (1,2)A ()3,2B -x ,A B 2∴AB 2y =∴AB x 1l ()3,4A -()8,1B --2l 1351l 2l 1l ()3,4A -()8,1B --∴1l 141138k +==-+2l 135∴2l 2tan1351k ==-121k k ∴⋅=-12l l ∴⊥ABC ∆()5,1A -()1,1B ()2,3C 111152AB k +==--31221BC k -==-1AB BC k k ∴⋅=-AB BC ∴⊥ABC ∆∴x x y则m 的值为 ( )A ．1B ．0C ．2D ．-1 【答案】AB【解析】 当AB 与CD 斜率均不存在时， 故得m=0，此时两直线平行；此时AB ∥CD ，当k AB =k CD 时，，得到m=1，此时AB ∥CD.故选AB ． 二、填空题7．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝_____；若直线l 1⊥l 2，则a ＝_______ 【答案】5；. 【解析】直线l 2的斜率k==a ﹣2．（1）∵l 1∥l 2，∴a ﹣2=3，即a ＝5 （2）∵直线l 1⊥l 2，∴3k=﹣1，即3（a ﹣2）=﹣1，解得a=．8．直线的倾斜角为，直线过，，则直线与的位置关系为______.【答案】平行或重合【解析】倾斜角为， 的斜率，过点， ， 的斜率，， 与平行或重合. 9.已知点A （－2，－5），B （6,6），点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为 . 【答案】（0，－6）或（0,7）【解析】设点P 的坐标为（0，y ）．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，又k AP ＝，k BP ＝，k AP ·k BP ＝－1，所以·＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为（0，－6）或（0,7）．10．已知，，，点满足，且，则点的坐标为______ 【答案】2,11m m m =+=12m m m+=53221a --531l 452l ()2,1A --()3,4B 1l 2l 1l 451l ∴11k =2l ()2,1A --()3,4B 2l ∴241132k +==+12k k =1l ∴2l 1,0A ()3,2B ()0,4C D AB CD ⊥//AD BC D ()10,6-【解析】设，则，，， ，，解得：，即： 三、解答题11．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)． 【解析】 (1)k 1＝－10，k 2＝＝，∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴，k 2＝＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2. (3)k 1＝＝－1，k 2＝＝－1，∴k 1＝k 2.又k AM ＝＝－2≠k 1，∴l 1∥l 2.(4)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.12．已知在平行四边形ABCD 中，. （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.【解析】(1)设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，∴，解得.∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝＝1，k BD ＝＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．(),D x y 2131AB k ==-422033BC k -==--4CD y k x -=1AD y k x =-AB CD ∵⊥//AD BC 411213AB CD AD BCy k k xy k k x -⎧⋅=⨯=-⎪⎪∴⎨⎪===-⎪-⎩106x y =⎧⎨=-⎩()10,6D -(1,2),(5,0),(3,4)A B C《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -提高练》同步练习一、选择题1．下列各对直线不互相垂直的是 ( )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4)B ．l 1的斜率为-，l 2过点P(1，1)，QC．l 1的倾斜角为30°，l2过点P(3，Q(4，D ．l 1过点M(1，0)，N(4，-5)，l 2过点P(-6，0)，Q(-1，3)2．已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有 ( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个3．过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合4．已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为( )A ．B ．C ．D ．5．（多选题）下列命题中正确的为( ) A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行； B.若两直线平行，则它们的斜率相等； C.若两直线的斜率之积为，则它们垂直； D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为.6.（多选题）设点，给出下面四个结论，其中正确结论的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题7．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2，4)，B (1，2)，C (－2，3)，则BC 边上的高AD2310,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(1,1)E (1,0)F -,02k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,(0)4k N k ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ABC ∆()2,1B ()6,3C -()3,2H -A ()19,62--()19,62-()19,62-()19,621-1-(4,2),(6,4),(12,6),(2,12)P Q R S --//SR PQ PQ PS ⊥//PS QS RP QS ⊥所在直线的斜率为________．8．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B (－，1)，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．9．（1）已知点M(1，-3)，N(1，2)，P(5，y)，且∠NMP=90°，则l og 8(7+y)=_________. （2）若把本题中“∠NMP=90°”改为“log 8(7+y)=”，其他条件不变，则∠NMP=_____. 10．若点，，点C 在坐标轴上，使，则点C 的坐标为__________．三、解答题11．已知，，三点，若直线AB 的倾斜角为，且直线，求点A ，B ，C 的坐标．12．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )、B (5，－1)、C (4,2)、D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -提高练》同步练习答案解析一、选择题1．下列各对直线不互相垂直的是 ( )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4) B ．l 1的斜率为-，l 2过点P(1，1)，QC．l 1的倾斜角为30°，l2过点P(3，Q(4，D ．l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l 2过点P(-6，0)，Q(-1，3) 【答案】C【解析】A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4，，k PQ =B ．l 2过点P(1，1)，Q ，k PQ =。
国家课程校本化：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定(导学案)
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定一、课标解读1. 知识目标理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2. 能力目标通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．二、自学导引问题1 下列说法正确的个数为 （ ）○1若两条直线斜率相等，则两条直线平行；○2若12//l l ，则12k k =；○3若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两条直线相交；○4若两条直线斜率都不存在，则两条直线平行.A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A问题2 已知直线1l 的斜率为0，且直线12l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为 （ ）A. 00B. 0135C. 090D. 0180答案：C小结：1. 如何判定两条直线平行、垂直？三、典例精析例1 若直线1l 的斜率为a ，直线12l l ⊥，则直线2l 的斜率为 （ ） A. 1a B. a C. 1a - D. 1a-或不存在 答案：D例2 已知直线1l 经过点(3,),(1,2),A a B a -直线2l 经过点(1,2),(2,2)C D a -+.(1) 若12//l l ，求a 的值； (2)若12l l ⊥，求a 的值.答案：(1) 1a =或6a =；(2) 3a =或4a =-例3 已知(0,3),(1,0),(3,0),A B C -求D 点的坐标，使得：(1) 四边形ABCD 为平行四边形； (2) 四边形ABCD 为直角梯形.（注：,,,A B C D 按逆时针方向排列）答案：(1)(4,3)D ；(2)(3,3)D 和189(,)55D . 例4 已知三点(2,3),(4,3),(5,)2m A B C -在同一条直线上，求m 的值. 答案：12m =四、自主反馈1. 有如下几种说法：①若直线1l ，2l 都有斜率且斜率相等，则1l //2l ；②若直线1l ⊥2l ，则他们的斜率之积为-1；③两条直线的倾斜角的正弦值相等，则两直线平行. 以上三种说法中，正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 02. 顺次连接A （-4，3），B （2，5），C （6，3），D （-3，1）四点所组成的图形是（ ）A. 平行四边形B. 直角梯形C. 等腰梯形D. 以上都不对3．若过点P （1，4）和 的直线与直线 平行，则a 的值是（ ）A. 1B. -1C. 1≠aD. 1-≠a4. 求m 值，使过点A(m,1)，B(-1,m)的直线与过点P(1,2)，Q(-5,0)的直线(1)平行； (2)垂直答案：D,B,C 4. (1)21；(2)-2。
直线方程平行与垂直
§3.2.2两条直线平行与垂直的判定（一）导学案一、学习目标（1）明确直线平行与垂直的条件，利用直线的平行与垂直解决有关问题。
（2）理解两条直线平行、垂直条件的推导过程，注意解题思想的渗透和表述的规范性，培养学生的自主探索和自我概括能力．二、课前篇自学评价1、同一平面内不重合的两条直线的位置关系有_______ 、_______ _。
2、已知直线L 上的两点A(x 1, y 1) ,B ( x 2,y 2)，则直线L 的斜率为k=___ ____ _。
3、直线的斜率与倾斜角的关系是 __。
4、对于直角坐标系内的一条直线l ，它的位置由哪些条件确定 __。
三、课上篇新知探究判定直线1l 与2l 平行与垂直的前提是都存在斜率。
（1）如果1l 、2l 斜率都存在111x k y b +=；222x k y b +=则1l ∥2l ⇔___ ；特别地，如果1l 、2l 斜率都不存在，那么两直线都垂直于x 轴，故它们_______ ___．（2）如果1l 、2l 斜率都存在111x k y b +=；222x k y b +=，若1l ⊥2l ⇔____ _ _ _ ；特别地，若两条直线12,l l 中的一条斜率不存在，则另一条斜率为____ ____时，12l l ⊥. 探究（一）判断两条不重合直线平行三、例题讲解（一）.C C 2121平行与时，求证：当l l ≠结论：由例1所证结论，我们把与直线Ax+By+C=0平行的直线方程表示成Ax+By+D=0 （D ≠C ），其中D 待定，称为平行直线系方程。
同样可证明与直线y=kx+b 平行的直线可表示为1b kx y += 变式1：求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程。
（1） 121),2,1(+=-x y （2） 0532),4,1(=++-y x探究（二）判断两条直线垂直例题讲解（二）变式2：判断下列各组中的两条直线是否垂直,0:,0:12211=++=++C By Ax l C By Ax l 、已知直线例（1）2x-4y-7=0与2x+y-5=0 （2）y=3x+1与531+=x y （3）2x ＝7与3y-5=0例2.求证：直线Ax+By+C 1 =0与直线 Bx-Ay + C 2=0垂直.结论：一般地，我们把与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程表示为Bx-Ay+D=0 ，其中D 待定，称为垂直直线系方程。
人教新课标版四年级数学上册-垂直与平行 导学案
四年级数学上册预习导学案——垂直与平行四年级（）班姓名：预习自学内容：课本64－67页垂直与平行学习目标：1.在同一平面内至少画出三种不同位置关系的两条直线。
2.通过观察和操作等活动，分类并发现同一平面内两条线的位置关系——平行与相交，了解相交的特例——互相垂直，能正确判断相互平行与互相垂直。
3.学会画平行线和垂线。
4.联系生活中平行与垂直的应用，理解数学知识在生活中的意义。
重点：了解平行与相交，了解相交的特例——互相垂直。
学会画平行线和垂线。
预习自学过程：一、复习热身1．关于线，我们学过哪些？2．直线有什么特征？二、探索活动1．在纸上画两条直线，它们的位置关系有哪几种情况？尽可能多的画一画。
2．对照你画的直线再想一想直线的特征。
3．阅读课本65页，你有什么发现？（1）什么是互相平行？关键词是：（2）什么是互相垂直？关键词是：（3）怎样才能做到平行或垂直？（4）生活中，你见到过平行线或垂直线吗？举例说明。
你用平行或垂直解决过生活、学习中的什么问题吗？如果有，你是怎么用的？4．你会画垂线和平行线吗？阅读课本66、67页，你用过这种方法画图吗？试一试。
过A点画出这条直线的垂线和平行线，画的垂线要标出垂足。
•A画垂线需要注意：画平行线需要注意：4、小试身手（1）把课本68～69页1、2、4题做在课本上（画图一律用铅笔）。
（2）动手做一做58页3题。
二、收获与困惑1、通过预习自学，我学会了：2、我的困惑：自我评价：（好涂3颗，一般涂2颗，不满意涂1颗）家长评价：好，一般，不满意（打√）家长签字：。
垂直与平行导学案
垂直与平行的导学案一、温故而知新1、射线只有一个端点，可以向一端无限延___________________直线没有端点，可以向两端无限延伸______________________线段有两个点_____________________2、___________________________________________叫做角，角通常用符号来表示。
3、直角和平角的关系直角是90°平角是180°等于两个直角二、导入新知识1、生活中有哪些垂直或平行的例子如：2、在纸上任意画两条直线，会有哪几种情况？两条不相交的直线aab这样画也没有相交·Ab 两条相交的直线 aA·b我画的也是相交的aA·b3、把不相交的两条直线再画长一些会怎样？量一量两条直线所组成的角分别是多少度两条直线还是没有相交ab变成相交了每个角都是90角度不变4、通过画图我们发现了什么？叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
如果这两条直线相交成直角，，叫做垂足。
5、摆一摆把两根小棍摆成和第三根小棍平行，看一看，这两根小棍平行吗？把两根小棍都摆成和第三根小棍垂直。
看一看，这两根小棍有什么关系？三、动手做一做1、过直线上一点画这条直线的垂线。
（可以用三角尺花垂线）2、过直线外一点画这条直线的垂线，该怎样画呢？试一试。
3、把直线外一点A与直线上任意一点连接起来，可以画出很多条线段。
用尺量一下所画线段的长度。
哪一条线段最短？4、通过画图你了解到了什么？叫做这点到直线的距离5、怎样画平行线呢？可以用直尺和三角尺画平行线6、在右边这两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，量一量这些线段的长度，你发现了什么？7、讨论：怎样画一个长3厘米、宽2厘米的长方形？长方形的对边是互相平行的相临的两条边是互相垂直的可以用画垂线或平行线的方法画8、你知道吗？（数学书69页）平行和垂直可以用符号表示，如在正方形abcd中AB与CD平行，可以记作AB与BC垂直，可以记作9、这节课你学的快乐吗？你有什么收获？。
四年级上册《垂直与平行》导学案
四年级上册《垂直与平行》导学案一、学习目标1、理解垂直与平行的概念，能够准确判断两条直线的位置关系是垂直还是平行。
2、通过观察、操作、讨论、交流等活动，培养学生的空间观念和抽象思维能力。
3、感受数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。
二、学习重难点1、重点（1）理解垂直与平行的概念。
（2）能够正确判断两条直线的位置关系。
2、难点理解同一平面内两条直线的位置关系。
三、学习方法自主探究、合作交流、动手操作四、学习过程（一）情境导入同学们，我们在生活中经常会看到各种各样的直线。
比如，黑板的边缘、电线杆、窗户的边框等等。
今天，我们就来研究一下直线之间的位置关系。
（二）自主探究1、请同学们拿出两根小棒，在桌面上摆一摆，看看这两根小棒会形成怎样的位置关系。
2、把小棒想象成直线，将它们的位置关系画在纸上。
（三）合作交流1、小组内交流自己所画的直线位置关系。
2、讨论：这些直线的位置关系可以分为几类？（四）展示汇报每个小组派代表展示并讲解小组讨论的结果。
（五）归纳总结1、引导学生观察展示的作品，总结出两条直线的位置关系有相交和不相交两种情况。
2、相交的情况中，如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
3、不相交的情况中，如果两条直线永远不相交，就说这两条直线互相平行。
（六）巩固练习1、课本上的练习题，判断哪些直线是互相平行，哪些是互相垂直。
2、生活中还有哪些垂直与平行的例子，找一找并说一说。
（七）拓展延伸1、如果两条直线不是在同一平面内，它们的位置关系又会怎样呢？2、思考：在一个平面内，如果有三条直线，它们的位置关系可能有几种情况？（八）课堂小结1、这节课我们学习了什么知识？2、你有什么收获？（九）课后作业1、完成课本上的课后作业。
2、用今天所学的知识，设计一幅包含垂直和平行的图画。
通过这节导学案的学习，希望同学们能够对垂直与平行的概念有清晰的认识，并能在实际生活中运用所学知识解决问题。
新版第一节垂直与平行导学案
5.平行四边形和梯形第一节垂直与平行复述回顾（小组内复述回顾下列内容）说一说直线、线段、射线的特征。
设问导读1.把一张纸想象成一个平面，在纸上画两条直线，尽可能多画几组。
2．把组里同学画的两条直线，分一分类，看一看有几种情况。
我们发现：在同一平面内两条直线的位置关系有（）和（）两种。
阅读课本第56页、57页的内容，回答下列问题。
3.平行⑴在（）内（）的两条直线叫做平行线。
也可以说这两条直线（）。
⑵判断两条直线是否互相平行的关键是（）。
⑶. 如图a与b互相平行记做（），读作（）。
4．垂直⑴量一量本组同学画的两条相交直线成多少度角？按照角度这些相交直线又可以分成（）和（）两类。
⑵如果两条直线相交成（）时，这两条直线叫做互相垂直；其中一条直线叫做另一条直线的（），这两条直线的交点叫（）。
⑶判断一组直线是否互相垂直的关键是（）。
⑷如图直线a与b互相垂直，记做（），读作（）。
自我检测1.在日常生活中，有哪些垂直或平行的例子，写下来。
2.火眼金睛。
（下面每组线是平行还是垂直？互相平行的在括号里画“√”，互相垂直的画“○”，其余的画“×”）( )( )( )( )( )( )( )( )巩固练习一、填一填。
1、在一张纸上，画两条直线，这两条直线有（）种情况，分别是（）、（）。
2、在同一平面内（）的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线（）。
3、同一平面内的两条直线相交成（）时，这两条直线叫做互相垂直；其中一条直线叫做另一条直线的（），这两条直线的交点叫（）。
二.把各图中互相平行的线段描成红色，互相垂直的线段描成蓝色。
三．我是小法官。
1、两条不相交的直线就是平行线。
（）2、在同一平面内两条直线不是平行就是垂直。
（）3、将一张长方形纸对折再对折，所得的折痕一定互相平行。
（）4、两条直线相交的交点叫做垂足。
（）5、长方形的两组对边分别平行。
（）四.精挑细选。
（将正确答案的序号填在括号内）（1）在同一平面内，（）的两条直线叫做平行线。
两条直线平行与垂直的导学案(优质课)
y x o a§3.1.2两条直线平行与垂直的判定第1课时:两条直线平行的判定审核人：****** 执笔人：******姓名： 班别：一、学习目标：1、掌握两条直线平行的判定条件，并会判断两条直线是否平行2、会利用直线平行的条件解决一些相关的简单问题3、理解两条直线平行的推导过程，注意解题思想的渗透和表述的规范性， 培养学生的自主探索和自我概括能力二、学习过程复习回顾：1、直线倾斜角的定义: 当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴 与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角。
直线倾斜角α的取值范围：2、已知直线的倾斜角(90)οαα≠，则直线的斜率k= ；3、已知直线上两点1122(,),(,)A x y B x y 且12x x ≠，则直线的斜率k= . 自主探究,合作交流知识探究：两条直线平行的判定（小组自主探究，并尝试推导结论 ） 问题：设两条不重合的直线1l ，2l 的斜率分别为21,k k 。
探究1：如果21//l l ，则它们的斜率1k 和2k 相等吗？1、由⇒21//l l = (两条直线平行，同位角相等)⇒ 1tan α= （相同角的正切值相等）⇒ = （)90(tan≠=ααk ） 结论1：探究2：若21k k =，直线1l ，2l 是否平行？2、由⇒=21k k = （)90(tan ≠=ααk ）又 18001＜α≤， 18002＜α≤∴1α =⇒ （同位角相等，两直线平行）结论2：综上所述，对于两条不重合的直线1l ，2l ，其斜率分别为21,k k ，则⇔21//l l思考：当两条直线1l ，2l 重合时，它们的斜率21,k k 会怎样？因此，若直线1l ，2l 斜率存在时，21k k =⇔⎪⎩⎪⎨⎧__________________________________________例题分析例：已知)2,1(),1,3(),0,4(),3,2(---Q P B A , 试通过斜率判断直线AB 与PQ 的位置关系。
高一数学导学案两直线平行与垂直的判断
即墨实验高中高一数学导学案两直线平行与垂直的判定 编号：17编写人：万明君 审核人： 刘文宝 时间：2013-3-15【课前预习导读】一、学习目标：1．知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直。
2．过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力。
3．情感、态度与价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣。
二、学习重点：两条直线的平行与垂直的判定方法。
三、学习难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题。
四、自主预习1、设两条不重合的直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,若l 1∥l 2,则k 1 ____ k 2;反之,若k 1=k 2,则l 1 ____ l 2。
特别地，若两条不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线__________。
2、如果两条直线__________,且它们互相垂直,那么它们的斜率_________;反之,如果它们的斜率__________,那么它们互相垂直。
即l 1⊥l 2 ___________。
特别地，当一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时,这两条直线________。
五、基础自测 1、下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行; ②如果两直线平行,则它们的斜率相等; ③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直; ④如果两直线垂直,则它们斜率之积为-1. 其中正确的为( )A.①②③④B.①③C.②④D.以上全错2、已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m 的值为( ) A.-8 B.0 C.2 D.10【课堂自主导学】知识探究（一）：两条直线平行的判定思考1 （如图1） 若两条不同直线的倾斜角相等，这两条直线 的位置关系如何？反之成立吗？思考2 若两条不同直线的斜率相等，这两条直线的 位置关系如何？反之成立吗？ 结论1： 结论2：知识探究（二）：两条直线垂直的判定思考1 （如图2） 设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2, 且（α1，α2≠90°)，若l 1⊥l 2，则α1与α2之间有什么关系？ 思考2 已知ααtan 1)90tan(0-=+,据此，你能得出l 1与l 2斜率21,k k 之间的关系吗？反之成立吗？ 结论1： 结论2：【典例剖析】【例 1】已知A (2,3)，B (–4,0)，P （– 3，1），Q （–1，2），试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明你的结论。
《垂直与平行》教案设计
《垂直与平行》教案设计【教案设计】一、教学目标1. 知识目标：通过本节课的学习，学生能够理解垂直和平行的概念，并能够区分它们。
2. 能力目标：学生能够通过实际练习，灵活运用垂直和平行的概念，解决相关问题。
3. 情感目标：培养学生观察、思考和解决问题的兴趣，增强他们对数学的积极态度。
二、教学重难点1. 教学重点：让学生掌握垂直和平行的定义及其相互关系，能够应用到实际问题中。
2. 教学难点：引导学生理解垂直和平行的概念，并能够从图形中判断出垂直和平行的关系。
三、教学过程1. 导入（5分钟）教师出示两个垂直线和两个平行线的图像，让学生观察并思考它们的特点。
引导学生讨论并总结垂直和平行的概念。
2. 概念讲解（10分钟）通过幻灯片或黑板写出垂直和平行的定义，并做出图示说明。
引导学生理解垂直和平行的概念，并与已知的图像进行对比。
3. 实例分析与讨论（15分钟）教师出示几个图形，要求学生判断其中是否存在垂直或平行的线段，并进行解释。
学生可以结合定义和图形特点来判断，并能够互相交流讨论。
4. 练习巩固（15分钟）教师发放练习题，让学生独立完成。
练习题包括判断垂直或平行的线段以及应用垂直和平行概念解决实际问题。
学生完成后，教师进行讲解和订正。
5. 拓展应用（10分钟）教师出示一些日常生活中的图像，如建筑物、道路、交通标志等，要求学生找出其中垂直和平行的线段，并解释其特点和意义。
6. 归纳总结（5分钟）教师引导学生回顾本节课所学的垂直和平行的概念，并做简要总结。
学生可以自己用自己的话表达出来，教师进行点评和补充。
7. 实践应用（15分钟）教师将学生分成小组，要求他们通过观察周围环境，找出垂直和平行的线段，并解释其特点和作用。
学生通过实际操作和讨论，进一步加深对垂直和平行的理解。
四、教学反思本节课通过实际的图像让学生理解和区分垂直和平行的概念，并通过具体的练习和应用题让学生加深对垂直和平行的理解和应用能力。
同时，通过生活化的拓展应用和实践操作，培养了学生的观察和思考能力。
平行与垂直
博白镇第三小学四年级（上）册数学导学案主备人：庞秀英审核人:罗秀丽学习小组：学习小主人：学习时间：探究活动一. 画一画，看一看，想一想。
1．在下面任意画出两条直线。
2．小组探究：（1）把上面没有相交的直线再画长一些，6人组观察比较，找一找，有没有不管怎样延长也不相交的两条直线。
如果没有，请组内合作画出一组这样的直线。
（2）查找课本P56，组内议一议：怎样的两条直线才叫做平行线？3．在（）平面内（）的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线（）。
4.直线a与直线b互相平行，记作：读作：5．举例：生活中有关平行的例子有哪些？二．在下面画出三组相交的直线，其中一组有一个角是直角。
1.查找课本P57，什么叫做互相垂直？在你画的三个图中，找出互相垂直的一组，并标明直线a和直线b、垂足。
2.直线a与直线b互相垂直，记作：，读作： ;其中一条直线叫做另一条直线的（），这两条直线的交点叫做（）。
3．举例：生活中有关垂直的例子有哪些？三．展一展，议一议：什么是平行线和垂线？平行线和垂线怎样读？怎样写？四．快乐检测1．下面各组直线，哪一组互相平行？哪一组互相垂直？（在平行的一组下面画“∥”，在互相垂直下面画“⊥”）（）（）（）（）2．判断。
I（1）两条不相交的直线叫做平行线。
（）（2）长方形中两条相邻的边互相垂直。
（）（3）两条直线相交组成四个角中，如果有一个角是直角，其他的三个角也一定是直角。
（）（4）直线a和直线b互相垂直，直线a和直线b都是垂线（）3．指出下图中的垂直与平行，并写出来。
a bcd平行的有：垂直的有：五．全课总结。
第五单元《认识平行与垂直》(导学案)四年级上册数学人教版
第五单元《认识平行与垂直》导学案一、学习目标1. 认识平行线和垂直线，理解它们的定义和性质。
2. 能够在具体的图形中找出平行线和垂直线。
3. 掌握平行线和垂直线的画法，能够准确绘制出平行线和垂直线。
4. 能够运用平行线和垂直线的知识解决实际问题。
二、学习重点与难点1. 重点：平行线和垂直线的定义和性质，平行线和垂直线的画法。
2. 难点：理解平行线和垂直线的性质，能够灵活运用这些性质解决实际问题。
三、学习过程1. 导入新课：通过观察生活中的实例，引导学生发现平行线和垂直线的存在，激发学生的学习兴趣。
2. 探究新知：(1) 认识平行线：让学生在课本上找出平行线的实例，引导学生观察、讨论，总结平行线的定义和性质。
(2) 认识垂直线：让学生在课本上找出垂直线的实例，引导学生观察、讨论，总结垂直线的定义和性质。
(3) 平行线和垂直线的画法：教师示范平行线和垂直线的画法，学生跟随练习，掌握画法要领。
3. 实践应用：通过解决实际问题，让学生运用所学知识，巩固对平行线和垂直线的理解。
4. 总结提升：对本节课所学内容进行总结，引导学生梳理平行线和垂直线的定义、性质和画法，提高学生的数学思维。
四、课后作业1. 完成课后练习题，巩固对本节课所学知识的理解。
2. 观察生活中平行线和垂直线的实例，与同学分享，加深对平行线和垂直线的认识。
五、教学反思1. 教师要关注学生的学习情况，及时调整教学策略，确保每位学生都能掌握平行线和垂直线的知识。
2. 在教学过程中，教师要注重培养学生的观察、思考和总结能力，提高学生的数学素养。
3. 课后作业要适量，既能巩固所学知识，又不会增加学生的学习负担。
通过本节课的学习，学生能够掌握平行线和垂直线的定义、性质和画法，为今后的数学学习打下坚实的基础。
同时，教师也要不断反思、改进教学方法，提高教学质量，为学生的全面发展创造良好的条件。
重点关注的细节是“探究新知”部分，特别是平行线和垂直线的定义、性质以及画法的教授和练习。
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《垂直与平行》导学案
主备人审核人使用人使用日期
学习内容：书本64-65页。
学习目标：
1、感知生活中的垂直与平行的现象。
2、理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步理解垂线和平行线。
3、培养学生的空间观点及空间想象水平，引导学生具有合作探究的学习意识。
学习重点：准确理解“相交”、“互相平行”、“互相垂直”等概念。
学习难点：准确理解相交现象（特别是看似不相交，而实际上是相交现象的理解。
）学习过程：
一、复习导入，大胆想象
1、复习：直线有什么特点？
2、大胆想象：如果让你在纸上任意画两条的直线，这两条直线会是什么样子的呢？
二、观察分类，感知特征
1、出示有代表性的几组的直线：
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
2、分类：
（1）小组内部分类交流确定一下你认为最合理的分类方案。
直角→相互垂直
相交
（2）引导观察得出结论：同一平面非直角
不相交→平行线（相互平行）三、自主学习，探究新知
<一>理解平行线
1、学生自学课本65页中间部分。
2、小组代表汇报交流学习成果。
（1）理解平行线的概念，找出概念中的关键词。
（2）通过图形对比加深理解概念本质属性。
（3）通过判断深化理解概念。
3、师生共同小结。
<二>、理解垂线
1、学生们自学65页中间的部分。
2、小组代表汇报交流学习成果。
3、师生共同小结。
四、巩固练习，联系生活
1、你能在一张纸上折出平行线和垂线吗？小组交流折法。
2、65页“做一做”
让学生用小棒摆一摆，吧自己的发现在小组内说一说。
五、课堂小结
你这节课学会了什么？。