《算法设计与分析实用教程》习题参考解答

《算法设计与分析实用教程》参考解答

1-1 加减得1的数学游戏

西西很喜欢数字游戏，今天他看到两个数，就想能否通过简单的加减，使最终答案等于1。而他又比较厌烦计算，所以他还想知道最少经过多少次才能得到1。

例如，给出16,9：16-9+16-9+16-9-9-9+16-9-9=1，需要做10次加减法计算。

设计算法，输入两个不同的正整数，输出得到1的最少计算次数。（如果无法得到1，则输出-1）。

（1）若输入两个不同的正整数a,b均为偶数，显然不可能得到1。

设x*a与y*b之差为“1”或“-1”,则对于正整数a,b经n=x+y-1次加减可得到1。

为了求n的最小值，令n从1开始递增，x在1——n中取值，y=n+1-x：

检测d=x*a+y*b，若d=1或-1，则n=x+y-1为所求的最少次数。

（2）算法描述

// 两数若干次加减结果为1的数学游戏

#include

void main()

{long a,b,d,n,x,y;

printf(" 请输入整数a,b: ");

scanf("%ld,%ld",&a,&b);

if(a%2==0 && b%2==0)

{ printf(" -1\n");return;}

n=0;

while(1)

{ n++;

for(x=1;x<=n;x++)

{ y=n+1-x;d=x*a-y*b;

if(d==1 || d==-1) // 满足加减结果为1

{ printf(" n=%ld\n",n);return;}

}

}

}

请输入整数a,b: 2012,19

961

请输入整数a,b: 101,2013

606

1-2 埃及分数式算法描述

分母为整数分子为“1”的分数称埃及分数，试把真分数a/b 分解为若干个分母不为b 的埃及分数之和。

（1） 寻找并输出小于a/b 的最大埃及分数1/c ； （2） 若c>900000000，则退出；

（3） 若c ≤900000000，把差a/b-1/c 整理为分数a/b ，若a/b 为埃及分数，则输出后结束。

（4） 若a/b 不为埃及分数，则继续（1）、（2）、（3）。 试描述以上算法。

解：设)(int a

b d = (这里int(x)表示取正数x 的整数)，注意到1+<

b d ，有

)

1()1(1

1+-+++=d b b

d a d b

a

算法描述：令c=d+1，则 input (a,b) while(1)

{c=int(b/a)+1;

if(c>900000000) return; else

{ print(1/c+); a=a*c-b;

b=b*c; // a,b 迭代，为选择下一个分母作准备 if(a==1)

{ print(1/b);return;} } }

1-3 求解时间复杂度

求出以下程序段所代表算法的时间复杂度。 （1）m=0;

for(k=1;k<=n;k++) for(j=k;j>=1;j--) m=m+j;

解：因s=1+2+…+n=n(n+1)/2

时间复杂度为O(n 2

)。 （2）m=0; for(k=1;k<=n;k++) for(j=1;j<=k/2;j++)

m=m+j;

解：设n=2u+1，语句m=m+1的执行频数为 s=1+1+2+2+3+3+…+u+u=u(u+1)=(n −1)(n+1)/4 设n=2u ，语句m=m+1的执行频数为

s=1+1+2+2+3+3+…+u=u 2=n 2

/4

时间复杂度为O(n 2

)。 （3）t=1;m=0;

for(k=1;k<=n;k++) {t=t *k;

for(j=1;j<=k *t;j++)

m=m+j; }

解：因s=1+2×2!+ 3×3!+…+ n ×n!=(n+1)!−1 时间复杂度为O((n+1)!). （4）for(a=1;a<=n;a++) {s=0;

for(b=a *100−1;b>=a *100−99;b −=2) {for(x=0,k=1;k<=sqrt(b);k+=2) if(b%k==0)

{x=1;break;} s=s+x; } if(s==50)

printf("%ld \n",a);break;} }

解：因a 循环n 次；对每一个a,b 循环50次；对每一个b,k

2次。因而k 循环体的执行次数s 满足

250(1250250s L L ＜＜＜

算法的时间复杂度为O(n n )。

1-4 时间复杂度的一个性质

若p(n)是n 的多项式，证明：O(log(p(n)))=O(logn)。

证：设m 为正整数，p(n)=a1×n m +a2×n m-1

+…+am ×n ， 取常数c>ma1+(m-1)a2+…+am, 则

log(p(n))=ma1×logn+(m-1)a2×logn+…=(ma1+(m-1)a2+…)×logn

因而有O(log(p(n)))=O(logn)。

1-5 统计n!中数字“0”的个数

修改1.3.2计算n!的算法，统计并输出n!中数字“0”的个数及其尾部连续“0”的个数（n<10000）。

解：计算n!完成后，在j（1——m）循环中通过

if(a[j]==0) p++;

统计n!中数字“0”的个数p。

应用q=1; while(a[q]==0) q++;统计尾部连续“0”的个数q-1。

// 统计n!中0的个数及尾部连续0的个数（n<10000）

#include

#include

void main()

{ int g,j,k,m,n,p,q,t,a[40000];double s;

printf(" 请输入正整数n(n<10000): ");

scanf("%d",&n); // 输入n

s=0;

for(k=2;k<=n;k++)

s+=log10(k); // 对数累加确定n!的位数m

m=(int)s+1;

for(k=1;k<=m;k++)

a[k]=0; // 数组清零

a[1]=1;g=0;

for(k=2;k<=n;k++)

for(j=1;j<=m;j++)

{ t=a[j]*k+g; // 数组累乘并进位

a[j]=t%10;

g=t/10;

}

p=0;

for(j=m;j>=1;j--)

if(a[j]==0) p++; // p统计n!中0的个数

q=1;

while(a[q]==0) q++; // q尾部连续0的个数

printf(" p=%d,q=%d\n",p,q-1); // 输出结果

}

数据测试：

请输入正整数n(n<10000): 1000

p=472,q=249