上海市格致中学2020届高三数学9月开学考试(含解析)

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2023-2024学年上海市格致中学高三上学期开学考试数学试卷含详解

11．已知函数()f x ，()g x 22012exa a x a x a =++++ 12．已知曲线C 的方程为①无论a 取何值，曲线C 都关于原点中心对称；②无论a 取何值，曲线C 关于直线③存在唯一的实数a 使得曲线④当1a =时，曲线C 上任意两点间距离的最大值为A ．②③B ．①③④15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（a b >>的右焦点，则C 的离心率为（）A ．35B ．2316．定义：如果函数()y f x =在区间[a ()()()'2f b f a f x b a-=-，则称函数(y f =上的双中值函数，则实数t 的取值范围是A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．26,55⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题（本大题共5题，满分17．如图，已知正方体111ABCD A B C D -(1)已知点G 满足14DD DG =，求证(2)求点1C 到平面BEF 的距离.18．ABC 的内角、、A B C 的对边分别为(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且19．近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，现将一周网上买菜次数超过为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为民网上买菜情况，随机抽取了该社区喜欢网上买菜年龄不超过45岁的市民年龄超过45岁的市民合计(1)能否有99.9%的把握认为M (2)M 社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜择A 平台买菜，那么周二选择为13，求小张周二选择B 平台买菜的概率；在Rt PAC △中，2PC a =在Rt PBC 中，sin PCB ∠因此ACB PCA PCB ∠=∠+∠当ACB ∠是钝角时，如图，同理得45PCA ∠= ，30PCB ∠= ，因此二面角l αβ--的平面角为180所以二面角的大小是75 或165 .故答案为：75 或165 10．[2,3]【分析】求出线段MO 长的范围，结合给定条件，利用向量数量积的运算律求解作答【详解】正六边形的边长为2，则其半径为因此()(MA MB MO OA MO OB ⋅=+⋅+ 222||||||1[2,3]MO OA MO =-=-∈ ，所以MA MB ⋅的取值范围是[2,3].作1DD 中点H ，连接,AH HF ，因为ABFH 是平行四边形，所以BF AH ∥，在AHD 中，EG 为中位线，故所以∥EG BF ，故,,,B E G F 四点共面．（2）设1C 到平面BEF 的距离为在BEF △中，5,BE BF EF ==故BEF △的面积212BEF S =．同理11BC F S = ，由三棱锥1C -所以111233BEF BC F S h S ⋅=⋅ ，得故1C 到平面BEF 的距离为42118．(1)π3B =；(2)33(,)82.【分析】（1）根据给定条件，利用正余弦定理边化角结合和角的正弦求解作答（2）由正弦定理用角C 的三角函数表示出三角形面积，再借助三角函数性质求解作答设点(),P P P x y ，(),Q Q Q x y ，则221212P Q x x ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩又//PQ OA ，于是13P Q P Qy y x x -=-，则P y当()(){}2,0e e 2b ∞-∈-- 时，直线。

2023学年上海市格致中学高三数学第二学期开学考卷附答案解析

2023学年上海市格致中学高三数学第二学期开学考卷一、填空題（共12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分）1．等比数列{}n a 中，37,a a 是方程2630x x -+=的两个根，则5a =.2．已知两个单位向量a ，b满足4a b += a ，b的夹角为．3．已知函数()()2223ln 9f x f x x x =⋅-+'，则()1f =．4．已知函数()21,01,04x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若()34f x =-，则x =．5．已知集合()(){}30M x x m x =--=，()(){}310N x x x =--<，若M N ⋂≠∅，则实数m 的取值范围为．6．已知随机事件A ，B ，1()3P A =，1()4P B =，3()4P AB =∣，则()P B A =∣.7．已知复数1z 、2z 、3z 满足1231z z z ===，则123123111z z z z z z ++=++．8．已知()21nx x ++的展开式中各项系数和为27，则含4x 项的系数为．（用具体数字作答）9．将函数sin y x =图象上各点的横坐标缩小为原来的14，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π24个单位长度得到函数()y f x =的图象，则()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为．10．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ，()1f x +为偶函数，()g x 的图象关于点()1,0中心对称，若()()21f x g x x +=-，则()()22f g 的值为.11．在等差数列{}n a 中，25a =-，6a 与8a 互为相反数，n S 为{}na 的前n 项和，nn TnS =，则n T 的最小值是．12．已知平面向量a ，b ，e ，其中e为单位向量，若π,,456b b a e e e =--=，则a b - 的取值范围是.二、选择题（共4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，满分18分）13．已知双曲线()222:102x y C b b-=>的右焦点F 到其一条渐近线的距离为2，则C 的渐近线方程为（）A．y =B．2y x =±C．2y x=±D．y x =±14．已知函数()2log 1f x x =-，若0b c <<，12a <<，则（）A．()()()f b f c f a >>B．()()()f b f a f c >>C．()()()f a f b f c >>D．()()()f c f a f b >>15．直线y m =分别与直线y x =、曲线4ln y x x =-交于点A ，B ，则AB 的最小值为（）A．1ln 32+B．1ln 3+C．1ln 32+D．2ln 3+16．如图，在正四面体ABCD 中，,E F 是棱CD 上的三等分点，记二面角C AB E --，,E AB F F AB D ----的平面角分别为123,,θθθ，则（）A．123θθθ==B．123θθθ<<C．132θθθ=>D．132θθθ=<三、解答题（共5题，满分78分）17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 2sin sin A C A B =，2c b =．(1)求A ；(2)若ABC 的面积为2a 的值．18．如图，四边形ABCD 是一个半圆柱的轴截面，E ，F 分别是弧,DC AB 上的一点，EF AD ∥，点H 为线段AD 的中点，且4,30AB AD FAB ==∠=︒，点G 为线段CE 上一动点．(1)试确定点G 的位置，使//DG 平面CFH ，并给予证明；(2)求二面角C HF E --的大小．19．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）数据，统计结果如下表所示．组别[30,40][40,50][50,60][60,70][70,80][80,90[90,100]频数2515020025022510050(1)已知此次问卷调查的得分~(,210)Z N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），求(3679.5)P Z ≤≤；（附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσ-≤≈，()20.9545P X μσ-≤≈，()30.9973P X μσ-≤≈，14.5≈）(2)在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；②每次赠送的机制为：赠送20元话费的概率为34，赠送40元话费的概率为14．现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为X 元，求X 的分布及期望．20．如图，椭圆1Γ、双曲线2Γ中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，且有相同的顶点1A ，2A ，1Γ的焦点为1F ，2F ，2Γ的焦点为1E ，2E ，点1A ，1F ，O ，2F ，2A 恰为线段12E E 的六等分点，我们把1Γ和2Γ合成为曲线Γ，已知1Γ的长轴长为4.(1)求曲线Γ的方程；(2)若M 为Γ上一动点，(0,4)T 为定点，求||MT 的最小值；(3)若直线l 过点O ，与1Γ交于1P ，2P 两点，与2Γ交于1Q ，2Q 两点，点1P 、1Q 位于同一象限，且直线1111PF Q E //，求直线l 的方程.21．已知函数()y f x =在区间[)1,+∞上有定义，实数a 、b 满足1a b ≤<．若()y f x =在区间(],a b 上不存在最小值，则称函数()y f x =在区间(],a b 上具有性质P ．(1)若函数y x m =-在区间(]1,2上具有性质P ，求实数m 的取值范围；(2)已知函数()y f x =满足()()()11f x f x x +=-∈R ，且当12x <≤时，()f x x =．试判断函数()y f x =在区间(]1,4上是否具有性质P ，并说明理由；(3)已知对满足1a b ≤<的任意实数a 、b ，函数()y f x =在区间(],a b 上均具有性质P ，且对任意正整数n ，当(),1x n n ∈+时，均有()()()()()()11f n f x f x f n f n f n -+-+=-+．证明：当1x ≥时，()()2f x f x >．【分析】由韦达定理与等比数列的性质求解【详解】由题意得376a a +=，23753a a a ==，而5a 与37,a a同号，为正数，故5a =2．23π##120 【分析】首先根据平面向量的运算律求出a b ⋅，再根据夹角公式计算可得；【详解】解：由单位向量a ，b满足4a b += 得2413a b += ，所以2216813a a b b +⋅+= ，12a b ⋅=- ，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅，又[],0,π∈a b ,所以2,3a b π= .故答案为：23π3．169【分析】对()f x 求导，再代入3x =，从而求得()31f '=，进而得到()222ln 9f x x x x =-+，由此计算可得()1f .【详解】因为()()2223ln 9f x f x x x =⋅-+'，所以()()41239f x f x x''=-+，则()()4132333f f ''=-+，解得：()31f '=，所以()222ln 9f x x x x =-+，则()21612ln199f =-+=.故答案为：169.4．7或2-【分析】根据题意,结合函数的解析式,分2种情况讨论,求出x 的值,综合可得答案.【详解】根据题意，函数21,0()1,04x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，对于3()4f x =-，当0x ≤时，3()214xf x =-=-，则有2x =-当0x >时，3()144x f x =-=-，则有7x =，综合可得:7x =或2-.故答案为：7或2-.5．()1,3【分析】求出集合N ，由M N ⋂≠∅，得出M 中有元素在()1,3中，即可由此得出答案.【详解】若3m =，则()(){}{}303M x x m x =--==，若3m ≠，则()(){}{}30,3M x x m x m =--==，()(){}{}31013N x x x x x =--<=<<，M N ⋂≠∅ ，M ∴中有元素在()1,3中，3m ∴≠，即{},3M m =，则()1,3m ∈，故答案为：()1,3.6．716【分析】首先求出3()4P AB =|，则3()16P AB =，则9()16P B A =∣，最后利用对立事件的求法即可得到答案.【详解】依题意得()3(|)()4P AB P A B P B ==，所以3313()()44416P AB P B ==⨯=故3()916()1()163P AB P B A P A ===∣，所以7(|)1(|)16P B A P B A =-=.故答案为：716.7．1【分析】由题知111z z ⋅=，221z z ⋅=，331z z ⋅=，再代换123123111z z z z z z ++++中的1即可得答案.【详解】解：因为复数1z 、2z 、3z 满足1231z z z ===，所以111z z ⋅=，221z z ⋅=，331z z ⋅=，所以3311221231231231221221231111z z z z z z z z z z z z z z zz z z z z z z z z ⋅⋅⋅++++++===++++++故答案为：18．6【分析】利用赋值法可求得3n =，再将三项拆分成两项根据4x 项的组成分别计算即可得其系数.【详解】令1x =，可得327n =，所以3n =，则()321x x ++的展开式中只有()2232C x x +和()3332C x x +中含4x 项，分别为()22204322C C 3x x x =和()122431333C C x x x =，故其系数为336+=.故答案为：69．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】直接利用三角函数图象的变换和正弦型函数的性质即可求解.【详解】函数sin y x =图象上各点的横坐标缩小为原来的14，纵坐标不变，得到sin 4y x =的图象，再将所得图象向左平移π24个单位长度得到函数()πsin 46y f x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π4[,]666x +∈，所以函数的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10．2【分析】通过赋值得(2)(2)3f g +=，结合函数对称性，奇偶性得到2()()(2)(2)1f x g x f x g x x +=---=-，则()()221f g -=-，解出即可.【详解】因为2()()1f x g x x +=-，令2x =得(2)(2)3f g +=，又因为()1f x +是偶函数，所以()f x 图像关于直线1x =对称，即()()2f x f x =-①又因为()g x 的图像关于()1,0中心对称，所以函数()(1)h x g x =+是奇函数，即()()h x h x -=-，(1)(1)g x g x -+=-+，令1x -+代换x ，得()(2)g x g x =--+②则将①②代入()()f x g x +得2()()(2)(2)1f x g x f x g x x +=---=-令0x =得(2)(2)1f g -=-结合(2)(2)3f g +=，解得(2)1f =，(2)2g =，所以(2)(2)2f g =，故答案为：2.11．6【分析】根据条件求出16a =-，1d =，对n 进行分类讨论求出n S ，求出n T 的表达式，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得到答案；【详解】 680a a +=，25a =-，∴1121205a d a d +=⎧⎨+=-⎩，，解得：16a =-，1d =，∴6(1)7n a n n =-+-=-，07n a n ⇒ ，017n a n ⇒≤≤ ，∴当17n ≤≤时，n S =12)(n a a a -+++ (67)(13)22n n n n ⋅-+--=-=-，当8n ≥时，12n n S a a a =+++ ()7122n S a a a =++++ (13)422n n ⋅-=+，∴当17n ≤≤时，2(13)2n n n n T nS -==-，考察函数32132x x y -=-，2'3262x x y -=-，当17x ≤≤时，'0>y ，∴32132x x y -=-在[1,7]单调递增，∴当17n ≤≤时，16T =为最小值；当8n ≥时，2(13)422n n n n T nS n ⋅-==+，考察函数3213422x x y x -=+，2'326422x x y -=+，当8x ≥时，'0>y ；∴函数在[8,)+∞单调递增，∴当8n =时，8176T =为最小值；综上所述：n T 的最小值是6；故答案为：612．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】建立如图所示坐标系，不妨设(1,0),,e OE a OA b OB ====，由题意π,456b b e e --=，可知π4,56b e b e --=，记(4,0)C ，(5,0)D ，则π,6BC BD = ，求出点B 的轨迹方程，由a b - 的几何意义可得a b -即为A 点的轨迹上的点到B 点的轨迹上的点的距离，从而可得出答案．【详解】解：建立如图所示坐标系，不妨设(1,0),,e OE a OA b OB ====，由π,6a e = 知，点A 在直线(0)y x =>或(0)y x =>上，由题意π,456b b e e --=，可知π4,56e b e --=，记(4,0)C ，(5,0)D ，则π,6BC BD =，由定弦所对的角为顶角可知点B 的轨迹是两个关于x 轴对称的圆弧，设(,)B x y ，则(4,),(5,)BC x y BD x y =--=--，因为cos ,BC BDBC BD BC BD⋅=，即2整理得229()(1(0)2x y y -+=>或229()(1(0)2x y y -+=<，由对称性不妨只考虑第一象限的情况，因为a b -的几何意义为：圆弧229()(1(0)2x y y -+-=>的点到直线(0)3y x x =>上的点的距离，112-=，故1,2a b ⎡⎫-∈+∞⎪⎢⎣⎭．故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是建立平面直角坐标系，利用坐标法求出动点的轨迹，再结合解析几何的知识求出向量模的取值范围.13．A【分析】根据双曲线的焦点、渐近线方程，利用点到直线的距离求解.【详解】由22212x y b-=知，双曲线的渐近线为方程为y x =，(c,0)F ，2bcb c===，∴双曲线C的渐近线方程为y =.故选：A 14．A【分析】由对数型复合函数的单调性判断即可得出结果.【详解】作出函数()2log 1f x x =-，的图象如图所示：则()2log 1f x x =-的单调递增区间为：()1,+∞，单调递减区间为：(),1-∞.12a << ，011a ∴<-<，∴22log ()log (11)0a f a a -==-<.0b c <<,0,111b c b c ∴->->->->22log (1)log (1)0b c ∴->->.2222()log (1),log 1lo (g )log (1),1b c f b b f c c ==-==--- ()()().f b f c f a ∴>>故选：A15．B【分析】由题意可知A ，B 两点的坐标为(),A m m ，()0,B x m ，则00l 3n A x B x =-，令()3ln f x x x =-，利用导数研究函数的单调性即可求出最小值.【详解】解：由题意可知，直线y m =与直线y x =的交点(),A m m ，直线y m =与曲线4ln y x x =-交点()0,B x m ，满足()0004ln 0m x x x =->，则()0000000034ln ln ln 3A m x x x x x x x x B =-==--=--，设()3ln f x x x =-，0x >，则1()3f x x'=-，由()0f x '>，得13x >；()0f x '<，得103x <<，所以()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则()1113ln 1ln 3333f x f ⎛⎫≥=⨯-=+ ⎪⎝⎭，即min 1ln 3AB =+，故选：B．16．D【分析】取AB 的中点G ，然后证明AB ⊥平面CDG ，然后根据二面角平面角的定义找到123,,θθθ，最后结合余弦定理得到答案.【详解】如图1，在正四面体ABCD 中，取AB 的中点G ，连接CG ,DG ，则,CG AB DG AB ⊥⊥，而CG DG G = ，所以AB ⊥平面CDG ，连接EG ,FG ，因为EG ⊂平面CDG ，FG ⊂平面CDG ，所以,AB EG AB FG ⊥⊥.由二面角的平面角的定义可以判断123,,CGE EGF FGD θθθ=∠=∠=∠，由对称性容易判断13θθ=.设该正四面体的棱长为6，如图2，CD =6，易得CG DG ==，取CD 的中点H ，则GH CD ⊥，CE =2，EH =HF =1，在GCH △中，由勾股定理可得GH ==，于是GE GF =于是，在GCE 中，由余弦定理可得22212cosθ+-==在GEF △中，由余弦定理可得2222217cos19θ+-==，而2249931172898671757108319361108319⎛⎫==>==> ⎪⎝⎭，即12121cos cos 0θθθθ>>>⇒<，于是132θθθ=<.故选：D.17．(1)π4A =(2)20-【分析】（1）根据正弦定理与2c b =求出tan 1A =，进而得到π4A =；（2）结合第一问求出的π4A =和2c b =，ABC 的面积，得到2b =，4c =，再用余弦定理求出2a .【详解】（1）因为cos sin 2sin sin A C A B =，由正弦定理得：cos 2sin c A b A ⋅=，所以tan 2c A b=，因为2c b =，所以tan 1A =，因为()0,πA ∈，所以π4A =；（2）ABC 的面积为1sin 24bc A =，因为2c b =，ABC 的面积为所以22b =，解得：2b =，故24c b ==，所以2222cos 4162242082a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=-18．(1)点G 为CE 的中点，证明见解析(2)6π【分析】（1）利用取中点，利用中位线的性质构造平行四边形，进而可进一步判断线面平行；（2）利用垂直关系建立空间直角坐标系后，证明BF ⊥平面EFH ，平面EFH 的一个法向量为FB，求平面CFH 的一个法向量(,,)n x y z = ，||cos cos ,|||||n FB n FB n FB θ⋅=〈=〉∣，可进一步得解.【详解】（1）当点G 为CE 的中点时，DG ∥平面CFH ．证明：取CF 得中点M ，连接,HM MG ．∵G ，M 分别为CE 与CF 的中点，∴GM EF ∥，且1122GM EF AD ==，又H 为AD 的中点，且,AD EF AD EF =∥，∴,GM DH GM DH =∥．四边形GMHD 是平行四边形，∴HM DG ∥又HM ⊂平面,CFH DG ⊄平面CFH ∴DG ∥平面CFH（2）由题意知，AB 是半圆柱底面圆的一条直径，∴AF BF ⊥．∴cos30sin 302AF AB BF AB ===︒=︒．由,EF AD AD ⊥∥底面ABF ，得EF ⊥底面ABF ．∴,EF AF EF BF ⊥⊥．以点F 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0),(0,2,4),F B C H(0,2,4)FH FC ==设平面CFH 的一个法向量为(,,)n x y z =所以20240n FH z n FC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩则令1z =则2,3y x =-=-即2,13n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由,,BF AF BF FE AF FE F ⊥⊥= ．得BF ⊥平面EFH ∴平面EFH 的一个法向量为(0,2,0)FB =设二面角C HF E --所成的角为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则||cos cos ,|||||n FB n FB n FB θ〉⋅=〈== ∣∴二面角C HF E --所成的角为6π.19．(1)0.8186(2)分布列见解析，期望为752【分析】（1）根据题中的统计表，求得65μ=，结合366565≈-≈(3679.5)P Z ≤≤的值.（2）根据题得到话费X 可能的值有20，40，60，80元，根据互斥事件与独立事件的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】（1）解：根据题中的统计表，结合题设中的条件，可得：350.025450.15550.2650.25750.225850.1950.05μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.875 6.751116.2516.8758.565=+++++=，又由366565≈-≈+，所以0.95450.6827(3679.5)0.68270.81862P Z -≤≤=+=.（2）解：根据题，可得所得话费X 可能的值有20，40，60，80元，其中133(20)248P X ==⨯=；1113313(40)2424432P X ==⨯+⨯⨯=；1133(60)224416P X ==⨯⨯⨯=；1111(80)24432P X ==⨯⨯=，所以随机变量X 的分布列为：X20406080P381332316132所以期望为()31331752040608083216322E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.20．(1)221:143x y +=Γ，222:145x y -=Γ.(2)MT 的最小值为4.(3)直线l 的方程为4y x =或4y x =-【分析】（1）设出椭圆和双曲线的方程，由已知求得待定系数，得到所求方程；（2）分M 在1Γ和2Γ上两种情况讨论，||MT 的最小值；（3）设直线():0l y kx k =≠，()()1111,0P x y x >，()()1222,0Q x y x >，直线与曲线联立方程组，求出点的坐标，利用1111PF Q E //解出k 可得直线方程.【详解】（1）设()221122111:10x y a b a b +=>>Γ，()222222222:10,0x y a b a b Γ-=>>，由题意知124a =，12a =，212a a ==，11c =，23c =，1b =2b =因此曲线221:143x y +=Γ，222:145x y -=Γ.（2）若M 是1Γ上的动点，显然当M 为椭圆的上顶点(时，MT 最短，此时4MT =，若M 是2Γ上的动点，以(0,4)T 为圆心r 为半径作圆，当圆T 与2Γ相切时，切点为M ，此时MT 最小，且MT r =，圆()222:4T x y r +-=，代入2Γ，整理得22940100500y y r -+-=，当Δ0=圆与曲线2Γ相切，由()()222Δ40491005018020000r r =--⨯⨯-=-=，103r =，103MT r ==，4013<，所以M 为Γ上一动点，(0,4)T 为定点，MT 的最小值为4.（3）设直线():0l y kx k =≠，()()1111,0P x y x >，()()1222,0Q x y x >，由对称性可知()211,P x y --，()222,Q x y --，由22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()223412k x +=，解得x =1P ，由22145y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()225420k x -=，解得x =1Q ，当1111PF Q E //时，1111=PF Q E k k ，由(1)知()11,0F -，()13,0E -，所以121213y y x x =++，2111223x y y x y y +=+，将11,P Q坐标代入得3⋅+=21516k =，k =，所以直线l的方程为y =或y =..【点睛】1.求椭圆或双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据已知条件，求出a ，b 的值.2.解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．21．(1){}1m m ≤；(2)()y f x =在区间(]1,4具有性质P ；(3)证明见详解.【分析】（1）分别讨论m 与1和2的关系，即可得出()f x 是否存在最小值，从而求出m 的取值范围；（2）由题目条件可得出()y f x =在区间(]1,4上如果有最小值，则最小值必在区间(]3,4上取到，找到函数在区间(]3,4上单调性，确定最小值是否存在；（3）首先证明对于任意*n ∈N ，()(1)f n f n <+，当(],1x n n ∈+时，()()(1)f n f x f n <≤+，(]2,222x n n ∈+，21n n ≥+，再证得结果．【详解】（1）,,m x x my x m x m x m -<⎧=-=⎨-≥⎩，当(1,2]m ∈时，函数在区间()1,m 上单调递减，在区间(],2m 上单调递增，y x m =-存在最小值()f m ；当m>2时，y x m =-在区间(]1,2上单调递减，最小值为(2)f ；当1m £时，y x m =-在区间(]1,2上单调递增，不存在最小值；所以实数m 的取值范围为{}1m m ≤．（2）因为1x >时，()()()11f x f x f x +=-<，当12x <≤时，()f x x =．所以()f x 在区间(]1,4上如果有最小值，则最小值必在区间(]3,4上取到.另一方面，由()()11f x f x +=-可得()()11f x f x =--，故,12()2,234,34x x f x x x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩，()f x 在区间(]3,4上单调递增，不存在最小值，所以()y f x =在区间(]1,4具有性质P ．（3）对于任意*n ∈N ，当(,1)x n n ∈+时，有|()()||()(1)||()(1)|f n f x f x f n f n f n -+-+=-+,所以[][]()()()(1)0f n f x f x f n --+≥，若(1)()()f n f x f n +≤≤成立，()(1)f n f n ≥+，()f x 在区间(],1n n +上有最小值(1)f n +，所以()f x 在区间(],a b 上有最小值()f b ，不具有性质P ，不合题意，所以()(1)f n f n <+，当(],1x n n ∈+时，()()(1)f n f x f n <≤+，故()f x 在区间(],a b 上没有最小值，满足题意，当1x =时，()()21f f >显然成立；当1x >时，则一定存在*n ∈N ，使得(],1x n n ∈+时，则(]2,222x n n ∈+，21n n ≥+，()()()()221f x f n f n f x ∴>≥+≥，即(2)()f x f x >．所以综上所述：当1x ≥时，(2)()f x f x >．【点睛】方法点睛：（1）含有绝对值的函数求最值，首先去掉绝对值，转化为分段函数，由每一段的单调性考查最值情况；（2）具有递推关系的函数，需要根据自变量的取值范围进行推理，用已知段的函数变形表示；（3）绝对值不等式a b a b +≤+，注意等号成立条件0ab ≥，a b a b -≤+等号成立条件0ab ≤.。

2019-2020学年上海市黄浦区格致中学高三(上)9月月考数学试卷

2019-2020学年上海市黄浦区格致中学高三（上）9月月考数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）不等式 1x＞3的解集为___ ．2.（填空题.3分）已知向量 a ⃗=(7，−1，5)，b ⃗⃗=(−3，4，7) .则 |a ⃗+b ⃗⃗| =___3.（填空题.3分）如果双曲线x 23m−y 2m=1 的焦点在y 轴上.焦距为8.则实数m=___ ．4.（填空题.3分）设函数f （x ）=x 2（x ＞0）的反函数为y=f -1（x ）.则f -1（4）=___ ．5.（填空题.3分）若2sinα•cosα-cos 2α=0.则cotα=___6.（填空题.3分）若复数z 的实部和虚部相等.且 za+2i =i （i 是虚数单位）.则实数a 的值为___ 7.（填空题.3分）已知一组数据-1.1.0.-2.x 的方差为10.则x=___8.（填空题.3分）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创.南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法.有菱草垛、方垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”.自上而下.第一层1件.以后每一层比上一层多1件.最后一层是n 件.已知第一层货物单价1万元.从第二层起.货物的单价是上一层单价的 910.若这堆货物总价是 100−200(910)n万元.则n 的值为___9.（填空题.3分）若函数 f (x )={x 2−2，x ≤1lg |x −m |，x ＞1 在区间[0.+∞）上单调递增.则实数m 的取值范围为___ ．10.（填空题.3分）甲、乙两人玩猜数字游戏.先由甲心中任想一个数字.记为a.再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b.且a.b∈{n|0≤n≤9.n∈N *}.若|a-b|≤1.则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏.得出他们“心有灵犀”的概率为___11.（填空题.3分）若关于x 的不等式 log 12(4x+1+λ•2x )＜0 在x ＞0时恒成立.则实数λ的取值范围是___12.（填空题.3分）已知数列a 1.a 2.….a n 是1.2.….n （n≥2.n∈N *）满足下列性质T 的一个排列.性质T ：排列a 1.a 2.….a n 有且仅有一个a i ＞a i+1（i∈{1.2.….n-1}）.则满足性质T 的所有数列a 1.a 2.….a n 的个数f （n ）=___13.（单选题.3分）如图水平放置的正三棱柱的俯视图是（）A.B.C.D.14.（单选题.3分）点P （2.0）到直线 {x =1+4ty =2+3t .（t 为参数.t∈R ）的距离为（）A. 35 B. 45 C. 65 D. 11515.（单选题.3分）a.b 表示两条直线.α表示平面.下列命题正确的是（） A.若a⊥α.a⊥b .则b || α B.若a⊥α.b⊂α.则a⊥b C.若a || α.a⊥b .则b⊥α D.若a || α.b || α.则a || b16.（单选题.3分）设向量 a ⃗=(cosα，sinα) . b ⃗⃗=(−sinα，cosα) .向量x 1.x 2.….x 10中有4个 a ⃗ .其余为 b ⃗⃗ .向量y 1.y 2.….y 10中有3个 a ⃗ .其余为 b ⃗⃗ .则x 1y 1+x 2y 2+…+x 10y 10的所有可能取值中最小的值是（） A.2 B.3 C.4 D.517.（问答题.0分）在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中.∠ABC=90°.AB=BC=1.BB 1=2．（1）求异面直线B 1C 1与A 1C 所成角的大小；（2）求直线B 1C 1与平面A 1BC 的距离．18.（问答题.0分）在△ABC中.a=3.b-c=2.cosB=- 12．（Ⅰ）求b.c的值；（Ⅱ）求sin（B-C）的值．19.（问答题.0分）已知抛物线C关于y轴对称.且经过点（2.-1）（1）求抛物线C的标准方程及其准线方程（2）设O为原点.过抛物线C的焦点F作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M、N.抛物线的准线分别交直线OM、ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点20.（问答题.0分）若数列{a n}、{b n}满足|a n+1-a n|=b n（n∈N*）.则称{b n}为数列{a n}的“偏差数列”．（1）若{b n}为常数列.且为{a n}的“偏差数列”.试判断{a n}是否一定为等差数列.并说明理由；（2）若无穷数列{a n}是各项均为正整数的等比数列.且a3-a2=6.{b n}为数列{a n}的“偏差数列”.求n→∞(1b1+1b2+1b3+⋯+1b n)的值；（3）设b n=6−(12)n+1.{b n}为数列{a n}的“偏差数列”.a1=1.a2n≤a2n-1且a2n≤a2n+1.若|a n|≤M对任意n∈N*恒成立.求实数M的最小值．21.（问答题.0分）已知函数y=f（x）.x∈D.如果对于定义域D内的任意实数x.对于给定的非零常数m.总存在非零常数T.恒有f（x+T）＞m•f（x）成立.则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数.周期为T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立.则称函数f（x）是D上的m级类周期函数.周期为T．（1）已知函数f（x）=-x2+ax是[3.+∞）上的周期为1的2级类增周期函数.求实数a的取值范围；（2）已知T=1.y=f（x）是[0.+∞）上m级类周期函数.且y=f（x）是[0.+∞）上的单调递增函数.当x∈[0.1）时.f（x）=2x.求实数m的取值范围；（3）是否存在实数k.使函数f（x）=coskx是R上的周期为T的T级类周期函数.若存在.求出实数k和T的值.若不存在.说明理由．2019-2020学年上海市黄浦区格致中学高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）不等式1x＞3的解集为___ ．【正确答案】：[1]（0. 13）【解析】：将不等式化简后转化为一元二次不等式.由一元二次不等式的解法求出不等式的解集．【解答】：解：由1x ＞3得1−3xx＞0 .则x（1-3x）＞0.即x（3x-1）＜0.解得0＜x＜13.所以不等式的解集是（0. 13）.故答案为：（0. 13）．【点评】：本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法.以及转化思想.属于基础题．2.（填空题.3分）已知向量a⃗=(7，−1，5)，b⃗⃗=(−3，4，7) .则|a⃗+b⃗⃗| =___【正确答案】：[1]13【解析】：先利用向量坐标运算法则求出a⃗+b⃗⃗ .由此能求出|a⃗+b⃗⃗|．【解答】：解：∵向量a⃗=(7，−1，5)，b⃗⃗=(−3，4，7) .∴ a⃗+b⃗⃗ =（4.3.12）.∴ |a⃗+b⃗⃗| = √16+9+144 =13．故答案为：13．【点评】：本题考查向量的模的求法.考查空间向量坐标运算法则等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．3.（填空题.3分）如果双曲线x23m −y2m=1的焦点在y轴上.焦距为8.则实数m=___ ．【正确答案】：[1]-4【解析】：将双曲线的标准方程.焦点在y轴上.焦距为8.列出方程.即可得到结论．【解答】：解：由题意.双曲线x 23m −y2m=1的焦点在y轴上.焦距为8.则-m-3m=16.∴m=-4．故答案为：-4．【点评】：本题考查双曲线的标准方程.考查双曲线的性质.属于基础题．4.（填空题.3分）设函数f（x）=x2（x＞0）的反函数为y=f-1（x）.则f-1（4）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：求出原函数的反函数.取x=4即可求得f -1（4）．【解答】：解：由y=f（x）=x2（x＞0）.得x= √y .则函数f（x）=x2（x＞0）的反函数为y=f-1（x）= √x .∴f -1（4）= √4=2．故答案为：2．【点评】：本题考查反函数的求法及函数值的求法.是基础题．5.（填空题.3分）若2sinα•cosα-cos2α=0.则cotα=___【正确答案】：[1]0或2【解析】：推导出cosα=2sinα.或cosα=0.由此能求出cotα的值．【解答】：解：∵2sinα•cosα-cos2α=0.∴cosα=2sinα.或cosα=0.∴cotα= cosαsinα=2．或cotα=0．故答案为：0或2．【点评】：本题考查三角函数值的求法.考查同角三角函数关系式等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．6.（填空题.3分）若复数z的实部和虚部相等.且za+2i=i（i是虚数单位）.则实数a的值为___ 【正确答案】：[1]-2【解析】：设z=m+mi（m∈R）.代入za+2i=i .整理后利用复数相等的条件求解．【解答】：解：设z=m+mi（m∈R）.由za+2i=i .得m+mi=i（a+2i）=-2+ai.∴a=m=-2．故答案为：-2．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.考查复数相等的条件.是基础题．7.（填空题.3分）已知一组数据-1.1.0.-2.x的方差为10.则x=___【正确答案】：[1]7或-8【解析】：先求出一组数据-1.1.0.-2.x的平均数为x−25.再由一组数据-1.1.0.-2.x的方差为10.能求出结果．【解答】：解：一组数据-1.1.0.-2.x的平均数为：x = 15（-1+1+0-2+x）= x−25.一组数据-1.1.0.-2.x的方差为10.∴ 1 5 [（-1- x−25）2+（1- x−25）2+（0- x−25）2+（-2- x−25）2+（x- x−25）2]=10.解得x=7或x=-8．故答案为：7或-8．【点评】：本题考查实数值的求法.考查平均数、方差的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．8.（填空题.3分）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创.南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法.有菱草垛、方垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”.自上而下.第一层1件.以后每一层比上一层多1件.最后一层是n 件.已知第一层货物单价1万元.从第二层起.货物的单价是上一层单价的910.若这堆货物总价是100−200(910)n万元.则n的值为___【正确答案】：[1]10【解析】：由题意可得第n层的货物的价格为a n=n•（910）n-1.再由错位相减法求和得答案．【解答】：解：由题意可得第n 层的货物的价格为a n =n•（ 910 ）n-1.设这堆货物总价是S n =1•（ 910 ）0+2•（ 910 ）1+3•（ 910 ）2+…+n•（ 910 ）n-1. ① 由 ① × 910可得.910 S n =1•（ 910 ）1+2•（ 910 ）2+3•（ 910 ）3+…+n•（ 910 ）n . ②① - ② 可得 110 S n =1+（ 910 ）1+（ 910 ）2+（ 910 ）3+…+（ 910 ）n-1-n•（ 910 ）n =1−(910)n 1−910-n•（ 910 ）n =10-（10+n ）•（ 910）n .∴S n =100-10（10+n ）•（ 910 ）n . ∵这堆货物总价是 100−200(910)n万元.∴n=10. 故答案为：10．【点评】：本题考查了错位相减法求和.考查了运算能力.以及分析问题解决问题的能力.属于中档题．9.（填空题.3分）若函数 f (x )={x 2−2，x ≤1lg |x −m |，x ＞1 在区间[0.+∞）上单调递增.则实数m 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]m≤ 910【解析】：由f （x ）在（1.+∞）上单调递增可得x-m ＞0在（1.+∞）上恒成立.求得m≤1.由f （x ）在（0.+∞）上单调递增可得lg （1-m ）≥-1.从而可求得m 的范围．【解答】：解：由题意可知f （x ）在（1.+∞）上单调递增. ∴当x ＞1时.f （x ）=lg|x-m|=lg （x-m ）. x-m ＞0在（1.+∞）上恒成立． ∴m≤1.又f （x ）在（0.+∞）上单调递增. ∴lg （1-m ）≥-1.解得m≤ 910 ． ∴m 的取值范围是：m≤ 910 ．故答案为：m≤ 910 ．【点评】：本题考查了分段函数的单调性.不等式恒成立问题.属于中档题．10.（填空题.3分）甲、乙两人玩猜数字游戏.先由甲心中任想一个数字.记为a.再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b.且a.b∈{n|0≤n≤9.n∈N *}.若|a-b|≤1.则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏.得出他们“心有灵犀”的概率为___ 【正确答案】：[1] 2581【解析】：分a=1或a=9.以及a 取2～8两类讨论即可．【解答】：解： ① 依题意.当a=1或9时.每种情况b 可取2个数字.共2×2=4种.他们“心有灵犀”包含的基本事件个数为：2×2=4；② 当a 取2～8.每种情况b 都可取3个数字.共7×3=21种.他们“心有灵犀”包含的基本事件个数为：8×2=16；基本事件的总数为：21个. 所以他们“心有灵犀”的概率为：P= 4+219×9 = 2581．故答案为： 2581 ．【点评】：本题考查了计数原理.古典概型的概率.分类后运算准确是关键.属于中档题． 11.（填空题.3分）若关于x 的不等式 log 12(4x+1+λ•2x )＜0 在x ＞0时恒成立.则实数λ的取值范围是___【正确答案】：[1][-3.+∞）【解析】：由对数函数的单调性可得4x+1+λ•2x ＞1.即λ＞2-x -2x+2在x ＞0时恒成立.设t=2x （t ＞1）.f （t ）= 1t -4t.判定f （t ）的单调性.可得值域.即可得到所求范围．【解答】：解：关于x 的不等式 log 12(4x+1+λ•2x )＜0 在x ＞0时恒成立.可得4x+1+λ•2x ＞1.即λ＞2-x -2x+2在x ＞0时恒成立. 设t=2x （t ＞1）.f （t ）= 1t -4t.可得f （t ）在（1.+∞）递减. 可得f （t ）＜f （1）=-3.则λ≥-3.即λ的范围是[-3.+∞）．故答案为：[-3.+∞）．【点评】：本题考查指数函数、对数函数的性质的运用.考查参数分离和换元法.运用函数的单调性是解题的关键.属于中档题．12.（填空题.3分）已知数列a 1.a 2.….a n 是1.2.….n （n≥2.n∈N *）满足下列性质T 的一个排列.性质T ：排列a 1.a 2.….a n 有且仅有一个a i ＞a i+1（i∈{1.2.….n-1}）.则满足性质T 的所有数列a 1.a 2.….a n 的个数f （n ）=___ 【正确答案】：[1]2n -n-1【解析】：利用归纳法求解.先求出f （3）．f （4）.f （5）.再由此推出f （n ）.最后证明结论即可．【解答】：解：∵当n=3时.1.2.3所有的排列有：（1.2.3）.（1.3.2）.（2.1.3）.（2.3.1）.（3.2.1）.（3.1.2）.其中满足仅存在一个i∈{1.2.3}.使得a i ＞a i+1的排列有：（1.3.2）.（2.1.3）.（2.3.1）.（3.1.2）； ∴f （3）=4；同理可得：f （4）=11.f （5）=26； ∴归纳出f （n ）=2n -n-1．证明：∵在1.2.….n 的所有排列（a 1.a 2.….a n ）中.若a i =n.（1≤i≤n -1）.从n-1个数1.2.3…n -1中选i-1个数从小到大排列为：a 1.a 2.….a i-1.其余的则按从小到大的顺序排列在余下位置； ∴满足题意的排列个数为 C n−1i−1 ；若a i =n.则满足题意的排列个数为f （n-1）.综上：f （n ）=f （n-1）+ ∑C n−1i−1n−1i−1 =f （n-1）+2n+1-1； ∴ f (n )=23(1−2n−3)1−2−(n −3)+f (3)=2n −n −1 ．故答案为：2n -n-1．【点评】：本题考查了数学归纳法.属于难题．13.（单选题.3分）如图水平放置的正三棱柱的俯视图是（）A.B.C. D.【正确答案】：B【解析】：直接利用几何体和三视图之间的转换求出结果．【解答】：解：由于正三棱柱的两个下底面为等边三角形.所以上面的棱在下底面的射影在两底边的中线位置（实线）.如图所示：故选：B ．【点评】：本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换.主要考查学生的空间想象能力.属于基础题型．14.（单选题.3分）点P （2.0）到直线 {x =1+4t y =2+3t.（t 为参数.t∈R ）的距离为（） A. 35B. 45C. 65D. 115【正确答案】：D【解析】：先把直线的参数方程化成普通方程.再根据点到直线的距离公式可得．【解答】：解：由 {x =1+4t y =2+3t消去参数t 可得3x-4y+5=0. 根据点到直线的距离公式可得d= √32+42 = 115 ．故选：D．【点评】：本题考查了直线的参数方程化成普通方程.点到直线的距离公式.属基础题．15.（单选题.3分）a.b表示两条直线.α表示平面.下列命题正确的是（）A.若a⊥α.a⊥b.则b || αB.若a⊥α.b⊂α.则a⊥bC.若a || α.a⊥b.则b⊥αD.若a || α.b || α.则a || b【正确答案】：B【解析】：当b⊂α时.a⊥α.则a⊥b；当b || α时.a⊥α.则a⊥b故当a⊥b.a⊥α时.故可得b⊂α或b || α；利用线面垂直的性质.可知正确；若a || α.a⊥b.则b与α平行、相交、在平面内；若a || α.b || α.则a.b与α没有公共点.但a || b不一定成立．【解答】：解：当b⊂α时.a⊥α.则a⊥b；当b || α时.a⊥α.则a⊥b故当a⊥b.a⊥α时.可得b⊂α或b || α.故A不正确；利用线面垂直的性质.可知若a⊥α.b⊂α.则a⊥b.故B正确；若a || α.a⊥b.则b与α平行、相交、在平面内.故C不正确；若a || α.b || α.则a.b与α没有公共点.但a || b不一定成立.故D不正确．故选：B．【点评】：本题考查的知识点是线面平行的判定.线面垂直的性质.线面垂直的判定.其中熟练掌握空间线面关系的判定定理和性质定理.是解答此类问题的关键．16.（单选题.3分）设向量a⃗=(cosα，sinα) . b⃗⃗=(−sinα，cosα) .向量x1.x2.….x10中有4个a⃗ .其余为b⃗⃗ .向量y1.y2.….y10中有3个a⃗ .其余为b⃗⃗ .则x1y1+x2y2+…+x10y10的所有可能取值中最小的值是（）A.2B.3C.4D.5【正确答案】：B【解析】：先由平面向量数量积的运算可得：又a⃗• •a⃗ =cos2α+sin2α=1. b⃗⃗•b⃗⃗=(−sinα)2+ cos2α =1. a⃗•b⃗⃗=−sinαcosα+sinαcosα=0 .再结合分类讨论的数学思想方法分别讨论向量x1.x2.….x10中的向量与向量y1.y2.….y10中的向量相乘求其和即可得解．【解答】：解：因为向量a⃗=(cosα，sinα) . b⃗⃗=(−sinα，cosα) .向量x1.x2.….x10中有4个a⃗ .其余为b⃗⃗ .向量y1.y2.….y10中有3个a⃗ .其余为b⃗⃗ .又a⃗• •a⃗ =cos2α+sin2α=1. b⃗⃗•b⃗⃗=(−sinα)2+cos2α =1. a⃗•b⃗⃗=−sinαcosα+sinαcosα=0 . 要使x1y1+x2y2+…+x10y10的值最小.则向量x1.x2.….x10中的4个a⃗与向量y1.y2.….y10中的4个b⃗⃗相乘.其和为0.向量x1.x2.….x10中的3个b⃗⃗与向量y1.y2.….y10中的3个a⃗相乘.其和为0.向量x1.x2.….x10中剩下的3个b⃗⃗与向量y1.y2.….y10中剩下的3个b⃗⃗相乘.其和为3.综上可知：x1y1+x2y2+…+x10y10的所有可能取值中最小的值是3.故选：B．【点评】：本题考查了平面向量数量积的运算及分类讨论的数学思想方法.属中档题．17.（问答题.0分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中.∠ABC=90°.AB=BC=1.BB1=2．（1）求异面直线B1C1与A1C所成角的大小；（2）求直线B1C1与平面A1BC的距离．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得∠A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角.解三角形可得；（2）可证B1C1 || 平面A1BC.则B1到平面A1BC的距离h即为所求.由等体积法可得V B1−A1BC=V C−A1BB1.代入数据计算可得．【解答】：解：（1）由题意可得BC || B1C1.∴∠A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角.由题意可知BC⊥平面ABB1A1.∴BC⊥A1B.∴△A1BC为直角三角形.∴tan∠A1CB= A1BBC =√AB2+BB12BC= √5 .∴异面直线B1C1与A1C所成的角为arctan √5；（2）∵BC || B1C1.BC⊂平面A1BC.B1C1⊄平面A1BC.∴B1C1 || 平面A1BC.∴直线B1C1上任意一点到平面A1BC的距离均为直线B1C1到平面A1BC的距离. 不妨取B1.且设B1到平面A1BC的距离为h.由等体积法可得V B1−A1BC = V C−A1BB1.即13S△A1BC×h= 13S△ABB1×BC代入数据可得13 × 12×1× √5 ×h= 13× 12×2×1×1.解得h= 2√55∴直线B1C1到平面A1BC的距离为2√55【点评】：本题考查异面直线所成的角.涉及直线到平面的距离.等体积是解决问题的关键.属中档题．18.（问答题.0分）在△ABC中.a=3.b-c=2.cosB=- 12．（Ⅰ）求b.c的值；（Ⅱ）求sin（B-C）的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB.代入已知条件即可得到关于b的方程.解方程即可；（Ⅱ）sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC.根据正弦定理可求出sinC.然后求出cosC.代入即可得解．【解答】：解：（Ⅰ）∵a=3.b-c=2.cosB=- 12．∴由余弦定理.得b2=a2+c2-2accosB= 9+(b−2)2−2×3×(b−2)×(−12) .∴b=7.∴c=b-2=5；（Ⅱ）在△ABC中.∵cosB=- 12 .∴sinB= √32.由正弦定理有：csinC =bsinB.∴ sinC=csinBb =5×√327=5√314.∵b＞c.∴B＞C.∴C为锐角.∴cosC= 1114.∴sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC= √32×1114−(−12)×5√314= 4√37．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式.属基础题．19.（问答题.0分）已知抛物线C关于y轴对称.且经过点（2.-1）（1）求抛物线C的标准方程及其准线方程（2）设O为原点.过抛物线C的焦点F作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M、N.抛物线的准线分别交直线OM、ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点【正确答案】：【解析】：（1）设抛物线C：x2=-2py（p＞0）.代入点（2.-1）.解方程可得p.求得抛物线的方程和准线方程；（2）抛物线x2=-4y的焦点为F（0.-1）.设直线方程为y=kx-1.联立抛物线方程.运用韦达定理.以及直线的斜率和方程.求得A.B的坐标.可得AB为直径的圆方程.可令x=0.解方程.即可得到所求定点．【解答】：解：（1）设抛物线C ：x 2=-2py （p ＞0）经过点（2.-1）．可得4=2p.即p=2. 可得抛物线C 的方程为x 2=-4y.准线方程为y=1；（2）证明：抛物线x 2=-4y 的焦点为F （0.-1）.设直线方程为y=kx-1.联立抛物线方程.可得x 2+4kx-4=0.设M （x 1.y 1）.N （x 2.y 2）.可得x 1+x 2=-4k.x 1x 2=-4.直线OM 的方程为y= y 1x 1 x.即y=- x14 x. 直线ON 的方程为y= y 2x 2 x.即y=- x 24 x.可得A （- 4x 1 .1）.B （- 4x 2 .1）. 可得AB 的中点的横坐标为-2（ 1x 1 + 1x 2 ）=-2•−4k −4 =-2k. 即有AB 为直径的圆心为（-2k.1）.半径为 |AB|2 = 12 •| 4x 1 - 4x 2 |=2• √16k 2+164 =2 √1+k 2 .可得圆的方程为（x-2k ）2+（y-1）2=4（1+k 2）.化为x 2-4kx+（y-1）2=4.由x=0.可得y=-1或3．则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点（0.-1）.（0.3）．【点评】：本题考查抛物线的定义和方程、性质.以及圆方程的求法.考查直线和抛物线方程联立.运用韦达定理.考查化简整理的运算能力.属于中档题．20.（问答题.0分）若数列{a n }、{b n }满足|a n+1-a n |=b n （n∈N*）.则称{b n }为数列{a n }的“偏差数列”．（1）若{b n }为常数列.且为{a n }的“偏差数列”.试判断{a n }是否一定为等差数列.并说明理由；（2）若无穷数列{a n }是各项均为正整数的等比数列.且a 3-a 2=6.{b n }为数列{a n }的“偏差数列”.求n→∞(1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n) 的值；（3）设 b n =6−(12)n+1 .{b n }为数列{a n }的“偏差数列”.a 1=1.a 2n ≤a 2n-1且a 2n ≤a 2n+1.若|a n |≤M 对任意n∈N *恒成立.求实数M 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）{a n }不一定为等差数列.如 a n =(−1)n ；（2）设数列{a n }的公比为q.解方程可得首项和公比.由等比数列的通项公式和求和公式.计算可得所求值；（3）由累加法可得数列{a n }的通项公式.讨论n 为奇数或偶数.求得极限.由不等式恒成立思想可得M 的最小值．【解答】：解：（1）{a n }不一定为等差数列.如 a n =(−1)n .则b n =2为常数列.但{a n }不是等差数列.（2）设数列{a n }的公比为q.则由题意.a 1、q 均为正整数.因为a 3-a 2=6.所以a 1q （q-1）=6=1×2×3.解得 {a 1=1q =3 或 {a 1=3q =2. 故 a n =3n−1 或 a n =3×2n−1 （n∈N*）.① 当 a n =3n−1 时. b n =2×3n−1 .1b n =12(13)n−1 . n→∞(1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n ) = 121−13 = 34 ； ② 当 a n =3×2n−1 时. b n =3×2n−1 . 1b n =13(12)n−1 .n→∞(1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n ) = 131−12 = 23 ；综上. n→∞(1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n ) 的值为 34 或 23；（3）由a 2n ≤a 2n-1且a 2n ≤a 2n+1得. a n+1−a n =(−1)n [6−(12)n+1] = 6•(−1)n +(−12)n+1 故有： a n −a n−1=6•(−1)n−1+(−12)n . a n−1−a n−2=6•(−1)n−2+(−12)n−1 . …… a 2−a 1=6•(−1)1+(−12)2 . 累加得： a n −a 1=6[(−1)1+(−1)2+⋯+(−1)n−1]+[(−12)2+(−12)3+⋯+(−12)n ]= 6×−1[1−(−1)n−1]2+14[1−(−12)n−1]1+12= −3[1−(−1)n−1]+1−(−12)n−16 .又a 1=1.所以 a n ={76−16(−12)n−1 n =2m −1， m ∈N ∗为奇数−296−16(−12)n−1 n =2m ， m ∈N∗ . 当n 为奇数时.{a n }单调递增.a n ＞0. n→∞a n =76 .当n 为偶数时.{a n }单调递减.a n ＜0. n→∞a n =−296 .从而0＜|a n |＜ 296 .所以M≥ 296 .即M 的最小值为 296 ．【点评】：本题考查新定义的理解和运用.考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式.考查分类讨论思想方法.化简运算能力.属于难题．21.（问答题.0分）已知函数y=f （x ）.x∈D .如果对于定义域D 内的任意实数x.对于给定的非零常数m.总存在非零常数T.恒有f （x+T ）＞m•f （x ）成立.则称函数f （x ）是D 上的m 级类增周期函数.周期为T ．若恒有f （x+T ）=m•f （x ）成立.则称函数f （x ）是D 上的m 级类周期函数.周期为T ．（1）已知函数f （x ）=-x 2+ax 是[3.+∞）上的周期为1的2级类增周期函数.求实数a 的取值范围；（2）已知T=1.y=f （x ）是[0.+∞）上m 级类周期函数.且y=f （x ）是[0.+∞）上的单调递增函数.当x∈[0.1）时.f （x ）=2x .求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数k.使函数f （x ）=coskx 是R 上的周期为T 的T 级类周期函数.若存在.求出实数k 和T 的值.若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意-（x+1）2+a （x+1）＞2（-2+ax ）对一切[3.+∞）恒成立.转化为a ＜x 2−2x−1x−1 = (x−1)2−2x−1 =（x-1） −2x−1.利用基本不等式求解即可．（2）分类讨论f 得出f （x ）在[0.+∞）上单调递增.m ＞0且m n •2n-n ＞m n-1•2n-（n-1）.即m≥2．（3）当x∈[4n .4n+4].n∈Z 时.f （x ）=mf （x-4）=…=m n f （x-4n ）=m n [（x-4n ）2-4（x-4n ）].分类得出：-1≤m ＜0或0＜m≤1．【解答】：解：（1）由题意可知：f （x+1）＞2f （x ）.即-（x+1）2+a （x+1）＞2（-2+ax ）对一切[3.+∞）恒成立.（x-1）a ＜x 2-2x-1.∵x∈[3.+∞）∴a ＜x 2−2x−1x−1 = (x−1)2−2x−1 =（x-1） −2x−1. 令x-1=t.则t∈[2.+∞）.g （x ）=t −2t 在[2.+∞）上单调递增.∴g （t ）min =g （2）=1.∴a ＜1．（2）∵x∈[0.1）时.f （x ）=2x .∴当x∈[1.2）时.f （x ）=mf （x-1）=m•2x-1.当x∈[n .n+1]时.f （x ）=mf （x-1）=m 2f （x-2）=…=m n f （x-n ）=m n •2x-n . 即x∈[n .n+1）时.f （x ）=m n •2x-n .n∈N *.∵f （x ）在[0.+∞）上单调递增.∴m ＞0且m n •2n-n ＞m n-1•2n-（n-1）.即m≥2．（3）问题（Ⅰ）∵当x∈[0.4]时.y∈[-4.0].且有f （x+4）=mf （x ）. ∴当x∈[4n .4n+4].n∈Z 时.f （x ）=mf （x-4）=…=m n f （x-4n ）=m n [（x-4n ）2-4（x-4n ）]. 当0＜m≤1时.f （x ）∈[-4.0]；当-1＜m ＜0时.f （x ）∈[-4.-4m]；当m=-1时.f （x ）∈[-4.4]；当m ＞1时.f （x ）∈（-∞.0）；当m ＜-1时.f （x ）∈（-∞.+∞）；综上可知：-1≤m ＜0或0＜m≤1．问题（Ⅱ）：由已知.有f （x+T ）=T•f （x ）对一切实数x 恒成立. 即cosk （x+T ）=Tcoskx 对一切实数恒成立.当k=0时.T=1；当k≠0时.∵x∈R .∴kx∈R .kx+kT∈R .于是coskx∈[-1.1].又∵cos （kx+kT ）∈[-1.1].故要使cosk （x+T ）=Tcoskx 恒成立.只有T=±1.当T=1时.cos （kx-k ）=coskx 得到 k=2nπ.n∈且n≠0；当T=-1时.cos （kx-k ）=-coskx 得到-k=2nπ+π.即k=（2n+1）π.n∈Z ；综上可知：当T=1时.k=2nπ.n∈Z ；当T=-1时.K=（2n+1）π.n∈Z．【点评】：本题综合考查了函数的性质.推理变形能力.分类讨论的思想.属于难题．。

上海市2020-2021学年第一学期9月月考高三数学试题

第一学期高三数学9月月考一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数tan 2y x =的最小正周期为________．)B =___．4．正实数x 、y 满足21x y +=，则xy 的最大值为________．5．已知函数()1log a f x x =+，()1y f x -=是函数()y f x =的反函数，若()1y f x -=的图像过点()2,4，则a 的值为________．6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若24S =，42S =，则6S =________．7．若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数的取值集合为________． 8．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤0203y x y x x 所表示的区域的面积为________．若存在0x ∈R 使得()()004f x g x -=-，则a 的最小值为________．10．在()91x +的展开式中任取两项，其系数的乘积是偶数的概率为________． 11．设A 、B 分别是抛物线24y x =和圆()22:41C x y -+=上的点．若存在实数λ使得AB BC λ=，则λ二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．()124cos 20116x π+-32x13．直线230x y -+=的一个法向量为（）．（A ）()1,2 （B ）()1,2- （C ）()2,1 （D ）()2,1-14．已知αβ、是空间两个不同的平面，则“平面α上存在不共线的三点到平面β的距离相等”是“αβ∥ ”的（）．（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件15．关于函数()cos f x x x =+的说法中正确的是（）．（A ）()f x 是周期函数（B ）()f x 在R 上有最小值（C ）()f x 在[]0,π上有零点（D ）()f x 的图像是中心对称图形16．能使命题“给定m 个非零向量（可以相同），若其中任意()1n n m ≤<个向量之和的模等于另外m n -个向量之和的模，则这m 个向量之和为零向量”成为真命题的一组m 、n 的值为（）．①4m =，2n = ②5m =，2n = ③6m =，3n = ④7m =，3n =（A ）①② （B ）③④ （C ）①③ （D ）②④三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，D 、M 、N 分别是1CC 、11A B 、BC 的中点．（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小；（2）求点M 到平面ADN 之间的距离．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知()223sin cos 2cos 1f x x x x =+-．（1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，若a b ==2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求边c 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某公司利用App 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完．据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t ()*t ∈N 天的关系满足：()10,110=10200,1020t t f t t t ≤≤⎧⎨-+<≤⎩，()220g t t t =-+()120t ≤≤，产品A 每件的销售利润为()40,11520,1520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩(单位：元)（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）．（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式；（2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）给定椭圆22:142x y C +=．过坐标原点的直线与C 交于P 、Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．（1）求直线GP 与直线GQ 斜率的乘积；（2）求证：PQG △是直角三角形；（3）求PQG △面积的最大值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设{}n a 是无穷正项等比数列，公比为q ．对于正整数集*N 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =+++．（1）若11a =，3q =，{}2,4,5T =，求T S ；（2）设102q <≤．若A 、B 是*N 的非空有限子集且A B =∅，求证：A B S S ≠；（3）若对*N 的任意非空有限子集C 、D ，只要C D S S ≥，就有2C C D D S S S +≥，求公比q 的取值范围．1、最困难的事就是认识自己。

2020年格致中学高三上开学考化学试卷

高三年级化学（等级考）试卷相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Al-27 S-32 Ca-40 Ba-137一、选择题1. 下列物质属于电解质的是（）A. 饱和食盐水B. 二氧化碳C. 石墨D. 硫酸钡2. 下列变化中不属于固氮的是（）A. 在一定条件下由氨气和二氧化碳合成尿素B. 雷雨闪电时，大气中产生了一氧化氮C. 豆科植物的根瘤菌从空气中获取氮肥D. 镁条在氮气中燃烧生成氮化镁3. 常温下，下列溶液能用铝制容器盛装的是（）A. 稀硫酸B. 浓硫酸C. 盐酸D. 氢氧化钠的溶液4. 下列物质不能由单质直接化合而成的是（）A. Cu2SB. NH3C. FeCl3D. SO35.《新修草本》有关“青矾”的描述为：“本来绿色，新出窟未见风者，正如琉璃……烧之赤色……”据此推测“青矾”的主要成分为（）A. CuSO4·5H2OB. KAl(SO4)2·12H2OC. FeSO4·7H2OD. CaSO4·2H2O6. 下列反应中既是氧化还原反应又是吸热反应的是（）A. 钠与水的反应B. 灼热的木炭与CO2反应C. 酒精的燃烧反应D. 碳酸钙在高温下分解7. 近年来发现的星际分子乙醇醛分子模型如图所示，有关乙醇醛说法一定错误的是（）A. 有2种含氧官能团B. 能发生银镜反应C. 与乙醛互为同系物D. 与乙酸互为同分异构体8. 短周期元素X、Y、Z在元素周期表中的位置如图所示，下列说法正确的是（）A. X、Y、Z三种元素中，X的非金属性最强B. Y的最高正化合价为+7价C. 常压下X单质的熔点比Z单质低D. Y的氢化物的热稳定性比Z的氢化物弱9. 下列物质中，含有非极性共价键的盐是（）A. Na2O2B. CH3COONaC. MgCl2D. Na2SO410. 某稀氨水中存在平衡：NH 3·H2O NH4++OH-，若想增大NH4+的浓度，而不增加OH-的浓度，可以采取的措施是：①适当升高温度；②加入NH4Cl固体；③通入NH3；④加入少量盐酸A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④11. 一定条件下，将NO2与SO2以体积比1:2置于恒容密闭容器中发生反应：NO 2(g)+SO2(g)SO3(g)+NO(g)，一定能说明反应达到化学平衡状态的是（）A. 体系压强保持不变B. 混合气体颜色保持不变C. SO3和NO的质量比保持不变D. v消耗(SO3)=v生成(NO2)12. 在无色溶液中可以大量共存的离子组是（）A. H+、Na+、NO3-、Cu2+B. Ba2+、Mg2+、Cl-、SO42-C. K+、Mg2+、NO3-、SO42-D. K+、Na+、OH-、HCO3-13. 化学在生产和生活中有重要的应用，下列说法错误的是（）A. 小苏打在生活中可用做发酵粉B. 过氧化钠可用于呼吸面具中氧气的来源C. 可溶性铁盐或铝盐可用于净水D. 碳酸钠常用于治疗胃病14. 关于2-苯基丙烯（）说法正确的是（）A. 分子中所有原子共平面B. 不能使酸性高锰酸钾溶液褪色C. 可以发生加聚反应D. 易溶于水及甲苯15. 网络趣味图片“一脸辛酸”，是在人脸上重复画满了辛酸的键线式。

上海市格致中学2020届高三第一学期9月开学考试数学【含解析】

上海市格致中学2020届高三第一学期9月开学考试数学【含解析】一.填空题1.不等式13x>的解集为________【答案】1 (0,)3【解析】【分析】将常数移到左边，通分得到答案.【详解】1113311 3300003x xxx x x x-->⇒->⇒>⇒<⇒<<故答案1 (0,)3【点睛】本题考查了分式不等式的解法，属于基础题型. 2.已知向量(7,1,5)a=-，(3,4,7)b=-，则||a b+=________ 【答案】13 【解析】【分析】先求出向量a b+=（4，3，12），由此能求出|a b +|．【详解】∵向量()715a=-，，，()347b=-，，，∴a b+=（4，3，12），∴|a b +|169144=++=13．故答案为：13．【点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.如果双曲线2213x ym m-=的焦点在y轴上，焦距为8，则实数m=________【答案】4-【解析】【分析】先化为标准式，再由焦距为8，列出m 方程，即可得到结论．【详解】由题意，双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，则223y x m m ---=1，半焦距为4，则﹣m ﹣3m ＝16， ∴m ＝﹣4．故答案为：﹣4．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题．4.函数2()f x x =，(0,)x ∈+∞的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -=________【答案】2 【解析】【分析】求出原函数的反函数，取x ＝4即可求得f ﹣1（4）．【详解】由y ＝f （x ）＝x 2（x ＞0），得x y =则函数f （x ）＝x 2（x ＞0）的反函数为y ＝f ﹣1（x ）x =∴f ﹣1（4）42==．故答案为：2．【点睛】本题考查反函数的求法及函数值的求法，是基础题．5.若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=________ 【答案】0或2 【解析】【分析】方程变形为(2sin cos )cos 0ααα-⋅=，分为两种情况得到答案.【详解】22sin cos cos 0(2sin cos )cos 0cos 0ααααααα⋅-=⇒-⋅=⇒=或2sin cos 0αα-= 当cos 0α=时：cot 0α=当2sin cos 0αα-=时：cot 2α=故答案为0或2【点睛】本题考查了三角函数运算，意在考查学生的计算能力.6.若复数z 的实部和虚部相等，且i 2iza =+（i 是虚数单位），则实数a 的值为________ 【答案】2- 【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．详解】由2zi a i=+，得z ＝i （a +2i ）＝﹣2+ai ，又∵复数2zi a i=+的实部和虚部相等， ∴a ＝﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7.已知一组数据1-，1，0，2-，x 的方差为10，则x =________ 【答案】7或8- 【解析】【分析】依据方差公式列出方程，解出即可。

上海市2019-2020年青浦区高中高三数学上学期 9月月考

2020届青浦高中高三上开学考一. 填空题1. 已知全集{1,0,1,2,3}U =-，集合{0,1,2}A =，{1,0}B =-，则()U C A B =U2. 复数12i z =+（i 为虚数单位），则||z = 3. 函数1()f x a x =+的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a =4. 831(2)8x x-展开式中的常数项为5. 函数())cos 4f x x x π=+的图像相邻的两条对称轴之间的距离是6. 已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=平行，则k =7. 已知非零向量a r 、b r 满足||2||a b =r r ，且()a b b -⊥r r r，则a r 与b r 的夹角为8. 已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S ，若121n n S S +=+，则n a = 9. 首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其余每人各参加1天，问有多少种不同的安排种数（结果用数值表示）10. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若1F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r，则C 的渐近线方程为11. 已知AC 、BD 为圆22:(1)(2)16O x y -+-=的两条相互垂直的弦，垂足为12(1,2)M n n+-，则四边形ABCD 的面积n S 的极限值为12. 已知正方形ABCD 的边长为1，当每个i λ（1,2,3,4,5,6i =）取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最大值是二. 选择题13. 抛物线218y x =-的焦点坐标是（） A. 1(0,)32-B. 1(,0)32- C. (0,2)- D. (2,0)- 14. 已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为S ，则“10a <”是“0S <”的（）条件 A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分也非必要 15. 函数2sin ()cos x xf x x x +=+在[,]ππ-的图像大致为（）A. B. C. D.16. 设函数()f x的定义域为R，满足(1)2()f x f x+=，且当(0,1]x∈时，()(1)f x x x=-，若对任意,]x m∈∞（-，都有8()9f x≥-，则m的取值范围是（）A.9(,]4-∞ B.7(,]3-∞ C.5(,]2-∞ D.8(,]3-∞三. 解答题17. 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，22PA AD AB===，E是PB的中点.（1）求三棱锥P ABC-的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角.（结果用反三角函数值表示）18. 已知函数()(1)||f x x x a=--（a∈R）.（1）当1a=时，求不等式()1f x≥的解集；（2）当2a=时，若对任意互不相等的12,(,4)x x m m∈+，都有1212()()f x f xx x->-成立，求实数m的取值范围.19. 如图，A B C--为海岸线，AB为线段，圆弧BC为四分之一圆弧，39.2BD km=，22BDC∠=︒，68CBD∠=︒，58BDA∠=︒.（1）求圆弧BC的长度；（2）若40AB km=，求D到海岸线A B C--的最短距离.（精确到0.001km）20. 已知椭圆2222:1x y a b Γ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点(2T -在椭圆上，且12||||4TF TF +=.（1）求椭圆Γ的方程；（2）过点(1,0)作斜率为k 的直线l 交椭圆Γ于M 、N 两点，若35OM ON ⋅=-uuu r uuu r ，求直线l 的方程；（3）点P 、Q 为椭圆Γ上的两个动点，O 为坐标原点，若直线OP 、OQ 的斜率之积为14-，求证：22||||OP OQ +为定值.21. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53213a a -=，416S =. （1）求数列{}n a 的前n 项和；（2）是否存在正整数m 、n （2n m >>），使得2S 、2m S S -、n m S S -成等比数列？若存在，求出所有的m 、n ，若不存在，说明理由；（3）设123(1)nn n T a a a a =-+-+⋅⋅⋅+-，若对一切正整数n ，不等式111[(1)]2n n n n n T a a λ+-+<+-⋅恒成立，求实数λ的取值范围.参考答案一. 填空题1. {1,0,3}-2.3. 14. 285.2π6. 3或57. 3π8.121322n n n -=⎧⎨⋅≥⎩9. 24 10. y = 11. 32 12.二. 选择题13. C 14. A 15. D 16. B三. 解答题17.（1）23；（2）.18.（1）[2,)+∞；（2）5(,][2,)2-∞-+∞U . 19.（1）16.310km ；（2）35.752.20.（1）2214x y +=；（2）(1)y x =±-（3）证明略. 21.（1）2n S n =；（2）不存在；（3）(4,2)λ∈-.。

上海市鲁迅中学2020届高三数学上学期9月月考试题(含解析)

上海市鲁迅中学2020届高三数学上学期9月月考试题（含解析）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分.请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1.已知集合2{|230}M x x x =--≤，{|lg }N x y x ==，则M N =I __________．【答案】(]0,3 【解析】【分析】根据一元二次不等式解法和对数函数定义域要求分别求得集合M 和集合N ；由交集定义求得结果. 【详解】{}()(){}[]22303101,3M x x x x x x =--≤=-+≤=-Q ，{}()lg 0,N x y x ===+∞(]0,3M N ∴=I故答案为：(]0,3【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到一元二次不等式的求解、对数函数定义域的求解，属于基础题. 2.不等式21xx >-的解集为________. 【答案】()1,2 【解析】【分析】将不等式的右边移到左边，通分后变为一元二次不等式来求解. 【详解】222111x x x x x x -->⇒--- 012x <⇒<<.故填(1,2). 【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法.对于不等式右边不是零的分式不等式，要将右边转化为0，通分后转化为一元二次不等式来求解.解分式不等式的过程中，()()0f x g x >等价于()()0f x g x ⋅<，但是要注意的是()()0f x g x ≥是等价于()()()00f x g x g x ⎧⋅≥⎪⎨≠⎪⎩，也即分式的分母不能为零.属于基础题.3.若函数()1f x =，()g x ，则()()f x g x +=__________．【答案】1+(01)x ≤≤ 【解析】【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果.【详解】Q ()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为：)101x +≤≤【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失.4.方程44log (31)log (1)x x -=-4log (3)x ++的解x =__________．【答案】2 【解析】【分析】由对数真数大于零可构造不等式组求得1x >；利用对数运算法则可将原方程化简为同底对数相等的形式，进而得到真数相等，解方程求得结果.【详解】由题意得：3101030x x x ->⎧⎪->⎨⎪+>⎩，解得：1x >()()()()()()244444log 31log 1log 3log 13log 23x x x x x x x -=-++=-+=+-⎡⎤⎣⎦Q23123x x x ∴-=+-，解得：1x =-（舍）或2x =故答案为：2【点睛】本题考查对数方程的求解问题，通过对数运算法则将方程转化为同底对数相等的式子；易错点是忽略定义域的要求，导致求解结果出现增根. 5.要使函数23y x ax =-+在区间[]2,3上存在反函数，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(][),46,-∞+∞U 【解析】【分析】根据反函数存在的条件可得函数在[]2,3上单调；根据二次函数对称轴的位置可得不等式，解不等式求得结果. 【详解】要使函数23y x ax =-+在区间[]2,3上存在反函数，则23y x ax =-+在[]2,3上单调23y x ax =-+Q 对称轴为2a x =22a∴≤或32a ≥4a ∴≤或6a ≥故答案为：(][),46,-∞+∞U【点睛】本题考查反函数存在的条件，函数存在反函数的条件为：函数必须为一一对应的函数；特别的，当函数为连续函数时，就必须是单调函数才有反函数. 6.函数8()([2,8])f x x x x=+∈的值域为__________.【答案】⎡⎤⎣⎦【解析】【分析】利用导数画出函数()f x 的图像，根据图像的最高点和最低点，求得函数的最大值以及最小值，由此求得函数的值域.【详解】由于()(2222881x x x f x x x x+-=-='-=，故函数在区间2,⎡⎣上单调递减，在区间22,⎡⎤+∞⎣⎦上单调递增.由此画出函数图像如下图所示，由图可知()()()22,842,9f x f f ⎡⎤⎡⎤∈=⎣⎦⎣⎦.故填42,9⎡⎤⎣⎦.【点睛】本小题主要考查对钩型函数的值域，考查了利用导数求函数的单调区间的方法，考查了数形结合的数学思想方法.属于基础题.7.已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x >时，()lg f x x =，则当0x <时，()y f x =的解析式是__________．【答案】()()lg f x x =-- 【解析】【分析】利用0x <时，0x ->可代入求得()f x -；利用奇函数的定义()()f x f x =--可求得结果. 【详解】当0x <时，0x -> ()()lg fx x ∴-=-()f x Q 是定义在R 上的奇函数 ()()()lg f x f x x ∴=--=--故答案为：()()lg f x x =--【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式的问题，解决此类问题的基本步骤为：（1）利用不等式变换将所求区间转化到已知区间；（2）代入解析式求得已知区间对应的解析式；（3）根据奇偶性可得所求区间与已知区间解析式的关系. 8.已知定义域为R 的偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数，且122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()22xf >的解集为__________．【答案】()1,-+∞【解析】【分析】根据函数为偶函数可得122f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，并且在[)0,+∞上为增函数；从而将所求不等式转化为()122x f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭；利用单调性可得到自变量的大小关系，从而解不等式求得结果.【详解】()f x Q 是定义在R 上的偶函数 ()f x ∴图象关于y 轴对称11222f f ⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又()f x 在(],0-∞上减函数 ()f x ∴在[)0,+∞上为增函数∴由()22x f >可得：()122x f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭即122x >，解得：1x >- ∴()22xf >的解集为：()1,-+∞故答案为：()1,-+∞【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，解决此类问题的关键是能够通过奇偶性得到对称区间的单调性，利用单调性将函数值的比较转变为自变量的大小关系.9.如图所示，在直四棱柱中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形）．【答案】对角线互相垂直【解析】本题答案不唯一，要证A 1C⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．考点：线线垂直.10.函数2()23=-+f x x x ，若()f x a -＜2恒成立的充分条件是12x ≤≤，则实数a 的取值范围是______．【答案】1＜a ＜4 【解析】【分析】根据充分条件定义将条件转化为不等式恒成立，然后利用二次函数的性质求最值即可．【详解】∵|f （x ）﹣a|＜2恒成立的充分条件是1≤x ≤2， ∴当1≤x ≤2时，|f （x ）﹣a|＜2恒成立，即﹣2＜f （x ）﹣a ＜2，∴a ﹣2＜f （x ）＜2+a 恒成立， ∵1≤x ≤2， ∴2≤f （x ）≤3，∴要使a ﹣2＜f （x ）＜2+a 恒成立，则2322a a +>⎧⎨-<⎩，即14a a >⎧⎨<⎩，∴1＜a ＜4，故答案为：1＜a ＜4【点睛】（1）本题主要考查充分条件，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是转化为a ﹣2＜f （x ）＜2+a 恒成立. 11.已知偶函数()()y f x x R =∈满足：()()2f x f x +=，并且当[]0,1x ∈时，()f x x =，函数()y f x =与函数3log y x =的交点个数是__________．【答案】6 【解析】【分析】利用奇偶性可求得[]1,0x ∈-时，()f x 的解析式；由()()2f x f x +=知()f x 为周期为2的周期函数；再同一坐标系中画出()y f x =与3log y x =的图象，根据图象可求得交点个数. 【详解】当[]1,0x ∈-时，[]0,1x -∈ ()fx x ∴-=-()f x Q 为偶函数 ()()[]()1,0f x f x x x ∴=-=-∈-当[]1,1x ∈-时，()[]0,1f x ∈由()()2f x f x +=知：()f x 为周期为2的周期函数 ()f x ∴值域为[]0,1()y f x ∴=与3log y x =的图象如下图所示：当3x =时，33log log 31y x ===，此时()31f = 由图象可知：()y f x =与3log y x =的交点个数为6个故答案为：6【点睛】本题考查函数交点个数的求解问题，涉及到利用奇偶性求解函数的解析式、函数周期性的应用、函数图象翻折变换等知识。

上海市格致中学2020届高三数学9月开学考试卷附答案详析

上海市格致中学2020届高三9月开学考试数学试题(全卷满分150分；考试用时120分钟)一、单选题1．如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．2．点()2,0P 到直线14,23,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数，t R ∈）的距离为（）A ．35B ．45C ．65D ．1153．若a b 、表示两条直线，α表示平面，下列说法中正确的为（）A ．若a α⊥，a b ⊥r r ，则b α∥B ．若a α∥，a b ⊥r r ，则b α⊥C ．若a α⊥，b α⊂，则a b ⊥r rD ．若a α∥，b α∥，则a b 4．设向量(cos ,sin )a αα=r ，(sin ,cos )b αα=-r ，向量1210,,,x x x ⋅⋅⋅u r u u r uu r 中有4个a ，其余为b ，向量1210,,,y y y ⋅⋅⋅u r u u r uu r 中有3个a ，其余为b ，则11221010x y x y x y ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅u r u r u u r u u r uu r uu r 的所有可能取值中最小的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题5．不等式13x>的解集为________6．已知向量(7,1,5)a =-r ，(3,4,7)b =-r ，则||a b += ________7．如果双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，焦距为8，则实数m =________8．函数2()f x x =，(0,)x ∈+∞的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -=________9．若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=________10．若复数z 的实部和虚部相等，且i 2iz a =+（i 是虚数单位），则实数a 的值为________11．已知一组数据1-，1，0，2-，x 的方差为10，则x =________12．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”，自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910，若这堆货物总价是9100200()10n -万元，则n 的值为________13．若函数221()lg 1x x f x x m x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩在区间[0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为________14．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b ，且*,{|09,}a b n n n ∈≤≤∈N ，若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________15．若关于x 的不等式112log (42)0x x λ++⋅<在0x >时恒成立，则实数λ的取值范围是_____16．已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅满足下列性质T 的一个排列（2n ≥，n *∈N ），性质T ：排列12,,,n a a a ⋅⋅⋅有且只有一个1i i a a +>（{1,2,,1}i n ∈⋅⋅⋅-），则满足性质T 的所有数列的个数()f n =________三、解答题17．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小；（2）求直线11B C 与平面1A BC 的距离.18．在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B –C ）的值．19．已知抛物线C 关于y 轴对称，且经过点(2,1)-.（1）求抛物线C 的标准方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点F 作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M 、N ，抛物线的准线分别交直线OM 、ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.20．若数列{}n a 、{}n b 满足1||n n n a a b +-=(n ∈N)，则称{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”.（1）若{}n b 为常数列，且为{}n a 的“偏差数列”，试判断{}n a 是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列{}n a 是各项均为正整数的等比数列，且326a a -=，{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”，求1231111lim()n nb b b b →∞++++ 的值；（3）设116()2n n b +=-，{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”，11a =，221n n a a -≤且221n n a a +≤，若||n a M ≤对任意n ∈*N 恒成立，求实数M 的最小值.21．已知函数()y f x =，x D ∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +>成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ，若恒有()()f x T mf x +=成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数，周期为T .（1）已知函数2()f x x ax =-+是[3,)+∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知1T =，()y f x =是[0,)+∞上m 级类周期函数，且()y f x =是[0,)+∞上的单调递增函数，当[0,1)x ∈时，()2x f x =，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使函数()cos f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由.解析上海市格致中学2020届高三9月开学考试数学试题(全卷满分150分；考试用时120分钟)一、单选题1．如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由三视图及正三棱柱的几何特征可得解.【详解】由正三棱柱的几何特征知，俯视图中间有条实线，故选C.【点睛】本题主要考查了正三棱柱的几何特征和三视图的相关知识，属于基础题.2．点()2,0P 到直线14,23,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数，t R ∈）的距离为（）A ．35B ．45C ．65D ．115【答案】D【解析】先把直线的参数方程化成普通方程，再根据点到直线的距离公式可得．【详解】由1423x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t 可得3x ﹣4y +5＝0，根据点到直线的距离公式可得d 223204511534⨯-⨯+==+．【点睛】本题考查了直线的参数方程化成普通方程，点到直线的距离公式，属基础题．3．若a b 、表示两条直线，α表示平面，下列说法中正确的为（）A ．若a α⊥，a b ⊥r r ，则b α∥B ．若a α∥，a b ⊥r r ，则b α⊥C ．若a α⊥，b α⊂，则a b⊥r rD ．若a α∥，b α∥，则a b 【答案】C 【解析】对于选项A ，b 与α可能平行，也可能在平面内，故A 不正确。

2020届上海市青浦中学高三上学期9月月考数学试题(解析版)

2020届上海市青浦中学高三上学期9月月考数学试题一、单选题 1．抛物线218y x =-的焦点坐标是（） A.10,32⎛⎫-⎪⎝⎭ B.1,032⎛⎫-⎪⎝⎭C.()0,2-D.()2,0-【答案】C【解析】观察可知抛物线焦点在y 的负半轴，化成标准式求解即可【详解】由22818y y x x ⇒=-=-⇒焦点坐标为()0,2- 故选：C 【点睛】本题考查抛物线标准方程的识别，焦点坐标的求解，应熟记四种形式下对应的标准方程，属于基础题2．已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为S ，则“10a <”是“0S <”的（） A ．充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】先根据已知得11a S q=-，01q ＜＜，所以10q ->，因为S ＜0，所以1a <0.再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得11a S q=-，01q ＜＜，∴10q ->，因为S ＜0，所以1a <0. ∴“10a <”是“0S <”的是充要条件. 故答案为：A 【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n 项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．4．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A.9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.8,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦【答案】B【解析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．二、填空题5．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0B =-，则()U C A B ⋃=__________.【答案】{}1,0,3- 【解析】先求U C A ，再求()U C A B ⋃即可【详解】由题可知{}1,3U C A =-，{}1,0B =-，则()U C A B ⋃={}1,0,3-故答案为：{}1,0,3-【点睛】本题考查集合的交并补的混合运算，属于基础题 6．复数12z i=+（i 为虚数单位），则z =_________.【解析】先对复数z 化简，再根据复数的模长公式求解即可【详解】()()122122255i z i i i i -===-++-，则z =【点睛】本题考查复数的除法运算，复数的模长的计算，属于基础题 7．函数()1f x a x=+的反函数的图象经过点()2,1，则实数a =_________. 【答案】1【解析】根据原函数与反函数定义域与值域的对应关系求解，反函数经过()2,1，则原函数经过()1,2 【详解】由题可知，()1fx -过()2,1，则()1f x a x=+过()1,2，将()1,2代入可得()1121f a =+=，解得1a = 故答案为：1 【点睛】本题考查原函数与反函数的基本对应关系，可简单记作：若函数存在反函数，原函数经过(),a b ，则反函数经过(),b a ，属于基础题8．83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为________. 【答案】28【解析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r 的值，再求出其常数项。

2020届格致中学高三月考数学试卷

2018届格致中学高三月考数学试卷2017.10一. 填空题1. 集合{1,2,3,4,5}A =，{||3|1}B x x =-≤，则A B =2. 直线l 过点(2,1)M 与直线310x y +-=垂直，则直线l 的方程为3. 已知tan 2α=，则3sin cos sin 3cos αααα-=+ 4. 等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若0d >，且100S =，则使得0n a <的n 的最大值等于5. 已知实数x 满足2|log 4|5x i +≥（i 是虚数单位），则x 的取值范围是6. 设集合{(,)|10M x y x y =-+≥且20x y +-≤且0}y ≥，P M ∈，A 点坐标为(0,1)-，则||AP 最大值与最小值之差等于7. 与椭圆22195x y +=有共同焦点，且焦点到渐近线距离等于1的双曲线方程为 8. 从由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个，所取到的数大于3400的概率等于（结果用最简分数作答）9. 设正整数m 满足：二项式21()m x x +的展开式含有x 的一次项.若将满足条件的正整数m 由从小到大排成一个数列{}n a ，则此数列的第2017项2017a =10. 定义在D 上的函数()f x ，若存在0x D ∈，对于任意的x D ∈都有0()()f x f x ≤成立，则称0x 为函数()f x 的极大值点，若函数()sin f x x ω=（0ω>）在区间(0,)π上恰好有三个极大值点，则ω的取值范围是11. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是正方体（包括表面）中的动点，且满足 11132AB A P ≤⋅≤，则点P 所形成的几何体的体积等于 12. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[2]2=，[1.5]1=，[ 1.5]2-=-，若函数()1xxa f x a =+ （0a >，1a ≠），则11()[()][()]22g x f x f x =-+--的值域为二. 选择题13. 给出下列命题：（1）若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；（2）函数()f x 在区间[,]a b 上存在反函数的充要条件是()f x 在区间[,]a b 上是单调函数；（3）函数()f x 在定义域D 上的反函数为1()f x -，则对于任意的0x D ∈都有11000(())(())f f x f f x x --==成立；其中正确的命题为（）A.（1）B.（1）（2）C.（1）（3）D.（1）（2）（3）14. 已知1a 、2a 、1b 、2b 、1c 、2c 都是非零实数，集合2111{|0,}A x a x b x c x R =++=∈， 2222{|0,}B x a x b x c x R =++=∈，则“A B =”是“111222a b c a b c ==”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15. 在空间坐标系中，高为1，底面边长也为1的正三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA 与z 轴平行，设此三棱柱的左视图的面积为S ，则S 的最大值与最小值之差为（）A. 12B. 312-C. 232-D. 3416. 已知1{(,)|()()0}A x y y x y x =--≥，22{(,)|(1)(1)1}B x y x y =-+-≤，则A B 所表示的平面区域的面积等于（）A. 3πB. 2π C. 34π D. 45π 三. 解答题17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC AA λ==，M 、N 分别是1A B 与11B C 的中点；（1）求证：MN ∥平面11ACC A ；（2）是否存在λ的值，使得MN 与AC 所成角为4π？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由； 18. 已知向量(cos sin ,sin )a x x x ωωω=-，(cos sin )b x x x ωωω=--，设函数()f x a b λ=⋅+的图像关于直线x π=对称，其中ω、λ为常数，且1(0,)2ω∈；（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()y f x =的图像经过点(,0)4π，求函数()f x 在区间3[0,]2π上的取值范围； 19. 函数()y f x =的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00()f x x =成立，则称0x 为函数()y f x =的“不动点”；（1）若2()f x ax bx c =++（0a ≠）有两个不动点1-、3，求bc 的最小值；（2）若0a >，且2()f x ax bx c =++有两个不动点m 、n 满足：10m n a<<<，求证：当(0,)x m ∈时，()f x m <；20. 已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA 、QB 分别切圆M 于A 、B 两点；（1）若(1,0)Q ，求直线QA 、QB 的方程；（2）设||MQ t =，用t 表示AQB ∠的余弦值，并求QA QB ⋅的最小值；（3）若||3AB =，试求直线MQ 的方程； 21. 已知点111(,)P a b 、222(,)P a b 、、(,)n n n P a b （*n N ∈），都在函数()x f x p =（0p >，1p ≠）的图像上；（1）若数列{}n a 是等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设1p >，函数()f x 的反函数为1()f x -，若函数()y f x =与函数1()f x -的图像有公共点M ，求证：M 在直线y x =上；（3）设12p =，n a n =（*n N ∈），过点n P 、1n P +的直线n l 与两坐标轴围成的三角形面积为n c ，问：数列{}n c 是否存在最大项？若存在，求出最大项的值，若不存在，请说明理由；参考答案一. 填空题1. {1,2,3,4,5}2. 310x y -+=3.54 4. 5 5. 1(0,][8,)8+∞6.1- 7. 2213x y -= 8. 1225 9. 6050 10. 913(,]22 11. 1612. {0,1}- 二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）略；（2）存在，1λ=；18.（1）3T π=；（2）[1,2]-；19.（1）38-；（2）略；20.（1）1x =，3(1)4y x =--；（2）22cos 1AQB t∠=-，3；（3）2y =； 21.（1）略；（2）略；（3）max 2()1n c c ==。

上海市上海实验学校2020届高三上学期9月第一次月考数学试题+Word版含解析

2020届上海实验学校高三上9月月考试卷一、填空题1.已知集合{}{}{}2,1,0,1,2,3,1,3,1,0,1U A B =--==-，则()U C A B ⋂=_______. 【答案】{}1,0- 【解析】【分析】先求U C A ，再利用交集的运算性质可得()U C A B ⋂．【详解】Q {}2,1,0,2U C A =--，(){1,0}U C A B ⋂=-∴. 故答案为：{}1,0-.【点睛】本题考查集合间的基本运算，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 2.命题：“若a b >，则1a b +≥”逆否命题是______. 【答案】若1a b +<，则a b ≤ 【解析】【分析】根据逆否命题的定义即可得到结论．【详解】命题“若a b >，则1a b +≥”的逆否命题是：若1a b +<，则a b ≤ 故答案为：若1a b +<，则a b ≤【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，即原命题与逆否命题的形式． 3.若函数()f x 的定义域为[)2,1-，则()1f x +的定义域为_______.【答案】[)3,0- 【解析】【分析】将1x +整体代入区间[)2,1-，求出x 的范围即为()1f x +的定义域.【详解】因为函数()f x 的定义域为[)2,1-，所以21130x x -≤+<⇒-≤<，所以()1f x +的定义域为[)3,0-.故答案为：[)3,0-.【点睛】本题考查抽象函数的定义域，求解抽象函数定义域要注意两个原则：一是已知或求解定义域，都是指自变量x 的取值范围；二是对应关系f 作用的对象范围要一致. 4.不等式13x x+≤ 的解集为________________．【答案】102xx x ⎧⎫<≥⎨⎬⎩⎭n n 或【解析】分析：直接利用分式不等式的解法，化简求解即可. 详解：原不等式()112213000210x x x x x x x x+---≤⇔≤⇔≥⇔-≥且0x ≠，解得12x ≥或0x <. 故答案为：1|02x x x ⎧⎫≥<⎨⎬⎩⎭或. 点睛：简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解． 5.函数()()210f x x x =+≤的反函数()1fx -=_________.【答案】[)1,x ∈+∞ 【解析】【分析】从条件中函数式()()210f x x x =+≤，中反解出x ，再将x ，y 互换即得．【详解】()210y x x =+≤Q ，1)x y ∴=≥，∴函数()()210f x x x =+≤的反函数为[)1,y x =∈+∞.故答案为：[)1,x ∈+∞．【点睛】本题主要考查反函数的求法，解题的关键是反解，考查基本运算求解能力，属于基础题． 6.函数1y x x=-在区间[]1,2上的值域为______.【答案】302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】【分析】由两个增函数和仍是增函数得函数1y x x=-在区间[]1,2上单调递增，将区间端点代入函数解析式即可求出值域. 【详解】因函数y x =与1y x=-在区间[]1,2上均为增函数，所以1y x x=-在区间[]1,2上为增函数，当1x =时，0y =；当2x =时，32y =；所以函数的值域为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故答案为：302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】本题考查利用函数的单调性求函数的值域，考查基本的运算求解能力. 7.若()2132f x x x -=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是_______.【答案】(0,1) 【解析】【分析】由已知得到关于x 的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之．【详解】由()0f x <得到2132x x -<<，所以761x <且0x >，解得01x <<. 故答案为：(0,1)．【点睛】本题考查根式不等式的解法；一般的转化为整式不等式解之，但要注意定义域优先法则．8.已知实数，y 满足约束条件01?0x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值_______．【答案】2【分析】作出可行域，求出区域的顶点坐标，将顶点坐标一一代入2z xy=+，即可判断函数的最大值。