上海市格致中学2020届高三数学9月开学考试(含解析)

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上海市格致中学2020届高三数学9月开学考试（含解析）一.填空题

1.不等式1

3

x

>的解集为________

【答案】

1 (0,)

3

【解析】

【分析】

将常数移到左边，通分得到答案.

【详解】1113311 330000

3

x x

x

x x x x

--

>⇒->⇒>⇒<⇒<<

故答案

1 (0,)

3

【点睛】本题考查了分式不等式的解法，属于基础题型. 2.已知向量(7,1,5)a=-，(3,4,7)b=-，则||a b+=________ 【答案】13 【解析】【分析】先求出向量a b+=（4，3，12），由此能求出|a b +|．【详解】∵向量()715a=-，，，()347b=-，，，∴a b+=（4，3，12），∴|a b +

|==13．

故答案为：13．

【点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3.如果双曲线22

13x y m m

-=的焦点在y 轴上，焦距为8，则实数m =________

【答案】4- 【解析】 【分析】

先化为标准式，再由焦距为8，列出m 方程，即可得到结论．

【详解】由题意，双曲线22

13x y m m

-=的焦点在y 轴上，则223y x m m -

--=1，半焦距为4，则﹣m ﹣3m ＝16，

∴m ＝﹣4． 故答案为：﹣4．

【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题．

4.函数2

()f x x =，(0,)x ∈+∞的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -=________

【答案】2 【解析】 【分析】

求出原函数的反函数，取x ＝4即可求得f ﹣1（4）． 【详解】由y ＝f （x ）＝x 2（x ＞0），

得x =

则函数f （x ）＝x 2（x ＞0）的反函数为y ＝f ﹣1（x ）=

∴f ﹣1

（4）2=

=．

故答案为：2．

【点睛】本题考查反函数的求法及函数值的求法，是基础题．

5.若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=________ 【答案】0或2

【解析】 【分析】

方程变形为(2sin cos )cos 0ααα-⋅=，分为两种情况得到答案. 【

详

解

】

22sin cos cos 0(2sin cos )cos 0cos 0

ααααααα⋅-=⇒-⋅=⇒=或

2sin cos 0αα-=

当cos 0α

=时：cot 0α=

当2sin cos 0αα-=时：cot 2α= 故答案为0或2

【点睛】本题考查了三角函数运算，意在考查学生的计算能力.

6.若复数z 的实部和虚部相等，且i 2i

z

a =+（i 是虚数单位），则实数a 的值为________ 【答案】2- 【解析】 【

分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 详解】由

2z

i a i

=+， 得z ＝i （a +2i ）＝﹣2+ai ， 又∵复数2z

i a i

=+的实部和虚部相等， ∴a ＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

7.已知一组数据1-，1，0，2-，x 的方差为10，则x =________

【答案】7或8- 【解析】 【分析】

依据方差公式列出方程，解出即可。

【详解】1-，1，0，2-，x 的平均数为

2

5

x -， 所以22222

122222110210555555x x x x x x ⎡⎤-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+-+--+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥

⎣⎦

解得7x =或8x =-。

【点睛】本题主要考查方差公式的应用。

8.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”，自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的

9

10

，若这堆货物总价是9100200()10

n

-万元，则n 的值为________ 【答案】10 【解析】 【分析】

由题意可得第n 层的货物的价格为a n ＝n •（910

）n ﹣1

，根据错位相减法求和即可求出． 【详解】由题意可得第n 层的货物的价格为a n ＝n •（9

10

）n ﹣1，

设这堆货物总价是S n ＝1•（910）0+2•（910）1+3•（910）2+…+n •（910

）n ﹣1

，①，

由①910⨯可得910S n ＝1•（910）1+2•（910）2+3•（910）3+…+n •（910

）n

，②，

由①﹣②可得110S n ＝1+（910）1+（910）2+（910）3+…+（910）n ﹣1﹣n •（910）n 91()109110

n

-=

--n •

（910）n ＝10﹣（10+n ）•（9

10

）n ， ∴S n ＝100﹣10（10+n ）•（9

10）n ，

∵这堆货物总价是9100200()10

n

-万元，

∴n ＝10，