9年级培优：圆内线段比例

9年级培优：圆内线段比例

圆内线段比例关系是初中平面几何最常见的题型，特此列举如下一些题例。

【1】如图，⊙O中，AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，

【提示】此为“异地恋”模型结论。（详见“同城恋”与“异地恋”模型）

【2】如图，⊙O中，AB为直径，点D为半圆AB的中点，点C为⊙O上一点，且点C、D位于AB同一侧，连接AD，BD，AC、BC，BD交AC于点E。

【提示】此为“同城恋”模型结论。（详见“同城恋”与“异地恋”模型）

【3】如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB=120º，

【提示】连接AD、BD，则△ABD为等边三角形，根据“托勒密”定理的特殊结论（详见9年级培优：圆的几个特殊结论【结论8】）可知，AC+CB=CD。

【4】如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC

的外角∠ACQ，∠ACB=90º。

【提示】连接PA，PB，则∠PBA=∠PCA=45º，故P为弧AB中点，再根据“同城恋”模型可得（2）成立。

【5】如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC

的外角∠BCQ，∠ACB=120º，

【解析】连接PA、PB，在BC上取一点M，使得BM=AC，过点P作PN⊥BC于点

N（如图5-1）

则∠PAB=∠PCB=30º，∠APB=∠ACB=120º，

∴∠ABP=30º，即PA=PB；

∵AC=BM，∠CAP=∠CBP，

∴△CAP≌△MBP，∴PC=PM，

∴点N为CM中点；

∵∠PCN=30º，∴PC∶CN=2∶√3，

∴CM∶PC=√3∶1，

∴（BC-AC）∶PC=√3

【6】如图，圆中的三条弦DE，FG，HK两两相交，交点分别为A，B，C，已知AD=BH=CF，AG=BE=CK，求证：△ABC为等边三角形。

【解析】设AD=BH=CF=m，AG=BE=CK=n，AB=c，BC=a，AC=b，

∵AD·AE=AG·AF，

∴m(c+n)=n(b+m)，即：

mc=nb；①

同理：ma=nc；②

mb=na，③

①+②+③：m(a+b+c)=n(a+b+c)，

∴m=n，从而a=b=c，

∴△ABC为等边三角形。

【7】如图，已知AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB。（1）

【提示】“异地恋”模型。

（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F。

【提示】四边形DECF为正方形，△AED≌△BFD。

（3）如图，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F。

【提示】△ACE和△BCF均为等腰直角三角形。

（4）如图Y32-3，当AB＞AC时，AD为∠BAC外角平分线，交⊙O于点D，过点D作DF⊥AB于点F。

【解析】①连接CD，在AB上截取BE=AC（如图7-4-1）.

则∠DAP=∠CBD，∠DAB=∠DCB，

∵∠DAP=∠DAB，

∴∠CBD=∠DCB，∴BD=CD；

又∠DBE=∠DCA，BE=AC，

∴△DBE≌△DCA，∴AD=ED，

∵DF⊥AE，∴AE=2AF；

∵AE=AB-BE=AB-AC，

∴（AB-AC）∶AF=2，为定值。

②过点D作DG⊥CA，交CA延长线于点G（如图7-4-2）

∵AD平分∠BAP，∴DF=DG；

又由①可知，DB=DC，根据“HL定理”，

△DBF≌△DCG，∴BF=CG，

∵AF=AG，

∴AB+AC=BF+AF+AC

=CG+AC+AG=2CG

∴（AB+AC）∶BF=2，为定值。

【注】圆的题型非常繁多，熟记以上结论有利于在解题中触发灵感。

【8】如图，在边长为1的正方形中，以A为圆心，AB为半径的圆弧与以DC为直径的半圆交于点E，连接DE并延长交BC于点F，连接BE并延长交CD于点G。（1）求DG∶GC的值；

（2）求四边形EFCG的面积。

【解析】（1）连接CE并延长交AB于点K（如图8-1）。∵BF为⊙A的切线，

∴BF²=FE·FD；

∵CF为以DC为直径的圆的切线，

∴CF²=FE·FD；

∴BF=CF。

延长AB，DF交于点H，则△CDF≌△BHF，

∴BH=CD，易知△CDF≌△CBK，

∴BK=CF=CD/2，

根据“线束原理”（详见比例与相似高级教程

（十）：线束原理①），DG∶GC=BH∶BK=2；

（2）易知S△CBG=1/6，S△CDF=1/4，

设S△CEG=x，S△CEF=y，

则S△DEG=2x，S△BEF=y，

∴2x+x+y=1/4，

x+2y=1/6，解得：

x=1/15，y=1/20，x+y=7/60，

∴S四边形EFCGQ=7/60。