人教版初一数学轴对称现
新人教版八年级上册初中数学 13.1.1 轴对称 教案(教学设计)
第十三章轴对称13.1轴对称13.1.1 轴对称【知识与技能】(1)理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念.(2)了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某条直线对称的对应点.(3)掌握线段垂直平分线的概念.(4)理解和掌握轴对称的性质.【过程与方法】通过已知图形画对称轴及画轴对称图形，让学生体会轴对称图形的性质和轴对称在实际生活中的应用.【情感态度与价值观】通过对轴对称图形和轴对称的认识，增强学生对对称美的认识，使学生感受数学带来的美.轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念.轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的区别和联系.多媒体课件、剪刀、长方形纸片教师引入：我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称的角度考虑，自然界的许多动植物也按照对称形生长，中国的方块字中有些也具有对称性，(教师利用投影出示一些图片，如图13-1.1-1)……对称给我们带来很多美的感受！其中轴对称是对称中重要的一种，那么这节课我们就学习轴对称.(教师板书课题)探究1：轴对称教师提出问题：把一张长方形纸片对折，剪出一个图案，再打开，就剪出了美丽的窗花，你能剪出什么样的窗花呢？教师先把长方形纸片对折，用剪刀剪出一个图案，再打开这个图案，让学生欣赏，然后学生自己动手按要求剪纸.学生在观察、互相交流的基础上描述图形的特征，教师归纳轴对称图形及轴对称的概念，并板书概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.然后教师让学生举出一些轴对称图形的例子.教师出示例题：例1在如图13-1.1-2所示的图形中，轴对称图形的个数是(B).学生先独立思考,再口答哪些是轴对称图形，教师进行点评.然后教师让学生完成：教材P60练习第1题.(学生口答，并在书上画出对称轴，标注它们的一对对称点)探究2：两个图形成轴对称教师提出问题：在教材P59图13.1-3中，每对图形有什么共同特征？你们能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？学生观察思考，并互相交流，发现其共同特征——每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合.教师进一步说明：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.然后教师让学生举出一些两个图形成轴对称的例子.教师提出问题：(1)将教材P58-59图13.1-2和图13.1-3进行比较，轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别？(2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称吗？如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，它是一个轴对称图形吗？学生独立思考后，进行交流，然后学生代表发言.教师根据学生回答的情况进行点评，最后师生共同归纳得出：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称.接着，教师继续提出问题：(1)成轴对称的两个图形全等吗？全等的两个图形一定成轴对称吗？为什么？(2)在教材图13.1-3中，你能标出A，B，C的对称点吗？学生独立思考后，再展开讨论，教师参与学生的讨论，并及时指导.然后教师让学生完成：教材P60练习第2题.(学生口答，并在书上画出对称轴，标注它们的一对对称点)最后教师总结：探究3：垂直平分线教师出示问题：(1)观察教材P59图13.1-4，线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？(2)在教材图13.1-5中，你能测量出线段AA′，BB′与直线l的夹角吗？它们与直线l垂直吗？点A与点A′到直线l的距离相等吗？点B与点B′到直线l的距离呢？教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，学生汇报交流结果.教师接着引导学生从观察三条线段与直线MN的位置关系，利用投影动画展示点A与点A′等重合的情形，并指出：经过线段中点并垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.最后师生共同归纳：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.1.概念：轴对称图形、两个图形关于某条直线对称、对称轴、对称点.2.找轴对称图形的对称点.3.垂直平分线.【正式作业】教材P64习题13.1第1-5题。
轴对称(全章知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(教师版) 2024-2025学年八年级数学上册基础
专题13.12轴对称（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【知识点二】作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.【知识点三】等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用轴对称的性质求值【例1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P 在四边形ABCD 的内部，且点P 与点M 关于AD 对称，PM 交AD 于点G ，点P 与点N 关于BC 对称，PN 交BC 于点H ，MN 分别交AD BC ，于点E F ，．（1）连接PE PF ，，若12cm MN =，求PEF !的周长；（2）若134C D ∠+∠=︒，求HPG ∠的度数．【答案】(1)12cm (2)134°【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n 边形内角和公式()2180n -⋅︒．（1）根据轴对称性质得到，PE ME =，PF NF =，得到PEF !的周长等于线段MN 的长度，为12cm ．（2）根据轴对称性质得到，PM AD ⊥，90PGA ∠=︒，PN BC ⊥，90PHB ∠=︒，根据四边形ABCD 内角和为360︒与134C D ∠+∠=︒，得到226A B ∠+∠=︒，根据五边形ABFPE 内角和为540︒，得到134HPG ∠=︒．解：（1）如图，∵点P 与点M 关于AD 对称，∴PE ME =，∵点P 与点N 关于BC 对称，∴PF NF =，∵12ME EF FN MN ++==，∴PEF !的周长为12cm ．（2）解：∵点P 与点M 关于AD 对称，∴PM AD ⊥，即90PGA ∠=︒，∵点P 与点N 关于BC 对称，∴PN BC ⊥，即90PHB ∠=︒，∵360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒，134C D ∠+∠=︒，∴226A B ∠+∠=︒，∵540A B PHB HPG PGA ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴134HPG ∠=︒．【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，将ABC V 沿着AC 折叠，使点B 恰好落在CD 上的点B '处，若110BAD ∠=︒，则ACB =∠（）A ．55︒B ．45︒C ．40︒D ．35︒【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB E '，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．连接AB '，BB '，过A 作AE CD ⊥于E ，依据BAC B AC '∠=∠，DAE B AE '∠=∠，即可得出12CAE BAD ∠=∠，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到1902ACB ACB BAD '∠=∠=︒-∠．解：如图，连接BB '，过A 作AE CD ⊥于E ，点B 关于AC 的对称点B '恰好落在CD 上，AC ∴垂直平分BB '，AB AB '∴=，BAC B AC '∴∠=∠，AB AD = ，AD AB '∴=，又AE CD ⊥Q ，DAE B AE '∴∠=∠，1552CAE BAD ∴∠=∠=︒，又90AEC =︒∠ ，35ACB ACB '∴∠=∠=︒，故选：D ．【变式2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，APT △与CPT △关于直线PT 对称，A APT ∠=∠，延长AT 交PC 于点F ，当A ∠=︒时，FTC C ∠=∠．【答案】36【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明2APF AFP A ∠∠∠==，利用三角形内角和定理构建方程求解即可．解：APT 与CPT △关于直线PT 对称，A C TA TC APT CPT ∠∠∠∠∴===，，，A APT ∠∠= ，A C APT CPT ∠∠∠∠∴===，FTC C ∠∠= ，22AFP C FTC C A ∠∠∠∠∠∴=+==，180A APF AFP ∠∠∠++=︒ ，5180A ∴∠=︒，36A ∴∠=︒，故答案为：36．【题型2】利用折叠的特征求值【例2】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，四边形CDEF 沿EF 翻折得到四边形C D EF ''且点D ¢恰好落在边AB 上；将AED '△沿ED '折叠得到A ED ''△且点A '恰好落在边BC 上．（1）若77BFE ∠=︒，则BFC '∠=．（2）若50A D B '∠='︒，求A EF '∠的度数．【答案】(1)26︒(2)52.5A EF '∠=︒【分析】本题考查了折叠的性质，熟练用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键．（1）根据折叠的性质可得EFC EFC '∠=∠，设BFC x '∠=，则可得77EFC x '∠=+︒，根据180EFB EFC ∠+∠=︒列方程，即可解答；（2）根据50A D B '∠='︒可求得EA F '∠，再求出AED '∠和D EA ''∠，利用折叠的性质即可得到D EF '∠，即可解答．解：（1） 四边形CDEF 沿EF 翻折得到四边形C D EF ''且点D ¢恰好落在边AB 上，EFC EFC '∴∠=∠，设BFC x '∠=，则可得77EFC EFC x '∠=∠=+︒，根据180EFB EFC ∠+∠=︒可得7777180x ︒++︒=︒，解得26x =︒，故答案为：26︒；（2）解：在A D B '' 中，∵50A D B '∠='︒，90B Ð=°，40D A B ''∴∠=︒，∵点A '恰好落在边BC 上，90D A E A ''∴∠=∠=︒．180904050EA F ∴∠=︒-︒-︒='︒，AD BC ∥ ，50AEA EA F ''∴∠=∠=︒，1252AED A ED AEA ∴︒''''∠=∠=∠=由折叠的性质，知()1180257752D EF DEF ∠=∠=⨯︒-︒=︒'．52.5A EF D EF A ED ∴∠=∠-'='∠''︒．【变式1】（23-24九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形ABCD 为一矩形纸带，点E F 、分别在边AB CD 、上，将纸带沿EF 折叠，点A D 、的对应点分别为A ''、D ，若235∠=︒，则1∠的度数为（）A ．62.5︒B ．72.5︒C ．55︒D ．45︒【答案】B 【分析】本题考查了邻补角的性质，折叠的性质及平行线的性质，由235∠=︒可得145AEA '∠=︒，再利用折叠的性质求得AEF ∠的度数，然后利用平行线性质即可求得答案，掌握折叠的性质是解题的关键．解：∵235∠=︒，∴18035145AEA ∠=︒-︒='︒，由折叠性质可得，172.52AEF A EF AEA ∠='∠='∠=︒，∵AB CD ∥，∴272.5AEF ∠=∠=︒，故选：B ．【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 和DCB △中，90,,A D AC BD ∠=∠=︒相交于点E ，AE DE =．将CDE 沿CE 折叠，点D 落在点D ¢处，若30BED ∠='︒，则BCD '∠的大小为．【答案】22.5︒【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是掌握翻折的性质．证明()ASA ABE DCE ≌，得,ABE DCE BE CE ∠=∠=，然后由翻折的性质和三角形内角和定理即可解决问题．解：在ABE 和DCE △中，90A D AE DE AEB DEC ∠==︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABE DCE ≌，∴,ABE DCE BE CE ∠=∠=，∴EBC ECB ∠=∠，由翻折可知：,D CE DCE D EC DEC ''∠=∠∠=∠，∵30BED ∠='︒，∴()118030752D EC DEC AEB ∠=∠=∠=︒-︒='︒，∴907515ABE ∠=︒-︒=︒，∴15ABE DCE D CE '∠=∠=∠=︒，∵,75BE CE AEB =∠=︒，∴37.5EBC ECB ∠=∠=︒，∴37.51522.5BCD EBC D CE ∠=∠-∠=︒-︒=''︒，故答案为：22.5︒．【题型3】线段垂直平分线的性质与判定求值【例3】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD 的高．（1）试说明AD 垂直平分EF ；（2）若8628ABC AB AC S === ，，，求DE的长．【答案】(1)详见解析(2)4【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明()Rt Rt HL AED AFD ≌是解题的关键．（1）利用角平分线的性质证明DE DF =，证明()Rt Rt HL AED AFD ≌，则AE AF ＝，即可证明结论；（2）根据28ABC S =△列式计算即可．解：（1）证明：∵AD 是ABC ABC △△的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD 的高．∴DE DF =，在Rt AED △与Rt AFD △中，AD AD DE DF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL AED AFD ≌，∴AE AF =，∵DE DF =，∴AD 垂直平分EF ；（2）解：∵DE DF =，∴()11128222ABD ACD S S AB ED AC DF DE AB AC +=⋅+⋅=+= ，∵14AB AC +=，∴4DE =．【变式1】（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若7AC =，12BC =，则ADC △的周长为（）A ．12B ．14C ．19D ．26【答案】C【分析】由作图可知，MN 是线段AB 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得DA DB =，通过等量代换即可求解，本题考查了垂直平分线的判定和性质，解题的关键是：从作图方法中识别出垂直平分线的作法．解：由题意可得，MN 是线段AB 的垂直平分线，DA DB ∴=，71219ABC C AC AD CD AC CD BD AC BC =++=++=+=+= ，故选：C ．【变式2】（23-24九年级上·重庆·期末）如图在ABC V 中，D 为AB 中点，DE AB ⊥，180ACE BCE ∠+∠=︒，EF BC ⊥交BC 于F ，8AC =，12BC =，则BF 的长为．【答案】10【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连接AE ，过点E 作EG AC ⊥交AC 的延长线于点G ，由线段垂直平分线的性质得EA EB =，由角平分线的性质得EG EF =，由HL 得Rt Rt EFC EGC ≌ 由全等三角形的性质得CF CG =，同理可得BF AG =，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．解：如图，连接AE ，过点E 作EG AC ⊥交AC 的延长线于点G ，D 为AB 中点，DE AB ⊥，EA EB ∴=，180ACE BCE ∠+∠=︒ ，180ACE ECG ∠+∠=︒，ECG BCE ∴∠=∠，EF BC ⊥ ，EG AC ⊥，EG EF ∴=，在Rt EFC △和Rt EGC 中，CE CE EF EG=⎧⎨=⎩，Rt Rt EFC EGC ∴≌ （HL ），CF CG ∴=，同理可得：Rt Rt BFE AGE ≌ ，BF AG ∴=，BC CF AC CG ∴-=+，128CF CF ∴-=+，解得：2CF =，12210BF ∴=-=，故答案：10．【题型4】利用等腰三角形的性质与判定求值或证明【例4】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，BD 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，15CDG ∠=︒．（1）求证：AD AG =；（2）试判断CDE 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)等边三角形，见解析【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得出CD AB ⊥，30A B ==︒∠∠，AD DB =，进而根据15CDG ∠=︒，得出AGD ADG ∠=∠，根据等角对等边即可得证；（2）根据EF 是BD 的垂直平分线，得出DE EB =，根据等边对等角得出30EDB B ∠=∠=︒，进而得出60DCE CDE ∠=∠=︒，可得CDE 是等边三角形.（1）证明：∵AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是BC 边上的中线，∴CD AB ⊥，()1180302A B ACB ∠=∠=︒-∠=︒，AD BD =，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∵15CDG ∠=︒，∴9075ADG CDG ∠=︒-∠=︒，∵18075AGD A ADG ∠=︒-∠-∠=︒，∴AGD ADG ∠=∠，∴AD AG =；（2）结论：CDE 是等边三角形．∵EF 垂直平分线段BD ，∴DE EB =，∵30B ∠=︒，∴30EDB B ∠=∠=︒，∴9060CDE EDB ∠=︒-∠=︒，又∵AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是BC 边上的中线，∴1602DCB ACB ∠=∠=︒，∴60DCE CDE ∠=∠=︒，∴CDE 是等边三角形．【变式1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）在ABC V 中，36A ∠=︒，72B ∠=︒，则ABC V 是（）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的判定，根据三角形的内角和求出72C B ∠=∠=︒即可判断．解：在ABC V 中，36A ∠=︒，72B ∠=︒，∴18072C A B B ∠=︒-∠-∠=︒=∠，∴ABC V 是等腰三角形，故选：B ．【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BD =，DE AB ⊥于点E ，若4BC =，BDC 的周长为10，则AE 的长为．【答案】3【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得6BD CD +=，从而可得6AB AC ==，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答．解：4BC = ，且BDC 的周长为10，1046BD CD ∴+=-=，AD BD = ，6AD DC ∴+=，6AC ∴=，AB AC = ，6AB ∴=，AD DB = ，DE AB ⊥，132AE AB ∴==．故答案为：3．【题型5】利用等边三角形的性质与判定求值或证明【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BAC ∠的平分线分别交BC ，CD 于E 、F ．（1）试说明CEF △是等腰三角形．（2）若点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，试说明线段AC 与线段AB 之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)12AC AB =【分析】（1）首先根据条件90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，可证出90B BAC ∠+∠=︒，90CAD ACD ∠+∠=︒，再根据同角的补角相等可得到ACD B ∠=∠，再利用三角形的外角性质可得到CFE CEF ∠=∠，最后利用等角对等边即可得出答案；（2）由线段垂直平分线的性质得到AE BE =，根据等腰三角形的性质得到EAB B ∠=∠，由AE 是BAC ∠的平分线，得到CAE EAB ∠=∠，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：（1）∵90ACB ∠=︒，∴90B BAC ∠+∠=︒，∵CD AB ⊥，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，∴ACD B ∠=∠，∵AE 是BAC ∠的平分线，∴CAE EAB ∠=∠，∵EAB B CEA CAE ACD CFE ∠+∠=∠∠+∠=∠，，∴CFE CEF ∠=∠，∴CF CE =，∴CEF △是等腰三角形；（2）∵点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，∴AE BE =，∴EAB B ∠=∠，∵AE 是BAC ∠的平分线，∴CAE EAB ∠=∠，∴2CAB B ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90CAB B ∠+∠=︒，∴30B ∠=︒，∴12AC AB =．【点拨】此题主要考查了直角三角形综合，熟练掌握直角三角形性质，角平分线性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，是解题的关键．【变式1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如果,,a b c 为三角形的三边长，且满足()()()0a b b c c a ---=，那么该三角形的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．无法确定【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法是解题关键．根据()()()0a b b c c a ---=得到a b =或a c =或b c =或a b c ==，从而可以判定该三角形的形状．解：∵()()()0a b b c c a ---=，∴0a b -=或0b c -=或0c a -=或0a b b c c a -=-=-=，解得a b =或a c =或b c =或a b c ==，∴该三角形的形状为等腰三角形或等边三角形，故选：D ．【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，ABC V 和ADE V 是等边三角形，连接BD ，CE 交于点F ．（1）BD CE 的值为；（2）BFC ∠的度数为︒.【答案】160【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质．（1）根据等边三角形的性质得出AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，再由DAE BAE BAC BAE ∠+∠=∠+∠，得出CAE BAD ∠=∠，利用SAS 可证得CAE BAD ≌△△，从而可得出结论；（2）由()SAS CAE BAD △≌△，可得ABD ACE ∠=∠，再根据AOC BOF ∠=∠，结合三角形内角和即可求解．解：（1）∵ABC V 和ADE V 是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，∵DAE BAE BAC BAE ∠+∠=∠+∠，∴CAE BAD ∠=∠，∴()SAS CAE BAD △≌△，∴BD CE =，则1BD CE=，故答案为：1；（2）由()SAS CAE BAD △≌△，可得ABD ACE ∠=∠，∵AOC BOF ∠=∠，AOC ACE BAC BOF ABD BFC ∠+∠+∠=∠+∠+∠，∴60CFB BAC ∠=∠=︒，∴60BFC ∠=︒，故答案为：60．【题型6】利用30度所对的直角边等于斜边一半求值或证明【例6】（2024八年级上·江苏·专题练习）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 是边AB 的中点，CH AB ⊥于点H ，CD 平分ACB ∠．（1）求证：CD 平分MCH ∠；（2）过点M 作AB 的垂线交CD 的延长线于点E ，求证：CM EM =；（3）AEM △是什么三角形？证明你的猜想．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AEM △是等腰直角三角形，证明见解析【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AM CM BM ==，由等腰三角形的性质得到CAB ACM ∠=∠，由余角的性质得到CAB BCH ∠=∠，等量代换得到BCH ACM ∠=∠，根据角平分线的性质得到ACD BCD ∠=∠，即可得到结论；（2）根据EM AB ⊥，CH AB ⊥，得到EM AB ∥，由平行线的性质得到HCD MED ∠=∠，由于HCD MCD ∠=∠，于是得到MCD MED ∠=∠，即可得到结论；（3）根据CM EM =，AM CM BM ==，于是得到EM AM BM ==，由EM AB ⊥，推出AEM △是等腰直角三角形．（1）证明：Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 是AB 边的中点，AM CM BM ∴==，CAB ACM ∴∠=∠，90CAB ABC ∴∠=-∠，CH AB ⊥ ，90BCH ABC ∴∠=-∠，CAB BCH ∴∠=∠，BCH ACM ∴∠=∠，CD 平分ACB ∠，ACD BCD ∴∠=∠，ACD ACM BCD BCH ∴∠-∠=∠-∠，即MCD HCD ∠=∠，CD ∴平分MCH ∠；（2）证明：EM AB ⊥ ，CH AB ⊥，∴EM CH ∥，HCD MED ∴∠=∠，HCD MCD ∠=∠ ，MCD MED ∴∠=∠，CM EM ∴=；（3）解：AEM △是等腰直角三角形，CM EM = ，AM CM BM ==，EM AM BM ∴==，EM AB ⊥ ，AEM ∴△是等腰直角三角形．【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，ABC V 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，CD AB ⊥于点D ，若1BD =，则AD 的长度为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练运用“在直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键．由含30︒角的直角三角形的性质可分别求得BC 和AB 的长，进而求得AD 的长．解：∵在ABC V 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，∴=60B ∠︒，∵CD AB ⊥，∴30BCD ∠=︒，∴在Rt BCD △中，22BC BD ==，∴在Rt ABC △中，24AB BC ==，∴413AD AB BD =-=-=．故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是CAB △的平分线，DE 垂直平分AB ，若3CD =，则BD =．【答案】6【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、30︒所对的直角边是斜边的一半，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得30B CAD DAB∠=∠=∠=︒，在Rt ACD△中，根据直角三角形的性质可求得AD，则可得出BD的长．解：DE垂直平分AB，DA DB∴=，B DAB∴∠=∠，AD平分CAB∠，CAD DAB∴∠=∠，90C∠=︒，390CAD∴∠=︒，30CAD∴∠=︒，26AD CD∴==，6BD AD∴==．故答案为：6．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在ABCV中，D是AC的中点，CE AB⊥，BD与CE交于点O，且BE CD=．下列说法错误的是（）A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点EB．3BDC ABD∠=∠C．当E为AB中点时，ABCV是等边三角形D．当E为AB中点时，34BOCAECSS=△△【答案】D【分析】连接DE ，根据CE AB ⊥，点D 是AC 的中点得12DE AD CD AC ===，则BE DE =，进而得点D 在线段BD 的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设ABD α∠=，根据BE DE =得EDB ABD α∠=∠=，的2AED EDB ABD α∠=∠+∠=，再根据DE AD =得2A AED α∠=∠=，则3BDC A ABD α∠=∠+∠=，由此可对选项Ｂ进行判断；当E 为AB 中点时，则12BE AB =，CE 是线段AB 的垂直平分线，由此得AC BC =，然后根据12BE AB =，12CD AC =，BE CD =得AB AC =，由此可对选项Ｃ进行判断；连接AO 并延长交BC 于F ，根据ABC V 是等边三角形得30OBC OAC ∠=∠=︒，则OA OB =，进而得2OB OF =，3AF OF =，由此得12OBC S BC OF ∆=⋅，1322ABC S BC AF BC OF ∆=⋅=⋅，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．解：连接DE ，如图1所示：CE AB ⊥ ，点D 是AC 的中点，DE ∴为Rt AEC △斜边上的中线，12DE AD CD AC ∴===，BE CD = ，BE DE ∴=，∴点D 在线段BD 的垂直平分线上，即线段BD 的垂直平分线一定与AB 相交于点E ，故选项A 正确，不符合题意；设ABD α∠=，BE DE = ，EDB ABD α∴∠=∠=，2AED EDB ABD α∴∠=∠+∠=，DE AD = ，2A AED α∴∠=∠=，3BDC A ABD α∴∠=∠+∠=，即3BDC ABD ∠=∠，故选B 正确，不符合题意；当E 为AB 中点时，则12BE AB =，CE AB ⊥ ，CE ∴是线段AB 的垂直平分线，AC BC ∴=，12BE AB = ，12CD AC =，BE CD =，AB AC ∴=，AC BC AB ∴==，ABC ∴ 是等边三角形，故选C 正确，不符合题意；连接AO ，并延长交BC 于F ，如图2所示：当E 为AB 中点时，点D 为AC 的中点，∴根据三角形三条中线交于一点得：点F 为BC 的中点，当E 为AB 中点时，ABC V 是等边三角形，60ABC BAC ∴∠=∠=︒，AF BC ⊥，AF 平分OAC ∠，BD 平分ABC ∠，30OBC OAC ∴∠=∠=︒，OA OB ∴=，在Rt OBF △中，2OB OF =，2OA OB OF ∴==，3AF OA OF OF ∴=+=，12OBC S BC OF ∆∴=⋅，1322ABC S BC AF BC OF ∆=⋅=⋅，∴13OBC ABC S S ∆∆=，故选项D 不正确，符合题意．故选：D ．【点拨】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在ABC V 中，5030B C ︒∠∠=︒=，，A 是高，以点A 为圆心，A 长为半径画弧，交AC 于点E ，再分别以B 、E 为圆心，大于12BE 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部交于点F ，作射线AF ，则DAF ∠=．【答案】10︒/10度【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出AF 平分BAC ∠，然后利用三角形内角和定理求解即可．解：因为5030B C ∠=︒∠=︒，，所以1805030100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，根据题意得：AF 平分BAC ∠，所以1502BAF BAC ∠==︒，因为AD 为高，所以90BDA ∠=︒，所以180509040BAD ∠=︒-︒-︒=︒,所以504010DAF BAF BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：10︒．2、拓展延伸【例】（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）在等腰ABC V 中，CA CB =，30B ∠=︒，将一块足够大的直角三角尺PMN （90M ∠=︒、30MPN ∠=︒）按如图所示放置，顶点P 在线段AB 上滑动，三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并且与CB 的夹角PCB α∠=，斜边PN 交AC 于点D ．（1）当P 运动到AB 中点时，α=__________度；（2）当45α=︒时，请写出图中所有的等腰三角形（ABC V 除外）__________．（3）在点P 的滑动过程中，当PCD △的形状是以PC 为底的等腰三角形时，请在指定位置画出此时形成的图形，并指出此时图中的所有直角三角形（PMN 除外）．不用说明理由．【答案】(1)60；(2)ACP △和PCD △；(3)此时图中的所有直角三角形是PBC △和APD △．【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得到CP AB ⊥，求得90BPC ∠=︒，根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据三角形的内角和定理得到120BCA ∠=︒，求得1204575ACP ∠=︒-︒=︒，根据等腰三角形的判定定理得到ACP △是等腰三角形，求得PDC PCD ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理得到PCD △是等腰三角形（3）当PD CD =时，PCD △以PC 为底的等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到30PCD CPD ∠=∠=︒，即12030α-=°°，推出PBC △是直角三角形，根据三角形的内角和定理得到60CPB ∠=︒，求得603090BPD ∠=︒+︒=︒，于是得到APD △是直角三角形．解：（1）AC BC = ，点P 为AB 中点，CP AB ∴⊥，90BPC ∴∠=︒，30B ∠=︒ ，903060α∴=︒-︒=︒，故答案为：60；（2）CA CB = ，30B ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，120BCA ∴∠=︒，45BCP α∠==︒ ，1204575ACP ∴∠=︒-︒=︒，75APC BCP B ∠=∠+∠=︒ ，ACP APC ∴∠=∠，ACP ∴△是等腰三角形，30CPD ∠=︒ ，45APD ∴∠=︒，75CDP A APD ∴∠=∠+∠=︒，PDC PCD ∴∠=∠，PCD ∴ 是等腰三角形，故答案为：ACP △和PCD △；（3）如图，120ACB ∠=︒ ，120PCD α∴∠=︒-，当PD CD =时，PCD △以PC 为底的等腰三角形，30PCD CPD ∴∠=∠=︒，即12030α-=°°，90α∴=︒；PBC ∴△是直角三角形，60CPB ∴∠=︒，6030BPD ∴∠=︒+︒，90APD ∴∠=︒，APD ∴ 是直角三角形，综上所述，此时图中的所有直角三角形是PBC △和APD △．。
人教版初一数学利用轴对称设计图案(PPT)5-2
一、探究发现
• 课本201页给出了一个图案的一半， 其中虚线是这个图案的对称轴。
• （1）你能猜出整个图案的形状吗？ • （2）你能画出这个图案的另一半吗？
教学目标：
• 知识与技能目标 • 1、能按要求作已知图形的轴对称图形。 • 2、能利用轴对称进行一些图案设计，商
标设计。 • 3、欣赏现实生活中轴对称图形，提高综
合运用知②名（书册、文件、表格）供参考的附录或附注。③动准备考试：积极～。 【备课】∥动教师在讲课前准备讲课内容： 备完课，她又忙着批改作业。 【备料】∥动准备供应生产所需材料：～车间｜上班前就备好了料。 【备品】名储备着待用的机件和工具等。 【备勤】动随时 准备执行任务：实行小时～。 【备取】动招； 电影资源免费下载网站 电影资源免费下载网站 ；考时在正式录取名额以外再录取若 干名以备正取的人不到时递补（区别于“正取”）：～生。 【备述】动详尽地叙述：～其事始末｜其中细节，难以～。 【备忘录】名①一种外交文书，声明 自己方面对某种问题的立场，或把某些事项的概况（包括必须注意的名称、数字等）通知对方。②随时记载，帮助记忆的笔记本。 【备选】动准备出来供挑 选：多准备几个节目～。 【备汛】动汛期来临之前，做各种防汛准备工作：沿江各地积极～。 【备用】动准备着供随时使用：～件｜～物资｜留出部分现 金～。 【备灾】动防备灾害：～物资。 【备战】∥动准备战争：～备荒◇～奥运会。 【备至】形极其周到（多指对人的关怀等）：关心～｜爱护～。 【备 注】名①表格上为附加必要的注解说明而留的一栏。②指在这一栏内所加的注解说明。 【背】名①躯干的一部分，部位跟胸和腹相对（图见页“人的身 体”）：后～｜～影｜擦擦～。②（～儿）某些物体的反面或后部：手～｜刀～儿｜墨透纸～。③（）姓。 【背】①动背部对着（跟“向”相对）：～山面
人教版初一数学单元知识点
人教版初一数学单元知识点初一下册数学知识点总结1、单项式：数字与字母的积，叫做单项式。
2、多项式：几个单项式的和，叫做多项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
4、单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数。
5、多项式的次数：多项式中次数的项的次数，就是这个多项式的次数。
6、余角：两个角的和为90度，这两个角叫做互为余角。
7、补角：两个角的和为180度，这两个角叫做互为补角。
8、对顶角：两个角有一个公共顶点，其中一个角的两边是另一个角两边的反向延长线。
这两个角就是对顶角。
9、同位角：在“三线八角”中，位置相同的角，就是同位角。
10、内错角：在“三线八角”中，夹在两直线内，位置错开的角，就是内错角。
11、同旁内角：在“三线八角”中，夹在两直线内，在第三条直线同旁的角，就是同旁内角。
12、有效数字：一个近似数，从左边第一个不为0的数开始，到精确的那位止，所有的数字都是有效数字。
13、概率：一个事件发生的可能性的大小，就是这个事件发生的概率。
14、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
15、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
16、三角形的中线：在三角形中连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
17、全等图形：两个能够重合的图形称为全等图形。
18、变量：变化的数量，就叫变量。
19、自变量：在变化的量中主动发生变化的，变叫自变量。
20、因变量：随着自变量变化而被动发生变化的量，叫因变量。
21、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
22、对称轴：轴对称图形中对折的直线叫做对称轴。
初一下册数学知识点整理一、同底数幂的乘法(m，n都是整数)是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要注意以下几点：a)法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式;b)指数是1时，不要误以为没有指数;c)不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加;而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加;二、幂的乘方与积的乘方三、同底数幂的除法(1)运用法则的前提是底数相同，只有底数相同，才能用此法则(2)底数可以是具体的数，也可以是单项式或多项式(3)指数相减指的是被除式的指数减去除式的指数，要求差不为负四、整式的乘法1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
人教版八年级上册数学-13《轴对称》知识点及典型例题
⼈教版⼋年级上册数学-13《轴对称》知识点及典型例题第⼗三章《轴对称》⼀、知识点归纳（⼀）轴对称和轴对称图形1、有⼀个图形沿着某⼀条直线折叠，如果它能够与另⼀个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果⼀个图形沿⼀条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。
类似的，轴对称图形的对称轴，是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。
连接任意⼀对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应⾓相等。
5．画⼀图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
（⼆）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是⼀个具有特殊形状的图形，把⼀个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成⼀个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。
（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与⼀条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）所以线段的垂直平分线能够看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）⽤坐标表⽰轴对称2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹⾓平分线对称点P（x，y）关于第⼀、三象限坐标轴夹⾓平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第⼆、四象限坐标轴夹⾓平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平⾏于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三⾓形1、等腰三⾓形性质：性质1：等腰三⾓形的两个底⾓相等（简写成“等边对等⾓”）性质2：等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线、底边上的⾼相互重合。
人教版初中数学轴对称专题练习(含解析)
A．45°B．55°C．60°D．75°
8．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．70°
9．下列命题：
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合，
∴AD=AF+DF=2+ ．
考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
4．B.
【解析】
试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可得选项A不是轴对称图形，是中心对称图形；选项B是轴对称图形，又是中心对称图形；选项C，是轴对称图形，不是中心对称图形；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形．故答案选B．
考点：轴对称图形与中心对称图形.
解：根据图示可知∠CFE=180°﹣3×20°=120°．
故答案为：120°．
14．（1）详见解析；（2）8.
【解析】
试题分析：（1）由已知AB=AC，AD平分∠CAE，易证∠B=∠DAG= ∠CAG，根据平行线的判定即可得：AD∥BC；（2）由CG⊥AD，AD平分∠CAE，易得CF=GF，然后由AD∥BC，证得△AGF∽△BGC，再由相似三角形的性质即可求得结论．
（1）求证：AD∥BC；
（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G.若AF=4，求BC的长.
15．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD= ，求AD的长．
参考答案
1．B.
【解析】
试题解析：如图：
∴x与m互为相反数，y=n，
人教版初中数学图形的平移,对称与旋转的知识点
人教版初中数学图形的平移，对称与旋转的知识点一、选择题1．中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形.【详解】A.是轴对称图形；B.是轴对称图形；C.是轴对称图形；D.不是轴对称图形；故选D.【点睛】本题考查的是轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键.2．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则BQAQ的值为（）A2B3C．22D．32【答案】A【解析】【分析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将BQAQ转化为BQAC，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案．【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ADC＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝22AD，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∴AD＝CD＝BD，由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，∴AC′＝AQ＝AC，由△AEC∽△BDQ得：BQAC＝BDAE，∴BQAQ＝BQAC＝ADAE＝2AEAE＝2．故选：A．【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．3．如图，在边长为1522的正方形ABCD中，点E，F是对角线AC的三等分点，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=55的点P的个数是（）A．0 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】【分析】作点F关于BC的对称点M，连接EM交BC于点P，则PE+PF的最小值为EM，由对称性可得CM=5，∠BCM=45°，根据勾股定理得EM=55【详解】作点F 关于BC 的对称点M ，连接EM 交BC 于点P ，则PE+PF 的最小值为EM ． ∵正方形ABCD 中，边长为1522， ∴AC=1522×2=15， ∵点E ，F 是对角线AC 的三等分点，∴EC=10，FC=AE=5，∵点M 与点F 关于BC 对称，∴CF=CM=5，∠ACB=∠BCM=45°，∴∠ACM=90°，∴EM=222210555EC CM +=+=，∴在BC 边上，只有一个点P 满足PE+PF=55，同理：在AB ，AD ，CD 边上都存在一个点P ，满足PE+PF=55，∴满足PE+PF=55的点P 的个数是4个．故选B ．【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握利用轴对称的性质求两线段和的最小值，是解题的关键．4．在平面直角坐标系中，把点(5,2)P -先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（ ）A ．(8,4)-B ．(8,0)-C ．(2,4)-D ．(2,0)-【答案】A【解析】【分析】根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案．【详解】∵点P （-5，2），∴先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（-5-3，2+2），即（-8，4），故选：A ．【点睛】此题考查坐标与图形的变化，解题关键是掌握点的坐标的变化规律．5．如图，已知△A 1B 1C 1的顶点C 1与平面直角坐标系的原点O 重合，顶点A 1、B 1分别位于x 轴与y 轴上，且C 1A 1＝1，∠C 1A 1B 1＝60°，将△A 1B 1C 1沿着x 轴做翻转运动，依次可得到△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3等等，则C 2019的坐标为（ ）A ．（30）B ．（3，0）C ．（4035233D ．（30） 【答案】B【解析】【分析】根据题意可知三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，又因为20193673÷=，那么2019C 相当于第一个循环体的3673C 个即可算出.【详解】由题意知，111C A =，11160C A B ︒∠=，则11130C B A ︒∠=，11222A B A B ==，1122333C B C B C B ===结合图形可知，三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，Q 20193673÷=， ∴2019673(123)20196733OC =+=+， ∴2019C (20196733,0)+，故选B .【点睛】考查解直角三角形，平面直角坐标系中点的特征，结合找规律.理解题目中每三次是一个循环是解题关键.6．如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是( )A ．主视图B ．左视图C ．俯视图D ．主视图和左视图【答案】C【解析】 【分析】根据所得到的主视图、俯视图、左视图结合中心对称图形的定义进行判断即可.【详解】观察几何体，可得三视图如图所示：可知俯视图是中心对称图形，故选C.【点睛】本题考查了三视图、中心对称图形，正确得到三视图是解决问题的关键.7．如图，在ABC ∆中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ∆绕一逆时针方向旋转40︒得到ADE ∆，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为( )A ．1463π- B ．33π+ C ．3338π- D ．259π 【答案】D【解析】【分析】 由旋转的性质可得△ACB ≌△AED ，∠DAB=40°，可得AD=AB=5，S △ACB =S △AED ，根据图形可得S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ，再根据扇形面积公式可求阴影部分面积．【详解】∵将△ABC 绕A 逆时针方向旋转40°得到△ADE ，∴△ACB ≌△AED ，∠DAB=40°，∴AD=AB=5，S △ACB =S △AED ，∵S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ，∴S阴影=4025360π⨯=259π，故选D.【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等.8．下列说法正确的是（）A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小B．在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都被对称中心平分C．在平面直角坐标系中，一点向右平移2个单位，纵坐标加2D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行【答案】B【解析】【分析】分别利用图形的平移以及中心对称图形的性质和旋转的性质分别判断得出即可．【详解】A、平移不改变图形的形状和大小，旋转也不改变图形的形状和大小，故此选项错误；B、在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都被对称中心平分，此选项正确；C、在平面直角坐标系中，一点向右平移2个单位，横坐标加2，故此选项错误；D、在平移中，对应角相等，对应线段相等且平行，旋转则对应线段有可能不平行，故此选项错误．故选B．9．如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是( )A．30°B．60°C．72°D．90°【答案】C【解析】【分析】紫荆花图案是一个旋转不变图形，根据这个图形可以分成几个全等的部分，即可计算出旋转的角度．【详解】解：紫荆花图案可以被中心发出的射线分成5个全等的部分，因而旋转的角度是360÷5=72度，故选：C ．【点睛】正确认识旋转对称图形的性质，能够根据图形的特点观察得到一个图形可以看作几个全等的部分．10．如图，在ABC V 中，60,3,5,B AB BC ∠=︒==将ABC V 绕点A 顺时针方向旋转得到,ADE V 当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（ ）A ．3B ．2.5C ．2D ．1【答案】C【解析】【分析】 由旋转得到AD=AB ，由此证明△ADB 是等边三角形，得到BD=AB=3，即可求出CD.【详解】由旋转得AD=AB ，∵60B ∠=︒，∴△ADB 是等边三角形，∴BD=AB=3，∴CD=BC-BD=5-3=2，故选：C.【点睛】此题考查旋转的性质，等边三角形的判定及性质，根据旋转得到AD=AB 是解题的关键，由此得到等边三角形进行求解.11．有两条或两条以上对称轴的轴对称图形是（ ）A ．等腰三角形B ．角C ．等边三角形D ．锐角三角形【答案】C【解析】A.等腰三角形只有一条对称轴；B.角也只有一条对称轴，是角平分线所在的直线；C.等边三角形有三条对称轴；D.锐角三角形的对称轴数量不确定.故选：C12．如图，圆柱形玻璃杯高为8cm ，底面周长为48cm ，在杯内壁离杯底3cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm 且与蜂蜜相对的A 处，则蚂蚁从外壁A 处走到内壁B 处，至少爬多少厘米才能吃到蜂蜜（ ）A ．24B ．25C ．23713+D ．382【答案】B【解析】【分析】 将圆柱形玻璃杯的侧面展开图为矩形MNPQ ，设点A 关于MQ 的对称点为A′，连接A′B ，则A′B 就是蚂蚁从外壁A 处走到内壁B 处的最短距离，再根据勾股定理，即可求解．【详解】圆柱形玻璃杯的侧面展开图为矩形MNPQ ，则E 、F 分别是MQ ，NP 的中点，AM=2cm ，BF=3cm ，设点A 关于MQ 的对称点为A′，连接A′B ，则A′B 就是蚂蚁从外壁A 处走到内壁B 处的最短距离．过点B 作BC ⊥MN 于点C ，则BC=ME=24cm ，A′C=8+2-3=7cm ， ∴在Rt∆A′BC 中，A′B=222272425A C BC +=+=′cm ．故选B ．【点睛】本题主要考查图形的轴对称以及勾股定理的实际应用，把立体图形化为平面图形，掌握“马饮水”模型，是解题的关键．13．如图，ABC V 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A 的坐标是()1,0-．现将ABC V 绕点A 顺时针旋转90︒，则旋转后点C 的坐标是（ ）A ．()3,3B ．()2,1C ．()4,1--D ．()2,3【答案】B【解析】【分析】 在网格中绘制出CA 旋转后的图形，得到点C 旋转后对应点.【详解】如下图，绘制出CA 绕点A 顺时针旋转90°的图形由图可得：点C 对应点的坐标为(2，1)故选：B【点睛】本题考查旋转，需要注意题干中要求顺时针旋转还是逆时针旋转.14．如图，在▱ABCD 中，E 为边AD 上的一点，将△DEC 沿CE 折叠至△D ′EC 处，若∠B ＝48°，∠ECD ＝25°，则∠D ′EA 的度数为（ ）A ．33°B ．34°C ．35°D ．36°【答案】B【解析】【分析】 由平行四边形的性质可得∠D ＝∠B ，由折叠的性质可得∠D '＝∠D ，根据三角形的内角和定理可得∠DEC ，即为∠D 'EC ，而∠AEC 易求，进而可得∠D 'EA 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°，由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°，∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°，∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°.故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．∆绕点A顺时针旋转90︒到15．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE∆的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（）ABFA．4 B．5C．6 D．26【答案】D【解析】【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．【详解】Q绕点A顺时针旋转90︒到ABFADE∆∆的位置．∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，∴==AD DC25Q，2DE=∴∆中，2226Rt ADE=+=AE AD DE故选：D．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．16．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.图1图2有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形②图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】B【解析】【分析】逐一对选项进行分析即可.【详解】①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误；②图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等，故②正确；③图2中，设圆的半径为r∴勒洛三角形的周长=12032180rrππ⨯=g g圆的周长为2rπ∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确；④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④错误故选B【点睛】本题主要考查中心对称图形，弧长公式等，掌握中心对称图形和弧长公式是解题的关键. 17．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解析】试题解析：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵DC=1，BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC′=22'BC BD+=2234+=5．故选B．18．在等边三角形ABC中，CD是∠ACB的平分线，过D作DE∥BC交AC于E，若△ABC的边长为a，则△ADE的周长为()A．2a B．4 3 aC．1.5a D．a【答案】C【解析】解：△ABC是等边三角形，由折叠可知，AD＝BD＝0.5AB＝0.5a，易得△ADE是等边三角形．故周长是1.5a。
初中数学人教版八年级上册：第13章《轴对称》全章教案(22页,含反思)
初中数学人教版八年级上册实用资料第十三章轴对称13．1轴对称13．1.1轴对称1．理解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．2．了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴、对应点．3．掌握线段垂直平分线的概念．4．理解和掌握轴对称的性质．重点轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．难点轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别和联系．一、作品展示1．让部分学生展示课前的剪纸作品．2．小组活动：(1)在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的？为什么要这样？(2)这些窗花(图案)有什么共同的特点？二、概念形成(一)轴对称图形1．在学生充分交流的基础上，教师提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”．2．结合教材图13.1－1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置．3．学生举例，试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子．4．概念应用：(1)教材第60页练习第1题．(2)补充：判断下面的图形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，它们的对称轴是什么？(二)两个图形关于某条直线对称1．观察教材中的图13.1－3，思考：图中的每对图形有什么共同的特点？2．两个图形成轴对称的定义．观察右图：把△A′B′C′沿直线l对折后能与△ABC重合，则称△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，简称“轴对称”，点A与点A′对应，点B与B′对应，点C与C′对应，称为对称点，直线l叫做对称轴．3．举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗？4．讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别．(三)轴对称的性质观察教材中图13.1－4，线段AA′与直线MN有怎样的位置关系？你能说明理由吗？引导学生说出如下关系：PA＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°.类似的，点B和点B′，点C和点C′是否有同样的关系？你能用语言归纳上述发现的规律吗？结合学生发表的观点，教师总结并板书．对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．在这个基础上，教师给出线段的垂直平分线的概念，然而把上述规律概括成图形轴对称的性质．上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也有同样的关系？从而得出：类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一个对应点所连线段的垂直平分线．三、归纳小结主要围绕下列几个问题：(1)概念：轴对称图形，两个图形关于某条直线对称，对称轴，对称点；(2)找轴对称图形的对称轴．四、布置作业教材习题13.1第1，2，3题．数学教学应该选在牵一发而动全身的关键之处进行，轴对称图形的认识的教学就是要抓住“对折”与“完全重合”两个关键之处．不然就是隔靴搔痒. 当“部分重合”与“完全重合”理解了，轴对称图形的概念也会在学生脑海中留下深刻的印象．13．1.2线段的垂直平分线的性质(2课时)第1课时线段的垂直平分线的性质与判定掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．重点线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．难点灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．一、问题导入我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它．二、探究新知(一)线段的垂直平分线的性质教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3…到点A与点B的距离，你有什么发现？学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．性质的证明：教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我们要证明的是PA＝PB.教师分析证明思路：图中有两个直角三角形，△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB.教师要求学生自己写已知，求证，自己证明．学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：PA＝PB.证明：在△APC和△BPC中，∵PC＝PC(公共边)，∠PCB＝∠PCA(垂直定义)，AC＝BC(已知)，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．(二)线段的垂直平分线的判定你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论．原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”．此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．学生给出了如下的四种证法．已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.求证：P点在AB的垂直平分线上．证法一过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．证法二取AB的中点C，过P，C作直线．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC ≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上．证法三过P点作∠APB的平分线．∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P点在AB的垂直平分线上．证法四过P作线段AB的垂直平分线PC.∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平分线上．四种证法由学生表述后，有学生提问：“前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂．”师生共析：如图(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如图(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB.这说明一般情况下，“过P作AB的垂直平分线”是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的．从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定．要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB 和AB 外一点C.(如下图) 求作：AB 的垂线，使它经过点C.作法：(1)任意取一点K ，使点K 和点C 在AB 的两旁． (2)以点C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和点E.(3)分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F.(4)作直线CF.直线CF 就是所求作的垂线．师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF 就是所求作的垂线？请与同伴进行交流．生：从作法的第(2)(3)步可知CD ＝CE ，DF ＝EF ，∴C ，F 都在AB 的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定)．∴CF 就是线段AB 的垂直平分线(两点确定一条直线)．师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段AB 的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点．三、课堂练习教材第62页练习第1，2题．四、课堂小结本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，并学会了用尺规作线段的垂直平分线．五、布置作业1．教材习题13.1第6题． 2．补充题：(1)下图是某跨河大桥的斜拉索，图中PA ＝PB ，PO ⊥AB ，则必有AO ＝BO ，为什么？(2)如左下图，△ABC 中，AC ＝16 cm ，DE 为AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为26 cm .求BC 的长．(3)有A ，B ，C 三个村庄(如右上图)，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线．在课堂中，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等．第2课时 画对称轴会画轴对称图形的对称轴．重点轴对称图形的对称轴的画法． 难点轴对称图形的对称轴的画法．一、提出问题如果两个平面图形成轴对称，你能用什么办法验证？不经过折叠，你能用什么方法画出它的对称轴？ 二、探究新知 我们已经学过，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，所以我们只要找到两个图形的一对对应点，然后画出以对应点为端点的线段的垂直平分线即可，如何作线段的垂直平分线呢？例1 如图(1)，已知点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？分析：我们只要连接点A 和点B ，作出线段AB 的垂直平分线，就可以得到点A 和点B 的对称轴，为此作出到点A ，B 距离相等的两点，即线段AB 的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB 的垂直平分线．教师具体分析画法、写出画法，根据画法作出图形． 学生模仿教师的画法，边写画法，边画图．作法：如图(2)．(1)分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧(想一想，为什么)，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD.CD就是所求作的直线．这个作法实际上就是线段的垂直平分线的尺规作图．教师引导学生思考：(1)在作法中为什么有CA＝CB，DA＝DB?(2)可以用这种方法找线段的中点吗？四等分点呢？三、举例分析例2如图(1)，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴．教学方法：启发学生把问题转化为已解决问题，只要画出点A、点A′连线的垂直平分线即可，如图(2)．例3图(1)是一个五角星，请画出它的对称轴．教学方法：引导学生思考五角星有几条对称轴，点A可以和哪些点成对应点？最后化归到例2，由学生自己完成．四、巩固练习教材第64页练习第1，2，3题．五、课堂小结本节课你有什么收获？还有哪些不懂的地方吗？六、布置作业教材习题13.1第7，8题．通过前两节的学习，这节画对称轴的习题课就可以全部交由学生自己完成．画轴对称图形的对称轴就是利用两个对称点找到对称轴，即画出这对对应点连线的垂直平分线，让学生用尺规作图，独立完成．13．2画轴对称图形(2课时)第1课时作轴对称图形通过实际操作，掌握作轴对称图形的方法．重点能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形．难点较复杂图形的轴对称图形的画法．一、问题导入我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质．如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法．二、探究新知[活动]在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请你再将一个图形做一做，看看能否得到同样的结论．认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？(成轴对称)对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP′是什么关系？(直线l垂直平分线段PP′)[思考1]如何画一个点的对称图形？例1画出点A关于直线l的对称点A′.画法：(1)过点A作对称轴l的垂线，垂足为B；(2)延长AB到A′，使得BA′＝AB.点A′就是点A关于直线l的对称点．[思考2]如何画一条直线的对称图形？例2已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段．画法：(1)画出点A关于直线l的对称点A′.(2)画出点B关于直线l的对称点B′.(3)连接点A′和点B′成线段A′B′.线段A′B′即为所求．[思考3]如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？例3如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形．画法：(1)过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′＝OA，A′就是点A 关于直线l的对称点．(2)同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′.(3)连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求．三、课堂练习1．教材第68页练习第1，2题2．下列图形中，点P与P′关于直线MN对称的图形是()四、小结与作业1．归纳：几何图形都可以看成由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段的端点)，连接这些对称点，就可以得到图形的对称图形．2．作业：教材习题13.2第1题．几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．第2课时用坐标表示轴对称1．能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点．2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标．重点用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．难点找对称点的坐标之间的关系．一、问题导入教材图13.2－3是一张老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？二、探究新知【探究1】(1)在直角坐标系中画出下列已知点A(2，－3)，B(－1，2)，C(－6，－5)，D(3，5)，E(4，0)，F(0，－3)；(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点，并填写表格；(3)请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的．已知点A(2，－3) B(－1，2) C(－6，－D(3，5) E(4，0) F(0，－3)5)关于x轴的对称点关于y轴的对称点【探究2】在同一平面直角坐标系内描出以上各点关于y轴的对称点并写出坐标，观察关于y轴对称的两个点的坐标有什么规律？【归纳】关于y轴对称的点的坐标规律是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．【探究3】按以上规律，说出点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标，再说出P1关于y轴的对称点P2坐标．观察点P经过两次轴对称所得点P2的坐标有什么规律？【归纳】一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．在以后学了“中心对称”后，两点被称为关于原点对称．三、举例分析【例1】已知A(2，a)，B(－b，4)，分别根据下列条件求a，b的值．(1)A，B关于y轴对称；(2)A，B关于x轴对称；(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称．【解析】(1)A，B关于y轴对称，说明纵坐标相同，横坐标相反，a＝4，b＝2；(2)A，B关于x轴对称，说明横坐标相同，纵坐标相反，a＝－4，b＝－2；(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称，说明A，B经过x轴、y轴两次对称变换，即关于原点对称，横、纵坐标各互为相反数，a＝－4，b＝2.【例2】如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．学生独立完成，教师用多媒体出示出正确答案并讲评．四、课堂巩固1．平面直角坐标系中，点P(4，－5)关于x轴的对称点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知点P(－2，3)关于y轴对称点为Q(a，b)，则a＋b的值为()A．1B．－1C．5D．－53．点P(a，b)关于x轴对称的点为P1，点P1关于y轴的对称点为P2，则P2的坐标为() A．(a，b) B．(a，－b)C．(－a，b) D．(－a，－b)4．若点(a，b)与点(m，n)满足a＋m＝0，b－n＝0，则这两点关于()对称．A．x轴B．y轴C．x轴或y轴D．不确定五、拓展思维如图，点A(1，4)，B(4，1)，l为第一、三象限角∠xOy的平分线．(1)求证：l垂直平分AB；(2)A，B关于l成轴对称吗？(3)如果点A，B的坐标分别为(6，8)和(8，6)，它们还关于l对称吗？(4)如果你发现了对称点的坐标规律，写出点P(m，n)关于第一、三象限角平分线的对称点Q的坐标．六、小结与作业小结：(1)点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求．(2)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)即横坐标互为相反数，纵坐标相等．作业：教材习题13.2第3，4题．本节课通过学生熟悉、向往的北京城内天安门、长安街、东直门等的方位引入新课，能强烈地吸引学生的注意力，较好地激发学生的学习兴趣．其中归纳规律后检验其正确性是科学研究问题的一个必不可少的步骤，并通过一系列的练习培养学生思维的流畅性，也使学生特别是学有困难的学生都能达到基本的学习目标．13．3等腰三角形13．3.1等腰三角形(2课时)第1课时等腰三角形的性质和应用1．理解并掌握等腰三角形的性质．2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算．3．观察等腰三角形的对称性、发展形象思维．重点等腰三角形的性质及应用．难点等腰三角形的性质的证明．一、情境导入【活动1】教师预先做出各种几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形等．让同学们抢答哪些是轴对称图形，提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对称图形．引入今天所要讲的课题——等腰三角形．我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形．二、探究新知如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？学生活动：学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB＝AC.教师活动：让学生回顾等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．如下图．在△ABC中，若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形，AB，AC是腰，BC是底边，∠A 是顶角，∠B和∠C是底角．【活动2】把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：重合的线段重合的角学生活动：学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质．教师活动：引导学生归纳．性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．【活动3】你能用所学知识验证上述性质吗？如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.学生活动：学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B＝∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可．于是可以作辅助线构造两个三角形，作BC边上的中线AD，证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．教师活动：让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．证明：作BC边上的中线AD，如图．在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，所以△ABD ≌△ACD(SSS )，所以∠B ＝∠C. 这样，就证明了性质1.类比性质1的证明你能证明性质2吗？由△ABD ≌△ACD ，还可得出∠BAD ＝∠CAD ，∠ADB ＝∠ADC ＝90°. 从而AD ⊥BC ，这也就证明了等腰△ABC 底边上的中线平分顶角∠A 并垂直于底边BC. 添加辅助线的方法多样，让学生再去讨论、交流，即用类似的方法可以证明性质2. 三、应用提高例1 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求△ABC 各角的度数．学生活动：小组合作，分组讨论、交流．教师活动：引导学生分析图形中关于角的数量关系．(三角形的内角、外角，等腰三角形的底角)发现：(1)∠ABC ＝∠ACB ＝∠CDB ＝∠A ＋∠ABD ； (2)∠A ＝∠ABD ； (3)∠A ＋2∠C ＝180°.若设∠A ＝x ，则有x ＋4x ＝180°，得到x ＝36°，进一步得到两个底角的度数．四、小结与作业请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？师生活动：学生思考后，用自己的语言归纳，教师适时点评，并关注以下几个问题：小结：(1)等边对等角；(2)等腰三角形的三线合一；(3)等腰三角形常用辅助线作法(作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线)．作业：教材习题13.3第1，3，7题．本节课重点要让学生通过动手翻折等腰三角形纸片得出等腰三角形“两个底角相等”、“三线合一”的性质．设计理念是让学生通过感官认识、折纸、猜想、验证等腰三角形的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证，使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，从而实现教学目的．第2课时 等腰三角形的判定1．理解并掌握等腰三角形的判定方法． 2．运用等腰三角形的判定进行证明和计算．重点等腰三角形的判定方法． 难点等腰三角形的判定方法的证明．一、提出问题出示教材第77页“思考”． 学生思考，回答后教师提问：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 学生猜想它们所对的边相等．即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 如何证明？ 二、解决问题教师引导提示，学生根据提示画出图形，并写出已知、求证． 已知：在△ABC 中，∠B ＝∠C.求证：AB ＝AC.与学生一起回顾等腰三角形中常添加的辅助线：高、顶角平分线、底边上的中线．让学生逐一尝试，发现可以作AD ⊥BC ，或AD 平分∠BAC ，但不能作BC 边上的中线．学生口头证明后，选一种方法写出证明过程．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，作△ABC 的角平分线AD.在△BAD 和△CAD 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，AD ＝AD ，∴△BAD ≌△CAD(AAS )，∴AB ＝AC.归纳等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”． 三、应用举例 1．出示教材例2.引导学生根据命题画出图形，利用角平分线的性质及“等边对等角”来证明． 学生讨论后，自己完成证明过程．例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1＝∠2，AD ∥BC.(如图所示)求证：AB ＝AC.分析：要证明AB＝AC.可先证明∠B＝∠C.因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系．证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B(______________________)，∠2＝∠C(______________________)．而已知∠1＝∠2，所以∠B＝∠C.∴AB＝AC(______________)．2．出示教材例3.让学生自学例3.例3已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．作法：(1)作线段AB＝a.(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.(3)在MN上取一点C，使DC＝h.(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．四、课堂小结1．等腰三角形的判定方法是什么？2．等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？五、布置作业教材习题13.3第2，8，10题．学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识．因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算．发展学生的动手、归纳猜想能力；发展学生证明用文字表述的几何命题的能力；使它们进一步掌握归纳思维方法，领会数学分类思想、转化思想．13．3.2等边三角形(2课时)第1课时等边三角形的性质和判定。
人教版轴对称教学设计(集锦6篇)
人教版轴对称教学设计(集锦6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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人教版(五四制)初中数学八年级上册-20.1 轴对称 教案 (1)
《轴对称》教案设计与反思【教学目标】1、经历观察生活中的轴对称现象、探索轴对称现象共同特征的过程，进一步积累数学活动经验和发展空间观念；2、理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，能够识别这些图形并能指出它们的对称轴，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值.【教学重点】理解轴对称的概念。
【教学难点】识别轴对称图形和两个图形成轴对称,并能指出它们的对称轴。
【教学方法】“探究活动式”教学【教学过程】一、创设情境，感知“对称美”1. 视频欣赏：《千手观音》师：同学们，你们认为数学美不美？其实，在生活中，文学、艺术等各领域处处存在着数学美。
我们不妨来欣赏下面的视频。
（电脑播放《千手观音》视频）师：刚才视频中的舞蹈美吗？（学生一致点头）体现了什么样的数学美？（学生回答对称美）师：非常正确。
有同学能举例我们生活中一些对称美的现象吗？（学生纷纷举手回答）2.图片欣赏：生活中的对称美师：老师这里也收集了许多生活中的对称美，大家一起来欣赏一下（电脑逐次出示建筑、脸谱、剪纸、车标、国旗等几组图片）【反思】通过观察精美的视频与图片，充分激活学生的感知与兴趣，让学生感受到生活中的对称美，同时也为新知的学习搭建了一个有效的平台。
二、探究学习，认识“对称美”1.轴对称图形的定义（1）折一折：图形的区分与分类师：请每个小组（4人一组）打开1号信封，拿出里面的平面图形，对折一下，如果把这些图形分分类，可以分成哪几类？（电脑出示操作要求，学生操作、交流后回答）师：请一组派代表上台演示你们是怎么对折的？怎么区分的？（学生边说边演示并分成两组贴在黑板上）（2）想一想：轴对称图形的共同特征及定义概括师：（指着对称的那一组）今天我们先来研究这一组图形，它们有什么共同特征？师：（引导）一个平面图形，沿一条直线折叠，两边能够重合。
（两三人口述，师板书关键词）师：这就是我们今天要学习的第一个概念——轴对称图形（板书）。
请大家齐读轴对称图形的定义。
人教版初一数学重要知识点汇总
人教版初一数学重要知识点汇总生活中的轴对称1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。
可以说成：这两个图形关于某条直线对称。
3、轴对称图形与轴对称的区别：轴对称图形是一个图形，轴对称是两个图形的关系。
联系：它们都是图形沿某直线折叠可以相互重合。
2、成轴对称的两个图形一定全等。
3、全等的两个图形不一定成轴对称。
4、对称轴是直线。
5、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
6、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。
2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
7、轴对称图形有：等腰三角形(1条或3条)、等腰梯形(1条)、长方形(2条)、菱形(2条)、正方形(4条)、圆(无数条)、线段(1条)、角(1条)、正五角星。
8、等腰三角形性质：①两个底角相等。
②两个条边相等。
③“三线合一”。
④底边上的高、中线、顶角的平分线所在直线是它的对称轴。
9、①“等角对等边”∵∠B=∠C∴AB=AC②“等边对等角”∵AB=AC∴∠B=∠C10、角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
∵OA平分∠CADOE⊥AC,OF⊥AD∴OE=OF11、垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
∵OC垂直平分AB∴AC=BC12、轴对称的性质1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点(对称点)，能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。
2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。
2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。
《13.1.1轴对称》学历案-初中数学人教版12八年级上册
《轴对称》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为“初中数学课程《轴对称》”。
轴对称是初中数学中一个重要的概念，它涉及到图形的对称性、对称轴的寻找以及在实际生活中的应用等。
通过本课的学习，学生将能够理解轴对称的基本概念和性质，并能够通过具体实例来应用这一概念。
二、学习目标1. 理解轴对称的基本概念和性质，掌握对称轴的寻找方法。
2. 能够通过具体实例来识别和判断轴对称图形。
3. 培养学生的空间想象能力和几何直觉，提高学生的数学思维能力。
4. 了解轴对称在现实生活中的应用，增强学生的数学应用意识。
三、评价任务1. 能否正确理解轴对称的概念和性质。
2. 能否准确找出图形的对称轴。
3. 能否通过具体实例来识别和判断轴对称图形。
4. 能否将所学知识应用到实际生活中，解决实际问题。
四、学习过程1. 导入新课：通过展示一些轴对称图形，引导学生观察图形的特点，引出轴对称的概念。
2. 概念讲解：通过讲解和举例，让学生理解轴对称的基本概念和性质，明确对称轴的概念。
3. 探究活动：组织学生分组进行探究活动，让学生通过自己动手操作、观察、思考来发现图形的对称性，并尝试找出图形的对称轴。
4. 课堂互动：进行课堂互动环节，让学生提出自己的疑问和看法，老师进行解答和引导，加深学生对轴对称的理解。
5. 总结归纳：对整节课的内容进行总结归纳，强调重点和难点，让学生对所学知识有一个全面的认识。
五、检测与作业1. 课堂检测：进行课堂小测验，检测学生对轴对称概念的理解和掌握情况。
2. 作业布置：布置相关练习题和实际问题，让学生通过练习来巩固所学知识，并尝试将所学知识应用到实际生活中。
六、学后反思1. 学生反思：学生应反思自己在课堂上的表现，总结自己的不足之处，以便在今后的学习中加以改进。
2. 教师反思：教师应对本节课的教学过程进行反思，总结教学中的优点和不足，以便在今后的教学中加以改进。
同时，教师还应根据学生的反馈和课堂表现，调整教学策略和方法，以提高教学效果。
人教版数学轴对称是几年级的知识点
人教版数学轴对称是几年级的知识点篇一：哎呀，亲爱的朋友，你问人教版数学里轴对称是几年级的知识点？这可是个有趣的问题！我记得我上初中的时候，轴对称这个奇妙的知识就像一位神秘的朋友走进了我的世界。
那时候，我们一群小伙伴都瞪大了眼睛，好奇地探索着它的奥秘。
你想啊，轴对称就像是一个神奇的魔法，能让一个图形沿着某条直线对折后，两边完全重合。
这多有意思啊！就好比我们照镜子，镜子里的影像和我们自身不就是一种轴对称吗？还记得当时老师在课堂上给我们展示各种轴对称的图形，有漂亮的蝴蝶，有庄严的古建筑，还有那精美的剪纸。
老师一边展示一边问我们：“同学们，你们看这些图形美不美？它们可都是轴对称的杰作啊！”我们都兴奋地回答：“美！”同桌小明当时还凑过来跟我说：“这轴对称也太神奇了，感觉就像图形在变魔术！”我笑着回应他：“可不是嘛，要是咱们能把这魔法运用得炉火纯青，数学题可就不在话下啦！”后来，我们做练习题的时候，那叫一个紧张又兴奋。
小王着急地挠着头说：“哎呀，这道题我怎么找不到对称轴啊！”小李则自信满满地说：“别慌，咱们仔细观察，一定能找到的！”大家互相讨论，互相帮助，那种氛围真是热烈极了。
其实，轴对称不仅仅是数学课本上的知识点，它在我们的生活中也无处不在。
你看那雪花的形状，不就是轴对称的完美体现吗？还有那飞机的翅膀，不也是对称的设计，才能让飞机飞得更平稳吗？所以啊，朋友，轴对称这个知识点对于我们理解数学的美，感受生活中的规律，都有着至关重要的作用。
它就像是一把钥匙，能打开我们探索数学世界的大门，让我们看到更多奇妙的景象。
我的观点就是，轴对称虽然可能会让一些同学感到有点头疼，但只要我们用心去感受它的魅力，多观察生活中的轴对称现象，多做练习题，就一定能掌握这个有趣又实用的知识！篇二：哎呀，人教版数学中的轴对称这个知识点呀，它是八年级上册的内容呢！想当年我上八年级的时候，刚接触到轴对称，那感觉真是又新奇又有点小挑战。
还记得那时候，数学老师在讲台上眉飞色舞地讲着：“同学们，看看这个图形，是不是沿着某条线对折后，两边能完全重合呀？这就是轴对称！”我和同桌小明就在下面小声嘀咕，我问他：“你说这轴对称有啥用啊？”小明眨眨眼说：“这你就不懂了吧，以后好多设计、建筑啥的都得靠它呢！”老师接着讲，还在黑板上画了各种各样的轴对称图形，有漂亮的蝴蝶，有规整的五角星。
人教版初中数学八年级上册第十三章：轴对称(全章教案)
第十三章轴对称本章的内容包括：轴对称、画轴对称图形、等腰三角形、最短路径问题．轴对称是一种重要的对称．本章我们将从生活中的对称出发，学习几何图形的轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用．在此基础上，利用轴对称来研究等腰三角形，进而通过推理论证得到等腰三角形、等边三角形的性质和判定方法，由此体会图形变化在几何研究中的作用．在中考中，本章重点考查轴对称图形的性质、等腰三角形、等边三角形的判定及性质．【本章重点】轴对称图形的性质、等腰三角形的性质及判定．【本章难点】运用轴对称的思路分析认识复杂图形，进行推理论证．【本章思想方法】1．体会和掌握分类讨论思想，如：在解答等腰三角形的问题中，当腰和底、顶角的大小、角的位置不明确时，需要进行分类讨论．2．体会方程思想，如：在解决等腰三角形的问题时，根据边或角之间的关系，先设适当的边或角为未知数，再将其他的边或角用含未知数的代数式表示出来，最后根据等腰三角形的周长或三角形的内角和定理等构造方程解决问题．3．体会数形结合思想，如：运用本章知识解决实际问题时经常根据题意画出符合条件的图形，利用数形结合思想解决问题．13．1轴对称3课时13．2画轴对称图形2课时13．3等腰三角形4课时13．4课题学习最短路径问题1课时13．1轴对称13.1.1轴对称(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念．2．能识别简单的轴对称图形及其对称轴．【过程与方法】通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习以及动手操作，让学生关注生活，学会观察，增强交流．【情感态度与价值观】通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习，激发学生学习欲望，主动参与数学学习活动，体会图形的美，同时感悟数学来源于生活又用于生活．二、重难点目标【教学重点】轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念以及区别和联系．【教学难点】轴对称的性质．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P58～P60的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.2．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线就是对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.3．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.4．图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．5．下列体育运动标志中，不是轴对称图形的有1个．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．【互动探索】(引发学生思考)如何判断一个图形是否是轴对称图形？如何找轴对称图形的对称轴？【解答】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．则(1)(3)(5)(6)(9)不是轴对称图形，(2)(4)(7)(8)(10)是轴对称图形．(2)(4)(8)有1条对称轴；(7)有4条对称轴；(10)有2条对称轴．【互动总结】(学生总结，老师点评)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．【例2】如图，△ABC和△AED关于直线l对称，若AB＝2 cm，∠C＝95°，则AE＝________，∠D＝________.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据轴对称的性质，有AE＝AB＝2 cm，∠D＝∠C ＝95°.【答案】2 cm95°【互动总结】(学生总结，老师点评)根据成轴对称的两个图形全等及全等的性质得到对应线段相等，对应角相等．活动2巩固练习(学生独学)1．下图中的轴对称图形有(B)A．(1)(2)B．(1)(4)C．(2)(3)D．(3)(4)2．如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B ＝40°，则∠BCD的度数是(A)A．130° B．150° C．40° D．65°3．画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，n条对称轴．解：如图．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．可用折叠法判断是否为轴对称图形．2．多角度、多方法思考对称轴的条数．3．对称轴是一条直线，一条垂直于对应点连线的直线．4．轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形．请完成本课时对应练习！13.1.2线段的垂直平分线的性质第2课时线段垂直平分线的性质和判定一、基本目标【知识与技能】探索并理解线段垂直平分线的性质及判定．【过程与方法】经历探索轴对称图形性质及判定的过程，发展空间观念，培养学生认真探究、积极思考的能力．【情感态度与价值观】通过对轴对称图形性质的探索，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力．二、重难点目标【教学重点】掌握线段垂直平分线的性质及判定．【教学难点】运用其性质及判定解答相关问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P61～P62的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，猜想一下线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？答：直线MN垂直平分线段AA′、BB′、CC′.2．垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等.3．垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.4．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)A．MA＝MB，NA＝NBB．MA＝MB，MN⊥ABC．MA＝NA，MB＝NBD．MA＝MB，MN平分∠AMB环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，求BC的长．【互动探索】(引发学生思考)△DBC的周长为35 cm，求BC→需求BC＋DC的长，利用AD＝BD(垂直平分线的性质)→BC＋DC＝AC.【解答】∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35 cm，DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35 cm.∵AC＝AD＋DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15(cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【例2】如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．【互动探索】(引发学生思考)先利用角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证△AED ≌△AFD ，从而找出AD 与EF 的关系．【解答】AD 垂直平分EF .∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF .在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF ， ∴AE ＝AF ，∴A 、D 均在线段EF 的垂直平分线上，即直线AD 垂直平分线段EF .【互动总结】(学生总结，老师点评)证线段垂直平分线的方法1即定义，证垂直平分，方法2即线段垂直平分线的判定定理．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段P A ＝5，则线段PB 的长度为( B )A．6 B．5C．4 D．32．到平面内不在同一直线上的三个点A、B、C的距离相等的点有1个．3．如图，在△ABC中，D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连结DF，交AC 于点E，连结BE，∠A＝∠ABE.(1)求证：DF是线段AB的垂直平分线；(2)当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．(1)证明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB.∵AD＝DB，∴DF是线段AB的垂直平分线．(2)解：∵∠A＝46°，∴∠ABE＝∠A＝46°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝21°，∠F＝90°－∠ABC＝23°.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.【互动探索】(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可证△ADE ≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF 即可．【解答】(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD ＝CF ， ∴AB ＝BC ＋AD .【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)线段垂直平分线⎩⎪⎨⎪⎧性质：线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等判断：与线段两个端点距离相等的点在这 条线段的垂直平分线请完成本课时对应练习！第3课时线段垂直平分线的有关作图一、基本目标【知识与技能】理解并掌握线段垂直平分线的有关作图．【过程与方法】经历探索线段垂直平分线的有关作图的过程，发展空间观念，培养学生认真探究、积极思考的能力．【情感态度与价值观】通过作轴对称图形的对称轴，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与操作的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力，同时培养学生动手操作的意识及能力．二、重难点目标【教学重点】理解作轴对称图形的对称轴的方法．【教学难点】能解决有关线段垂直平分线的作图题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P62～P63的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．2．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．3．下面的图形是轴对称图形吗？如果是，请说出它的对称轴．解：它们都是轴对称图形，第一幅图的对称轴是中间的水平直线，第二、三幅图的对称轴是中间的竖着直线．4．作线段AB 的垂直平分线．解：作法：(1)分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于E 、F两点；(2)作直线EF ，EF 即为所求的直线．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例题】找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来．【互动探索】(引发学生思考)如何作轴对称图形的对称轴？【解答】所画对称轴如下所示：【互动总结】(学生总结，老师点评)对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．活动2巩固练习(学生独学)1．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？解：图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称，整个图形是轴对称图形，它共有2条对称轴．2．观察图中的图形，是轴对称图形的画出所有的对称轴．略环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)作对称轴的步骤：先找出任意一对对应点，再作出对应点所连线段的垂直平分线．请完成本课时对应练习！13．2画轴对称图形第1课时画轴对称图形一、基本目标【知识与技能】掌握作已知图形关于直线的轴对称图形的方法．【过程与方法】在探索问题的过程中体会知识间的关系，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用，感受数学与生活的联系．【情感态度与价值观】经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，培养学生的应用意识和探究精神．二、重难点目标【教学重点】作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．【教学难点】利用轴对称进行一些图案设计环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P67～P68的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．画出下列轴对称图形的所有对称轴．略2．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.3．几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】画出△ABC关于直线l的对称图形．【互动探索】(引发学生思考)画已知图形关于直线对称的图形的关键是什么？【解答】如图所示：【互动总结】(学生总结，老师点评)我们在画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连结即可得到．活动2巩固练习(学生独学)1．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是(B)2．在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.略活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB＝60°，则∠CFD＝()A．20° B．30°C．40° D．50°【互动探索】根据图形翻折变换后全等可得△ADE≌△FDE，∴∠EAD＝∠EFD＝90°.∵∠EFB＝60°，∴∠CFD＝30°，故选B.【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)作与图形成轴对称的图形，关键在于将图形抽象出各点，然后作点的对称点，再连线即可．请完成本课时对应练习！第2课时坐标中的轴对称一、基本目标【知识与技能】理解并掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律．【过程与方法】1．在探索关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律时，发展学生形象思维能力和数形结合的思维意识．2．在同一坐标系中，感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．【情感态度与价值观】在探索规律的过程中，培养学生的应用意识和探究精神，提高学生的求知欲和好奇心．二、重难点目标【教学重点】直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的特征．【教学难点】能解决有关坐标中的轴对称问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P68～P70的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)；(2)关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数.2．(1)点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)；(2)关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．3．点P(－4,3)关于x轴的对称点为Q，则点Q的坐标为(－4，－3).4．点P(－3,4)关于y轴的对称点为M，则点M的坐标为(3,4).环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】在平面直角坐标系中，已知点A(－3,1)、B(－1,0)、C(－2，－1)，请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．【互动探索】(引发学生思考)作已知图形关于坐标轴的对称图形的关键是什么？【解答】如图，△DEF是△ABC关于y轴对称的图形．【互动总结】(学生总结，老师点评)在坐标系中作出关于坐标轴的对称点，然后顺次连结，即可作出已知图形关于坐标轴的对称图形．活动2巩固练习(学生独学)1．点A(2，－3)向上平移6个单位后的点关于x轴对称的点的坐标是(2，－3).2．点P(3,4)关于y轴对称的点的坐标是P′(a，b)，则a－b＝－7.3．已知点A(2a－b,5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；(2)若A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2018的值．解：(1)∵点A、B关于x轴对称，∴2a－b＝2b－1,5＋a－a＋b＝0，解得a＝－8，b＝－5.(2)∵A、B关于y轴对称，∴2a－b＋2b－1＝0,5＋a＝－a＋b，解得a＝－1，b＝3，∴(4a＋b)2018＝1.3．画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并指出△A1B1C1的顶点坐标．解：画图略．其中A1(3，－4)、B1(1，－2)、C1(5，－1)．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在10×10的正方形网格中，每个小方格的边长都是1，四边形ABCD 的四个顶点在格点上．(1)若以点B为原点，线段BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，画出四边形ABCD 关于y轴对称的四边形A1B1C1D1；(2)点D1的坐标是________；(3)求四边形ABCD的面积．【互动探索】(1)以点B 为原点，线段BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，然后作出各点关于y 轴对称的点，顺次连结即可；(2)根据直角坐标系的特点，写出点D 1的坐标；(3)把四边形ABCD 分解为两个直角三角形，求出面积．【解答】(1)画图略． (2)点D 1的坐标为(－1,1)．(3)四边形ABCD 的面积为12×1×3＋12×1×2＝52.【互动总结】(学生总结，老师点评)轴对称变换作图，基本作法是：(1)先确定图形的关键点；(2)利用轴对称性质作出关键点的对称点；(3)按原图形中的方式顺次连结对称点．求多边形的面积可将多边形转化为规则图形的面积的和或差求解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)坐标中的轴对称⎩⎪⎨⎪⎧关于x 轴、y 轴对称的点的坐标变化规律作已知图形关于x 轴、y 轴对称的图形请完成本课时对应练习！13．3等腰三角形13.3.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质一、基本目标【知识与技能】1．了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质．2．利用等腰三角形的性质解决相关问题．【过程与方法】经历等腰三角形性质的探究过程，通过实践、操作、观察、猜想、论证，发展了合情推理的能力和演绎推理的能力，同时增强了语言表达能力．【情感态度与价值观】在活动中，培养学生自主探究、合作交流、应用数学的意识，提高学习的兴趣．二、重难点目标【教学重点】理解并掌握等腰三角形的性质．【教学难点】运用等腰三角形的性质解决有关问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P75～P77的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．有两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角.2．教材P75【探究】：(1)如图，把一张长方形的纸片按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到△ABC.从上述过程中可知，在△ABC中，AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形．(2)把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角：①重合的线段：AB与AC、BD与CD、AD与AD；②重合的角：∠B与∠C、∠BAD与∠CAD、∠ADB与∠ADC.3．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成“三线合一”)．(3)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.4．在△ABC中，若AC＝AB，则∠B＝∠C.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．【互动探索】(引发学生思考)设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．【解答】∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.设∠A＝x，则∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝1＝x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36.∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.【例2】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠BAD＝2∠DBC.【互动探索】(引发学生思考)要证∠BAD＝2∠DBC，考虑作∠BAD的角平分线，即作等腰三角形的高，再根据等角的余角相等求解．【证明】过点A作AE⊥BC于点E.∵AB＝AC，∴∠BAD＝2∠2.∵BD⊥AC于点D，∴∠BDC＝90°.∴∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°.∴∠DBC＝∠2.∴∠BAD＝2∠DBC.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键：(1)从要证等式中，角之间的数量关系，利用等腰三角形“三线合一”作辅助线；(2)在有直角的平面几何图形中，可用等角的余角相等证明角相等．活动2巩固练习(学生独学)1．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为(D)A．20°B．50°或80°C．10°D．20°或80°2．如图，在△ABC，AB＝AC，BC＝6 cm，AD平分∠BAC，则BD＝3 cm.3．在△ABC中，AB＝AC，过点C作CN∥AB且CN＝AC，连结AN交BC于点M.求证：BM＝CM.证明：∵AB＝AC，CN＝AC，∴AB＝CN，∠N＝∠CAN.又∵AB∥CN，∴∠BAM＝∠N，∴∠BAM＝∠CAM，∴AM为∠BAC的平分线．又∵AB＝AC，∴AM为三角形ABC的边BC上的中线，∴BM＝CM.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知△ABC 是等腰三角形，且∠A ＋∠B ＝130°，求∠A 的度数．【互动探索】要求∠A ，需先讨论∠A 是等腰△ABC 的顶角还是底角，再结合三角形的内角和求解．【解答】①当∠A 为顶角时，则∠B ＝∠C . ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠A ＋∠B ＝130°， ∴∠B ＝∠C ＝50°. ∴∠A ＝80°.②当∠C 为顶角时，则∠A ＝∠B ， ∵∠A ＋∠B ＝130°， ∴∠A ＝65°.③当∠B 为顶角时，则∠A ＝∠C ， ∵∠A ＋∠B ＝130°， ∴∠A ＝∠C ＝50°.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题体现了分类讨论思想．等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 等腰三角形的性质⎩⎪⎨⎪⎧等边对等角三线合一轴对称性请完成本课时对应练习！第2课时等腰三角形的判定一、基本目标【知识与技能】1．探索等腰三角形的判定方法．2．掌握等腰三角形性质与判定的综合应用．【过程与方法】经历判定等腰三角形的探究过程，通过实践、操作、观察、猜想、论证，发展了合情推理的能力和演绎推理的能力，同时增强数学语言表达能力．【情感态度与价值观】在活动中，培养学生自主探究、合作交流、应用数学的意识，感受数学学习的乐趣，激发学习数学的兴趣．二、重难点目标【教学重点】掌握等腰三角形的判定方法．【教学难点】会运用等腰三角形的判定方法解决问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P77～P78的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．等腰三角形的定义：如果一个三角形有两边相等，这个三角形为等腰三角形．2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC.证明过程略．(提示：作△ABC的角平分线AD)3．等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成等角对等边)．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，DB＝DC，∠ABD＝∠ACD，求证：AB＝AC.【互动探索】(引发学生思考)要证AB＝AC，本题不能直接连结AD，由全等得到，可以考虑连结BC利用等腰三角形的性质与判定方法求证．【证明】连结BC.∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABD＋∠DBC＝∠ACD＋∠DCB.∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要是通过连结BC，使AB、AC在同一个三角形中，最后通过证明它们所对的角相等，而证得这两条线段相等．【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．【互动探索】(引发学生思考)要证△CEF是等腰三角形，需证CE＝CF.由等角的余角相等可得∠B＝∠ACD，由AE是∠BAC的平分线和三角形外角的性质可得CE＝CF.【解答】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD＝3 cm.2．如图，AB＝AC，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝55°.3．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAE，∴∠DAE＝∠ADE.∵AD⊥BD，∴∠DAE＋∠B＝90°，∠ADE＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2,3)，在y轴上确定点P，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P共有()A．3个B．4个C．5个D．6【互动探索】∵△AOP为等腰三角形，所以可分三类讨论：(1)AO＝AP(有一个)．此时只要以A为圆心，AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P1；(2)AO＝OP(有两个)．此时只要以O为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P2、P4；(3)AP＝OP(一个)．作AO的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P3.综上所述，共有4个．故选B.。
人教版年级数学《用坐标表示轴对称》 演示PPT课件
小球运动轨迹如图所示,用坐标描述这个运动,找出小
球运动的轨迹上关于直线l对称的点．如果小球起始
时位于(1,0)处,仍按原来的方向击球,请你画出这时小
球运动的轨迹.
l
4 3
2
1
o 1 2 3 456 7 8
这节课你学到了什么？
1、学习了在平面直角坐标系中，关于x轴和y轴对 称的点的坐标的特点。
关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴 对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
[P43]
y
在图中,画 出已知点 及其对称 点,并把坐 标（－1，2） C（－6，－5）E（4，0）
关于x轴的对称点 关于y轴的对称点
A′(2,3)
A″( -2,-3 )
B′( -1,-2) B″( 1,2)
C′( -6,5 ) C″( 6,-5)
E′( -4,0 ) E″( 4,0 )
己
弄
五
分
钟
就
弄
完
所
以
最
后
通
常
变
成
我
自
己
弄
。
但
这
样
做
有
一
个
不
好
的
后
果
就
是
当
你
真
的
■
电
:
“
色
情
男
女
是
你
和
尔
东
口
罗
其
实
不
是
■ 电 你 是 否 有 这 样 经 历 ， 当 你 在 做 某 一 项 工 作 和 学 习 的 时 候 ， 脑 子 里 经 常 会 蹦 出 各 种 不 同 的 需 求 。 比 如 你 想 安 心 下 来 看 2 小 时 的 书 ， 大 脑 会 蹦 出 口 渴 想 喝 水 ， 然 后 喝 水 的 时 候 自 然 的 打 开 电 视 。 。 。 。 。 。 ， 一 个 小 时 过 去 了 ， 可 能 书 还 没 看 2 页 。 很 多 时 候 甚 至 你 自 己 都 没 有 意 思 到 ， 你 的 大 脑 不 停 地 超 控 你 的 注 意 力 ， 你 就 这 么 轻 易 的 被 你 的 大 脑 所 左 右 。 你 已 经 不 知 不 觉 地 变 成 了 大 脑 的 奴 隶 。 尽 管 你 在 用 它 思 考 ， 但 是 你 要 明 白 你 不 应 该 隶 属 于 你 的 大 脑 ， 而 应 该 是 你 拥 有 你 的 大 脑 ， 并 且 应 该 是 你 可 以 控 制 你 的 大 脑 才 对 。 一 切 从 你 意 识 到 你 可 以 控 制 你 的 大 脑 的 时 候 ， 会 改 变 你 的 很 多 东 西 。 比 如 控 制 你 的 情 绪 ， 无 论 身 处 何 种 境 地 ， 都 要 明 白 自 己 所
人教版数学轴对称说课稿8篇
人教版数学轴对称说课稿8篇人教版数学轴对称说课稿精选篇1根据新课标的理念，对于本节课，我将从课件中的资源整合的设计理念、教学策略、如何使用等方面进行展示和陈述。
一、教材分析本节课的主要内容是作轴对称图形，要求学生能够作出简单图形经过一次或者两次轴对称得到的图形，能够利用轴对称进行简单的图案设计，所以在寻找资源的过程中，使用一些图片、动画等。
前面的一节内容中学生认识了轴对称图形和两个图形关于某条直线对称，它们都是讲一个图形成或两个图形之间的位置关系，是一个静止的状态，我们选用的图片比较多。
作轴对称图形是由一个图形得到与它轴对称的图形的过程，是一个运动的过程，所以在本节课的课件中，我将用动画去展示轴对称变换的过程。
二、学情分析从心理特征来说，八年级阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。
但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，选取适当的教学资源，利用课件中好的视觉效果，如图片、动画、视频等，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要使用“班班通”的教学设备让学生参与到教学过程中来，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
三、教学目标分析本节课的教学目标为：知识技能：1、能按要求做出简单平面图形经过一次两次轴对称后的图形。
2、能利用轴对称进行图案设计。
过程与方法：利用轴对称作图和图案设计。
情感态度价值观：1、通过欣赏轴对称图案，形成学生了解数学、应用数学的态度。
2、通过作轴对称图形、设计图案，锻炼学生克服困难的意志，培养创新精神。
四、教学重难点根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：作轴对称图形。
难点确定为：利用轴对称设计图案。
五、教学方法分析本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生流出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。
初中数学 简单的轴对称图形 人教版精品公开课件
《数编学辑》此( 北外师添大加.标七题年文级本下册 )
复习
问题: 1 轴对称和轴对称图形有什么不同? 它们可以转
换吗? 2 常见的几何图形: 长方形 正方形 圆 等腰三角
形 等边三角形 的对称轴有几条, 分别是什么? 3 全等的两个图形一定对称吗? 成轴对称的两个
图形一定全等吗? 4 什么是两点之间的距离，点到直线的距离呢？
所在的直线。
B E
CC
A B D AAA
CE=CD 角的平分线上的点 到这个角的两边的距离 相等。
5
B
随 练习
随堂p1练93 习
接拓展练习
1、如图，在Rt△ABC 中， BD是∠B 的平分线 ，
DE⊥AB，垂足为E， DE与DC 相等吗？ 为什么？
EA
答： DE=BC。
D
∵ DC⊥BC，垂足为C，
如何才能放得下？唐代禅宗高僧青原行思曾提出参禅的三境界，那正是路径所在。 第一重境界是“看山是山，看水是水”。人之最初，比如年少之时，心思是简单的，看到什么就是什么，别人说什么就相信什么。这样看待世界当然是简单而粗糙的，所看到的往往只是表面。但同时，正是因为简单而不放在心上，于是不受其困扰，这就是放下的心境。只是还太脆弱，容易被现实击碎。 第二重境界是“看山不是山，看水不是水”。人随着年龄渐长，经历的世事渐多，就发现这个世界的问题越来越多、越来越复杂，经常是黑白颠倒、是非混淆，无理走遍天下、有理寸步难行，好人无好报、恶人活千年。这时人是激愤的，不平的，忧虑的，怀疑的，警惕的，复杂的。于是人不愿意再轻易地相信什么，容易变得争强好胜、与人比较、绞尽脑汁、机关算尽，永无满足的一天。大多数人都困在这一阶段，虽然纠结、挣扎、痛苦，这却恰恰是顿悟的契机。因为看到了，才能出来；经历了，才能明白。 第三重境界是“看山还是山，看水还是水”。那些保持住本心、做得到忍耐的人，等他看得够了，经得多了，悟得深了，终于有一天豁然顿悟，明白了万般只是自然，存在就有存在的合理性，生会走向灭，繁华会变成寂寞，那些以前认为好的坏的对的错的，都会在规律里走向其应有的结局，人间只是无常，没有一定。这个时候他就不会再与人计较，只是做自己，活在当下之中。任你红尘滚滚，我自清风朗月；面对世俗芜杂，我只一笑了之。这个时候，就是放下了。
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[单选]流行性腮腺炎的传染期是（）A.腮腺开始肿大至消退B.腮腺肿大前7日至肿大后7日C.腮腺开始肿大至肿大后7日D.腮腺肿大前9日至肿大后7日E.腮腺肿大前7日至肿大后9日 [多选]安装工程一切险专门承保各类安装工程，即在安装和试车考核过程中因自然灾害或意外事故所导致的损失。在这里意外事故通常包括（）。A．火灾B．雷电C．火山爆发D．爆炸E．设计错误 [单选]“钢船时期”的代表作“龙威”号被编入北洋舰队后，改名为“（）”号，成为北洋八大远之一。A、威远B、平远C、定远D、镇远 [单选]雕刻凹版版面上，凹痕的平均深度为一般为（）。A.1mmB.0.5mmC.0.05mmD.0.005mm [问答题,简答题]货运检查站应配备那些起主要工具和备品？ [单选]脊髓震荡是指（）A.脊髓受压B.脊髓挫伤C.脊髓裂伤D.脊髓血运障碍E.脊髓暂时性功能抑制 [单选]丙烯塔压力正常，丙烯质量不合格，下列哪项是正确的（）。A、提高塔底蒸汽量B、提高回流量C、降低脱丙烷塔塔压D、提高脱丙烷塔塔底温度 [单选]患者低热，咽喉肿痛1周。发现甲状腺肿大，左侧局部压痛，结合超声声像图，最可能的诊断是()A．结节性甲状腺肿B．亚急性甲状腺炎C．甲状腺瘤D．甲状腺癌E．甲状腺功能亢进 [单选]辑合女西装前片里布的胸省、腋下省并烫向（）。A.摆缝B.前C.随意D.A、B、C都对 [单选,A1型题]孕妇尿中与胎儿胎盘功能关系密切的激素是()A.雌二醇B.雌酮C.雌三醇D.孕酮E.睾酮 [单选]语文老师在讲述《静夜思》的时候，通过给大家播放了一些关于月亮的图片导入课程，这属于（）。A.温故知新导入B.直观导入C.趣味导入D.悬念导入 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于慢性粒细胞白血病下列说法不正确的是（）.A.急变期仍然按慢性期治疗B.90%以上可查到Ph染色体C.NAP积分最低D.WBC高，脾大为突出特征E.嗜酸、嗜碱性粒细胞易见 [单选]产后恢复排卵时间为（）A.不哺乳产妇恢复排卵时间平均为产后12周B.哺乳产妇恢复排卵时间平均为产后8周C.哺乳产妇恢复排卵时间平均为产后6～8个月D.哺乳产妇恢复排卵时间平均为产后2～4个月E.以上都不是 [单选]经济适用住房开发利润以前4项成本因素为基础，控制在（）%以下。A、1B、2C、3D、5 [单选,A1型题]下列不属于社会病的是（）A.自杀B.吸毒C.流感D.车祸E.青少年妊娠 [单选,A4型题,A3/A4型题]男，30岁，既往发作性心悸史，2小时前突然心悸，伴有头晕、乏力、出汗来诊。体格检查：BP90/60mmHg，心脏无扩大，心率190次/分，节律不规则，第一心音强弱不等，各瓣膜听诊区未闻及心脏杂音。心电图检查：P波消失，QRS波群宽大畸形，节律不规则。对该患者 [单选,A2型题,A1/A2型题]冲突人际关系观点建立于（）A.20世纪40～70年代B.20世纪40～60年代C.20世纪40～50年代D.20世纪30～40年代E.20世纪20～30年代 [问答题,论述题]如何才能使我们的招聘工作做得更好？ [单选]下面哪种病一般不引起血性白带()A．宫颈癌B．子宫内膜癌C．宫颈息肉D．重度宫颈靡烂E．阴道炎 [单选,A2型题,A1/A2型题]出现溶血反应时，下列紧急处理方法中不正确的是（）。A.立即停止输血B.输注晶体液或血浆代用品扩容抗休克C.静脉输注碳酸氢钠D.静脉注射盐皮质激素E.血浆置换疗法 [单选]车辆的外廓尺寸、轴荷和总质量应当符合国家有关车辆外廓尺寸、轴荷、质量限值等机动车安全（），不符合标准的不得生产、销售。A、设计标准B、技术标准C、通行标准 [单选]（）是合础工作，初步合同规划可以随着后续合同规划的深入而不断调整和完善。A.初步合同规划B.总体合同结构分解C.建构招标采购合同体系D.合同要素的计划与配置 [单选,A2型题,A1/A2型题]原色组织标本制作方法不包括（）。A.凯氏法（Kaiserling法）B.柯氏法C.一氧化碳法D.新鲜标本冷冻、干燥和塑化E.MASSON法 [问答题,简答题]母亲节、父亲节分别是哪一天？ [单选,A4型题,A3/A4型题]男，10岁。发热、头痛呕吐3天，嗜睡半天，于7月10日入院。体检：T40℃，神志不清，皮肤未见出血点，颈抵抗（+），双侧Babinski征（+）。血WBC12.4×109／L，中性粒细胞70%，淋巴30%。腰椎穿刺脑脊液检查：压力220mmH2O，WBC570×106／L，单核66 [单选]（）是在调查组下面分设若干调查小组分头调查，适用于涉及面广、调查取证难度较大的案件。A、母子式B、联合式C、纵向联合式D、横向联合式 [单选]骶耻外径正常值为（）A.23～26cmB.18～20cmC.30～36cmD.25～28cmE.8.5～9.5cm [单选]职业道德不仅有（），也有一定的历史继承性。A、价值观念B、技术延续C、法律色彩D、创造性 [单选,A1型题]长期全胃肠外营养（TPN）病人，出现高渗性非酮性昏迷的主要原因是（）A.微量元素缺乏B.深静脉插管感染致败血症C.渗透性利尿，水、电解质失衡D.病人胰岛素方面不足E.内毒素中毒 [单选]根据《企业国有资产法》规定，下列关于履行出资人职责的机构的权利和义务的表述，不正确的是（）。A.依法享有参与重大决策权B.依法享有选择管理者的权利C.依法律法规和企业章程履行出资人职责，保障出资人权益，防止国有资产损失D.维护企业作为市场主体依法享有的权利，积极 [名词解释]商业备用信用证 [单选]有关触发活动的描述，不正确的是（）.A.触发活动是指动作电位后产生的除极活动，也称为后除极B.若后除极的振幅增高并抵达阈值，便可引起反复激动C.触发活动多发生于动作电位的2相D.触发活动亦可导致持续性快速性心律失常E.可见于局部出现儿茶酚胺浓度增高、心肌缺血再灌注、 [单选,A3型题]婴儿胎龄40周，生后5小时，择期剖宫产娩出，生后不久出现呻吟，呼吸急促，口中少许泡沫伴口周发绀。查体：呼吸70次/分，双肺呼吸音粗，可闻及粗湿啰音，心率140次/分，胸骨左缘2.3肋间闻及Ⅰ～Ⅱ级收缩期杂音。血气分析结果：pH7.32，PaO26.4kPa，PaCO26.7kPa，BE-6 [判断题]二氧化碳灭火剂在甲板上比舱室内灭火效果好.A.正确B.错误 [单选]公民、法人或者其他组织向人民法院起诉，人民法院已经受理的（）。A.可以申请复议B.不得申请复议C.法院判决后再申请复议D.撤诉后再申请复议 [单选]环境卫生学的基本理论是()A.机体与环境在物质上的统一性B.环境因素对机体影响的作用机制C.机体对环境的适应能力D.环境因素对健康影响的复杂性E.环境中有益因素和有害因素对机体的综合作用 [单选]我国政府在履行经济职能的时候，通过()对国民经济进行宏观管理。A.制定货币政策B.制定经济政策C.把握宏观经济杠杆D.掌控资源在国民经济各部门的分配 [多选]护面墙的类型有()。A.实体式B.窗孔式C.衡重式D.锚杆式E.拱式 [判断题]常开的防火门，当发生火灾时，应具有自行关闭和信号反馈的功能。（）A.正确B.错误 [单选]Colles骨折最有诊断意义的体征是（）A.局部肿胀并有骨擦感B.典型畸形C.局部压痛D.反常活动E.手功能受限