反三角函数求导公式证明

§ 反函数的导数，复合函数的求导法则
一、反函数的导数
设)(y x ϕ=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ϕ=在I y 内单调、可导，而且0)(≠'y ϕ，则反函数)(x f y =在间
},)(|{y x I y y x x I ∈==ϕ内也是单调、可导的，而且
)(1
)(y x f ϕ'=' (1)
证明： ∀∈x I x ，给x 以增量x ∆),0(x I x x x ∈∆+≠∆
由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知
0)()(≠-∆+=∆x f x x f y
于是
y x x y ∆∆=∆∆1因直接函数)(y x ϕ=在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的，当0→∆x 时，必有0→∆y
)(11lim lim
00y y x x y y x ϕ'=∆∆=∆∆→∆→∆即：)(1)(y x f ϕ'=' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(log )ln 11
1211312
2
x x arctgx x a x a x '=-'=+'=
证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数 函数 y x sin =在
)2,2(ππ-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0 因此，在 )1,1(-=x I 上， 有 y x cos 1)arcsin (=
' 注意到，当)2,2(ππ-∈y 时，0cos >y ，221sin 1cos x y y -=-=
因此， 211)arcsin (x x -=
'
证2 设x tgy =，)2,2(ππ-=y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,)
tgy x = 在
I y 上单调、可导且 0cos 12>='y x 故
2221111cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='=
'
证3 a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (=='=
'
类似地，我们可以证明下列导数公式：
(arccos )()(ln )x x arcctgx x x x '=--'=-+'=111112
2
二、复合函数的求导法则
如果)(x u ϕ=在点x 0可导，而)(u f y =在点)(00
x u ϕ=可导，则复合函数])([x f y ϕ=在点x 0可导，且导数为 )()(000
x u f dx dy x x ϕ'⋅'== 证明：因)(lim 00u f x y u '=∆∆→∆，由极限与无穷小的关系，有
)0,0()(0→→∆∆⋅+∆'=∆αα时当u u u u f y
用0≠∆x 去除上式两边得：
x u x u u f x y ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆α)(0
由)(x u ϕ=在x 0的可导性有：
00→∆⇔→∆u x ，
0lim lim 00==→∆→∆ααu x ])([lim lim 000x u x u u f x y x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆→∆→∆α
x u x u u f x x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=→∆→∆→∆0000lim lim lim )(α
)()(00x u f ϕ'⋅'=
即)()(000x u f dx dy x x ϕ'⋅'==
上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：
若u x =ϕ()在开区间I x 可导，y f u =()在开区间I u 可导，且∀∈x I x 时，对应的 u I u ∈，则复合函数])([x f y ϕ=在I x 内可导，且
dx du du dy dx dy ⋅= (2)
复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：
弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。

【例2】}])([{x f y φϕ=，求
dy dx 引入中间变量， 设
v x =φ()，u v =ϕ()，于是 y f u =() 变量关系是 y u v x ---，由锁链规则有：
dy dx dy du du dv dv dx =⋅⋅ (2)、用锁链规则求导的关键 引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。

还应注意：求导完成后，应将引入的中间变量代换成原自变量。

【例3】求y x =sin 2的导数dy dx 。

解：设 u x =2，则y u =sin ，u x =2，由锁链规则有：
dy
dx dy du du
dx u x u x
=⋅='⋅'=⋅=(sin )()(cos )cos 2222
【例4】 设 y tg x =ln 2，求dy
dx 。

由锁链规则有 dx dv dv du du dy dx dy ⋅⋅=21
cos 1
12⋅⋅=v u (基本初等函数求导)21
2
cos 1212⋅⋅=x x tg ( 消中间变量) x sin 1= 由上例，不难发现复合函数求导窍门
中间变量在求导过程中，只是起过渡作用，熟练之后，可不必引入，仅需“心中有链”。

然后，对函数所有中间变量求导，直至求到自变量为止，最后诸导数相乘。

请看下面的演示过程：
)2(2cos 1
21)2(21)2ln (2'
⋅⋅='⋅='=x
x x
tg x
tg x tg x tg dx dy
x
x x
tg x x x tg sin 1
22cos 21
)(212cos 1212
2=⋅⋅='⋅⋅⋅=
【例5】证明幂函数的导数公式 1)(-⋅='μμμx x ，(μ为实数)。

证明：设y x e x
==⋅μμln
1
ln ln 1)ln (-⋅=⋅⋅='⋅='μμμμμμx x e x e y x x。