衍生金融工具的风险分析
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注意： （1）风险因素由两个，现货价格与无风险利率。 （2）由于是指数函数，敏感性方程为非线性方程。
例3.1
▪ 假设2年期即期年利率（连续复利，下同） 为10.5%，3年期即期年利率为11％，本金 为100万美元的2年×3年远期利率协议的 合同利率为11％，请问
1. 理论上,远期利率应为多少？该协议利率合理 吗？
8065.31
由此可见，由于协议利率低于远期利率（理论利 率），这实际上给了多方（借款方）的优惠，故合 约价值为正。反之，当协议利率高于远期利率的时 候，空方获利，这意味着远期合约的价值为负。
远期合约的价值总是从多方的视角来看的！
3.2 期货合约——远期的组合
▪ 三个制度性特征：逐日盯市、保证金要求、期货 清算所，逐日盯市将履约期限缩短为1天。
两个推论（可生息资产的远期价格）
▪ 以上证明的是标的资产本身不带来利息的 远期价格。如小麦远期。但是，对于持有 期间可以生息的资产，则需要对公式进行 调整，如债券远期。
1. 标的资产在远期合约到期前获得收益的现 值为I，则
Ft (St I)er(Tt)
证明：从单利到复利
若I是某债券利息（单利）的现值，假定
讨论：期货与远期的差异
▪ 假定一个5000蒲式耳小麦期货和远期只有3 日期限，多方损益
日期
7月1日 7月2日 7月3日
期货价格 （元）
4 4.1 4
远期现金流 期货现金流
0
0
0
500
0
-500
讨论：期货与远期的差异
1. 如果利率固定，则期货合约和远期合约等 价。（CIR定理）
2. 如果利率浮动，则期货与远期可能不等价。
➢ 考虑例子中，2日的利息远高于3日，结果如 何？
▪ 显然，多方偏好期货合约，则期货合约价 值上升，反之则反。
▪ 一般来说，远期与期货存在一定的差异：
➢ 如果期货和远期的到期时间只有几个月，那么， 在大多数情况下，二者价格的差异常常小到可 以忽略不计。
▪ 上述两种情况与市场上不存在套利机会的假设矛 盾，故假设不成立，则F0=S0erT。证毕。
▪ 如果这只牛在10天后交割，而这只牛 在此期间会产下一头小牛，假定这只 小牛的现值为I，那牛的远期价格该是 多少？
Ft (St I)er(Tt)
▪ 如果这只牛在交割后才会产下一头小 牛，那牛的远期价格该是多少？
2. 如果远期的标的资产提供确定的红利。假 设红利是连续支付的，红利率为q。由于 具有红利率q，该资产的价格才为S0。若 没有这个红利存在，则该资产的价格为
S 0e qT
故有红利率q的资产，当前价格为的S0，等 价 资于 产价的格定为价S公0e式 qT可的得无红利资产。由无红利的
F 0 (S 0 e q T)erTS 0 e(r q )T
S eq(T t) t
的无红利资产。由无红利的资产的定价公 式可得
F t (S te q ( T t)) e r ( T t) S te (r q ) (T t)
敏感性分析
F t (S te q ( T t)) e r ( T t) S te (r q ) (T t)
d F t( S t,r ) d S te ( r q ) ( T t) S te ( r q ) ( T t)d r
▪ 定理3.1（现货-期货平价定理）：假设期货的到 期时间为T，现货价格为S0，则远期价格F0满足 F0=S0erT。
▪ 证明：（反证法）我们可以采用套利定价的方法 来证明上述结论。
假设F0>S0erT ，考虑下述投资策略：
➢ 投资者在当前（0时刻）借款S0用于买进一个单位的标 的资产（long position）， 借款期限为T，同时卖出 一个单位的远期合约(short position)，价格为F0。
该债券的单利率是rm，则对于现值为S0的债券，
其单利的终值为I(1rm) S0rm,所以
I
S0rm 1rm
1S0((eeqqTT
1) 1)
S0
S0eqT
F 0(S 0 I)erTS 0 e(r q)T
注意：债券的贴现率不等于无风险收益率？
2. 如果远期的标的资产提供确定的红利。假 设红利是连续支付的，红利率为q。由于 具有红利率q，该资产的价格才为St，它 等价于价格为
金融风险理论与模型
第3章 衍生金融工具的风险分析（1）
3.1 远期与期货的定价
▪ 一个农民想把他的牛卖掉，若t时刻牛价格 为St，如果他签订一个在T （T>t）时刻卖 牛的期货合同，Baidu Nhomakorabeat时刻这个牛期货应该如 何定价？若不计其他因素
Ft Ster(Tt)
▪若牛能够在今日卖掉，获得现金，以无风险 利率投资就获得利息。
2. 该远期利率协议的价值是多少？
rf rlttll r ts sts 1 1 % 3 (3 1 2 0 ) .5 % 2 1 2 .0 %
Aek(tl ts)
0
ts
A
tl
f0[AAek(tlts)erf ]e (tlts) rsts =A[1e(krf ]e )(tlts) rsts
f0 Aersts[1e(krf )(tl ] ts) 1,000,000e10.52[1e(0.110.12)(32)]
➢ 在远期合约到期时（T时刻），投资者用持有的标的 资产进行远期交割结算，因此获得F0，偿还借款本息 需要支出S0erT。
▪ 因此，在远期合约到期时，他的投资组合的净收 入无为 风F险0-的S0套er利T ，。而他的初始投入为0，这是一个
▪ 反之，若F0<S0e rT，即远期价格小于现货价格的 终值，则套利者就可进行反向操作，即卖空标的 资产S0，将所得收入以无风险利率进行投资，期 限为T，同时买进一份该标的资产的远期合约， 交S0割erT价，为并F以0。F0在现T金时购刻买，一套单利位者标收的到资投产资，本用息于归 还卖空时借入的标的资产，从而实现S0erT-F0的 利润。
▪ 若7月1日购买了1份83天的期货合约，当日期货 价格为0.61美元，次日为0.615美元。这等价于
➢ 7月1日购买了一份期限为83天的远期合约，其交割价 格为0.61美元
➢ 7月2日远期合约以0.615美元被清算，并被一份期限为 82天，交割价格为0.615美元的新的远期合约所代替。
▪ 思考：远期能否看成是期货的组合？
例3.1
▪ 假设2年期即期年利率（连续复利，下同） 为10.5%，3年期即期年利率为11％，本金 为100万美元的2年×3年远期利率协议的 合同利率为11％，请问
1. 理论上,远期利率应为多少？该协议利率合理 吗？
8065.31
由此可见，由于协议利率低于远期利率（理论利 率），这实际上给了多方（借款方）的优惠，故合 约价值为正。反之，当协议利率高于远期利率的时 候，空方获利，这意味着远期合约的价值为负。
远期合约的价值总是从多方的视角来看的！
3.2 期货合约——远期的组合
▪ 三个制度性特征：逐日盯市、保证金要求、期货 清算所，逐日盯市将履约期限缩短为1天。
两个推论（可生息资产的远期价格）
▪ 以上证明的是标的资产本身不带来利息的 远期价格。如小麦远期。但是，对于持有 期间可以生息的资产，则需要对公式进行 调整，如债券远期。
1. 标的资产在远期合约到期前获得收益的现 值为I，则
Ft (St I)er(Tt)
证明：从单利到复利
若I是某债券利息（单利）的现值，假定
讨论：期货与远期的差异
▪ 假定一个5000蒲式耳小麦期货和远期只有3 日期限，多方损益
日期
7月1日 7月2日 7月3日
期货价格 （元）
4 4.1 4
远期现金流 期货现金流
0
0
0
500
0
-500
讨论：期货与远期的差异
1. 如果利率固定，则期货合约和远期合约等 价。（CIR定理）
2. 如果利率浮动，则期货与远期可能不等价。
➢ 考虑例子中，2日的利息远高于3日，结果如 何？
▪ 显然，多方偏好期货合约，则期货合约价 值上升，反之则反。
▪ 一般来说，远期与期货存在一定的差异：
➢ 如果期货和远期的到期时间只有几个月，那么， 在大多数情况下，二者价格的差异常常小到可 以忽略不计。
▪ 上述两种情况与市场上不存在套利机会的假设矛 盾，故假设不成立，则F0=S0erT。证毕。
▪ 如果这只牛在10天后交割，而这只牛 在此期间会产下一头小牛，假定这只 小牛的现值为I，那牛的远期价格该是 多少？
Ft (St I)er(Tt)
▪ 如果这只牛在交割后才会产下一头小 牛，那牛的远期价格该是多少？
2. 如果远期的标的资产提供确定的红利。假 设红利是连续支付的，红利率为q。由于 具有红利率q，该资产的价格才为S0。若 没有这个红利存在，则该资产的价格为
S 0e qT
故有红利率q的资产，当前价格为的S0，等 价 资于 产价的格定为价S公0e式 qT可的得无红利资产。由无红利的
F 0 (S 0 e q T)erTS 0 e(r q )T
S eq(T t) t
的无红利资产。由无红利的资产的定价公 式可得
F t (S te q ( T t)) e r ( T t) S te (r q ) (T t)
敏感性分析
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▪ 定理3.1（现货-期货平价定理）：假设期货的到 期时间为T，现货价格为S0，则远期价格F0满足 F0=S0erT。
▪ 证明：（反证法）我们可以采用套利定价的方法 来证明上述结论。
假设F0>S0erT ，考虑下述投资策略：
➢ 投资者在当前（0时刻）借款S0用于买进一个单位的标 的资产（long position）， 借款期限为T，同时卖出 一个单位的远期合约(short position)，价格为F0。
该债券的单利率是rm，则对于现值为S0的债券，
其单利的终值为I(1rm) S0rm,所以
I
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1) 1)
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注意：债券的贴现率不等于无风险收益率？
2. 如果远期的标的资产提供确定的红利。假 设红利是连续支付的，红利率为q。由于 具有红利率q，该资产的价格才为St，它 等价于价格为
金融风险理论与模型
第3章 衍生金融工具的风险分析（1）
3.1 远期与期货的定价
▪ 一个农民想把他的牛卖掉，若t时刻牛价格 为St，如果他签订一个在T （T>t）时刻卖 牛的期货合同，Baidu Nhomakorabeat时刻这个牛期货应该如 何定价？若不计其他因素
Ft Ster(Tt)
▪若牛能够在今日卖掉，获得现金，以无风险 利率投资就获得利息。
2. 该远期利率协议的价值是多少？
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➢ 在远期合约到期时（T时刻），投资者用持有的标的 资产进行远期交割结算，因此获得F0，偿还借款本息 需要支出S0erT。
▪ 因此，在远期合约到期时，他的投资组合的净收 入无为 风F险0-的S0套er利T ，。而他的初始投入为0，这是一个
▪ 反之，若F0<S0e rT，即远期价格小于现货价格的 终值，则套利者就可进行反向操作，即卖空标的 资产S0，将所得收入以无风险利率进行投资，期 限为T，同时买进一份该标的资产的远期合约， 交S0割erT价，为并F以0。F0在现T金时购刻买，一套单利位者标收的到资投产资，本用息于归 还卖空时借入的标的资产，从而实现S0erT-F0的 利润。
▪ 若7月1日购买了1份83天的期货合约，当日期货 价格为0.61美元，次日为0.615美元。这等价于
➢ 7月1日购买了一份期限为83天的远期合约，其交割价 格为0.61美元
➢ 7月2日远期合约以0.615美元被清算，并被一份期限为 82天，交割价格为0.615美元的新的远期合约所代替。
▪ 思考：远期能否看成是期货的组合？