4.5 函数的应用(二)(精讲)(解析版)

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2x 1, x 1
2.已知函数 f (x)
，则函数 f (x) 的零点为________．
1 log2 x, x 1
【答案】0
【解析】当 x 1时，由 f (x) 2x 1 0 ，解得 x 0 ；
当
x
1 时，由
f
(x)
1
log2
x
0 ，解得
x
1 2
，又因为
x
1 ，所以此时方程无解．
log2
x，x
，则函数
1
f(x)的零点为（
）
A． ，0
B．－2，0
C．
D．0
【答案】D
【解析】当 x 1时，令 f(x)＝2x－1＝0，解得 x＝0；当 x 1 时，令 f(x)＝1＋log2x＝0，解得 x＝ 1 ，
2
又因为 x 1 ，所以此时方程无解.综上所述，函数 f(x)的零点只有 0.故选：D
f
(x)
1 2
x
x
2
的零点所在区间为（
）
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A． (1,0)
B． (0,1)
C． (1, 2)
D． (2, 3)
【答案】D
【解析】 f 1 2 1 2 5 ， f 0 1 0 2 3 ， f 1 1 1 2 3 ，
2
2
f 2 1 2 2 1 ， f 3 1 3 2 7 ， f 2 f 3 0 ，
思维导图
4.5 函数的应用（二）
常见考法
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考点一 零点的求解
【例 1】（2020·武威第六中学高二期末（文））若函数 f (x) ax b 的零点是 2 （ a 0 ），则函数
g(x) ax2 bx 的零点是（ ）
A． 2
【答案】B
B． 2 和 0
C． 0
D． 2 和 0
【解析】由条件知 f (2) 0 ，∴ b 2a ，∴ g(x) ax2 bx ax(x 2) 的零点为 0 和 2 .故选 B.
（1）代数法：根据零点的定义，解方程 f (x) 0 ，它的实数解就是函数 y f (x) 的零点.
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（2）几何法：若方程 f (x) 0 无法求解，可以根据函数 y f (x) 的性质及图象求出零点.
【一隅三反】
2x 1，x 1
1．（2020·全国高三课时练习（理））已知函数
f(x)＝
1
由图象可知，函数 y ln x 1 当 x 1时，y ln x 1 则与 y 22x 的图象有必有两个交点，
2
2
f 2 4 2 4 2 0 ， f 3 8 3 4 7
f 1 f 2 0 f x 零点所在区间为 1,2 故选： D
考点三 零点个数的判断
【例 3】（1）（2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末（文））函数 y log1 x2 x 6 的零点个数为（ ）
2
A．0 个
2
根，且均满足函数定义域.故该函数有两个零点.故选： C
（2）方程 lnx x 0 的实数解的个数，即为方程 lnx x 的实数解的个数，
即为函数 y ln x 与函数 y x 图象的交点的个数，
在同一坐标系中作出函数 y ln x 与函数 y x 的图象，如图所示：
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只有一个交点，所以方程 lnx x 0 的实数解的个数为 1 故选：A
B．1 个
C．2 个
D．3 个
（2）（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）方程 lnx x 0 的实数解的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1）令 y 0，则 log1 x2 x 6 0，即 x2 x 5 0 ，又 Δ 1 20 0 ，故该方程有两
4
4
8
8
由零点存在定理可知： f x 零点所在区间为 2,3.故选： D .
3．（2020·浙江衢州·高一期末）函数 f x 2x x 4 的零点所在的区间是（
）
A． 1,0
【答案】D
B． 2,3
C． 0,1
D． 1, 2
【解析】 f 1 1 1 4 9 0 ， f 0 1 0 4 3 0 ， f 1 2 1 4 1 0 ，
综上，函数 f (x) 的零点为 0.
考点二 零点区间的判断
【例 2】（2020·湖南娄底·高二期末）函数 f (x) ln x x3 9 的零点所在的区间为（ ）
A． (0,1)
B． (1, 2)
【答案】C
【解析】可以求得
内．故选 C．
C． (2, 3)
D． (3, 4) ，所以函数的零点在区间 (2, 3)
A．（-2，-1）
B．（-1,0）
C．（0,1）
D．（1,2）
【答案】B
【解析】因为函数 f(x)=2 x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据 f(-1)= 1 3 5 0 ,f（0）=1+0=1>0,那
2
2
么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选 B．
2．（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考（文））函数
判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断． (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在 该区间内至少有一个零点．
【一隅三反】
1．（2020·宁县第二中学高二期中（文））函数 f(x)= 2x 3x 的零点所在的一个区间是
判断函数零点个数的三种方法 (1)方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定 零点的个数． (2)图象法：由 f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得 g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出 y1＝g(x)和 y2＝h(x)的图象， 根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数． (3)定理法：函数 y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由 f(a)·f(b)<0 即可判断函数 y ＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数 f(x)在区间(a， b)内只有一个零点．
【一隅三反】
1．（2020·四川内江·高三三模（理））函数 f x 2x ln x 1 4 的零点个数为_______.
【答案】2
【解析】令
f
x 2x
ln x 1
4 0 ，则
ln x 1
4 2x
22x ，
在同一直角坐标系中作出函数 y ln x 1 与 y 22x 的图象，如图：