(完整版)平行四边形和三角形的中位线专题培优

平行四边形和三角形的中位线
(二)
1如图，过口ABCD内一点P作边的平行线EF、GH,
=5，S 四边形PGAE = 3，贝y S A PBD = ______________
2、如图，口ABCD中，M、N分别是AD、AB上的点, 其
交点为P,求证：/ CPB =/ CPD .
3、已知等腰厶EAD 和等腰△ CAB, EA = ED, CA = CB，/ AED = Z ACB = a,以线段AC、AE 为边作平行四边形ACFE,连接BF、DF .
(1)如图1,当a= 90°且A、D、C不在一条直线上时，求/ DFB的度数；
(2)如图2,当0°< aV 90°且A、D、C不在一条直线上时，求/ DFB的度数.
4、如图1在厶OAB中，/OAB=9O0,/AOB=30 0, 0B=8.以OB为边，在△ OAB外作等边厶OBC , D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E.
(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；
⑵如图2,将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG,求OG的长。

5、如图，△ ABC 中，/ ACB = 90° CD 丄AB 于D, AE 平分/ BAC，交CD 于K，交BC 于E, F 为BE上一点且BF = CE,求证：FK // AB .
1
6、四边形ABCD 中，AD // BC , (1)如图1，若E 、F 分别是 AB 、CD 的中点，求证：EF= (AD+BC)
2
1
(2) 如图，2,若G 、H 分别是AB 、CD 的中点，求证：GH< (AB+CD)
2
1
(3) 如图3,连接AC 、BD ，若M 、N 分别是AC 、BD 的中点，求证： MN< (BC — AD)
7、如图,点P 是四边形 ABCD 的对角线 BD 的中点,E,F 分别是AB,CD 的中点，AD=BC, / CBD=45 ./ ADB=105 °，试探究EF 与PF 之间的数量关系，并证明。

8、如图，将△ ABC 的边AB 绕点A 顺时针旋转角 a 得到线段AD ，同时边AC 绕点A 逆时针旋 转角 a 得线段 AE ( a^ 180° — / BAC )，连接 BD 、CE ，分别作 BD 、BC 、CE 中点，M 、P 、N , 连接MP 、PN . (1) 如图 1,若 a= 60° 时，/ MPN = __________ ;
(2) 改变旋转方向，如图 2,边AB 绕点A 逆时针旋转角 a 得AD ，边AC 绕点A 顺时针旋转角 a 得到线段AE ，其余条件不变，写出/ MPN 与a 之间的关系，并证明.
9、如图，在△ ABC 中，分别以 AB 、AC 为斜边作等腰 的中点，求证：PM = PN .
ft
Rt △ ABM 和等腰 Rt △ CAN , P 是边 BC
1 BF = - AB , BD 与FC 相交于G ,连接EG , 3
11、已知在△ ABC 中，AF 、BE 分别是中线，且相交于点 P ,记AB = c , BC = a, AC = b ,如图. (1) 求证：AP = 2PF , BP = 2PE ;
(2) 如图⑵，若AF 丄BE 于P ,试探究a 、b 、c 之间的数量关系；
(3) 如图⑶，在平行四边形 ABCD 中，点E 、F 、G 分别是 AD 、BC 、CD 的中点，BE 丄EG , AD
12、如图，△ ABC 中，/ ACB=90 °,BC=6,AC=8，将△ ABC 绕C 点按逆时针方向旋转 角得到△
DEC ，设AD 交EB 于P, Q 是BC 的中点，连接PQ ,在旋转过程中，求：(1) Z BPA 的度数 (2)PQ 的最大值
10、如图，在△ ABC 中，D 、E 是AC 、BC 的中点, 求证：EG // AC
.
N
MN 的长。

5、已知M 是线段AB 的中点，从AB 上另一点C 任意引线段CD ,设CD 的中点为N , BD 的中点 为P , MN 的中点为Q ,求证：直线 PQ 平分线段AC .
反馈练习
1 如图，口 ABCD 的周长为 32cm , AB : BC = 5: 3, AE 丄CB 的延长线于 E , AF 丄CD 的延长线 于 F ，/ EAF =
2 / C , 求 AB 、BC 、
AE 、AF 的长.
2、如图，口ABCD 中，/ A 与/ D 的平分线交于点 E ,Z B 与/ C 的平 分线交于点F ，求证：EF + BC = AB
3、如图，在四边形 ABCD 中，P 是对角线BD 的中点, 的中点，AD = BC ,Z PEF = 18° 求/ EPF .
4、已知△ ABC 中, AB = 10, AC = 7, AD 是角平分线, CM 丄AD 于M ，且N 是BC 的中点。

求
A。