绝对值不等式

-3 -2 所以原不等式的解为 1 2 x 2或x -3
方法一：利用绝对值的几何意义，体现了数 型结合的思想．
例 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解：１０当x>1时，原不等式同解于 X ≥2 X>1 (X-1)+(X+2) ≥5 方法二：利用|x-1|=0，|x+2|=0的解体，将数 2０当-2≤x≤1时，原不等式同解于 轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不 -2 ≤ x ≤1 x∈ 等式化为不含绝对值符号的不等式求解．现了 -(X-1)+(X+2) ≥5 分类讨论的思想． 3０当x<-2时，原不等式同解于 X<-2 X≤-3 -(X-1)-(X+2) ≥5 综合上述知不等式的解为 x 2或x -3
5x-6 ≥ 0
(Ⅰ) 或
5x-6<0
(Ⅱ)
-（5x-6）<6-x 5x-6<6-x 解(Ⅰ)得：6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得：0<x<6/5 取它们的并集得：（0，2）
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析：对6-x 符号讨论， 进一步反思:不等式组 当6-x≦0时,显然无解； 中6-x>0是否可以去掉 当6-x>0时来自百度文库转化为-(6-x)<5x-6<(6-x) 解： 由绝对值的意义，原不等式转化为：
例3；解不等式 x 1 x 2 2 解 : 当x 1时, 原不等式可化为 ( x 1) ( x 2) 2, x 1 1 1 解得x , 即不等式组 的解集是 ,1 . 2 2 x 1 x 2 2 当1 x 2时, 原不等式可化为( x 1) ( x 2) 2, 1 x 2 即1 2显然成立, 所以不等式组 的 x 1 x 2 2 解集是(1, 2). 当x 2时, 原不等式可化为x 1 x 2 2, 即x 5 , 2
例 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解 原不等式化为|x-1|+|x+2|-5 ≥0 令f(x)=|x-1|+|x+2|-5 ,则 (x-1)+(x+2)-5 x>1 f(x)= -(x-1)+(x+2)-5 -2≤x≤1 -(x-1)-(x+2)-5 x<-2 y 2x-4 x>1 方法三：通过构造函数，利用了函数的图象， 体现了函数与方程的思想． f(x)= -2 -2≤x≤1 -2x-6 x<-2 1 -2 由图象知不等式 的解为 x 2或x -3
2.对任意实数 x，若不等式|x+1| |x 2|>k 恒成立， 则 k 的取值范围是（B ） ( A)k 3 ( B)k 3 (C )k ≤ 3 ( D) k ≤ 3
3.不等式 x 4 x 3 a 有解的条件是( B )
1 ( A)0 a 10
( B )a 1
①a a
2
a a ② ab a b , ,…… b b
思考:用恰当的方法在数轴上把 a , b , a b 表示出 来，你能发现它们之间的什么关系?
注：绝对值的几何意义: ⑴ a 表示数轴上的数 a 对应的点 A 与原点 O 的距离 OA ; ⑵ a b 表示数轴上的数 a 对应的点 A 与数 b 对应的点 B 的距离.如图: 即 a = OA ， a b AB
猜想： a b ≤ a b （当且仅当 ab ≥ 0 时，等号成立.）
已知 a , b 是实数，试证明： a b ≤ a b （当且仅当 ab ≥ 0 时，等号成立.）
证明:10 .当ab≥0时,
ab | ab |, | a b | (a b )
2
20. 当ab<0时, ab | ab |,
例2 解不等式 2 x 3 4 x 解 : 当x 3时, 原不等式可化为 ( x 2) ( x 3) 4, x 3 5 解得x , 即不等式组 2 x2 x3 4 的解集是( , 3]. 当 3 x 2时, 原不等式可化为 ( x 2) ( x 3) 4, 3 x 2 即5 4显然成立, 所以不等式组 x2 x3 4 的解集为( 3, 2). 当x 2时, 原不等式可化为( x 2) ( x 3) 4, x 2 3 即x , 不等式组 的解集是[2, ). 2 x2 x3 4 综上所述, 原不等式的解集是R.
有更一般的结论：X<6 6-x>0 |f(x)|<g(x) -g(x)<f(x)<g(x) -(6-x)<5x-6 -(6-x)<5x-6<(6-x) |f(x)|>g(x) f(x)>g(x) 或f(x)<-g(x) 5x-6<(6-x)
0<x<2
2.型如|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c∈R)不等式解法
| a b | (a b )2 a 2 2ab b 2 | a |2 2 | ab | | b |2 | a |2 2 | a || b | | b |2 (| a | | b |)2
a 2 2ab b 2 | a |2 2 | a || b | | b |2 (| a | | b |)2
(1) | 3 2 x |≥ 7
(2) | x 3 x | 4
2
解:∵ | 3 2 x |≥ 7 ∴ 2 x 3 ≥ 7
∴ 2 x 3 ≥ 7或2 x 3 ≤ 7 ∴ x ≥ 5或x ≤ 2 ∴原不等式的解集为 , 2 5, .
( 1, 4)
解：对绝对值里面的代数式符号讨论：
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
(Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时，不等式化为 5x-6<6-x，解得x<2, 所以6/5≤x＜2 (Ⅱ)当5x-6<0,即x<6/5时，不等式化为 -(5x-6)<6-x，解得x>0
所以0<x<6/5 综合(Ⅰ)、 (Ⅱ)取并集得（0，2） 解：
ab a
b
a
ab
b
推论 1 a1 a2 an ≤ a1 a2 an
定理2 如果a、b、c是实数, -------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c| -------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.
定理3 如果a、b是实数, -------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| 当且仅当ab ≤0时, 等号成立. -
绝对值不等式的解法
1:形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式的解集
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a} 0 -a a ② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
0 -a a 注：如果 a ≤ 0 ，不等式的解集易得. 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式.
二、绝对值不等式
复习回顾： 我们知道,一个实数 a 的绝对值的意义: a ( a 0) |a| ⑴ a 0 (a 0) ;（定义） a x 0 a (a 0) O A ⑵ a 的几何意义:
表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.
关于绝对值还有什么性质呢?
个以上绝对值符号:零点分段法确定. ⑶数形结合（运用绝对值的几何意义）; ⑷利用函数图象来分析.
x 2 5 所以不等式组 的解集是 2, . 2 x 1 x 2 2 1 5 综上所述, 原不等式的解集是 , . 2 2
练习:
1.解不等式|2x-4|-|3x+9|<1
6 x x 或x 13 5
| a | | b | | a | | b | 综合10,20知定理成立.
定理 1（绝对值三角形不等式）如果 a , b 是实数， 则 a b ≤ a b （当且仅当 ab ≥ 0 时，等号成立.） 如果把 a , b 换为向量 a , b ，根据向量加法的三 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
当且仅当ab ≥0时, 等号成立.
将定理中的实数a、b换成向 量(或复数)仍成立
例1 已知ε> 0, - a|<ε, - b|<ε, |x |y 求 证: 2x + 3y - 2a - 3b|< 5ε
证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε .
1 (C ) a 10
( D)a 1
4.| x-1 | > 2( x-3)
X<5 X<-1 或 x>1
5.| 2x+1 |> | x+2 |
学习小结: 解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号 转化为一般不等式来处理。 主要方法有： ⑴同解变形法:运用解法公式直接转化； ⑵定义法:分类讨论去绝对值符号； ①含一个绝对值符号直接分类；②含两个或两
-3
-2
2
x
（2） a x b c和 x a x b c x 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间法 ③构造函数法
例 ； 解不等式 3x 4 6 1 1
3x 4 1 解 : 原不等式等价于下列不 等式组 3x 4 6 5 x 1或x 3 3 x 4 1或 3 x 4 1 即 6 3 x 4 6 10 x 2 3 3 10 5 2 解得 x 或1 x 3 3 3 2 10 5 故原不等式的解集为 , 1, . 3 3 3
当 c > 0 时,
c ax + b c
|ax + b| c
c = 0 时, ax + b = 0 当 c < 0 时, x
当 当
c > 0 时, ax + b c 或 ax + b -c c 0 时, x R
|ax + b| c
当
课堂练习一： 试解下列不等式：
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个 地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第 10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施 工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生 活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工 队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于 何处？ · · ·
10 x 20
分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两 个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数 的最小值，可用绝对值三角不等式求解。
(3) | 3 2 | 1
x
(4)1 | 3 x 4 |≤ 6
2 10 5 ( 1, ] [ , ) 3 3 3
(, 0) (1, )
3.型如|ax+b|+|cx+d|≥k(k∈R)不等式解法
例 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2