大变形问题的有限元分析概要

线性部分
非线性部分
二者之间满足张 量变换关系！
xm xn * mn X I X J
现时（Updated）Green应变增量：
* ij 1 ui u j 1 uk uk 2 x x i j 2 xi x j
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
IJ
Aijkl 2G il jm ij lm 1 2
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大变形分析中的本构关系(2/5)
弹性材料
若Kirchhoff应力与Green应变之间存在一一对应关系，则称这 类材料为弹性材料
SIJ F KL
特殊情形
SIJ AIJKL KL
Case-1
SIJ AIJKL KL
同乘以时间增量 t
增量形式 …
Case-2
*J * Sij Aijkl Dkl
可以证明，这两个率都与转动无关
1 vi v j 2 x j xi
Jaumann 应力率
*J * * * * Sij Sij Sik kj S * jk ki
3
大变形问题的应变描述(2/4)
描述的出发点：物体的变形描述建立在确定的参考构型上。 Green应变张量：以初始构型为参考构型所定义的应变，数学 表示为
KL
1 u K , L u L , K uM , K uM , L 2
现时（Updated）Green应变张量：以现时构型为参考构 型所定义的应变，数学表示为

T T V T T
0
T
S
e
te dS 0
u
T
P P 0
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大变形问题有限元方程的建立 (3/6)
TL法有限元方程的建立（续）
将有限元位移插值、初始构型下的几何关系和本构关系引入后，得到
t t K S IJ U F S IJ
xi
XI
yi
(a)
(b)
(c)
初始构型（0时刻）
现时构型（t 时刻）
当前构型（ t t 时刻）
连续介质力学理论对物体经历大变形后的变形有严格的定义 和推导。这里不准备过多引入复杂的概念和符号，而是与小变形 理论对照，介绍进行大变形分析时必需的几个概念和术语。
2018/8/2
大变形问题的分析方法：增量法。
研究现状：大变形问题有限元分析的理论和方法存在不同学派间的 争鸣，尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题，如 解的稳定性、收敛性及收敛率等，都有待进一步深入研究。
2018/8/2 2
大变形问题的应变描述(1/4)
问题的特点：由于变形较大，使得不同时刻物体具有差别不能 忽略的不同构型，这是大变形问题分析的基本出发点。
*eij *ij
2018/8/2
线性部分
非线性部分
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大变形问题的应变描述(4/4)
应变增量：（续）－对于大变形小应变情形 Green应变增量退化成：
IJ 1 1 KJ uK , J uK , I KI uK , I uK , J uK , I uK , J 2 2 eIJ IJ
kl
1 uk ,l ul ,k um,k um,l 2
注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。 大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。
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大变形问题的应变描述(3/4)
应变增量： Green应变增量：
IJ 1 1 KJ uK , J uK , I KI uK , I uK , J uK , I uK , J 2 2 eIJ IJ
不依赖于构型变化 弹性本构关系多用于大位移（转动）小应变的情形。
2018/8/2
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大变形分析中的本构关系(3/5)
超弹性材料 假定材料具有单位质量的应变能函数，再根据能量原理来定义本构 关系，这类材料称为超弹性材料。
Case-1
W W KL
例如
W
1 2 0
2
IJ AIJKL KL
从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler应力，用 表示。Euler应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构型， 因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。
Kirchhoff应力：
通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力，用 S 表示； 通过现时构型的微元体定义的应力称为现时（Updated）Kirchhoff 应力， * 用 表示。 S
线性部分
非线性部分是高阶小量 对于小变形情形
IJ * ij 1 ui u j 2 X i X j ij
现时（Updated）Green应变增量退化成：
* ij 1 ui u j 1 uk uk 2 x x j i 2 xi x j

T
b
t t
dV 0 u tt S
T

T
te
t t
dS 0 u
0
t t
T
P
t t
两式相减， 得增量型虚 功方程：
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e S S u b e S u b dV u t
1 xi x j Sij N Skl D X K X L
*
ij ij
1 D
* N 1
yi y j kl *Skl xk xl
D
N

x1 , x2 , x3 xi X 1 , X 2 , X 3 X J
1
引言
几何线性问题： 位移与应变成线性 （微分）关系；
几何非线性问题：位移与应变成非线性（微分意义上）关系。 物理现象：将位移（转动）和/或应变较大的问题统称为大变形 问题，有时称为有限变形问题。这类问题又分为大位移
（转动）小应变问题及大位移大应变问题两大类。 研究意义：和材料非线性问题一样重要。例如，平板的弯曲问题， 大挠度理论分析结果更符合实际情况；薄壳的屈曲，非线性理 论的预测值更好。又例如，对于橡皮型材料，大变形还必须考 虑本构关系的变化，这与纯粹的材料非线性又有区别。
次 弹 性 材 料
弹性 材料
超弹性 材料
实际材料所遵守的本构关系，只有通过实验测试才能得以确定。
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大变形问题有限元方程的建立 (1/6)
与塑性力学有限元方法的异同
相似：都采用增量方法，都不显含时间。 区别：塑性力学的本构关系随加载变化，而大变形问题的构型随加载变化。
导致分析方法、应力应变描述、本构关系、控制方程的变化。
ij Aijkl kl
W ij ij
ij t Aijkl kl t
（大变形分析中） 线弹性材料 (elasticity) 超弹性材料 (hyperelasticity) 次弹性材料 (hypoelasticity)
Aijkl
为常数
1 W ij Aijkl kl 2
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大变形问题的应力描述(2/2)
Kirchhoff、现时Kirchhoff及Euler应力（增量）间的关系：
*Sij ij * Sij
现时Kirchhoff应力增量
现时Kirchhoff应力 t t 时刻
Euler应力 t 时刻
特点：以现时构型为参考。
根据张量的坐标变换规则，它们之间还有以下关系
第三章 大变形问题的有限元分析
目的：以大变形问题为例，介绍几何非线性问题的有限元 方法。
特点：与线性有限元方法比较，几何关系不再是线性的。 内容：

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引言 大变形问题的应变描述 大变形分析中的应力描述及本构关系 大变形问题有限元方程的建立 大变形分析中的载荷处理 小结
*eij *ij
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线性部分
非线性部分是高阶小量
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大变形问题的应力描述(1/2)
应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注意 微元体所在的构型。 与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多 种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。
Euler应力：
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大变形问题有限元方程的建立 (4/6)
UL法有限元方程的建立
UL法：Updated Lagrangian Description （ULD） 特点：总以t 时刻（即现时构型）为参考构型，也就是说参考构型是变化的，因 而，采用现时Kirchhoff应力（增量）和现时Green应变（增量）。 优点：可以处理加载方式更为复杂的问题，亦可处理边界非线性问题等。
TL？UL? 本节讨论
构型对应
客观性描述
构型相关，本节讨论 。。。
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大变形问题有限元方程的建立 (2/6)
TL法有限元方程的建立
TL法：Total Lagrangian Description （TLD） 特点：始终以初始（0时刻）构型做为应力与应变描述的参考构型，因而，采用 Kirchhoff应力（增量）和Green应变（增量）。 优点：参考构型不发生变化，本构关系与虚功方程描述形式简单。
D
* N 1

y1 , y2 , y3 yi x1 , x2 , x3 x j
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大变形分析中的本构关系(1/5)
本构关系的客观性要求：需要选取合适的应力－应变共轭对描 述材料的本构关系。 弹性材料：加载曲线与卸载曲线相同的材料。
，
本构关系有三种形式
* * Dij eij
现时Green应变的线性部分
可以证明，这两个率都与转动无关
* ij
2018/8/2
1 vi v j 旋转率 2 x x j i
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大变形分析中的本构关系(5/5)
三种本构关系间的关系
对于实际的大变形问题，上述三种本构关系并不等价。可以证明，弹性 材料是一种特殊的次弹性材料，超弹性材料是一种特殊的弹性材料。
AIJKL KL
坐标变换
一阶近似
2018/8/2
现时构型时材料的密 度－随变形变化。
总之，对于一般的大变形 问题，在连续介质力学中 不能简化！ 常用超弹性来表征材料的 本构关系。
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大变形分析中的本构关系(4/5)
次弹性材料 若应力率与变形率之间成线性变化规律，这类材料称为次弹性材料。但 本构关系描述时要求“率”为与刚体转动无关的客观时间导数。


形式较复杂，因问题的类型而不同。
刚度矩阵
载荷向量
TL法的求解步骤:
Step 1：利用有限元方程求出 t ~ t t 间隔内的位移增量 U I ； Step 2：利用几何关系，计算Green应变增量 IJ ； Step 3：利用本构关系，计算Kirchhoff应力增量 SIJ ； Step 4：更新当前时刻 t t t ；更新当前应力 SIJ SIJ SIJ ； 计算当前刚度矩阵和载荷向量。 Step 5：转到Step 1，进入下一个时间间隔计算。
虚功方程：
t 时刻:
t t

V
t S t ut bt dV 0 ut t t dS 0 ut Pt 0
T T T T S
e

时刻:
t t T S tt u tt V
(不限于这种形式） 增量形式 …
现时Kirchhoff应力 或增量形式 …
W KL SIJ IJ
0
S IJ 0
一阶近似
相 比 较
W MN KL IJ KL
初始构型时材料 的密度－常数 Case-2
* W W ij
* *W kl * Sij * ij