第1章 有限元方法概述
第1章有限元法简介
Fix uix k ii 0 F v iy iy 0 0 K ＝ ＝ F jx u jx k ji 0 F jy v jy 0 0
k ij 0 uix 1 v 0 0 iy EA 0 l 1 k jj 0 u jx 0 0 0 v jy
钱学森
钱伟长
胡海昌
杨桂通
徐芝伦
软件名称
简介
MSC/Nastran
LS-Dyna MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS FLUENT ABAQUS
著名结构分析程序，最初由NASA研制。
动力学分析程序（大多为显式算法） 非线性分析软件 通用结构分析软件（耦合场分析） 流场分析软件 非线性分析软件（非协调单元，非线性 直接解算方法）
令杆件两端节点分别产生单位位移，可以计算产生这样的单 位位移所需要的力，而力的大小就是刚度系数。 EA 首先取 ui 1，u j 0, 此 时 需 要 压 力 ui。 按 照 局 部 坐 标 系 l EA EA 和力的规定， Fi ui，F j ui， 则 l l EA EA ui l k , k
单元2 3
F3 10N
x
考虑y方向的单元刚度矩阵
Fi k ii k ij ui EA 1 1 ui ＝ u l F u k k 1 1 jj j j ji j
若考虑y方向，则有：
——宏观假设
弹性力学的基本假定
2、线弹性(Linear elastic)
物体的变形与外力作用的关系是线性的， 除去外力，物体可回复原状 ，而且这个关系和 时间无关，也和变形历史无关，称为完全线弹 性材料
有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
15
第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
18
第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
19
《有限元基础及应用》课程大纲
《有限元基础及应用》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程目标（一）总体目标：有限元法是求解复杂工程问题进行数值模拟非常有效的方法，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。
将它应用于科学研究中，可以成为探究物质客观规律的先进手段；将它应用于工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具。
有限元法已经成为机械工程、车辆工程、航空航天工程、土木建筑等专业的必修课或选修课，有限元商用软件也是广大工程技术人员从事产品开发、设计、分析，以及生产服务的重要工具。
通过本课程的学习使同学们掌握有限元分析方法的基础知识和原理；掌握大型有限元分析软件（ANSYS）的使用；有限元方法的实际应用：能够针对具有复杂几何形状的变形体完整获取复杂外力作用下它内部准确力学信息，在准确进行力学分析的基础上，可以对所研究对象进行强度、刚度等方面的判断，以便对研究结构进行静态、动态的强度和刚度分析、参数设计以及结构优化设计。
内容由浅入深，通俗易懂，结合实践应用分析，培养学生理论联系实际和解决实际问题的能力。
（二）课程目标：课程目标1：掌握有限元方法的基本原理，分析过程和步骤，形函数的构造方法，以及针对不同维度、不同结构准确选择合适的单元的技巧；课程目标2：掌握有限元分析方法，具有对不同工程问题建立相应力学模型再选取适合的有限元模型离散，最后得到高精度低成本的数值模拟结果；课程目标3：利用有限元原理和应用软件（ANSYS），能够针对车辆结构中具有复杂几何形状的零部件完整获取复杂外力作用下其内部的准确力学信息（位移、应力和应变），并能根据强度、刚度、稳定性及疲劳等进行分析判断结构的安全性，具有分析和解决工程实际问题的能力；课程目标4：掌握大型商用有限元软件（ANSYS）对车辆结构部件的静力学、动力学和多物理场耦合问题进行数值模拟和分析。
能够了解不同单元的适用范围以及有限元方法数值模拟的局限性。
（三）课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系本课程支撑专业培养计划中毕业要求1、2、3、5。
《有限元分析及应用》课件
受垂直载荷的托架
31
体单元
•线性单元 / 二次单元 –更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。
低阶单元
更高阶单元
32
有限元分析的作用
复杂问题的建模简化与特征等效 软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制） 计算结果的评判 二次开发 工程问题的研究 误差控制
36
第二章 有限元分析的力学基础
(3) 研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变
形体）
40
2.2 弹性体的基本假设
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
物质连续性假定: 物质无空隙，可用连续函数来描述 ；
物质均匀性假定: 物体内各个位置的物质具有相同特 性；
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
X
0.056
0.058
X
0.06
28
Y
Y
0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
0
-0.001
-0.002
-0.003 0.054
-0.1 0
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
X
0.056
0.058
X
0.06
29
30
y
dy zy
1 2
zy
z
dz
0
略去微量项，得 yz zy
MY 0 zx xz
MZ 0
xy yx
剪切力互等定律
53
二维问题: 平衡微分方程
x yx X 0
x y xy y Y 0 x y
剪切力互等定律
ABAQUS视频教程—操作基础、相互作用和处理
• 3.2 添加部件特征
• 1、去除材料 • 2、倒角与圆角 • 3、镜像
• 3.3 修复工具的使用
• 3.4 查询工具的使用
第四章 材料模块
• 4.1 设置材料属性（标清免费） • 4.2 设置截面属性（标清免费） • 4.3 分配截面（标清免费） • 4.4 创建梁材料的方法（标清免费）
ABAQUS 视频教程 —操作基础、相互作用和处理
• 第一章 前言 • 第二章 操作基础 • 第三章 建模模块 • 第四章 材料模块 • 第五章 装配模块 • 第六章 分析步与输出 • 第七章 相互作用 • 第八章 载荷与边界 • 第九章 划分网格 • 第十章 后处理 • 第十一章 其他应用
第一章 前言
• 2.1 abaqus用户界面
• 2.2 鼠标操作
• 2.3 软件单位
第三章 建模模块
• 3.1 创建部件（标清免费） • 3.2 添加部件特征（标清免费） • 3.3 修复工具的使用（标清免费） • 3.4 查询工具的使用（标清免费）
• 3.1 创建部件
• 1、部件的种类 • 2、草图应用 • 3、旋转扫掠等 • 4、创建部件的基本原则
• 1.1 有限元方法（FEM）概述（标清免费上传） • 1.2 abaqus简介（标清免费上传） • 1.3 abaqus软件的特点（标清免费上传） • 1.4 本章实例（标清免费上传）
• 1.1 有限元方法概述
•ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
FEM (Finite Element Method 有限单元法)
一种将连续体离散化为若干个有限大小的单元体的集合，以求解 连续体力学问题的数值方法。
ABAQUS除了能有效地进行静态和准静态分析、模态分析、瞬态 分析、接触分析、弹塑性分析、几何非线性分析、碰撞和冲击分析、 爆炸分析、屈曲分析、断裂分析、疲劳和耐久性分析等结构分析和热 分析外，还能进行流固耦合分析、热固耦合分析、声场和声固耦合分 析、压电和热电耦合分析、质量扩散分析等
西安交通大学有限元分析word版第一章
第一章 引言§1-1概述１、有限元方法（The Finite Element Method, FEM ）是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法。
众所周知，每一种自然现象的背后都有相应的物理规律，对物理规律的描述可以借助相关的定理或定律表现为各种形式的方程（代数、微分、或积分）。
这些方程通常称为控制方程（Governing equation ）。
针对实际的工程问题推导这些方程并不十分困难，然而，要获得问题的解析的数学解却很困难。
人们多采用数值方法给出近似的满足工程精度要求的解答。
有限元方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法。
有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法，离散化是有限元方法的基础。
然而，这种思想自古有之。
齐诺（Zeno 公元前5世纪前后古希腊埃利亚学派哲学家）曾说过：空间是有限的和无限可分的。
故，事物要存在必有大小。
亚里士多德(Aristotle 古希腊大哲学家,科学家)也讲过：连续体由可分的元素组成。
古代人们在计算圆的周长或面积时就采用了离散化的逼近方法：即采用内接多边形和外切多边形从两个不同的方向近似描述圆的周长或面积，当多边形的边数逐步增加时近似值将从这两个方向逼近真解。
图１－２可以用来表示这一过程。
工程中的问题 （力学、物理）各种方程及相应的定解条件（边界条件及初始条件）线性的、边界规则的问题 数值分析法 精确解 近似解 非线性的、边界不规则的问题 解析法 图1-1 工程问题的求解思路图1-2 离散逼近有限单元法 有限差分法图1-3 有限元法与有限差分法比较近代，这一方法首先在航空结构分析中取得了明显的效果：一种称为框架分析法（framework method ）被用来分析平面弹性体（将平面弹性体描述为杆和梁的组合体）（1941，Hrenikoff ）；在采用三角形单元及最小势能原理研究St.Venant 扭转问题时，分片连续函数被用来在子域中近似描述未知函数（1943, Courant ）。
ANSYS16.0有限元分析从入门到精通（第2版）
ANSYS16.0有限元分析从⼊门到精通（第2版）ANSYS 16.0有限元分析从⼊门到精通(第2版)第⼀部分 基础知识1 绪论1.1 有限元法概述1.1.1 有限元法分析过程1.1.2 有限元的⽅法和理论⼿段1.2 ANSYS 16.0简介1.2.1 ANSYS启动与退出1.2.2 ANSYS操作界⾯1.2.3 ANSYS⽂件管理1.2.4 ANSYS分析流程1.2.5 分析实例⼊门1.3 本章⼩结2 APDL基础应⽤2.1 APDL参数2.1.1 参数的概念与类型2.1.2 参数命名规则2.1.3 参数的定义与复制操作2.1.4 参数的删除操作2.1.5 数组参数2.2 APDL的流程控制2.2.1 *GO分⽀语句2.2.2 *IF分⽀语句2.2.3 *DO循环语句2.2.4 *DOWHILE循环语句2.3 宏⽂件2.3.1 创建宏⽂件2.3.2 调⽤宏⽂件2.4 运算符、函数与函数编辑器2.5 本章⼩结3 实体建模3.1 实体建模操作概述3.2 ⽤⾃下向上的⽅法建模3.3 ⾃顶向下法3.4 外部程序导⼊模型3.5 常⽤建模命令汇总3.6 实体模型的建⽴3.7 本章⼩结4 划分⽹格4.1 定义单元属性4.2 设置⽹格划分控制4.2.1 智能⽹格划分4.2.2 全局单元尺⼨控制4.2.3 默认单元尺⼨控制4.2.4 关键点尺⼨控制4.2.5 线尺⼨控制4.2.6 ⾯尺⼨控制4.2.7 单元尺⼨定义命令的优先顺序4.2.8 完成划分4.3 ⽹格的修改4.3.1 清除⽹格4.3.2 ⽹格的局部细化4.3.3 层状⽹格划分4.4 ⾼级⽹格划分技术4.4.1 单元选择4.4.2 映射⽹格4.4.3 扫掠⽹格4.4.4 拉伸⽹格4.5 划分⽹格命令汇总4.6 本章⼩结5 加载5.1 载荷与载荷步5.1.1 载荷5.1.2 载荷步5.2 加载⽅式5.2.1 实体加载的特点5.2.2 有限元模型的加载特点5.3 施加载荷5.4 齿轮泵模型的加载5.5 耦合与约束⽅程5.5.1 耦合5.5.2 约束⽅程5.6 本章⼩结6 求解6.1 求解综述6.2 例题6.3 求解命令汇总6.4 本章⼩结7 后处理7.1 通⽤后处理器7.1.1 结果⽂件7.1.2 结果输出7.1.3 结果处理7.1.4 结果查看器7.2 时间历程后处理器7.2.1 时间历程变量浏览器7.2.2 定义变量7.2.3 显⽰变量7.3 本章⼩结第⼆部分 专题技术8 结构静⼒分析8.1 结构分析概述8.1.1 结构分析的定义8.1.2 静⼒学分析的基本概念8.1.3 结构静⼒学分析的⽅法8.2 开孔平板静⼒分析8.2.1 问题描述8.2.2 设置分析环境8.2.3 定义单元与材料属性8.2.4 建⽴模型8.2.5 划分⽹格8.2.6 施加边界条件8.2.7 求解8.2.8 显⽰变形图8.2.9 显⽰结果云图8.2.10 查看⽮量图8.2.11 查看约束反⼒8.2.12 查询危险点坐标8.3 平⾯应⼒分析8.3.1 问题描述8.3.2 设置分析环境8.3.3 定义⼏何参数8.3.4 选择单元8.3.5 定义实常数8.3.6 定义材料属性8.3.7 创建实体模型8.3.8 设定⽹格尺⼨并划分⽹格8.3.9 施加载荷并求解8.3.10 求解8.3.11 查看分析结果8.3.12 命令流8.4 本章⼩结9 模态分析9.1 模态分析的基本假设9.2 模态分析⽅法9.3 ⽴体桁架结构模态分析9.3.1 问题描述9.3.2 分析9.3.3 设置环境变量9.3.4 设置材料属性9.3.5 创建⼏何模型9.3.6 划分⽹格9.3.7 施加约束9.3.8 设置分析类型9.3.9 设置分析选项9.3.10 求解9.3.11 观察固有频率结果9.3.12 读⼊数据结果9.3.13 观察振型等值线结果。
有限元的原理
有限元的原理有限元分析是一种工程数值分析方法，它利用数学原理和计算机技术，对工程结构的力学行为进行模拟和分析。
有限元分析的原理是将复杂的结构分割成许多小的单元，通过对每个单元的力学行为进行精确描述，最终得到整个结构的力学响应。
本文将从有限元分析的基本原理、步骤和应用进行介绍。
有限元分析的基本原理是离散化方法，它将一个连续的结构分解成有限个单元，每个单元都是一个简单的几何形状，如三角形、四边形等。
然后对每个单元进行力学建模，建立单元的位移场和应力场的数学模型。
通过组合所有单元的数学模型，得到整个结构的位移场和应力场的近似解。
有限元分析的基本原理是基于弹性力学理论，它假设结构在受力作用下是弹性变形，即满足胡克定律。
有限元分析的数学模型通常是一个大型的代数方程组，通过求解这个方程组，得到结构的位移场和应力场。
有限元分析的步骤包括建立有限元模型、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。
首先，需要对结构进行几何建模，将结构分解成有限个单元，并确定每个单元的材料性质和几何尺寸。
然后，需要施加边界条件，即给定结构的约束条件和外载荷。
接下来，需要将结构的力学行为建立成代数方程组，通常采用有限元法中的单元法则和变分原理。
最后，通过求解代数方程组，得到结构的位移场和应力场，并进行后处理，如应力分布、位移云图等。
有限元分析在工程领域有着广泛的应用，如结构分析、热传导分析、流体力学分析等。
在结构分析中，有限元分析可以用于预测结构的强度、刚度和稳定性，为结构设计提供理论依据。
在热传导分析中，有限元分析可以用于预测结构的温度分布和热传导性能，为热工设计提供支持。
在流体力学分析中，有限元分析可以用于模拟流体在结构内部的流动行为，为流体工程设计提供参考。
总之，有限元分析是一种强大的工程数值分析方法，它通过离散化方法和数学建模，对工程结构的力学行为进行模拟和分析。
有限元分析的原理是基于弹性力学理论，通过求解代数方程组，得到结构的位移场和应力场。
第一章 有限元法基本原理
称为弹性体的虚功方程。
§1.5 单元刚度矩阵
假设杆单元L： ui Ui
l
其中：A, E , l 为参数。
u j U j
杆单元应力-应变关系为：
则：
U j E E u j ui
A
l
EA
U j l u j ui
由力的平衡条件： U i U j 0
则：
Ui
EA l
uj
§1.3 单元应力和应变
位移函数→几何方程（→应变）→物理方程（→应力） 杆单元的几何方程为：
x
du dx
x
d Ne
dx
d dx
1
x l
d dx
x l
e
11
l
1 e
简化为： B e
1.8
B 11 1
1.9
l
B 为几何矩阵。
杆单元的物理方程为：
或：
x E x
D
D 为弹性矩阵 。
参考书目：
❖ 《有限元法及其在锻压工程中的应用》吕丽萍主编， 西北工业大学出版社
❖ 《弹性和塑性力学中的有限单元法》丁皓江等主编， 机械工业出版社
❖ 《有限元分析的基本方法及工程应用》周昌玉、贺 小华 编著，化学工业出版社
§1.2 位移函数与形状函数
1、坐标系
以杆单元为例：
ui U i
Y
vi Vi
1960年， Clough处理 平面弹性问题， 第一次提出“ 有限单元法”。
1963—1964, Besseling, Melosh,Jones 证明有限元法是 基于变分原理 的里兹法， 确认了有限元 法是处理连续 介质问题的 一种普遍方法。
变分法建立 有限元方程 与经典里兹 法的主要 区别
有限元ppt课件
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
第一章概述 有限元法基本原理及应用课件
第一章 概述
有限元法的基本思想 有限元法的特点 有限元法的发展及其应用领域
1.1有限元法的基本思想
2．有限元法是一种应用已知求解未知的思想
在弹性力学领域，已经能用数学偏微分方程将问 题加以表达，但是运用解析方法求解这些方程有时会 很难甚至无法求解。而有限元法是应用人们对事物规 律的已有认识并结合研究对象的各种约束条件，组织 一个运用已知的参量和规律来求解未知问题的有机过 程。
西班牙的Onate E和波兰的Rojek J将DEM 和FEM结合解决地质 力学中的动态分析问题；
瑞典的Birgersson F和英国的Finnveden S针对FEM在频域中的 应用提出了SFEM 。
FEM也从分析比较向优化设计方向发展。印度Mahanty博士用 ANSYS对拖拉机前桥进行优化设计
物体的几何形状可以用大大小小的多种单元进行拼装，所以 有限元法可以分析包括各种特殊结构的复杂结构体。
单元之间材料性质可以有跳跃性的变化，所以能处理许多物 体内部带有间断性的复杂问题，以适应不连续的边界条件和载荷 条件。
三维实体的四面体单元划分
平面问题的四边形单元划分
1.2 有限元法的特点
7．适合计算机的高效计算
20世纪90年代以来，大批FEA系统纷纷向微机移植， 出现了基于各种微机版FEA系统。有限元法向流体力学、 温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算 方面发展，并发展到求解一些交叉学科的问题。
1.3.1 有限元法的发展
3．有限元法的研究现状
美国的HeoFanis Strouboulis等人提出用GFEM 解决 分析域内含有大量孔洞特征的问题；比利时的Nguyen Dang Hung 和越南的Tran Thanh Ngoc 提出用HSM解 决实际开裂问题
有限元方法概述
主要工学硕士数学课程
工程数学 计算方法（数值分析） 随机过程 矩阵论 运筹学（最优化方法） 图论 模糊数学 有限元方法 小波分析 应用泛函分析北 Nhomakorabea航空航天大学
数学课程在研究生培养中的重要性
科技发展日新月异，数学科学地位不断提
高，在自然科学和工程技术方面广泛应用。 数学的面貌发生很大变化，现代数学在理 论上更加抽象、方法上更加综合、应用上 更加广泛。 综合运用数学的能力关系到研究生的创新 能力和研究水平的提高，对研究生的论文 质量至关重要。
X
北京航空航天大学
（2）单元分析 用单元节点位移表示单元内部位移－第i个单元 中的位移用所包含的结点位移来表示。
ui 1 ui ( x xi ) u ( x ) ui Li ui 第i结点的位移 xi 第i结点的坐标
北京航空航天大学
第i个单元的应变 应力 内力
du ui 1 ui i dx Li
自重作用下等截面直杆的解
受自重作用的等截面直杆 如图所示，杆的长度为L， 截面积为A，弹性模量为 E，单位长度的重量为q， 杆的内力为N。 试求：杆的位移分布，杆 的应变和应力。
北京航空航天大学
材料力学解答
N ( x) q( L x)
x
N ( x) q ( L x) A A
d2y EI 2 P ( x L) dx
M ( x) EI d2y dx 2
x
和边界条件
y |x 0 0 dy |x 0 0 dx
M ( x) P ( x L)
北京航空航天大学
再如对于弹性力学问题，可以建立起基本方程与 边界条件，如下： 平衡方程： 几何方程： 物理方程： 边界条件：
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模态分析是用来确定结构的振动特性的一种技术：
自然频率 振型
模态分析是所有动力学分析类型的最基础的内容。
整机模态分析
北京航空航天大学
模态分析的作用： 使结构设计避免共振或以特定频率进行振动 （例如扬声器）；
汽车尾气排气管装配体的固有频率与发动机的固有 频率相同时，就可能会被震散。 拆除机器人工作在强振动环境下，其工作装置为液 压冲击器，设计时需确保其激振源频率避开整机的 一阶固有频率 。
d2y EI 2 P ( x L) dx
M ( x) EI d2y dx 2
x
和边界条件
y |x 0 0 dy |x 0 0 dx
M ( x) P ( x L)
北京航空航天大学
再如对于弹性力学问题，可以建立起基本方程与 边界条件，如下： 平衡方程： 几何方程： 物理方程： 边界条件：
X
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（2）单元分析 用单元节点位移表示单元内部位移－第i个单元 中的位移用所包含的结点位移来表示。
第i结点的位移 第i结点的坐标
北京航空航天大学
第i个单元的应变 应力 内力
北京航空航天大学
（3）整体分析 首先把外载荷集中到 节点上： 把第i单元和第i+1单元 重量的一半，集中到 第i+1结点上
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齿轮有限元模型
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之 间通过节点连接，并承受一定载荷。 节点具有一定的自由度。
北京航空航天大学
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
分析对象 结构 热 电 流体 磁
自由度 位移 温度 电位 压力 磁位
ROTZ UZ
UX ROTX
振动特性 - （结构振动方式和振动频率） 周期（振动）载荷的效应 随时间变化载荷的效应
屈曲分析 -用于计算屈曲载荷和确定屈曲模态。包括线 性（特征值）和非线性屈曲分析。
北京航空航天大学
静力分析
转向机构支架的强度分析（MSC/Nastran）
北京航空航天大学
动力分析（五种类型）
模态分析 - 计算线性结构的自振频率及振形.
北京航空航天大学
建立结点的力平衡方程：对于第i+1结点，由力的 平衡方程可得 (i=1,n-1)
令
北京航空航天大学
对于第n+1个结点，第n个单元的内力与第 n+1个结点上的外载荷平衡，
再加上约束条件 因此可以得到n+1个方程构成的方程组，可解 出n+1个结点的位移。
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有限元方法的基本思想和原理是“简单”而“朴素” 的，在发展初期，许多学术权威对该方法的学 术价值有所鄙视，国际著名刊物Journal of Applied Mechanics许多年来拒绝刊登有关有限元 方法的文章，其理由是没有新的科学实质。 现在完全不同了，由于有限元方法在科学研究 和工程分析中的地位，有关有限元方法的研究 已经成为数值计算的主流。涉及有限元方法的 杂志有几十种之多。
20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝 应力计算的基础上，独立于西方创造了有 限元方法并最早奠定其理论基础。--《数 学辞海》第四卷
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1.2 有限元分析的基本原理和思路
有限元法是适应使用电子计算机而发展起来的 一种数值计算方法。起源于20世纪50年代航空 工程中飞机结构的矩阵分析。 有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理 系统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单 而又相互作用的元素，即单元，用有限数量的 未知量去逼近无限未知量的真实系统。 有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
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数学家方面
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括 有限差分方法，变分原理和加权余量法。 1954-1955 年，德国斯图加特大学的 Argyris 在航 空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析 论文，为有限元研究奠定了重要的基础。 1963 年 前 后 ， 经 过 J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺） 等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原 理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同 变分原理导出的有限元计算公式。
有助于在显式动力分析中估算求解控制参数 （如时间步长）。
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1阶振型图 1阶模态振型为整个工作臂作为一个整体在可旋转机座上做横向摆动 拆除机器人的激振源(液压冲击器)的频率为7.5~12.5Hz，而其1阶模态频 率为12.305Hz，正好处于这一区间，这说明在拆除机器人工作在最高工 作频率的时候，极易诱发其1阶模态，因此需要对其结构进行相应的改进， 以避开其1阶固有频率，提高整机的动力学特性。
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进度安排
第1章 有限元方法概述 第2章 数理力学基础 第3章 弹性问题有限元方法 第4章 等参单元和高斯积分 第5章 结构单元 第6章 有限元建模专题 第7章 非线性专题 第8章 热传导与热应力分析专题
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课程评估
出勤率 课堂作业 期末大作业
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1956年，波音公司的Turner, Clough, Martin, Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了将矩 阵位移法推广到求解平面应力问题的方法，即 把结构划分成一个个三角形和矩形“单元”，在 单元内采用近似位移插值函数，建立了单元节 点力和节点位移关系的单元刚度矩阵，并得到 了正确的解答。 1960 年， Clough 在他的名为 “The finite element in plane stress analysis” 的论文中首次提出了有 限元（Finite Element）这一术语。
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1.1 有限元方法形成的背景
微分方程边值问题 有限元法形成的背景
工程师的角度 数学家的角度
我国力学工作者的贡献
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微分方程边值问题
工程中的许多问题都可以 用微分方程和相应的边界 条件来描述。例如弹性力 学问题，热传导问题，电 磁场问题等。例如等截面 悬臂梁在自由端受集中力 P作用时，其变形挠度y满 足微分方程
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结构分析-分类
静力分析 -用于静态载荷. 可以考虑结构的线性及非 线性行为，例如: 大变形、大应变、应力刚化、接触、 塑性、超弹及蠕变等. 动力分析 -动力学分析是用来确定惯性（质量效应）和 阻尼起着重要作用时结构或构件动力学特性的技术。 “动力学特性” 可能指的是下面的一种或几种类型:
有限元方法
Finite Element Method
金朝海 jch666@
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课程目标
1)
2)
3)
系统学习有限单元法的基本思想、概念 和原理—包括变分法、等参单元、高斯 积分等。 能从较高层次(数力原理)上理解有限元 方法的实质，掌握有限元分析的工具， 并具备初步处理工程问题的能力。 能够对有限元分析结果的有效性和准确 性进行评估，同时要认识到有限元方法 的局限性。
结构 DOFs
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基本思路：分割-组合
将连续系统分割成有限个分区或单元（离散化） 用标准方法对每个单元提出一个近似解（单元分 析） 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近 似的系统（整体分析）
这种分割-组合思想古而有之，如求圆面积。
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圆面积
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1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启 ）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都 可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。 1967 年， Zienkiewicz 和 Cheung 出版了第一本有 关有限元分析的专著。
1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用 加权余量法特别是 Galerkin 法（伽辽金 法），导出标准的有限元过程来求解非结 构问题。
自重作用下等截面直杆的解
受自重作用的等截面直杆 如图所示，杆的长度为L， 截面积为A，弹性模量为E， 单位长度的重量为q，杆的 内力为N。 试求：杆的位移分布，杆 的应变和应力。
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材料力学解答
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有限元法解答
（1）离散化 将直杆划分成 n 个有限段， 有限段之间通过一个铰接点 连接。两段之间的连接点称 为节点，每个有限段称为单 元。第i个单元的长度为Li， 包含第i，i+1个节点。
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工程师方面
思路来源于固体力学结构分析矩阵位移法和工 程师对结构相似性的直觉判断。对于不同结构 的杆系、不同的载荷，求解时都能得到统一的 矩阵公式。从固体力学的角度看，桁架结构等 标准离散系统与人为地分割成有限个分区的连 续系统在结构上存在相似性，可以把杆系结构 分析的矩阵法推广到非杆系结构的求解。
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主要工学硕士数学课程
工程数学 计算方法（数值分析） 随机过程 矩阵论 运筹学（最优化方法） 图论 模糊数学 有限元方法 小波分析 应用泛函分析
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数学课程在研究生培养中的重要性
科技发展日新月异，数学科学地位不断提 高，在自然科学和工程技术方面广泛应用。 数学的面貌发生很大变化，现代数学在理 论上更加抽象、方法上更加综合、应用上 更加广泛。 综合运用数学的能力关系到研究生的创新 能力和研究水平的提高，对研究生的论文 质量至关重要。
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1970 年以后，有限元方法开始应用于处理非线 性和大变形问题， Oden 于 1972 年出版了第一本 关于处理非线性连续体的专著。